1
BAB I PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang dan Permasalahan Response Surface Methodology sudah dikenalkan oleh Box dan Wilson sejak tahun 1951. Dalam buku Design and Analysis of Experiment, Montgomerry (2001), menjelaskan bahwa Response Surface Methodology atau sering disingkat dengan RSM, merupakan kumpulan teknik matematis dan statistik yang digunakan untuk pemodelan dan analisis masalah dalam suatu respon yang dipengaruhi oleh beberapa variabel dan tujuannya adalah untuk mengoptimasi respon tersebut. Variabel yang mempengaruhi respon dinamakan variabel bebas atau sering dinamakan faktor. RSM telah banyak digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti, ilmu kimia, teknik kimia, teknologi pertanian, ilmu kesehatan, dan lain-lain. Sebenarnya RSM dapat digunakan untuk semua bidang ilmu, khususnya pada penelitian yang bertujuan untuk mencari kondisi optimum respon yang dipengaruhi oleh variabelvariabel bebas. Pada dasarnya, RSM merupakan gabungan dari rancangan percobaan, model regresi, dan metode optimasi. Menurut Sudjana (1994), rancangan percobaan merupakan langkah-langkah lengkap yang perlu diambil jauh sebelum percobaan dilakukan. Rancangan percobaan yang paling sederhana adalah Rancangan Random Lengkap atau biasa disingkat dengan RRL. Pada RRL, unit-unit percobaan haruslah homogen. Model linear untuk RRL adalah respon,
dengan
adalah mean populasi, adalah efek perlakuan, dan
adalah variabel
error random.
Dalam Montgomerry (2001) diberikan ilustrasi mengenai percobaan yang dilakukan untuk studi pengukuran banyaknya pemberian Nitrogen dalam menghasilkan Nitrogen Nitrat pada dahan tanaman gandum. Kandungan Nitrogen Nitrat pada dahan tanaman gandum merupakan respon. Dalam percobaan terdapat enam jenis banyaknya pemberian Nitrogen yaitu kontrol tidak diberi Nitrogen, 2, 3, 4, 5, dan 6 kali, masing-masing diulang empat kali. Berdasarkan informasi,
2
kesuburan lahan tanaman berbeda-beda. Jika menggunakan Rancangan Random Lengkap (RRL), maka terdapat variabilitas di antara blok lahan. Sehingga percobaan ini harus dilakukan pemblokan, yaitu lahan tersebut dibagi empat bagian, masingmasing bagian diasumsikan mempunyai kesuburan lahan yang homogen. Jadi percobaan terdapat empat blok lahan. Kemudian, percobaan dilakukan secara random lengkap di dalam masing-masing blok. Rancangan percobaan yang melakukan pemblokan pada unit-unit percobaan yang heterogen, dengan masing-masing blok mempunyai unit-unit percobaan cenderung homogen, dinamakan Rancangan Blok Random Lengkap (RBRL). Berdasarkan ilustrasi di atas dapat dibuat model linear untuk RBRL yaitu dengan adalah efek blok,
adalah variabel respon,
adalah efek perlakuan, dan
adalah mean populasi,
error random. Model linear baik
untuk RRL maupun RBRL menyatakan hubungan antara variabel bebas dan variabel respon. Namun jika peneliti ingin mengetahui kombinasi level variabel bebas mana yang dapat menghasilkan kandungan Nitrogen Nitrat yang optimum, maka diperlukan suatu model dari ilustrasi di atas yang dapat mengoptimumkan respon. Teknik statistik yang digunakan untuk membuat model yang dapat mengoptimalkan respon pada RBRL adalah rancangan Blocked Response Surface. Model linear untuk rancangan Blocked Response Surface adalah , dengan
adalah vektor observasi pada respon,
bersesuaian dengan efek perlakuan,
adalah vektor efek perlakuan tetap,
matriks yang bersesuaian dengan vektor efek blok random, random, dan
adalah matriks yang adalah
adalah vektor efek blok
adalah vektor error random. Asumsi yang diberikan adalah dan
mempunyai vektor random
.
