BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Setelah berhasil diisolasi oleh Konstantin Novoselov dan Andre Geim pada tahun 2004, yang kemudian dikenal dengan "Scotch − tape method" (Tabert dan Nicol, 2012) yang berhasil mengantarkan mereka meraih penghargaan nobel pada tahun 2010, Graphene yang merupakan kristal atom karbon dua dimensi yang terdiri atas susunan atom karbon pada kisi hexagonal (Novoselov,2011), telah menarik banyak ilmuan untuk menelitinya. Hal ini disebabkan karena adanya sifat-sifat unik pada material graphene yang dahulunya mustahil ditemukan dalam kajian fisika material, diantaranya M assless Dirac F ermions, Balistic Electron T ransport Efek Hall Quantum, dan Chiral T unneling(Neto dkk, 2009). Graphene tersusun pada kisi kisi seperti sarang lebah Honeycomb Lattice(Gambar 1.1)dimana kisi-kisinya terdiri dari dua atom A dan B per unit sel dan invarian terhadap rotasi 120o pada kisinya (Geim,2011). Graphene tersusun atas atom-atom karbon dengan konfigurasi 1s2 2s2 2p2 , dimana terdapat 4 elektron bebas pada orbital 2s dan orbital 2p. Pada orbital p, kemudian bisa dipecah menjadi orbital px ,py ,dan pz (Tabert,2012). Pada graphene 2s, 2px dan 2py , orbital dari atom karbon berkombinasi (hybridize untuk membentuk tiga orbital baru yang disebut SP 2 yang menghasilkan ikatan σ bonds). Orbital pz (satu elektron) tegak lurus pada bidang yang dibentuk atom karbon orbital 2pz dari kombinasi atom-atom yang berbeda untuk membentuk ikatan π(valensi) dan ikatan π*(konduksi). Masing-masing pz menyumbangkan satu elektron. Ikatan π juga bertindak sebagai muatan pembawa pada sistem (Tabert,2012), dimana orbital π berpengaruh terhadap sifat elektronik dari graphene (Perez : 2009) dan hibridisasi dari SP 2 yang merupakan ciri simetri hexagonal pada Graphite, Graphene dan Carbon N anotubes (CNTs) (Dasmukh dan Singh,2013). Pada sudut-sudut Zona Brilloun (Brilloun Zone) yang berbentuk heksagonal, terdapat dua titik yang saling berhimpit antara pita konduksi dan pita valensi yakni pada K dan K 0 yang disebut sebagai titik Dirac (Dirac P oints). Struktur pita yang terletak dekat dengan salah satu titik Dirac ini memiliki
1
2
dispersi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativistik. Partikel-partikel ini dapat dideskripsikan dalam mekanika kuantum melalui persamaan Dirac tak bermassa (Dirac M assless)(Castro Neto, 2009). Pada lembaran graphene netral, ikatan valensi dan konduksi bertemu pada fermi energi yang menyebabkan graphene menjadi semi-metal atau semikonduktor dengan gap bernilai nol. Band-nya berbentuk lembah kerucut yang bersentuhan pada dua simetri tinggi yang ditandai dengan K dan K 0 pada Zona Brilloun (ZB) dekat titik ini dengan variasi energi linear dengan jumlah momentum. (Peres,2009).
