BAB II TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Perangkat Lunak Analisis Elemen Hingga

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Perangkat Lunak Analisis Elemen Hingga Elemen hingga adalah idealisasi matematika terhadap suatu sistem dengan

membagi objek menjadi elemen-elemen diskrit yang kecil dengan bentuk yang simpel. Metode elemen hingga adalah teknik yang sangat dominan pada structural mechanics. Ada banyak perangkat lunak analisis elemen hingga yang digunakan di industri saat ini dari beraneka disiplin ilmu teknik termasuk mechanical engineering. Dan solusi yang tepat untuk masalah-masalah itu adalah “CAD/ CAE”. CAD (Computer Aided Design) atau Merancang Berbantuan Komputer adalah proses perancangan model yang cepat dan akurat, sedangkan CAE (Computer Aided Engineering) atau Rancang-Bangun Berbantuan Komputer adalah proses analisis dan simulasi tegangan yang mudah dan efektif. 2.1.1 Perangkat Lunak Elemen Hingga Berbayar Pernagkat lunak untuk penyelesaian kasus metode elemen hingga yang tersebar di seluruh penjuru negeri bahkan di seluruh dunia dengan berbagai mutu dan kemudahan yang berbeda-beda. Sebagai contoh dari perangkat lunak yang digunakan untuk penyelesaian dalam kasus elemen hingga adalah ANSYS, MSC.NASTRAN, ABAQUS, LSDYNA, CATIA dan lainnya. Pengguna perangkat lunak FEM (Finite Element Method) kemudian terbiasa melihat GUI (graphic user interface) dimana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan hingga ribuan elemen. Istilah baru kemudian muncul yaitu Finite Element Modeling, karena pengguna hanya memodelkan fisik suatu benda dengan elemenelemen kecil, mendefinisikan sifat-sifat material, memberikan kondisi batas dan pembebanan, kemudian tinggal

menjalankan perangkat lunak. Hal ini yang

dinamakan pre – processing. Fase post – processing biasanya lebih sulit karena pengguna diharapkan bisa menginterpretasikan hasil, menganalisis angka dan fisik yang dihasilkan dan melakukan troubleshooting jika hasilnya kurang memuaskan.

Universitas Sumatera Utara

2.1.2 ANSYS ANSYS

adalah

suatu

perangkat

lunak

komputer

yang

mampu

menyelesaikan persoalan-persoalan elemen hingga dari pemodelan hingga analisis. Permasalahan ini meliputi statis, dinamis, analisis struktural (keduaduanya linier dan nonliner), pemindahan kalor, dan cairan. Secara umum, peyelesaian elemen hingga meliputi tiga langkah-langkah pada penyelesaiannya. 1. Pre-processing Pada tahap ini mendefinisikan permasalahan model dari permasalahan seperti menggambarkan titik, garis, area, volume, dan lain-lain. 2. Solution Disini menentukan beban, batasan, dan pemecahan. 3. Post-processing Pada tahapan ini merupakan hasil dari analissis elemen hingga.

2.2

Sumber Terbuka (Open Source) Perangkat lunak sumber terbuka adalah istilah yang digunakan untuk

perangkat lunak yang membuka/membebaskan membuka kodenya untuk dilihat oleh orang lain dan membiarkan orang lain mengetahui cara kerja perangkat lunak tersebut dan sekaligus memperbaiki kelemahan-kelemahan yang ada pada perangkat lunak tersebut. Dan yang menarik dan salah satu keunggulannya adalah perangkat lunak berbasis sumber terbuka dapat diperoleh dan digunakan secara gratis tanpa perlu membayar lisensi. Biasanya orang mendapatkan perangkat lunak ini dari internet. Salah satu perangkat lunak sumber terbuka yang terkenal yaitu sistem operasi Linux. Konsep perangkat lunak berbasis sumber terbuka pada intinya adalah membuka sumber kode dari sebuah perangkat lunak. Dengan mengetahui logika yang ada di kode sumber, maka orang lain dapat membuat perangkat lunak yang


