BAB I PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang Geoid adalah bidang ekipotensial gayaberat bumi yang berimpit dengan muka laut rerata (mean sea level / msl) yang tidak terganggu (Vanicek dan Christou, 1994). Geoid dapat digunakan untuk aplikasi di bidang ilmiah maupun praktis. Aplikasi geoid di bidang ilmiah diantaranya untuk penentuan datum tinggi, sedangkan di bidang praktis diantaranya untuk memperoleh tinggi ortometrik dari tinggi geometrik hasil pengukuran GPS (Global Positioning System). Penentuan tinggi ortometrik (H) dari tinggi geometrik (h) dapat dilakukan apabila diketahui data tinggi/undulasi geoid (N). Undulasi geoid merupakan jarak vertikal antara bidang geoid dan elipsoid (Bajracharya, 2003). Hubungan geometris antara tinggi ortometik, tinggi geometrik dan undulasi dapat dilihat pada Gambar I.1.
Gambar I.1. Hubungan geometrik antara topografi, geoid dan ellipsoid (Barthelmes, 2009) Ada beberapa metode dalam penentuan model geoid, diantaranya yaitu metode geometrik dan gravimetrik (Risdianto, 2014). Metode geometrik dilakukan dengan menggunakan data GPS-levelling, yaitu selisih antara tinggi elipsoid dari pengukuran GPS dengan tinggi ortometrik dari pengukuran sipat datar (Hofmann dan Moritz, 2006). Metode gravimetrik, yaitu penentuan model geoid dengan menggunakan data gayaberat.
1
2
Penentuan geoid lokal secara gravimetrik teliti membutuhkan data yang meliputi tiga komponen, yaitu komponen gelombang panjang (long-wavelength), komponen gelombang menengah (medium-wavelength) dan komponen gelombang pendek (short-wavelength). Komponen gelombang panjang bersumber dari, data Model Geopotensial Global (MGG). Komponen gelombang menengah, bersumber dari data gayaberat teristris. Komponen gelombang pendek bersumber dari, data DTM (Digital Terrain Model). Dari ketiga komponen tersebut data MGG memberikan kontribusi nilai dan kesalahan yang paling signifikan. Sedangkan dari dua komponen yang lain relatif kecil (Schwartz et al, dalam Vanicek dan Christou,1994). Data MGG yang digunakan dalam pemodelan geoid dipengaruhi oleh penggunaan nilai degree dari MGG tersebut. Penggunaan nilai degree 120 MGG EGM96 pada pemodelan geoid kota semarang dengan jarak distribusi antar titik gayaberat sekitar 1,9 kilometer, memberikan kontribusi ketelitian yang lebih baik dibandingkan penggunaan degree maksimal MGG EGM96 dan EGM2008 (Rastawira, 2013). Penggunaan degree maksimum MGG EGM2008, pada wilayah yang memiliki data gayaberat yang sangat renggang memberikan kontribusi yang baik pada ketelitian model geoid lokal yang terbentuk. Hal ini disebabkan karena kekosongan data akan tertutupi dengan nilai gayaberat yang didapat dari kontribusi gelombang panjang (Prima, 2010). Berdasarkan pemaparan diatas, dalam penelitian ini telah dilakukan evaluasi pengaruh penggunaan variasi degree MGG sebagai komponen gelombang panjang, terhadap ketelitian geoid lokal untuk wilayah cukup luas dengan distribusi gayaberat terestris relatif merata dengan studi kasus provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY).
I.2. Identifikasi Masalah Dalam penelitian ini masalah yang dapat diidentifikasi adalah belum diketahui nilai degree EGM2008 yang memberikan kontribusi optimal pada ketelitian model geoid lokal wilayah cukup luas dengan distibusi gayaberat terestris relatif merata.
