1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Pada awalnya deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier pada tahun 1807 untuk memecahkan model masalah persamaan panas pada suatu lempeng logam (Fourier, 1878). Meskipun motivasi awal adalah menyelesaikan model tersebut, namun kemudian deret Fourier dikembangkan untuk menyelesaikan banyak permasalahan dalam matematika dan fisika seperti penyelesaian persamaan diferensial biasa maupun parsial. Salah satu permasalahan yang menarik pada deret Fourier adalah tentang kemonotonan koefisien-koefisien deret Fourier, yaitu monoton turun dan konvergen ke nol karena merupakan salah satu syarat cukup agar deret tersebut konvergen seragam. Barisan koefisien dengan sifat monoton turun dan menuju ke nol dari sin
.
(1.1.1)
tersebut dimasukkan dalam klas yang disebut klas MS (monotone sequences). Dalam analisis Fourier, sifat-sifat koefisien deret sinus (1.1.1)
pertama kali
dibahas oleh Chaundy dan Jollife (1916). Setelah beberapa puluh tahun kemudian Shah (1962),
memperluas klas MS
dengan cara memperlemah syarat
kemonotonan ke dalam suatu klas yang disebut CQMS (classical quasi-monotone sequences). Selanjutnya Garret dkk. (1980) menyatakan bahwa jika { } bervariasi terbatas (bounded variation) dengan syarat tertentu maka deret (1.1.1) konvergen, kemudian Basar dan Altay (2003) menyatakan bahwa ruang barisan bervariasi terbatas merupakan ruang Banach. Lebih lanjut, beberapa peneliti seperti Stanojevic (1990), Leindler (2001, 2002, 2005, 2007, 2010, 2011) , Zhou (1994, 2005, 2007, 2010, 2011), dan Tikhonov (2007, 2008, 2009, 2011) berturut-turut memperlemah syarat monoton klas MS ke dalam klas
ORVQMS (O-regularly varying quasimonotone
2
sequences), RBVS (rest bounded variation sequences), GBVS (group bounded variation sequences) dan GMS (general monotone sequences). Zhou dkk. (2010) berhasil membuktikan bahwa klas monoton dapat digeneralisasi menjadi klas MVBVS (mean value bounded variation sequence). Lebih lanjut diperoleh ⊊
∪
⊊
⊊
⊊
. Jika syarat monoton di dalam
klas MVBVS diperlemah lagi maka kekonvergenan seragam deret sius (1.1.1) tidak terjamin. Menurut Zhou dkk. (2010) klas MVBVS merupakan generalisasi terakhir (ultimate generalization) dari klas bervariasi terbatas sisa (rest bounded variation). Namun demikian ternyata Korus (2010) berhasil mematahkan pendapat tersebut dengan memperkenalkan klas baru yang merupakan generalisasi dari klas MVBVS yaitu klas SBVS (supremum bounded variation sequences) dan klas SBVS2 (supremum bounded variation sequences of 2nd type) yang telah ⊊
berhasil dibuktikan bahwa
⊊
2. Pengembangan lebih
lanjut Korus (2011) memperkenalkan klas MVBVDS (mean value bounded variation double sequences), SBVDS1 (supremum bounded variation double sequences od 1st type) dan SBVDS2 (supremum bounded variation double sequences of 2nd type), yang merupakan barisan ganda dan masing-masing klas lebih umum daripada klas MVBVS, SBVS dan SBVS2. Sebelum diperkenalkan klas MVBVS dan SBVS Liflyand dan Tikhonov (2009) mengembangkan klas GMS ke
ℳ
(p-general monotone sequence)
yang terdiri dari klas monoton barisan bilangan, serta dari klas GM (general monotone) ke klas
ℳ (p-general monotone ) yang merupakan klas fungsi.
