SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

SKRIPSI Disusun Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika

Oleh

RISYA RADHIANTI 208700551

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012

HALAMAN PENGESAHAN

SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

Oleh :

RISYA RADHIANTI 208700551

Menyetujui : Pembimbing I,

Pembimbing II,

Diny Zulkarnaen, M.Si NIP.198212132011011008

Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom NIP.197206091999031003

Lulus diuji tanggal 30 Agustus 2012 Penguji I,

Penguji II,

Siti Julaeha, M.Si NIP.198301202006042002

Rini Cahyandari, M.Si NIP.198201152009122003 Mengetahui :

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Ketua Jurusan Matematika,

Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP NIP.1985404241985031004

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT NIP.197301122000032001

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertandatangan di bawah ini : Nama

: Risya Radhianti

NIM

: 208700551

Fakultas/Jurusan

: Sains dan Teknologi/Matematika

Judul Penelitian

: SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur jiplakan, saya bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang berlaku. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.

Bandung, 30 Agustus 2012 Yang membuat pernyataan

Risya Radhianti NIM. 208700551

“Hidup adalah soal keberanian, menghadapi jang tanda tanja tanpa kita bisa mengerti, tanpa kita bisa menawar terimalah, dan hadapilah” -Soe Hok Gie-

Setiap orang pernah melewati kesulitan, begitupun dengan saya..

Skripsi ini dipersembahkan untuk Mamah dan Bapak Bapak tercinta yang ada di taman Firdaus Bunda, Teh Dhita dan De Alam tersayang

ABSTRAK

2007, Nuning et al membangun sebuah model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Model ini menceritakan tentang fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap model ini diperoleh dua titik equilibrium yaitu pada keadaan bebas virus dan pada keadaan terdapat virus bebas. Adapun hasil dari simulasi yang diperoleh dari model ini dengan menggunakan metode Euler menghasilkan bahwa pada model yang titik equilibriumnya bebas dari virus, mulai dari hari ke-26 sampai seterusnya populasi virus dengue ini kemungkinan akan menghilang dari peredaran darah manusia. Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Titik Equilibrium, Basic Reproductive Ratio, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Metode Euler.

ABSTRACT

2007, Nuning et al built the mathematical model transmission of dengue virus in the human body. The model tell about the phenomenon of dengue virus infects susceptible cells in the human circulatory system. Where on this model, the susceptible cell population will increase because of the pure birth of the population. In addition to the birth, the population is also influenced by the pure death and the number of dengue virus that infects the population, causing vulnerable cell population is reduced. Reduced cell populations vulnerable because it was infected by dengue virus causes infected cell population increases. Population of infected cells is also influenced by the pure death resulting reduction in the population in infected cells. While dengue virus is influenced by the duplication of new viruses are produced by cells infected with the virus that causes the population to grow. Dengue virus is also influenced by the pure death and death caused by T cells resulting in reduced population. Dengue virus is also reduced because of the virus particles to infect susceptible cells. The results of the analysis has been done on this model gained two points of equilibrium. The results of the simulations obtained from this model using Euler's method produces a point that the model of virus free equilibrium, from day 26 onwards dengue virus population is likely to disappear from the human circulatory system. Keyword : Mathematical Model, DBD, Equilibrium Points, Basic Reproductive Ratio, Criteria Stability of Routh-Hurwitz, Euler's Method.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, alhamdulillahhirrobbil’alamin. Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan cinta dan kasihNya sehingga penulis sanggup menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul : SIMULASI

DAN

ANALISA

KESTABILAN

MODEL

MATEMATIKA

MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA. Selesainya tugas akhir ini tak lepas dari berbagai pihak yang telah membantu. Baik dari moril, materi, dan dorongan semangat. Untuk itu, pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada yang terhormat : 1. Alm. M. Uu Sunarsa (bapak), Almh. Tri Sekarwati (mamah), Siti Aisyah (bunda), Dhita Windi Wardani (kakak) dan Abdul Salam Mutahary (adik) dan keluarga tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu, terimakasih atas segala bantuan, pengorbanan dan dorongan motivasi yang tiada terkira kepada penulis sehingga penulis dapat merampungkan tugas akhir ini. 2. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si.,MT, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi. 4. Ibu Siti Julaeha, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan arahan dan motivasi kepada penulis.

i

5. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si dan Bapak Arief Fatchul Huda S.Si., M.Kom., selaku dosen pembimbing I dan II dalam penyelesaian tugas akhir ini. 6. Dosen ITB, Ibu Dr. Nuning Nuraini, selaku dosen pembimbing nonformal dalam penyelesaian tugas akhir ini. 7. Staf pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di Matematika Sains, terimakasih atas ilmu yang bapak ibu sampaikan. 8. Keluarga besar di Bandung atas tempat tinggal amannya. 9. Keluarga besar Drs.Moch Arifin khususnya Ibu Rachmawati, S.Pd dan Arif Bakti Nugraha, ST yang selalu memberikan semangat dan motivasi untuk terus bangkit. 10. Teman-teman dari dalam dan luar universitas : Dian Nuraiman S.Si, Riad Taufik Lazuardi, Asep Iwang, Adib Pratama, Hasanah Nurfadillah Hani, Siti Fatimah, Lela Nurlaila, Shelvi Alfianti, Fahmi Hasanudin, Muhamad Rauful Mizan. 11. Teman-teman Matematika Sains khususnya teman-teman seperjuangan Matematika 2008 : Bibi Ila, Ami, Yuyu, Husnul, Karlinah, Fatimah, Ninis, Fanny, Tinus, Jejen, Rima, Dzikri, Revi, Maman, Haqi, Ubay, Femi, Eva, Imas, Wila, Ipah, Ade, Nesa, Rahma, Tika, Lina, Ali, Aji, Permadi, Febrian, Asep, Lulu, Wildan, Agam. Terimakasih untuk motivasinya. 12. Pihak-pihak lain yang telah membantu. Mudah-mudahan segala amal baiknya dilipat gandakan oleh Allah SWT. Jazakumullahu khairan katsira. Amiin. Bandung, Agustus 2012 Penulis

ii

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR …………………………………………………….

i

DAFTAR ISI ………………………………………………………………. iii DAFTAR GAMBAR ………………………………………………….......

v

DAFTAR TABEL …………………………………………………………

vii

DAFTAR SINGKATAN ………………………………………………….

viii

DAFTAR ISTILAH ……………………………………………………….

ix

DAFTAR LAMPIRAN ……………………………………………………

xi

BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ……………………………………...

1

1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………. 4 1.3 Batasan Masalah ………………………...……………………

4

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian ………………...………..…… 5 1.5 Metodologi Penelitian ………..………………………………. 5 1.6 Sistematika Penulisan ………………………………………... BAB II

5

LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial ……………………………….. 7 2.2 Persamaan Diferensial Autonomous …………………………

9

2.3 Titik Equilibrium …………………………………………….. 9 2.4 Pelinearan ……………………………………………………. 10 2.5 Stabilitas ……………………………………………………... 11 2.6 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz …………………………..

13

2.7 Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa ………

15

iii

2.8 Model Matematika …………………………………………...

18

BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA 3.1 Hal-Hal yang Mempengaruhi Model ………………………...

20

3.2 Formulasi Model ……………………………………………..

23

3.3 Menentukan Titik Equilibrium ………………………………. 24 3.4 Basic Reproductive Ratio …..……………………………...… 28 3.5 Kestabilan Titik Equilibrium ………………………………...

29

BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

BAB V

4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus ……………………….

41

4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas ……………..

46

PENUTUP 5.1 Kesimpulan …………………………………………………..

64

5.2 Saran …………………………………………………………. 67 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………..

68

RIWAYAT HIDUP LAMPIRAN

iv

DAFTAR GAMBAR

Halaman 3.1. Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia .... 23 Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30 …..………………………….. 42

4.1. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755 …..………………………… 42

4.2. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30 …..………………………….. 43

4.3. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755 ..…………………………… 44

4.4. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30 ……………………………… 45

4.5. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755 ..…..……………………..… 45

4.6. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 …..………………………..… 47

4.7. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 …..……………………….. 48

4.8. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 ..…………………………….. 49

4.9. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 ………………………….... 49

4.10. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 ……………………………… 50

4.11. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 ………………………….... 50

4.12. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

v

Dimana
 = 8.0220 > 1 ………………………………..................... 52

4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 …..……………..………….. 54

4.14. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 …..……………..………. 54

4.15. Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 ……..…………..………….. 55

4.16. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 …..…………………...… 56

4.17. Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30 …..…………………..…….. 57 4.19. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia 4.18. Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000 …..……………..………. 57 4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana
 = 35.3888 > 1 ……………………………...................... 59 4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 3000 dimana ( ) merupakan sel rentan dengan
 = 8.0220 > 1 dan

( ) merupakan sel rentan dengan
 = 35.3888 > 1

4.21 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 600

(a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data ..……..................... 60 dimana ( ) merupakan sel terinfeksi dengan
 = 8.0220 > 1 dan

( ) merupakan sel terinfeksi dengan
 = 35.3888 > 1

4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 300

(a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data ..……..................... 61 dimana ( ) merupakan virus dengue dengan
 = 8.0220 > 1 dan

( ) merupakan virus dengue dengan
 = 35.3888 > 1

(a) Dalam Bentuk Grafik (b) Dalam Bentuk Data ..……..................... 62

vi

DAFTAR TABEL

Halaman 4.1. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 < 1 ……………………. 41 2.1. Sifat Stabilitas Titik Equilibrium …………………………………….... 13 4.2. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 = 8.0220 > 1 ………… 47 4.3. Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 = 35.3888 > 1 ……….. 53

vii

DAFTAR SINGKATAN

DEN-1 = Dengue-1 DEN-2 = Dengue-2 DEN-3 = Dengue-3 DEN-4 = Dengue-4 DSS

= Dengue Shock Syndrome

IVP

= Initial Value Problem

VFE

= Virus Free Equilibrium

viii

DAFTAR ISTILAH

Antibodi

= Zat yang dibentuk dalam darah untuk memusnahkan bakteri virus atau untuk melawan toksin yang dihasilkan oleh bakteri

Antigen

= Suatu zat yang dapat menginduksi respon imun yang dapat dideteksi bila masuk kedalam hewan

Enzim

= Molekul protein yang kompleks yang dihasilkan oleh sel hidup dan bekerja sebagai katalisator dalam berbagai proses kimia di dalam tubuh makhluk hidup

Fase Viremia

= Fase pada demam berdarah dimana rentang waktunya dua hari sebelum demam timbul sampai lima hari setelah demam timbul

Makrofag

= Sel besar yang amoeboid dan terdapat dalam jaringan ikat

Parasit

= Organisme yang hidup dan menghisap makanan dari organisme lain yang ditempelinya

Sel B

= Jenis limfosit yang dibentuk di bursa atau sumsum tulang dan yang dianggap berperan pada imunitas humoral

Sel Inang

= Sel yang ditempati oleh virus

Sel Plasma

= Transformasi sel B, menghasilkan antibodi terhadap antigen tertentu yang membuat sel B tersensitisasi

Sel Rentan

= Sel yang belum diinfeksi virus

Sel T

= Limfosit T, masa embrio berasal dari timus, bekerja merespon imun seluler dan menolong sel B tersensitisasi respon imun jumoral

ix

Sel Terinfeksi

= Sel yang sudah diinfeksi virus

Sel T Sitotoksik

= Suatu jenis limfosit yang membunuh sel yang terinfeksi dan sel-sel kanker

Serotype

= Tipe

Siklus Litik

= Siklus reproduktif virus yang pada akhirnya menyebabkan kematian sel inang

Syok Hipovolemik

= Syok yang disebabkan karena banyaknya volume plasma darah

Vector

= Perantara

Virologi

= Ilmu yang mempelajari tentang virus

Virulen

= Bersifat mematikan

Virus

= Mikroorganisme yang tidak dapat dilihat dengan menggunakan mikoskop biasa, hanya dapat dilihat dengan menggunakan mikroskop electron, yang menyebabkan dan menularkan penyakit