3
I.3. Pertanyaan Penelitian Pertanyaan yang bisa disusun dari penelitian ini adalah : 1. Bagaimana karakteristik data anomali free air yang tersebar di provinsi DIY? 2. Bagaimana model geoid lokal berdasarkan variasi degree MGG dengan studi kasus provinsi DIY? 3. Berapa nilai degree yang paling optimal untuk geoid lokal dengan studi kasus provinsi DIY? I.4. Cakupan Penelitian Cakupan dalam penelitian ini ditetapkan sebagai berikut: Secara geografis Provinsi Daerah 1. Daerah penelitian meliputi provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) dengan koordinat 1100 0„ BT – 1100 55„ BT dan 7031‟ LS – 80 14‟ LS. 2. Variasi degree yang digunakan adalah degree 360, 540, 720, 1080, 1440, 1800, 2160 dan 2190. 3. Nilai undulasi geometrik dari GPS-Sipat Datar diasumsikan sebagai nilai geoid yang benar dan tidak terdapat kesalahan dalam penghitungannya selanjutnya digunakan sebagai kontrol pemodelan geoid gravimetrik. 4. Metode hitungan geoid gravimetrik provinsi DIY dilakukan menggunakan 2D FFT (Fast Fourier Transform) dengan pendekatan bidang spheris.
I.5. Tujuan Penelitian Tujuan atau produk akhir dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui karakteristik data anomali free air yang tersebar di provinsi DIY 2. Menentukan model geoid lokal berdasarkan variasi degree MGG pada studi kasus provinsi DIY 3. Menentukan nilai degree yang paling optimal untuk geoid lokal pada studi kasus provinsi DIY
4
I.6. Manfaat Penelitian Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut: 1. Mengetahui nilai degree yang tepat dalam pemodelan geoid lokal yang akan membantu untuk memperoleh ketelitian model geoid yang optimal. 2. Dapat membantu praktisi dalam proses transformasi tinggi geometrik ke tinggi ortometrik. 3. Menyediakan model geoid lokal dari berbagai variasi degree MGG EGM2008 pada wilayah provinsi DIY yang bisa dimanfaatkan untuk aplikasi geodesi.
I.7. Tinjauan Pustaka Sideris, dkk., pada tahun 1997 melakukan penelitian terhadap penghitungan defleksi vertikal menggunakan metode FFT (Fast Fourier Transform) dengan pendekatan bidang datar dan bola (spheris). Dalam penelitian tersebut dilakukan dengan cara membandingkan penghitungan metode 1D FFT pendekatan spheris, 2D FFT pendekatan bidang datar, dan 2D FFT pendekatan bidang spheris. Dalam penelitiannya diperoleh bahwa metode 1D FFT dengan pedekatan bidang spheris memiliki keunggulan hasil penghitungan defleksi vertikal memiliki tingkat akurasi yang tinggi, namun kelemahannya dalam proses data membutuhkan waktu yang lama dibandingkan metode FFT lain. Penghitungan dengan Metode 2D FFT dengan pendekatan bidang datar memiliki keunggulan dalam proses data yang sangat cepat sehingga tidak membutuhkan waktu lama, namun kelemahannya tingkat presisi penghitungan yang dihasilkan rendah. Sedangkan penghitungan dengan metode 2D FFT pendekatan bidang spheris memiliki tingkat akurasi yang sangat tinggi dan kecepatan proses data yang tinggi. Sehingga dengan penelitian ini diperoleh hasil bahwa penghitungan dengan metode 2D FFT pendekatan spheris lebih tepat dan cepat bila dibandingkan dengan metode lain. Fitri (2008) melakukan penelitian tentang evaluasi model geoid global terbaik untuk wilayah sumatera, jawa, sulawesi selatan dan sulawesi tenggara. Dalam penelitian tersebut model geopotensial global yang digunakan meliputi EGM96, EIGEN-CG03C, EIGEN-GL04C, ITG-GRACE03, AIUB-CHAMPOIS, GGM02C
5