Salah satu sifat dari klas ℳ variation)
dan ℳ adalah bervariasi terbatas (bounded
yang merupakan hal penting dalam beberapa topik seperti
kekonvergenan deret Fourier (Liflyand dan Tikhonov, 2011). Selanjutnya klas ℳ
dapat diterapkan untuk masalah aproksimasi deret trigometri terhadap
polinomial trigonometri orde n, sedangkan klas
ℳ dapat diterapkan pada
keterintegralan tranformasi Fourier. Kemudian Korus (2011) memperkenalkan klas SBVF (supremum bounded variation functions) dan SBVF2 (supremum bounded variation functions of 2nd
3
type) yang memuat klas monoton tentang fungsi. Berdasarkan uraian di atas klas GMS dapat digeneralisasi menjadi klas MBVS dan SBVS dalam arah barisan bervariasi terbatas sisa (rest bounded variation). Kemudian dengan adanya klas SBVS2 perlu adanya asumsi yang harus dipenuhi agar klas tersebut terdefinisi dengan baik (well defined) yaitu lim lim
→
→
= 0 untuk klas barisan dan
( ) = 0 untuk klas fungsi, maka perlu dilakukan penelitian lebih lanjut
dengan menghilangkan asumsi tersebut. Salah satu caranya yaitu dengan menggeneralisasi klas
ℳ
dan ℳ dalam arah bervariasi-p terbatas sisa (rest
bounded p-variation) untuk barisan bilangan tunggal dan ganda maupun fungsi, yang tidak menggunakan asumsi tersebut dan dapat diganti dengan asumsi lain, Dengan mengganti asumsi tersebut akan diperoleh klas yang lebih luas dan selanjutnya akan diteliti sifat-sifat klas tersebut yang berkaitan dengan kekonvergenan seragam deret sinus, sehingga syarat cukup kekonvergen dapat menggunakan asumsi baru tersebut. Selain syarat kekonvergenan menggunakan asumsi baru tersebut, mengingat klas-klas yang diteliti merupakan barisan selisih maka sangat berkaitan dengan klas barisan bervariasi terbatas. Kemudian menurut Moricz (1988), barisan koefisien-koefisien deret Fourier yang bervariasi terbatas dan monoton turun terjamin konvergen. Oleh karena itu diduga pada konstruksi klas baru jika dibatasi pada barisan bervariasi terbatas dengan syarat tertentu, kekonvergenan deret Fourier sinus tejamin. Ada suatu cara untuk membatasi klas barisan pada klas bervariasi terbatas yaitu dengan menggunakan norma tertentu. Kemudian dengan norma tertentu
konstruksi klas barisan tersebut merupakan
ruang bernorma sehingga klas baru tersebut bervariasi terbatas. Selanjutnya dengan klas baru bervariasi terbatas merupakan ruang Banach terhadap norma tertentu. Hal tersebut digunakan untuk menjamin kekonvergenan deret Fourier sinus. Kemudian karena alasan itu dapat diteliti pula kelengkapan dari ruang barisan tersebut. 1.2 Perumusan Masalah Penelitian Berdasarkan uraian dalam latar belakang, secara umum rumusan masalah penelitian ini adalah: Mengkonstruksi dan menyelidiki sifat-sifat generalisasi klas monoton dari klas GM termasuk kaitannya dengan ruang Banach dengan
4
norma tertentu dan konsep-konsep yang terkait di dalamnya serta konsistensinya pada kekonvergenan seragam deret maupun integral
sinus. Secara terperinci
perumusan masalah penelitian ini adalah mengkaji masalah-masalah sebagai berikut: 1. Generalisasi klas monoton deret tunggal dari klas GM ke klas yang lebih umum dalam arah bervariasi-p terbatas sisa dengan 1 ≤
< ∞ beserta
syarat cukup kekonvergenan . 2. Generalisasi klas monoton deret ganda dari klas klas yang lebih umum dalam arah 1≤
dan SBVS2 ke
bervariasi-p terbatas sisa dengan
< ∞ beserta syarat cukup kekonvergenan.
