BAB II KAJIAN TEORI
Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan, jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan integral Riemann. A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan, diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes.
4
1. Himpunan Terbatas Definisi 2.1: (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan 1)
suatu himpunan tak kosong subset dari
.
dikatakan terbatas atas jika ada bilangan sehingga
untuk setiap
sedemikian
. Bilangan
disebut juga
sebagai batas atas dari 2)
dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan sehingga
untuk setiap
sedemikian
. Bilangan
disebut juga
sebagai batas bawah dari 3)
dikatakan terbatas jika
terbatas atas dan terbatas bawah.
Untuk lebih mudah memahami diberikan contoh, Contoh 2.1 : misalkan himpunan
{ {
Nilai maksimum dari
}. }
adalah , untuk sebarang bilangan riil maka
ada bilangan yang lebih besar dari . Jadi, minimum dari
terbatas atas. Nilai
tidak dapat didefinisikan karena nilai
merupakan himpunan semua bilangan asli, akan tetapi nilai himpunan tersebut akan selalu lebih besar dari bilangan ). Hal ini menyebabkan terbatas bawah. Jadi,
memiliki batas bawah, maka
merupakan himpunan yang terbatas.
5
(
2. Supermum dan Infimum Misal
adalah himpunan tak kosong subset dari
1) Supremum Definisi 2.2 : (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan
merupakan himpunan tak kosong yang terbatas atas,
maka bilangan
dikatakan sebagai supremum (batas atas terkecil)
dari , jika memenuhi : i.
adalah batas atas dari , dan
ii.
Jika
adalah batas atas yang lainnya dari , maka
Nilai supremum dari suatu himpunan dengan
.
biasanya dinotasikan
.
2) Infimum Definisi 2.3 : (Bartle & Sherbert, 2000: 36) Andaikan
merupakan himpunan tak kosong yang terbatas bawah,
maka bilangan
dikatakan sebagai infimum (batas bawah
terbesar) dari , jika memenuhi : i.
adalah batas bawah dari , dan
ii.
Jika adalah batas bawah yang lainnya dari , maka
Nilai infimum dari suatu himpunan .
6
.
biasanya dinotasikan dengan
Contoh 2.2 : {
Misalkan adalah
}. Nilai minimum dari himpunan tersebut
dan ada bilangan riil yang lebih kecil dari
maka himpunan
memiliki batas bawah. Bilangan 0 merupakan batas bawah karena untuk semua elemen himpunan Bilangan
tidak ada yang lebih kecil dari .
juga batas bawah terbesar dari himpunan tersebut karena
untuk batas bawah yang lainnya lebih kecil dari lain
. Himpunan
himpunan
atau dengan kata
tidak memiliki nilai maksimum akan tetapi
memiliki batas atas karena nilai dari anggota himpunan
kurang dari
atau dengan kata lain bilangan
dari himpunan . Bilangan
merupakan batas atas
juga merupakan batas atas terkecil dari
himpunan , hal ini terlihat dari tidak ada bilangan riil yang lebih kecil dari
yang merupakan batas atas dari himpunan
dari himpunan
Atau dengan kata lain
dan bukan anggota .
3. Sifat Archimedes Sifat Archimedes (Archimedean Property) digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan bilangan asli himpunan bilangan riil riil
. Atau dengan kata lain untuk setiap bilangan
ada bilangan asli
sehingga
tidak terbatas atas pada
(yang bergantung pada
), sedemikian
. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai sifat
Archimedes dan akibatnya.
7
Sifat Archimedes. (Bartle & Sherbert, 2000; 40) Jika
, maka ada
sedemikian sehingga
.
Bukti Andai pernyataan di atas bernilai salah maka . Hal tersebut juga mengatakan bahwa dari
.
untuk semua merupakan batas atas
merupakan himpunan tak kosong mempunyai suatu
supremum yaitu
.
megurangkan nilai
merupakan supremum dari
dengan 1 maka
bukan batas atas dari
maka supremum dari
dengan
, didapatkan
bukan batas atas dari
. , karena
. Faktanya
merupakan
, terjadi kotradiksi maka pengandaian harus
dinegasikan. Terbukti Jika sehingga
selalu lebih kecil dari .
