Sains Manajemen
BAB I PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI 1.1 Matematika Ekonomi Aktivitas ekonomi merupakan bagian dari kehidupan manusia ribuan tahun yang lalu. Kata “economics” berasal dari kata Yunani klasik yang artinya
“ household management”.
Sebelumnya pedagang Yunani telah memahami phenomena ekonomi, seperti apabila terjadi kegagalan panen akan menyebabkan harga jagung meningkat di pasar, tetapi kekurangan emas mungkin dapat menurunkan harga jagung. Dalam banyak hal konsep dasar ekonomi hanya diekspresikan dalam bentuk matematika sederhana, seperti bilangan bulat atau pecahan diikuti dengan operasi sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun dengan berkembangnya kehidupan manusia, maka aktivitas ekonomi yang dilakukan semakin kompleks dan makin saling terkait dengan aktivitas lainnya, sehingga membutuhkan pemecahan yang kompleks juga. Secara umum, semakin kompleks suatu masalah, akan semakin kompleks pula alat analisis yang digunakan untuk pemecahannya. Salahsatu alat
yang dianggap mampu mengekspresikan
kekompleksan permasalahan tersebut adalah model matematika. Mentransformasi model ekonomi kedalam model matematika, memungkinkan terjadinya peralihan tingkat kesulitan pemecahan masalah ekonomi ke dalam pemecahan masalah matematika. Untuk itu diperlukan pemahaman tentang beberapa konsep matematika sebagai syarat pemecahan masalah matematika, sehingga perlu dipelajari oleh ekonom dan pelaku bisnis. Hal ini diperlukan agar interpretasi pemecahan matematika dapat dikonversikan kedalam penyelesaian masalah ekonomi dan bisnis, seperti pada
Gambar 1. Tingkat kesulitan masalah matematika bukan disebabkan
oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan model matematik. Memahami matematika ekonomi adalah merupakan cara/pola pikir Ilmu ekonomi dan bisnis dengan analisis yang bersifat kuantitatip .
MASALAH EKONOMI & BISNIS
MODEL MATEMATIK A
MASALAH MATEMATIKA 1
Sains Manajemen
PENYELESAIAN MASALAH EKONOMI
PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA
Gambar 1. Kerangka Model Pemecahan Masalah Ekonomi & Bisnis 1.2 Teori Ekonomi dan Matematika Ekonomi Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif, misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik, jika investasi bertambah maka pendapatan nasional meningkat, jika konsumsi meningkat maka pendapatan nasional meningkat dan hungan lainnya yang berhubungan dengan aktivitas ekonomi sebuah kelompok masyarakat Teori Ekonomi yang terkait dengan phenomena tersebut, tidak memberikan ukuran kekuatan hubungan secara tegas antara variabel ekonomi. Matematika Ekonomi dapat membantu menyederhanakan hubungan tersebut dalam sebuah model yang disebut dengan model matematika, Sebagai contoh secara konsep ekonomi, terdapat gejala bahwa permintaan sebuah komoditi sangat bergantung pada harganya, dengan anggapan bahwa faktor lain yang dapat mempengaruhi permintaan komoditi tersebut dianggap konstan (ceteris paribus). Gejala tersebut dapat diekspresikan sebagai sebuah fungsi matematik
Q = f(P).
Jika hubungan tersebut
diasumsikan linear, maka kemudian dapat diperjelas dengan model linear Q = a + bP, dengan Q adalah kuantitas permintaan komoditi dan P adalah harga satuannya, dan a dan b adalah parameter atau koefisien. Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan model kuantitatif. Menemukan nilai prameter a dan b dalam persamaan matematika Q = a + bP, diperlukan pengetahuan tentang beberapa konsep dalam matematika atau statistika. Dengan demikian konsep matematika atau statistika yang mampu mengekspresikan konsep ekonomi dan permasalahannya serta menemukan pemecahannya disebut sebagai matematika ekonomi atau statistika ekonomi.
2
Sains Manajemen
Selain model linear sederhana tersebut di atas, masih banyak model matematika lainnya yang mampu mengekspresikan phenomena ekonomi maupun bisnis dalam dunia nyata.
Sebagai
contoh, model eksponensial dapat mengekspresikan kasus pertumbuhan penduduk, pertumbuhan pendapatan suatu negara, model multivariate dapat mengungkapkan pengaruh berbagai variabel terhadap permintaan dan penawaran sebuah komoditi, model linear programming, model kalkulus differensial yang banyak diaplikasikan dalam menyelesaikan masalah ekonomi dan bisnis yang menyangkut optimalisas. dan model matematika lainnya dengan berbagai manfaatnya. Untuk itu, pada bagian pendahuluan ini, diperlukan beberapa pemahaman tentang variabel, parameter, dan konstanta sebagai konsep dasar model matematika yang akan digunakan dalam penerapan pemecahan masalah nyata. 1.3 Variabel dan Konstanta Model matematika pada umumnya dinyatakan dengan berbagai simbol dan kombinasi antara variabel dan konstanta. Variabel merupakan unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya, dan dalam suatu rumusan fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan tidak bebas. Variabel bebas yaitu variabel yang dapat menerangkan variabel lainnya (mempengaruhi), Variabel tidak bebas yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel bebas (dipengaruhi). Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel, dan terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta adalah suatu besaran bilangan atau angka yang sifatnya tetap dan tidak berubah untuk suatu kasus dan tidak terkait dengan suatu variabel.
Konstanta atau koefisien yang sifatnya
masih umum disebut sebagai parameter, artinya besarannya tetap untuk suatu kasus, tetapi berubah pada kasus lainnya. Sebagai contoh persamaan: Y = 10 + 2 X, nilai 10 dan 2 adalah konstanta, X adalah variabel bebas dan Y adalah variabel tidak bebas, konstanta 2 dapat disebut sebagai koefisien variabel X. Selanjutnya jika persamaan : Y = a + b X, Dengan a dan b adalah konstanta, dalam hal ini a dan b dapat disebut juga parameter, karena nilainya dapat berbeda untuk mengungkapkan kasus yang sama pada objek yang berbeda.
3
Sains Manajemen
1.4 Model Matematika Model adalah representasi dari objek atau situasi atau kondisi yang sebenarnya. Model dapat disajikan dalam berbagai bentuk, yang salahsatunya adalah model matematika. Model matemtika merepresentasikan suatu masalah dengan sistem yang mencerminkan hubungan antar simbol atau hubungan matematis. Sebagai contoh, permintaan sebuah komoditi P, penerimaan dari hasil penjualan produk Q adalah R, biaya total untuk memproduksi Q adalah C, dan laba total dari penjualan Q ditentukan dengan mendapatkan selisih antara penerimaan R dengan total biaya C dari jumlah Q yang yang terjual, maka model matematika yang dapat dibuat adalah: P
= a + bQ; a dan b konstanta,
(1)
R
= PQ = (a + bQ)Q = aQ +bQ2
C
= c + dQ; c dan d konstanta,
(3)
π
= R – C,
(4)
(2)
Tujuan dari adanya sebuah model matematika adalah, memungkinkan dilakukan proses pengambilan keputusan mengenai situasi nyata dengan menganalisis model tersebut.
Nilai
kesimpulan dan keputusan berdasarkan model tergantung pada seberapa baiknya model matematika dapat merepresentasikan kondisi nyatanya. Dengan pengertian bahwa model yang baik membuat keputusan menjadi tidak bias. Model matematika selalu melibatkan simbol untuk menyatakan suatu besaran bilangan dan angka, maka pemahaman himpunan dan operasinya,
sistem bilangan dan operasinya perlu
dipahami dengan baik, terutama system bilangan nyata. Penjelasan pada bab selanjutnya akan mebantu pembaca untuk memahami himpunan dan sistem bilangan nyata dan operasinya. Selain itu model matematika yang membutuhkan pemahaman tentang konsep linear dan kuadratik, maupun model-model non linear lainnya dapat dipelajari dalam modul ini. Selain itu modul ini akan dilengkapi juga dengan bentuk-bentuk kasus matematika dan kasus ekonomi serta bisnis dalam bentuk soal-jawab, dan beberapa tugas dalam bentuk soal latihan untuk pemahaman lebih mendalam.
4
Sains Manajemen
BAB II HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN NYATA 2.1 Himpunan Suatu himpunan diartikan sebagai kelompok dari obyek, atau unsur yang dirumuskan dengan tegas dan dapat dibedakan. Unsur atau anggota himpunan dapat berupa orang, benda, angka, bilangan, dan lainnya yang sifatnya tangible atau intangible. Notasi atau tanda dari sebuah himpunan adalah kurung kurawal { } dan unsur atau elemen ditulis didalamnya dan dipisahkan dengan tanda koma “,”. Nama suatu himpunan selalu dinyatakan dengan huruf abjad (huruf besar). Contoh : Himpunan mata dadu: D = {1,2,3,4,5,6} Bila x merupakan suatu objek atau unsur, sedangkan A merupakan suatu himpunan (set) dimana x tesebut menjadi anggota dari A. Misalnya terdapat suatu kelompok yang terdiri dari 3
5
Sains Manajemen
mahasiswa merokok, maka di peroleh suatu himpunan yang terdiri dari 3 unsur/elemen. Jika di ambil hanya satu mahasiswa yang merokok, maka terdapat satu himpunan dengan satu elemen. Sedangkan bila di ingin mendapatkan mahasiswa yang tidak merokok darinya, maka di peroleh suatu himpunan dengan tanpa elemen atau terdapat suatu himpunan kosong, yang ditulis Ø. 2.1.1 Penulisan Himpunan Pada umumnya cara menulis sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar (roster method), seluruh anggotanya dalam sebuah daftar. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,3,5,7,9 dapat dinyatakan sebagai:
A={1,3, 5,7, 9} Cara kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan (rule method) yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis: A = {x/0 < x < 10; x є bilangan bulat } Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A ⊂ B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Himpunan kosong selalu merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan, dapat ditulis, φ ⊂ A untuk sebarang himpunan A. Himpunan semesta S adalah himpunan dari seluruh obyek yang diamati dan bersifat tetap. Seluruh himpunan yang dibicarakan merupakan humpunan bagian dari himpunan semesta. 2.1.2 Operasi dalam himpunan Beberapa operasi yang lasim digunakan dalam himpunan seperti berikut: a. Gabungan (union) disimbol “U” A U B = {x / x Є A atau x Є B} Contoh 1: jika himpunan A= { 1, 3, 5, 7 } dan himpunan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka hasil dari A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, karena anggota himpunan
ini ada pada A
atau ada pada B, tidak harus ada pada keduanya.