3. Generalisasi klas monoton fungsi dari klas
ℳ ke klas yang lebih umum
dalam arah bervariasi-p terbatas sisa dengan 1 ≤
< ∞ beserta syarat
cukup kekonvergenan. 4. Meneliti struktur dan sifat-sifat dari ruang-ruang generalisasi klas monoton. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini dibagi dalam dua bagian, yaitu tujuan umum dan tujuan khusus. 1) Tujuan umum: a) Ikut mengembangkan bidang matematika. b) Ikut mengembangkan apresiasi matematika di Indonesia. 2) Tujuan khusus. a) Pengembangan klas monoton barisan bilangan tunggal
ke klas
monoton barisan bilangan dalam arah bervariasi-p terbatas sisa dengan 1 ≤
< ∞, mempelajari karakteristik masing-masing klas
beserta hubungan antar klas, menyelidiki syarat cukup agar deret sinus tunggal konvergen seragam serta struktur ruang klas baru terhadap norma tertentu dan penerapan dari klas tersebut. b) Pengembangan klas monoton barisan bilangan ganda
dan
SBVS2 masing-masing ke klas monoton barisan bilangan dalam
5
arah bervariasi-p terbatas sisa dengan 1 ≤
< ∞, mempelajari
karakteristik masing-masing klas beserta hubungan antar klas serta menyelidiki syarat cukup agar deret sinus ganda konvergen seragam dan strukur ruang baru terhadap norma tertentu. c) Pengembangan klas monoton fungsi ℳ ke klas monoton fungsi dalam arah bervariasi-p
terbatas sisa dengan 1 ≤
< ∞,
mempelajari karakteristik masing-masing klas beserta hubungan antar klas serta serta menyelidiki syarat cukup agar integral sinus tunggal konvergen seragam,
struktur ruang klas baru dengan
norma tertentu dan penerapan dari klas tersebut. 1.4 Manfaat Penelitian Berdasarkan tujuan penelitian di atas, manfaat penelitian yang diharapkan adalah sebagai berikut: 1) Memberikan sumbangan pemikiran bagi pengembangan ilmu matematika dalam bidang analisis khususnya klas monoton barisan. 2) Memperluas penerapan matematika analisis khususnya barisan. 1.5 Tinjauan Pustaka Deret Fourier dari suatu fungsi periodik f merupakan deret trigonometri untuk f. Jika f periodik dengan periode 2
dan terintegral pada interval [0,2 ]
maka koefisien-koefisien Fourier dari deret Fourier dapat dihitung. Selanjutnya timbul pertanyaan apakah deret Fourier yang terjadi sama dengan fungsi semula. Untuk menjawab pertanyaan tersebut beberapa peneliti melakukan beberapa kajian, diantaranya adalah Dirichlet (1829) yang memberikan hasil, “jika f periodik dengan periode 2 dan mulus bagian demi bagian, maka deret Fourier tersebut konvergen ke ( ) jika
titik kontinu dan konvergen ke
[ ( − 0) + ( + 0)] jika
titik diskontinu”. Kemudian
menyatakan bahwa, “Diberikan
Jordan (1881)
fungsi periodik dengan periode 2 , jika
bervariasi terbatas pada interval terbuka I maka deret Fourier tersebut
6
[ ( − 0) + ( + 0)] untuk setiap
konvergen ke
∈
dan jika
kontinu
maka deret Fourier tersebut konvergen ke ”. Selanjutnya Chaundy dan Jollife (1916) mendapat hasil sebagai berikut: “Jika cn ≥ cn+1 dan cn→0, maka syarat perlu dan cukup agar deret sinus (1.1.1) konvergen seragam ke f adalah ncn→0”. Barisan koefisien (1.1.1) dengan sifat monoton turun dan konvergen ke nol tersebut dimasukkan dalam klas yang disebut klas MS (monotone sequences). Beberapa peneliti tertarik untuk menggeneralisasi klas MS dengan syarat deret (1.1.1) tetap konvergen seragam. Pada dasarnya ada dua cara untuk menggeneralisasi klas tersebut. Cara pertama dilakukan berdasarkan tipe barisan-barisan quasi-monoton (quasi-monotone) dan cara kedua berdasarkan barisan bervariasi terbatas sisa (rest bounded variation). Shah (1962) telah memperkenalkan klas barisan quasi monoton standar, dituliskan CQMS (classical quasi monotone sequences), yaitu = {
} ⊆ ℝ ∶ ∃ > 0 sehingga
turun .
Klas yang lebih umum dari CQMS adalah klas ORVQMS ( O-regularly varying quasi-monotone sequences) yang diberikan sebagai berikut: ={
=
}:
∈ ℝ ,∃ {
} naik dan
turun .
Sedangkan penelitian dengan cara kedua untuk memperumum kondisi klas monoton dilakukan dengan cara yang disebut klas bervariasi terbatas sisa (Leindler, 2001), yang dituliskan = {
dengan
RBVS (rest bounded variation sequence)
} ⊆ ℝ ∶ ∃ > 0,∑
|
−
|≤
.
Klas-klas
CQMS dan RBVS tidak dapat dibandingkan dalam arti tidak saling memuat (Leindler, 2002). Kemudian Le dan Zhou ( 2005) mendefinisikan klas baru yang disebut GBVS (group bounded variation sequences) yaitu = {
} ⊆ ℂ: ∃
∈ ℕ dan
> 0,
|
−
|≤
maks |
| .
7
Klas GBVS yang dibangun merupakan klas yang lebih luas dari RBVS dan CQMS, yaitu: ⊊
∪
⊊
.
