BAB 3 MODEL DASAR DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH

BAB 3 MODEL DASAR DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH

BAB 3 MODEL DASAR DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH 3.1 Model Dasar Model dasar dinamika virus HIV dalam tubuh menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut: ♦ Mula-mula tubuh dalam keadaan tidak terinfeksi virus atau semua sel dalam tubuh dalam keadaan sehat. ♦ Sejumlah kecil virus masuk kedalam tubuh sehingga sejumlah sel sehat berhasil terinfeksi oleh virus. ♦ Selain virus, tidak ada patogen asing lain yang berbahaya masuk kedalam tubuh. ♦ Banyaknya sel sehat yang dihasilkan oleh tubuh adalah konstan. ♦ Setiap virus mempunyai kemungkinan yang sama dalam menginfeksi sel.

Model dasar dinamika virus mempunyai tiga kompartemen: sel tidak terinfeksi/sel sehat yang mungkin bisa terkena infeksi HIV (x), sel terinfeksi (y) dan virus bebas (v). Berdasarkan asumsi diatas, pada kondisi awal tubuh hanya memiliki

11


sel yang sehat. Kemudian sejumlah kecil virus masuk kedalam tubuh dan menyerang satu buah sel sehat sehingga sel tersebut menjadi terinfeksi. Sejumlah kecil sel yang terinfeksi akan menghasilkan sejumlah partikel virus baru yang akan menginfeksi sel baru/ sel sehat yang lain. Dengan begitu, berarti rantai reaksi telah dimulai. Rantai reaksi ini memiliki dua kemungkinan, yaitu apakah dia akan mati atau menghasilkan ledakan sejumlah virus baru dan menginfeksi sel lain. Diagram transmisi untuk model dasar ini dapat dilihat pada gambar 3.1

Dinamika Virus HIV k

λ Sel Sehat

Virus bebas

+ d

u

Sel Terinfeksi

β

a

Gambar 3.1 Diagram transmisi virus HIV dalam tubuh

Persamaan dinamika sel dan virus diberikan oleh persamaan ( 1 – 3 ) dibawah ini: x& = λ − dx − β xv y& = β xv − ay v& = ky − uv

(3.1) (3.2) (3.3)

Persamaan (3.1-3.3) menyatakan laju perubahan populasi tiap kompartemen per satuan waktu, dimana: ♦ x& adalah laju perubahan sel sehat yang mungkin sakit yang dipengaruhi oleh banyaknya sel sel sehat yang diproduksi oleh tubuh dengan parameter λ terhadap waktu. Sel sehat akan berkurang karena rusak atau mati secara alami dengan parameter d dan juga karena invasi virus terhadap sel sehat. Keberhasilan virus menginfeksi sel dinyatakan dengan parameter β .

12


♦ y& adalah laju perubahan banyaknya sel terinfeksi yang dipengaruhi oleh keberhasilan virus menginfeksi sel terhadap waktu. Sel terinfeksi akan berkurang karena rusak atau mati secara alami dengan parameter a . ♦ v& adalah laju perubahan banyaknya virus bebas yang dipengaruhi oleh produksi virus dari sel terinfeksi dengan parameter k terhadap waktu . Virus bebas akan berkurang karena kematian alami dengan parameter u . Betikut ini adalah keterangan parameter yang dipakai dalam model dasar dinamika virus, yaitu: ♦ λ adalah banyaknya sel sehat yang diproduksi oleh tubuh per ml darah ♦ β adalah laju keberhasilan virus menginfeksi sel ♦ d adalah laju kematian sel sehat ♦ u adalah laju kematian virus ♦ k adalah banyaknya virus yang dihasilkan oleh sel terinfeksi ♦ a adalah laju kematian sel terinfeksi

3.2 Basic Reproductive Ratio Basic Reproductive Ratio ( R0 ) adalah banyaknya sel terinfeksi yang muncul diakibatkan oleh satu sel terinfeksi sebelumnya pada kasus susceptible. Banyaknya sel terinfeksi yang akan muncul dipengaruhi oleh beberapa faktor, diantaranya adalah faktor virulensi dan faktor kematian alami dari ketiga kompartemen. R0 akan berbanding lurus dengan faktor virulensi virus dan berbanding terbalik dengan faktor kematian ketiga kompartemen, sehingga diperoleh R0 =

βλ k adu

Secara umum, R0 bisa kita ilustrasikan seperti pada Gambar 3.2 dibawah ini:

13


Basic Reproductive Ratio (R0)

k a

R0 =

λβ k adu

Gambar 3.2 Ilustrasi R0

R0 diperlukan untuk mengetahui keberlangsungan infeksi. Jika R0 < 1 maka infeksi akan berhenti, tapi jika R0 > 1 maka kemungkinan infeksi akan terus berlanjut. Semakin besar nilai R0 , maka proses infeksi akan semakin sulit untuk dilenyapkan.