6
Sains Manajemen
b. Irisan (intersection) disimbol ‘∩‘ A ∩ B = {x / x Є A dan x Є B} Contoh 2: jika himpunan A = {x / 0 ≤ x ≤15; x є bilangan bulat positip} dan himpunan B = {y / 0 < y ≤ 19; y kelipatan 2}, hasil A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, karena anggota himpunan ini ada pada kedua himpunan A dan himpunan B. c. Selisih (Difference) disimbol ‘-‘ A - B = {x / x Є A tetapi x ∉ B} Contoh 3: Pada kasus (b) di atas, maka hasil dari: A – B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, karena anggota himpunan ini hanya ada pada himpunan A tidak terdapat pada himpunan B. B – A = {16,18}, karena anggota himpunan ini hanya ada pada himpunan B dan tidak terdapat pada himpunan A. d. Pelengkap (complement) disimbol (-) Ā = {x / x Є S tetapi x ∉ A} = S – A Contoh 4: Himpunan semesta S = {x / x ≤ 20; x є bilangan asli}; dan himpunan A = {y / 0 < y ≤ 20; y є kelipatan 2}. Ā = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} = S – A. 2.1.3 Beberapa Kaidah Operasi Himpunan Operasi dalam himpunan memeliki beberapa kaidah seperti padaTabel 2.1 berikut ini: Tabel 2.1 Kaidah-Kaidah Operasi dalam Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. (AUB)UC=AU(BUC) b. (A∩ B) ∩C=A∩ (B∩ C) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A
b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
b. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
7
Sains Manajemen
Kaidah Identitas a. A U Ø = A c. A U S = S
b. A ∩ Ø = Ø d. A ∩ S = A
Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = S __ c. ( Ā ) = A
b. A ∩ Ā= Ø _ _ d. S = Ø Ø = S
Kaidah De Morgan _____ _ _ a. (A U B)= A ∩ B
_____ _ _ b. (A ∩ B) = A U B
2.1.4 Diagram Venn Cara mudah untuk menyatakan dan melihat daerah jawaban dari beberapa operasi himpunan adalah dengan menggunakan diagram atau gambar himpunan yang disebut dengan diagram Venn. Berikut ini, daerah yang diarsir merupakan jawaban operasi himpunan yang dimaksud. a. Gabungan (union)
Gambar 2.1 A U B b. Irisan (intersection)
Gambar 2.2 A ∩ B c. Selisih (Difference)
8
Sains Manajemen
Gambar 2.3 A – B
Gambar 2.4 B - A
d. Pelengkap (complement)
Gambar 2.5
Ā
2.1.5 Menentukan banyak Anggota Himpunan Banyak anggota himpunan A ditulis n(A) dan memiliki nilainya yang unik dan diukur dengan bilangan cacah 0, 1, 2, …, Beberapa aturan dalam menghitung banyak anggota himpunan, sebagai berkut: Untuk A, B, C suatu himpunan yang tidak kosong, dan Ø himpunan kosong, berlaku perhitungan banyak anggota himpunan sebagai berikut: 1. n(Ø) = 0 2. n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 3. n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) _
_
9
Sains Manajemen
4. n(S – A) = n(A), n(S – A)= n(A) 5. n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) Contoh 1:
Jika A = {0}, maka n(A) = 1 Jika B = Ø = { }, maka n(B) = 0 Jika C = { ali }, maka n(C) = 1
Contoh 2: Jika himpunan A= { 1, 3, 5, 7 } dan himpunan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka banyak anggota himpunan dari: n(A) = 4; n(B) = 4 n(A U B) = n(A) + n(B) = 8; karena n(A∩B) = 0 n(A – B) = n(A) = 4 n(B – A) = n(B) = 4 Contoh 3: Jika himpunan A = {x / 0 ≤ x ≤15; x є bilangan bulat positip} dan himpunan B = {y / 0 < y ≤ 19; y kelipatan 2}, maka hasil
A∩B={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, dan banyak
anggota himpunan dari: n(A) = 15, n(B) = 9, dan n(A∩B) = 7 n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 15 + 9 – 7 = 17 n(A – B) = n(A) - n(A∩B) = 15 – 7 = 8 n(B – A) = n(B) - n(A∩B) = 9 – 7 = 2 Contoh 4: Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 MHS mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 MHS mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 MHS 10
Sains Manajemen
mengikuti mata kuliah A,B,dan C sebanyak 10 MHS Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah
Gambar 2.6 Diagram Venn Contoh 4. a. Jumlah mahasiswa yang tidak mengikuti semester pendek pada diagram venn adalah semua mahasiswa yang tidak mengambil satu matakuliah sekalipun, yaitu 75 mahasiswa. b. Jumlah mahasiswa yang mengambil hanya satu matakuliah seperti pada diagram venn adalah matakuliah A sebanyak 20 mahasiswa, matakuliah B sebanyak 20 mahasiswa, dan matakuliah C sebanyak 50 mahasiswa, jadi total yang mangambil hanya satu matakuliah adalah 90 mahasiswa. c. Jumlah mahasiswa yang mengambil hanya dua matakuliah pada diagram venn adalah sebagai berikut: - mahasiswa yang mengambil matakuliah A dan B tetapi bukan C
sebanyak
10
mahasiswa - mahasiswa yang mengambil matakuliah A dan C tetapi bukan B sebanyak 5 mahasiswa - mahasiswa yang mengambil matakuliah B dan C tetapi bukan A
sebanyak 10
mahasiswa Jadi total mahasiswa yang mengambil hanya dua matakuliah adalah sebanyak 25 mahasiswa 2.1.4 Himpunan Pasangan Terurut dan Hasil Kali Cartesius
11
Sains Manajemen
Himpunan pasangan terurut (a,b) adalah suatu himpunan dari dua unsur dalam himpunan yang urutan anggotanya tertentu, sehingga a sebagai aggota pertamanya dan b anggota keduanya. Seperti himpunan juara suatu turnamen yang ditulis sebagai pasangan terurut (a,b,c), maka a sebagai juara pertama, b sebagai juara kedua, dan c sebagai juara ketiga. Pada kondisi ini, maka pasanganterurut (a,b) ≠ (b,a). Misal ditinjau himpunan A = {1,2}, himpunan B = {a,b,c}, dan himpunan C adalh himpunan pasangan terurut dengan anggota himpunan A sebagai nomor pasangan pertama dan anggota himpunan B sebagai nomor pasangan kedua, maka diperole himpunan C adalah: C = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)} Himpunan C merupakan perkalian Cartesius himpunan A dan himpunan B dan ditulis : A x B = C = {(a,b) / a є A dan b є B} Jika dilakukan perkalian Cartesius himpunan B dan himpunan A, maka diperoleh: B x A = D = {(b,a) / b є B dan a є A} = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)} Hasil kedua perkalian Cartesius tersebut di atas menunjukan bahwa: A x B ≠ B x A. Memperoleh semua pasangan terurut suatu hasil kali Cartesius, dengan mudah dapat dibuat dalam daftar tabel berikut : Tabel 2.1 Perkalian Cartesiu AxB B
1
2
a
(a,1)
(a,2)
b
(b,1)
(b,2)
c
(c,1)
(c,1)
A
Hasil kali Cartesius RxR dinamakan R2 dan angotanya dapat digambarkan sebagai titik-titik dalam ruang dimensi dua atau dinamakan ruang Euklides dimensi dua. Bentuk perkalian Cartesius dapat dikembangkan untuk perkalian tiga himpunan atau lebih sampai dengan n himpunan. Perkalian Cartesius R x R x R akan menghasilkan titik-titik pada ruang R3 atau ruang Euclides dimensi tiga, misal: Himpunan A = {1,2}, B= {a,b} dan C = {3,5,7}, maka:
12
Sains Manajemen
A x B x C = {(a,b,c) / a є A, b є B, dan c є C}, yang dapat digambarkan dengan diagram pohon berikut, dan anggota himpunan tertulis disebelah kanan diagram:
a 1 b
3
(1,a,3)
5
(1,a,5)
3
(1,b,3)
5
(1,b,5)
3
(2,a,3)
5
(2,a,5)
3
(2,b,3)
5
(2,b,5)
a 2 b
Diagram 2.1 Diagram Pohon Perkalian Cartesius AxBxC 2.2 Bilangan Nyata Bertolak dari konsep tentang himpunan yang telah dijelaskan di atas, maka beberapa pengertian dasar himpunan yang akan digunakan dalam pembahasan bilangan nyata, seperti berikut: Jika a merupakan anggota himpunan A, maka dituliskan a ∈ A dan dibaca “a elemen A”. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan a ∉ A dan dibaca “a bukan elemen A”. Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A ⊂ B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Selalu berlaku bahwa φ ⊂ A untuk sebarang himpunan A. Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting, yaitu: Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1, 2, 3, ...} . Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya x + y ∈ N dan x. y ∈ N untuk setiap x, y ∈ N . Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem
13
Sains Manajemen
bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatip membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi B,
B = {..., − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, ...} Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q, ⎫ ⎧a Q = ⎨ : a, b ∈ B, dan b ≠ 0 ⎬ ⎭ ⎩b
Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah
2 dan π. Bilangan
2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang
sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Sedangkan bilangan π merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya. Berikut ini digambarkan diagram yang menggambarkan system bilangan nyata (real) yang telah di jelaskan di atas:
Bilangan Nyata
Bilangan Rasional
Bilangan Irasional
14
Sains Manajemen
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Negatip
Bilangan Pecahan
Bilangan Nol
Bilangan Bulat Positip
Diagram 2.2 Sistem Bilangan Nyata 2.2.1 Sifat-Sifat Operasi Bilangan Nyata Kombinasi dari dua bilangan nyata x dan y. dapat dilakukan dengan operasi penambahan atau perkalian, sehingga didapatkan suatu bilangan Nyata yang baru. Operasi penambahan diberi lambang “+” sehingga penambahan y dari x ditulis x + y, sedangkan operasi kali diberi lambang “ × ” atau untuk memudahkan diberi lambang titik “.”, sehingga perkalian y terhadap x ditulis x.y (atau cukup ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan nyata dapat dilihat pada tabel 2.2 di bawah ini: Tabel 2. 2 Sifat Operasi Bilangan Nyata Sifat a. Sifat Komutatif a+b=b+a
ab = ba
b. Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c )
(ab)c = a(bc)
c. Sifat Distributif a(b + c) = ab + ac
Contoh
Deskripsi
5+4=4+5
Urutan pada operasi penjumlahan dua bilangan tidak berpengaruh
7·8=8·7
Urutan pada operasi perkalian dua bilangan tidak berpengaruh
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
(5 · 3) · 8 = 5 · (3 · 8)
4(3 + 5) = 4 · 3 + 4 · 5
Pada saat menjumlahkan tiga bilangan, di dapt menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu Pada saat mengkalikan tiga bilangan, di dapat mengkalikan dua bilangan terlebih dahulu Pada saat di mengkalikan
15
Sains Manajemen
(b + c)a = ab + ac
(4 + 7)5 = 5 · 4 + 5 · 7
suatu bilangan dengan jumlah dari dua bilangan hasilnya akan sama dengan mengkalikan bilangan itu dengan masing-masing masing-masing bilangan tersebut dan kemudian dijumlahkan
2.2.2 Pangkat Bilangan Bulat Sebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 · 3 · 3 = 33. a. Notasi pangkat Jika a suatu bilangan Nyata dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah: a n = a1 ×4a 4× 2a ×4⋅ ⋅4⋅ ×3a n kali
Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen. Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan menjumlahkan eksponennya: Contoh 5:
42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4
atau dapat di nyatakan sebagai
a m × a n = (a × a × a × ⋅ ⋅ ⋅ × a) × (a × a × a × ⋅ ⋅ ⋅ × a) = a1 ×4a 4× 2a ×4⋅ ⋅4⋅ ×3a = a m + n 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 m kali
Contoh 6:
n kali
m + n kali
35 . 32 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3).(3 . 3) = (3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3) = 37 = 35 + 2 = 2187
Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa:
a m × a n = a m + n , dimana m dan n bilangan bulat positip. Hal itu akan berlaku untuk m dan n nol dan negatip seperti terlihat di bawah Contoh 7:
30 x 33 = 30+3 = 33; dengan 30 = 1, demikian juga untuk: 16
Sains Manajemen
43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2 ; dengan 4-2 = 1/42 = 1/16.
Contoh 8:
b. Pangkat nol dan negatip Jika a ≠ 0 suatu bilangan nyata dan n sebuah bilangan bulat, maka: a 0 = 1 dan a − n =
3 −4 =
Contoh 9:
1 an
1 1 1 = 4 = 3.3.3.3 3 81
c. Bentuk akar Umumnya yang telah dijelaskan pada pembahasan di atas, yang pembahasan lebih ditekankan pada pangkat dari suatu bilangan dengan nilai bulat. Tetapi pangkat dari suatu bilangan tidak selalu bernilai bulat misalkan 22/3. Simbol seperti berikut “
“ dibaca dengan “akar positip
dari”. Sehingga: a = b setara dengan b2 = a dan b ≥ 0; karena a = b2 ≥ 0, simbol akan berlaku jika a ≥ 0. Misalkan: 3
8 = 2 karena 23 = 8; dan
3
a hanya
9 = 3 karena 32 = 9 dan 3 ≥ 0, selanjutnya
− 8 = −2 karena (-2)3 = -8
d. Akar pangkat n Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu bilangan lain, yaitu: Jika n bilangan bulat positip, maka akar pangkat n dari bilangan nyata a didefinisikan sebagai: n
a = b setara dengan bn = a
e. Pangkat Rasional Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulat dan n > 0, maka: am/n =
( a) n
m
setara dengan a m / n = n a m , Jika n genap maka disyaratkan a ≥ 0
Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga berlaku untuk pangkat rasional. 17
Sains Manajemen
Contoh 10: Sederhanakan pangkat rasional 641/3 Jawab: Dengan menggunakan definisi di atas maka:
641 / 3 = 3 64 = 3 4 3 = 4 3 / 3 = 4 Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka di dapat membuat beberapa aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial, beberapa aturan umum yang dimaksud dapat di singkat dalam tabel yang ada di bawah ini: Tabel 2.3 Beberapa Aturan Perpangkatan Aturan
Deskripsi
a m n n = a m+n
Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan menjumlahkan pangkatnya
am = a m−n n a
Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan mengurangkan eksponennya
(a m ) n = a m×n
Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya
(ab) n = a n b n
Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat tersebut
n
an ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−n
bn = n a
a −m a n = a −n a m
Contoh 11:
Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian pembilang dan penyebut dengan pangkat sama Hasil pangkat negatip dari pembagian sama dengan membalik pembagian dengan pangkat sama Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai pangkat negatip maka di dapat membalik posisinya
⎛ x4 Sederhanakan persamaan ⎜⎜ 2 ⎝y
3
⎞ (x3 y 2 )2 ⎟⎟ ! 3 3 ⎠ ( xy )
18
Sains Manajemen
Jawab: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas di dapat menyelesaikan, yaitu ⎛ x4 ⎜⎜ 2 ⎝y
3
⎞ ( x 3 y 2 ) 2 x 12 x 6 y 4 x 18 y 4 x 15 ⎟⎟ = 6 . 3 9 = 3 15 = 11 3 3 x y y y x y ⎠ ( xy )
Contoh 12: Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan berikut! Jawab: a.
x x x = ( x( x( x 1 / 2 ))1 / 2 )1 / 2 = ( x( xx1 / 2 )1 / 2 )1 / 2 = ( x( x 3 / 2 )1 / 2 )1 / 2
= ( xx 3 / 4 )1 / 2 = ( x 7 / 4 )1 / 2 = x 7 / 8 b. (3 x )( 44 x ) = (3 x 1 / 2 )( 4 x 1 / 4 ) = 12 x 1 / 2 +1 / 4 = 12 x 3 / 4 2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan Sebuah pernyataan persamaan adalah kesamaan dari dua ekspresi aljabar, dapat dinyatakan dalam satu atau lebih variabel: Persamaan
3x – 10 = 22 – 5x 2
(satu variabel derajat satu)
Persamaan
w – 5w = -16
(satu variabel derajat dua)
Persamaan
2 r − 5 s + 8t = 100 (tiga variabel derajat satu) 3
Jawaban dari sebuah persamaan terdiri atas angka atau bilangan, yang ketika disubstitusi untuk nilai variabel dalam persamaan akan menjadi benar. Bilangan atau nilai dari variabel yang membuat persamaan tersebut menjadi benar disebut dengan akar persamaan. a. Identifikasi Sebuah Persamaan: i.
Persamaan yang benar untuk setiap nilai untuk variabel dalam persamaan, seperti : 5(x+y) = 5x + 5y
ii.
Persamaan yang hanya mempunyai nilai tunggal untuk variabel, seperti x+3=5
19
Sains Manajemen
iii.
Persamaan yang merupakan pernyataan yang salah, tidak terdapat satu nilaipun yang memenuhi x=x+5
b. Aturan Manipulasi Persamaan i.
Nilai jawaban persamaan tidak berubah jika kedua sisi persamaan ditambah dengan bilangan yang sama
ii.
Nilai jawaban persamaan tidak berubah jika kedua sisi persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan konstan yang sama ≠ 0
iii.