Setelah melakukan penelitian lebih lanjut, Zhou dan Le (2005) menyimpulkan bahwa klas monoton RBVS mempunyai karakteristik monoton satu sisi (one > 0 dan
sided) yaitu: terdapat
dan dikendalikan oleh bahwa untuk
≤ =
∈ ℕ dengan sifat untuk setiap
. Untuk barisan {
}∈
≥ ,
≤
dapat ditunjukkan
≤ 2 , berlaku ∆
+
≤
∆
+
≤
+
dan hal ini dapat dinyatakan sebagai klas monoton dua sisi (two sided), karena dikendalikan tidak hanya oleh
tetapi oleh
. Inti perluasan klas RBVS ke
klas GBVS adalah perluasan klas monoton satu sisi ke dua sisi. Namun demikian dengan definisi dari GBVS , dapat disimpulkan bahwa ≤ sehingga
≤
+|
∆
untuk semua
≤
|≤
≤2 ,
, yang berarti bahwa syarat
keanggotaan di dalam klas GBVS masih satu sisi, dengan ∆
=
−
.
Selanjutnya pada tahun 2007, Tikhonov mendefinisikan klas GMS (general monotone sequences) sebagai berikut: = {
} ⊆ ℂ: ∃ > 0,
|
|≤ |
−
|
.
Klas GMS masih memuat RBVS tetapi tidak memuat GBVS (Tikhonov, 2008) yaitu ⊊
∪
⊊
⊊
.
Kemudian Yu dan Zhou (2007) memperkenalkan klas NBVS (non-onesided bounded variation sequences) yang merupakan generalisasi dari GBVS.
8
Intinya perluasan GBVS ke NBVS adalah perluasan dari klas satu sisi ke klas dua sisi dengan definisi berikut: = {
} ⊆ ℂ,
|
|≤
−
(|
|+|
|)
untuk suatu konstanta positif C. Telah dibuktikan bahwa ⊊
∪
⊊
⊊
⊊
.
Generalisasi klas monoton yang termasuk dalam arah bervariasi terbatas sisa masih dapat dikembangkan menjadi klas MVBVS (mean value bounded variation sequences)
(Zhou dkk, 2010), yang tetap memenuhi teorema kekonvergenan
seragam dari deret (1.1.1), dengan definisi berikut: [
= {
} ⊆ ℂ: ∃ > 0 dan
≥ 2,
|
]
|≤
−
| [
|
,
]
dengan [ ] menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Klas ini merupakan generalisasi dari klas dua sisi ke klas n sisi (n sided) . Klas MBVS tetap mempertahankan teorema klasik dari Chaundy dan Jollife dengan mengganti { } barisan monoton turun menjadi { } ∈ yang dinyatakan sebagai berikut;”Jika { } ∈
dan
→ 0, maka syarat → 0 untuk
perlu dan cukup agar deret (1.1.1) konvergen seragam adalah → ∞”.
Generalisasi klas monoton yang mengacu pada kekonvergenan seragam deret (1.1.1) dalam arah bervariasi terbatas sisa menurut Zhou (2005) sudah berakhir, namun pendapat tersebut berhasil dipatahkan oleh Korus (2010) dengan memperkenalkan klas SBVS (supremum bounded variation sequences) dengan definisi berikut = {
} ⊆ ℂ ∶ ∃ > 0 dan
≥1,
|∆
|≤
sup
|
|,
[ / ]
dan klas SBVS2 (supremum bounded variation sequences of second type) 2=
≥
9
{
} ⊆ ℂ ∶ ∃ > 0, ∃{
⊊
|∆
|≤
|
sup
|,
≥1 ,
hanya tergantung pada barisan {
} dengan
Kemudian Korus (2010) berhasil membuktikan bahwa
⊊
dengan konstanta C, ≤ .
}↗∞, dan
2. Lebih lanjut teorema klasik oleh Chaundy dan Jollife masih
tetap berlaku jika { } ∈
digantikan dengan { } ∈
2.
Selanjutnya Korus (2011) mengembangkan deret sinus ganda untuk dua variabel sebagai berikut. Diberikan
=
⊆ ℂ dan diperhatikan deret sinus
sin
sin
.
(1.5.1)
Seperti ide deret sinus (1.1.1) untuk satu variabel, untuk menyelidiki kekonvergenan seragam deret sinus ganda koeisien-koefisien deret (1.5.1) dianggap menjadi anggota klas kemonotonan barisan-barisan ganda.
Korus
1 (supremum bounded variation double
(2010) telah memperkenalkan klas
2 (supremum bounded variation double
sequences of first type) dan
=
sequences of second type). Barisan ganda
⊆ ℂ disebut barisan ganda
bervarisi terbatas supremum tipe pertama ditulis SBVSDS1, jika terdapat konstanta ≥ 2 dan barisan
C > 0, bilangan bulat
,
divergen ke tak hingga dan hanya tergantung Δ
≤
|Δ
|≤
|
maks
≤
sup
dengan =
masing-masing
,
,
≥ ,
≥ 1,
|,
≥ 1,
≥ ,
,
,
∆
,
,
,
Δ
,
sehingga
maks ,
,
−
,
,
,
,
≥ ,
10
∆ ∆
= ∆
Selanjutnya
=
∆
−
=∆
barisan ganda
,
,
∆
=
=
−
,
−
+
,
,
.