3.3 Analisis Model Sistem persamaan diferensial 3.1-3.3 mempunyai dua buah titik kesetimbangan, yaitu: i) Saat y = 0 dan v = 0 Pada saat y = 0 dan v = 0 , yaitu sebelum terjadi infeksi, diperoleh titik kestimbangan: ⎛λ ⎞ E1 = ⎜ ,0,0 ⎟ ⎝d ⎠

Titik kesetimbangan E1 diperoleh ketika tidak ada virus yang menyebabkan sel terinfeksi. Eksistensi dari titik kesetimbangan tersebut dipenuhi jika terdapat populasi sel sehat dalam tubuh yaitu x > 0 , sehingga mengakibatkan λ > d . Jadi saat belum ada sel terinfeksi, kesetimbangan diperoleh jika laju produksi sel sehat lebih besar dari kematian alami sel sel sehat tersebut.

14


Selanjutnya akan ditentukan syarat kestabilan lokal dari titik kesetimbangan E1 . Dari Persamaan diferensial 3.1-3.3, kita bisa mendapatkan matriks jacobi sebagai berikut:

⎡− d − βv 0 − βx ⎤ D = ⎢⎢ βv − a βx ⎥⎥ ⎢⎣ 0 k − u ⎥⎦ ⎛λ ⎞ Pada titik kesetimbangan E1 = ⎜ ,0,0 ⎟ , matriks jacobi D menjadi: ⎝d ⎠

D E1

⎡ ⎢− d ⎢ =⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

βλ ⎤

−

0

d ⎥

βλ ⎥

⎥ d ⎥ −u ⎥ ⎥⎦

−a k

Syarat kestabilan diperoleh ketika nilai eigen dari matriks jacobi D E1 bernilai negatif. Misalkan z adalah nilai eigen, maka z diperoleh dari det(zI - D E1 ) = 0 dengan I adalah matriks identitas. z+d det(zI - D E1 ) =

βλ

0

d

0

z+a −

0

−k

βλ

=0

d z+u

sehingga diperoleh polinom karakteristik dari matriks D E , yaitu : 1

( z + d )( z + a )( z + u ) − (− k )(−

βλ

( z + d )(( z + a )( z + u ) −

d

)( z + d ) = 0

βλ k

( z + d )( z 2 + ( a + u ) z + au −

d

)) = 0

βλ k d

)=0

(3.4) (3.5) (3.6)

Dari persamaan polinom karakteristik 3.6, diperoleh satu nilai eigen yang pasti negatif, yaitu –d dan dua akar polinom dari

15


z 2 + (u + a ) z + au −

βλ k d

(3.7)

Pada saat z = -z, maka Persamaan 3.7 menjadi z 2 − (u + a ) z + au −

βλ k d

(3.8)

Menurut aturan tanda Descartes, maka haruslah terjadi dua kali perubahan tanda koefisien agar diperoleh nilai eigen yang bernilai negatif. Dari persamaan karakteristik diatas, koefisien z2 bernilai positif dan koefisien z bernilai negatif, sehingga kontanta au −

βλ k d

haruslah bernilai positif, sehingga mengakibatkan au −

βλ k d

>0

adu βλ k − >0 d d adu > βλ k

βλ k adu

Karena

βλ k adu

<1

= R0 , maka diperoleh syarat kestabilan lokal untuk titik

kesetibangan E1, adalah R0 < 1 . ii) Pada saat y ≠ 0 dan v ≠ 0 Pada saat y ≠ 0 dan v ≠ 0 diperoleh titik kesetimbangan E 2 = ( x*, y*, v *) dengan au x* = , βk − λβ k + adu y* = − dan auβ − λβ k + adu v* = − , aβ k atau bisa kita tuliskan dalam bentuk R0 menjadi

16


⎛x du d⎞ E 2 = ⎜⎜ 0 , ( R0 − 1) , ( R0 − 1) ⎟⎟ . βk β⎠ ⎝ R0 Titik kesetimbangan E2 diperoleh saat terdapat virus dan sel terinfeksi. Eksistensi dari titik kesetimbangan tersebut dipenuhi oleh x* > 0 , y* > 0 dan v* > 0 sehingga x0 > x * dan R0 − 1 > 0 mengakibatkan R0 > 1 .

