ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL TRANSMISI VIRUS HEPATITIS B YANG DIPENGARUHI OLEH MIGRASI STABILITY ANALYSIS OF THE HEPATITIS B VIRUS TRANSMISSION MODELS ARE AFFECTED BY MIGRATION Oleh : Firdha Dwishafarina Zainal (1210 100 056) Dosen Pembimbing : Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Lukman Hanafi, M.Sc Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2014
Abstrak • Hepatitis B adalah infeksi yang terjadi pada hati yang disebabkan oleh virus Hepatitis B (HBV). Migrasi adalah salah satu faktor yang berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Dalam permasalahan tersebut dilakukan analisa model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh adanya migrasi untuk model kompartemen bertipe SEACVM, dengan S (Susceptible), E (Exposed), A (Acute), C (Carrier), V (Vaccinated), M (Migrated). Individu yang terinfeksi ada dua yaitu individu yang terinfeksi akut (Acute) dan individu pembawa/kronis (Carrier) serta terdapat individu yang bermigrasi (Migrated). Pada model ini akan dicari bilangan reproduksi dasar dan titik kesetimbangan bebas penyakit serta titik kesetimbangan endemik. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada setiap titik kesetimbangan tersebut yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Jika ℜ0 < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik. Untuk titik kesetimbangan endemik akan stabil asimtotik jika ℜ0 > 1. Selain itu dilakukan penyelesaian numerik untuk model dengan menggunakan metode numerik Runge-Kutta orde empat. Hasil analisa yang diperoleh yaitu titik kesetimbangan yang dilihat dari nilai bilangan reproduksi dasar.
I. PENDAHULUAN 1. 2. 3. 4. 5.
Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat
1. Latar Belakang Masalah
2. Rumusan Masalah 1. Bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, kestabilan dari setiap titik kesetimbangan endemik dan titik kesetimbangan bebas penyakit ? 2. Bagaimana interpretasi hasil analisis dari model transmisi virus hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi beserta simulasinya ?
3. Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas pada usulan Tugas Akhir ini akan dibatasi pada model epidemik • S (Susceptible) adalah individu yang rentan • E (Exposed) adalah individu yang terkena • A (Acute) adalah individu yang terinfeksi akut • C (Carrier) adalah individu yang terinfeksi pembawa/kronis • V (Vaccinated) adalah individu yang sementara memiliki kekebalan terhadap virus • M (Migrated) adalah individu yang bermigrasi.
4. Tujuan 1. Menentukan bilangan reproduksi dasar dan kestabilan dari setiap titik kesetimbangan endemik serta bebas penyakit sehingga dapat diketahui terjadi penyebaran penyakit atau tidak. 2. Mengintrepetasikan hasil analisis dari model transmisi virus hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi beserta simulasinya
5. Manfaat 1. Mengetahui dinamika penyebaran virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi. 2. Sebagai referensi bagi pihak medis/badan pemerintahan yang terkait dalam menyelesaikan masalah penyebaran virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi.