sama fungsinya. Artinya, perangkat lunak sumber terbuka tidak harus gratis. Bisa saja membuat perangkat lunak yang membuka kode sumbernya, mempatenkan algoritmanya, medaftarkan hak ciptanya, dan tetap menjual perangkat lunak tersebut secara komersial. Definisi sumber terbuka (open source) yang asli seperti tertuang dalam OSD (Open Source Definition) yaitu: 1. Free Redistribution. Dalam hal ini lisensi tidak membatasi pihak yang menjual dan yang memberikan perangkat lunak sebagai bagian dari distribusi perangkat lunak, dimana lisensi tidak membutuhkan bayaran lain dari distribusi tersebut. 2. Source Code. Program harus termasuk sumber kode dan mengizinkan distribusi dalam bentuk sumber kode format sebaik mungkin. Harus diumumkan dengan baik cara untuk memdapatkan sumber kode, dan diunduh dari internet tanpa dikenakan biaya. Sumber kode harus lengkap, sehingga sengaja memperumit sumber kode tidak diizinkan. 3. Derived Works. Lisensi harus membolehkan modifikasi dari karya yangdiperoleh. Dan harus membolehkan distribusi kembali atas perangkat lunak dan sumber kodenya di bawah lisensi dari perangkat lunak aslinya. 4. Integrity of the Authors Source Code. Lisensi harus mengizinkan pendistribusian kembali dari sumber kode yang telah dimodifikasi. Selain itu, lisensi juga harus membolehkan karya yang membawa perbedaan nama atau nomor versi dari perangkat lunak aslinya. 5. No Discrimination Against Persons or Groups. Lisensi tidak boleh mengadakan diskriminasi melawan orang atau kelompok manapun. 6. No Discrimination Against Fields of Endeavor. Lisensi tidak boleh membatasi siapapun untuk menggunakan program dibidang tertentu. Misal ada lisensi yang melarang penggunaan perangkat lunaknya untuk bidang keteknikan atau perusahaan. Hal ini sama sekali tidak diizinkan.


7. Distribution of License. Hak-hak yang ditetapkan pada program haruslah kepada semua program yang didistribusikan kembali tanpa campur tangan hal-hal lain. 8. License Must Not Be Specific to a Product. Hak-hak yang diberikan pada sebuah program tidak boleh bergantung pada bagian yang menjadi distribusi perangkat lunak. Jika program diluncurkan dalam suatu lisensi, semua pihak yang ikut mendistribusikan kembali sebaiknya memiliki hak yang sama. 9. License Must Not Contaminate Other Software. Lisensi tidak boleh melainkan pembatasan terhadap perangkat lunak lain. Misalnya, lisensi tidak boleh melakukan pemaksaan bahwa semua perangkat lunak yang didistribusikan dalam menengah yang sama harus lisensi sumber terbuka juga. 10. License Must be Technology-Neutral. Tidak ada lisensi yang didasarkan atas teknologi atau gaya perseorangan. Keberadaan perangkat lunak sumber terbuka ini sangat ditunjang oleh internet. Mula-mula perangkat lunak sumber terbuka diambil dari internet kemudian digunakan oleh orang dan diperbaiki apabila ada kesalahan. Hasil perbaikan dari sumber terbuka ini kemudian dipublikasikan kembali melalui internet yang memungkinkan orang lain menggunakan dan memperbaikinya. Dan begitulah seterusnya, oleh karena itu perangkat lunak sumber terbuka akan terus berkembang dan tidak mungkin ketinggalan zaman. Dalam segi keamanan penggunaan perangkat lunak bebasis sumber terbuka cukup aman. Jika kita mengunakan perangkat lunak berlisensi tidak mungkin tahu apa saja perintah-perintah yang terjadi ketika melakukan instalasi perangkat lunak tersebut di komputer. Bila orang yang membuat perangkat lunak tersebut adalah orang jahat tentunya bisa menyisipkan perintah untuk menyalin data-data pribadi melalui lisensi perangkat lunak yang dibuat. Tentu tidak akan tahu maksud jahatnya bila belum melihat sumber yang dibuat. Tapi jika mengunakan perangkat lunak sumber terbuka, dapat melihat semua sumber dan perintah-perintah pemograman dengan jelas. Dengan demikian dapat diketahui


apakah ada kode jahat didalam aplikasi tersebut. Sumber terbuka (Open source) menurut Wikipedia adalah sistem pengembangan yang tidak dikoordinasi oleh suatu orang/lembaga pusat, tetapi oleh para pelaku yang bekerja sama dengan memanfaatkan kode sumber (sourcecode) yang tersebar dan tersedia bebas (biasanya menggunakan fasilitas komunikasi internet). Pola pengembangan ini mengambil model ala bazaar, sehingga pola sumber terbuka ini memiliki ciri bagi komunitasnya yaitu adanya dorongan yang bersumber dari budaya memberi, yang artinya ketika suatu komunitas menggunakan sebuah program sumber terbuka dan telah menerima sebuah manfaat kemudian akan termotivasi untuk menimbulkan sebuah pertanyaan apa yang bisa pengguna berikan balik kepada orang banyak. Pola sumber terbuka lahir karena kebebasan berkarya, tanpa intervensi berpikir dan mengungkapkan apa yang diinginkan dengan menggunakan pengetahuan dan produk yang cocok. Kebebasan menjadi pertimbangan utama ketika dilepas ke publik. Komunitas yang lain mendapat kebebasan untuk belajar, merevisi ulang, membenarkan ataupun bahkan menyalahkan, tetapi kebebasan ini juga datang bersama dengan tanggung jawab, bukan bebas tanpa tanggung jawab.