DAN EGM2008. Evaluasi model geoid global dilakukan dengan membandingkan nilai undulasi global dengan undulasi geometrik secara absolut maupun relatif. Hasil dari penelitian tersebut didapatkan model geoid global terbaik untuk semua wilayah adalah EGM2008. Prima (2010) melakukan penelitian tentang penentuan model geoid jawa dengan variasi degree EGM2008. Metode yang digunakan dalam pemodelan adalah 2D FFT (Two Dimension Fast Fourier Transform) dengan pendekatan spheris, yang diterapkan dengan teknik remove-store. Variasi degree yang digunakan, yaitu 360, 720, 1080, 1440, 1800, 2160 dan 2190. Kemudian model geoid yang dihasilkan dari masing-masing degree yang digunakan untuk mencari korelasi antara kenaikan nilai degree dan sebaran data gaya berat terhadap ketelitian model geoid. Hasil ketelitian menunjukkan bahwa ketelitian maksimum geoid jawa adalah 0,596 m yang diperoleh dari degree 2190. Pada penelitian ini, penentuan geoid lokal berdasarkan variasi degree MGG dengan studi kasus provinsi DIY menggunakan data gayaberat teristris sebagai komponen gelombang menengah dengan interval ± 1,5 kilometer. Sebagai komponen gelombang panjang yang digunakan adalah model geoid global EGM2008, sedangkan komponen gelombang pendek menggunakan data SRTM30plus. Proses penghitungan geoid gravimetrik menggunakan metode 2D FFT dengan pendekatan bidang spheris. I.8. Landasan Teori
I.8.1. Sistem Tinggi Tinggi suatu obyek di atas permukaan bumi ditentukan dari suatu bidang referensi (Basuki, 2006). Bidang referensi yang biasa digunakan adalah bidang elipsoid dan bidang geoid (Anam, 2005). Bidang geoid merupakan bidang ekipotensial gayaberat bumi yang berimpit dengan muka laut rerata (mean sea level / msl) yang tidak terganggu (Vanicek dan Christou, 1993). Bidang geoid digunakan untuk keperluan praktis di lapangan. Tinggi diukur sepanjang garis arah gayaberat (unting-unting) yang melalui titik yang bersangkutan (abidin, 2000). Tinggi yang bereferensi terhadap bidang geoid disebut dengan tinggi ortometrik (H), sedangkan
6
tinggi yang bereferensi terhadap bidang elipsoid disebut tinggi geometrik (h) (Anam, 2005). Gambar I.1. menunjukkkan hubungan dua buah sistem tinggi yaitu tinggi ortometrik (H) dan tinggi geometrik (h). Beda jarak antara dua sistem tinggi tersebut adalah nilai undulasi (N). Nilai undulasi merupakan jarak vertikal antara bidang geoid dan elipsoid atau hasil pengurangan antara tinggi geometrik (h) dengan tinggi ortometrik (H), dapat dituliskan seperti persamaan 1.1 (Barthelmes, 2009): N = h –H ………………………………………………………………..... (I.1) I.8.2. Gayaberat Hukum gravitasi newton menyatakan setiap benda yang mempunyai massa yang ada di alam semesta akan saling tarik menarik satu sama lainnya dengan gaya yang besarnya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya. Jika massa bumi ME , unit massa mo , dan K konstanta gravitasi yang besarnya 6,6742 x 10-11 m3 kg-1s-2 , dan r jarak antara ME dan mo , maka besar gaya gravitasi bumi ditulis sebagai berikut (modifikasi Hofmann dan Moritz, 2006) : 𝐺=𝐾
𝑀𝐸 𝑚 𝑜 𝑟2
...………………….……………………………..................... (I.2)
Satuan internasional untuk gaya gravitasi adalah newton (Hofmann dan Moritz, 2006). Gayaberat adalah resultan antara gaya gravitasi dan gaya sentrifugal yang terjadi pada suatu titik (Heiskanen and Moritz, 1967). Satuan gayaberat dinyatakan dengan cm/detik2 = 1 gal, untuk harga yang biasanya dijumpai dalam pengukuran digunakan satuan miligal (1 mgal), 1 mgal = 10 -3 Gal (Siagian, 1992). Gambar I.2 menunjukkan garis arah gaya berat (g) searah dengan unting-unting (plumbline), garis arah gravitasi (G) menuju pusat massa bumi dan garis arah gaya sentrifugal (f) tegak lurus dengan sumbu rotasi bumi.