Kedua sisi persamaan dikuadratkan atau diakarkan atau dilakukan operasi yang sama (logaritma)
2.3.1 Persamaan Linear Sederhana Kebanyakan phenomena nyata dapat direpresentasikan secara matematik, salah satunya adalah hubungan linear, atau paling tidak dapat didekati secara linear. Hal itu dapat terjadi karena beberapa alasan diantaranya: 1) aplikasi konsep linear cukup luas penerapannya terutama dalam bidang ekonomi dan bisnis, 2) hubungan pengaruh dalam model
linear lebih mudah
diinterpretasikan dibanding non linear Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel dapat ditulis sebagai berikut: ax + by = c;
x,y adalah variabel a,b dan c konstanta
Disebut linear, karena pangkat variabel dalam persamaan adalah pangkat satu dan tidak terdapat bentuk perkalian antar variabel dalam persamaan. Suatu persamaan linear ax+by=c mempunyai himpunan jawaban pasangan terurut (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut. Jika S adalah himpunan jawaban dari persamaaqn ax + by = c, maka S dapat ditulis sebagai berikut: S = {(x,y)/ax + by = c}
20
Sains Manajemen
Untuk mendapatkan nilai pasangan terurut (x,y) asumsikan salah satu nilai secara konstan, dan substitusikan ke persamaan untuk mendapatkan pasangan nilai lainnya, sehingga persaamaan memiliki nilai benar. Contoh 13. persamaan 2x + 4y = 16; untuk x = -2; y = 5 untuk y = 0; x = 8 terlihat bahwa hanya satu variabel yang dapat bebas ditentukan nilainya, sehingga persamaan ini disebut memiliki satu derajat kebebasan. Contoh 14: Aplikasi pada bidang produksi: Sebuah perusahaan mempunyai dua jenis produk a dan b, minggu depan perusahaan alokasikan 120 jam kerja untuk menghasilkan dua produk tersebut. Dalam mengejar target, perusahaan mengalokasikan waktu 3 jam untuk produk a dan 2.5 jam untuk produk b. Bagaimana model persamaannya? Jawaban : Jika didefinisikan variabel y = banyak unit produk A yang diproduksi, sedangkan x = banyak unit produk B yang diproduksi, maka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah: 2.5 x + 3 y = 120, Jika produksi produk B sebanyak x = 30 unit, maka produk A akan diproduksi, y = 15 unit 2.3.2 Persamaan Linear Dengan n Variabel a. Bentuk umum Persamaan linear dengan n variabel meliputi x1, x2, x3, …….., xn, mempunyai bentuk umum : a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b, dengan a1 , a2 , a3,…… ,an dan b adalah bilangan konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya nol. Misalnya: Persamaan (1).3x1- 2x2+ 5x3 = 0; a1=3 , a2=-2 , a3=5; b=0 Persamaan (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10; a1=2 , a2=0 , a3=5, a4=2, a5=4, b=10 b. Jawaban persamaan linear dengan n variabel Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan
21
Sains Manajemen
S = {(x1,x2,x3, ….., xn)| a1x1+ a2x2+ a3x3+ ..+ anxn = b} Contoh 15: Diberikan persamaan linear 2x1+ 3x2 - x3+ x4 = 16, a. Berapakah derajat kebebasan persamaan ini ? b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan nol. c. Karakteristik grafik persamaan Suatu persamaan yang mengandung dua variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam dua dimensi. Garis lurus dapat digambarkan melalui dua pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan linear. Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan y yang memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal. Contoh 16: Gambarkan grafik dari persamaan
2x + 4y = 16
Gambar 2.3 Grafik persamaan 2x+4y=16 Contoh 17. Gambarkan grafik dari persamaan 4x-7y = 0
22
Sains Manajemen
Gambar 2.4 Grafik persamaan 4x-7y=0 d. Slope garis lurus Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal , dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya. Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang sumbu x. Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.
y
(+) x
y
(-) x
y
(tidak didefinisikan)
y (0)
x
x
Gambar 2.5 Bentuk Slope Garis Lurus 2.3.3 Persamaan Kuadrat a. Bentuk umum Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan satu variabel x sebagai berikut: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
23
Sains Manajemen
Untuk persamaan 6x2 - 2x + 1 = 0; maka nilai a = 6, b= -2 dan c = 1, untuk persamaan 3x2 - 12 = 0; nilai a = 3, nilai b = 0, dan nilai c = -12, dan untuk persamaan 2x2 - 1 = 5x+9 perlu dibuat dalam bentuk umum 2x2 – 5x – 10 = 0, sehingga nilai a = 2, b = -5 dan c = -10. Jika b = 0, maka persamaan kuadrat menjadi ax2 + c = 0, a ≠ 0, dan disebut sebagai persamaan kuadrat sempurna. b. Jawaban persamaan kuadrat Jawaban persamaan atau akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan memanipulasi bentuk persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk umum di atas dibagi dengan a, maka dapat diperoleh persamaan kuadrat yang identik sebagai berikut: x2 + (b/a) x + c/a = 0, a ≠ 0; dan jika dimanipulasi menjadi menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh persamaan berikut: (x
+
)2
-
+
=0 (x )2
+ =
(x
+
)2 =
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah:
24
Sains Manajemen
x1,2
=
, yang dikenal dengan rumus abc. Nilai b2 – 4ac biasa disebut dengan D atau diskriminan, artinya nilai D dapat menjadi pembeda jawaban atau akar persamaan kuadrat. Dengan demikian sebuah persamaan kuadrat dapat mempunyai kondisi jawaban atau akar persamaan, sebagai berikut: 1. Tidak mempunyai jawaban nyata, jika D < 0 2. Mempunyai satu jawaban nyata, jika D = 0 3. Mempunyai dua jawaban nyata, jika D > 0 Selain dengan menggunakan rumus abc, penyelesaian persamaan kuadrat satu variabel dapat menggunakan prosedur yang sangat umum digunakan, yaitu metode faktorisasi.
Metode
faktorisasi mencoba membuat persamaan kuadrat menjadi perkalian dari dua faktor sama dengan nol, sehingga hasil perkalian tersebut dapat terjadi karena paling sedikit salahsatu faktor sama dengan nol. Contoh 18: Akar persamaan x2 – 4x = 0, difaktor x(x-4) = 0; sehingga x = 0 atau x-4=0, atau x=4. Untuk membedakan kedua akar persamaan disebut x1 = 0, dan x2 = 4 Contoh 19: Akar persamaan x2 – 10x + 24 = 0, difaktorkan (x-4)(x-6)=0; sehingga,
(x-4)=0 ; x1
= 4; atau (x-6)=0 ; x2= 6. 2.3.2 Persamaan Eksponensial i.
Persamaan eksponensial dengan bentuk umum af(x) = ap Untuk menyelesaikan persamaan yang berbentuk af(x) = ap, a>0 dan
a ≠ 1, dapat
digunakan sifat berikut: af(x) = ap <==>f(x) = p Contoh 20: 210-2x = 42 Jawab: 210-2x = 42 ; jadi 10 -2x = 4 2x = 6
25
Sains Manajemen
x=3 ii.
Persamaan eksponen bentuk umum af(x) = ag(x) Persamaan berbentuk af(x) = ag(x) dan a ≠ 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat: af(x) = ag(x) <==>f(x) = g(x) Contoh 21: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 23x-1 = 4x+5 Jawab :
23x-1 = (22)x+5 23x-1 = 22x+10 3x-1 = 2x+10 3x – 2x = 10 +1 x = 11.
iii.
Persamaan Eksponen dengan bentuk umum 2f(x)
ap
+bp
f(x)
+c=0
Terdapat suatu bentuk persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadarat, yaitu dengan mengambil pf(x) = y, maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut: ay2 + by + c = 0; a ≠ 0. Contoh 22: Diketahui x1 dan x2 adalah akar –akar dari persamaan eksponen 28.3x – 9, maka nilai dari Jawab :
32x+1 =
x1 + x2 = …
32x+1 = 28. 3x – 9
3. 32x -28 . 3x + 9 =0 3 .(3x)2 – 28 . 3x + 9 = 0 misal : 3x = y, maka 3 y2 – 28y +9=0
26
Sains Manajemen
(3y – 1)(y – 9) = 0 y = 1/3 atau y = 9 3x = 3-1 atau 3x = 32 x1 = -1 atau x2 = 2 x1 + x2 = 1 Cara lain dengan menggunakan konsep perkalian akar persamaan kuadrat: 3y2-28y+9=0 misalkan akarnya y1 dan y2 dengan y1 = 3x1 dan y2 = 3x2, maka : y1.y2 = c/a 3x1.3x2 = 9/3
3x1 + x 2 = 3 x1 + x2 = 1 iv.
Persamaan eksponen dengan bentuk umum h(x)f(x) = h(x)g(x) Pada persamaan eksponen yang berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x), f(x), g(x) dan h(x) masingmasing adalah suatu fungsi. Persamaan eksponen h(x)f(x) = h(x)g(x) mempunyai arti (terdefinsi) jika dan hanya jika memenuhi empat syarat berikut : 1. f(x) = g(x) 2. h(x) = 1 3. h(x) = 0 <==> f(x) > 0 dan g(x) > 0 4. h(x) = -1 <==> (-1)f(x) = (-1)g(x) Contoh 23: Tentukan penyelesaian dari (2 x − 1)
x2 −4 x
= (2 x − 1)
x −6
Jawab : Kemungkinan – kemungkinan penyelesaian: 1.
2x-1 = 1, maka x =1
2.