2.2.1 Aplikasi Perangkat Lunak Elemen Hingga Lisensi Sumber Terbuka Perangkat lunak metode elemen hingga berlisensi sumber terbuka terdapat berbagai macam. Berbagai macam perangkat lunak metode elemen hingga tersebut yang dapat diunduh secara langsung dan gratis melalui situs sourceforge.net dan situs lainnya, perangkat lunak tersebut antara lain Code Aster, Code Saturne, Salome, Salome Meca, Elmer, Calculix, Toghnog, OpenFoam, FreeFem, ELFE - ELektromagnetische FEldberechnung (ELectromagnetic FiEld computation using java), OFELI (Object Finite Element LIbrary), CALFEM, MyFEM, Tochnog dan lain sebagainya. Salah satu perangkat lunak metode elemen hingga yang mempunyai kemampuan analisis setara dengan perangkat lunak metode elemen hingga berbayar adalah Salome Meca yang merupakan gabungan dari Salome dan Code Aster. Salome digunakan sebagai pre-processing (pemodel solid, meshing) dan post-processing sedangkan Code Aster sebagai


solver elemen hingga. Salome Meca ditujukan untuk menganalisis masalahmasalah mekanikal sturktur.

2.2.2 Salome Salome adalah perngakat lunak gratis yang menyediakan platform generik untuk Pra dan Pasca Pengolahan untuk simulasi numerik. Hal ini didasarkan pada arsitektur yang terbuka dan fleksibel terbuat dari komponen reusable tersedia sebagai perangkat lunak bebas. Sebagai contoh, untuk mengurangi tuntutan dan resiko, untuk struktur dan lingkungan, mereka mengoptimalkan biaya yang sangat tinggi. Hal ini membutuhkan simulasi sangat halus mengenai perilaku struktural dan ketahanan untuk menjamin kehandalan tinggi. Pemodelan numerik dari masalah fisik, pengembangan solusi dan integrasi ke dalam proses desain sering ditangani di lingkungan yang sangat spesifik. Salome merupakan sebuah aplikasi CAD berbasis generik untuk simulasi digital dengan "reaktivitas tinggi untuk evolusi pasar dan harapan pelanggan". Salome adalah CAD / CAE platform integrasi yang menyediakan komponen reusable untuk: 1. 3D modeling 2. CAD interface 3. Mesh generator 4. Elemen Hingga pemecah dengan pre-processing tertentu. Salome platform tersedia dalam sumber terbuka. Salome Platform: 1. Mendukung interoperabilitas antara pemodelan CAD dan perangkat lunak perhitungan (CAD-CAE link). 2. Membuat lebih mudah integrasi komponen baru pada sistem heterogen untuk perhitungan numerik. 3. Mengatur prioritas untuk kopling multi-fisika antara perangkat lunak perhitungan.


4. Menyediakan user-interface generik, user-friendly dan efisien, yang membantu untuk mengurangi biaya dan penundaan melaksanakan penelitian. 5. Mengurangi pelatihan waktu ke waktu khusus untuk mempelajari solusi perangkat lunak yang didasarkan pada platform ini. 6. Semua fungsi dapat diakses melalui program konsol terintegrasi Python Hal-hal yang dapat dilakukan pada Salome adalah sebagai berikut : 1. Menentukan model geometri (membuat / memodifikasi item geometri), impor dan ekspor menggunakan format BREP, IGES, dan lain – lain. 2. Menentukan item meshing geometri ini, serta mengimpor dan ekspornya. 3. Menangani sifat fisik dan jumlah yang melekat pada geometri, impor dan ekspor ke format reusable. 4. Melakukan perhitungan menggunakan solver (opsional disediakan): masukan data membaca, mengkonfigurasi solver, dan menulis hasil perhitungan) bidang hasil. 5. Visualisasi dalam 3D, 2D dan gambar visualisasi ekspor ke format yang sesuai. 6. Skema studi Kelola: definisi dan menyimpan / restore. 7. Skema perhitungan Kelola: definisi dan eksekusi.

