BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Asuransi Joint Life Joint life adalah suatu keadaan yang aturan hidup dan matinya merupakan
gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya suami-istri, orang tua-anak dan lain sebagainya (Futami, 1994). Asuransi joint life menanggung dua jiwa atau lebih dalam satu polis asuransi. Pembayaran premi pada asuransi ini akan dibayarkan selama kedua peserta asuransi tersebut tetap hidup dan akan terhenti apabila salah satu dari peserta asuransi tersebut meninggal.
2.2
Tingkat Bunga dalam Nilai Tunai Pembayaran Menurut Futami (1993), tingkat bunga digunakan untuk menentukan nilai
sekarang dari pembayaran yang akan datang. Perhitungan tingkat bunga ada dua macam yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal merupakan bunga yang cara perhitungannya hanya berdasarkan pada perbandingan pokok dan jangka investasinya, sedangkan bunga majemuk suatu perhitungan bunga dengan besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah besar bunga yang diperoleh. Pada bunga majemuk didefinisikan sebagai berikut: vn
1 (i 1) n
(2.1)
6
7
dengan v merupakan nilai sekarang untuk pembayaran sebesar Rp. 1 yang akan dibayarkan 1 tahun kemudian dan i merupakan besarnya bunga.
2.3
Tabel Mortalitas Tunggal Tabel tingkat kematian atau yang sering disebut dengan tabel mortalitas
merupakan tabel yang diperoleh dari hasil observasi mengenai tingkat kematian berdasarkan kelompok umur tertentu. Fungsi–fungsi utama dalam tabel mortalitas adalah
(Futami, 1993). Sebelum membahas tabel mortalitas, akan dibahas terlebih dahulu fungsi-
fungsi yang berhubungan dengan tabel mortalitas.
2.3.1 Fungsi Kehidupan Menurut Bowers et al., (1997), misalkan ada bayi yang baru lahir, X adalah variabel acak kontinu. Nyatakan ( ) sebagai fungsi distribusi dari X ( )
(
)
.
Fungsi kehidupan didefinisikan sebagai berikut: ( )
( )
(
)
(
)
dengan ( ) merupakan peluang orang berusia nol tahun akan mencapai usia tahun. Peluang orang berusia nol tahun akan meninggal antara usia
dan (
) adalah (
)
(
) ( )
( (
) ( ))
( )
( )
(2.3)
8
2.3.2
Waktu Sampai Meninggal bagi Orang Berusia
tahun.
Menurut Bowers et al., (1997), peluang bersyarat dari orang yang baru lahir akan meninggal antara usia usia
dan
jika diketahui dia masih tetap hidup pada
tahun adalah (
|
(
)
) (
(
)
( )
( ) ( )
( )
( )
)
( ) Sisa waktu hidup dari orang yang berusia ( ). Peluang orang berusia
tahun dinyatakan dengan
tahun akan meninggal sebelum mencapai usia
dinyatakan dengan ( ( ) Peluang orang berusia
)
.
tahun akan hidup sampai usia
dinyatakan dengan
. Dalam hal khusus orang yang berusia ( )
tahun sama dengan nol maka didapat
dan ( )
(
Peluang bahwa orang berusia meninggal
tahun akan tetap hidup
tahun berikutnya atau orang yang berusia
antara usia
dan |
adalah ( ( ( )
( )
) )
( ( )
)
)
tahun lagi dan akan tahun akan meninggal
9
(
)
(
Oleh karena
(
)
)
(
dan
( )
) ( )
(
)
(
)
maka selanjutnya
disubstitusikan ke persamaan 2.6 sehingga diperoleh: ( |
)
(
)
( )
( )
(
)
Selanjutnya kalikan dengan
( ( ) (
)
(
)
)
sehingga diperoleh:
(
)
( ( )
)
( (
) )
(
)
(
)
(
)
|
(
)
(
{
( ) )
(
)
}
(
) ( )
2.3.3 Jumlah Tahun Lengkap yang Akan Dialami oleh Orang Berusia tahun Menurut Bowers et al., (1997), jumlah tahun lengkap yang akan dialami oleh orang yang berusia
tahun dinyatakan dengan
variabel random diskret. ( ) dalam rentang usia (
berarti orang berusia
dan )
(
( ) yang merupakan tahun akan meninggal
sehingga diperoleh: ( )
) |
(
)
10
Pernyataan (2.8) merupakan kasus khusus dari (2.7) dengan
dan
merupakan bilangan bulat non negatif.