Virus Dengue

= Virus yang menyebabkan penyakit demam berdarah dengue

x

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A Lampiran B

Hasil Eksekusi Numerik
 = 0.0546 < 1 Saat ∆ = 0.1

Script Syntax
 = 0.0546 < 1 Saat ∆ = 0.1

Lampiran D

Script Syntax
 = 8.0220 > 1 Saat ∆ = 0.05

Lampiran E

Pengecekan Titik Equilibrium

Lampiran C

Script Syntax
 = 35.3888 > 1 Saat ∆ = 0.05

xi

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

(#θãΨtΒ#u šÏ%©!$# $¨Βr'sù 4 $yγs%öθsù $yϑsù Zπ|Êθãèt/ $¨Β WξsVtΒ z>ÎôØo„ βr& ÿÄ÷∏tGó¡tƒ Ÿω ©!$# ¨βÎ) #x‹≈yγÎ/ ª!$# yŠ#u‘r& !#sŒ$tΒ šχθä9θà)u‹sù (#ρãxŸ2 tÏ%©!$# $¨Βr&uρ ( öΝÎγÎn/§‘ ÏΒ ‘,ysø9$# 絯Ρr& tβθßϑn=÷èuŠsù ∩⊄∉∪ tÉ)Å¡≈xø9$# ωÎ) ÿϵÎ/ ‘≅ÅÒム$tΒuρ 4 #Z#ÏWx. ϵÎ/ “ωôγtƒuρ #Z#ÏVŸ2 ϵÎ/ ‘≅ÅÒム¢ WξsVtΒ “Sesungguhnya Allah tiada segan membuat perumpamaan berupa nyamuk atau yang lebih rendah dari itu. Adapun orang-orang yang beriman, Maka mereka yakin bahwa perumpamaan itu benar dari Tuhan mereka, tetapi mereka yang kafir mengatakan: "Apakah maksud Allah menjadikan ini untuk perumpamaan?." Dengan perumpamaan itu banyak orang yang disesatkan Allah, dan dengan perumpamaan itu (pula) banyak orang yang diberi-Nya petunjuk. Dan tidak ada yang disesatkan Allah kecuali orang-orang yang fasik” (Q.S Al-Baqarah : 26) Sebagai hambaNya yang beriman, sudah sepatutnya meyakini bahwa perumpamaan itu adalah benar dari Allah. Untuk lebih meyakinkannya, ternyata pada makhluk yang sekecil nyamukpun bisa menambah keimanan seseorang kepada Sang Khaliq. Dari sana didapatkan bahwa, sesuatu yang Allah ciptakan di dunia ini tidaklah sia-sia. Seperti halnya pada makhluk kecil ini, yaitu nyamuk. Ternyata, pada nyamuk yang kecil ini, Allah menitipkan virus yang dapat menyebabkan penyakit berbahaya bagi manusia, salah satunya penyakit demam berdarah. Lewat peranan nyamuk yang menjadi vector pembawa suatu penyakit, ternyata hal ini dapat dijadikan kajian dalam tugas akhir. Dalam tugas akhir ini akan dikaji mengenai bagaimana proses perpindahan virus dengue di dalam tubuh manusia yang menyebabkan penyakit demam berdarah. Penyakit demam berdarah dengue merupakan penyakit menular yang ditemukan di daerah tropis dan subtropis. Penyakit ini pertama kali ditemukan di Manila, Filipina pada tahun 1953 [8]. Untuk kasus di Indonesia sendiri, penyakit 1

ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1968, akan tetapi konfirmasi virologis baru didapat pada tahun 1972. Sejak saat itu, penyakit ini mulai menyebar ke berbagai daerah, sehingga sampai tahun 1980 seluruh provinsi di Indonesia kecuali Timor-Timur telah terjangkit penyakit ini. Penyakit ini disebabkan oleh virus dengue. Dimana virus ini hanya dapat menular melalui gigitan nyamuk, oleh karenanya penyakit ini termasuk kelompok Anthropod Borne Diseases. Virus dengue ini memiliki empat serotype berbeda, yaitu Dengue-1 (DEN-1), Dengue-2 (DEN-2), Dengue-3 (DEN-3), dan Dengue-4 (DEN-4). Virus dengue ini dibawa oleh vector, yaitu nyamuk Aedes Aegypti dan nyamuk Aedes Albopictus. Namun, vector utama pembawa virus dengue ini adalah nyamuk Aedes Aegypti. Virus berasal dari bahasa latin yang berarti racun atau bahan yang mematikan. Virus merupakan parasit berukuran microskopik yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk bereproduksi sendiri. Maka untuk melangsungkan hidupnya, virus mencari sel inang untuk ditempati. Ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Masa inkubasi dari infeksi virus dengue ini berkisar 7 sampai 10 hari [10]. Fase viremia terjadi ketika pasien mulai demam dan terinfeksi. Setelah itu, ada dua hal yang mungkin dialami oleh pasien. Kemungkinan pertama, pasien akan pulih dan kemungkinan terakhir adalah pasien akan mengalami kegagalan sirkulasi darah yang kemudian pasien jatuh dalam syok hipovolemik akibat kebocoran plasma. Keadaan seperti ini disebut Dengue Shock Syndrome (DSS) [9]. Untuk

memperkirakan

lamanya

masa

viremia,

para

peneliti

mengasumsikan viremia dimulai pada hari sebelum terserang penyakit dan berakhir pada hari terakhir dimana virus tersebut terdeteksi. Sebagai contoh, jika seorang anak divonis terserang penyakit pada hari ketiga dan virus terdeteksi hingga hari kelima pada masa terjangkit, maka pada hari ketiga tersebut sebenarnya lamanya viremia sudah terjadi selama 5 hari. Sehingga masa dari 2

viremia pada dengue berjarak dari 1 sampai 7 hari [10]. Secara sederhananya, masa viremia terjadi saat 2 hari sebelum demam timbul dan 5 hari setelah demam timbul. Sebenarnya, pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam saja. Karena Allah menciptakan manusia dengan sangat sempurna dengan diberikannya sistem imun dalam tubuh yang akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. Maka manusia kembali disadarkan oleh firman Allah dalam Q.S ArRahman ayat 16 yang berbunyi.

∩⊇∉∪ Èβ$t/Éj‹s3è? $yϑä3În/u‘ ÏIω#u Äd“r'Î6sù “Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan?” Allah juga berfirman dalam surat Ar-Ruum ayat 21 yang berbunyi.

∩⊄⊇∪ tβρã©3xtGtƒ 5Θöθs)Ïj9 ;M≈tƒUψ y7Ï9≡sŒ ’Îû ¨βÎ) “Sesungguhnya pada yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda bagi kaum yang berfikir.” Dari ayat-ayat diatas, dapat disimpulkan bahwa nikmat Allah kepada seluruh hambaNya itu memang benar-benar tiada terkira. Salah satu nikmatnya yang membuat manusia disebut sebagai makhluk ciptaan Allah yang sempurna ialah karena akalnya. Dari nikmat Allah yang telah diberikan yaitu akal, sebenarnya Allah mengisyaratkan kepada manusia agar manusia mempergunakan akalnya dengan sebaik-baiknya seperti dengan cara menuntut Ilmu Allah. Dewasa ini, ilmu matematika merupakan salah satu jembatan atau cara untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari. Salah satu ilmu matematika yang dapat membantu mendeskripsikan fenomenafenomena dikehidupan nyata dalam bentuk fungsi atau persamaan adalah model 3

matematika. Dengan memodelkan kejadian sehari-hari, diharapkan dapat memprediksi nilai dari variabel untuk masa yang akan datang. Pada tahun 2007, Nuning Nuraini et al membangun sebuah model matematika dari proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Dimana pada model tersebut menceritakan fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah manusia. Karena hal tersebut, penulis merasa tertarik untuk mengkaji model tersebut dan mengetahui lebih dalam mengenai dinamika virus dengue yang akan diinterpretasikan dalam sebuah simulasi.

1.2

Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan tugas akhir ini dapat

diuraikan sebagai berikut. 1. Bagaimana proses pemodelan matematika berkaitan dengan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia? 2. Bagaimana menganalisis kestabilan model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia? 3. Bagaimana simulasi dari model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia?

1.3

Batasan Masalah Pembahasan tugas akhir ini membahas mengenai pengkajian model dan

penganalisisan fenomena perpindahan virus dengue di dalam tubuh manusia. Dimana tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa hal yaitu sebagai berikut. 1. Terdapat 3 kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. 2. Metode yang digunakan dalam simulasi adalah metode Euler. 3. Simulasi modelnya dari data acak berupa parameter dan untuk nilai awal yang diberikan pada simulasi ini penulis menggunakan data yang diteliti oleh Nuning Nuraeni et al.

4

1.4

Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari pengerjaan tugas akhir ini dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Mengkaji lebih dalam proses pemodelan matematika berkaitan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. 2. Menganalisis kestabilan model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. 3. Mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia yang diinterpretasikan ke dalam sebuah simulasi. Adapun manfaat jangka panjang dari pengerjaan tugas akhir ini adalah

semoga karya kecil ini menjadi acuan untuk para matematikawan yang ingin membahas mengenai pemodelan matematika.

1.5

Metodologi Penelitian Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai

berikut. a. Studi pustaka. Studi pustaka disini lebih diartikan sebagai pengkajian dan pembelajaran lebih dalam mengenai buku-buku yang berkaitan dengan virus dengue, penyakit demam berdarah dengue, persamaan diferensial, penentuan titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, metode Euler. b. Menganalisis.

Menganalisis

disini

lebih

diartikan

sebagai

penganalisisan model. c. Menginterpretasi model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia lewat simulasinya.

1.6

Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini hanya memuat 5 bab. Dengan

perincian sebagai berikut.

5

BAB I

PENDAHULUAN Pada bab ini akan dipaparkan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan.

BAB II

LANDASAN TEORI Dalam bab ini penulis akan memaparkan tentang landasan teori yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri dari

sistem

persamaan

diferensial,

persamaan

diferensial

autonomous, titik equilibrium, pelinearan, stabilitas, kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, metode numerik untuk persamaan diferensial biasa, dan model matematika. BAB III

ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia, yang terdiri dari hal-hal yang mempengaruhi model, formulasi model, menentukan titik equilibrium, basic reproductive ratio, serta kestabilan titik equilibrium.

BAB IV

SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA Dalam bab ini penulis akan memapaparkan hasil simulasi dari model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia, yang terdiri dari simulasi dalam keadaan bebas virus dan simulasi dalam keadaan terdapat virus bebas.

BAB V

PENUTUP Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari rumusan

permasalahan

yang

diajukan

serta

saran

untuk

pengembangan tulisan yang berbeda di masa yang akan datang. DAFTAR PUSTAKA

6

BAB II LANDASAN TEORI

2.1

Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Persamaan diferensial terbagi atas persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang 

terhadap peubah  . Kadang persamaan ini dapat pula melibatkan  itu sendiri, 

dan konstanta [7]. Atau dengan kata lain, jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Lain halnya jika persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Sebagai contoh : 1. ′ +  = 16

(2.1)

(2.2)

2. ′′ = (2 − ′)(  +   )

3.

!"

#!

−

!"

$!

=0

(2.3)

Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan

dengan  dan  dianggap sebagai satu peubah bebas, yaitu  = %(). Lambang ′

dan ′′ dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan

pertama dan kedua dari fungsi () terhadap  . Persamaan (2.1) dan (2.2) memuat turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan untuk persamaan (2.3) fungsi yang tidak diketahui & dianggap sebagai fungsi dua peubah bebas dan  , yaitu & = &( , ),

!"

#!

dan

!"

$!

berturut-turut adalah turunan

parsial dan karenanya disebut persamaan diferensial parsial. 7

Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk [14]:

() , ,  * , … ,  (,) - = 0. (2.4)

Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika ( adalah linear dalam

variabel-variabel ,  * , … ,  (,) . Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan

diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear orde . berbentuk :

/ ( ) , + / ( ) ,0 + ⋯ + /, ( ) = 2( ).

(2.5)

Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear bila memenuhi 3 hal berikut [5]: 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat satu. 2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. 3. Variabel terikatnya bukan merupakan fungsi tresenden. Sebagai contoh,  (3) +  = 0 merupakan persamaan diferensial linear orde 3. Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial

() , ,  * , … ,  (,) - = 0 merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah satu

dari berikut dipenuhi oleh ( [5].

1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat lebih dari satu. 2. Mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. 3. Variabel terikatnya merupakan fungsi trasenden. Sebagai contoh,  ** + 24 #  * +  * +   = 5 merupakan persamaan diferensial tak linear karena suku  * dan   [14].

Beranjak ke sistem persamaan diferensial. Jika berbicara tentang sistem,

sistem berarti sejumlah tertentu sehingga yang dimaksud dengan sistem

8

persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang didalamnya memuat . buah persamaan diferensial, dengan . buah fungsi yang tidak diketahui, dimana . ≥ 2.

Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama

mempunyai bentuk sebagai berikut :

8 = 2 ( ,  ,  , … , , ) 8 8 = 2 ( ,  ,  , … , , ) (2.6) 8 ⋮

8, = 2, ( ,  ,  , … , , ) 8

Dengan ,  , … , , adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat, sehingga  =  ( ),  =  ( ), … , , = , ( ) dimana

:$; :#

merupakan turunan fungsi ,

terhadap , dan 2< adalah fungsi yang tergantung pada variabel ,  , … , , dan .

2.2

Persamaan Diferensial Autonomous Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut.

= = %(),  > ℜ, (2.7)

dengan % merupakan fungsi kontinu bernilai real dari  dan mempunyai turunan

parsial kontinu. Persamaan (2.7) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit didalamnya [6]. 2.3

Titik Equilibrium Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut.