2x-1 = -1, maka x = 0, menyebabkan x2 – 4x = 0 dan x-6 = -6 , 0 dan -6 adalah bilangan sama-sama genap, jadi x = 0 adalah penyelesaian.
27
Sains Manajemen
3.
2x – 1 =0 , maka x = ½ , menyebabkan x2 – 4x = ¼ - 2 = -1 ¾ dan x – 6 = 5 ½ . karena nilai x2 – 4x atau x – 6 untuk x = ½ negatip, maka x = ½ bukan penyelesaian.
4.
x2 – 4x = x-6 x2-5x+6 = 0 (x-3)(x-2) = 0 x =3 atau x = 2 Jadi HP = { 0, 1 , 2, 3 }
v. Persamaan eksponen dengan bentuk umum
( f (x))
g(x)
=(h(x))
g(x)
Jawaban persamaan dapat dilakukuan dengan 2 alternatif, yaitu: 1. g(x) = 0 2. f(x) = h(x) Contoh
24:Tentukan
nilai
(x −3x+2) =(x+7) 2
6−x
x
yang
memenuhii
6−x
Jawab: 1. 6 – x = 0, maka x = 6 2. x2 – 3x + 2 = x + 7 x2 -4x – 5 =0 (x-5)(x+1) = 0 x = 5 atau x = -1 Jadi himpunan jawabannya adalah
{-1, 5 , 6 }
28
Sains Manajemen
vi. Persamaan eksponen dengan bentuk umum
Penyelesaian persamaan
a f ( x) = bg ( x)
a f ( x) = b g ( x) ,
dilakukan dengan cara Melakukan operasi logaritma pada kedua sisi, akibatnya f(x) dan g(x) diturunkan dengan menggunakan sifat logaritma. Contoh 25: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 3x = 4x+1 Jawab:
3x = 4x+1 log(3x) = log(4x+1) x log3 = (x+1) log4 x log3 = x log4 + log4 (log3 – log4)x = log4
log4 log4 34 x= = = log4 3 log3 − log4 log(4 ) 2.3.3 Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya terdapat bentuk logaritma dimana numerous ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Bentuk : alogb disebut bentuk logaritma dengan a disebut basis dan b disebut numerous. alogb mempunyai nilai, jika a > 0, a ≠ 1, dan b > 0. Untuk suatu a > 0, a≠1, dan b > 0:
a
logb = c mempunyai arti ac = b,
sehingga
.
a
a
log b
=b 29
Sains Manajemen
a. Sifat – sifat logaritma
a 1.
log b + a log c = a log(b.c)
contoh 26:
a.
2
log 4 + 2 log 16 = 2 log( 4 . 16 ) = 2 log 64 = 6
6
log 4 + 6 log 9 = 6 log 36 = 2
b.
contoh 27:
2
a.
⎛ 36 ⎞ log 36 − 2 log 9 = 2 log ⎜ ⎟ = 2 log 4 = 2 ⎝ 9 ⎠
3 b.
log 90− 3 log 5− 3 log 2= 3 log 9 = 2
d
log b = d log a
2.
a
log b
contoh 28: 3
a.
log 4 2 = log 4 = 2 3 log 2 5
b.
log 2 4 1 log 2 = = 5 log 4 2
30
Sains Manajemen
an 3.
logbm = mn a logb
contoh 29: 32 a.
81
b.
5
log 4= 2 log 2 2 = 6
log 3 = 3 log 31 / 2 =
2 2 5
log 2 =
2 5
13 1 log 3 = 12 12
4. log c. log b = log b a
c
a
Contoh 30: a. 2 log 3. 3 log 8= 2 log 8 = 3 b. 5 log 2.
16
log 25= 5 log 2.
24
log 5 2 =
15 1 1 log 2. 2 log 5 = 5 log 5 = 2 2 2
5. a log1 = 0 Penerapan sifat-sifat logaritma yang telah dijelaskan di atas pada persamaan yang mengandung fungsi f(x) atau g(x), dapat dijelaskan untuk beberapa bentukk berikut: 1.
a
log f(x) = alog g(x)
f(x) = g(x) 2.
a
log f(x) = b
f(x) = ab
31
Sains Manajemen
3.
f(x)
log a = b
(f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (bilangan pokok > 0 ≠ 1 dan numerus > 0 ) Contoh 31: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ! 1.
x
log
= -1/2 x-1/2 = 2-1 (x -1/2) -2 = (2-1)-2 x = 22 = 4 2.
x
log 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
x
log 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6 3 xlog 3 = 6 x
log 3 = 2
x² = 3 x = √3 ; (x>0) 3.
x
log (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
x
log(x+12) - xlog 4³ = -1
x
log ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 (tidak memenuhi); x = 4
32
Sains Manajemen
4. ²log²x - 4 ²logx + 3 = 0 misal : ²log x = p p² - 4p + 3 = 0 (p-3)(p-1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = 1 ²log x = 1 x2 = 2 2.3.2 Pertidaksamaan a. Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan “>” (lebih dari), “<” (kurang dari) ,
“ ≥ ” (lebih besar dari dan sama
dengan” atau “ ≤” (lebih kecil dari dan sama dengan). Tabel 2.4 Penulisan Pertidaksamaan dan Interpretasi Pertidaksamaan
Interpretasi
3<5
3 kurang dari 5
x > 100
Nilai x lebih besar dari 100
0
Nilai y lebih besar dari 0 dan kurang dari 10
b. Sifat-sifat pertidaksamaan 33
Sains Manajemen
1. a < b
b>a
2. Jika a >b maka: i.
a±b>b±c
ii. ac > bc apabila c >0 iii. ac < bc apabila c < 0 iv. a 3 > b 3 3. Jika a > b dan b > c
a>c
4. Jika a > b dan c > d
a+c>b+d
5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0
ac > bd
6. Jika a>b>0 maka : i. a 2 > b 2 ii. <
7.
<0
ab<0: b ≠ 0 8.
>0
ab>0: b ≠ 0
c. Notasi interval terbuka dan tertutup 1) Notasi interval terbuka;
(a,b) = {x / a < x < b}
2) Notasi interval tertutup kiri;
[a,b) = {x/ a ≤ x
3) Notasi interval tertutup kanan;
(a,b] = {x/ a < x ≤ b}
4) Notasi interval tertutup;
[a,b] = {x/ a ≤ x ≤ b}
5) Notasi
interval
tak
berhingga
(-
34
Sains Manajemen
, ) = { x/ x є R} d. Penyelesaian pertidaksamaan Menemukan jawaban pertidaksamaan adalah menentukan daerah yang memenuhi hubungan pertidaksamaan yang dinyatakan. Penulisan himpunan jawaban pertidaksamaan dapat dalam bentuk interval yang telah didefenisikan di atas. Contoh 20: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan 2x + 3 ≥ -5 Jawab: 2x + 3 ≥ -5 2x
≥ -5 -3
x
≥
-4;
jadi
himpunan
jawaban
[-
4, ) Contoh 21: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan -3 < x-2 < 2, Jawab: -3 < x-2 < 2 -3 + 2 < x < 2 + 2 -1 < x < 4, jadi himpunan jawaban (-1,4) Contoh 22: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan (x-2)(x-3) ≤ 0, Jawab: (x-2)(x-3) ≤ 0; memiliki titik nol; x-2 = 0, x=2 atau x-3 = 0, x = 3
-
+ 2
+ 3
Daerah yang memenuhi adalah daerah negatip ‘-‘, jadi himpunan
jawabannya
adalah [2,3] Contoh 23: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan Jawab:
( x − 2) ≤ 0 ( x − 3 )( x + 1 )
( x − 2) ≤ 0 ( x − 3 )( x + 1 ) ; dalam kasus ini walaupun pertidaksamaan
35
Sains Manajemen
Mengandung tanda “=” namun hanya dipenuhi oleh suku pembilang, sedangakan penyebut harus ≠ 0, jadi x ≠ -1, dan x ≠ 3. Perhatikan garis bilangan dengan titik-titik nol dari suku pertidaksamaan berikut: -
-
+ -1
2
+ 3
Daerah negatip (-) pada garis bilangan merupakan daerah jawabannya, sehinggga himpunan
jawabannya
adalah:
(-
, -1) υ [ 2, 3) c. Nilai absolut (mutlak) Nilai absolut adalah sebuah bilangan sebagai jarak, yang harus lebih besar atau sama dengan nol, atau dari nol ke sebuah bilangan nyata pada garis bilangan. Nilai absolut dari bilangan a ditulis |a|, dan didefinisikan sebagai berikut:
|a| = i. Sifat nilai absolut
⎧a jika a > 0 ⎪ ⎨0 jika a = 0 ⎪−a jika a < 0 ⎩
1. | a | ≥ 0 2. | -a | = | a | 3. | a-b | = | b-a | 4. | ab | = | a || b | 5.
a a = b b
ii. Persamaan dengan nilai absolut Menyelesaikan persamaan dalam bentuk nilai absolut perlu kehati-hatian karena harus memperhatikan definisi dan sifat dari nilai absolut. Jika persamaan |x| = a, a ≥ 0 (sifat 1); artinya jika x > 0, maka x = a, namun jika x < 0, maka –x = a, atau x = -a. Biasanya untuk
36
Sains Manajemen
menghindari kedua kondisi tersebut maka persamaan ini dapat dikuadratkan sehingga pengaruh nilai absolut menjadi hilang, karena bilangan kuadrat selalu positip. Jadi persamaan | x | = a, dikuadratkan menjadi : x2 = a2, selanjutnya difaktorkan menjadi: x2 - a2 = 0 (x – a)(x + a) = 0 x1 = a, atau x2 = -a Contoh 24: tentukan jawaban persamaan | x – 2 | = 1. Jawab: Jika persamaan ini dikuadratkan di peroleh: (x-2)2 = 1, atau (x-2)2 – 1 = 0, kemudian difaktorkan menjadi: ((x-2) + 1)((x-2) – 1) = 0 (x – 1)(x – 3) = 0, jadi x1 = 1 atau x2 = 3. Himpunan Jawabannya {1,3} iii. Pertidaksamaan dengan nilai absolut Penyelesaian pertidaksamaan dengan nilai absolut tidak bebeda jauh dengan bentuk persamaan, namun himpunan jawaban dari pertidaksamaan adalah derah interval seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Untuk itu diperlukan penentuan daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan, biasana dibantu dengan garis bilangan.