7
Gambar I.2. Gaya sentrifugal (modifikasi Hofmann dan Moritz, 2006).
Keterangan Gambar I.2. : 1. Elipsoid. 2. Meridian Greenwich. 3. Bidang ekuator. Gaya sentrifugal pada unit massa didefinisikan (Hofmann dan Moritz, 2006) : f = ω2 p ………………………….…………………………….................. (I.3) ω adalah kecepatan sudut rotasi bumi (rad/s) dan p = (x2 + y2)1/2 …………..........….…………………………….................. (I.4) adalah jarak dari sumbu rotasi bumi. Vektor f memiliki arah vektor p = [x, y, 0]........…………………….……………………………................ (I.5)
I.8.3. Anomali Gayaberat Definisi Anomali gayaberat secara umum adalah perbedaan gayaberat ukuran dengan gayaberat teoritis (Pick dkk, 1973). Gayaberat ukuran tidak dapat secara langsung dibandingkan dengan gayaberat normalnya, maka gayaberat ukuran perlu direduksi ke geoid.
1.8.3.1. Reduksi gayaberat. Hasil pengukuran gayaberat merupakan nilai gayaberat yang berada di permukaan bumi. Dalam studi penentuan geoid yang diperlukan adalah nilai gayaberat yang berada di geoid, oleh karena itu nilai gayaberat hasil pengukuran harus direduksi. Metode reduksi yang digunakan pada penelitian ini
8
adalah reduksi free air. Reduksi free air hanya memperhitungkan ketinggian tanpa memperhitungkan massa batuan antara geoid dan topografi (Hofmann dan Moritz, 2006). Nilai gayaberat di geoid ditulis dalam rumus berikut (Hofmann dan Moritz, 2006) : ɡ0= ɡ + F
……………………….……………………................... (I.6)
keterangan : ɡ0
: gayaberat di geoid (mgal)
ɡ
: gayaberat di permukaan bumi (mgal)
F
: reduksi free air (mgal)
Persamaan reduksi free air adalah : ……………………….……………………................... (I.7)
F= + 0,3086H Keterangan : F
: reduksi free air (mgal)
H
: tinggi ortometrik (m)
1.8.3.2. Gayaberat normal. Gayaberat normal adalah nilai gayaberat yang dihitung menggunakan ellipsoid sebagai bidang referensinya. Pada penelitian ini model ellipsoid yang digunakan adalah ellipsoid WGS84.
Menurut Clair dan Michell
(1979), rumus umum gayaberat normal adalah : ɤ = ɤE (1 + β1sin2φ - β2sin22φ)
..……………………………………….... (I.8)
Keterangan : ɤ
: gayaberat normal
ɤE
: gayaberat normal di ekuator
φ
: lintang
β1 dan β2
: konstanta yang besarnya berbeda untuk setiap model ellipsoid
1.8.3.3. Anomali gayaberat free air. Untuk memperoleh gayaberat di geoid dikenal beberapa cara reduksi, maka penamaan anomali gayaberat sesuai dengan nama reduksinya. Untuk penelitian ini digunakan reduksi free-air sehingga anomali yang digunakan adalah anomali gayaberat free-air. Menurut Pick dkk (1973) anomali gayaberat rumusnya adalah : ∆ɡ = ɡ0 - ɤ
…………………….…………………………..................... (I.9)
9
Anomali gayaberat free air (∆ɡFA) : ∆ɡFA = (ɡ + 0,3086H) - ɤ
……….………...……………….................. (I.10)
I.8.4. Penentuan Geoid Gravimetrik Penentuan geoid secara gravimetrik dilakukan dengan menggunakan data gayaberat. Pada Gambar I.3, suatu titik P di geoid diproyeksikan menjadi titik Q di elipsoid referensi. Jarak PQ merupakan undulasi atau tinggi geoid (N), sedangkan sudut yang terbentuk antara garis n dan n‟ merupakan defleksi vertikal (ε).