Selanjutnya akan kita tentukan syarat kestabilan lokal dari titik kesetimbangan E2 . Pada titik kesetimbangan E2 , matriks jacobi D menjadi :

D E2

− λβ k + adu ⎡ ⎢− d + au ⎢ − λβ k + adu =⎢ − au ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣

0 −a k

au ⎤ k ⎥ au ⎥ ⎥. k ⎥ −u ⎥ ⎥⎦

−

sehingga diperoleh polinom karakteristik dari matriks D E , yaitu: 2

z 3 + (u + a +

λβ k au

λβ k

)z2 + (

a

+

λβ k u

) z + λβ k − adu

(3.9)

Agar diperoleh syarat kestabilan lokal, maka bagian real nilai eigen dari persamaan polinom karakteristik 3.9 harus negatif, yaitu z = -z. Dengan mensubstitusikan nilai z = -z ke Persamaan 3.9, maka diperoleh − z 3 + (u + a +

λβ k au

)z2 − (

λβ k a

+

λβ k u

) z + λβ k − adu

(3.10)

Menurut aturan tanda Descartes, untuk mendapatkan tiga buah nilai eigen negatif, maka Persamaan 3.10 harus mengalami pergantian tanda sebanyak tiga kali. Perhatikan bahwa koefisien z3 bertanda negatif, koefisien z2 bertanda positif dan koefisien z bertanda negatif, maka konstantanya haruslah bertanda positif, sehingga

λβ k − adu > 0 λβ k > adu

λβ k adu

17

>1


R0 =

λβ k

>1

adu

Jadi, syarat kestabilan lokal untuk titik kesetimbangan E2, diperoleh R0 > 1

3.4 Simulasi Numerik Sebagaimana disebutkan pada bagian sebelumnya bahwa ketika terjadi infeksi, maka jumlah virus dalam tubuh akan melimpah diikuti oleh penurunan jumlah sel sehat dan kenaikan sel terinfeksi. Untuk membutktikan fakta tersebut, selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk persamaan diferensial (1-3). Simulasi numerik ini akan dilakukan untuk nilai R0 > 1 . Nilai R0 inilah yang menjadi dasar pemilihan parameter simulasi numerik. Parameter yang digunakan pada simulasi numerik model dasar dinamika virus HIV adalah:

λ = 25 ; d = 0,2 ; β = 0,01 ; a = 0,7 ; k = 5 dan u = 0,9 sehingga diperoleh R0 = 9,92 . Dari parameter tersebut, diperoleh juga titik kesetimbangannya, yaitu: x* = 12,6; y* = 32,112; z* = 178,4.

b

120

60

100

50

80

40 Sel Terinfeksi

Sel Sehat

a

60

30

40

20

20

10

0

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

0

50

18

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

50


c 300

250

Virus Bebas

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

50

Gambar 3.3 Simulasi numerik model dasar dinamika sel dan virus

Gambar 3.3 diperoleh dengan nilai R0 > 1 . Setelah virus memasuki tubuh manusia, virus akan memasuki masa reproduksi untuk menggandakan dirinya lebih banyak lagi. Proses reproduksi virus dalam sel menghasilkan ledakan jumlah virus, akan tetapi

setelah itu jumlah virus akan mengalami

penurunan menuju titik kesetimbangan. Dinamika populasi sel sehat akan menyesuaikan dengan dinamika populasi virus. Selama virus masih dalam siklus reproduksi dalam sel target, jumlah sel sehat tidak mengalami penurunan yang berarti. Penurunan populasi sel sehat akan terjadi seiring meningkatnya jumlah virus. Penurunan populasi sel sehat akan diikuti oleh kenaikan populasi sel terinfeksi. Setelah waktu tertentu, ketiga populasi akan menuju keadaaan kesetimbangan. Hal yang perlu diperhatikan dari hasil simulasi numerik diatas adalah jumlah maksimum virus tidak dalam skala yang sebenarnya, karena pada kenyataannya jumlah virus dalam 1 ml darah bisa mencapai ribuan bahkan lebih. Hal tersebut dikarenakan pada model ini, diasumsikan sel yang menjadi target virus hanya berjumlah 100 sel. Sedangkan pada kenyataannya, jumlah sel target virus bisa mencapai lebih dari itu. Pada kondisi setimbang sebenarnya masih