2.3.4 Hubungan Fungsi Utama dalam Tabel Mortalitas dengan Fungsi Kehidupan Tabel mortalitas seperti yang telah disebutkan sebelumnya mengandung fungsi utama yaitu
. Fungsi–fungsi ini dapat dihitung nilainya
dengan mencari hubungan fungsi utama dengan fungsi kehidupan. Dari persamaan (2.8) didapatkan (
) ( )
(
) ( )
Misalkan terdapat grup sebanyak
yang terdiri dari orang – orang yang
baru lahir – berumur 0 tahun, sebagai contoh
. Usia dari masing-
masing bayi pada saat meninggal mempunyai distribusi yang ditentukan oleh fungsi kehidupan ( ). Misalkan ( ) adalah banyaknya anggota grup yang mencapai usia tahun. Masing – masing bayi diberikan indeks dengan j ( )
∑
{ karena [ ]
( ) maka diperoleh
,
maka :
11
, ( )-
∑ [ ]
( )
, ( )- dinyatakan dengan diharapkan akan mencapai usia
yang menyatakan jumlah anggota grup yang tahun dari jumlah mula-mula sebanyak
sehingga diperoleh ( )
(
Menggunakan cara yang sama meninggal antara usia
dan
menyatakan banyaknya yang
. Akan dinyatakan ,
bayi yang baru lahir mempunyai peluang ( ) usia
dan
(
- dengan
, karena
) akan meninggal antara
maka [
Bila
)
maka
]
, ( )
(
dapat ditulis dengan
)-
(
)
. Dari perhitungan tersebut maka
dapat dibuat tabel mortalitas.
2.4
Tabel Mortalitas Joint Life Tabel mortalitas joint life merupakan tabel tingkat kematian gabungan dari
usia x tahun dengan usia y tahun. Menurut Futami (1994), jika x dan y menyatakan usia peserta asuransi, maka
merupakan fungsi gabungan dari orang berusia x
dan y tahun sehingga diperoleh (
)
Peluang orang berusia x tahun dan y tahun akan tetap hidup 1 tahun dinotasikan dengan
dan dirumuskan sebagai
12
(
)
Peluang gabungan dari orang berusia x dan y tahun akan tetap hidup selama t tahun dinotasikan dengan
dirumuskan sebagai berikut:
(
)
Peluang salah satu di antara x dan y meninggal dalam jangka waktu 1 tahun dinotasikan dengan
dan dirumuskan sebagai berikut: (
)
(
)
(
)
Peluang orang berusia x dan y yang meninggal dalam jangka waktu t tahun dinotasikan dengan
(
dan dirumuskan sebagai berikut:
)
(
)
13
2.5
Tabel Komutasi Tabel
komutasi
memiliki
simbol-simbol
yang
digunakan
untuk
perhitungan premi tahunan, cadangan premi dan perhitungan–perhitungan nilai asuransi lainnya. Menurut Futami (1993), jika x menyatakan usia peserta asuransi, menyatakan jumlah orang berusia x tahun,
menyatakan nilai tunai pembayaran,
maka ( sedangkan jika k menyatakan jangka waktu maksimal,
)
menyatakan hasil
perkalian dari nilai tunai pembayaran dengan jumlah orang berusia x, maka ∑
2.6
(
)
Anuitas Hidup Anuitas merupakan suatu rangkaian penerimaan atau pembayaran yang
dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Dalam pembayaran premi asuransi juga pada umumnya berbentuk anuitas. Anuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup/matinya seseorang dinamakan anuitas hidup. Anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal tahun disebut anuitas awal sedangkan anuitas yang pembayarannya dilakukan di akhir tahun disebut anuitas akhir.