Gambar I.3. Hubungan antara geoid dan elipsoid referensi. (Hofmann dan Moritz, 2006) Pada hubungan antara geoid dan elipsoid terdapat perbedaan kecil antara potensial gayaberat di permukaan bumi/titik pengukuran (W) dan potensial gayaberat normal (U) yang disebut dengan anomali potensial (T), sehingga pada titik P berlaku persamaan berikut (Hofmann dan Moritz, 2006), TP = WP – UP UP = UQ +
𝜕𝑈 𝜕𝑛
.................................…………………………................. (I.11) QN
= UQ – γN ......….…………………………………. (I.12)
WP = UP + TP = UQ – γN + TP …………..…………………………….... (I.13) Pada Gambar I.3, titik Q merupakan proyeksi titik P sepanjang normal elipsoid dan karena elipsoid didefinisikan mewakili geoid sehingga keduanya akan memiliki potensial yang sama (UQ=WP=WO), maka diperoleh persamaan berikut, T = γN atau N = T/γ …………………………………………...……….. (I.14) Persamaan (1.14) ini terkenal dengan nama persamaan Brun‟s (Hofmann dan Moritz, 2006) yang menyatakan hubungan antara undulasi geoid (N) dengan anomali potensial (T). Selanjutnya dengan memperhatikan Gambar I.3 maka gP adalah vektor
10
gaya berat dari P dan γQ adalah vektor gayaberat normal dari Q, sehingga besarnya perbedaan antara kedua vektor tersebut merupakan anomali gayaberat (∆g) dengan persamaan sebagai berikut (Hofmann dan Moritz, 2006), ∆g = gP - γQ .……………………………………………………………. (I.15) Persamaan yang digunakan untuk menghitung anomali potensial sebagai fungsi anomali gayaberat adalah persamaan matematis Stokes‟ sebagai berikut (Hofmann dan Moritz, 2006), 𝑅
T = 4𝜋
∆𝑔. 𝑆 𝛹 𝑑𝜎
𝜎
………………………………………….…….. (I.16)
Bila nilai T pada persamaan (I.16) disubtitusi ke persamaan Brun‟s (I.14) maka akan diperoleh persamaan berikut (Hofmann dan Moritz, 2006), 𝑅
N = 4𝜋γ
𝜎
∆𝑔. 𝑆 𝛹 𝑑𝜎 ……………………..………………………… (I.17)
Persamaan (I.17) disebut sebagai persamaan Stokes‟ yang dapat digunakan dalam menghitung undulasi geoid (N) dari data anomali gayaberat.
I.8.5. Penentuan Geoid Lokal Dalam perhitungan undulasi geoid dilakukan dengan menggunakan persamaan Stokes‟. Persamaan Stokes‟ yang digunakan untuk menghitung nilai undulasi pada area yang kecil menggunakan pendekatan bidang datar. Persamaan Stokes‟ perlu dimodifikasi terlebih dahulu, sehinga menjadi persamaan berikut (Vanicek dan Christou, 1994) : N
1 2
E
g o 1 dxdy Sg o l l
…………………………………….…… (I.18)
Dalam hal ini,
l x x P 2 y y P 2
1/ 2
…………………………………..…..… (I.19)
Keterangan (Vanicek dan Christou, 1994) : g o
: anomali gayaberat
(x,y )
: koordinat titik-titik data yang dimiliki
( x P , y P ) : koordinat titik hitung S
: operator stokes‟
E
: luas
11
Pada persamaan (I.18) ini belum optimal dalam penghitungan, sehingga harus dilengkapi dengan data dari komponen lainnya. Dalam memodelkan geoid lokal maka tiga komponen harus diperhitungkan (Gambar I.4). Komponen tersebut adalah komponen gelombang panjang (long-wavelength) yang diperoleh dari model geopotensial global (MGG); komponen gelombang menengah (medium-wavelength) yang diperoleh dari data gayaberat lokal; dan komponen gelombang pendek (shortwavelength) yang diperoleh dari data tinggi topografi dalam bentuk model terrain digital (MTD).
