72
BAB 5 (Minggu ke – 7) SISTEM REFERENSI TAK INERSIA
PENDAHULUAN Learning Outcome: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan : •
Mampu menjelaskan konsep Sistem Koordinat Dipercepat dan Gaya Inersial
•
Mampu menjelaskan konsep Sistem Koordinat Berotasi. Kecepatan Sudut sebagai Kuantitas Vektor
•
Mampu menjelaskan dan menyelesaiakan kasus Dinamika Partikel dalam Sistem Koordinat Berotasi
•
Mampu menjelaskan konsep Efek Rotasi Bumi
73
PENYAJIAN 5.1 Sistem Koordinat Dipercepat dan Gaya Inersial
y'
y
P
r r'
r r
O'
x' O
r R0
z' x
z
12/15/2012
[email protected]
3
r r r r = R0 + r ' r r r v = V0 + v ' r r r a = A0 + a ' r r r F = mA0 + ma ' 12/15/2012
[email protected]
4
74
Contoh soal 1 Sebuah pendulum digantungkan pada langit-langit sebuah kereta api. Anggap kereta ini dipercepat secara uniform kearah kanan (arah +x). Pengamat noninertial, laki-laki di dalam kereta, melihat pendulum bergantung pada sudut θ, kesebelah kiri dari garis vertikal. Laki-laki r itu percaya pendulum bergantung disebabkan oleh gaya inertial F ' x , yang bekerja pada seluruh object dalam kerangka referensi yang dipercepat. Seorang pengamat inertial, perempuan di luar kereta, melihat kejadian yang sama. Akan tetapi, perempuan itu tau tidak ada gaya real Fr ' bekerja pada pendulum. Dia tau bahwa pendulum x
bergantung disebabkan oleh gaya total dalam arah rhorisontal yang diperlukan untuk mempercepat pendulum pada laju A0 . Hitunglah r kereta dari titik pandang pengamat noninertial. percepatan A 0
r
r
Tunjukkan bahwa, menurut pengamat noninertial, F0' = −mA0 adalah gaya yang menyebabkan pendulum tergantung pada sudut θ.
12/15/2012
[email protected]
5
r T
θ Pengamat Noninertial
y'
r Fx'
x' r T
r mg
Pengamat Inertial
y
r A0
x 12/15/2012
(a)
[email protected]
r mg
6
75
Penyelesaian:
T sin θ = mA0
r r F = m a ∑ i
T cos θ − mg = 0
∴ A0 = g tan θ
T sin θ − Fx' = 0
r r F ' = m a '= 0 ∑ i
T cos θ − mg = 0
(
r r' Fx = −mA0
∴ F = mg tan θ ' x
12/15/2012
[email protected]
) 7
5.2 Sistem Koordinat Berotasi. Kecepatan Sudut sebagai Kuantitas Vektor
y
y'
P r r r = r'
O
z 12/15/2012
x'
x
z'
[email protected]
8
76
iˆx + ˆjy + kˆz = iˆ' x '+ ˆj ' y '+ kˆ' z ' dx dy ˆ dz ˆ dx' ˆ dy ' ˆ dz ' diˆ' dˆj ' dkˆ' iˆ + ˆj +k = i' + j' + k' + x' + y' + z' dt dt dt dt dt dt dt dt dt
r r diˆ' dˆj ' dkˆ' v = v '+ x' + y' + z ' dt dt dt
12/15/2012
[email protected]
Sumbu rotasi
9
r
ω
z'
r
ω = ωnˆ y'
nˆ
kˆ'
ˆj ' iˆ '
x' 12/15/2012
[email protected]
10
77
r
ω
∆iˆ' ≅ (sin φ )∆θ
∆θ
∆iˆ'
φ O'
12/15/2012
iˆ'
[email protected]
11
diˆ' ∆iˆ' dθ = lim = sin φ = (sin φ )ω dt ∆t →0 ∆t dt
diˆ' r ˆ = ω ×i' dt x'
dˆj ' r ˆ = ω × j' dt
(
dkˆ ' r ˆ = ω × k' dt
)
(
) (
r r r diˆ' dˆj ' dkˆ' + y' + z ' = x' ω × iˆ' + y ' ω × ˆj ' + z ' ω × kˆ' dt dt dt
(
r = ω × iˆ' x'+ ˆj ' y '+ kˆ ' z '
r r = ω × r'
12/15/2012
[email protected]
)
12
)
78
r r r r v = v '+ω × r ' r r r r d r r dr dr ' = + ω × r ' = + ω × r ' dt fixed dt rot dt rot