Gambar 1.1: Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011) Selain layer tunggal (M onolayer) kajian terhadap graphene juga dilakukan pada pada layer ganda (bilayer) atau banyak layer (multilayer) atau yang dikenal dengan istilah F ew Layer Graphene (FLG). Salah satu model graphene layer ganda adalah graphene layer ganda dengan untiran T wisted Bilayer Graphene (TBG). Model ini sebenarnya berasal dari model tumpukan AA (AA Stack) atau tumpukan AB (AB Stack) pada graphene layer ganda tetapi diantara lembaran adanya sudut rotasi (θ)(Morel dan Pacheo, 2013). Model TBG ini cukup menarik untuk dikaji karena menghasilkan sifat sifat fisis yang tidak ditemukan pada model graphene monolayer seperti pola super struktur(superstructure) yang dikenal dengan pola moire (M oire P attern), Low − Energy SVH (Singularitas V an Hove), massless, Dirac f ermions dan renormalisasi kecepatan fermi(Raza,2012). Selain itu model TBG juga dijadikan gagasan untuk merekayasa graphene murni menjadi superkonduktor yakni dengan cara mendekatkan nilai SVH dengan aras-Fermi. SVH atau juga dikenal
3
dengan titik kritis (Critical P oint) pada ZB, merupakan nilai singularitas DOS pada kristal zat padat. Singularitas ini terjadi berkaitan dengan distribusi elektron pada level states energi. Informasi nilai SVH dapat diamati dari nilai rapat keadaan, sehingga nilai rapat keadaan menarik untuk dikaji. Rapat Keadaan atau Density Of State (DOS) merupakan gambaran tentang keadaan(States) pada tiap level energi (Yuan dkk, 2010). Tabert dalam publikasinya mendefenisikan dengan "gambaran tentang keadaan (States)yang bebas ditempati elektron". Dengan kata lain dari informasi nilai DOS,bisa diperoleh informasi nilai elektron di setiap states pada tiap level energi. Nilai SVH bisa diprediksi pada grafik energi dispersi yakni pada saat nilai gradien garis bernilai minimum. Pada grafik tiga dimensi nilai SVH ini bisa diprediski dari posisi saddle P oint, yakni pada titik pertemuan pada saat nilai valensi dan konduksi bernilai minimum dan bernilai maksimum yang dalam graphene netral berada pada titik M. Dari Informasi DOS juga bisa diperoleh informasi tentang kecepatan fermi vf dimana nilainya bisa diperoleh dari nilai gradien (m) pada pola linearitas yang dibentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang terdapat pada grafik DOS. Perubahan kecepatan fermi vf pada tiap variasi sudut untiran akibat perubahan gradien (m) yang dibentuk dari pola linear pada nilai DOS bisa diperoleh informasi perubahan kecepatan fermi atau disebut Renormalisasi Kecepatan Fermi (vf ). Kajian terhadap nilai DOS sendiri juga telah banyak dilakukan baik secara analitik maupun numerik. Castro Neto, dkk(2009) misalnya menghitung nilai DOS secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameter lompatan atom (Hopping P arameter) t dan t0 dimana nilai t merupakan nilai lompatan untuk atom terdekat dan t0 adalah nilai lompatan atom terdekat selanjutnya. Pada perhitungan tersebut diperoleh nilai SVH yang berada pada nilai ±1eV (Neto dkk,2009). Nilai DOS yang sama juga didapatkan oleh Yuan, dkk (2010) dengan menggunakan pengembangan metode numerik dari model TDSE (T ime − Dependent Schrodinger Equation). Selain monolayer, Tabert(2012) juga Menghitung nilai DOS secara analitik untuk model Graphene Bilayer, baik untuk tumpukan AA maupun tumpukan AB. Sedangkan perhitungan DOS untuk nilai TBG juga dilakukan oleh Li dkk (2009) secara eksperimen menggunakan STM dan STS untuk melihat nilai SVH pada nilai DOS yang diperoleh. Hasil inilah yang menjadi acuan bagi Manaf (2014) untuk menghitung nilai DOS secara analitik dengan sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o ,dan θ = 3, 48o . Ma-
4