Contoh 25: tentukan himpunan penyelesaian
Jawab: ; jika dikuadratkan, menghasilkan: (x – 2)2 < 42 (x – 2)2 - 42 < 0 ((x – 2) + 4)((x – 2) - 4) < 0 (x+2)(x-6) = 0; titik nol x1 = -2 atau x2 = 6, daerah yang memenuhi pada garis bilangan berikut adalah:
-
+ -2
+ 6
37
Sains Manajemen
Karena daerah negatip merupakan daerah jawabannya, maka himpunan jawabannya adalah (-2,6) Contoh 26: tentukan himpunan penyelesaian
Jawab: , jika dikuadratkan, menghasilkan: (3x – 1)2 ≤ (x – 2)2 (3x – 1)2 - (x – 2)2 ≤ 0 ((3x – 1) - (x – 2))((3x – 1) + (x – 2)) ≤ 0 (2x + 1)(4x – 3) ≤ 0 titik nol dari pertidaksamaan ini adalah x = -1/2, atau x = 3/4, daerah yang memenuhi pada garis bilangan berikut adalah daerah negatip (-)
-
+ -1/2
+ 3/4
Karena daerah negatip merupakan daerah jawabannya, maka himpunan jawabannya adalah [ -1/2, 3/4] 2.4 Soal-Soal Latihan I. Himpunan 1. Jika himpunan semesta S = { s / 1 ≤ s ≤15, s bilangan nyata }, himpunan 4,5}, himpunan B = { 1, 3, 5, 7,9}, dan dan himpunan
A = { 1, 2, 3,
C = { 2, 4, 6, 8,10,12 }, maka tentukan
himpunan: a)
Komplomen A
b)
A -B
c)
B–A
d)
C–A
e)
A – (BUC) 38
Sains Manajemen
f)
C - (AUB)
2. Jika diketahui A = {x/ x ≤ 27; x є Bilangan Asli} B = {y/ 0 ≤ y ≤18; y є Bilangan Kelipatan tiga} C = {z/ z < 19; z є Bilangan Prima} a) b)
Tentukan himpunan A ∩ B, A ∩ C Tentukan himpunan B,
A dan
B
C Tentukan A
c)
(B
himpunan ∩
C)danA∩(
B
C) Tentkan himpunan A-B dan B-A
d)
3. Gambarlah diagram Venn untuk tiga himpunan A, B, dan C yang tidak saling lepas yang menyatakan: a) (A-B) C, b) c) d)
C? Apakah
(A
Apakah
A
∩
B)
C? (B-A) ∩ C dan bukan himpunan kosong Rumuskan Himpunan A, B, dan C sebagai himpunan dari Bilangan Nyata yang memenuhi a, b, dan C dengan anggota yang terbatas
4. Dari 50 mahasiswa angkatan 2011 jurusan manajemen program manajemen perhotelan akan mengambil 3 matakuliah semester pendek, 20 mahasiswa mengambil matakuliah statistik, 25 matematik, 23 pancasila. 4 mahasiswa mengambil 3 matakuliah tersebut, 4 mengambil statistik dan matematik. 9 mahasiswa hanya mengambil statistik. 10 mahasiswa hanya mengambil matematik. Gambar diagram Venn untuk data ini dan jawablah pertanyaan berikut: a)
Berapa jumlah mahasiswa yang tidak mengambil semester pendek ?
b) Berapa jumlah mahasiswa mengambil matakuliah matematik dan pancasila? c) berapa jumlah mhasiswa yang mengambil hanya 2 matakuliah 5. Buktikan dengan diagram Venn hokum De Morgen
39
Sains Manajemen
_____ a) (A U B) _____ b) (A ∩ B)
_ _ =A∩B _ _ =AUB
II. Sistem Biangan Nyata 1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut: b. (3 x 3 y 4 )(5 x −3 y 2 )
a. a 5 a −4
c. (3a)
e. ( a
⎛ p −1 qr −2 d. ⎜⎜ − 2 −5 ⎝ r qp
3
2/3 5/2
)
a −3 b 5 g. a −6 b 7
f.
⎛ x4 y ⎞ ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎝y ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
−1
3/ 2
⎛ 2a 3 b 2 h. (2ab c )⎜⎜ 2 ⎝ c 3
2
⎞ ⎟⎟ ⎠
−2
2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di bawah ini a. 4 – 6(8 – 9) – 13 b. 3 2 ( 2 − 8 ) c. 23 4 (3 2 + 3 16 ) d. ( 56 + 13 ) −2 3. Sederhanakan penulisan berikut:
a.
2 x − 2 x − 3 x − 4x + 3 5 5 + x −1 x − 3
b.
18 4 6 − + x + 3x x x + 3
c.
x3 − 8 2x − 4
2
40
Sains Manajemen
d. (2 x − 3) 2 e. (2x + 3)(5x+1) 4. Buktikan pertidaksamaan bahwa: a
a+b
III. Persamaan 1. x2 + 3x + 1 = 0 2. 3x2 - 2x + 5 = 0 3. x2 + 10x + 25 = 0 Pertidaksamaan dengan harga mutlak i. ii. iii. iv. v.
BAB III
41
Sains Manajemen
RELASI DAN FUNGSI 3.1 Konsep Ralasi
Sebelum memahami konsep fungsi, terlebih dahulu memahami pengertian relasi. Suatu bentuk relasi dapat disajikan dengan diagram panah, diagram Cartesius atau dengan himpunan terurut, seperti yang telah dijelaskan pada Bab II. Contoh 1: Relasi orang tua dengan anak dapat disajikan dengan diagram panah maupun diagram Cartesius
Sulis
Ahmad
Agus
Romi
Surya
Puji
Puji
Suryo
Gunawan
Sulis
Agus Ahmad Romi Gunawan
Gambar 3.1a Relasi diagram panah Gambar 3.1b Relasi diagram Cartesius a. Pengertian Relasi Relasi dari dua himpunan adalah hubungan atara dua himpunan dengan cara memasangkan setiap angota himpunan asal dengan anggota himpunan tujuan yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan atau pasangan antara setiap anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. b. Sifat-sifat relasi 1. Reflektif; relasi R pada himpunan A dikatakan bersifat reflektif, jika a ε A maka (a,a) ε R atau a R a. 2. Simetris; relasi R dikatakan bersifat simetris,jika (a,b)ε R maka (b,a) ε R atau jika a R b maka b R a. 3. Transitif; relasi R dikatakan bersifat transitif ,jika (a,b)ε R maka (b,c) ε R maka(a,c) ε R atau jika a R b dan b R c maka c R c. 42
Sains Manajemen
4. Ekiuvalen; relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai sifat reflektif,simetrik,dan transitif. Contoh 2: Diketahui himpunan A = {1,2,3} dan himpunan B = {1,4,9}, relasi dari himpunan A ke himpunan B, yaitu menghubungkan setiap anggota himpunan A ke kuadratnya sebagai anggota himpunan B, sehingga mendapatkan himpunan {(1,1),(2,4),(3,9)}, sebagai pasangan terurut. 1
1
2
4
3
9
Gambar 3.2a Diagram Panah Relasi A ke B 3.2 Fungsi
a. Definisi Fungsi Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu proses input menjadi output.