14
2.6.1
Anuitas Hidup yang Ditunda Menurut Futami (1993), anuitas dengan periode pembayaran yang
dijadwalkan untuk dimulai pada beberapa waktu kemudian disebut anuitas yang ditunda. Anuitas awal pada anuitas yang ditunda dengan jangka waktu penundaan t tahun dinotasikan dengan | ̈ dan dirumuskan sebagai berikut | ̈
∑
∑
(
)
Anuitas akhir pada anuitas yang ditunda dengan jangka waktu penundaan t tahun dinotasikan dengan | |
2.6.2
∑
dan dirumuskan sebagai berikut ∑
(
)
Anuitas Hidup Berjangka Joint Life Menurut Futami (1994), anuitas hidup berjangka adalah anuitas hidup
yang pembayarannya dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu. Anuitas hidup berjangka joint life adalah anuitas hidup yang pembayarannya dikaitkan oleh hidup atau matinya dari dua tertanggung atau lebih dengan jangka waktu tertentu. Anuitas hidup berjangka joint life dapat dirumuskan seperti dibawah ini 1.
Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap hidup. ̈
⌉
∑
(
)
15
2.
Nilai sekarang anuitas akhir dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap hidup.
⌉
2.7
∑
(
)
Premi Sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh tertanggung kepada
penanggung sesuai dengan kesepakatan kontrak asuransi yang telah disetujui disebut dengan premi (Sembiring, 1986). Terdapat dua jenis premi yaitu premi kotor dan premi bersih. Premi kotor adalah premi yang perhitungannya menggunakan perkiraan tingkat mortalitas, perkiraan tingkat bunga, dan perhitungan tingkat biaya sedangkan premi bersih tidak memperhitungkan tingkat biaya. Besarnya premi ditentukan dengan prinsip bahwa kerugian yang diderita oleh perusahaan sama dengan nol seperti pada persamaan berikut. ( ) dengan L menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung yang didefinisikan sebagai variabel random dari nilai tunai benefit yang dibayarkan pihak penanggung (Matvejevs & Matvejevs, 2001).
2.7.1 Premi Tunggal Joint Life Pembayaran premi asuransi yang dilakukan sekaligus pada waktu kontrak asuransi disetujui dan selanjutnya tidak ada pembayaran lagi disebut dengan premi tunggal (Futami, 1993).
16
a)
Premi Tunggal Pure Endowment Joint Life Pure Endowment adalah kontrak asuransi jiwa, mulai dari kontrak dimulai
sampai dengan jangka waktu yang telah ditentukan tetap hidup maka pemegang polis asuransi tersebut menerima sejumlah uang pertanggungan. Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung t tahun dan besar uang pertanggungan adalah Rp. 1 dinotasikan dengan
⌉
dirumuskan sebagai berikut (Futami, 1994) (
⌉
b)
)
Premi Tunggal Asuransi Berjangka Joint Life Premi tunggal asuransi berjangka untuk usia x tahun dengan jangka
pertanggungan t tahun dan uang pertanggungan Rp. 1 yang dibayarkan pada akhir tahun polis dinotasikan dengan
⌉
(Futami,1993).
Premi tunggal asuransi berjangka joint life dirumuskan sebagai berikut (Matvejevs & Matvejevs, 2001).
⌉
c)
∑
(
)
(
)
Premi Tunggal Anuitas yang Berubah pada Asuransi Joint Life Asuransi yang uang pertanggungannya tidak ditetapkan dalam suatu
jumlah yang pasti, melainkan berubah–ubah disebut dengan premi tunggal anuitas yang berubah. Premi tunggal dengan anuitas yang setiap tahun besar anuitas bertambah 1 disebut asuransi berjangka meningkat sedangkan apabila sebaliknya
17
maka disebut asuransi berjangka menurun (Futami, 1993). Premi tunggal anuitas yang berubah pada asuransi joint life dirumuskan sebagai berikut: 1.