Pada rancangan Blocked Response Surface
dan , sehingga
dan
merupakan komponen
variansi. Model linear untuk rancangan Blocked Response Surface yang mempunyai efek tetap dan efek random dinamakan model mixed. Model pada Blocked Response Surface yang diperoleh haruslah diuji dengan Uji Lack of Fit. Tujuan dari uji Lack of Fit adalah untuk mengetahui ketidaksesuaian model. Jika dalam model orde satu Blocked Response Surface terdapat Lack of Fit, maka perlu dikembangkan menjadi model linear orde dua atau kuadratik.
3
Menurut Kutner, et al (2004), pengujian Lack of Fit diperlukan apabila dalam percobaan terdapat replikasi pada unit eksperimennya. Replikasi adalah perulangan dalam suatu percobaan. Lack of Fit sendiri diperoleh dari pemecahan jumlah kuadrat error, karena jumlah kuadrat error merupakan jumlahan dari jumlah kuadrat lack of fit dengan jumlah kuadrat pure error. Definisi pure error menurut Gilmour dan Trinca (2000), adalah suatu ekspektasi dari sisaan rataan kuadrat pada rancangan blok. Pada rancangan Blocked Response Surface, replikasi terjadi pada blok. Pada penelitian ini akan diuji model pada efek tetap yang diasumsikan bahwa . Kemudian dengan memisahkan parameter-parameter model polynomial, yaitu
. Sehingga, hipotesis pada uji Lack of Fit adalah
dimana
adalah matriks tetap berdimensi
kombinasi linear dari efek tetap
,
. Karena yang diuji adalah
, maka digunakanlah statistik uji Wald-type.
Statistik uji Wald-type yang digunakan adalah
̂ ( ̂
variansi dari ̂ . Namun perlu diperhatikan bahwa
di sini bukanlah distribusi
)
̂ dengan ̂ ,
tetapi hanyalah suatu statistik uji . Pada penulisan ini akan dibahas konstruksi dan ilustrasi mengenai uji Lack of Fit pada rancangan Blocked Response Surface, dengan menggunakan pendekatan uji , yaitu dengan cara mengestimasi variansi-kovariansi matriks pada efek tetap dalam statistik uji Wald-type. Dalam hal ini yang merupakan efek tetap adalah efek perlakuan. Berdasarkan Kenward dan Roger (1997) pendekatan distribusi dilakukan dengan mengestimasi skala ~
dan derajat bebas denominator
dapat
sehingga,
.
1.2.Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan apa yang telah diuraikan pada latar belakang di atas maka tujuan dari penulisan tesis ini adalah: 1. Mengkonstruksi uji Lack of Fit pada rancangan Blocked Response Surface dengan pendekatan uji
pada statistik uji Wald-type.
2. Menyelesaikan uji Lack of Fit pada studi kasus dengan software SAS.
4
Manfaat yang diharapkan diperoleh dari penulisan tesis ini adalah: 1. Bagi penulis diharapkan dapat menambah pemahaman mengenai pendekatan uji Lack of Fit 2. Dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan dalam bidang statistika terutama tentang regresi, rancangan percobaan, dan Response Surface Methodology. 3. Bagi pembaca sebagai motivasi untuk mengembangkan penggunaan uji Lack of Fit pada beberapa rancangan Blocked Response Surface.