⊆ ℂ disebut barisan ganda bervariasi
terbatas supremum ditulis SBVSDS2, jika terdapat konstanta C > 0, bilangan bulat ≥ 1 dan barisan naik monoton { tergantung
}, yang menuju ke tak hingga dan hanya
sehingga
Δ
≤
sup
|Δ
|≤
sup
Δ
≤
|
,
≥ ,
≥ 1,
|,
≥ 1,
≥ ,
sup
,
,
≥ .
Dengan klas MBVDS dapat dinyatakan teorema baru yang dibuktikan oleh Korus dan Moricz (2009) sebagai berikut: “Jika {
}∈
→ 0, untuk
dan
+ → ∞ maka deret (1.5.1) konvergen biasa (regular) seragam”. Lebih lanjut Moricz (2009) mendefinisikan klas (2011) mendefinisikan klas
(ℝ ) dan
(ℝ ), dan Korus
2(ℝ ) sebagai berikut. Fungsi
kompleks f yang didefinisikan pada ℝ disebut fungsi (i)
bervariasi terbatas nilai rata-rata (mean bounded variation functions) (ℝ ) jika terdapat konstanta-konstanta ,
ditulis
> 0 dan
≥2
yang hanya tergantung f dan memenuhi | ′( )|
untuk (ii)
≤
| ( )|
> .
bervariasi terbatas supremum (supremum bounded variation functions) ditulis
(ℝ ) jika terdapat konstanta-konstanta ,
yang hanya tergantung f dan memenuhi
> 0 dan
≥2
11
| ′( )|
≤
| ( )|
sup /
> .
untuk (iii)
bervariasi terbatas supremum tipe kedua (supremum bounded variation 2(ℝ ) jika terdapat konstanta-
functions of second type) ditulis konstanta ,
> 0 dan fungsi positif B yang didefinisikan pada [0, ∞), ( ) ≤ , hanya tergantung f
naik monoton menuju tak hingga dengan dan memenuhi | ′( )|
≤
| ( )|
sup ( )
> .
untuk
(ℝ ) digunakan untuk menyelidiki syarat cukup untuk
Kemudian klas : ℝ → ℂ dan ∈ ℝ
agar barisan integral sinus ( ) sin
= { ( )}
(1.5.2)
terbatas seragam pada ℝ dan dikatakan terbatas seragam dari barisan fungsi (1.5.2) berarti terbatas seragam pada setiap interval terbuka
⊂ ℝ . Berdasarkan (ℝ ) untuk
(1.5.2), Moricz (2009) telah menggunakan anggota dari membuktikan teorema berikut ; “ Diberikan (i)
Jika
∈
(ℝ ),
: ℝ → ℂ dan .
terbatas, dengan : ℝ → ℝ
(1.5.3)
maka barisan integral (1.5.2) terbatas seragam. (ii)
Jika
: ℝ → [0, ∞) dan barisan integral
(1.5.2) terbatas seragam,
maka kondisi (1.5.3) berlaku. Sebelum adanya konsep klas MBVS dan SBVS, Liflyand dan Tikhonov (2009) mengembangkan konsep kemonotonan
lain untuk barisan, yaitu klas
ℳ
(general p-monotone sequences) dengan definisi berikut :
ℳ
=
12
/
( , ): untuk 1 ≤
={
} ⊆ ℂ;
={
} ⊆ [0, ∞), ∃ > 0,
|∆
< ∞. Berikut ini Teorema untuk klas ℳ
|
≤ = 1, yang
, dengan
dibuktikan oleh Dyachenco dan Tikhonov (2008). “Jika ({ }, ) ∈ ℳ
→ 0 untuk
dan
→ ∞, maka deret (1.1.1)
konvergen seragam pada [0,2 ]”. Kemudian Liflyand dan Tikhonov (2011) , mengembangkan klas untuk fungsi, yaitu klas ℳ (general p-monotone ): ℳ = (ℎ, ): ( ) ≥ 0; ‖ℎ′‖
( ,
)
≤
( ),
∈ℝ
dengan h fungsi komplex yang didefinisikan pada ℝ ,
fungsi real non-negatif
yang didefinisikan pada ℝ , C suatu konstanta positif dan 1 ≤
< ∞.