, maka ada
Tambahkan kedua ruas dengan
, dengan
, maka ada
sedemikan
.
Akibat 2.4 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika
{
}, maka
.
Bukti merupakan himpunan tak kosong dan terbatas bawah oleh himpunan
memiliki infimum dan misal
Archimedes mengatakan, untuk setiap
8
, maka maka ada
,
. Sifat
sedemikian sehingga
atau dengan kata lain
. Dari
pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh
Nilai
yang memenuhi adalah .
Akibat 2.5 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika
, maka ada
sedemikian sehingga
.
Bukti Nilai dari
{
}
dan
, maka
dari himpunan tersebut. Maka ada
bukan batas bawah sedemikian sehingga
B. Barisan Barisan fungsi, kata pertama dari kata benda tersebut adalah barisan. Tentunya sebelum mengenal barisan fungsi terlebih dahulu harus mengenal barisan. Apa itu barisan? Untuk memudahkan pemahaman mengenai barisan, di bawah ini terdapat definisi dari beberapa ahli mengenai barisan Definisi 2.6 : (Bartle & Sherbert, 2000: 53) Barisan bilangan riil (barisan pada didefinisikan pada himpunan bilangan asli termuat dalam himpunan bilangan riil
9
.
) adalah fungsi yang {
} dimana range
Jika
adalah barisan, nilai dari
. Nilai dengan {
pada
dinotasikan dengan
disebut dengan elemen dari barisan. Suatu barisan dinotasikan }, dengan
adalah bilangan ke-
dari {
} dan dituliskan
. Contoh sederhana dari barisan bilangan riil adalah {
}
{ }
{
}.
Telah dijelaskan pada bagian di atas mengenai suatu barisan, selain itu barisan juga memiliki sifat-sifat, tentunya perlu dipahami juga karakter dari suatu barisan jika kita ingin mengenal barisan fungsi. Apakah barisan tersebut konvergen atau divergen? Apa itu barisan monoton dan subbarisan? Ada beberapa definisi yang telah dijelaskan oleh para ahli mengenai hal tersebut, diantaranya sebagai berikut. 1. Barisan Konvergen Definisi 2.7: (Bartle & Sherbert, 2000: 54) Barisan limit dari {
{
} pada
kovergen ke
}, jika untuk setiap
sedemikian sehingga untuk semua Jika nilai limit barisan untuk
atau
merupakan
terdapat suatu bilangan asli , memenuhi
.
(
), maka
barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan tersebut divergen. Contoh 2.3 : Suatu barisan bilangan riil dengan rumus { {
}
{
}
{
} konvergen menuju , karena jika diberikan
10
}. Barisan ada
nilai |
sedemikian sehingga untuk semua
|
. 2. Barisan Divergen Definisi 2.8 : (Kosmala, 2004 : 81) Suatu barisan { sebarang
} divergen ke
, ada
semua
jika dan hanya jika untuk
sedemikian sehingga
untuk . Misal {
. Atau dapat dituliskan
suatu barisan dengan rumus { untuk sebarang
}
{
, ada
}, menurut sifat Archimedes sedemikian sehingga
sedangkan nilai
maka nilai
yang artinya barisan {
}
,
untuk semua
} divergen.
Teorema 2.9 : (Kosmala, 2004 : 83) Misal {
} adalah sebuah barisan, dengan
. Barisan {
}
jika dan hanya jika barisan { } konvergen ke .
divergen ke Bukti : 1) Misal {
} adalah sebuah barisan, dengan
divergen ke {
}
maka barisan { } konvergen ke
} divergen ke
jika dan hanya jika untuk setiap
sedemikian sehingga sebarang
. Jika {
. Barisan {
11
untuk semua } divergen ke
, ada . Ambil maka
|
|
|
|
| |
Terbukti { } konvergen ke . 2) Misal {
} adalah sebuah barisan, dengan maka {
{ } konvergen ke
} divergen ke
Barisan { } konvergen ke
|
ke
, dimana
.
, jika diberikan
sedemikian sehingga untuk semua
Nilai
. Jika barisan
ada
berlaku |
untuk semua
maka
divergen
.