2.2.3 Code Aster Code Aster adalah paket perangkat lunak sumber terbuka untuk sipil dan rekayasa struktural analisis elemen hingga dan simulasi numerik dalam mekanika struktural, awalnya dikembangkan sebagai aplikasi in-house oleh perusahaan Perancis EDF. Ini dirilis sebagai perangkat lunak bebas dibawah GNU general public license, pada bulan Oktober 2001. Code Aster terdiri dari 1.500.000 baris kode sumber, sebagian besar di Fortran dan Python, dan sedang terus dikembangkan, diperbaharui dan


ditingkatkan dengan model baru. Membenarkan label kualitas yang dibutuhkan oleh industri nuklir, sebagian besar bidang perangkat lunak telah divalidasi oleh perbandingan independen dengan hasil analisis atau percobaan, benchmark terhadap kode-kode lain. Perangkat lunak ini dilengkapi dengan sekitar 2.000 tes mereka mengabdikan diri untuk kualifikasi dasar dan berguna sebagai contoh. Dokumentasi Code Aster mewakili lebih dari 14.000 halaman user manual, buku pedoman, teori kompilasi EDF's know-how dalam mekanika, contoh soal, manual verifikasi. Code Aster terutama pemecah untuk mekanik, berdasarkan teori elemen hingga. Alat ini mencakup berbagai macam aplikasi 3D analisis termal dan analisis mekanik dalam statika linier, non-linier, dinamika, untuk mesin kapal tekanan, dan struktur teknik. Di luar fungsi standar dari perangkat lunak metode elemen hingga untuk mekanika padat, Code Aster mengkompilasi penelitian spesifik dalam berbagai bidang kelelahan, kerusakan, patah, kontak, geomaterial, media berpori, dan kopling multi-fisika. Metode untuk perhitungan dengan Code Aster pada analisis struktur dilakukan dengan Code Aster terdiri dari urutan dari sejumlah kontrol yang dijelaskan dalam sebuah file perintah " command file " dalam format teks. Mesin dan penerjemah perintah file ini adalah bahasa script Python. Dengan demikian memungkinkan untuk menggunakan semua fungsi mereka dibawa oleh Python. Untuk memudahkan pengguna, Code Aster menyediakan sekumpulan baris perintah pada command file untuk sejumlah kasus perhitungan (misalnya linier

statis

-

DNS

MECA_STATIQUE,

statika

nonlinier

-

DNS

STAT_NON_LINE, thermics nonlinier - DNS THER_NON_LINE, dll). Ada yang dikembangkan langsung secara terintegrasi, yang lain adalah makro-kontrol dengan Python yang melakukan apa-apa tetapi mengelola panggilan dengan berbagai unit kontrol (sebagai MACRO_MATR_ASSE yang memungkinkan untuk menghitung dan untuk merakit matriks massa, redaman dan kekakuan struktur).


Gambar 2.1 Format Eficas dan File Comm

2.3

Metode Elemen Hingga Metode elemen hingga adalah metode numerik yang digunakan untuk

memprediksi respon-respon sistem teknik yang mengalami kasus-kasus tertentu. Pada awal perkembangannya,

metode elemen hingga dirancang untuk

mendapatkan respon tegangan pada struktur, tetapi saat ini metode elemen hingga


telah dikembangkan untuk berbagai respon teknik lainnya seperti medan tekanan, kecepatan aliran, distribusi temperatur, atau perpindahan panas. Pada dasarnya metoda elemen hingga mencari solusi dari perpindahan, kecepatan dan temperatur. Metode elemen hingga menggunakan pendekatan secara numerik untuk memperoleh suatu solusi dari bentuk geometri yang sederhana sampai yang rumit. Akurasi yang didapatkan tergantung kepada model yang dibuat. Metode elemen hingga memecahkan masalah struktur yang memiliki geometri yang rumit dengan pendekatan diskrit, yaitu membagi-bagi geometri model menjadi elemen-elemen sederhana seperti tampak pada gambar 2.2 di bawah ini.

Gambar 2. 2 Permodelan Suatu Benda menggunakan Metode Elemen Hingga Tiap ujung dari elemen tersebut memiliki nodal yang terhubung satu sama lain dengan nodal dari elemen-elemen lainnya. Setiap nodal memiliki suatu parameter yang memiliki nilai tertentu seperti perpindahan untuk kasus struktur, tekanan untuk kasus fluida, atau temperatur untuk kasus perpindahan panas. Dari nilai kuantitas tersebut dapat diturunkan persamaan-pesamaan yang diikuti dengan perhitungan numerik untuk mendapatkan solusi yang ingin dicari. Metode ini sangat bermanfaat dan membantu mempercepat proses perhitungann pada kasuskasus yang menggunakan banyak pesamaan. Penyelesaian analisis struktur menggunakan metode elemen hingga dapat diuraikan dalam langkah-langkah berikut : 1. Diskritisasi kontinum, yaitu membagi elemen kontinu menjadi elemen kecil atau elemen diskrit. Derajat ketelitian pada metode elemen hingga dapat ditingkatkan dengan beberapa cara seperti: a.

Memperbanyak

jumlah

elemen dengan

model perpindahan


sederhana. b.

Mempergunakan elemen dengan bentuk sederhana dan model perpindahan kompleks.

c.

Mempergunakan elemen dengan bentuk dan model perpindahan yang kompleks.