II. METODE PENELITIAN 1. Studi Literatur
2. Mengkaji model transmisi virus hepatitis B 3. Mencari titik kesetimbangan dan menentukan bilangan reproduksi dasar dari model 4. Menganalisis stabilitas kesetimbangan 5. Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode Runge-Kutta 6. Simulasi model dengan menggunakan software MATLAB
7. Menarik kesimpulan dan saran
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN 1. Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi 2. Titik kesetimbangan bebas penyakit 3. Titik kesetimbangan endemik 4. Bilangan reproduksi dasar 5. Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 6. Kestabilan lokal titik kesetimbangan endemik
1. Model Transmisi Virus Hepatitis B yang Dipengaruhi Oleh Migrasi Model epidemik transmisi virus Hepatitis B mempunyai asumsiasumsi sebagai berikut : Populasi dibagi menjadi 6 kelompok individu yaitu : • S adalah populasi Susceptible ( kelompok individu yang rentan terhadap penyakit Hepatitis B) • E adalah populasi Exposed (kelompok individu yang terkena virus Hepatitis B namun tidak tampak penyakitnya) • A adalah populasi Acute (kelompok individu yang terinfeksi penyakit Hepatitis B yang tergolong akut) • C adalah populasi Carrier (kelompok individu yang menjadi pembawa virus Hepatitis B atau terinfeksi penyakit Hepatitis B yang tergolong kronis) • V adalah populasi Vaccinated (kelompok individu yang memiliki kekebalan sementara terhadap virus Hepatitis B) • M adalah populasi Migrated (kelompok individu yang melakukan migrasi)
Diagram Kompartemen δπ - δπηC
S
δS β(A+KC)S
δE
E
δπηC µ1M
γ1 E δA pS
δM δ0V
A
µ2M
qγ2A (1-q)γ1A
C
δC
γ3C
V δ(1-π)
δV
M
dengan.. • μ1 adalah tingkat transmisi dari populasi Migrated ke populasi Exposed sedangkan • 𝜇2 adalah tingkat transmisi dari populasi Migrated ke populasi Acute • 𝛿 adalah tingkat kematian dan tingkat kelahiran • 𝜋 adalah proporsi kegagalan imunisasi • 𝜂 adalah proporsi bayi baru lahir dari ibu pembawa virus Hepatitis B (Carrier) yang gagal imunisasi. • 𝛾1 adalah tingkat transmisi individu yang terkena penyakit (Exposed) menjadi menular dan berpindah pada populasi Acute atau populasi Vaccinated • 𝛾2 adalah tingkat transmisi individu dari populasi Acute ke populasi Carrier • 𝛾3 adalah tingkat transmisi individu dari populasi Carrier ke populasi Vaccinated. • 𝑞 adalah proporsi dari individu terinfeksi akut (Acute) menjadi Carrier. • 𝛽 adalah koefisien transmisi • 𝜅 adalah penularan dari pembawa (Carrier) dari infeksi akut • 𝛿0 adalah tingkat penurunan kekebalan virus sehingga menjadi individu yang rentan (Susceptible), • 𝑝 adalah vaksinasi pada individu yang rentan
Model Dinamik •
• • • • •
𝑑𝑆 = 𝛿𝜋 1 − 𝜂𝐶 − 𝛿𝑆 − 𝛽 𝐴 + 𝜅𝐶 𝑆 + 𝛿0 𝑉 − 𝑝𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝐸 = 𝛽 𝐴 + 𝜅𝐶 𝑆 − 𝛿𝐸 + 𝛿𝜋𝜂𝐶 − 𝛾1 𝐸 + 𝜇1 𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝛾1 𝐸 − 𝛿𝐴 − 𝑞𝛾2 𝐴 − 1 − 𝑞 𝛾1 𝐴 + 𝜇2 𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝐶 = 𝑞𝛾2 𝐴 − 𝛿𝐶 − 𝛾3 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝛾3 𝐶 + 1 − 𝑞 𝛾1 𝐴 − 𝛿0 𝑉 − 𝛿𝑉 + 𝛿 1 − 𝜋 + 𝑑𝑡 𝑑𝑀 = − 𝜇1 + 𝜇2 𝑀 − 𝛿𝑀 𝑑𝑡
𝑝𝑆
• 𝑆 0 ≥ 0, 𝐸 0 ≥ 0, 𝐴 0 ≥ 0, 𝐶 0 ≥ 0, 𝑉 0 ≥ 0, 𝑀(0) ≥ 0 dengan jumlah populasi 𝑆 + 𝐸 + 𝐴 + 𝐶 + 𝑀 + 𝑉 = 1.
