BAB II
AKSIOMA PELUANG
PENGANTAR Apakah peluang itu ? Apakah sebatas peluang muncul gambar pada pelemparan 1 mata uang yang setimbang adalah 0.5 , atau peluang Cris John akan mampu meng-KO lawan tandingnya dalam pertandingan tinju adalah 0.6 . Life is uncertain. Kita tidak mengetahui secara pasti apa yang terjadi di masa mendatang dengan kondisi ketidakpastian setiap harinya. Hal ini mengisyaratkan bahwa sering kita membuat suatu keputusan dengan sedikit pengetahuan/ keterangan. Situasi ketidakpastian ini sering dianalisis dengan bentuk rata-rata jangka panjang yang dikenal dengan peluang / probabilitas. Teori peluang adalah cabang dari matematika yang mana merupakan pengembangan model untuk Chance Variation atau Random Phenomena. Teori mengenai peluang diawali dengan analisis kans kemenangan dari permainan judi yaitu dadu dan kartu. Hingga kini kasino menggunakan peluang untuk merancang pembayaran diantaranya untuk roulette, craps, blackjack . Bahkan dibeberapa negara , pemerintahnya
memakai peluang untuk
merancang pembayaran lotere. Perkembangan yang sangat berarti dari peluang ini merambah di kehidupan kita tidak hanya sekedar judi. Sebagai contoh biaya premi atau jumlah santunan pada masalah asuransi. Dengan jumlah santunan yang sama sebesar A rupiah dan jangka waktu asuransi yang sama yaitu n tahun bagi orang yang berusia 20 tahun dan 60 tahun , tentunya pembayaran premi pertahunnya berbeda . Premi yang harus dibayar orang yang berusia 60 tahun lebih besar daripada orang yang berusia 20 tahun. Hal ini disebabkab bahwa peluang orang yang berusia 60 tahun untuk mencapai usia n tahun lagi kecil dibanding dengan orang yang berusia 20 tahun, (atau ekspektasi hidup orang yang berusia 60 tahun lebih kecil daripada orang yang berusia 20 tahun).
MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 7
AKSIOMA – AKSIOMA PELUANG : Definisi : Ruang Sampel (Sample Space): Himpunan yang terdiri dari semua hasil suatu percobaan, biasanya diberi notasi S atau . Setiap kemungkinan hasil dalam ruang sampel disebut elemen atau anggota.
Contoh 2.1 : Tulis Ruang sampelnya ! a. Percobaan melempar dua mata uang yang setimbang. b. Percobaan melempar dua dadu bermata enam yang setimbang. c. Menghitung masa hidup suatu komponen elektronik (dalam menit). Jawab: a.
S {AA, AG, GA, GG} , n(S ) 4
b.
S {(1,1), (1,2), ...(6,6)} , n(S ) 6 2 36
c.
S {x x 0 , x R} , x menyatakan masa hidup
Kejadian : adalah himpunan bagian dari ruang sampel . Biasanya diberi notasi huruf kapital. A,B,C…
S
Kejadian Sederhana : adalah suatu kejadian yang hanya terdiri dari satu titik sampel. Kejadian majemuk : adalah suatu kejadian yang merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana
Contoh 2.2 : Pelemparan tiga mata uang setimbang dengan S ={GGG, GGA, GAG, GAA, AGA, AGG, AAG, AAA}. Kejadian munculnya Gambar pada mata uang pertama, Gambar pada mata uang kedua dan Gambar pada mata uang ketiga adalah kejadian sederhana yang dinotasikan dengan A = {GGG}. Kejadian munculnya Angka pada mata uang pertama adalah kejadian majemuk yang dapat dinotasikan dengan B = {AGG, AAG, AAA, AGA}
Contoh 2.3 : Jika C suatu kejadian jumlah lemparan kedua dadu menghasilkan bilangan genap. Tulis semua elemen dari C !
MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 8
Jawab: Didefinisikan terlebih dahulu kejadian C
S
C : kejadian juml;ah lemparan dua dadu menghasilkan bilangan genap
C {(1,1), (1,3), (1,5),(2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} Contoh 2.4 : Jika D kejadian masa hidup komponen elektronik tidak lebih dari 50 menit. Tulis semua elemen dari D! Jawab : Didefinisikan dahulu D
S
D :kejadian masa hidup komponen tersebut tidak lebih dari 50 menit .
D {x x 50 , x R} , x menyatakan masa hidup
Dua atau lebih kejadian dapat diolah sehingga membentuk kejadian baru. Pengolahan kejadian – kejadian tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Irisan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang memuat semua elemen persekutuan kejadian A dan kejadian B Gabungan dua kejadian (AB) : adalah kejadian yang memuat semua elemen atau anggota A atau B atau keduanya Komplemen suatu kejadian (Ac) : adalah himpunan semua anggota S yang bukan merupakan anggota A Ruang nol ( ruang kosong ) :adalah himpunan bagian dari S yang tidak memuat satu elemenpun. Adapun notasinya
Contoh 2.5 : Berdasar contoh 2.2 , Tulis semua elemen dari Ac dan Bc ¡
Jawab : Ac adalah kejadian melempar tiga mata uang setimbang, dimana dari semua lemparan tidak menghasilkan Gambar. Ac = {AGG, AAG, AAA, AGA, GAG, GAA, GGA} Bc adalah kejadian munculnya Gambar pada mata uang pertama dengan Bc = {GGG, GAG, GAA, GGA} MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 9
Relasi dari kejadian – kejadian akan lebih lebih lebih jelas bila dinyatakan dalam bentuk Diagram Venn Definisi Diagram Venn
merupakan representasi secara grafis
relasi logis di antara kejadian
kejadian.
