BAB I PEMBAHASAN 1.
PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana a ∈ A dan b ∈ B. Jika R adalah suatu relasi dari A ke B, dikatakan bahwa a ∈ A berelasi dengan b ∈ B, berelasi dengan b ∈ B, jika (a,b) ∈ R dan dinotasikan dengan aRb artinya a direlasikan ke b oleh R. Namun jika a tidak berelasi dengan b, maka (a,b) ∉ R dinotasikan dengan a R b.Jika A = B maka R disebut relasi pada A. Contoh: jika himpunan A={3,4,5,8} dan B={1,9} maka AxB={(3,1), (3,9), (4,1), (4,5), (5,1), (5,9), (8,1), (8,9)} jika relasi antara A dan B dinyatakan dengan relasi „lebih dari‟ maka relasinya adalah {(3,1), (4,1), (5,1), (8,1)}. Dari pengertian di atas dapat kita tarik pengertian bahwa relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggotaanggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui relasi dari A ke B dengan A={1,3,5} dan B= {2,6,10,14} adalah “dua kali dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu: 1. Himpunan Pasangan Berurutan {(1,2),(3,6),(5,10)} Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah A
1. 3. 5.
B
.2 .6 .10 .14
1
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah: 1.
Membuat dua lingkaran atau elips
2.
Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3.
x dan y di hubungkan dengan anak panah
4.
Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5.
Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius y
5 3 1 x 2 6 10 14 Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus. 1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar 2. y=B diletakkan pada sumbu tegak 3. pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus Dengan rumus f(x) = 2x atau y = 2x dengan x ∈ A ={1,3,5}
2.
SIFAT-SIFAT RELASI a.
Refleksif Relasi R bersifat refleksif jika (x,x) ∈ R, untuk setiap x∈ A. Contoh : 2
Apabila diketahui A={1,2,3} dan relasi R={(1,1), (1,3), (2,2), (2,1), (3,3)} pada A, maka R adalah refleksif karena untuk setiap a∈ A terdapat (a,a) ∈ R.
b.
Anti Refleksif Suatu relasi R dikatan anti refleksi jika (x,x) ∉ R, untuk x ∈ A. Dengan kata lain relasi R adalah anti refleksif pada A jika untuk setiap x∈ A, tidak terpenuhi xRx. Contoh : Misalkan B = {a,b,c} dan relasi R ={(a,c),(b,c),(b,a)}, maka relasi R adalah antirefleksif karena (a,a), (b,b), (c,c) ∉ R.
c.
Simetris Suatu relasi R dikatakan simetris jika (a,b) ∈ R maka (b,a) ∈ R . Contoh: Perhatikan relasi pada himunan A={1,2,3,4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 ={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4={(2,1), (3,1), (3,2), (4,2), (4,1), (4,3)} R5={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} R6={(3,4)} Jadi yang merupakan relasi simetris adalah R2 dan R3.
d.
Antisimetris Relasi R pada himpunan A disebut anti simetris jika (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R. Contoh : Perhatikan relasi pada himunan A={1,2,3,4}. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} R3 ={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R4={(2,1), (3,1), (3,2), (4,2), (4,1), (4,3)} 3
R5={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} R6={(3,4)} Jadi yang merupakan relasi anti simetris adalah R4,R5,R6 .
e.
Relasi Transitif Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A. Contoh : Perhatikan relasi pada himpunan A={1,2,3,4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3),(4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} R3 ={(1,3), (2,1)} R4= relasi kosong R5= A x A, relasi universal Relasi R3 tidak transitif karena (1,3), (2,1) ∈ R3 tapi (2,3) ∉ R3. Semua relasi-relasi lainnya adalah transitif.
4
BAB II PENUTUP Kesimpulan Relasi pada sebuah himpunan dapat kami katakan suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Dan pada suatu relasi juga dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dengan rumus dan lain-lain Demikian juga pada sifat-sifat relasi yang mempunyai beberapa sifat yaitu refleksif, antirefleksif, simetris, antisimetris dan transitif. Demikianlah makalah yang dapat kami sampaikan, semoga bermanfaat dan menambah pengetahuan para pembaca. Kami mohon maaf bila makalah kami ada yang kurang jelas, dimengerti, lugas. Tentunya banyak kekurangan dan kelemahan karena terbatasnya pengetahuan kurangnya rujukan atau referensi yang kami peroleh. Alangkah lebih baiknya pembaca tidak hanya terpaku pada makalah kami, tetapi juga mencari referensi lain agar pengetahuan pembaca lebih bertambah.
5
DAFTAR PUSTAKA Muniri. 2011. LOGIKA DASAR MATEMATIKA. jakarta: Alim‟s Publising http://bacabajang.com/2013/05/pengertian-relasi.html. 9 Oktober 2014 Pukul 10.30 WIB.
6