r r r r dv dv = +ω×v dt fixed dt rot
12/15/2012
[email protected]
13
r r r r r dv d r r r = (v '+ω × r ') + ω × (v '+ω × r ') dt fixed dt rot r r r r r r r r dv ' d (ω × r ') = + ω × v '+ω × (ω × r ') + dt rot dt rot r r r r r r r r r r dr ' dv ' dω = × r '+ω × + ω × v '+ω × (ω × r ') + dt rot
dt rot
dt rot
r r r r r r r r r a = a '+ω& × r '+2ω × v '+ω × (ω × r ')
12/15/2012
[email protected]
14
79
z
P
z'
r r r R0
kˆ O
iˆ
ˆj
kˆ'
r r'
y'
ˆ O' j ' iˆ'
x' y
x 12/15/2012
[email protected]
15
r r r r r v = v '+ω × r '+V0
r r r r& r r r r r r a = a '+ω × r '+2ω × v '+ω × (ω × r ') + A0
r r 2ω × v ' r r ω × (ω × r ') r
r& r ω × r' 12/15/2012
(Percepatan Coriolis)
(Percepatan Sentripetal)
(Percepatan Transversal)
[email protected]
16
80
r
ω r r
ω × r' ω × (ω × r ') r
Sumbu rotasi
r r
r r' O'
12/15/2012
[email protected]
17
Contoh soal 2 Sebuah roda beruji b menggelinding sepanjang tanah dengan kecepatan maju konstan V0. Carilah percepatan, relataive terhadap tanah, suatu titik pada rangka. Penyelesaian:
r V0
y'
x' • P
r
ω
12/15/2012
O'
z'
[email protected]
18
81
r ˆ r '= i ' b
r r a ' = &r&' = 0
r r v ' = r& ' = 0
V0 b r r r r a = ω × (ω × r ') = kˆ' ω × kˆ' ω × iˆ' b r
ω = kˆ' ω = kˆ'
( )
(
)
V02 ˆ ˆ V02 ˆ = k '× j ' = −i' b b 12/15/2012
[email protected]
19
Contoh soal 3 Sebuah sepeda bergerak dengan kecepatan konstan melintasi lintasan melingkar beruji ρ. Berapakah percepatan titik tertinggi pada salah satu roadanya? Bila V0 menunjukkan kecepatan sepeda dan b ruji roda.
z'
Penyelesaian:
P
r V0
•
x' O' C •
ρ y'
12/15/2012
[email protected]
20
82
r
ω = kˆ'
V0
ρ
2 r V 0 A0 = iˆ'
ρ
2 V r&& 0 r ' = − kˆ' b
r v ' = − ˆj 'V0 12/15/2012
[email protected]
(
21
)
r r V02 ˆ V0 ˆ ˆ 2ω × v ' = 2 k ' × − j 'V0 = 2 i' ρ ρ
(
)
V02 ˆ ˆ ˆ r r k '× k '×bk ' = 0 ω × (ω × r ') = r
ρ
2 2 V V r a = 3 0 iˆ'− 0 kˆ' ρ b 12/15/2012
[email protected]
22
83
5.3 Dinamika Partikel dalam Sistem Koordinat Berotasi
Dalam frame referensi inersia:
r r F = ma
Dalam frame referensi non-inersia:
r r r r r r r r r r F − mA0 − 2mω × v '−mω& × r '−mω × (ω × r ') = ma ' 12/15/2012
[email protected]
23
Gaya Coriolis:
r' r r FCor = −2mω × v ' Gaya Transfersal:
r' r& r Ftrans = −mω × r ' Gaya Centrifugal:
r' r r r FCen = −mω × (ω × r ')
12/15/2012
[email protected]
24
84
r r F ' = ma ' r r r r' r' r' F ' = Fphysical + FCor + Ftrans + Fcentrif − mA0 y'
r' Ftrans
O'
r x' Fcentrifugal
r' Fcor
12/15/2012
[email protected]
25
Contoh soal 4 Seekor hama merangkak dengan kecepatan konstan v’ sepanjang ruji roda yang berotasi dengan kecepatan sudut konstan ω sekitar sumbu vertikal. Carilah pasangan gaya yang bekerja pada hama tersebut, dan sejauh mana serangga tersebut merangkak sebelum akhirnya ia slip, jika diberikan koefisien gesekan statik µs, antara serangga dan ruji? Penyelesaian:
r r& ' = iˆ' x& ' = iˆ' v'
r
&rr&' = 0
ω = kˆ' ω
( )
r r − 2mω × r& ' = −2mωv ' kˆ'×iˆ' = −2mωv' ˆj '
(Gaya coriolis)
r r − mω& × r '= 0
(Gaya transversal)
[ (