naf(2014) mengkaji nilai DOS untuk TBG secara analitik, untuk melihat variasi nilai SVH dan jaraknya terhadap aras-Fermi terhadap variasi nilai sudut untiran θ (Sudut untiran/rotasi antar layer graphene). Li dkk, dalam publikasinya (2009) melakukan pengamatan nilai energi rendah SVH pada nilai DOS secara eksperimen. Pengukuran menggunakan Scanning T unnelling Spectroscopy (STS) ini dilakukan menggunakan graphene TBG. Mereka menemukan bahwa posisi dari singularitas dapat diatur dengan memvariasikan sudut relatif pada sudut diantara layer (Morell dkk, 2010). Perhitungan untuk menghitung nilai DOS pada skripsi ini berdasarkan nilai DOS yang telah diteliti sebelumnya dengan sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o ,dan θ = 3, 48o (Manaf, 2014). Pada umumnya rapat keadaan dihitung P secara numerik menggunakan persamaan N (E) = Nf k δ(E − E(k)), yakni ketika posisi E = E(k) dimana nilai selisihnya sama dengan nol. N f merupakan faktor degenerasi kemudian nilai-nilai N (E) dikelompokan berdasarkan nilai-nilai yang memiliki nilai-nilai yang hampir sama, misal nilai akar-akar yang diperoleh adalah 1.85, 1.9, 2, 2,1 dan 2.15. Nilai-nilai ini dikelompokan kedalam nilai 2 sehingga berjumlah lima untuk menjadi jumlah nilai rapat keadaan pada level energi (E) tersebut. Dari metode yang digunakan akan terlihat bahwa nilai yang dihasilkan akan memilki nilai ralat yang cukup besar dikarenakan nilai-nilai yang ada dianggap sama dengan nilai yang terdekat sehingga memiliki selisih berdasarkan nilai rentang pengelompokan nilai-nilai tersebut, misal untuk kasus diatas nilai dua berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memiliki rentang sebesar ±0, 35. Atas dasar inilah untuk tinjauan pada skripsi ini digunakan metode yang lebih akurat yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai tersebut dapat direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energi dispersi dikurangi dengan nilai level energi E. Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode N ewton-Raphson(NR). Penggunaan metode pencarian nilai akar, Newton-Raphson. dikarenakan untuk menghitung nilai akar-akar pada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan awal, sehingga nilai tebakan awal bisa dibuat pada rentang nilai tertentu karena setiap nilai akan dianggap sebagai nilai tebakan awal. Selain karena yang akan menjadi nilai rapat keadaan adalah jumlah dari nilai-nilai yang ada, misal seperti contoh diatas untuk nilai N(k) pada level energi (E) yakni 1,85, 1,9, 2, 2,1 dan 2,15 sehingga nilainya berjumlah lima untuk nilai N(k)=2. Pada persamaan energi dispersi ti-
5
dak semua nilai tebakan awal akan memiliki nilai akar-akar sehingga setiap nilai akar-akar yang ada akan didefenisikan sebagai nilai 1 jika memilki nilai akar dan bernilai 0 jika tidak memilki nilai akar. Penjumlahan nilai akar yang telah didefenisikan inilah yang kemudian dijumlahkan pada tiap level energi yang menjadi nilai rapat keadaan. Karena perhitungan nilai rapat keadaan berdasarkan energi dispersi pada dengan dua variabel x dan y selain penjumlahan berdasarkan nilai level energi misal variabel y, nilai-nilai rapat keadaan yang diperoleh juga dijumlahkan pada pada variabel y sehingga jika divisualisasikan akan berupa penjumlahan slices. sejauh ini penulis belum menemukan metode perhitungan rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR. Oleh karena itulah penulis tertarik untuk mencoba mengkaji metode ini. 1.2
Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah: Material Graphene layer ganda (Bilayer Graphene) ditinjau secara puntiran TBG dimana sudut untiran divariasi sebesar 1, 16o 1, 79o dan 3, 84o . Penelitian ini dilakukan dengan melakukan perhitungan secara numerik untuk membandingkannya dengan hasil yang didapatkan secara analitik maupun eksperimen dari acuan nilai yang telah ada. Nilai yang dihitung ialah Rapat keadaan atau Density of State (DOS) menggunakan metode Newton-Raphson (NR) dan menganalisa nilai SVH,renormalisasi dari kecepatan fermi vf , dan faktor lompatan energi (tθ ) yang didapatkan dari nilai DOS untuk variasi sudut untiran (θ). 1.3
Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah :
1. Memahami struktur elektronik dari Sistem TBG. 2. Membuat program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson (NR) untuk menghitung nilai DOS pada graphene layer tunggal dan graphene layer ganda. 3. Menghitung dan membandingkan dengan nilai DOS dan SVH pada perhitungan yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya baik analitik maupun eksperimen