Model Dinamik Setelah Reduksi •
𝑑𝑆 𝑑𝑡
•
𝑑𝐸 = 𝛽 𝐴 + 𝜅𝐶 𝑆 − 𝛿𝐸 + 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝛾1 𝐸 − 𝛿𝐴 − 𝑞𝛾2 𝐴 − 𝑑𝑡 𝑑𝐶 = 𝑞𝛾2 𝐴 − 𝛿𝐶 − 𝛾3 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑀 = − 𝜇1 + 𝜇2 𝑀 − 𝛿𝑀 𝑑𝑡
• • •
= 𝛿𝜋 1 − 𝜂𝐶 − 𝛿𝑆 − 𝛽 𝐴 + 𝜅𝐶 𝑆 + 𝛿0 (1 − (𝑆 + 𝐸 + 𝐴 + 𝐶 + 𝑀)) − 𝑝𝑆 𝛿𝜋𝜂𝐶 − 𝛾1 𝐸 + 𝜇1 𝑀 1 − 𝑞 𝛾1 𝐴 + 𝜇2 𝑀
dengan 𝑉 = 1 − (𝑆 + 𝐸 + 𝐴 + 𝐶 + 𝑀)
2. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah suatu keadaan tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi , dapat diperoleh dengan mengambil 𝐸 = 0 sehingga 𝐴 = 0, 𝐶 = 0, 𝑀 = 0 Titik kesetimbangan model didapatkan dengan •
𝑑𝑆 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐸 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐴 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐶 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝑀 𝑑𝑡
=0
Sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐷0 = ( 𝑆 0 , 0,0,0,0) adalah 𝛿𝜋 + 𝛿0 0 𝐷 =( , 0,0,0,0) (𝛿 + 𝛿0 + 𝑝)
3. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadi infeksi penyakit di dalam populasi Titik Kesetimbangan Endemik didapatkan dengan
•
𝑑𝑆 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐸 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐴 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐶 𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝑀 𝑑𝑡
=0
Sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik 𝑇 ∗ = ( 𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐴∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀∗ ) dengan •
𝑆∗ =
•
𝐸∗ =
𝑄1 𝛿+𝛾3 𝛿+𝛾1 −𝛿𝜋𝜂 𝑞𝛾1 𝛾2 𝛾1 𝛽 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
−
𝑀 ∗ 𝛿+𝛾3 𝜇2 𝛿+𝛾1 +𝜇1 𝛾1 𝛾1 𝛽𝐴∗ 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
𝑄1 𝐴∗ −𝜇2 𝑀 ∗ 𝛾1 𝛿𝛾1 +𝛾1 𝛾3
𝛿𝜋 +𝛿0 −𝑆 ∗ 𝛿+ 𝛿0 + 𝑝 −𝛿0 𝑀∗
•
𝐴∗ =
•
𝐶∗ =
•
𝑀∗ ≠ 0, jika 𝛿 = − 𝜇1 + 𝜇2
•
𝑀∗ = 0, jika 𝛿 ≠ − 𝜇1 + 𝜇2
𝜇2 −1 𝛾1
𝛿0 𝛾1 𝛿+𝛾3 +𝛽𝑆 ∗ (𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾1 𝛾2 )+𝛿𝜋𝜂𝑞𝛾1 𝛾2 + 𝛿0 𝑞𝛾1 𝛾2 +𝛿0 𝑄1 (𝛿+𝛾3 )
𝑞𝛾2 𝐴∗ 𝛿+𝛾3
Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) diperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. • Didefinisikan sebagai berikut[5] : • ℱ𝑖 adalah laju kemunculan suatu infeksi baru pada kompartemen 𝑖 − • 𝒱𝑖 adalah laju dari perpindahan individu keluar dari kompartemen 𝑖 • 𝒱𝑖 + adalah laju dari perpindahan individu masuk ke dalam kompartemen 𝑖 𝒱𝑖 = 𝒱𝑖 − − 𝒱𝑖 +
(𝛿 + 𝛾1 )𝐸 − 𝛿𝜋𝜂𝐶 , 𝒱 = −𝛾1 𝐸 + (𝛿 + 𝑞𝛾2 + 1 − 𝑞 𝛾1 )𝐴 −𝑞𝛾2 𝐴 + (𝛿 + 𝛾3 )𝐶
𝛽𝐴𝑆 + 𝛽𝜅𝐶𝑆 • ℱ= 0 0
• Sehingga akan dicarii F dan V sebagai berikut :
• 𝐹=