19


terdapat sejumlah tertentu virus, akan tetapi jumlahnya tidaklah signifikan dibandingkan dengan jumlah maksimum virus. R0 > 1 , jika R0 < 1 , yaitu dengan mengambil

Berbeda dengan

kondisi belum ada sel terinfeksi, virus bisa dilenyapkan dengan cepat. R0 < 1 menunjukkan bahwa faktor keberhasilan virus dalam menginfeksi sel lebih kecil dari faktor kematian alami virus itu sendiri. Hal inilah yang menyebabkan virus tidak akan berkembang menjadi lebih banyak.

3.5 Dinamika Virus HIV Terhadap Perubahan Parameter Simulasi ini dilakukan untuk melihat parameter mana yang sangat mempengaruhi penyebaran atau jumlah virus HIV dalam tubuh. Caranya adalah dengan memberikan nilai yang berubah-ubah terhadap suatu parameter sedangkan parameter lainnya bernilai konstan. Dengan demikian, parameter tersebut yang perlu dikendalikan untuk menghambat penyebaran virus HIV dalam tubuh penderita. Perhatikanlah simulasi numerik dinamika virus HIV terhadap perubahan parameter dibawah ini: 300 a= a= a= a= a=

250

0,7 0,8 0,9 1 1,1

Virus Bebas

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

Gambar 3.4 Dinamika virus HIV dengan a berbeda

20

50


350 beta = beta = beta = beta = beta =

300

Virus Bebas

250

0,01 0,11 0,21 0,31 0,41

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

50

Gambar 3.5 Dinamika virus HIV dengan beta berbeda 300 d= d= d= d= d=

250

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

virus bebas

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20

25 t(hari)

30

35

40

45

Gambar 3.6 Dinamika virus HIV dengan d berbeda

21

50


k k k k k

300

250

= = = = =

5,0 5,1 5,2 5,3 5,4

virus bebas

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20 25 t(hari)

30

35

40

45

Gambar 3.7 Dinamika virus HIV dengan k berbeda

300 u= u= u= u= u=

250

0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

virus bebas

200

150

100

50

0

0

5

10

15

20

25

30

t(hari)

Gambar 3.8 Dinamika virus HIV dengan u berbeda

22

50


Dengan memperhatikan Gambar 4.7 – 4.11, kita bisa mengetahui parameter mana yang paling berpengaruh dalam penyebaran virus HIV dalam tubuh. Dari gambar tersebut diperoleh hal-hal berikut ini: ♦ Gambar 3.4 merupakan simulasi numerik dinamika virus HIV dengan mengubah parameter a, sedangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai a, maka semakin sedikit virus yang berkembang dalam tubuh. ♦ Gambar 3.5 merupakan simulasi numerik dinamika virus dengan mengubah parameter β, sedangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai β, maka semakin banyak virus yang berkembang dalam tubuh. ♦ Gambar 3.6 merupakan simulasi numerik dinamika virus dengan mengubah parameter d, sedangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai d, maka semakin sedikit virus yang berkembang dalam tubuh. ♦ Gambar 3.7 merupakan simulasi numerik dinamika virus dengan mengubah parameter k, sedangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai k, maka semakin banyak virus yang berkembang dalam tubuh. ♦ Gambar 3.8 merupakan simulaisi numerik dinamika virus dengan mengubah parameter u, sedangkan parameter lainnya konstan. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai u, maka semakin sedikit virus yang berkembang dalam tubuh.

Dengan memperhatikan Gambar 3.4 – 3.8, kelima parameter tersebut memang sangat mempengaruhi pertumbuhan virus HIV dalam tubuh. Hanya saja, dari kelima parameter tersebut terlihat bahwa parameter β pengaruhnya lebih besar dibandingkan dengan parameter yang lainnya. Dengan demikian, semakin kecil laju keberhasilan

23


virus dalam menginfeksi sel sehat, maka pengendalian pertumbuhan virus HIV menjadi semakin lebih mudah.

24

BAB 3 MODEL DASAR DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH

Recommend Documents