Teorema 2.10 : (Kosmala, 2004 : 82) Jika suatu barisan {
} divergen ke
, maka barisan {
dan
} sudah pasti divergen ke
12
untuk semua .
Bukti Andai {
} konvergen ke
Nilai
maka
untuk semua
, untuk semua
, artinya {
.
} konvergen
menuju . Terjadi kontradiksi maka pengandaian harus dinegasikan, yaitu {
} divergen menuju
.
3. Subbarisan Definisi 2.11 : (Bartle & Sherbert, 2000: 75 ) {
Misal
} adalah barisan bilangan riil dan {
adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. { Maka
} dimana
}
dikatakan sebagai subbarisan dari
. Contoh subbarisan dari
barisan , { Pilih untuk
}
bernilai genap, maka didapat barisan baru {
Barisan
merupakan subbarisan dari .
13
} , dimana
,
,
Teorema 2.12 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) {
Jika barisan bilangan real {
setiap subbarisan
} konvergen ke bilangan real
} dari
maka
juga konvergen ke
Bukti Jika diberikan
maka ada
maka
sedemikian sehingga jika
. Karena
adalah
barisan naik dari bilangan asli maka
. Di samping itu, jika maka |
maka kita juga mempunyai Atau dengan kata lain subbarisan {
|
.
} konvergen ke .
Teorema 2.13 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) Jika
{
} merupakan barisan bilangan real. Pernyataan-
pernyataan berikut saling ekuivalen {
(i)
Barisan
(ii)
Ada suatu
} tidak konvergen ke sedemikian sehingga untuk setiap
sedemikian sehingga (iii)
Ada
dan suatu subbarisan
sehingga |
dan | {
, ada
| } dari
sedemikian
|
Bukti (i)
(ii) Jika {
} tidak konvergen ke , maka untuk beberapa
tidak memungkinkan ditemukan suatu bilangan asli
14
sedemikian
sehingga untuk semua
syarat
karena itu, untuk setiap
(ii)
terpenuhi. Atau dengan kata lain, untuk sedemikian sehingga |
ada bilangan asli
|
. (iii) Diberikan
seperti pada kondisi (ii) dan diberikan dan |
sedemikian sehingga
|
sedemikian sehingga
. Kemudian diberikan
dan |
|
. Dengan
{
} dari
sedemikian
cara yang sama didapatkan subbarisan sehingga | (iii)
. Oleh
tidak benar untuk semua
pertidaksamaan setiap
memenuhi
|
untuk semua {
(i) Jika
.
} memiliki subbarisan
kondisi poin (iii). Maka
{
tidak dapat konvergen ke
} memenuhi , menurut
teorema 2.12 Jika
konvergen menuju
konvergen menuju
Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada
kondisi
maka subbarisan
juga
yang memenuhi.
4. Barisan Cauchy Definisi 2.14 : (Bartle & Sherbert, 2000: 81) Suatu barisan bilangan riil ada bilangan asli asli
disebut Barisan Cauchy jika untuk setiap sedemikian sehingga untuk semua bilangan
maka kondisi
memenuhi
15
.
Contoh 2.14 : Suatu barisan {
}
{ }. Jika diberikan
, menurut sifat
archimedes maka ada bilangan asli kita mempunyai
sedemikian sehingga untuk dan
. Maka untuk nilai
diperoleh |
|
Terbukti { } merupakan barisan Cauchy
C. Kekontinuan Fungsi Fungsi kontinu merupakan suatu konsep yang akan sering digunakan dalam bahasan kita selanjutnya, baik dalam diferensial, integral maupun dalam mengidentifikasi sifat-sifat dari barisan fungsi. Oleh karena itu, kita perlu memahami apa yang dimaksud kekontinuan dari suatu fungsi. Akan tetapi sebelum membicarakan mengenai fungsi kontinu, akan dikenalkan terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di bawah ini terdapat definisi dari ahli mengenai cluster point, limit fungsi dan fungsi kontinu. Definisi 2.15 : (Bartle & Sherbert, 2000: 97) Misalkan setiap
. Titik
adalah cluster point dari
ada sedikitnya satu titik .