𝜕ℱ𝐸 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕ℱ𝐸 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕ℱ𝐸 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕𝐸 𝜕ℱ𝐼 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕𝐴 𝜕ℱ𝐼 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕𝐶 𝜕ℱ𝐼 𝑆 0 ,0,0,0,0
𝜕𝐸 𝜕ℱ𝐴 𝑆 0 ,0,0,0,0 𝜕𝐸
𝜕𝐴 𝜕ℱ𝐴 𝑆 0 ,0,0,0,0 𝜕𝐴
𝜕𝐶 𝜕ℱ𝐴 𝑆 0 ,0,0,0,0 𝜕𝐶
dan
•
𝑉=
𝜕𝒱𝐸 𝜕𝐸 𝜕𝒱𝐼 𝜕𝐸 𝜕𝒱𝐴 𝜕𝐸
𝜕𝒱𝐸 𝜕𝐴 𝜕𝒱𝐼 𝜕𝐴 𝜕𝒱𝐴 𝜕𝐴
𝜕𝒱𝐸 𝜕𝐶 𝜕𝒱𝐼 𝜕𝐶 𝜕𝒱𝐴 𝜕𝐶
0 • 𝐹= 0 0
𝛽𝑆 0 0 0
𝛿 + 𝛾1 • 𝑉 = −𝛾1 0
𝛽𝜅𝑆 0 0 0 0 𝛿 + 𝑞𝛾2 + 1 − 𝑞 𝛾1 −𝑞𝛾2
−𝛿𝜋𝜂 0 (𝛿 + 𝛾3 )
Maka Basic Reproduction Number dari model adalah : • ℜ0 = 𝜌(𝐹𝑉 −1 ) • ℜ0 =
𝛽𝛾1 𝑆 0 (𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2 ) 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛾3 −𝛿𝜋𝜂𝑞𝛾1 𝛾2
dengan 𝑄1 = (𝛿 + 𝑞𝛾2 + 1 − 𝑞 𝛾1 )
Linearisasi • • • • •
𝑑𝑆 = 𝑑(𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐶, 𝑀) 𝑑𝑡 𝑑𝐸 = 𝑙(𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐶, 𝑀) 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝑓(𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐶, 𝑀) 𝑑𝑡 𝑑𝐶 = 𝑔(𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐶, 𝑀) 𝑑𝑡 𝑑𝑀 = ℎ 𝑆, 𝐸, 𝐴, 𝐶, 𝑀 𝑑𝑡
• dimana 𝑑, 𝑙, 𝑓, 𝑔 𝑑𝑎𝑛 ℎ adalah nonlinear dan 𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ adalah titik kesetimbangan
•
•
•
•
•
𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝜕𝑑 𝜕𝐶
=
𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝜕𝑙 𝜕𝐶
=
𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝜕𝑓 𝜕𝐶
=
𝑑𝐶 𝑑𝑡 𝜕𝑔 𝜕𝐶
=
𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝜕ℎ 𝜕𝑆 𝜕ℎ 𝜕𝐶
=
𝜕𝑑 𝜕𝑆
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑆 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐶 + 𝜕𝑙 𝜕𝑆
𝜕𝑓 𝜕𝑀
𝜕𝑔 𝜕𝑀
𝜕ℎ 𝜕𝐸 𝜕ℎ + 𝜕𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐴 +
𝜕𝑙 𝜕𝐸
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐸 +
𝜕𝑙 𝜕𝐴
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐴 +
𝜕𝑓 𝜕𝐸
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐸 +
𝜕𝑓 𝜕𝐴
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐴 +
𝜕𝑔 𝜕𝐴
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐴 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑆 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐶 +
𝜕𝑑 𝜕𝐴
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑆 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐶 + 𝜕𝑔 𝜕𝑆
𝜕𝑙 𝜕𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐸 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑆 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐶 + 𝜕𝑓 𝜕𝑆
𝜕𝑑 𝜕𝑀