Usia tertanggung x dan y tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan 1, meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan 2, dan seterusnya. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka meningkat yang dirumuskan sebagai berikut: (
2.
)
∑
⌉
(
)
(
)
Usia tertanggung x dan y tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan t, meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan
, dan seterusnya sampai polis
tahun ke t besarnya uang pertanggungannya dikalikan 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menurun yang dirumuskan sebagai berikut: (
)
⌉
∑(
)
(
)
(
)
2.7.2 Premi Tahunan Konstan pada Asuransi Joint Life Besarnya pembayaran premi yang tetap dari awal dimulainya asuransi sampai dengan akhir kontrak asuransi disebut dengan premi standar atau premi konstan. Menurut Matvejevs & Matvejevs (2001), premi konstan dibayarkan selama x dan y tahun dengan rincian uang pertanggungan (benefit) adalah
18
1.
Apabila peserta berusia x tahun dan y tahun tetap hidup sampai kontrak asuransi berakhir maka peserta asuransi akan mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q.
2.
Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak misalnya apabila y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka x mulai tahun ke-t selama seumur hidup setiap tahunnya mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar
, demikian juga sebaliknya
apabila x meninggal dunia maka y akan mendapat uang pertanggungan (benefit) sebesar 3.
.
Apabila kematian dari pasangan juga terjadi (x dan y meninggal) sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematiannya. Sehubungan dengan kontrak tersebut maka nilai tunai dari pendapatan
premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai 1.
Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai berikut : (
2.
)
̈
(
⌉
)
Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai berikut : ∑∑ (
)
⌉
|
∑∑
|
19
| ̈
̅|
3.
| ̈
(
)
(
⌉
)
Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah ̈
⌉
̈
⌉
( ̈
| ̈
⌉
( ⌉
(
) )
| ̈
(
⌉
⌉
| ̈
| ̈
⌉)
⌉
| ̈
| ̈
)
⌉
Besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi adalah | ̈
⌉
̈
2.8
⌉
| ̈ (
)
(
)
⌉
Cadangan Premi Menurut Sembiring (1986), cadangan premi adalah sejumlah dana yang
dihimpun oleh perusahaan asuransi yang diperoleh dari selisih nilai tunai pembayaran dan nilai santunan pada suatu waktu pertanggungan sebagai persiapan pembayaran klaim. Salah satu perhitungan cadangan premi bersih yaitu perhitungan secara retrospektif. Perhitungan secara retrospektif merupakan perhitungan cadangan premi yang didasarkan pada jumlah total pendapatan di waktu yang lalu, sampai saat dilakukan perhitungan cadangan dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu yang lampau, untuk tiap pemegang polis (Futami, 1993). Menurut Sembiring (1986), suatu asuransi dengan uang pertanggungan sebesar Rp. 1 dengan l x .P1 i adalah premi bersih tahunan yang dibayarkan pada permulaan tahun pertama yang dibungakan selama setahun dan
20
banyaknya yang meninggal pada usia x tahun sehingga persamaan cadangan premi akhir tahun pertama adalah sebagai berikut: (
*
)
+
(
)
(
)
Cadangan premi akhir tahun kedua adalah sebagai berikut: *(
)
)(
+
merupakan seluruh dana yang berasal dari tahun pertama kemudian ditambah dengan premi tahun kedua yaitu
. Keduanya dibungakan selama
setahun lalu dikurangi dengan santunan yang dibayarkan pada akhir tahun kedua yaitu
dan selisih tersebut dibagi dengan Cadangan
premi
akhir
tahun
. ke-t
memperhatikan
)(
)
nilai
tunai
pembayarannya, maka persamaannya: *(
+
(
)