6
serta mengkaji nilai renormalisasi kecepatan fermi vf dan parameter faktor energi lompatan (tθ ) pada TBG. 1.4
Tinjauan Pustaka
Kajian terhadap terhadap nilai DOS dari graphene juga telah banyak dikaji, baik secara teoretik maupun numerik, Castro Neto, dkk (2009) dalam publikasinnya melakukan kajian analitik untuk nilai DOS pada Monolayer Graphene dimana diperoleh nilai persamaan DOS per unit sel: ρ(E) =
2Ac |E| π vf2
(1.1)
√ Ac adalah area unit sel dengan nilai Ac = 3 3a2 /2. Nilai DOS tersebut merupakan nilai graphene yang berbeda dari nilai DOS pada Carbon Nanotubes (Neto dkk,2009). Yuan, dkk (2010), menghitung nilai DOS secara numerik dengan algoritma yang merupakan pengembangan dari model TDSE untuk menemukan distribusi nilai eigen (Eigen V alue) dalam area matriks yang sangat luas. Ide utama yang digunakan ialah superposisi acak dari semua basis states sebagai inisial P state |ϕ(0)i = i ai |ii, dimana |ii merupakan basis states dan ai merupakan bilangan kompleks. Solusi numerik dari TDSE (T ime Dependent Schrodinger Equation) menggunakan persamaan alghoritma Chebyshev polynomial yang berdasarkan pada representasi dari polinomial dari operator U (t) = eitH . Dari gambar (1.2) dan (1.3) yang merupakan hasil dari perhitungan DOS secara analitik pada graphene monolayer, diperoleh nilai DOS terhadap variasi nilai Energi dispersi (E(~k))/Nilai harap (t). Hasil dengan pola yang sama, dengan faktor SVH berkisar pada rentang pada rentang nilai ±1eV, Tabert (2012) dalam publikasinya menghitung nilai DOS untuk graphene layer ganda untuk tumpukan AA dan tumpukan AB. Berdasarkan nilai persamaan DOS (Tabert,2012): ε ε 2γ N (ε) = 2 − 1 + + 1 . γ γ π (~υf )
(1.2)
Gambar (1.3(atas)) dan (1.4(a)) memperlihatkan perbedaan nilai DOS antara lembaran tumpukan AA dan tumpukan AB. Untuk nilai DOS pada AA stack (gambar 1.5)ada dua variasi nilai yakni tanpa nilai assymmetri gap
7
Gambar 1.2: Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompatan atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Neto dkk,2009) (∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tumpukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π(~vf )2 . Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan menggunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunneling spectroscopy) yang didasarkan pada pola moire0 (moire0 pattern), menemukan nilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o (Gambar 1.9) (Li dkk,2009). Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memiliki kemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untuk θ = 1, 79o ,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009). Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBG secara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Li dkk,2009) dengan menggunakan persamaan : D(E) =
βα2 + Ef2 1 N [ln| |]. 16απ 3 βα2 + E 2
(1.3)
Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untuk variasi 3 sudut yakni1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o . dari ketiga tersebut memperlihatkan
8
Gambar 1.3: (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode metode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(bawah)(a)Rapat muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Graphene layer Ganda tumpukan AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012) grafik DOS pola yang sama. Perbedaannya terdapat pada nilai SVH (Menjadi puncak pada grafik) yang berbeda pada masing masing grafik. Semakin besar sudut untirannya maka besar nilai SVH bergeser ke nilai yang lebih besar yakni dari Dirac P oint. Nilai DOS yang di plot pada sumbu-y pada grafik yang diperoleh juga memperlihatkan nilai yang lebih besar untuk nilai untiran yang lebih besar. Dari hasil kajian pustaka yang telah dilakukan menunjukan bahwa perhitungan nilai DOS menggunakan Metode NR khususnya untuk perhitungan nilai DOS graphene monolayer maupun graphene TBG, belum pernah ada sebelumnya sehingga penulis tertarik untuk mencoba melakukan perhitungan nilai DOS menggunakan metode NR ini.