Selanjutnya mengingat fakta untuk klas barisan tunggal berlaku ⊊
∪
⊊
⊊
⊊
⊊
2,
untuk barisan ganda berlaku ⊊
1⊊
2
dan untuk klas fungsi berlaku (ℝ ) ⊊
(ℝ ) ⊊
2(ℝ ),
serta perkembangan tentang klas kemonotonan, ditemukan
peluang untuk
melakukan penelitian lebih lanjut tentang pengembangan klas tersebut
baik
untuk barisan bilangan maupun fungsi beserta penerapannya. 1.6 Keaslian Penelitian Sejauh penelusuran yang dilakukan Peneliti, belum ditemukan penelitian lanjutan dalam arah sisa bervariasi-p terbatas
selain klas
ℳ
dan
ℳ.
Mengingat adanya perkembangan tentang klas monoton sehingga akan dilakukan penelitian lebih lanjut tentang klas tersebut baik untuk barisan bilangan maupun fungsi. Selanjutnya berdasarkan kajian yang telah peneliti lakukan, terdapat perbedaan mendasar pada generalisasi klas kemonotonan barisan tunggal dalam arah sisa bervariasi-p terbatas dengan klas-klas sebelumnya yang sudah ada.
13
,
Konstruksi pada klas-klas yang telah ada seperti ,
,
2 disyaratkan bahwa barisan {
dan
,
,
} yang menjadi
anggotanya harus memenuhi lim
= 0.
→
2 dengan barisan {
Hal ini terjadi supaya pada konstruksi klas
},
≤
memenuhi |∆
lim →
| ≤ lim
|
sup
→
| <∞
(1.6.1)
Karena |
sup
|≤
] + )| ∗ |}
sup{([
dengan | ∗ | = maks | = 0,1, 2, … dan lim lim
|
→
∗|
|
sup
→
= lim
|, … , |
→
(
)
,
| = 0, sehingga sup{( + )| ∗ |} < ∞.
| ≤ lim →
Oleh karena itu pada konstruksi generalisasinya seperti pada diagram Gambar ℬ
1.8.1 yaitu klas barisan pengendali real non-negatif
,
={
={
ℳ ℬ
,
ℬ
,
ℬ
2
ℬ
dan
2 (∆ ),
} pada ruas kanan dari (1.6.1) diganti dengan barisan
} dengan asumsi lim
=0
→
yang tidak tergantung barisan
={
}. Dengan demikian asumsi lim
→
=
0 dihapuskan dan konstruksi baru menjadi klas yang lebih umum. Pada barisan ganda konstruksi baru yaitu klas ℳ ℬ
,
ℬ
2
dan
didefinisikan sejalan dengan konstruksi barisan tunggal yaitu pengendali
=
ℬ
barisan ganda
digantikan dengan barisan ganda real non-negatif
dengan asumsi lim →
= 0.
Akibatnya konstruksi baru bersifat lebih umum.
2 (∆ ),
=
14
Kemudian pada konstruksi klas fungsi yang telah ada seperti klas (ℝ ),
(ℝ ),
2(ℝ ), disyaratkan bahwa fungsi
anggotanya harus memenuhi
lim
→
( ) = 0. Sejalan dengan klas barisan 2(ℝ ), yang memenuhi
tunggal supaya pada konstruksi klas | ( )|
yang menjadi
≤
sup
| ( )|
,
(1.6.2)
( )
dengan lim →
sup
| ( )|
Selanjutnya pada konstruksi baru yaitu klas ℬ ℱ (ℝ+ ) dan
< ∞.