2. Pemilihan model perpindahan. Kesalahan dalam pemilihan fungsi dapat menyebabkan hasil yang keluar konvergen kepada jawaban yang salah. Fungsi (himpunan fungsi) perpindahan yang baik secara umum harus memenuhi syarat berikut : a.

Jumlah konstanta yang tidak diketahui dalam fungsi perpindahan harus sama dengan jumlah derajat kebebasan elemen total.

b.

Fungsi perpindahan harus tidak condong ke satu arah tertentu, yaitu harus seimbang terhadap sumbu koordinat, kecuali untuk elemen yang ditujukan bagi pemakaian khusus.

c.

Fungsi perpindahan harus mengizinkan elemen mengalami pergerakan benda tegar (rigid body) tanpa regangan dalam.

d.

Fungsi perpindahan harus bisa menyatakan keadaan tegangan atau regangan konstan, karena jika tidak, regangan tidak akan konvergen ke fungsi kontinu bila elemen yang semakin kecil digunakan dalam idealisasi struktur.

e.

Fungsi perpindahan harus memenuhi kesepadanan perpindahan sepanjang perbatasan dengan elemen yang berdekatan.

3. Hubungan perpindahan, regangan serta tegangan di dalam setiap elemen. 4. Penyususnan matriks kekakuan elemen dan matriks gaya ekivalen. 5. Proses penggabungan. 6. Penyelesaian kondisi batas.


7. Proses Analisis. 8. Perhitungan-perhitungan tambahan yang diperlukan Dalam metode elemen hingga terdapat berbagai tipe bentuk elemen yang dapat digunakan untuk memodelkan kasus yang akan dianalisis, yaitu : a. Elemen satu dimensi, terdiri dari:  Elemen line/ garis Tipe elemen ini yang paling sederhana memiliki dua titik nodal, masingmasing pada ujungnya, disebut elemen garis linier. Dua elemen lainnya dengan orde yang lebih tinggi, yang umum digunakan adalah elemen garis kuadratik dengan tiga titik nodal dan elemen garis kubik dengan empat buah titik nodal.

a. Kubik

b. Kuadratik

c. Linier Gambar 2.3 Elemen 1 dimensi b.

Elemen dua dimensi, terdiri dari:  Elemen triangle  Elemen quadrilateral Elemen orde linier pada masing-masing tipe ini memiliki sisi berupa garis lurus, sedangkan untuk elemen dengan orde yang lebih tinggi dapat memiliki sisi berupa garis lurus, sisi yang berbentuk kurva ataupun dapat pula berupa kedua-duanya.


Gambar 2.4 Elemen 2 dimensi

c.

Elemen tiga dimensi, terdiri dari:  Elemen tetrahedron  Elemen parallelepiped Sama seperti tipe-tipe elemen yang telah disebutkan sebelumnya, kecuali untuk orde linier, elemen-elemen ini dapat memiliki sisi yang berbentuk kurva. Pada simulasi ini elemen yang dipilih adalah elemen tetrahedron.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.5 Elemen 3 dimensi

2.3.1 Metode Elemen Hingga Pada Kasus Analisis Struktur Pemecahan solusi metode elemen hingga, yaitu dengan menggunakan elemen-elemen untuk memodelkan struktur keseluruhan. Persamaan umum yang digunakan untuk menggambarkan kuantitas nodal-nodal elemen tersebut adalah: {F} [K] = {u}

(2.1)


Dengan {f} adalah gaya-gaya yang bekerja pada nodal-nodal, {u} adalah perpindahan pada nodal dan [k] adalah matriks kekauan elemen [k]. Terdapat tiga metoda yang digunakan untuk menurunkan persamaan elemen, yaitu: 1. Metoda Persamaan Langsung atau “Direct Formulation” Pada metoda ini, matriks kekakuan elemen dan persamaan elemen didapatkan dengan menurunkan persamaan kesetimbangan pada setiap nodal untuk mendapatkan hubungan gaya dan perpindahan nodal. Metoda ini mudah digunakan pada model-model yang sederhana, dengan jumlah elemen yang sedikit. Akan sangat sulit menggunakan metoda ini pada geometri yang cukup rumit, dengan jumlah nodal yang sangat banyak. Oleh sebab itu metoda ini tidak digunakan untuk jumlah elemen yang banyak. 2. Metode Energi Metoda energi merupakan metoda yang cukup banyak digunakan. Terdapat tiga jenis metoda energi dalam analisis elemen hingga, yaitu: - Virtual Work - Prinsip variasi - Teorema Castigliano Pendekatan energi potensial minimal merupakan metoda yang lebih mudah untuk diadaptasi pada konfigurasi-konfigurasi yang cukup rumit, seperti elemen plane strain/stress, elemen axisymetric, elemen plate bending, elemen shell, dan elemen solid. Energi potensial minimal menggunakan fungsi variasi, yaitu fungsi dari fungsi lain. f(x,y) merupakan fungsi dari dua variabel x dan y, dan merupakan fungsi dari f. π = π (x,y)

