1
BAB I \ PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan data.. Data yang akan diteliti pada umumnya memiliki karakteristik yang spesifik, sehingga ketika data dianalisa diperoleh model yang sesuai dengan karakteristik data tersebut. Fungsi yang menggambarkan data tersebut dikatakan sebagai distribusi data. Variasi distribusi data dalam statistika menunjukkan bahwa data-data memiliki karakteristik tertentu yang hanya bisa dijelaskan oleh distibusi yang bersesuaian. Misalkan data yang berdistribusi seragam akan sulit dijelaskan oleh distribusi gamma, data yang berdistribusi normal akan sulit dijelaskan oleh distribusi beta maupun sebaliknya.
Bermacam-macam distribusi memperlihatkan betapa banyaknya variasi data. Kajian distribusi statistik yang spesifik akan memperlihatkan karakteristik dari suatu distribusi. Maka, kaidah-kaidah dalam statistik diperlukan untuk memahami kajian distribusi statistik.
Menurut Brase statistika adalah
metode yang digunakan untuk
mengumpulkan, menyajikan, menganalisa, menginterpretasi data serta menarik kesimpulan yang valid. Penarikan kesimpulan tanpa menggunakan metode statistik
merupakan
dugaan subjektif, dan kemungkinan kesimpulan yang
diperoleh tidak reliabel. Seperti kebanyakan cabang ilmu-ilmu lainnya, statistika terdiri atas dua aspek penting: teoritis dan aplikasi. Secara teoritis
statistika
berkaitan dengan pengembangan, penurunan, pembuktian teorema, rumus, aturan
2 dan hukum. Aplikasi statistik melibatkan penggunaan teorema, rumus, aturan, hukum untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan nyata.
Statistika secara didikotomi menjadi statistika deskriptif dan statistika inferesia. Statistika deskriptif meliputi metode pengumpulan, pengelompokan, pengolahan dan penyajian data, sedangkan statistika inferensia meliputi metode analisis, interpretasi dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu penarikan kesimpulan suatu populasi. Statistika inferensia dapat dibagi menjadi dua kategori umum yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagianbagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar dihasilkan keputusan terbaik. Hal yang dianggap relevan dengan informasi sampel adalah konsekuensi yang timbul dari keputusan yang diambil.
Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi yang diperoleh
melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang
berdistribusi tertentu. Adalah penting menentukan keputusan dan kebijakan berdasarkan hasil analisis data sehingga hasil yang diperoleh sesuai harapan atau setidaknya dapat meminimumkan resiko akibat kegagalan suatu perlakuan. Kesimpulan yang
akurat
memerlukan informasi sebanyak mungkin. Sebaik
mengambil populasi untuk dianalisis, namun jika ukuran populasi sangat besar akan menjadi masalah baru. Apakah berkaitan dengan dana maupun sumber daya yang dimiliki. Pada kondisi tersebut, penggunaan terbaik
menentukan
karakteristik
populasi
sampel adalah alternatif
dalam
mengefektifkan
dan
mengefisienkan baik sumber daya dan waktu. Sampel diharapkan dapat mewakili karakteristik populasi sedekat sebisa mungkin, sehingga keputusan yang diperoleh sahih dan tepat.
Berdasarkan analisa statistik, estimasi populasi memainkan peranan yang sangat signifikan terutama pada terapan masalah. Suatu karakteristik numerik yang merupakan fenomena fisis yang mungkin diperlukan, dilain pihak fenomena
3 tersebut bisa saja tidak terobservasi secara langsung. Observasi dari satu atau lebih peubah acak yang distribusinya bergantung kepada karakteristik yang diperlukan sehingga akan mempermudah memahaminya. Untuk mengembangkan metode yang digunakan dalam menyelidiki nilai peubah acak berdasarkan sampel data dan menggali informasi mengenai karakteristik populasi yang tidak diketahui dan tidak terobservasi maka dibutuhkan kajian mendalam mengenai hal tersebut.
Estimasi merupakan suatu metode dimana peneliti dapat memperkirakan nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel atau aturan yang pada umumnya diekspresikan sebagai sebuah formula yang menyatakan bagaimana menghitung nilai estimasi berdasarkan muatan pengukuran dalam sampel. Estimator adalah suatu statistik yang dapat berupa mean, median, modus varians, simpangan baku maupun ukuran proporsi lainnya. Di mana sampel digunakan untuk melakukan penaksiran suatu parameter populasi. Konsep populasi dan variabel acak sangatlah penting terhadap interpretasi yang tepat pada data statistik dan analisnya.
Karakteristik suatu populasi dapat diketahui dengan melakukan estimasi terhadap sampelnya. Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Tujuan dari banyak investigasi statistik adalah untuk mengestimasi satu atau lebih parameter yang relevan. Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik, sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan parameter. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya anggota populasi.
Sering kali ciri, sifat maupun karakteristik suatu pengamatan dilihat berdasarkan ukuran pusatnya, katakanlah seperti rataan μ, varians σ2 dan deviasi σ. Demi memperoleh hasil pengamatan yang lebih akurat, nilai sekitar μ juga turut diamati. Hal ini menunjukkan bahwa hasil pengamatan akan menjadi lebih bermanfaaat jika memberikan informasi yang lebih banyak dalam pengambilan keputusan.