( )
ℬ ℱ (ℝ ), ℳ ℬ ℱ (ℝ ),
ℬ ℱ2 , (ℝ ) fungsi pengendali pada ruas kanan (1.6.2)
diganti dengan fungsi real non-negatif
yang didefinisikan pada ℝ
dengan
asumsi lim ( ) = 0. →
1.7 Metodologi Penelitian Penelitian ini dilaksanakan dengan studi literatur, buku-buku pendukung dan jurnal-jurnal ilmiah untuk mendapatkan pemahaman yang baik, kemudian mengembangkan hasil-hasil penelitian terkait dengan penelitian yang sudah dimuat dalam jurnal. Hasil-hasil yang telah dicapai dikomunikasikan dalam seminar nasional maupun internasional. Sebagian hasil penelitian dipublikasikan dalam bentuk prosiding atau dalam jurnal nasional maupun internasional. Secara ringkas metode penelitian yang dilakukan adalah: 1. Menggeneralisasi klas barisan tunggal dari klas
ke klas monoton
barisan bilangan dalam arah sisa bervariasi-p terbatas dengan 1 ≤
< ∞,
mempelajari sifat-sifat konstruksi yang baru beserta hubungan antar klas, mempelajari keterkaitan dengan ruang Banach dan penerapan klas tersebut. 2. Menggeneralisasi
klas barisan ganda SBVDS dan SBVDS2 masing-
masing ke klas monoton barisan bilangan dalam arah sisa bervariasi-p
15
terbatas dengan 1 ≤
< ∞, mempelajari sifat-sifat klas dari konstruksi
yang baru beserta hubungan antar klas dan mempelajari keterkaitan dengan ruang Banach. 3. Menggeneralisasi konstruksi dari klas fungsi
ℳ
ke klas monoton
fungsi dalam arah sisa bervariasi-p terbatas dengan 1 ≤
< ∞ serta
mempelajari sifat-sifat klas yang baru beserta hubungan antar klas, mempelajari keterkaitan dengan ruang Banach
dan penerapan klas
tersebut. Secara umum penelitian ini terdiri dari tiga tahap dengan uraian berikut. Tahap I Mula-mula dicermati kembali landasan teori yang menjadi dasar dan jembatan dalam menyelesaikan masalah-masalah pada Tahap I ini secara komprehensif, sehingga
diperoleh hasil penelitian yang mendasari penelitian
tahap berikutnya. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah sebagai berikut. Klas monoton barisan tunggal: Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi tentang klas monoton barisan tunggal. Selanjutnya dengan memperhatikan struktur yang telah ada, dipelajari sifat klas-klas tersebut, keterkaitan dengan ruang Banach separabel dan terapannya dari klas-klas tersebut. Klas monoton barisan ganda: Dengan memperhatikan konstruksi sifat maupun terapan pada klas monoton barisan tunggal akan dipelajari klas monoton barisan ganda, selanjutnya dipelajari sifat barisan ganda dan keterkaitan dengan ruang Banach separabel. Kemonotonan fungsi: Diperhatikan kembali hasil-hasil pada barisan tunggal di atas akan dipelajari klas monoton fungsi yang telah ada beserta sifat klas-klas tersebut, keterkaitan dengan ruang Banach serabel dan terapan klas tersebut.
16
Tahap II Tahap ini merupakan bagian utama penelitian ini. Penelitian dilakukan dengan mencermati kembali hasil-hasil yang telah diperoleh dalam Tahap I dan membuat konstruksi baru yang merupakan generalisasi dari konsep klas monoton barisan bilangan yang telah ada. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah sebagai berikut. Generalisasi klas monoton barisan tunggal: Diperhatikan dan diselidiki proses konstruksi dari klas monoton barisan tunggal. Selanjutnya dengan memperhatikan konsep yang sudah ada pada tahap sebelumnya, akan dikonstruksikan definisi baru tentang klas monoton barisan tunggal beserta sifat-sifatnya termasuk keterkaitan dengan ruang Banach dengan norma tertentu. Generalisasi klas monoton barisan ganda: Diperhatikan kembali hasil pembahasan pada barisan tunggal tahap sebelumnya dan konsep klas monoton yang telah ada. Selanjutnya akan dikonstruksikan definisi baru tentang kemonotonan barisan ganda baru beserta sifat-sifatnya termasuk keterkaitan dengan norma tertentu. Generalisasi klas monoton fungsi: Diperhatikan kembali hasil-hasil pada barisan tunggal di atas dan konsep klas monoton
yang
sudah
ada
pada
tahap
sebelumnya.