(2.2)

Pada permasalahan struktur, total energi potensial pada struktur tersebut adalah p yang dapat dituliskan sebagai fungsi dari variabel perpindahan p=(d1,d2,d3,…,dn). Subskrip

n menunjukkan derajat kebebasan benda. Total

energi potensial dapat didefinisikan seperti pada persamaan 2.2 di bawah ini : πp = energi starin + energi potensial


πp = U+W

(2.3)

Dimana U adalah energi potensial karena gaya dalam yang menyebabkan timbulnya strain, sementara W adalah energi potensial karena gaya luar yang menyebabkan timbulnya deformasi pada benda. Persamaan kesetimbangan akan terpenuhi jika nilai energi potensial adalah konstan. Persamaan tersebut akan stabil jika nilai statis adalah minimal, dimana perubahan energi potensial total terhadap perubahan perpindahan adalah nol.

Gambar 2.6 Model Elemen 3 Dimensi Dari gambar 2.6 dapat diturunkkan energi strain total dan energi potensial karena gaya luar sebagai berikut;

U=

1 σ T εdV ∫ 2v

(2.4)

W = − ∫ u T fdV − ∫ u T TdS − ∑ u iT Pi V

Dari persamaan di atas maka nilai

πp =

(2.5)

S

πp adalah

1 σ T εdV − ∫ u T TdS − ∑ u iT Pi ∫ 2V i S (2.6)

Dimana u = [u,v,w]T ; deformasi titik x ui = [u,v,w]iT ; deformasi pada nodal i


f = [fx, fy, fz]T ; gaya terdistribusi tiap satuan volume T = [Tx, Ty, Tz]T ; gaya tiap satuan luas Pi = [Px, Py, Pz]T ; gaya pada nodal i σ = [σx, σy, σz, τyz, τxz, τxy] ε = [εx, εy, εz, γyz, γxz, γxy,]

3. Metoda Weighted Residual Metoda ini digunakan apabila variasi perumusan atau fungsi tidak didefinisikan

secara

jelas.

Metoda

Galerkin

merupakan

metoda

yang

menggunakan metoda ini.

4. Elemen tetrahedral Elemen Tetrahedral adalah elemen tiga dimensi yang sangat simpel untuk menyelesaikan persoalan-persoalan mekanika stuktur. Seperti yang terlihat pada gambar 2.7, dapat dimisalkan bentuk tiap elemenya berbentuk tetrahedral.

Gambar 2.7 Elemen Tetrahedral. Gambar 2.7 merupakan elemen tetrahedral dengan 3 dimensi, yang memiliki 4 node untuk 1 elemen.

a.

Pemilihan Fungsi Displacement

Pemilihan fungsi displacement dapat dilakukan dengan memperhatikan


urutan penomoran, dimana nomor yang terakhir

(= 4) ditentukan lebih dahulu.

Nomor-nomor lainnya ditentukan searah dengan kebalikan jarum jam. Displacement = {q}  u1     v1   w1     .  {q} =    .  u4     v4  w   4

(2.7)

Fungsi displacement {q} u, v, w harus merupakan fungsi linier karena hanya ada dua node yang membatasi sebuah rusuk elemen. Masing-masing fungsi displacement tersebut adalah u(x,y,z) = a1 + a2x + a3y + a4z v(x,y,z) = a5 + a6x + a7y + a8z w(x,y,z) = a9 + a10x + a11y + a12z (2.8) dengan syarat batas: pada (x,y,z), u = u1 pada (x,y,z), u = u2 dan seterusnya dihasilkan: 1 [{(α1 + β1 x + γ 1 y + δ1 z )u1 + (α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z )u2 + 6v (α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z )u3 + (α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z )u4 }] 1 v = [{(α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z )v1 + (α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z )v 2 + 6v (α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z )v 3 + (α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z )v 4 }]

u=

w=

(2.9)

1 [{(α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z ) w1 + (α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z ) w2 + 6v (α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z ) w3 + (α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z ) w4 }]

Dimana 6v dihitung dari harga determinan berikut ini.