9
Gambar 1.4: (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012) (b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 79o , t⊥ = 0, 24 eV(Li dkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene 1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o (Manaf,2014)
10
1.5
Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi adalah studi/kajian literatur dan perhitungan secara numerik menggunakan program Matlab.Secara umum tahap tahapnya adalah : 1. Mempelajari Struktur elektronik dari sistem graphene baik Monolayer, Bilayer, dan TBG sampai dengan persamaan energi dispersi. 2. Membuat program perhitungan untuk menentukan nilai DOS pada graphene dan TBG untuk variasi θ 1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o menggunakan metode Newton-Raphson. 3. Menganalisa nilai DOS yang telah diperoleh yakni perbandingan nilai DOS tiap untiran, posisi SVH/sudut kritis, renormalisasi kecepatan fermi (F ermy V elocity,vf ) akibat variasi sudut untiran dan faktor energi lompatan (to ) untuk TBG. Nilai DOS yang dihitung pada model graphene monolayer dan model TBG. Model graphene monolayer bertujuan untuk melihat apakah program perhitungan yang dibuat hasilnya sama dengan nilai perhitungan DOS pada model graphene monolayer yang telah ada sebelumnya. Kemudian jika hasilnya sesuai modal perhitungan tersebut digunakan untuk perhitungan DOS pada model graphene TBG dengan variasi variasi θ 116o ,1, 79o ,dan 3, 48o . Alur perhitungan persamaan energi dispersi untuk menghasilkan nilai DOS menggunakan metode Newton Raphson berdasarkan persamaan energi dispersi dijelaskan pada bagan alir pada gambar (1.5). Sedangkan bagan alir penelitian dan bagan algoritma perhitungan DOS dari persamaan energi dispersi menggunakan metode NR dengan parameterparameter numerik yang ada, dijelaskan pada gambar (1.6) dan gambar (1.7)
11
Gambar 1.5: Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghitung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k)
Gambar 1.6: Diagram alir penelitian
12
Mulai
Energi dispersi E(k), E’(k) Parameter, E, Ky, Kx,n
xi 1 = xi -
E(xi ) E E ' (xi )
Iterasi > n
Iterasi < n
xi 1 xi -
E(xi ) E E ' (xi )
Xi+1 = 0
xi 1 = xi -
E(xi ) E E ' (xi )
Xi+1 = 1
i
xiy 1 =
x i n
i
i
i n
i n
iy 1
xix1 = ix ( xiy1 )
Selesai
Gambar 1.7 Algoritma menghitung DOS menggunakan metode Newton-Raphson
13
Perhitungan secara numerik menggunakan metode Newton Raphson (NR) berdasarkan energi dispersi. Persamaan ini dimasukan kedalam program perhitungan dengan berbagai variasi parameter numerik yang telah dibuat menggunakan program Matlab dengan spesifikasi komputer yang digunakan yakni OS processor intel(R) Core(TM)i3-3217U CPU @1.8 GHz RAM 4 GB 64 Bit Operating. Sedangkan untuk nilai turunan dari energi dispersi (E 0 (x)) yang dipakai pada persamaan NR dihitung secara numerik menggunakan fungsi diff(E(x),Ky) yang telah tersedia pada program Matlab (Lampiran A 1.2). 1.6
Sistematika Penulisan
Skripsi ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing terdiri dari beberapa sub-bab dengan merinci pokok-pokok permasalahan sehingga penulisannya dapat dilakukan secara sistematis. 1. Bab I. Pendahuluan berisi uraian latar belakang masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, sistematika penelitian dan keaslian skripsi. 2. Bab II.Landasan Teori ; berisi tentang konsep -konsep dasar dari beberapa sifat graphene meliputi, Sifat Geometri, Nilai Halmitonan, Energi dispersi,dan Density Of State (DOS) SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi (vf ) untuk lembaran tunggal (Monolayer) graphene,lembaran ganda (Bilayer) dan lembaran ganda dengan untiran atau T wisted Bilayer Graphene (TBG). 3. Bab III.Hasil dan Pembahasan; berisi hasil dari peritungan numerik serta pembahasan tentang hasil perhitungan numerik dan perbandingan dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara teoritik maupun eksperimen. 4. Bab IV.Kesimpulan dan saran.