8 = = = %() (2.8) 8

Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vector keadaan konstan. Atau dengan kata lain, titik equilibrium merupakan solusi yang tetap konstan walaupun waktu

berganti. Maka titik equilibrium dari persamaan (2.8) didapat jika

:$ :#

= 0. Adapun

istilah lain dari titik equilibrium adalah titik tetap, titik stasioner, rest point,

singularity, critical point atau steady state [15]. Tetapi, dalam tugas akhir ini akan 9

menggunakan istilah titik equilibrium. Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini. Misal %() =   −  − 6, maka untuk mencari titik equilibriumnya adalah

dengan cara %() = 0 atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga diperoleh %() =   −  − 6 = 0 ( − 3)( + 2) = 0

Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu  = 3 atau  = −2. 2.4

Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan

melalui pelinearan. Untuk mencari hasil pelinearan dari sistem persamaan diferensial tak linear digunakan matriks Jacobi. BC

$C

@() = A ⋮

BD $C

BC

$!

⋮

BD $!

…

BD $;

… ⋮ E BD … $;

@() merupakan matriks Jacobi yang berukuran F × .. Matriks ini sering juga

ditulis sebagai matriks H

BI

$J

K . <.L

Contoh sederhananya [1],

%( ,  ) = ) 3 −  3 , 3   , 2   -

Maka matriks Jacobinya adalah P% O NP N P% NP N  N P%3 MP

P% S P R 3  P% R = T6  P R R 4  P%3 R P Q

−3  3  U. 4 

10

2.5

Stabilitas Misal diberikan sistem Autonomous linear sebagai berikut. = = / + V dan = = W + 8

(2.9)

dengan /, V, W, 8 konstanta. Dari persamaan (2.9) dapat diperoleh penyelesaian

secara eksplisit sehingga tidak mengherankan bahwa sifat stabilitas dari titik equilibrium (0,0) dari sistem di atas mudah dipelajari.

Misal, /8 − VW ≠ 0 maka titik (0,0) adalah satu-satunya titik equilibrium

dari persamaan (2.9). Bentuk penyelesaian dari sistem (2.9) adalah  = Y4 Z# ,  = [4 Z#

dimana merupakan akar dari persamaan karakteristik

\ − (/ + 8)\ + /8 − VW = 0 (2.10)

maka sifat stabilitas titik equilibrium (0,0) dari persamaan (2.9) hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar persamaan (2.10). Dengan kata lain

kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari nilai eigen sistem itu sendiri. Sifat stabilitas titik equilibrium ada 3, yaitu stabil, stabil asimtotik atau stabil atraktif dan tidak stabil. Secara kasar, titik equilibrium dikatakan stabil jika setiap solusi dari sistem mulai dekat dengan titik equilibrium pada waktu tertentu. Sedangkan yang disebut stabil asimtotik adalah jika solusi didekatnya tidak hanya dekat, tetapi juga konvergen ke titik equilibrium sampai waktu menuju tak hingga. Dan jika titik equilibrium yang tidak memenuhi sifat stabil dan stabil asimtotik maka disebut tidak stabil [15]. Berikut akan diperlihatkan perbedaannya secara jelas [3]: 1. Stabil

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil, jika dan hanya

jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian tak positif.

2. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil asimtotik atau

stabil atraktif, jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah 11

real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. 3. Tidak Stabil

Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan tidak stabil jika salah

satu atau kedua akar dari persamaan (2.10) real positif atau jika paling sedikit satu akar mempunyai bagian real positif.

Untuk memudahkan pemahaman, tinjau beberapa contoh di bawah ini. Misal diberikan sistem = = − dan = = . Periksa kestabilan sistem

Contoh 1

tersebut!

Penyelesaian Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk

\ + 1 = 0 karena disini nilai / = 0, V = −1, W = 1, 8 = 0. Maka akar dari

persamaan karakteristiknya adalah real yaitu ±^, maka menurut sifat stabilitas titik

equilibrium, titik equilibrium dari contoh 1 adalah stabil. Contoh 2

Misal diberikan sistem = = − dan = = −. Periksa kestabilan sistem

tersebut!

Penyelesaian Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk

\ + 2\ + 1 = 0 karena disini nilai / = −1, V = 0, W = 0, 8 = −1. Maka akar dari 

persamaan karakteristiknya adalah \ = \ = −1, karena ini mempunyai bagian

real negatif maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari contoh 2 adalah stabil asimtotik. Contoh 3

Misal diberikan sistem = = −3 + 4 dan = = −2 + 3. Periksa

kestabilan sistem tersebut! Penyelesaian

Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk

\ − 1 = 0 karena disini nilai / = −3, V = 4, W = −2, 8 = 3. Maka akar dari 12

persamaan karakteristiknya adalah \ = 1 dan \ = −1, karena karena salah satu akarnya ada yang positif, maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik

equilibrium dari contoh 3 adalah tidak stabil. Secara praktisnya, sifat stabilitas titik equilibrium dapat dilihat dalam tabel dibawah ini [7]. Tabel 2.1 Sifat Stabilitas Titik Equilibrium _ = \ + \ _≤0 _<0

Tipe Kestabilan a. Stabil b. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif c. Tidak Stabil

2.6

_>0

` = \ \ `>0 `>0 `<0

Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dipakai apabila nilai eigen dari

persamaan karakteristik sistem, sulit ditentukan. Karena kriteria kestabilan RouthHurwitz ini tidak melihat tanda bagian real dari nilai eigen atau akar-akar persamaan karakteristik secara langsung melainkan melihat koefisien dari persamaan karakteristik. Teorema 1 Diberikan persamaan karakteristik a(\) = \b + / \b0 + / \b0 + ⋯ + /b = 0

Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz cL sebagai berikut [6]. / /3 f cL = e /g ⋮ / L0 d

dengan cL = (ℎlm ) dan ℎlm

1 / /5 ⋮

/L0

0 0 / 0 /3 / ⋮ ⋮ /L03 /L05

… … … …

0 0 j 0i ⋮ … / Lh

/l0m , &. &p 0 < 2q − F < p = n1 ,o &. &p 2q = F 0 , &. &p 2q < F / /& 2q > p + F

13

semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu 84 cr > 0, untuk s = 1,2, … , p.

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk p = 2,3,4, disebutkan bahwa

titik equilibrium stabil jika dan hanya jika p=2

/ > 0, / > 0

p=3

/ > 0, /3 > 0, / / > 0

p=4

/ > 0, /3 > 0, /5 > 0, / / /3 > /3  + /  /5

Untuk lebih jelasnya, tinjau 2 contoh di bawah ini. Contoh 1

a(\) = \3 + 6\ + 3\ − 6 = 0

Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz. Penyelesaian Dari persamaan a(\) = \3 + 6\ + 3\ − 6 = 0, maka / = 6, / = 3, dan

/3 = −6. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g .

Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif. Untuk c = (/ ) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat det c = |6| > 0.

/ 1 Untuk c = x/ / y = z 6 1{, sehingga didapat −6 3 3  6 1 | = 24 > 0. −6 3 / 1 0 6 Untuk c3 = }/3 / / ~ = }−6 /g /5 /3 0

det c = |

6 1 0 det c3 = −6 3 6  = −144 < 0. 0 0 −6

1 0 3 6 ~, sehingga didapat 0 −6

Karena det c3 < 0, maka persamaan karakteristik diatas tidak memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

14

Contoh 2

a(\) = \3 + 6\ + 3\ + 2 = 0

Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz. Penyelesaian Dari persamaan a(\) = \3 + 6\ + 3\ + 2 = 0, maka / = 6, / = 3, dan

/3 = 2. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g .

Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif. Untuk c = (/ ) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat det c = |6| > 0.

/ 1 Untuk c = x/ / y = z6 1{, sehingga didapat 2 3 3 

6 1 | = 16 > 0. 2 3 / 1 0 6 1 0 Untuk c3 = }/3 / / ~ = }2 3 6~, sehingga didapat /g /5 /3 0 0 2

det c = |

6 det c3 = 2 0

1 0 3 6 = 32 > 0. 0 2

Karena semua matriks Hurwitznya positif, maka persamaan karakteristik diatas memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

2.7

Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam

berbagai disiplin ilmu, misalnya bidang fisika, kimia, teknik mesin, teknik sipil, elektro dan lain-lain. Kadang kala, model matematika tersebut rumit dan tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik, dimana metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim. Metode analitik disebut juga metode eksak yang menghasilkan solusi eksak (solusi sejati). Metode analitik ini lebih unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas. Padahal kenyataannya, persoalan matematika banyak yang rumit, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Kalau metode analitik 15

tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, −,÷,×).

Suatu persamaan diferensial mempunyai bentuk umum 8 = %( , ), 8

 (  ) =  (2.11)

/ ≤ ≤ V,

dimana  merupakan nilai awal pada waktu . Dengan kata lain, pada persamaan

ini mengandung syarat awal untuk memperoleh penyelesaiannya. Metode numerik

untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan dengan metode Euler, Metode Taylor, dan metode Rungge Kutta. Adapun metode numerik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode Euler. Berikut adalah penjelasannya. Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana dalam menyelesaikan initial value problem (IVP). Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [/, V], yaitu dengan menerapkan

< = / + ^ℎ, ^ = 0,1,2, … , ƒ

(2.12)

Jarak antar point dirumuskan sebagai ℎ=

V−/ (2.13) ƒ

ini disebut step size.

Metode Euler diturunkan dari daret Taylor. Misalnya fungsi ( ) adalah

fungsi yang kontinu dan memiliki turunan dalam interval [/, V]. Maka dalam deret

Taylor,

( <„ ) = ( < ) + ( <„ − < ) * ( < ) +

Karena ℎ = ( <„ − < ), maka

( <„ ) = ( < ) + ℎ * ( < ) +

( <„ − < ) **  (…< ) (2.14) 2

ℎ **  (…< ) (2.15) 2

dan karena ( ) memenuhi persamaan (2.11),

( <„ ) = ( < ) + ℎ%) < , ( < )- +

ℎ **  (…< ) (2.16) 2

16

Metode Euler dibangun dengan pendekatan  ≈ ( < ) untuk ^ = 1,2,3, … , ƒ,

dengan mengabaikan suku terakhir yang terdapat pada persamaan (2.19). Jadi, metode Euler dinyatakan sebagai

<„ = < + ℎ%( < , < ) (2.17)

dimana ^ = 0,1,2, … , ƒ − 1. [13]

Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di bawah ini [13]. Diketahui persamaan diferensial

 * =  −  + 1,

dimana ƒ = 10. Sehingga dan serta

ℎ=

0 ≤ ≤ 2,

V−/ 2−0 = = 0.2 ƒ 10

(0) = 0.5

< = / + ^ℎ = 0 + ^(0.2) = 0.2^  = 0.5

Dengan demikian persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai <„ = < + ℎ%( < , < )

Dimana ^ = 0,1, … ,9.

= < + ℎ(< − <  + 1)

= < + 0.2(< − 0.4^  + 1)

Pada saat ^ = 0 dan syarat awal diketahui  = 0.5 maka

<„ = < + 0.2(< − 0.4^  + 1)

Pada saat ^ = 1 maka

Pada saat ^ = 2 maka

„ =  + 0.2( − 0.4(0 ) + 1)  = 0.8000000

<„ = < + 0.2(< − 0.4^  + 1)

„ =  + 0.2( − 0.4(1 ) + 1)

 = 1.1520000

<„ = < + 0.2(< − 0.4^  + 1)

„ =  + 0.2( − 0.4(2 ) + 1) 3 = 1.5504000

17

Demikian seterusnya hingga pada ^ = 9

<„ = < + 0.2(< − 0.4^  + 1)

‡„ = ‡ + 0.2(‡ − 0.4(9 ) + 1)  = 4.8657845

2.8

Model Matematika Model matematika merupakan salah satu ilmu matematika yang dapat

membantu mendeskripsikan fenomena-fenomena dalam kehidupan nyata dalam bentuk fungsi atau persamaan. Adapun langkah-langkah dalam membangun model [4]: 1. Identifikasi masalah. Apa masalah yang akan dikaji? Biasanya ini merupakan langkah tersulit karena dalam kehidupan nyata tidak semudah itu mengerjakannya dengan matematika. Biasanya, pada langkah ini diharuskan untuk lebih memilah-milih sejumlah data besar dan mengidentifikasi beberapa aspek tertentu dari suatu masalah untuk dipelajari. Pemodelan harus mempunyai kemampuan yang cukup tepat dalam menjabarkan formulasi verbal kedalam simbol matematika. 2. Membuat asumsi. Umumnya, semua faktor yang berpengaruh pada masalah yang akan diidentifikasi tidak dapat dimodelkan dengan matematika. Langkah ini bersifat menyederhanakan dengan mengurangi sejumlah

faktor

kompleksitas

yang

persoalan

didasarkan yang

pada

diamati

pertimbangan. bisa

direduksi

Sehingga dengan

mengasumsikan hubungan yang relatif sederhana antara variabel. Asumsi ini terbagi menjadi dua kategori utama : a. Klasifikasi variabel. Hal apa yang mempengaruhi perilaku dari masalah yang diidentifikasi dalam langkah 1? Hal ini diidentifikasi sebagai variabel. Dalam model akan dijelaskan variabel terikat dan sisanya bebas. b. Menentukan hubungan timbal balik antara variabel-variabel yang dipilih. Sebelum membuat hipotesis tentang hubungan antara variabel, biasanya pada langkah ini diharuskan untuk membuat penyederhanaan 18

tambahan. Masalah yang diidentifikasi mungkin cukup kompleks sehingga pada mulanya tidak dapat melihat hubungan antara semua variabel. Dalam kasus ini dimungkinkan untuk membuat submodel. Disini, satu atau lebih variabel bebas dipelajari secara terpisah. Pada akhirnya akan dihubungkan submodel secara bersama-sama. Perlu diperhatikan bahwa submodel ini terintegral terhadap asumsi yang dibuat pada model utama. 3. Memecahkan atau menginterpretasi model. Dalam langkah ini akan dilihat hubungan dari kumpulan submodel. Selanjutnya model tersebut akan diselesaikan secara matematika. Dalam beberapa kasus model, dapat terdiri dari persamaan matematis atau ketidaksetaraan yang harus dipecahkan untuk menemukan informasi yang dicari. 4. Verifikasi model. Sebelum menggunakan model dalam kehidupan nyata, model tersebut harus diuji. 5. Mengimplementasikan model. Tentu saja model yang telah diuji tidak dibiarkan saja tanpa adanya kegunaan tertentu. Yang diharapkan dari model ini adalah dapat dipahami dan berguna bagi siapapun. 6. Maintain the model.