FUNG SI
INPU T
OUTPU T
Gambar 3.3 Fungsi Sebagai Proses Input Menjadi Output
Jika y = x2 + 3x + 1, maka akan ditemukan hubungan input dan output sebagai berikut: Input
Hubungan Output
Jika x =1
y = (1)2 + 3(1) + 1 = 5
Jika x = -1
y = (-1)2 + 3(-1) + 1 = -1
Jika x = 2
y = (2)2 + 3(2) + 1 = 11 43
Sains Manajemen
Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y. Sehingga fungsi merupakan suatu aturan yang menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu nilai output, atau suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang merupakan suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu dan hanya satu anggota B, dan dapat ditulis: f
:
A
B 1. Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunan B disebut codomain fungsi. 2. Bila a A, maka b B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A. ditulis f(a) = b 3. Kumpulan dari image-image a A di B, membentuk range fungsi. range = f(a) b. Notasi fungsi Dalam menulis notasi fungsi, perlu diperhatikan kedudukan antar variabel dalam fungsi tersebut. Pada umumnya kedudukan variabel bebas dinotasikan dengan “x” dan notasi variabel tidak bebas dengan “y”. Penulisan fungsi yang menyatakan hubungan antar dua variabel tersebut di atas adalah : y = f (x), dibaca y adalah fungsi dari x
Walaupun penulisan fungsi pada umumnya seperti yang dinyatakan di atas, namun penggantian notasi variabel (x,y) dan fungsi (f) masih dapat diganti dengan analogi yang tidak berbeda, seperti:
44
Sains Manajemen
u = g(v) atau s = h(t)
Fungsi merupakan hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsurunsur pembentuk fungsi adalah; variabel, koefisien, dan konstante atau parameter. Seperti telah disinggung pada Bab I; Variabel merupakan unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya, dan dalam suatu rumusan fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan tidak bebas. Variabel bebas yaitu variabel yang dapat menerangkan variabel lainnya (mempengaruhi) Variabel tidak bebas yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel bebas (dipengaruhi) Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel, dan terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta adalah suatu besaran bilangan atau angka yang sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel. Konstanta dan koefisien yang sifatnya umum disebut sebagai parameter, artinya besarannya tetap untuk suatu kasus, tetapi berubah pada kasus lainnya Penulisan Fungsi dapat dilakukan secara implisit maupun eksplisit, penulisan fungsi y = f(x), atau x = g(y) merupakan bentuk penulisan fungsi secara eksplisit, karena kedudukan variabel dalam persamaan fungsi sebagai variabel bebas (independent variable) dan variabel tidak bebas (dependent variable) telah jelas. Sedangkan penulisan fungsi f(x,y) = c, merupakan penulisan fungsi secara implisit, yaitu kedudukan variabel sebagai variabel bebas dan tidak bebas dalam persamaan fungsi belum jelas. Contoh 3: Penulisan fungsi Y = 20 – 3X adalah bentuk eksplisit, sedangkan Y+3X = 20 adalah bentuk implisit c. Sifat-sifat fungsi 1.
Fungsi injektif /fungsi satu-satu/fungsi into Fungsi
f:
A
B disebut fungsi injektif,apabila setiap anggota B yang mempunyai pasangan pada A hanya tepat satu saja.Dalam hal ini ,tidak perlu semua anggota B mempunyai pasangan anggota di A.
45
Sains Manajemen
Contoh 4: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c, d}, aturan yang menghasilkan pasangan terurut {(1,c), (2,a), (3,d)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.4 merupakan fungsi injektif. f: A
B
1
a
2
b
3
c d
Gambar 3.4 Fungsi Injektif 2.
Fungsi surjektif /fungsi onto/fungsi pada Fungsi f: A B disebut fungsi onto,apabila setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A.
Contoh 5: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b}, aturan yang menghasilkan pasangan terurut {(1,b), (2,a), (3,b)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.5 merupakan fungsi surjektif. f: A 1
B a
2 3
b
Gambar 3.5 Fungsi Surjektif 3.
Fungsi bijektif/fungsi kerespondensi satu-satu Suatu
fungsi
f:
A
B disebut fungsi bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi dalam korespondensi satusatu, yaitu setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu dan hanya
46
Sains Manajemen
satu anggota himpunan B, dan setiap anggota himpunan B juga dipasangkan dengan tepat satu dan hanya satu dalam himpunan A, sehingga hubungan dari B ke A juga sebagai sebuah fungsi. Contoh 6: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}, aturan yang menghasilkan pasangan terurut {(1,c), (2,a), (3,b)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.6 merupakan fungsi bijektif. f: A
B
1
a
2
b
3
c
Gambar 3.5 Fungsi Bijektif d. Fungsi Invers Misalkan aturan fungsi f: A → B adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu dan hanya satu elemen pada himpunan A. Fungsi yang mempunyai invers disebut invertible. Invers dari fungsi f dinyatakan dengan f -1 dengan penulisan: f
-1
: B → A, sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika f adalah fungsi bijektif yang dapat ditulis: y = f(x) maka selalu dapat ditemukan x = f -1 (y).
47
Sains Manajemen
Gambar 3.6 Hubungan Fungsi dengan Inversnya Contoh 7: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a) = 2, f(b) = 3 dan f(c) = 1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. Jawab: fungsi f bijeksi karena setiap anggota himpunan A memiliki pasangan 1-1 dengan anggota himpunan B, dan sebaliknya setiap anggota himpunan B memiliki pasangan 1-1 dengan anggota himpunan A, sehingga fungsi dikatakan invertible, dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a. Contoh 8: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel. Jawab: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka fungsi dikatakan tidak invertible, sehingga fungsi tidak memiliki invers. e. Fungsi komposisi Misalkan g: A Æ B dan f: B Æ C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A Æ C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).
Gambar 3.7 Fungsi Komposisi SOAL 1. Jelaskan apa yang disebut dengan relasi ! 2. Nyatakan relasi berikut dalam pasangan berurut . a. Relasi “kelipatan dari “ dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B={1,2,4,6,8,9,10,14,16}
48
Sains Manajemen
b. Relasi “kurang dari” dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {1,2,3,4,5} 3. Manakah dari diagram panah berikut ini yang merupakan pemetaan ? a.
a b
6
c
C
1 b.
a
2
b
3
c
1
a
1 d.
a
2
b
2
b
3
c
c
4. Diketahui f(x)=8x+4.Tentukan a. f(-3)
c.f(x) jika x=6
b. f(4)
d.x jika f(x)=26
5. tentukan notasi fungsi dari diagram panah berikut ini. a.
-2
1
-1
b 0
1
2
1
3
0
3
2
5
1
4
3
7
BAB IV FUNGSI MATEMATIKA 4.1 Fungsi Aljabar
Terdapat beberapa jenis fungsi yang umumnya digunakan dalam penerapan dunia nyata. Fungsi yang dimaksud digolongkan dalam fungsi aljabar, dan fungsi non aljabar (transenden). Fungsi tersebut juga digunakan pada kasus nyata bidang ekonomi dan bisnis. Penggolongan fungsi matematik dapat disajikan pada Diagram 4.1 berikut.
49
Sains Manajemen
Diagram 4.1 Penggolongan Fungsi Matematik Tidak semua jenis fungsi pada Diagram 4.1 di atas akan dibahas dalam modul ini. Beberapa jenis fungsi yang akan berguna dalam pemodelan dan pemecahan masalah ekonomi dan bisnis akan dibahas lebih lanjut. 4.1.1 Fungsi Linear
Fungsi linear atau fungsi garis lurus merupakan sebuah hubungan fungsional antar variabel tidak bebas y dengan variabel bebas x yang berpangkat satu. Fungsi linear dengan hanya menggunakan satu variabel x disebut sebagai fungsi linear sederhana. Jika menggunakan berbagai variabel bebas x (lebih dari satu variabel), maka disebut fungsi linear berganda. a. Fungsi linear sederhana Seperti telah dijelaskan di atas fungsi linear sederhana menggunakan satu variabel bebas x di dalam model. Grafik dari fungsi ini berbentuk garis lurus, yang dapat digambarkan pada ruang dua dimensi. Model umum fungsi linear sederhana: Y = a + b X; a, b, konstanta (parameter) X adalah variabel bebas; Y adalah variabel tidak bebas Untuk menemukan nilai a dan b pada persamaan linear di atas dapat dilakukan dengan beberapa cara, namun dalam modul ini diberikan dua cara.
50
Sains Manajemen
1.
Eliminasi dan substitusi
Cara ini membutuhkan dua persamaan yang mengandung dua nilai yang tidak diketahui, yaitu a dan b, untuk itu dibutuhkan dua pasangan nilai (xi,yj), yang akan disubstitusi nilainya kedalam persamaan Y = a + bX, sehingga terbentuk sistem persamaan dengan dua persamaan dalam a dan b. Nilai a dan b yang diperoleh dari sistem persamaan ini akan menghasilkan persamaan linear sederhana yang dicari. Contoh 1; terdapat hubungan fungsional antara x dan y dengan kondisi x = 4, y = 12, dan x = 8, y = 20, jika hubungan antara x dan y linear, tentukan persamaan Y = a + b X Jawab: Untuk X = 4 ; Y = 12; menghasilkan persamaan 12 = a + 4b Untuk X = 8 ; Y = 20; menghasilkan persamaan 20 = a + 8b -
(1) (2)
-8 = -4b b = 2 substitusi b = 2 pada persamaan (1) diperoleh ; a = 12 – 8 = 4 persamaan fungsi linear tersebut adalah : Y = 4 + 2X 2. Geometri garis lurus Seperti telah dijelaskan di atas bahwa grafik dari fungsi linear swderhana adalah garis lurus, sehingga pendekatan persamaan fungsi dapat dilakukan dengan geometri garis lurus tersebut. Perhatikan
Gambar
4.1
di
Y
bawah
ini:
y = a + bx
y2 y
∆y= y2–y1
y1
tgβ =
β ∆x =x2-x1
y-y1
juga tgβ =
x-x1 x1
x
x2
∆y y 2 − y1 = .......(1) ∆x x 2 − x1 y − y1 .........(2) x − x1
X 51
Sains Manajemen
Gambar 4.1 Bentuk Geometris Garis Lurus Terlihat bahwa garis lurus y = a + bx melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y1 ke y2 ditulis sebagai ∆y = y2-y1, dan perubahan x1 ke x2 ditulis sebagai ∆x = x2–x1, maka terlihat ;
sebagai
bahwa persamaan
(1),
tg
β
dan
selanjutnya
=
∆y/∆x
perhatikan
juga
= tg
β
=
; sebagai persamaan (2), dan tg β merupakan slope dari garis lurus Y = a + bx.. Dari persamaan (1) dan persamaan (2), dapat ditemukan formula persamaan garis lurus Y = a + bX, sebagai berikut:
y − y1 y 2 − y1
x − x1 x 2 − x1
=
Contoh 2; tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20).
