1
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Himpunan fuzzy adalah suatu himpunan yang setiap anggotannya memiliki derajat keanggotaan. Derajat keanggotaan dari himpunan fuzzy dinamakan fungsi keangotaan yang mempunyai nilai yang pada interval sebarang himpunan fuzzy dari
di dalam
ke bilangan riil pada interval
. Oleh karena itu,
dapat direpresentasikan sebagai fungsi dan dinamakan subset fuzzy. Konsep
himpunan fuzzy mempunyai banyak terapan antara lain dalam bidang teknologi, kesehatan, manajemen perusahaan dan lainnya. Selain itu, konsep fuzzy dapat juga dikaitkan dengan struktur aljabar misalnya grup fuzzy. Rosenfeld (1971) memperkenalkan konsep grup fuzzy yang merupakan penerapan himpunan fuzzy pada aljabar grup. Pada grup fuzzy diperoleh bahwa fungsi keanggotaannya dinamakan subgrup fuzzy. Hal ini terus diteliti oleh Biswas (1986) yang pada akhirnya memunculkan anti-subgrup fuzzy. Penelitian mengenai subgrup fuzzy dan anti-subgrup fuzzy dilakukan antara lain oleh Jeyaraman dan Sheik Abdullah (2010) yang mengkaji homomorfisma dan antihomomorfisma pada subgrup fuzzy maupun anti-subgrup fuzzy. Hal ini terus diperdalam, salah satunya dengan meneliti hubungan antara fungsi keanggotaan dengan subgrup fuzzy dan fungsi non-keanggotaan dengan anti-subgrup fuzzy. Diberikan sebarang anggota himpunan fuzzy, selain terdapat derajat keanggotaan (fungsi keanggotaan) maka terdapat pula derajat non-keanggotaan (fungsi nonkeanggotaan) yang apabila keduanya dijumlahkan bernilai satu. Pada penerapannya sehari-hari, terdapat kejadian penjumlahan dari fungsi keanggotaan dan fungsi non-keanggotaan tidak bernilai satu. Misalkan dalam teori probabilitas pada kejadian pemilihan kepala negara. Suatu negara terdapat 2 calon kepala negara ( dan ). Didefinisikan bahwa probabilitas calon keanggotaan dan probabilitas bukan calon
(calon
adalah fungsi
) adalah fungsi non-
2
keanggotaan. Setelah dilakukan pemilihan suara, terdapat pemilih yang tidak menggunakan hak pilih (golput) dan terdapat pula beberapa suara yang tidak sah. Hal ini mengakibatkan penjumlahan probabilitas kedua calon tidak bernilai satu. Kejadian tersebut melatarbelakangi struktur himpunan fuzzy baru dinamakan himpunan fuzzy intuitionistik. Atanassov (1986) mendefinisikan himpunan fuzzy intuitionistik adalah suatu himpunan dengan sifat penjumlahan dari fungsi keanggotaan dan fungsi non-keanggotaan untuk tiap-tiap anggota bernilai kurang dari sama dengan satu. Sharma (2011) membawa konsep tersebut kedalam aljabar grup, sehingga memunculkan grup fuzzy intuitionistik dengan fungsi keanggotaan merupakan subgrup fuzzy dan fungsi non-keanggotaan merupakan anti-subgrup fuzzy. Pada lain pihak, dalam teori himpunan terdapat istilah pemetaan (fungsi) yang merupakan aturan pengaitan antara setiap anggota domain ke tepat satu anggota kodomain. Apabila aturan tersebut dikenakan pada himpunan fuzzy dengan domain adalah nilai dari fungsi keanggotaan dan kodomain adalah interval , maka pemetaan tersebut dinamakan operator fuzzy dan salah satu bentuk operator fuzzy adalah translasi. Souriar (1993) menggunakan operator translasi fuzzy pada himpunan fuzzy dan grup fuzzy. Penelitiannya antara lain mengkaji sifat-sifat dasar translasi pada himpunan fuzzy dan grup fuzzy serta sifat yang berkaitan dengan homomorfisma translasi pada grup fuzzy. Berdasarkan fenomena yang telah dipaparkan, penelitian ini akan mengkaji sifat-sifat translasi pada grup fuzzy intuitionistik. Sebagai awal, akan diberikan terlebih dahulu definisi dan sifat-sifat dasar himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik. Selanjutnya, meneliti sifat-sifat translasi apabila diterapkan pada himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik. Sifat yang diteliti antara lain sifat bawaan dari translasi grup fuzzy dan sifat image serta pre-image homomorfisma pada keduanya. Setelah itu menerapkan sifat tersebut pada grup fuzzy normal intuitionistik.