r r r − mω × (ω × r ') = − mω 2 kˆ'× kˆ'×iˆ' x '
(
)
)]
(Gaya centrifugal)
= − mω 2 kˆ'× ˆj ' x ' = mω 2 x' iˆ'
12/15/2012
[email protected]
26
85
r F − 2mωv' ˆj '+ mω 2 x ' iˆ' = 0
y x'
r
ω
r Fcentrifugal
•
r Fcoriolis
r& ω<0
x
12/15/2012
[email protected]
27
r F = µ s mg
[(2mωv') + (mω x') ] 2
∴
12/15/2012
2
[ µ g x' = 2 s
2
2 12
= µ s mg
− 4ω 2 (v')
]
2 12
ω2
[email protected]
28
86
5.4 Efek Rotasi Bumi Efek Statik. Plumb Line
r r '= 0
r v '= 0 ωr& = 0
z ωr
r a '= 0
y'
r T
ρ
r r F − mA0 = 0
•
r mg 0
re
z' r − mA0
λ A0 = ω 2 re cos λ
12/15/2012
[email protected]
r T
•
r − mA0
(
)
r r r T + mg 0 − mA0 = 0
r r r mg 0 − mg − mA0 = 0 • r − mA0
r mg 0
λ r mg 0 12/15/2012
29
ε
r mg
r r r g = g 0 − A0
[email protected]
30
87
sin ε sin λ = mω 2 re cos λ mg sin ε ≈ ε =
ε max =
12/15/2012
ω 2 re 2g
ω 2 re g
cos λ sin λ =
ω 2 re 2g
sin 2λ
≈ 1,7 × 10− 3 radiant
[email protected]
31
Efek Dinamik. Gerak Proyektil
r r r& r r r r& r r & mr = F + mg 0 − mA0 − 2mω × r '−mω × (ω × r ')
r r& r r r r& r r & mr ' = F + mg − 2mω × r '− mω × (ω × r ') r r r r m&r&' = mg − 2mω × r& '
12/15/2012
[email protected]
32
88
r
ω
(Utara)
y'
z '(Vertikal) x'(Timur)
(Equator)
12/15/2012
[email protected]
33
r g = − kˆ ' g ω x ' = 0 ω y ' = ω cos λ r r
iˆ'
ˆj '
ω z ' = ω sin λ
kˆ'
ω × r& ' = ω x ' ω y ' ω z ' x& '
y& '
z& '
= iˆ' (ωz& ' cos λ − ωy& ' sin λ ) + ˆj ' (ωx& ' sin λ ) + kˆ' (− ωx& ' cos λ )
12/15/2012
[email protected]
34
89
&x&' = −2ω ( z& ' cos λ − y& ' sin λ )
&y&' = −2ω ( x& ' sin λ )
&z&' = − g + 2ωx& ' cos λ
12/15/2012
[email protected]
35
x& ' = −2ω (z ' cos λ − y ' sin λ ) + x&0'
y& ' = −2ωx ' sin λ + y& 0' z& ' = − gt + 2ωx ' cos λ + z&0'
12/15/2012
[email protected]
36
90
(
&x&' = 2ωgt cos λ − 2ω z&0' cos λ − y& 0' sin λ Bagian-bagian yang mengadung
ω2
)
diabaikan
(
)
x& ' = ωgt 2 cos λ − 2ωt z&0' cos λ − y& 0' sin λ + x&0'
(
)
1 x ' (t ) = ωgt 3 cos λ − ωt 2 z&0' cos λ − y& 0' sin λ + x&0' t + x0' 3
y ' (t ) = y& 0' t − ωx&0' t 2 sin λ + y0' 1 z ' (t ) = − gt 2 + z&0' t + ωx&0' t 2 cos λ + z0' 2 12/15/2012
[email protected]
37
Contoh soal 5 Anggap sebuah benda dijatuhkan dari keadaan diam pada ketinggian h di atas tanah. Maka pada t = 0 kita memiliki x& ' = y& ' = z& ' = 0, , dan ' ' ' kita akan pakai x0 = y0 = 0, z0 = h untuk posisi awal. Berapakah penyimpangan maksimum benda jika h = 100 m, ω = 7,27 × 10−5 s -1 dan λ = 45o. Penyelesaian:
1 x' (t ) = ωgt 3 cos λ 3
y ' (t ) = 0 1 z ' (t ) = − gt 2 + h 2 12/15/2012
[email protected]
38
91
Benda mencapai tanah ( z '= menyimpang ke timur sebesar
) dalam waktu
0
t 2 = 2h g
dan
12
1 8h ' cos λ = 1,55 cm = ω xmax 3 g 3
12/15/2012
[email protected]
39
PENUTUP • Kriteria Assessment: Kognitif dan skill • Metode Assessment: PR • Bobot Nilai: 1,5 %
PR Soal di Buku Fowles&Cassiday fifth editions • No. 5.1 • No.5.4 • No. 5.5 • No. 5.7 • No. 5.10 PR dikumpul di loker Dr. Mitrayana di Jurusan Fisika FMIPA UGM (MIPA Utara)
12/15/2012
[email protected]
41