19

BAB III ANALISA MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

Dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas tentang proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Secara umum, virus merupakan parasit berukuran mikroskopik yang tidak memiliki perlengkapan selular untuk bereproduksi sendiri. Maka,

untuk melanjutkan siklusnya,

virus harus

bereproduksi di dalam material hidup dengan menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain [11]. Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui hidung, mulut, bahkan dapat masuk melalui kulit. Setelah masuk ke dalam tubuh, virus tersebut akan mencari sel inang untuk diinfeksi. Pada saat itu juga, tubuh akan bereaksi dan memberikan perlawanan terhadap antigen yang masuk tersebut. Sistem imun akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya.

3.1

Hal-Hal yang Mempengaruhi Model Sebelum membangun model, ada baiknya memperhatikan hal-hal yang

mempengaruhi model tersebut. Dalam tugas akhir ini, penulis mengelaskan sel ke

dalam dua kelas. Yaitu sel rentan yang dinotasikan dengan ( ) dan sel terinfeksi

yang dinotasikan dengan ( ). Serta virus bebas itu sendiri yang dinotasikan

dengan ( ).

a. Sel rentan ( )

Sel rentan adalah sel sehat yang belum diinfeksi oleh virus.

Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju sel rentan adalah sebagai berikut. 1. Kelahiran murni dengan laju yang konstan. 20

2. Jumlah sel rentan akan berkurang karena adanya interaksi sel rentan dengan partikel virus atau dengan kata lain adanya penginfeksian virus. 3. Kematian murni dengan laju yang konstan. b. Sel terinfeksi ( )

Sel terinfeksi adalah sel rentan yang terinfeksi virus. Adapun hal-

hal yang mempengaruhi laju sel terinfeksi adalah sebagai berikut. 1. Jumlah sel terinfeksi akan bertambah karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. 2. Kematian murni akan mengurangi jumlah sel terinfeksi dengan laju yang konstan. c. Virus dengue ( )

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa secara umum

virus bebas merupakan parasit yang berukuran mikroskopik yang menginvasi dan memanfaatkan sel makhluk hidup lain untuk melanjutkan siklus hidupnya. Virus dapat masuk ke dalam tubuh manusia melalui hidung, mulut, bahkan kulit. Setelah virus masuk ke dalam tubuh, virus akan mencari sel inang tanpa memperhatikan tipe sel inang untuk diinfeksi [11]. Selanjutnya, virus akan melakukan beberapa tahapan untuk bereproduksi. Dalam tugas akhir ini, penulis mengasumsikan virus dengue sebagai virus virulen. Yaitu virus yang hanya dapat bereproduksi dengan siklus litik. Proses siklus litik adalah sebagai berikut. 1. Partikel virus menggunakan serabut ekornya untuk menempel pada sel inang. 2. Sarung ekor tersebut berkontraksi, membuat lubang menembus dinding sel dan membran dari sel. Lalu virus tersebut menginjeksikan DNA-nya ke dalam sel inang.

21

3. DNA dari virus mengambil alih kerja enzim sel inang untuk membuat bagian-bagian virus-virus baru. 4. Bagian-bagian virus baru itu berkumpul menjadi virus yang baru dengan jumlah yang sangat banyak. 5. Karena dinding sel rusak, maka sel tersebut membesar dan akhirnya pecah sehingga virus-virus baru itu keluar dari sel inangnya. Pada saat virus masuk ke dalam tubuh, tubuh tidak akan diam saja. Karena tubuh mempunyai sistem imun yang akan memberikan perlawanan dengan menghancurkan antigen yang masuk atau hanya sekedar menghambat pertumbuhan antigen agar tidak menyebar dan menginfeksi sel sehat lainnya. Terdapat beberapa sel yang berperan dalam sistem imun, yaitu sel B, sel T dan makrofag. Saat virus masuk kedalam tubuh dan mengenai sel inang, sel T akan menjadi aktif. Sel T sendiri terbagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut. a. Sel T sitotoksik yang berfungsi menghancurkan sel inang yang memiliki antigen asing. b. Sel T penolong yang berfungsi meningkatkan perkembangan sel B aktif menjadi sel plasma, memperkuat aktivitas sel T sitotoksik dan sel T penekan yang sesuai, dan mengaktifkan makrofag. c. Sel T penekan yang menekan produksi antibodi sel B dan aktifitas sel T sitotoksik dan penolong. Setelah sel T aktif, sel T penolong akan mengaktifasi sel B yang kemudian terbagi menjadi dua. Yaitu menjadi plasma sel yang menghasilkan antibodi untuk melawan virus dan sel pengingat yang siap merespon lebih cepat agar apabila virus kembali ke dalam tubuh, sel B bisa lebih cepat memproduksi antibodi [11].

22

Adapun hal-hal yang mempengaruhi laju virus dengue adalah sebagai berikut. 1. Jumlah virus dengue akan bertambah dari banyaknya sel yang terinfeksi dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus dengue baru tersebut. 2. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya kematian murni dengam laju yang konstan. 3. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya sel T yang menghancurkan virus dengue tersebut. 4. Jumlah virus dengue akan berkurang karena adanya partikel virus dengue yang menginfeksi sel rentan.

3.2

Formulasi Model Dari fenomena yang ada, dapat digambarkan proses transmisi virus dengue

di dalam tubuh manusia dalam sebuah diagram di bawah ini [10].

Gambar 3.1 Diagram Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia

Adapun dari diagram di atas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika virus dengue yang disajikan dalam suatu model matematika [10]. 8( ) = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 8 8( ) (2) = ‰( )( ) − ‹( ). 8 8( ) (3) = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 8 (1)

(3.1) 23

dengan

ˆ adalah kelahiran murni sel rentan

‰ adalah peluang perpindahan virus dengue Š adalah kematian murni sel rentan

‹ adalah kematian murni sel yang terinfeksi

Œ adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue . adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru  adalah kematian murni virus dengue

 adalah kematian virus dengue dengan sel T

dimana ˆ, ‰, Š, ‹, Œ, ., 1 , 2 > 0 dan , ,  ≥ 0. 3.3

Menentukan Titik Equilibrium Langkah awal untuk mengidentifikasi titik equilibrium adalah me-nol-kan

ruas kiri pada sistem (3.1) sehingga turunan pertamanya bernilai nol. Maka akan didapat seperti yang tertera di bawah ini.

0 = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 0 = ‰( )( ) − ‹( ).

0 = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ).

Langkah kedua, lakukan proses penyederhanaan sistem (3.1) dengan

menggunakan proses substitusi.

Dari 0 = ˆ − ‰( )( ) − Š( ), bisa didapatkan =

pengerjaannya sebagai berikut.

Ž0 ‘

. Adapun proses

0 = ˆ − ‰( )( ) − Š( ) ⇔ ˆ − ‰( )( ) − Š( ) = 0 ⇔ ˆ − ‰ − Š = 0 ⇔ ‰ = ˆ − Š

⇔  =

ˆ − Š . (3.2) ‰

24

Dari 0 = ‰( )( ) − ‹( ), bisa didapatkan  =

pengerjaannya sebagai berikut.

Ž0 “

. Adapun proses

0 = ‰( )( ) − ‹( ) ⇔ ‰( )( ) − ‹( ) = 0

⇔ ‰ − ‹ = 0 ⇔ ‹ = ‰

⇔  =

‰ . ‹

⇔  =

‰ ‹

⇔  =

ˆ − Š . (3.3) ‹

Substitusi persamaan (3.2) sehingga didapat

⇔  = x

Dan

pada

saat

‰ ˆ − Š yx y ‹ ‰

0 = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ),

persamaan (3.2) dan (3.3). Sehingga diperoleh

substitusi

0 = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( )

⇔ Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ) = 0 ⇔ Œ. −   −   − ‰ = 0

⇔ Œ. − ( +  ) − ‰ = 0 ⇔ Œ. x ⇔

ˆ − Š ˆ − Š ˆ − Š y − ( +  ) x y − ‰ x y=0 ‹ ‰ ‰

Œ. ˆ − Š (ˆ − Š) − ( +  ) x y − (ˆ − Š) = 0 ‹ ‰

⇔ (ˆ − Š) H

Œ.  +  −x y − 1K = 0 ‹ ‰

25

Saat ”

•, “

−z

(ˆ − Š) ≠ 0, maka ” H

–C „–! ‘

•, “

−z

Œ.  +  −x y − 1K = 0 ‹ ‰

⇔

ˆ

{ − 1— ≠ 0, maka (ˆ − Š) = 0, didapat  = Š . Saat –C „–! {− ‘

1— = 0.

Œ.  +  −1=x y ‹ ‰

 +  ⇔ ‰ = Œ. ‹ −1 ⇔= ⇔= ⇔= ⇔=

1  +  ˜ ™ ‰ Œ. − 1 ‹ 1  +  ˜ ™ ‰ Œ. − ‹ ‹ ‹

1  +  ˜ ™ ‰ (Œ. − ‹) 1 ‹

‹( +  ) ‰(Œ. − ‹)

ˆ  = . (3.4) Š ‹( +  ) ∗ = . (3.5) ‰(Œ. − ‹)

Sehingga didapat 2 titik yaitu sebagai berikut.

Dari persamaan (3.4) dan (3.5) dapat diduga, sistem (3.1) memiliki 2 titik equilibrium.

Untuk memperoleh titik equilibrium pertama, substitusi persamaan (3.4)

ke persamaan (3.2).

=

Ž0 ‘

=

›

Ž0z œ { ›

‘z œ {

= 0 maka didapat  = 0. 26

Substitusi pula persamaan (3.4) ke persamaan (3.3). =

Ž0 “

=

›

Ž0z œ { “

= 0 maka didapat  = 0.

Sehingga, diperoleh titik equilibrium pertama dari sistem (3.1) yaitu

ˆ  = (, , ) = z , 0,0{. (3.6) Š

Dimana titik ini menunjukan keadaan yang bebas virus atau virus-free equilibrium (VFE) karena pada kondisi ini tidak ada virus dan sel terinfeksi. Selanjutnya untuk memperoleh titik equilibrium kedua, substitusi

persamaan (3.5) ke persamaan (3.2) sehingga didapat =

ˆ − Š . ‰

⇔ ∗ =

‹( +  ) y ‰(Œ. − ‹) ‹( +  ) ‰x  y ‰(Œ. − ‹)

ˆ−Šx

ˆ)‰(Œ. − ‹)‹( +  ) −Šx  y ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹) ∗ ⇔  = ‹( +  ) x  y (Œ. − ‹)

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ‰(Œ. − ‹) ⇔  = ‹( +  ) Œ. − ‹ ∗

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Œ. − ‹ ⇔ ∗ = ž Ÿx y ‰(Œ. − ‹) ‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) 1 ⇔ ∗ = ž Ÿx y ‰ ‹( +  ) ⇔ ∗ =

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) . (3.7) ‰‹( +  )

Kemudian substitusi pula persamaan (3.5) ke persamaan (3.3) sehingga didapat

=

ˆ − Š . ‹

27

‹( +  ) y ‰(Œ. − ‹) ⇔ = ‹ ˆ‰(Œ. − ‹) ‹( +  ) −Šx  y ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹) ⇔ ∗ = ‹ ∗

ˆ −Šx

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ‰(Œ. − ‹) ⇔ ∗ = ‹ ⇔ ∗ =

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) . (3.8) ‹‰(Œ. − ‹)

Sehingga diperoleh titik equilibrium kedua dari sistem (3.1) yaitu . Dan dapat

ditulis ulang nilai  ∗ ,  ∗ ,  ∗ dalam  beturut-turut adalah ž

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) , , Ÿ. (3.9) ‰(Œ. − ‹) ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  )

Dimana titik ini menunjukan keadaan terdapat virus bebas.