3
1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1.
Bagaimana struktur dan sifat dasar dari himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik ?
2.
Bagaimana sifat-sifat bawaan, image dan pre-image homomorfisma grup fuzzy apabila diterapkan pada grup fuzzy intuitionistik ?
3.
Bagaimana struktur dan sifat dasar dari translasi pada himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik ?
4.
Bagaimana sifat-sifat bawaan, image dan pre-image homomorfisma untuk translasi pada grup fuzzy apabila diterapkan pada grup fuzzy intuitionistik ?
1.3. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk memberikan informasi mengenai konsep himpunan fuzzy intuitionistik dan juga grup fuzzy intuitionistik. Selain itu, juga memberikan informasi mengenai operator translasi yang diterapkan pada keduanya. Pada akhirnya, penelitian ini bertujuan untuk meneliti sifat-sifat translasi khususnya sifat bawaan dan sifat image serta pre-image dari homomorfisma pada translasi himpunan fuzzy intuitionistik maupun grup fuzzy intuitionistik.
1.4. Manfaat Penelitian Manfaat dalam penelitian ini adalah dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terutama aljabar grup fuzzy. Secara khusus memberikan uraian yang berkaitan dengan himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik khusunya operator translasi sehingga diperoleh sifat-sifat bawaan dan sifat mengenai homomorfisma translasi pada grup fuzzy intuitionistik.
4
1.5. Tinjauan Pustaka Zadeh (1965) memperkenalkan himpunan fuzzy yaitu suatu himpunan yang setiap anggotanya dilengkapi dengan derajat keanggotaan. Nilai dari derajat keanggotaannya ini adalah bilangan riil pada interval
. Himpunan fuzzy
dapat pula diartikan sebagai himpunan pasangan berurutan antara anggota dengan derajat keangotaannya. Derajat keanggotaan ini dapat dituliskan sebagai fungsi keanggotaan yang selanjutnya dinamakan subset fuzzy. Selanjutnya, dalam penulisan himpunan fuzzy cukup diwakilkan dengan subset fuzzy. Pada teori aljabar matematika, salah satu struktur yang dipelajari adalah struktur aljabar grup (Adkins, 1992). Apabila pada teori fuzzy struktur himpunan yang digunakan adalah aljabar grup, maka memunculkan struktur grup fuzzy. Diberikan sebarang grup dan subset fuzzy di dalam grup tersebut. Subset fuzzy disebut subgrup fuzzy jika sifat dari subset fuzzy mengawetkan aksioma pada grup (Mordeson, 2005). Hal ini dapat diartikan bahwa apabila himpunan yang diberikan adalah grup, maka belum tentu subset fuzzy langsung menjadi subgrup fuzzy. Ole karena itu, terdapat pula subset fuzzy yang tidak mengawetkan sifat pada grup (kontradiksi dengan aksioma grup). Hal ini dijelaskan oleh Biswas (1990) yang mendefinisikan struktur anti-subgrup fuzzy yang berawal dari komplemen subgrup fuzzy. Jika diberikan sebarang subgrup fuzzy, maka komplemen dari subgrup fuzzy belum tentu memenuhi sifat pada subgrup fuzzy sehingga terbentuklah anti-subgrup fuzzy. Diberikan sebarang
anggota himpunan fuzzy dan
dapat didefinisikan derajat keanggotaan untuk
sebesar
pula dedefinisikan derajat non-keanggotaan untuk yang selanjutnya fungsi