16
,
jika untuk
sedemikian sehingga
Definisi 2.16 : (Bartle & Sherbert, 2000: 98) Misalkan
, dan
fungsi
merupakan cluster point dari . Untuk suatu
, suatu bilangan riil
jika diberikan
ada
dikatakan limit dari fungsi
sedemikian sehingga jika
, maka
di , dan
.
Definisi 2.17 : (Bartle & Sherbert, 2000: 120) Misalkan
,
dan
diberikan sebarang
, ada
sembarang titik pada
. Fungsi
kontinu pada
sedemikian sehingga jika
yang memenuhi
jika adalah
, maka
. Kondisi tersebut mirip dengan definisi limit (definisi 2.16) sedemikian sehingga fungsi kontinu dapat didefinisikan fungsi kontinu di fungsi
jika dan hanya jika
tidak kontinu pada , maka
merupakan . Jika
diskontinu pada .
Contoh 2.5 : Misalkan suatu fungsi dengan rumus ada
pada
sedemikian sehingga jika
dan kita pilih
. Jika diberikan
, maka
sedemikian sehingga
. Fungsi
kontinu pada , D. Diferensial Definisi 2.18 : (Kosmala, 2004: 184) Suatu fungsi dan
dengan
. Derrivatif dari
,
pada
17
adalah titik akumulasi dari didefinisikan
,
Jika limitnya ada maka dapat dikatakan
terdiferensial pada
.
Definisi 2.19 : (Varbeg and Purcell, 2010: 163) Turunan fungsi
adalah fungsi lain
pada sembarang bilangan
(dibaca “ aksen”) yang nilainya
adalah
Asalkan nilai limitnya ada Contoh 2.6 :. Suatu fungsi
, terdefinisi dengan
. Nilai dari
adalah
Nilai dari
, karena
berhingga maka dapat dikatakan
merupakan nilai yang
terdiferensial pada
.
Teorema 2.20 : (Brannan, 2006: 212) Misal fungsi
terdefinisi pada interval terbuka , dan
terdiferensial di , maka
juga kontinu di
Bukti Fungsi
terdiferensial di , maka
18
Jika
Dari persamaan di atas diperoleh {
}
{
}
{
{
}
} {
Nilai limit fungsi
untuk
kontinu di
}
sama dengan nilai
atau dengan kata lain
.
Teorema 2.21 : (Goldberg, 1976: 200) Misal
adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan
terbatas
. Jika nilai maksimum dari , dan jika
ada maka
terdapat pada titik , dimana .
Bukti Andai nilai
. Jika
Untuk
maka
dimana maka
merupakan bilangan positif. Pilih sedemikian sehingga nilai dari
19
atau dari fungsi
. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum
berada pada titik .
Jika
maka
Untuk
dimana maka
sedemikian sehingga nilai dari
atau dari fungsi
merupakan bilangan positif. Pilih
. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum
berada pada titik .
Nilai dari
tidak mungkin lebih besar atau lebih kecil dari , jadi nilai .
Teorema 2.22 (Teorema Rolle) : (Goldberg, 1976: 200) Misal
adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan
terbatas semua
, dengan
. Jika
, maka ada suatu titik
terdiferensial untuk
dimana
.
Bukti Jika
bernilai
pada interval
, ada titik
maka
sedemikian sehingga
Terbukti jika fungsi
bernilai
pada interval
20
.
Jika
untuk
, maka pada interval
tersebut fungsi
memiliki nilai maksimum pada suatu titik dan tentunya nilai maksimum fungsi
bukan pada titik
maksimum fungsi
atau
karena
adalah
. Misal titik
dan fungsi
menurut teorema 2.21 maka nilai dari
terdiferensial pada ,
.