3.4

Basic Reproductive Ratio Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu

parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah bilangan reproduksi

dasar (Basic Reproductive Ratio). Basic Reproductive Ratio (
 ) didefinisikan

sebagai angka dari banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau lebih sel yang terinfeksi. Dengan menentukan nilai
, maka akan diketahui apakah virus tersebut akan menyebar atau tidak.

Ilustrasi dari
, misal ada populasi manusia yang peka dan tidak ada

manusia yang terinfeksi. Kemudian ada manusia yang terinfeksi virus dan berinteraksi dengan manusia peka. Maka, jika
 < 1, tidak akan terjadi endemic.

Dalam artian, manuisa yang peka tersebut tidak akan tertular penyakit dan penyakit tidak menyebar, dan manusia yang sakit (yang terinfeksi virus) bisa sembuh setelah beberapa waktu. Sedangkan jika
 > 1, akan terjadi endemic.

Dalam artian, setelah beberapa waktu, manusia yang sakit akan menularkan penyakitnya. Sehingga, manusia yang awalnya sakit kemungkinan akan sembuh dan manusia yang sehat akan sakit. 28

Pada model ini, didefinisikan
 = ‘(•,0“)

“(–C „–! )

terinfeksi memproduksi

Ž‘(•,0“) “(–C „–! )

virus dengue selama periode infeksi

Sedangkan satu partikel virus dengue menginfeksi periode infeksi



. Adapun

(–C „–! )

kestabilan sistem (3.1) [10].

3.5

. Ini artinya, satu sel

Ž‘(•,0“) (–C „–! )



“

.

sel rentan selama


 ini akan digunakan untuk menganalisis

Kestabilan Titik Equilibrium Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya.

Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi [11]. Teorema 2 Titik equilibrium yang bebas dari virus,  , akan stabil asimtotik lokal jika


 < 1 dan tidak stabil untuk lainnya [10].

Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah pembuktian teorema 2 Langkah pertama, lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks

Jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada VFE (virus-free equilibrium).

 ¡C adalah matriks Jacobian 3 × 3 dari sistem (3.1) dengan nilai  pada

persamaan (3.6). Sistem (3.1)

8( ) = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 8 8( ) (2) = ‰( )( ) − ‹( ). 8 8( ) (3) = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 8

(1)

29

 ¡C

8( ) 8( ) 8( ) y Px y Px y 8 8 8 f j P P P e i e P x8( )y P x8( )y P x8( )y i 8 8 8 i =e P P P e i e 8( ) 8( ) 8( ) i Px y Px y Px y 8 8 8 d h P P P Px

Sehingga didapat  ¡C

−Š f =e 0 0

d

0

−

Ž‘  Ž‘ 

−‹ Œ.

− −  −

j i.

Langkah kedua, cari nilai eigen dari  ¡C .

−Š f ) ¡C − ¢- = e 0 e

−

Œ.

− −  −

−‹

d0

−Š f =e 0 d

0

0

−

Ž‘  Ž‘ 

Œ.

0

§

−‹ − ¢

§

−Š − ¢ 0 0

ˆ‰ Šh

ˆ‰ Š ˆ‰ Š

0

Œ.

 4 ) ¡C − ¢- = 0. Didapat  4 ) ¡C − ¢- =

j 1 0 0 i − ¢ }0 1 0~ i 0 0 1

¢ 0 0 j − } 0 ¢ 0~ i 0 0 ¢ Ž‘ − −  −  h

−‹

−Š − ¢ f =e 0 e d

ˆ‰ Š ˆ‰ Š

0

Ž‘  h

0

−

− −  −

−‹ − ¢ Œ.

(−Š − ¢) }(−‹ − ¢) x− −  −

j i. i

ˆ‰ − ¢h Š

ˆ‰ Š ˆ‰ Š

−

− −  −

ˆ‰ −¢ Š

§ §

=0

ˆ‰ ˆ‰ − ¢y − (Œ.) x y~ = 0 Š Š

30

(−Š − ¢) }x‹ + ‹ +

ˆ‰‹ ˆ‰¢ Œ.ˆ‰ + ‹¢ + ¢ + ¢ + + ¢ y − ~=0 Š Š Š

(−Š − ¢) x¢  + x‹ +  +  + (−Š − ¢) x¢  + x‹ +  +  +

ˆ‰ ˆ‰‹ Œ.ˆ‰ y ¢ + ( +  )‹ + − y=0 Š Š Š ˆ‰ ˆ‰(Œ. − ‹) y ¢ + ‹( +  ) − y=0 Š Š

Maka didapat nilai eigennya – Š dan persamaan karakteristiknya _(¢) = ¢  + x‹ +  +  +

ˆ‰ ˆ‰(Œ. − ‹) . y ¢ + ‹( +  ) − Š Š

Langkah terakhir, cek kestabilan titik equilibrium dengan menggunakan

nilai
.

Nilai eigen dari  ¡C adalah – Š dan persamaan karakteristiknya adalah _(¢) = ¢  + x‹ +  +  +

ˆ‰ ˆ‰(Œ. − ‹) . y ¢ + ‹( +  ) − Š Š

Karena tujuan awal pembuktian teorema ini adalah pengecekan kestabilan  yang

stabil asimtotik lokal ketika
 < 1, dimana dikatakan stabil asimtotik lokal jika

semua nilai eigennya negatif. Maka, untuk mengetahui _(¢) memiliki akar-akar

yang negatif, akan dibuktikan 1) ¢. ¢ > 0

2) ¢ + ¢ < 0

Pembuktian yang pertama yaitu ¢ . ¢ > 0 Tulis
 =

Ž‘(•,0“)

“(–C „–! )

⇔ ‹( +  )
 =

W ‹( +  ) − ¢ . ¢ = = / 1 =

ˆ‰(Œ. − ‹) Š

.

Ž‘(•,0“) 

‹( +  ) − ‹( +  )
 1

= ‹( +  )(1 −
 )

Karena
 < 1 maka (1 −
) > 0 atau ‹( +  )(1 −
) > 0. ∎

31

Pembuktian yang terakhir yaitu ¢ + ¢ < 0.

ˆ‰ −V − x‹ +  +  + Š y ˆ‰ ¢ + ¢ = = = −‹ −  −  − / 1 Š 0ª

= −‹ −  −  −

«

Karena

¢ + ¢ < 0. ∎

Ž‘ 

, maka menghasilkan

0ª «

< 0, jadi terbukti

Maka terbukti _(¢) memiliki akar-akar yang negatif sehingga  stabil asimtotik lokal. ∎

Analisis kestabilan equilibrium  . Substitusi
 pada persamaan (3.9)

yaitu  = (∗ , ∗ , ∗ ) = ž

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) , , Ÿ. ‰(Œ. − ‹) ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  )

dimana
 =

Ž‘(•,0“)

“(–C „–! )

∗ =

‹( +  ) ‰(Œ. − ‹)

=

1
 Š x ˆ y

=

=

=

¬­ Ž

‹( +  )
 z ˆ { ‹Š( +  )

= ∗ =

⇔ ‰(Œ. − ‹) = z { ‹Š( +  )

ˆ
 Š

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ‹‰(Œ. − ‹) ˆ−Šx

‹( +  ) y ‰(Œ. − ‹) ‹

ˆ − Š ∗ ‹

32

=

=

∗ =

ˆ−Šx ‹

ˆ
 Šy

ˆ 1 x1 − y ‹


ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ‰‹( +  )

= ž

Œ. − ‹ ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿx y ‰(Œ. − ‹) ‹( +  )

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) y ‰(Œ. − ‹) = ‹( +  ) x Œ. − ‹ y x

= = =

‹( +  ) y ‰(Œ. − ‹) ‹( +  ) ‰x  y ‰(Œ. − ‹)

ˆ − Š x

ˆ − Š ∗ ‰ ∗

ˆ
 Š y ˆ ‰x y
 Š

ˆ − Š x


 ˆ − ˆ
 { = ‰ˆ x
Š y  z

= x


 ˆ − ˆ
 Š yx y
 ‰ˆ

= ˆ(
 − 1) x

Š y ‰ˆ

Š = (
 − 1) x y ‰

33

Sehingga didapat
 dalam  , dimana } ∗ =

ˆ ˆ 1 Š ,  ∗ = x1 − y ,  ∗ = (
 − 1) x y~. (3.10)
 Š ‹
 ‰

Dapat dilihat bahwa,  ∗ , ∗ ,  ∗ pada persamaan (3.10) positif jika memenuhi
 > 1.

Lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks Jacobian dari sistem

(3.1) yang didasarkan pada  . Dimana  merupakan titik equilibrium yang

mengandung virus bebas.

 ¡! adalah matriks Jacobian 3 × 3 dari sistem (3.1) dengan nilai  pada

persamaan (3.10). Sistem (3.1)

8( ) = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 8 8( ) (2) = ‰( )( ) − ‹( ). 8

(1)

(3)

 ¡!

8( ) = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 8

8( ) 8( ) 8( ) Px Px 8 y 8 y 8 y f j P P P e i e P x8( )y P x8( )y P x8( )y i 8 8 8 i =e P P P e i e 8( ) 8( ) 8( ) i Px y Px y Px y 8 8 8 d h P P P Px

Sehingga didapat  ¡!

−Š


f = e Š(
 − 1)

d−Š(
 − 1)

0

−‹ Œ.

Setelah itu, cari nilai eigen dari  ¡! .

− ¬

Ž‘

Ž‘ ¬­

­

j i.

− −  − ¬ h ­ Ž‘

34

−Š


ˆ‰ Š
 ˆ‰ Š


0

−

f 1 0 0 )¢− ¡! - = ¢ }0 1 0~ − e e Š(
 − 1) −‹ e 0 0 1 −Š(
 − 1) Œ. d ¢ 0 = }0 ¢ 0 0

−Š


0

Š(
 − 1)

−Œ.

 4 ) ¡! − ¢- = 0. Didapat §

¢ + Š


 4 ) ¡! − ¢- = −Š(
 − 1) ¢ + ‹ § Š(
 − 1) −Œ.

+x

ˆ‰

Š
0 ˆ‰

Š
0

ˆ‰

Š
0

Š
0

ˆ‰ Š
 h

ˆ‰ Š
 h

¢ +  +  + ˆ‰

j i i i

j i. i i

ˆ‰ Š
 ˆ‰ − Š


y − x−

ˆ‰ Š
 h

§

ˆ‰ § Š


=0

y (−Œ.)~

y z)−Š(
0 − 1)-(−Œ.) − )Š(
0 − 1)-(¢ + ‹){ = 0

(¢ + Š
 ) x¢  + ¢ + ¢ +

+x

− −  −

¢ +  +  +

0

(¢ + Š
0 ) }(¢ + ‹) x¢ + 1 + 2 +

−

ˆ‰ Š
 ˆ‰ − Š


f = e e−Š(
 − 1) ¢ + ‹ e d

ˆ‰ Š
 ˆ‰ Š


0

f 0 0~ − e e Š(
 − 1) −‹ e ¢ −Š(
 − 1) Œ. d

¢ + Š


− −  −

j i i i

ˆ‰¢ ‹ˆ‰ ˆ‰Œ. + ‹¢ + ‹ + ‹ + − y Š
 Š
 Š


y )(Š
0 Œ. − ŠŒ.) − (¢Š
0 − Š¢ + ‹Š
0 − Š‹)- = 0

¢ 3 + ¢   + ¢   +

ˆ‰¢  ‹ˆ‰¢ ˆ‰Œ.¢ + ‹¢  + ‹ ¢ + ‹ ¢ + − Š
 Š
 Š
 35

+Š
0 ¢  + Š
0 ¢ + Š
0 ¢ + ˆ‰¢ + Š
0 ‹¢ + Š
0 ‹ + Š
0 ‹ +‹ˆ‰ − ˆ‰Œ. + ˆ‰Œ. −

ˆ‰Œ. ˆ‰¢ ˆ‰‹ − ˆ‰¢ + − ˆ‰‹ + =0




¢ 3 + ¢   + ¢   +

ˆ‰¢  ‹ˆ‰¢ ˆ‰Œ.¢ + ‹¢  + ‹ ¢ + ‹ ¢ + − + Š
 ¢  Š
 Š
 Š


¢ 3 + ¢   + ¢   +

ˆ‰¢  ‹ˆ‰¢ ˆ‰Œ.¢ + ‹¢  + Š
 ¢  + ‹ ¢ + ‹ ¢ + – Š
 Š
 Š


+Š
 ¢ + Š
 ¢ + Š
 ‹¢ + Š
 ‹ + Š
 ‹ −

+Š
 ¢ + Š
 ¢ + Š
 ‹¢ +

¢ 3 + x +  + + x‹ + ‹ +

ˆ‰¢ ˆ‰Œ. ˆ‰‹ + Š
 ‹ + Š
 ‹ − + =0




ˆ‰ + ‹ + Š
 y ¢  Š


‹ˆ‰ ˆ‰Œ. ˆ‰ − + Š
  + Š
  + Š
 ‹ + y ¢ Š
 Š



+Š
 ‹ + Š
 ‹ − ¢ 3 + x\ +

ˆ‰Œ. ˆ‰¢ ˆ‰‹ + + =0




ˆ‰Œ. ˆ‰‹ + =0



ˆ‰ ‹ˆ‰ ˆ‰Œ. ˆ‰ + ‹ + Š
 y ¢  + x‹\ + − + Š
 \ + Š
 ‹ + y ¢ Š
 Š
 Š



+Š
 ‹\ −

ˆ‰Œ. ˆ‰‹ + =0



Sehingga didapat nilai eigen dari  ¡! berupa persamaan karakteristik

`(¢) = ¢ 3 + /¢  + V¢ + W (3.11)

dimana /=\+

ˆ‰ + ‹ + Š
 Š


V = ‹\ +

‹ˆ‰ ˆ‰Œ. ˆ‰ − + Š
 \ + Š
 ‹ + Š
 Š



W = Š
 ‹\ −

ˆ‰Œ. ˆ‰‹ +



36

dan \ = ( +  ).