Diagram Venn dari berbagai relasi kejadian
E
F
E
(a) bagian yang diarsir EF
F
(b) Bagian yang diarsir EF
E E
F
(c)Bagian yang diarsi Ec
(d) E
F
Hukum – hukum operasi dari gabungan, irisan dan komplemen i.
Hukum komutatif :
ii. Hukum distributif : iii. Hukum asosiatif
A BB A , A BB A ( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C A (B C) , ( A B) C A (B C)
iv. Hukum De Morgan c
n n c Ei Ei i 1 i 1 c
n n c Ei Ei i 1 i 1
MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 10
PENDEKATAN PELUANG : Ada tiga pendekatan didalam mempelajari teori peluang yaitu pendekatan klasik , pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subyektif.
1. PENDEKATAN KLASIK Peluang klasik ( peluang apriori) Ukuran suatu peluang P(.) adalah suatu fungsi peluang yaitu fungsi bernilai riil P(A) untuk setiap kejadian A memenuhi beberapa aksioma : i.
Untuk kejadian A , P(A) 0 (tidak negatif)
ii.
Untuk suatu ruang sampel S , P(S) = 1 (unik)
iii.
Untuk kejadian yang mutually exclusive A dan B , AB = AB = berlaku P(AB) = P(A) + P(B)
Jika A1 , A2 ,... An
n
n
i 1
i 1
AI AJ i j , P( Ai ) P( Ai ) Untuk pendekatan
klasik ini nilai peluang suatu kejadian yang akan terjadi sudah dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan.(besar nilai dari peluang didasarkan pemikiran logis tanpa percobaan )
P( A)
n( A) n( S )
A : suatu kejadian.
2. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF Peluang empiris Besar nilai peluang ditentukan melalui percobaan. Besar nilai peluang adalah limit dari frekuensi relatif. A : suatu kejadian
P( A) lim i Pi
mi ni
i : percobaan ke i ni : banyaknya usaha ke i mi :banyaknya muncul kejadian A pada usaha ke i Makin banyak usaha dilakukan makin stabil / akurat frekuensi relatif yang didapat. Gambar 2.1 menunjukkan suatu percobaan melempar mata uang setimbang 20 kali hingga 120 kali. Dengan semakin banyaknya lemparan yang dilakukan , peluang muncul Gambar akan mendekati 0.5 yang berarti nilainya sama dengan pendekatan peluang secara klasik.
MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 11
P(G)
0.5
0
20
40
60
100
120
Banyaknya lemparan Dua pendekatan di atas disebut pendekatan obyektif. Pendekatan berikutnya adalah pendekatan sunyektif. Adapun pengertiannya sebagai berikut :
3. PENDEKATAN SUBYEKTIF Peluang subyektif adalah peluang terjadinya suatu kejadian didasari dengan perasaan atau intuisi / kepercayaan dari seseorang dari fakta-fakta yang ada. Pendekatan ini digunakan jika data frekuensi relatif tidak ada.
Contoh 2.6: Seseorang melempar dadu sebanyak 25 kali. Angka yang muncul pada setiap lemparan dicacat. Jika A suatu kejadian yang muncul angka 3 maka peluang empirisnya adalah perbandingan antara banyaknya angka 3 yang muncul dan jumlah lemparan yang telah dilakukan. Misal banyaknya kemunculan angka 3 sejumlah 8, maka peluang empirisnya adalah : P( A)
8 0.32 25
Contoh 2.7 : Salah satu contoh nilai suatu peluang berdasarkan pendekatan subyektif adalah pengalaman seorang pedagang yang tertarik untuk menjual payung di musim hujan karena mendapatkan keuntungan yang besar.
TEOREMA Jika suatu kejadian A , B S i. AB
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
ii. P( A) 1 P( Ac ) iii. P( ) 0 iv.Jika
A B maka P( A) P( B) MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 12
Bukti : Akan dibuktikan teorema di atas untuk i. Dalam suatu percobaan seringkali dijumpai kejadian – kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan . Kejadian yang demikian ini dikatakan saling terpisah atau mutually exclusive. Definisi Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah atau mutually exclusive atau saling meniadakan bila AB = , artinya A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan
Atau dapat juga memakai definisi berikut : Dua kejadian atau lebih dikatakan saling meniadakan bila tidak lebih dari satu daripadanya yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Contoh : terjadinya gambar dan angka dalam satu lemparan mata uang yang setimbang adalah kejadian yang saling meniadakan karena hanya satu dari keduanya yang dapat muncul dalam suatu lemparan.
Contoh 2.8 : Suatu percobaan pelemparan dadu bermata 6 yang setimbang, A adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil. A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan. Sehingga dapat dikatakan bahwa A dan B adalah dua kejadian yang mutually exclusive. Jawab :
Soal 2.9 : Jika dua buah dadu bersisi enam dilempar secara bebas. Jika sisi yang muncul dijumlahkan , hitung peluang yang muncul berjumlah 10 atau 5 ! Jawab:
MODUL PELUANG PRODI MAT. UB -2014 - 13