Teorema 2.23 (Teorema Nilai Rata-Rata) : (Goldberg, 1976: 203) Jika
adalah fungsi kontinu pada interval tertutup terbatas ada untuk semua
, maka ada
dan jika sedemikian
sehingga
Bukti Kita definisikan suatu fungsi
sebagai berikut
Subtitusi nilai
Subtitusi nilai
Akan ditunjukkan
terdiferensial pada interval
pada interval
21
, ambil sebarang
terdiferensial pada interval
Fungsi
, sedemikian sehingga
terdiferensial pada interval
juga kontinu pada interval interval
. Fungsi
kontinu, terdiferensial pada
, menurut teorema Rolle’s maka ada
dan
suatu titik
, menurut teorema 2.18 maka
sedemikian sehingga
E. Partisi dan Integral Riemann 1. Partisi Definisi 2.24 :(Bartle & Sherbert, 2000: 145) Suatu partisi dari suatu interval dengan
{
adalah suatu himpunan
} merupakan himpunan dari interval tertutup
yang tidak saling tumpang tindih dan gabungan dari interval-interval
22
tersebut adalah interval dengan
. Interval-interval tersebut dinotasikan
, dimana
Titik-titik
merupakan titik partisi dari
sebuah titik titik-titik
. Jika dipilih
dari masing-masing interval , untuk disebut juga dengan
maka
(label) dan himpunan interval
dengan pasangan-pasanganya ̇
{
}
{
}
̇ disebut juga tagged partition dari . 2. Integral Riemann Definisi 2.25 :(Bartle & Sherbert , 2000: 196) Suatu fungsi
dikatakan terintegral secara Riemann pada
jika ada suatu bilangan
sedemikian sehingga jika ̇ suatu tagged partition
ada dari
sedemikian sehingga untuk setiap
dengan ‖ ̇ ‖
maka | ( ̇
)
|
.
( ̇
)atau
sering disebut Riemann Sum (Penjumlahan Riemann) didefinisikan sebagai berikut ( ̇
)
∑
Definisi tersebut secara tidak langsung mengatakan bahwa merupakan limit dari ( ̇
) untuk nilai ‖ ̇ ‖
halus).
23
(partisi semakin
‖ ̇‖
∑
Himpunan yang terintegral secara Riemann dinotasikan dengan .
merupakan sutau bilangan tertentu sering juga disebut
integral Riemann dari ∫
. Biasa juga ditulis ∫
di
atau
.
Contoh 2.7 : Fungsi
pada interval
merupakan fungsi yang terintegral
secara Riemann. Hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut misal untuk
adalah partisi dari
interval
yaitu
dimana
dengan ̇
dan kita pilih label dari
yang merupakan titik tengah dari
, sedemikian sehingga didapatkan
{
} untuk
, maka didapatkan jumlahan
Riemann (
̇)
∑
∑
∑ Misalkan ̇
{
∑
} untuk
merupakan partisi berlabel dengan ‖ ̇ ‖
yang lainnya pada interval
sedemikian sehingga
. Misalkan ̇ dan ̇ mempunyai titik-
untuk
24
titik partisi yang sama,
merupakan titik tengah dari interval
juga terdapat dalam interval
dan
sedemikian sehingga
.
Menggunakan ketaksamaan segitiga ̇)
| (
̇ )|
(
|∑
∑
∑
|
∑
∑ Karena (
̇)
, maka ̇)
| ( Nilai
. Pilih
̇ )|
(
| (
̇)
|
sedemikian sehingga ̇)
| (
|
dan ∫
Atau dengan kata lain
∫
.
Teorema 2.26 (Teorema Fundamental Kalkulus) : (Bartle & Sherbert, 2001: 210) Suatu fungsi pada
dan
pada interval
dimana : (a) (b) (c)
kontinu pada interval untuk semua terintegral secara Riemann
25
,
,
Maka
∫
Bukti Diberikan maka ada dari
, karena
terintergral secara Riemann (
sedemikian sehingga jika ̇ adalah tagged partition dengan ‖ ̇ ‖
, maka
̇)
| (
Jika subinterval-subinterval pada
∫
̇
|
adalah
mengaplikasikan teorema nilai rata-rata pada fungsi sedemikian sehingga
Kita jumlahkan nilai dari
untuk
∑
Fungsi
)
didefinisikan pada interval
Sedemikian sehingga
26
maka
, dengan , ada
∑
∑
∑
Misalkan ̇ merupakan tagged partition dimana subinterval-subinterval pada
̇ , maka
̇
, sedemikian sehingga
(
Jadi (
̇)
̇)
∑
(
̇ ), diperoleh
|
∫
Atau dapat dikatakan
∫
‖ ̇‖
Terbukti bahwa ∫
27
|
{
adalah
untuk } untuk