Dapat dilihat, nilai eigen dari `(¢) sangat sulit ditentukan. Maka kestabilan

asimtotik lokalnya akan diselidiki dengan Kriteria Routh-Hurwitz. Sebelum

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, cek terlebih dahulu tanda real dari setiap

/, V, dan W pada persamaan (3.11) jika
 > 1.

Tinjau /.

Karena / = \ + ¬ + ‹ + Š
 , dapat ditarik kesimpulan jika
 > 1, maka maka Ž‘

­

tanda real dari / adalah positif. Tinjau V.

Tulis
 = V = ‹\ + = ‹\ +

= ‹\ +

= ‹\ +

Ž‘(•,0“)

“(–C „–! )

=

0Ž‘(•,0“)

0“(–C „–! )

=

Ž‘(“0•,)

0“(–C„–!)

‹ˆ‰ ˆ‰Œ. ˆ‰ − + Š
 \ + Š
 ‹ + Š
 Š



⇔ ˆ‰(‹ − Œ.) = −
 ‹Š( +  ).

‹ˆ‰ − ˆ‰Œ. ˆ‰ + Š
 (\ + ‹) + Š



ˆ‰(‹ − Œ.) ˆ‰ + Š
 (\ + ‹) + Š



ˆ‰ −
 ‹Š( +  ) + Š
 (\ + ‹) + Š



= ‹\ + (−‹\) + Š
 (\ + ‹) + = Š
 (\ + ‹) +

ˆ‰


ˆ‰


Karena V = Š
 (\ + ‹) + ¬ , dapat ditarik kesimpulan jika
 > 1, maka maka Ž‘ ­

tanda real dari V adalah positif. Tinjau W.

W = Š
 ‹\ −

ˆ‰Œ. ˆ‰‹ +



37

= Š
 ‹\ +

ˆ‰‹ ˆ‰Œ. −



= Š
 ‹\ +

ˆ‰(‹ − Œ.)


= Š
 ‹\ +

= Š
 ‹\ +

ˆ‰‹ − ˆ‰Œ.
 −
 ‹Š( +  )


= Š
 ‹\ − ‹Š\

= Š‹\(
 − 1)

Karena W = Š‹\(
 − 1), dapat ditarik kesimpulan jika
 > 1, maka maka tanda real dari W adalah positif.

Setelah itu, gunakan kriteria Routh-Hurwitz yaitu untuk semua polinomial

`(¢) adalah negatif jika semua determinan dari matriks adalah positif. / /3 f cL = e /g ⋮ d/L0

1 / /5 ⋮

/L0

0 0 0 / /3 / ⋮ ⋮ /L03 /L05

… … … …

0 0 j 0i ⋮ … / Lh

Dimana cL adalah matriks Hurwitz dari persamaan (3.11) dengan s adalah

pangkat tertinggi dari persamaan (3.11) yaitu 3. Maka, 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriksnya hanya sampai /g.

Dari persamaan (3.11) maka / = /, / = V, /3 = W.

Akan dibuktikan semua determinan dari matriks adalah positif. Untuk c = (/ ) = (/), karena / positif, sehingga didapat det c = |/| > 0.

/ 1 Untuk c = x/ / y = z/ 1{, karena /, V dan W positif sehingga didapat W V 3  det c = | det c3 .

/ W

1 | = /V − W. Tapi karena belum tentu /V > W maka hitung dulu V 38

/

1

0

/

1

0

Untuk c3 = }/3 / / ~ = } W V /~ karena /, V dan W positif sehingga /g

/

/5

1

/3

0

0

0

W

didapat det c3 =  W V / = /VW − W  = W(/V − W). Karena W positif, maka untuk 0

0

W

mendapatkan det c3 positif, maka haruslah (/V − W) positif. /V − W > 0 x\ +

x\ +

ˆ‰ ˆ‰ + ‹ + Š
 y xŠ
 (\ + ‹) + y − )Š‹\(
 − 1)- > 0 Š



ˆ‰ ˆ‰ + ‹ + Š
 y xŠ
 \ + Š
 ‹ + y − Š‹\
 + Š‹\ > 0 Š



Š
 \ + Š
 ‹\ +

ˆ‰\ ˆ ‰ ˆ‰‹ + ˆ‰\ + ˆ‰‹ + + Š
 \‹ + Š
 ‹  + + Š 
  \ 

 Š


+Š 
  ‹ + ˆ‰Š − Š‹\
 + Š‹\ > 0

Š 
 3 \ + Š 
 3 ‹\ + ˆ‰\Š
 + ˆ‰\Š
  + ˆ‰‹Š
  + ˆ  ‰ + Š 
 3 \‹

+Š 
 3 ‹  + ˆ‰‹Š
 + Š 3
 5 \ + Š 3
 5 ‹ + ˆ‰Š 
  − Š  ‹\
 3 + Š  ‹\
  > 0

(Š 3 \ + Š 3 ‹)
 5 + (Š  \ + Š  ‹\ + Š  \‹ + Š  ‹  − Š  ‹\)
 3

+(ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š + ˆ‰Š  + Š  ‹\)
  + (ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š)
 + ˆ  ‰  > 0

Sehingga, untuk mendapatkan determinan matriks yang positif, haruslah memenuhi /V > W atau

/
 5 + /
 3 + /3
  + /5
 + /g > 0

(3.12)

dimana / = Š 3 \ + Š 3 ‹

/ = Š  \ + Š  ‹\ + Š  \‹ + Š  ‹  − Š  ‹\

/3 = ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š + ˆ‰Š  + Š  ‹\ /5 = ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š

39

/g = ˆ  ‰ 

Dari penjabaran di atas, dapat ditemukan Teorema untuk equilibrium  . Teorema 4 Titik equilibrium  ada jika
 > 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal

jika dan hanya jika memenuhi kondisi (3.12) [10].

40

BAB IV SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA

Seperti yang telah disebutkan di awal tulisan ini, salah satu tujuan penelitian ini adalah mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia lewat simulasinya. Berikut ini akan dijelaskan simulasi dengan dua keadaan berbeda, yaitu saat keadaan bebas virus dan saat keadaan terdapat virus bebas.

4.1

Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus Simulasi dalam keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat

sejumlah sel rentan dan virus dengue. Nilai awal pada sel rentan (0) = 400, sel

yang terinfeksi (0) = 0, virus dengue (0) = 5. Dengan melakukan pencarian secara komputasi, diperoleh parameter yang menyebabkan
 pada model ini

tidak lebih dari satu, dimana parameter tersebut disajikan dalam tabel di bawah ini.

Simbol ˆ

Tabel 4.1 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 < 1 Definisi Parameter

‰

Laju kelahiran murni sel rentan per hari

Œ

Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari

Š

Peluang perpindahan virus dengue ke rentan

‹

Laju kematian murni sel rentan per hari

.

baru





Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari Laju kematian murni virus dengue per hari Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari

Nilai

0.1553 0.005 0.018 0.5 0.1

100 6 9

41

Dari nilai parameter tersebut menghasilkan
 = 0.0546. Dan dari

parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan bebas virus, populasi sel

rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (8.6278, 0, 0) pada saat → ∞. Adapun asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini, yaitu jika  < 1

maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue. Simulasi pada model ini

dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini.

Gambar 4.1 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.2 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

42

Pada gambar 4.1 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel rentan di dalam tubuh manusia mengalami penurunan. Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan

banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755,

maka pada gambar 4.2 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga

menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penambahan virus dengue yang

menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada

lampiran, populasi sel rentan ini akan mencapai 8.6278 pada saat → ∞ dan

konstan pada titik tersebut.

Gambar 4.3 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30

43

Gambar 4.4 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

Pada gambar 4.3 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel terinfeksi di dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua. Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel

terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.4 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel terinfeksi di dalam tubuh manusia. Dari

sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi.

Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga

dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini lama-lama akan habis.

44

Gambar 4.5 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.6 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755

Dari gambar 4.5 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi virus dengue di dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua. Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga

mencapai 755, maka pada gambar 4.6 akan terlihat lebih jelas pergerakan virus

dengue di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus 45

berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini

artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus

dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang

terpapar pada lampiran, mulai dari hari ke 26 sampai seterusnya virus dengue ini akan menghilang dari peredaran darah manusia. Sehingga dapat disimpulkan,

populasi virus dengue ini akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik

tersebut. Atau dengan kata lain, populasi ini lama-lama akan habis.

Sehingga dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat

disimpulkan bahwa jika pada saat
 < 1 maka tidak akan terjadi endemik.

Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh. Kalaupun ada

kenaikan pada  dan  , kenaikan itu tidak signifikan. Kemudian  dan  tersebut lama-lama menuju angka 0 dan konstan di angka tersebut sampai → ∞. Dengan kata

lain, populasi mereka akan habis. Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang bebas dari virus, untuk hal ini  = (8.6278, 0, 0), akan stabil

asimtotik lokal jika
 < 1 dan tidak stabil untuk lainnya.

4.2

Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas

Dalam simulasi ini, akan diuji dua
 berbeda. Tujuannya adalah melihat

pengaruh
 terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue itu sendiri. Adapun nilai
 diperoleh dari parameter yang menyebabkan nilainya

akan lebih dari satu. Untuk simulasi pada keadaan ini akan digunakan syarat awal

bahwa terdapat sejumlah sel rentan, sel yang terinfeksi dan virus dengue itu sendiri. Nilai awal pada sel rentan (0) = 400, sel yang terinfeksi (0) = 5, virus dengue (0) = 10. Adapun nilai parameter yang menyebabkan
 = 8.0220 > 1

adalah sebagai berikut.

46

Tabel 4.2 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 = 8.0220 > 1

Simbol ˆ

Definisi Parameter

‰

Laju kelahiran murni sel rentan per hari

Œ

Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari



Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari

Peluang perpindahan virus dengue ke sel rentan

Š

‹

Laju kematian murni sel rentan per hari

.

baru

Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

Laju kematian murni virus dengue per hari



Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari

Nilai

0.1785 0.0018

0.00051 0.45 0.5

402

5

30

Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus bebas, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah

(43.6300, 0.3472, 1.9896) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan

dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini.

Gambar 4.7 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

47

Gambar 4.8 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.7, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya

turun tajam hingga mencapai angka 0.28938 pada = 6 (lihat pada gambar 4.13).

Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel

rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya

diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.8 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.8, laju

pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan kembali naik dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan naik turun pada laju pertumbuhan sel rentan ini akan berjalan terus menerus hingga menuju suatu titik

dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah

tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.

Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel rentan ini akan mencapai 43.6300 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.

48

Gambar 4.9 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.10 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.9, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya

naik tajam sampai angka teratas yaitu 265.51 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).

Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju pertumbuhan sel terinfeksi ini perlahan mengalami penurunan karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.10, laju sel terinfeksi ini akan terlihat

konstan di titik 0 pada saat 1200 ≤ ≤ 1500. Tetapi jika gambar itu sedikit 49

diperbesar, maka akan terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada

lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0.3472 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

Gambar 4.11 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.12 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

50

Pada gambar 4.11, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya

naik tajam sampai angka teratas yaitu 1519.5 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).

Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel

terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju pertumbuhan virus dengue ini perlahan mengalami penurunan seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.12,

laju pertumbuhan virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat

1500 ≤ ≤ 2000. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat

laju pertumbuhan virus dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik

turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai

→ ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan

duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil

numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi virus dengue ini akan mencapai 1.9896 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga

dengan kata lain, populasi virus dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa

jika pada saat
 > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran

virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai  dan , pada hasil simulasinya

berturut-turut akan mendekati angka 0.3472 dan 1.9896. Kemudian konstan di titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis

di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini dengan keadaan terdapat virus bebas.

51

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

Gambar 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana
 = 8.0220 > 1

52

Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat

virus

bebas

dengan

parameter

pada

tabel

 = (43.6300, 0.3472, 1.9896), akan stabil asimtotik lokal jika
 > 1.

4.2

yaitu

Untuk nilai parameter yang menyebabkan
 = 35.3888 > 1 adalah

sebagai berikut.

Tabel 4.3 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan
 = 35.3888 > 1

Simbol ˆ

Definisi Parameter

‰

Laju kelahiran murni sel rentan per hari

Œ

Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari



Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari

Peluang perpindahan virus dengue rentan

Š

‹

Laju kematian murni sel rentan per hari

.

baru

Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue

Laju kematian murni virus dengue per hari



Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari

Nilai

0.1670 0.005

0.00051 0.35 0.5

500

8

25

Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus bebas, laju sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah

(9.2530, 0.46366, 3.5077) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan

dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di bawah ini.

53

Gambar 4.14 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.15 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

turun tajam hingga mencapai angka 0.017665 pada = 2 (lihat pada gambar Pada gambar 4.14, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya

4.20). Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi.

Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan

banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -

nya diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.15 akan terlihat 54

lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.15, laju pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan laju pertumbuhan sel rentan ini perlahan akan naik turun hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah

tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.

Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi sel rentan ini akan mencapai 9.2530 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.

Gambar 4.16 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

55

Gambar 4.17 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.16, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya naik tajam. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju pertumbuhan sel terinfeksi ini turun tajam hingga karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.17, laju sel terinfeksi ini akan terlihat konstan di titik 0

pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan

terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai

→ ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan

populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang

terdapat pada gambar 4.20, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0.46366 pada

saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel

terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

56

Gambar 4.18 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30

Gambar 4.19 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat
 = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000

Pada gambar 4.18, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya naik tajam, hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju pertumbuhan virus dengue ini turun tajam seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.19, laju pertumbuhan

virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju pertumbuhan virus

dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi 57

hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya,

pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat

pada gambar 4.20, populasi virus dengue ini akan mencapai 3.5077 pada saat

→ ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi virus

dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.

Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa

jika pada saat
 > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai  dan , pada hasil simulasinya

berturut-turut akan mendekati angka 0.46366 dan 3.5077. Kemudian konstan di titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis

di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini dengan keadaan terdapat virus bebas.

58

⋮

⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮

Gambar 4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas Dimana
 = 35.3888 > 1

Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang terdapat

virus

bebas

dengan

parameter

pada

tabel

 = (9.2530, 0.46366, 3.5077), akan stabil asimtotik lokal jika
 > 1.

4.3

yaitu

59

Seperti yang telah dipaparkan pada awal bagian penjelasan simulasi dalam keadaan terdapat virus bebas, bahwa pada bagian ini akan diperlihatkan pengaruh

nilai
 terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Dimana nilai awal untuk dua keadaan
 ini adalah sama.

(a)

0

( ) 400

( )

1

311.86

0.024572

30

3.9779

2.7739

100

16.113

14.124

205

33.523

12.262

550

38.129

9.2357

1300

48.560

9.2528

2500

42.865

9.2530

3000

43.534

9.2530

400

(b)

Gambar 4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 3000 dimana ( ) merupakan sel rentan dengan
 = 8.0220 > 1 dan ( ) merupakan sel rentan dengan
 = 35.3888 > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data

Gambar 4.21 (a) merupakan grafik dinamika sel rentan di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna merah merupakan banyaknya populasi

sel rentan ketika
 = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna merah putus-putus menunjukan
 = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.21 (b) menunjukan dinamika sel

rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar 4.21 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel rentan dengan keadaan


berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 400. Kemudian, pada hari pertama dapat

dilihat, populasi sel rentan untuk
 = 35.3888 sangat turun drastis menjadi

0.024572 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue terhadap sel rentan

yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi sehingga populasi sel rentan mengalami penurunan. Sedangkan populasi sel rentan untuk
 = 8.0220,

walaupun sama-sama mengalami penurunan total populasi, tetapi penurunan tersebut tidak terlalu jauh dengan total populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai


sangat mempengaruhi keadaan populasi sel rentan. Jadi, dapat disimpulkan, 60

semakin besar nilai
 maka semakin besar pula penurunan yang dialami oleh populasi sel rentan atau dengan kata lain, semakin besar nilai
 maka semakin

sedikit total populasi sel rentannya. Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan
 terhadap populasi sel rentan.

(a)

0

( ) 5

( )

1

8.1286e+001

3.3854e+002

30

1.5310e-003

3.4259e-002

115

6.9605e-016

1.1564e-001

205

6.6147e-023

3.8386e-001

300

5.4723e-024

7.3627e-001

450

1.9057e-013

4.6961e-001

500

8.1373e-007

4.2969e-001

600

4.2523e-004

4.4977e-001

5

(b)

Gambar 4.22 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 600 dimana ( ) merupakan sel terinfeksi dengan
 = 8.0220 > 1 dan ( ) merupakan sel terinfeksi dengan
 = 35.3888 > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data

Gambar 4.22 (a) merupakan grafik dinamika sel terinfeksi di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna biru merupakan banyaknya populasi sel

terinfeksi ketika
 = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna biru putus-putus

menunjukan
 = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.22 (b) menunjukan dinamika sel

rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar 4.22 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel terinfeksi dengan keadaan


berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 5. Kemudian, pada hari pertama dapat

dilihat, populasi sel rentan untuk
 = 35.3888 mengalami kenaikan yang sangat

tajam menjadi 338.54 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue

terhadap sel rentan yang menyebabkan sel rentan menjadi sel terinfeksi sehingga

populasi sel terinfeksi mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi sel

terinfeksi untuk
 = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi sel terinfeksi, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh dengan total 61

populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai
 sangat mempengaruhi keadaan populasi

sel terinfeksi. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai
 maka semakin besar

pula kenaikan yang dialami oleh populasi sel terinfeksi. Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan


terhadap populasi sel terinfeksi.

(a)

0

( ) 10

( )

1

4.2134e+002

2.5828e+003

30

8.8943e-003

2.6137e-001

75

5.0246e-010

2.2090e-003

90

4.4011e-012

6.9871e-003

115

4.0229e-015

8.6713e-001

205

3.8034e-022

2.8928e+000

240

2.7939e-023

3.4244e+000

300

3.1304e-023

5.5666e+000

10

(b)

Gambar 4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia Saat 0 ≤ ≤ 300 dimana ( ) merupakan virus dengue dengan
 = 8.0220 > 1 dan ( ) merupakan virus dengue dengan
 = 35.3888 > 1 (a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data

Gambar 4.23 (a) merupakan grafik dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia, yang mana untuk garis berwarna hijau merupakan banyaknya populasi

virus dengue ketika
 = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna hijau putus-putus

menunjukan
 = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.23 (b) menunjukan dinamika virus

dengue di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada gambar 4.213 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk virus dengue dengan keadaan


berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 10. Kemudian, pada hari pertama dapat

dilihat, populasi virus dengue untuk
 = 35.3888 mengalami kenaikan yang sangat tajam menjadi 2582.8 hal ini disebabkan banyaknya duplikasi virus dengue

baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi sehingga populasi virus dengue

mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi virus dengue untuk
 = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi virus 62

dengue, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh, sejauh kenaikan total populasi

virus dengue saat
 = 35.3888. Ini berarti, nilai
 sangat mempengaruhi keadaan populasi virus dengue. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai


maka semakin besar pula kenaikan yang dialami oleh populasi virus dengue.

Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10)

mengenai hubungan
 terhadap populasi virus dengue bebas.

63

BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Dalam hal ini, proses terbangunnya model matematika mengenai transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia dilihat dari hal-hal yang mempengaruhi model tersebut. Karena hanya terdapat 3 kompartemen, maka akan diperlihatkan hal-hal yang mempengaruhi ketiga kompartemen tersebut. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan. Sehingga, didapatlah model matematika dari fenomena di atas pada sistem

(3.1) sebagai berikut.

64

8( ) = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 8 8( ) (2) = ‰( )( ) − ‹( ). 8 8( ) (3) = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 8

(1)

dengan

:(#) :#

:°(#) :#

:±(#) :#

adalah laju sel rentan persatuan waktu

adalah laju sel terinfeksi persatuan waktu

adalah laju virus dengue persatuan waktu

ˆ adalah kelahiran murni sel rentan

‰ adalah peluang perpindahan virus dengue Š adalah kematian murni sel rentan

‹ adalah kematian murni sel yang terinfeksi

Œ adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue . adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru  adalah kematian murni virus dengue  adalah kematian virus dengan sel T

dimana ˆ, ‰, Š, ‹, Œ, ., 1 , 2 > 0 dan , ,  ≥ 0.

Analisa model matematika mengenai proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia menghasilkan 1. 2 Titik equilibrium

a. Titik equilibrium yang bebas dari virus () ˆ  = (, , ) = z , 0,0{. Š

b. Titik equilibrium yang mengandung virus bebas ()  =  ∗ ,  ∗ ,  ∗

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) = ž , , Ÿ. ‰(Œ. − ‹) ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  ) 65

2. Banyaknya sel yang baru saja terinfeksi akibat adanya satu atau lebih sel yang terinfeksi adalah
 =

.

Ž‘(•,0“) “(–C „–! )

3. Titik equilibrium  akan stabil asimtotik lokal jika
 < 1 dan titik

equilibrium  ada jika
 > 1 serta akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika memenuhi kondisi

dimana

/
0 4 + /
0 3 + /3
0 2 + /5
0 + /5 > 0

/ = Š3 \ + Š3 ‹

/ = Š2 \2 + Š2 ‹\ + Š2 \‹ + Š2 ‹2 − Š2 ‹\ /3 = ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š + ˆ‰Š2 + Š2 ‹\ /5 = ˆ‰\Š + ˆ‰‹Š /g = ˆ  ‰ 

Selanjutnya dari hasil simulasi untuk titik equilibrium yang bebas dari

virus yaitu  , akan stabil asimtotik lokal jika


 < 1. Artinya, pada model

tersebut setelah beberapa waktu populasi sel terinfeksi akan habis sehingga

menyebabkan populasi virus dengue akan habis pula. Hal ini diperkuat dengan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, bahwa mulai pada hari ke 26 kemungkinan virus dengue ini akan menghilang dari peredaran darah manusia. Akibatnya tidak terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan. Sedangkan

untuk titik equilibrium yang terdapat virus bebas yaitu  , akan stabil asimtotik

lokal jika
 > 1 dan memenuhi kondisi (3.12). Artinya, pada model tersebut

populasi sel terinfeksi meningkat sehingga menyebabkan populasi virus dengue meningkat pula. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis di dalam tubuh. Akibatnya terjadi penyebaran virus (endemik) pada sel rentan.

66

Adapun pengaruh
 terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus

dengue pada model ini adalah sebagai berikut.

1. Semakin besar nilai
 maka populasi sel terinfeksi dan virus dengue

semakin meningkat. Sedangkan untuk sel rentan, populasinya akan berkurang.

2. Semakin kecil nilai
 maka populasi sel rentan akan semakin meningkat.

Sedangkan untuk sel terinfeksi dan virus dengue, populasinya akan berkurang.

5.2

Saran Pada tugas akhir ini hanya mengkaji mengenai fenomena perpindahan

virus dengue yang ada di dalam tubuh manusia dengan cara memodelkan fenomena yang ada dan menganalisis fenomena tersebut serta melihat dinamika virusnya lewat simulasi. Dimana di dalam fenomena tersebut hanya terdapat 3 kompartement yaitu sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Untuk pengerjaan tugas akhir selanjutnya dapat dilakukan dengan menambah kompartement baru yaitu memperhatikan pengaruh obat.

67

DAFTAR PUSTAKA

1.

Budhi, W.S., Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut Teknologi Bandung, 2001.

2.

Champbell, A.N., Reece, J.B., Mitchell, L.G., Biologi, Edisi 5 Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2002.

3.

Finizio, N., Ladas, G., Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi kedua, terjemahan Dra. Widiarti Santoso, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1988.

4.

Giordano, F.R., Weir, M.D., Fox, W.P, A First Course In Mathematical Modeling, Edisi ketiga, China Mechine Press, Rpublic China, 2003.