1 1 6v =  1  1

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

z1  z 2  z3   z4 

(2.10)

V menyatakan volume dari elemen tetrahedra. Koefisien αi , βi , γi , δi , ( i = 1,2,3,4) dalam persamaan 2.11 diberikan sebagai berikut: x 2 α 1 =  x 3  x 4

1 γ 1 = 1 1

x 1 α 2 = −  x 3  x 4

y2 y3 y4

z2  z 3  z 4 

z2  z 3  z 4 

x2 x3 x4

y1 y3 y4

1 γ 2 = − 1 1

x1

 x1 α 3 =  x 2  x 4

y1

x3 x4

y2 y4

z1  z 3  z 4 

z1  z 3  z 4 

z1  z 2  z 4 

1 β1 = − 1 1

y2

1 δ 1 = − 1 1

x2

1 β 2 = − 1 1

1 δ 2 = 1 1

1 β 3 = − 1 1

y3 y4

x3 x4

y1 y3

y4

x1 x3 x4

y1 y2 y4

z2  z 3  z 4 

y2  y 3  y 4 

z1  z 3  z 4 

y1  y 3  y 4 

z1  z 2  z 4 


1 γ 3 = 1 1

x 1 α 4 = −  x 2  x 3

1 γ 4 = − 1 1

z1  z 2  z 4 

x1 x2 x4

y1 y2 y3

x1 x2 x3

z1  z 2  z 3 

z1  z 2  z 3 

1 δ 2 = − 1 1

x1

1 β 4 = − 1 1

y1

1 δ 2 = 1 1

x2 x4

y2 y3

x1 x2 x3

y1  y 2  y 4 

z1  z 2  z 3 

y1  y 2  y 3 

(2.11)

Fungsi displacement dalam kaitannya dengan fungsi bentuk N ditulis sehingga persamaan 2.11, dapat disederhanakan menjadi:

u   N 1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4 0    v  = 0 N 1 0 0 N 2 0 0 N 3 0 0 N 4  w  0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 1 2 3   

u1  v   1  w1    u 2  v 2  0    w2  0    u3 N 4    v3    w3  u   4 v 4     w4 

(2.12)

Dimana, N1 =

(α 1 + β1 x + γ 1 y + δ 1 z ) 6v


N2 =

(α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z ) 6v

N3 =

(α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z ) 6v

N4 =

(α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z ) 6v

b.

Menentukan Strain-Displacement dan Hubungan Stress/Strain

(2.13)

Strain dari elemen untuk kasus stress tiga dimensi diberikan dalam persamaan berikut ini:  ∂u   ∂x     ∂v  ε x   ∂y  ε     y   ∂w  ε    {ε } =  z  =  ∂z  γ xy   ∂u + ∂v  γ   ∂y ∂x    yz   ∂v ∂w  γ zx   +  ∂z ∂y     ∂w + ∂u   ∂x ∂z 

(2.14)

Dikalikan dengan matriks [B], strain dinyatakan sebagai:

{ε } = [B ]{q}

[B] =  B1 −

Dimana



(2.15) −

−

B2

B3

−  B4  

(2.16)

− Sub matriks  B1  adalah:  


 N 1, x  0   −  0 B =  1   N 1, y  0 N  1, z

0   0  N 1, z   0   N 1, y  N 1, x 

0 N 1, y 0 N 1, x N 1, z 0

(2.17)

Catatan: 1. Indeks huruf dibelakang koma menyatakan differensial dari N1 terhadap x. −

−

−

2. Untuk sub matrik lain B2 , B3 , B4 tinggal mengganti indeks 1 pada persamaan (2.16) berturut-turut dengan 2,3 dan 4. Dengan memasukkan harga Ni dari persamaan (2.13) (i = 1,2,3,4) ke persamaan (2.17) diperoleh sub matrik:  β1 0  − 0 1    B1  = 6v γ  1 0   δ 1

0

γ1 0

β1 δ1 0

0  0  δ1   0  γ1   β1 

−  − Demikian pula untuk sub matriks  B2  ,  B3  ,    

(2.18)

−   B4 

Maka hubungan stress-strain diberikan melaui persamaan {σ} = [c] {ε}

(2.19)

2.3.2 Regangan Pada Bidang Tiga Dimensi Secara umum, konsep dari regangan normal didefenisikan sebagai perbandingan antara perubahan panjang dengan panjang awal pada uji tarik. Jika perubahan panjang disimbolkan dengan Δl dan panjang awal disimbolkan dengan Lo, maka secara matematis besarnya regangan dapat ditulis:


ε=

δ L − L o ∆l = = L o L oL

(2.20)

Berdasarkan hukum Hooke untuk uji tarik, hubungan antara tegangan dan regangan dapat dituliskan:

σ = E.ε

(2.21)

dimana, E adalah modulus Young atau modulus Elastisitas bahan. Pada sebuah uji tarik, tidak saja terdapat regangan aksial, tetapi juga terdapat regangan lateral. Sehingga dalam uji tarik dikenal dengan nilai Poisson ratio (υ). υ=−

r e g r e g

al an t g aa nk g

(2.22)

Untuk setiap bahan, nilai Poisson ratio berbeda-beda sesuai karakteristik bahan. Berdasarkan Hukum Hooke, hubungan regangan geser γ dengan tegangan geser yang terjadi adalah: τ = G.γ

(2.23)