1.3.Tinjauan Pustaka Uji Lack of Fit sangat penting dilakukan dalam pengepasan model Response Surface Methodology. Uji ini dapat dilakukan apabila percobaan terdapat replikasi dan terdapat pure error. Dalam jurnalnya yang berjudul Unbalanced and Minimal Point Equivalent Estimation Second-Order Split-Plot Design, Parker (2007) melakukan uji Lack of Fit dengan estimasi pure error. Definisi pure error menurut Gilmour dan Trinca (2000), adalah suatu ekspektasi dari rataan kuadrat sisaan dari model rancangan blok. Hal yang umum ketika melakukan uji Lack of Fit adalah melalui pendekatan uji F. Pendekatan uji F dapat dilakukan melalui uji eksak berdasarkan tabel anava maupun melalui statistik uji Wald-Type. Dalam beberapa kasus pendekatan melalui uji F secara eksak yaitu berdasarkan tabel anava akan lebih susah. Menurut Alnosaier (2007), jika dalam tabel anava tidak ada dua rataan kuadrat yang memiliki ekspektasi yang sama di bawah hipotesis nol, maka metode anava masih bisa digunakan dalam melalukan pendekatan uji F. Namun, jika dalam tabel anava terdapat suatu rataan kuadrat yang dapat dibentuk sebagai fungsi linear dari rataan kuadrat lainnya, maka uji F secara eksak tidak dapat dilakukan. Pendekatan uji F lainnya untuk efek tetap yaitu melalui statistik uji Waldtype. Dalam uji Wald-type, derajat bebas denominator perlu diestimasi sedangkan derajat bebas numerator sama dengan jumlah kontras yang akan diuji. Menurut Kenward dan Roger (1997), dengan memasukkan estimator dari variansi-kovariansi
5
yang telah diperbaiki, ke dalam statistik uji Wald-type dan mengestimasi bentuk skala
akan mengikuti pendekatan distribusi F, yaitu
~
.
1.4.Metodologi Penelitian Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-langkah yang dilakukan penulis adalah sebagai berikut: 1. Mencari dan menentukan jurnal yang akan dijadikan bahan acuan. 2. Mengumpulkan jurnal-jurnal lain yang relevan dengan materi dalam jurnal acuan. 3. Mempelajari buku-buku pendukung yang berkaitan dengan topik permasalahan penelitian. 4. Mempelajari dan membahas topik penelitian yang meliputi: teori regresi, generalized least square (GLS), Rancangan Blok Random Lengkap, Response Surface Methodology (RSM), model mixed, Residual Maximum Likelihood (REML), statistik uji Wald-type, uji Lack of Fit, estimasi faktor skala dan derajat bebas denominator, modifikasi Kenward dan Roger, dan estimasi komponen variansi. 5. Melakukan olah data dengan bantuan software SAS, melakukan uji Lack of Fit pada RSM orde dua, menentukan nilai uji
dan nilai , kemudian menghitung
estimasi pure error pada rancangan Blocked Response Surface, sebagai pembanding, yaitu menghitung estimasi komponen variansi dari model RSM, dan juga ditampilkan gambar kontur plot masing-masing respon. 6. Menyusun laporan penelitian sesuai dengan buku petunjuk penulisan tesis yang
diberlakukan. 1.5.Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN : Pada bab ini membahas tentang latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.
6
BAB II LANDASAN TEORI : Pada bab ini membahas tentang teori regresi, generalized least square (GLS), Rancangan Blok Random Lengkap, Response Surface Methodology (RSM), model mixed, uji Lack of Fit secara umum, deret taylor tentang , turunan matriks, big Oh, serta bentuk kuadratik. BAB III PEMBAHASAN : Pada bab ini akan dipaparkan mengenai estimasi pada efek tetap, uji Lack of Fit, pendekatan uji F pada statistik uji Wald-type, estimasi faktor skala dan estimasi derajat bebas denominator, modifikasi Kenward dan Roger, serta estimasi komponen variansi. BAB IV STUDI KASUS : Pada studi kasus akan diolah data dengan bantuan software SAS, melakukan uji Lack of Fit pada RSM orde dua, menentukan nilai uji dan nilai
, kemudian menghitung estimasi pure error pada rancangan Blocked
Response Surface, dan sebagai pembanding yaitu menghitung estimasi komponen variansi dari model RSM, serta menggambar kontur plot masing-masing respon. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN : Bab ini berisi pembahasan mengenai kesimpulan yang diperoleh dari bab-bab sebelumnya dan saran untuk penelitian selanjutnya berdasarkan apa yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.