5.

Hasanudin, F., Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Persamaan Biasa Tak Linier, Studi Literatue tidak dipublikasikan, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung, 2012.

6.

Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue, Tesis Program Pasca Sarjana, Institut Pertanian Bogor, 2008.

7.

Kreyzig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley & Sons, 2006.

8.

Kristina., Isminah., Wulandari, L., Demam Berdarah Dengue, Kajian Masalah Kesehatan. (http://www.litbang.depkes.go.id/index.htm, diakses 2 Agustus 2011)

9.

Medicastore.com, Demam Berdarah Dengue, Media Informasi ObatPenyakit. (http://medicastore.com/penyakit_kategori/1/index.html, diakses 2 Agustus 2011)

10.

Nuraini, N., Soewono, E., Sidarto, K.A., A Mathematical Model of Dengue Internal Transmision Process, J. Indones. Math. Soc (MIHMI), 13(1):123132, 2007.

11.

Prihadi, N., Simulasi dan Analisis Model Dinamika Virus pada Tubuh Manusia, Skripsi S1 tidak dipublikasikan, Institut Teknologi Bandung, 2011.

68

12.

Ramadijanti, N., Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum, Institut teknologi

Sepuluh

Nopember.

(http://lecturer.eepis-

its.edu/~nana/.../MetNum1-Pendahuluan_new.ppt, diakses 22 Juli 2012) 13.

Supriyanto, E., Metode Euler, Departemen Fisika Universitas Indonesia, 2006. (http://www.unsri.ac.id/upload/arsip/euler.pdf, diakses 22 Juli 2012)

14.

Waluya, B., Buku Ajar Persamaan Diferensial, Universitas Negeri Semarang,

2006.

(http://ml.scribd.com/doc/99777604/persamaan-

diferensial-dr-st-budi-waluya, diakses 10 Januari 2012) 15.

Wiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos, 2nd Edition, Springer-Verlag, New York Inc, 1990.

69

RIWAYAT HIDUP

RISYA RADHIANTI. Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 28 Maret 1990 dari ayah M. Uu Sunarsa (alm) dan ibu Tri Sekarwati (almh). Sampai saat ini penulis tinggal bersama bunda Siti Aisyah, kakak Dhita Windi Wardani dan adik Abdul Salam Mutahary di Perumahan Puri Bojong Lestari jalan Bone I blok AR 03 RT/RW 13/14, Bojong Gede-Bogor. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Berikut pengalaman pendidikan yang telah penulis tempuh : 1. TK Aisyiyah IV Bustanul Athfal pada tahun 1995-1996 2. SDN Pabuaran 03 pada tahun 1996-2002 3. MTsN Cibinong pada tahun 2002-2005 4. MAN 13 Jakarta pada tahun 2005-2008 5. UIN Sunan Gunung Djati Bandung pada tahun 2008-2012 Adapun pendidikan non-formal yang penulis tempuh selama menjadi mahasiswa Strata Satu di universitas ini adalah menjadi Ketua Bidang Advokasi Informasi dan Komunikasi di Senat Mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi pada tahun 2009-2010 dan menjadi guru privat matematika pada tahun 2009 sampai sekarang. Untuk memudahkan komunikasi mengenai penulis dan tugas akhir ini, dapat melalui email penulis di [email protected].

LAMPIRAN

Lampiran A

Hasil Eksekusi Numerik ²³ = ³. ³´µ¶ < 1 Saat ∆· = ³. ¸

Lampiran B

Script Syntax ²³ = ³. ³´µ¶ < 1 Saat ∆· = ³. ¸

format short clc; clear;

%inisialisasi parameter alpha = 0.1553; beta = 0.005; delta = 0.018; sigma = 0.5; mu = 0.1; n = 100; gamma1 = 6; gamma2 = 9; deltaT = 0.1; %mencari nilai rnol rnol = (alpha*beta*((mu*n)sigma))/(sigma*delta*(gamma1+gamma2)) %mencari titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik disp('titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik'); if(rnol<1) disp('(E1)'); S = (alpha/delta) I = 0 V = 0 else disp('(E2)'); S = (sigma*(gamma1+gamma2))/(beta*((mu*n)-sigma)) I = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(sigma*beta*((mu*n)-sigma)) V = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(beta*sigma*(gamma1+gamma2)) end %nilai awal S,I,V S(1) = 400; I(1) = 0; V(1) = 5; i = 1; t(1) = 0; m = 1:10:((755/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t <= 755) S(i+1) = S(i)+(alpha*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(delta*S(i)*deltaT); I(i+1) = I(i)+(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(sigma*I(i)*deltaT);

V(i+1) = V(i)+(mu*n*I(i)*deltaT)-(gamma1*V(i)*deltaT)(gamma2*V(i)*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT); t(i+1) = t(i)+deltaT; i = i+1; end %numerisasi model disp(' '); disp('********************************************'); disp('Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia'); disp('********************************************'); Waktu(t) S(t) I(t) V(t) '); disp(' disp([(t(m))' (S(m))' (I(m))' (V(m))']); %plot grafik plot(t,S,'r','lineWidth',2); hold on; plot(t,I,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,V,'g','lineWidth',2); title('Dinamika Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia'); xlabel('(t)'); ylabel('S, I, V'); legend('S = Sel Rentan','I = Sel Terinfeksi','V = Virus Dengue'); grid on;

Lampiran C

Script Syntax ²³ = ¹. ³ºº³ > 1 Saat ∆· = ³. ³´

format short e clc; clear;

%inisialisasi parameter alpha = 0.1785; beta = 0.0018; delta = 0.00051; sigma = 0.45; mu = 0.5; n = 402; gamma1 = 5; gamma2 = 30; deltaT = 0.05; %mencari nilai rnol rnol = (alpha*beta*((mu*n)sigma))/(sigma*delta*(gamma1+gamma2)) %mencari titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik disp('titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik'); if(rnol<1) disp('(E1)'); S = (alpha/delta) I = 0 V = 0 else disp('(E2)'); S = (sigma*(gamma1+gamma2))/(beta*((mu*n)-sigma)) I = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(sigma*beta*((mu*n)-sigma)) V = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(beta*sigma*(gamma1+gamma2)) end %nilai awal S,I,V S(1) = 400; I(1) = 5; V(1) = 10; i = 1; t(1) = 0; m = 1:20:((3000/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t <= 3000) S(i+1) = S(i)+(alpha*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(delta*S(i)*deltaT); I(i+1) = I(i)+(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(sigma*I(i)*deltaT);

V(i+1) = V(i)+(mu*n*I(i)*deltaT)-(gamma1*V(i)*deltaT)(gamma2*V(i)*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT); t(i+1) = t(i)+deltaT; i = i+1; end %numerisasi model disp(' '); disp(' ***************************************************'); disp(' Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia'); disp(' ***************************************************'); disp(' Waktu(t) S(t) I(t) V(t) '); disp([(t(m))'

(S(m))'

(I(m))'

(V(m))']);

%plot grafik plot(t,S,'r','lineWidth',2); hold on; plot(t,I,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,V,'g','lineWidth',2); title('Dinamika Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia'); xlabel('(t)'); ylabel('S, I, V'); legend('S = Sel Rentan','I = Sel Terinfeksi','V = Virus Dengue'); grid on;

Lampiran D

Script Syntax ²³ = »´. »¹¹¹ > 1 Saat ∆· = ³. ³´

format short e clc; clear;

%inisialisasi parameter alpha = 0.1670; beta = 0.005; delta = 0.00051; sigma = 0.35; mu = 0.5; n = 500; gamma1 = 8; gamma2 = 25; deltaT = 0.05; %mencari nilai rnol rnol = (alpha*beta*((mu*n)sigma))/(sigma*delta*(gamma1+gamma2)) %mencari titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik disp('titik equilibrium saat keadaan stabil asimtotik'); if(rnol<1) disp('(E1)'); S = (alpha/delta) I = 0 V = 0 else disp('(E2)'); S = (sigma*(gamma1+gamma2))/(beta*((mu*n)-sigma)) I = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(sigma*beta*((mu*n)-sigma)) V = ((alpha*beta*((mu*n)-sigma))(delta*sigma*(gamma1+gamma2)))/(beta*sigma*(gamma1+gamma2)) end %nilai awal S,I,V S(1) = 400; I(1) = 5; V(1) = 10; i = 1; t(1) = 0; m = 1:20:((3000/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t <= 3000) S(i+1) = S(i)+(alpha*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(delta*S(i)*deltaT); I(i+1) = I(i)+(beta*S(i)*V(i)*deltaT)(sigma*I(i)*deltaT);

V(i+1) = V(i)+(mu*n*I(i)*deltaT)-(gamma1*V(i)*deltaT)(gamma2*V(i)*deltaT)-(beta*S(i)*V(i)*deltaT); t(i+1) = t(i)+deltaT; i = i+1; end %numerisasi model disp(' '); disp(' ***************************************************'); disp(' Dinamika Virus Dengue di Dalam Tubuh Manusia'); disp(' ***************************************************'); disp(' Waktu(t) S(t) I(t) V(t) '); disp([(t(m))'

(S(m))'

(I(m))'

(V(m))']);

%plot grafik plot(t,S,'--r','lineWidth',2); hold on; plot(t,I,'--b','lineWidth',2); hold on; plot(t,V,'--g','lineWidth',2); title('Dinamika Virus Dengue Di Dalam Tubuh Manusia'); xlabel('(t)'); ylabel('S, I, V'); legend('S = Sel Rentan','I = Sel Terinfeksi','V = Virus Dengue'); grid on;

Lampiran E Pengecekan Titik Equilibrium

Substitusi titik equilibrium ke sistem (3.1) dimana nilai akhirnya harus nol. a. Untuk equilibrium yang bebas virus  = (, , ) = z , 0,0{. 0 = ˆ − ‰( )( ) − Š( ).

Ž

0 = ˆ − ‰ − Š ˆ ˆ 0 = ˆ − ‰ z { (0) − Š z { Š Š 0 = 0. ∎

0 = ‰( )( ) − ‹( ). 0 = ‰ − ‹ ˆ 0 = ‰ z { (0) − ‹(0) Š

0 = 0. ∎

0 = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 0 = Œ. −   −   − ‰

ˆ 0 = Œ.(0) −  (0) −  (0) − ‰ z { (0) Š

0 = 0. ∎

Maka terbukti  merupakan titik equilibrium.

b. Untuk equilibrium yang terdapat virus bebas yaitu  = ž

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) , , Ÿ. ‰(Œ. − ‹) ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  )

0 = ˆ − ‰( )( ) − Š( ). 0 = ˆ − ‰ − Š

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ‹( +  ) 0 = ˆ−‰ž Ÿž Ÿ−Šž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  ) ‰(Œ. − ‹) 0=ˆ−ž

0=

0=

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Š‹( +  ) Ÿ−ž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹)

ˆ‰(Œ. − ‹) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Š‹( +  ) −ž Ÿ−ž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹)

ˆ‰(Œ. − ‹) − )ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )- − )Š‹( +  )‰(Œ. − ‹)

0=

0=

ˆ‰(Œ. − ‹) − ˆ‰(Œ. − ‹) + Š‹( +  ) − Š‹( +  ) ‰(Œ. − ‹)

0 ‰‹(Œ. − ‹)

0 = 0. ∎

0 = ‰( )( ) − ‹( ). 0 = ‰ − ‹

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) 0 = ‰ž Ÿž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  ) −‹ ž

0=ž

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ ‹‰(Œ. − ‹)

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ−ž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰(Œ. − ‹)

0 = 0. ∎

0 = Œ.( ) −  ( ) −  ( ) − ‰( )( ). 0 = Œ. −   −   − ‰

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) 0 = Œ. ž Ÿ ‹‰(Œ. − ‹)

−( +  ) ž

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ ‰‹( +  )

‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) −‰ ž Ÿž Ÿ ‰(Œ. − ‹) ‰‹( +  )

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) 0 = Œ. ž Ÿ−ž Ÿ ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹ − ž

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ ‰(Œ. − ‹)

0=ž

Œ.)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ−ž Ÿ ‹‰(Œ. − ‹) ‰‹

0=ž

Œ.)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )Ÿ ‹‰(Œ. − ‹)

− ž

ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  ) Ÿ ‰(Œ. − ‹)

− ž

(Œ. − ‹))ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )Ÿ ‹‰(Œ. − ‹)

− ž

‹)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )Ÿ ‹‰(Œ. − ‹)

0=

)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )-(Œ. − (Œ. − ‹) − ‹) ‹‰(Œ. − ‹)

0=

)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )-(Œ. − Œ. + ‹ − ‹) ‹‰(Œ. − ‹)

0=

0 ‹‰(Œ. − ‹)

0=

)ˆ‰(Œ. − ‹) − Š‹( +  )-(0) ‹‰(Œ. − ‹)

0 = 0. ∎

Maka terbukti  merupakan titik equilibrium.