Dimana G adalah modulus geser elastis. Untuk material homogen dan isotropik, hubungan antara modulus elastisitas E, modulus geser elastis G, dan Poisson ratio dinyatakan dalam: G=

E 2(1 + υ )

(2.24)

Pada tabel 2.1 digambarkan mengenai hubungan tegangan normal dan regangan normal pada berbagai kondisi baik uniaxial, biaxial dan triaksial. Tabel 2.1 Tegangan Normal dan Regangan Normal Jenis Tegangan Uniaxial

Regangan Normal

ε1 =

σ1

Tegangan Normal σ 1 = Eε 1

E

ε 2 = −υ ε1

σ2 =0


ε 3 = −υ ε1

Biaxial

ε1 =

σ 1 υ σ2 − E E

σ1 =

ε2 =

σ 2 υ σ1 − E E

σ2 =

ε3 = − Triaxial

σ3 = 0

υ 1σ υ σ − 2 E E

σ 1 υ 2σ υ 3σ − − E E E

σ1 =

ε2 =

σ 2 υ 1 σ υ 3σ − − E E E

σ2 =

υ

3

E

σ υ −

1

E

συ −

E (ε 2 + υ 1ε) 1−υ 2

σ3 = 0

ε1 =

ε3 =

E (ε 1 + υ 2ε) 1−υ 2

2

E

σ

σ3 =

Eε 1 (1 − υ ) + υE (ε 2 + ε 3 ) 1 − υ − 2υ 2 Eε 2 (1 − υ ) + υE (ε 1 + ε 3 ) 1 − υ − 2υ 2 Eε 3 (1 − υ ) + υE (ε 1 + ε 2 ) 1 − υ − 2υ 2

Catatan : Uniaxial, biaxial, dan triaksial mewakili kasus khusus dari tegangan satu dimensi, dua-dimensi dan tiga-dimensi. Sumber: Joseph Sigley, C.R. Mische, R.G. Budynas ”Mechanical Engineering Design” hal 124.

2.4

Backing Plate Pada skripsi ini dilakukan analisis simulasi elemen hingga kekuatan

backing plate pada blok rem kereta api. Pada rem kereta api terdapat blok rem, yang merupakan komponen yang langsung bergesekan dengan permukaan roda adalah material gesek atau komposit. Blok rem kereta api terdiri atas dua bagian utama, yaitu material gesek dan backing plate. Setiap dari stuktur ini mempunyai kegunaan masing-masing yang saling melengkapi untuk membentuk suatu blok rem yang utuh. Backing plate merupakan bagian punggung blok rem yang terbentuk dari material logam. Biasanya backing plate untuk blok rem ini menggunakan baja karbon. Adapun kegunaan dari backing plate tersebut pada blok rem adalah sebagai material pemegang material gesek blok rem. Namun lebih dari itu, backing plate pada blok rem dapat mendukung penyebaran gaya tekan terhadap


material gesek komposit sehingga gaya penekanan tidak cenderung terkonsentrasi pada sebagian bidang saja. Serta dapat menambah kekuatan dari blok rem. Backing plate umumnya ditanamkan pada punggung material gesek, namun ada juga yang ditempelkan dengan menanamkan pengait pada beberapa bagian. Backing plate dirancang sedemikian rupa agar dapat dicekam pada dudukan blok rem. Umumnya produsen blok rem kereta api yang baru berkembang hanya mempertimbangkan kegunaan backing plate sebagai pemegang material gesek tanpa merancang backing plate untuk menyebarkan gaya penekanan rem dan mengurangi beban bending terhadap material gesek. Jika dilihat dari produk blok rem yang dihasilkan oleh produsen yang sudah maju, backing plate adalah bagian yang sangat diperhitungkan dalam menghasilkan produk blok rem yang baik dan sesuai standar. Hal ini dapat dilihat dari rancangan dan material backing plate yang baik dan kuat. Tentunya kualitas dari blok rem yang dihasilkan sangat baik untuk menggantikan blok rem metalik akibat adanya backing plate yang baik. Namun hal ini tidak terlepas dari kualitas material gesek yang baik. Biasanya setiap produk blok rem dari produsen yang berbeda, menggunakan backing plate dengan rancangan yang berbeda. Bentuk maupun material yang digunakan berbeda antara satu dengan yang lainnya. Gambar 2.8 di bawah ini merupakan contoh dari beberapa model backing plate yang sudah ada yang diproduksi oleh produsen tertentu. Dapat dilihat secara kasat mata beberapa model yang dirancang untuk menyebarkan gaya penekanan dan menahan bending.

a) dengan lubang profil ellips dan kotak


b) dengan lubang profil bulat dan tanpa lubang

c) muka tidak penuh Gambar 2.8 Beberapa model backing plate (sumber : Harsa Delanis Sembiring, 2008)


BAB II TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Perangkat Lunak Analisis Elemen Hingga

Recommend Documents