fungsi keanggotaan, . Selain itu, dapat
sebesar
dinamakan fungsi non-keanggotaan. Pada beberapa
kejadian sehari-hari ditemukan bahwa nilai dari fungsi non-keanggotaan tidak selalu bernilai
. Hal ini dapat diartikan bahwa untuk sebarang anggota
himpunan fuzzy, nilai penjumlahan dari fungsi keanggotaan dan fungsi nonkeanggotaan tidak bernilai satu (kurang dari satu). Kejadian ini memunculkan struktur himpunan baru yang dinamakan himpunan fuzzy intuitionistik (Atanassov,
5
1995). Himpunan fuzzy intuitionistik
dari
adalah suatu himpunan yang setiap
anggotannya dilengkapi dengan derajat keanggotaan dan derajat non-keanggotaan dengan sifat penjumlahan keduanya bernilai kurang dari atau sama dengan satu. Apabila diterapkan pada aljabar grup, maka diperoleh grup fuzzy intuitionistik. Sama halnya dengan himpunan fuzzy dan grup fuzzy, penulisan dari himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik cukup ditulis subset fuzzy intuitionistik atau subgrup fuzzy intuitionistik. Subgrup fuzzy intuitionistik terbentuk apabila fungsi keanggotaan merupakan subgrup fuzzy dan fungsi nonkeanggotaan merupakan anti-subgrup fuzzy dengan sifat penjumlahan keduanya bernilai kurang dari satu untuk setiap anggota. Penelitian mengenai grup fuzzy intuitionistik dilakukan oleh Sharma (2011A)(2011B)(2012A)(2012B)(2012C). Setelah diberikan struktur himpunan fuzzy intuitionistik, selanjutnya diberikan suatu operator yang ada pada himpunan fuzzy. Pemetaan (fungsi) adalah aturan pengaitan antara setiap anggota domain ke tepat satu anggota kodomain. Pada himpunan fuzzy, apabila aturan tersebut dikenakan pada derajat keanggotaan maka dinamakan operator fuzzy. Operator fuzzy yang digunakan pada penelitian ini adalah operator translasi fuzzy. Operator ini terdiri dari 2 jenis yaitu translasi fuzzy naik dan translasi fuzzy turun. Operator translasi fuzzy naik merupakan penambahan nilai fungsi keanggotaan dengan konstanta
, sedangkan
operator translasi fuzzy turun merupakan bentuk pengurangannya. Hasil dari operator translasi ini tetap berada pada interval
, sehingga tetap merupakan
fungsi keanggotaan. Selanjutnya, operator translasi ini diterapkan pada aljabar fuzzy yang memunculkan translasi grup fuzzy. Souriar (1993) membahas sifatsifat translasi pada grup fuzzy. Sifat yang dibahas yaitu untuk sebarang subgrup fuzzy diperoleh bahwa translasi dari subgrup fuzzy juga merupakan subgrup fuzzy. Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya, sehingga diperlukan syarat cukup agar keadaan sebaliknya berlaku. Sifat lain yang dibahas adalah apabila diberikan sebarang subgrup fuzzy dan homomorfisma grup, maka diperoleh pre-image dari subgrup fuzzy merupakan subgrup fuzzy bahkan translasinya juga merupakan subgrup fuzzy. Hal ini tidak terjadi pada image dari homomorfisma grup, perlu ditambahkan sifat surjektif pada homomorfisma.
6
Sebagai awal pembahasan akan diberikan definisi himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik. Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang ada pada kedua himpunan tersebut antara lain sifat bawaan, sifat image dan preimage
homomorfisma
pada
keduanya.