Gambar I.4. Kontribusi berbagai jenis data terhadap penentuan geoid regional (Modifikasi Vanicek dan Christou, 1994) Keterangan : NGM
: Undulasi yang dihitung dari komponen gelombang panjang (m)
N∆G
: Undulasi yang dihitung dari komponen gelombang menengah (m)
NH
: indirect effect (m)
12
Pada gambar I.4 merepresentasikan kontribusi ketiga jenis data untuk menentukan undulasi. Penentuan undulasi geoid N dapat dilakukan menggunakan metode remove restore (Vanicek dan Christou, 1994) yang dapat ditulis dalam persamaan,
g = g FA - g GM - g H ………………………...............…………..… (I.20) N N GM N g N H
………………………………..............…… (I.21)
Persamaan (I.20) disebut remove dan persamaan (I.21) disebut restore. Metode remove merupakan pengurangan data anomali free air dari efek komponen gelombang panjang (MGG) dan gelombang pendek (topografi).
Undulasi
geoid
gravimetrik N dapat diperoleh dengan melakukan restore persamaan (I.21). Metode restore dilakukan dengan cara memasukkan kembali kontribusi MGG dan topografi (indirect effect) terhadap nilai residual undulasi sehingga menghasilkan nilai undulasi. Residual anomali gayaberat diperoleh dari data anomali free air dikurangi efek komponen gelombang panjang (MGG) dan efek gelombang pendek (topografi). Persamaan untuk menghitung residual anomali gayaberat dapat ditulis (Srinivas dkk, 2012), ∆gres = ∆gobs - ∆gGGM -∆gRTM
………………………………..............…… (I.22)
Keterangan (Srinivas dkk, 2012): ∆g
: residual anomali gayaberat
∆gobs
: anomali gayaberat free air
∆gGGM : anomali gayaberat dari komponen gelombang panjang ∆g
: anomali gayaberat dari komponen gelombang pendek
I.8.5.1 Hitungan kontribusi MGG. Model geopotensial yang digunakan sebagai data masukan adalah EGM2008. EGM2008 merupakan model geopotensial global terbaru yang memiliki degree dan orde 2159 dan tambahan koefisien sampai degree 2190 (Borge, 2013). Kontribusi dari g dan N model geopotensial sebagai berikut (Vanicek dan Christou, 1994),
……….... (I.23)
13
nmax n
N GM R C nm cos m S nm sin m Pnm sin ……………..……… (I.24) n 2 m 0
Keterangan: Cnm, Snm
: koefisien potensial
fully normalized geopotential dari potensial
anomali Pnm
: fully normalized Legendre function
nmax
: derajat maksimal dari model geopotensial
n,m
: derajat dan orde dari model geopotensial
ǵ
: gayaberat rata-rata
R
: jari-jari rerata bumi (6371008 meter)
( φ, λ)
: lintang dan bujur geosentrik.
1.8.5.2 Hitungan kontribusi terrain. Koreksi terrain merupakan koreksi yang diberikan karena pengaruh penyebaran densitas batuan yang tidak teratur pada suatu wilayah. Salah satu metode koreksi terrain yang biasa digunakan pada penentuan geoid adalah Residual Terrain Model (RTM) (Forsberg, 1984). Metode RTM ini dikenalkan oleh Forsberg tahun 1984 (Bajracharya, 2003). Pada metode RTM, densitas topografi akan diseimbangkan antara anomali densitas negatif dan anomali densitas positif, yang merepresentasikan area topografi yang berada di atas atau di bawah bidang topografi referensi (Forsberg, 1984). Pada metode RTM permukaan tinggi rerata yang halus digunakan sebagai referensi untuk mendefinisikan densitas batuan sampai dengan bidang referensi. Metode RTM dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut (Forsberg, 1994) :
….. (I.25) Keterangan : P(x, y, z)
: titik yang dihitung (pada topografi)
Q(x, y, z)
: titik pada tinggi muka rata-rata (titik integrasi)
ρ
: massa jenis batuan
z
: nilai tinggi pada tinggi muka rata-rata
K
: konstanta gravitasi
href
: nilai tinggi referensi
14
hp
: nilai tinggi pada titik yanng dihitung
Selain koreksi terrain dengan RTM, dirumuskan pula formula untuk menghitung koreksi akibat adanya ketidakseragaman massa batuan penyusun bumi. Koreksi ini disebut dengan indirect effect (Kasenda, 2009). Koreksi indirect effect ini diberikan kepada data gayaberat yang telah direduksi sebelum menjadi geoid (cogeoid) (Bajracharya, 2003).