4
Perhatikan bahwa proses antrian, waktu tunggu, paruh waktu merujuk kepada distribusi Poisson. Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa proses Poisson dapat ditransformasikan kedalam distribusi gamma. Untuk mengetahui karakteristik distribusi gamma diperlukan analisa. Analisa yang digunakan adalah dengan melakukan penaksiran terhadap parameternya. . Berdasarkan uraian diatas maka penulis mengajukan judul :”Kajian estimasi parameter distribusi gamma berdasarkan
moments method estimator
(MMEs) dan maximum likelihood estimator (MLE); suatu terapan pada data paruh waktu dan Simulasi sebagai perbandingan.”
2. Rumusan Masalah
Akan dikaji estimasi parameter distribusi gamma dengan metode moments estimator dan maximum likelihood estimator dengan melakukan perbandingan berdasarkan data paruh waktu dan data simulasi
3. Batasan Masalah
Pembatasan masalah pada tulisan ini yakni fungsi padat peluang berdistribusi gamma dengan parameter r dan λ. Hasil penurunan kedua metode estimasi diterapakan dalam rata-rata time travel kerja pekerja. Membandingkan hasil kedua estimasi tersebut dengan data yang telah ditetapkan Dengan memperhatikan sifatsifat penduga yaitu tidak bias, efisien dan konsisten. Dan dengan melakukan bangkitan data dengan nilai r dan λ tertentu. 4. Tujuan penelitian
Berdasarkan penjabaran sebelumnya, maka tujuan penelitian adalah sebagai berikut: a) Memahami langkah-langkah pendugaan kedua estimasi.
5 b) Mengetahui hasil dari kedua estimasi tersebut c) Melihat karakteristik terhadap kasus tertentu pada kedua metode estimasi yang telah diberikan.
5. Kontribusi Peneltian
a) Bagi penulis
Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari, sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.
b) Bagi pembaca
Menambah
pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi
kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan.
6. Metode Penelitian
Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni: a) Aspek teoretis b) Aspek faktual c) Aspek terapan Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai berikut: a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti b) Mencari dan menggunakan literatur,
baik yang menjadi acuan utama
maupun acuan tambahan untuk membangun hasil yang terbaik.
6 c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai berikut: 1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma 2. Melakukan estimasi momen estimator: a)
Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen sampel
b)
Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel disamakan
c)
Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter 𝑟𝑟 dan λ
3. Melakukan estimasi maksimum likelihood a)
Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas
b)
Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi
c)
Melakukan diferensial 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 likelihood sebagai konsekuensi
memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap parameter 𝑟𝑟 dan λ
4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi, sehingga diketahui parameter 𝑟𝑟̂ dan λ�
5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data 𝑛𝑛 = 100 dan 𝑛𝑛 = 1000 kali
e) Penarikan kesimpulan
7.) Tinjauan Pustaka
Perancangan suatu sistem kompleks melibatkan pemilihan berbagai alternatif yang dapat dilaksanakan. Pemilihan yang dilakukan berdasakan kepada criteriakriteria yang ditentukan. Evaluasi kuantitatif kriteria tersebut jarang dilakukan terhadap implementasi terkini beserta
evaluasi eksperimental pilihan yang
7 dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang diperoleh menggunakan model alternatif.
Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik. Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi yang diberikan.
Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel penting.
Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam berbagai permasalahan sehari-hari.
Satu konsep dasar dalam statistika adalah eksperimen acak. Untuk semua eksperimen acak, setidaknya terdapat satu ruang sampel yang sesuai terhadap eksperimen acak di bawah perlakuan. Dalam banyak kasus, banyak pengamatan dapat dilakukan tanpa referensi terhadap ruang sampel eksplisit. Untuk memahami kuantitas tersebut maka didefinisikan variabel acak. Variabel acak merupakan fungsi bernilai riil dan terdefinisi pada sebuah ruang sampel. Variabel acak adalah alat utama dalam pemodelan kuantitas-kuantitas yang tidak diketahui dalam analisis statistikater. Variabel acak pada umumnya dituliskan dengan huruf besar, seperti X, Y, Z dengan atau tanpa indeks. Variabel acak didikotomi menjadi dua yaitu diskrit dan kontinu.
8 Fungsi Kepadatan peluang atau
probability density function p.d.f
merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil, jika: 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, ∞
∀𝑥𝑥 ∈ ℝ
2. � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 −∞
𝑏𝑏
3. 𝑃𝑃(𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎
Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ perunit waktu. Jika variabel acak 𝑋𝑋 menyatakan interval antara jarak kejadian
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 > 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu untuk
kejadian
pertama.
Bagian
ini
membangkitkan
hubungan
Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r. 𝑋𝑋
Definisi 1.1 Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika: 𝜆𝜆 𝑟𝑟
𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥) = (𝑟𝑟−1)! 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 > 0
Berikut ini merupakan karakteristik kurva distribusi gamma untuk beberapa nilai parameter r dan 𝜆𝜆