Pembahasan
berikutnya
adalah
pendefinisian translasi pada himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik. Selanjutnya sama seperti sebelumnya yaitu meneliti sifat bawaan, sifat image dan pre-image homomorfisma pada himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik.
1.6. Metode Penelitian Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur buku dan jurnal ilmiah terutama yang berhubungan dengan himpunan fuzzy, himpunan fuzzy intuitionistik dan grup fuzzy intuitionistik, serta translasi fuzzy. Untuk memperjelas uraian diatas, berikut disajikan diagram alur dalam penelitian ini. Grup (Adkins)
Himpunan (Zadeh)
(I)
Fungsi Keangotaan ( ) Fungsi Non-Keanggotaan ( ) (Zadeh)
Himpunan Fuzzy (Zadeh)
Subgrup Fuzzy ( ) (Mordeson) Anti Subgrup Fuzzy ( ) (Biswas)
Himpunan Fuzzy Intuitionistik (Atanassov)
( II )
Grup Fuzzy (Mordeson)
(V) ( III )
Grup Fuzzy Intuitionistik (Sharma) ( VI )
( IV )
Translasi Grup Fuzzy (Souriar)
Translasi pada Grup Fuzzy Intuitionistik ( VII ) Sifat-Sifat Translasi pada Grup Fuzzy Intuitionistik
7
Pada tahap I akan diberikan definisi dan teorema mengenai aljabar grup antara lain definisi grup, subgrup, dan subgrup normal serta homomorfisma grup. Pada tahap II diberikan penjelasan tentang teori himpunan fuzzy. Tahap ini terdiri dari definisi dan teorema yang berkaitan dengan himpunan fuzzy antara lain subset fuzzy, komplemen subset fuzzy, level subset fuzzy, image fuzzy, dan preimage fuzzy. Selanjutnya, dengan mengubah struktur himpunan yang digunakan menjadi aljabar grup memunculkan teori grup fuzzy yang dibahas pada tahap III. Tahapan ini membahas mengenai grup fuzzy yang berisikan tentang definisi dan sifat seperti subgrup fuzzy, anti-subgrup fuzzy, subgrup fuzzy normal dan beberapa sifat yang berkaitan dengan grup fuzzy. Pada tahap ini pula diberikan sifat mendasar yang nantinya akan dikembangkan pada penelitian seperti sifat image dan pre-image homomorfisma grup fuzzy. Bagian akhir yang menjadi dasar penelitian adalah tahap IV yaitu mengenai operator translasi fuzzy. Tahap ini membahas mengenai definisi dari operator translasi fuzzy yang disertai dengan sifat-sifat dasar yang berkaitan dengan penelitian. Pada tahap ini juga akan diberikan sifat dari image dan pre-image homomorfisma pada translasi grup fuzzy. Hasil dari penelitian ditunjukkan mulai dari tahap V sampai tahap VII. Tahap V merupakan tahapan mengenai teori himpunan fuzzy intuitionistik. Tahap ini meliputi definisi, operasi dan beberapa teorema yang berkaitan dengan penelitian. Setelah itu, tahap VI merupakan konsep himpunan fuzzy intuitionistik yang diterapkan pada aljabar grup sehingga menghasilkan grup fuzzy intuitionistik. Penjelasan mengenai grup fuzzy intuitionistik berisikan antara lain definisi dan sifat-sifat subgrup fuzzy intuitionistik dan subgrup fuzzy normal intuitionistik. Sifat yang diberikan adalah sifat bawaan, sifat image dan pre-image homomorfisma pada grup fuzzy intuitionistik. Tahap terakhir dari penelitian yaitu tahap VII meliputi definisi dan sifat-sifat translasi pada himpunan fuzzy intuitionistik dan grup intuitionistik. Sifat yang dijelaskan antara lain sifat bawaan translasi dan sifat image serta pre-image translasi.