Gambar I.6. Ilustrasi Indirect effect (Modifikasi Bajracharya, 2003) Keterangan : NH
: Indirect effect
P
: titik pengamatan dibidang topografi
Indirect effect pada geoid dapat dihitung dengan formula Brun‟s (Bajracharya, 2003) : NH =
∆T
….………………………………...……………………..….. (I.26)
γ
Keterangan
:
NH
: Indirect effect
∆T
: beda potensial gayaberat di geoid
γ
: gayaberat normal
15
I.8.6. Penghitungan Undulasi Geoid dengan 2D FFT Nilai undulasi geoid dapat dihitung menggunakan formula Stokes‟ dengan metode 2D FFT pendekatan bidang spheris (Sideris, 2008). Formula Stokes‟ yang telah diturunkan dengan menggunakan pendekatan bidang spheris atau bola dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut (Sideris, 2008) :
............... (I.27) Keterangan : φj,λi
: koordinat data ukuran
φl,λk
: koordinat titik dari undulasi yang dihitung
∆φ, ∆λ
: spasi grid dari lintang dan bujur
O
: jumlah paralel pada grid
M
: jumlah meridian pada grid
R
: jari-jari rerata bumi (6371008 meter)
S
: operator stokes‟
I.8.7. Kontrol Nilai Undulasi Gravimetrik Undulasi dapat ditentukan dengan 2 metode, yaitu : Ngeometrik = h –H Ngravimetrik =
.................................................................... (I.28)
g o 1 dxdy Sg o ........................................................ (I.29) 2 E l l 1
Kedua nilai tersebut idealnya sama. Ngeometrik memiliki ketelitian tinggi sehingga banyak digunakan sebagai kontrol untuk penentuan geoid gravimetrik (yildiz dkk, 2011), sehingga dalam penelitian ini untuk menentukan ketelitian nilai undulasi gravimetrik yang dihasilkan maka dikontrol dengan nilai undulasi geometrik. I.8.8. Interpolasi Kriging Interpolasi kriging adalah metode geo-statistik yang digunakan untuk memprediksi nilai sebuah titik dari nilai observasi di sekitarnya dan memiliki bobot sesuai dengan kovarian spasialnya. Interpolasi kriging dapat mengestimasi titik baru
16
dari titik-titik yang ada dengan cara melakukan pembobotan secara linear(Bohling, 2005). Interpolasi kriging dapat digunakan untuk memprediksi nilai yang belum diketahui dengan menggunakan persamaan matematis : 𝑛 𝑖=1 w
Z 𝑥0 =
𝑥0 Z 𝑥𝑖
.................................................................... (I.30)
Keterangan Z 𝑥0
:
nilai prediksi yang belum diketahui.
Z 𝑥𝑖
:
nilai yang sudah diketahui.
w 𝑥0
:
bobot interpolasi.