Jawab:
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x 2 − x1
y − 12 20 − 12
=
x−4 8−4
4 (y – 12) = 8(x-4) y = 2x + 4 Jika tg β atau slope garis lurus
y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan persamaan garis lurus
melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut: y – y1 = b(x – x1)
52
Sains Manajemen
Contoh 3: persamaan linear sederhana y = a + bx, mempunyai sifat sebagai berikut: apabila x berubah satu satuan x maka y akan berubah 1/2 satuan y, dan untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear tersebut. Jawab: Dalam persamaan linear sederhana y = a + bx, mempunyai sifat, apabila x berubah satu satuan x, maka y akan berubah b satuan y. Sehingga pada kasus ini nilai ∆x = 1, ∆y = ½ , jadi b = ∆y/∆x = ½ , sehingga persamaanya menjadi: y - 5 =½ (x - 2) y = ½ x -1 + 5 y=½x+4 Jika terdapat dua garis lurus: y1 = a1 + b1X dan y2 = a2 + b2X maka dapat terjadi: y1 sejajar y2 pada saat b1 = b2, y1 berpotongan y2 jika b1 ≠ b2, dan khusus berpotongan tegak lurus b1 = -1/b2.
Y
Y2 = a2 + b2X Y1 = a1 + b1X 2
Y1 // Y2
a2 1
a1
b1= b2 atau tg α1 = tg α2 X
Gambar 4.2 Grafik Dua Garis Lurus Sejajar
53
Sains Manajemen
Y
Y2 = a2 + b2X
Y1
a1
Y2
b1 = -1/ b2
a2 Y1 = a1 + b1X X Gambar 4.3 Grafik Dua Garis Lurus Berpotongan Tegak Lurus Menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan kedua persamaan y1 dan y2, yaitu (x,y) yang memenuhi persamaan y1 = y2. Contoh 4: tentukan titik potong antara garis lurus y1 = 2x - 10, dan y2 = 2 – x dan gambar grafik fungsinya.
Jawab: titik potong sb-x dan sb-y persamaan garis lurus y1 = 2x – 10, titik potong sb-x; pada saat y = 0, jadi 2x – 10 = 0, x = 5, atau (5,0) Titik potong sb-y; pada saat x = 0, y = -10 atau (0,-10). Titik potong sb-x dan sb-y persamaan garis lurus y2 = 2 - x, titik potong sb-x; pada saat y = 0, jadi 2 - x = 0, x = 2, atau (2,0), titik potong sb-y; pada saat x = 0, y = 2 atau (0,2). Titik potong kedua garis tersebut adalah: y1 = y2 ; 2x - 10 = 2 - x 3x = 12 x= 4 y = 2 – 4 = -2 Jadi titik potong (4,-2) 54
Sains Manajemen
Y Y = 2x - 10
2 0
2
4
X
5
-2
Y=2-x
-10
Gambar 4.4 Garafik Perpotongan Garis Lurus y1 = 2x - 10, dan y2 = 2 – x
4.1.2 Fungsi Kuadrat
Fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x)= ax2 + bx2 + c di mana a, b, c
R dan a ≠ 0
didefinisikan sebagai fungsi kuadrat Bentuk umumnya untuk y = f(x) adalah : Y = aX2 + bX + c ; a, b. dan c adalah konstanta dan a≠0
Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y
55
Sains Manajemen
Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya Nilai Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat bergantung pada nilai koefisien X2, yaitu nilai a≠0 pada persamaan y = ax2 + bx + c.
jika a > 0, maka ekstrem Minimum jika a < 0, maka ekstrem Maksimum
56
Sains Manajemen
Menggambar nilai fungsi ekstrem dengan menggunakan konsep kuadrat sempurna y = ax2 + c, pada gambar di bawah terlihat bahwa nilai ekstrem fungsi tidak berubah selalu sama dengan c, jika yang terjadi perubahan bentuk kuadrat sempurna dengan nilai a dan c tidak berubah. Perubahan yang terjadi adalah pergeseran sumbu simetri, sedangkan bentuk dan luas parabola tidak berubah.
MENENTUKAN NILAI EKSTREM DENGAN FORMULA KUADRAT SEMPURNA
Perhatikan persamaan kuadra sempurna Y = ax2 + c; nilai x2>0, untuk setiap nilai x Jika a > 0, maka aX2 > 0, sehingga untuk : c > 0, ax2 + c > c dan untuk c < 0, ax2 + c > c
57
Sains Manajemen
dan pada saat x = 0, Y = ax2 + c adalah
Y = 0 + c atau Y = c, merupakan nilai terkecil,
sehingga nilai Y(minimum) = c untuk nilai x = 0.
Jika Jika a < 0, maka aX2 < 0, sehingga untuk :nilai c > 0, aX2 + c < c , sedangkan untuk nilai c < 0, aX2 + c < c, dan pada saat nilai x = 0, Y = ax2+ c = 0 + c atau Y = c, merupakan nilai terbesar .
Sehingga nilai Y(maksimum) = c untuk nilai x = 0.
Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, dapat dilihat bahwa; jika Y = au2+c, akan memberikan kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk u= 0, dan jika a<0, maka y(maksimum) = c untuk u = 0. Apabila u=x+b, maka, bentuk di atas menjadi Y = a(x+b)2+ c, artinya Ymin = c untuk x = -b, jika a>0, atau Ymax = c untuk x = -b; jika a< 0. Seperti ditunjukan pada gambar ( ) dan gambar ( )
2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)
58
Sains Manajemen
Perhatikan model fungsi kuadrat:
Y = aX2 + bX + c, a≠0; Model ini dapat dimanipulasi
menjadi :
Y = a(X
+
2
Y = a(X +
Jadi untuk model fungsi kuadrat:
X )+ c
b a
) −
Y = aX2+bX+c, 2 a≠0; atau b b2
Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4Da
2a
4a
Y = a(X +
) − (
Y = a(X +
) − (
+ c − c)
2 b b2 nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a dengan2Da= b2-4ac, disebut4Diskriminan a b Jika a > 0, Y(minimum)=- D/4a untuk X=-b/2a 2a
2
b 2 − 4 ac 4a
Jika a < 0, Y(maksimum)=- D/4a untuk X=-b/2a
D = b 2 − 4 ac , maka
Y = a(X +
b 2a
)2 −
Tentukan Ekstrem fungsi dan Gambar grafiknya
)
:
D 4a
1. Y = 4 – 2x + x2 2. Y = 10 + 6x -3x2 3. Y = ½ x2 + x + 2
Penyelesayan . Y = x2 -2x + 4 Y = (x-1)2+3 Y(min) = 3 untuk x = 1 Titik potong sumbu-y di titik (0,4)
59
Sains Manajemen
Jawab . Y = 10 + 6x -3x2 Y = -3(x-2)2+13 Y(max) = 13 untuk x = 2 Titik potong sumbu-y di titik (0,10)
60
Sains Manajemen
1. Y = ½ x2 + x + 2
Y = ½(x2+2x) +2 Y = ½(x+1)2 +3/2 Y = ½(x+1)2 +3/2 Y(min) = 3/2 untuk x = -1 Titik potong terhadap sb y; di titik (0, =2)
61
Sains Manajemen
Jika parobola y1=ax2 + bx +c, a>0, dan garis lurus y2= px + q, p<0, yang saling
berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut :
Jika parabola y1=ax2+bx+c, a<0 dan garis lurus, y2 = px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut:
62
Sains Manajemen
Jika parabola y1=ax2+bx+c, a>0 dan parabola y2 = px2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut:
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
63
Sains Manajemen
•
Fungsi eksponen mempunyai hubungan yang erat, karena merupakan kebalikan satu sama lainnya
•
Fungsi eksponen berbeda dengan fungsi pangkat
•
Fungsi pangkat adalah fungsi yang variabelnya dipangkatkan dengan bilangan konstan
•
Fungsi eksponen adalah konstannya yang dipangkatkan dengan variabel
•
Y = x1/2 adalah fungsi pangkat
•
Y = 2x adalah fungsi eksponen
•
Fungsi eksponen mempunyai dua basis eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan 0
1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828…..
•
Y = ax dengan a>1, akan mempunyai perilaku sebagai berikut :
•
Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x menuju tak berhingga positip, akan mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip
•
Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN •
Grafik dari fungsi Y = 2x
64
Sains Manajemen
KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL •
Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku :
1. bmbn = bm+n 2. bm/bn = bm-n 3. (bm)n = bmn 4. ambm = (ab)m 5. bm/n = (bm)1/n 6. am = an , maka m = n FUNGSI LOGARITMA
65
Sains Manajemen
•
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan bilangan tertentu yang diinginkan.
•
Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1
•
Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e
•
Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101= 10
•
Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi penulisan ln e = 1, artinya elog e = 1
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
•
Grafik fungsi logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik fungsi logaritma Y = log X hanya berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range ~ 0
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA • Grafik y = log x
y = logx
y
1
x
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
66
Sains Manajemen
•
Untuk a dan b bilangan positip
•
log ab = log a + log b
•
log a/b = log a – log b
•
log ab = b log a
•
log 1 = 0
•
log a = log b maka a = b
•
Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan basis e atau (ln), misal ln e = 1
log 10 = 1
67