Selanjutnya
akan
dikonstruksikan definisi baru tentang klas monoton fungsi baru beserta sifatsifatnya termasuk keterkaitan dengan ruang Banach dengan norma tertentu. Tahap III: Dalam tahap ini yang akan dibahas adalah uji kekonvergenan dan beberapa penerapan dari konstruksi baru
yang telah diperoleh pada tahap
sebelumnya. Tahap-tahap dan rincian rencana kegiatan penelitian pada tahap ini adalah sebagai berikut. Uji kekonvergenan konstruksi baru klas monoton barisan tunggal bilangan pada deret sinus tunggal dan penerapannya. Sesuai dengan tujuan khusus pada peneltian di atas yaitu menyelidiki tentang syarat cukup kekonvergenan seragam pada deret sinus. Dengan menggantikan koefisien deret sinus dengan anggota klas
17
monoton barisan tunggal bilangan yang baru dibuktikan kekonvergenan seragam deret tunggal sinus tetap berlaku dengan syarat tertentu. Selanjutnya diselidiki keterkaitan dengan ruang Banach separabel dan penerapan klas tersebut pada masalah aproksimasi, dengan demikian diharapkan dapat lebih memahami konstruksi dari klas monoton barisan tunggal bilangan. Uji kekonvergenan konstruksi baru klas monoton barisan ganda bilangan pada deret sinus ganda. Dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada klas monoton barisan tunggal di atas akan dibuktikan berlakunya kekonvergenan seragam pada deret sinus ganda dengan syarat tertentu. Dengan menggantikan koefisien deret ganda sinus dengan anggota klas monoton barisan ganda bilangan yang baru
dengan syarat tertentu sehingga dapat dibuktikan kekonvergenan
seragam deret ganda sinus tersebut dan diselidiki keterkaitan dengan ruang Banach separabel. Uji kekonvergenan seragam konstruksi baru klas monoton fungsi pada integral sinus dan penerapannya. Mula-mula diperhatikan cara yang sama seperti yang dilakukan pada konstruksi sebelumnya kemudian diteliti untuk uji kekonvergenan seragam dari konstruksi yang baru dengan syarat syarat tertentu pada integral sinus.
Selanjutnya diselidiki keterkaitan dengan ruang Banach separabel dan
dibahas penerapan anggota klas tersebut pada keterintegralan transformasi Fourier dan diharapkan dapat memberikan pemahaman yang lebih dalam dari klas monoton fungsi. Secara ringkas alur penelitian yang dilakukan disajikan dalam bentuk diagram pada Gambar 1.8.1. 1.8 Sistematika Penulisan Tulisan ini terdiri dari tujuh bab, yang telah diawali dengan Bab I yang mengemukakan latar belakang, perumusan masalah penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, keaslian penelitian, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. Selanjutnya dalam Bab II akan ditinjau konsep-konsep dasar tentang barisan, deret, konsep klas monoton barisan, konsep klas monoton fungsi, yang merupakan landasan teori tulisan ini. Inti tulisan akan disampaikan dalam Bab III hingga Bab VI. Dalam Bab III akan dibahas konstruksi baru tentang klas monoton barisan tunggal bilangan.
18
Pembahasan Bab III meliputi konstruksi klas barisan bervariasi-p terbatas supremum (supremum bounded p-variation sequences) dan sifat-sifatnya, generalisasi barisan selisih dari klas barisan tersebut dan sifat-sifatnya, kekonvergenan seragam deret sinus tunggal dan keterkaitan dengan ruang Banach separabel. Bab IV membahas tentang klas barisan ganda, yang meliputi klas barisan ganda bervariasi-p terbatas supremum (supremum bounded p-variation double sequences) dan sifat-sifatnya, generalisasi barisan selisih dari klas barisan klas barisan tersebut dan sifat-sifatnya , dan kekonvergenan seragam deret sinus ganda beserta keterkaitan dengan ruang banach separabel. Bab V membahas tentang klas fungsi, yang meliputi klas fungsi bervariasi-p terbatas supremum (supremum bounded p-variation functions), relasi antar klas dan sifat-sifatnya, kekonvergenan seragam integral sinus beserta keterkaitan dengan ruang Banach. Bab VI membahas beberapa penerapan dari klas monoton, yang meliputi penerapan dari klas monoton barisan tunggal bilangan dan penerapan dari klas monoton fungsi. Akhirnya dalam Bab VII akan diberikan beberapa kesimpulan dan masalah terbuka.
19
KLAS MONOTON
QUASI MONOTONE CQMS, ORVQMS
REST BOUNDED VARIATION GMS
REST BOUNDED p-VARIATION &
GENERALISASI ke klas barisan ℬ ,ℳ ℬ , ℬ
REST BOUNDED VARIATION RBVS, GBVS, NBVS, MVBVS
REST BOUNDED p-VARIATION &
2
,
GENERALISASI ke klas double sequences ℳ ℬ , ℬ 2
GENERALISASI Barisan selisih barisan ganda ℬ 2 (∆ )
PENERAPAN Pada masalah aproksimasi
GENERALISASI ke klas fungsi ℬ ℱ (ℝ ), ℳ ℬ ℱ (ℝ ), ℬ ℱ , (ℝ ) , ℬ ℱ2 , (ℝ )
GENERALISASI Barisan selisih barisan tunggal ℬ 2 (∆ )
Syarat cukup kekonvergenan seragam berkaitan dengan ruang Banach PENERAPAN Pada transformasi Fourier
Gambar 1.8.1. Alur penelitian yang dilakukan (yang diarsir).