I.8.9. Model Geopotensial Global EGM2008 Model geopotensial global EGM2008 merupakan Model geopotensial global yang dipublikasikan oleh National Geospatial-Intellegence Agency (NGA). Model geopotensial global ini, mengandung informasi mengenai data koefisien harmonik bola, yaitu orde (n), degree (m), koefisien potensial normal penuh (C, S) dan standar deviasinya (sigma C, sigma S) (Pavlis, dkk, 2008). Model geopotensial ini, lengkap dengan koefisien harmonik degree dan orde 2159 dan memuat tambahan sampai degree 2190. EGM2008 sudah memiliki anomali gayaberat dengan grid 5‟x5‟ yang telah ditingkatkan berdasarkan pengukuran dari satelit GRACE (Pavlis, 2012, dalam Borge 2013). Konstanta WGS84 digunakan untuk mendefinisikan referensi ellipsoid dan bidang gayaberat normal. Konstanta tersebut adalah (NGA, 2008) : a. Setengah sumbu panjang ellipsoid WGS 84 (a)
=
6378137.00 m
b.Flattening ellipsoid WGS 84 (f)
=
1/298, 257223563
c. Konstanta gayaberat (GM)
=
3,986004418 x 1014 m3s-2
d.Kecepatan sudut rotasi bumi (ω)
=
7292115 x 10-11 radian/sec
I.8.10. Standar Deviasi Varian dinyatakan dengan rumus (Walpole, 1993), τ2 =
𝑛 𝑖=1 (𝑥 𝑖
– 𝜇 )2
𝑛
.................................................................... (I.31)
Standar deviasi dinyatakan dengan rumus (Walpole, 1993),
17
τ=
2 𝑛 (𝑥 – 𝜇) 𝑖=1 𝑖
𝑛
................................................................... (I.32)
Keterangan rumus : τ2
: Varian
τ
: Standar Deviasi
xi
: data ke i
μ
: rerata data
n
: jumlah data
Standar deviasi digunakan sebagai kriteria untuk menilai ketelitian data pengamatan. Terdapat dua istilah tentang ketelitian, yaitu akurasi dan presisi. Akurasi atau kesaksamaan adalah tingkat kedekatan nilai-nilai pengamatan terhadap nilai sebenarnya. Presisi atau ketelitian adalah tingkat kedekatan nilai-nilai pengamatan satu sama lain, yang dapat dihitung besar-kecilnya standar deviasi (τ) dari pengamatan. Apabila data pengamatan mempunyai nilai standar deviasi yang kecil, berarti data tersebut teliti (Basuki, 2006).
I.8.11. Gravsoft Gravsoft adalah sebuah paket program yang dikembangkan oleh Rene Forsberg dari National Space Institute(DTU-Space) Denmark dan C.C Tscherning dari Niels Bohr Institute, University of Copenhagen. Program gravsoft dalam menghitung data masukan (input) dan keluaran (output) dengan format list file atau grid. beberapa program dan kegunaannya dapat dilihat pada Tabel. I.1
18
Tabel I.1. Contoh program pada gravsoft dan fungsinya Kelompok
Nama
program
program
Interpolasi
GEOGRID
Fungsi
kuadrat terkecil kolokasi (kriging) atau prediksi
dan
bobot rata-rata dari format titik-titik ke grid-
gridding
grid. termasuk juga menginterpolasi nilai yang tidak diketahui pada grid, prediksi titik atau profil GEOIP
interpolasi (linier atau spline) dari grid-grid ke titik-titik atau grid ke grid
Integrasi prisma terrain
TCGRID
program pendukung untuk membuat grid-grid rerata dan rerata permukaan terrain untuk metode RTM pada TC
TC
integrasi prisma dari efek terrain (topografi, topografi-isostasi, RTM dan koreksi terrain klasik
Metode-
GEOEGM
Evaluasi model gayaberat
SPFOUR
Spherical multi-band FFT untuk penentuan
metode
geoid, upward continuation dan efek terrain
Fourier Seleksi dan
GCOMB
menambahkan atau mengurangi dan
format
mengkombinasikan dua grid meliputi koreksi
ulang data
khusus seperti pemisahan geoid-quasi geoid G2SUR
konversi dari format grid pada Gravsoft ke format data surfer (*.grd)
I.9. Hipotesis Pada pemodelan geoid, komponen gelombang panjang dari data MGG memberikan kontribusi nilai dan kesalahan yang paling signifikan. Ketelitian undulasi geoid dapat ditingkatkan dengan penggunaan degree MGG yang rendah,
19
pengambilan data gayaberat yang dirapatkan dengan rerata jarak 3 kilometer (km), dan penggunaan DTM dengan spasi 1 km atau lebih kecil pada seluruh wilayah pegunungan (Schwartz et al, dalam Vanicek dan Christou,1994). Berdasarkan hal tersebut, hipotesis penelitian adalah pada wilayah dengan data gayaberat yang terdistribusi merata dan rapat, nilai degree MGG rendah yang digunakan akan menghasilkan ketelitian geoid yang semakin besar.