𝜕𝑑 𝜕𝐸
𝜕𝑔 𝜕𝐸
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐸 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑀
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑆 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐸 +
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐶
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝑀
𝜕ℎ 𝜕𝐴
𝑆∗ , 𝐸∗ , 𝐴∗ , 𝐶∗ , 𝑀∗ ∆𝐴 +
Sehingga didapatkan matriks Jacobian seperti berikut :
• 𝐽=
𝜕𝑑 𝜕𝑆 𝜕𝑙 𝜕𝑆 𝜕𝑓 𝜕𝑆 𝜕𝑔 𝜕𝑆 𝜕ℎ 𝜕𝑆
𝜕𝑑 𝜕𝐸 𝜕𝑙 𝜕𝐸 𝜕𝑓 𝜕𝐸 𝜕𝑔 𝜕𝐸 𝜕ℎ 𝜕𝐸
𝜕𝑑 𝜕𝐴 𝜕𝑙 𝜕𝐴 𝜕𝑓 𝜕𝐴 𝜕𝑔 𝜕𝐴 𝜕ℎ 𝜕𝐴
𝜕𝑑 𝜕𝐶 𝜕𝑙 𝜕𝐶 𝜕𝑓 𝜕𝐶 𝜕𝑔 𝜕𝐶 𝜕ℎ 𝜕𝐶
𝜕𝑑 𝜕𝑀 𝜕𝑙 𝜕𝑀 𝜕𝑓 𝜕𝑀 𝜕𝑔 𝜕𝑀 𝜕ℎ 𝜕𝑀
5. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu dilakukan pelinieran dengan menggunakan ekspansi deret Taylor . • Matriks Jacobian di titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐷0 = ( 𝑆 0 , 0,0,0,0) menjadi −𝐷1 −𝛿0 −𝛽𝑆 0 − 𝛿0 − 𝛿𝜋𝜂 − 𝛽𝜅𝑆 0 − 𝛿0 −𝛿0 𝜇1 0 −𝛿 − 𝛾1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 0 𝛽𝑆 0 𝜇2 • J= 0 𝛾1 0 −𝑄1 0 0 0 𝑞𝛾2 −𝛿 − 𝛾3 0 −𝐷2 0 0 0 dengan 𝐷1 = 𝛿0 + 𝛿 + 𝑝 , 𝐷2 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝛿, 𝑄1 = (𝛿 + 𝑞𝛾2 + 1 − 𝑞 𝛾1 )
Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan 𝜆𝐼 − 𝐽 = 0 Sehingga didapat polinomial karakteristik sebagai berikut : • 𝜆 + 𝐷1 𝜆 + 𝐷2 𝜆3 + 𝑎1 𝜆2 + 𝑎2 𝜆 + 𝑎3 = 0 • • •
Nilai eigen pertama dan kedua diketahui bernilai negatif yaitu 𝜆1 = −𝐷1 𝜆1 = − 𝛿0 + 𝛿 + 𝑝
• •
𝜆2 = −𝐷2 𝜆2 = −( 𝜇1 + 𝜇2 + 𝛿)
Untuk 𝜆3 + 𝑎1 𝜆2 + 𝑎2 𝜆 + 𝑎3 dengan •
𝑎1 =
•
•
𝑎2 =
•
𝑎3 =
(1−ℜ0 ) 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛾3 −𝛿𝜋𝜂𝑞𝛾1 𝛾2 2δ+𝛾3 +𝑄1 +𝛾1 𝛿+𝛾3 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿𝜋+𝛿0 −𝜅𝑞𝛾1 𝛾2 (𝛿𝜋𝜂+𝛽𝜅)
𝑄1 (𝛿+𝛾1 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿𝜋+𝛿0 +𝛿(𝛿+𝑄1 +𝛾1 +𝛾3 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝛾3 (𝑄1 +𝛾1 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 + 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝑞𝛾1 𝛾2 𝛿𝜋𝜂 𝛿+𝛿0 +𝑝 +𝛽𝜅 𝛿𝜋+𝛿0 𝑄1 (𝛿+𝛾1 )(𝛿+𝛾3 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿+𝛾3 𝛿𝜋+𝛿0 − 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝛿+𝛿0 +𝑝
• Titik kesetimbangan bebas penyakit dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑏1 > 0. Dengan rumus Routh Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini : Tabel 1. Routh- Hurwitz Bebas Penyakit 𝜆3
𝑎0 = 1
𝑎2
𝜆2
𝑎1
𝑎3
𝜆
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3 𝑎1
•
𝑎1 =
(1−ℜ0 ) 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛾3 −𝛿𝜋𝜂𝑞𝛾1 𝛾2 2δ+𝛾3 +𝑄1 +𝛾1 𝛿+𝛾3 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿𝜋+𝛿0 −𝜅𝑞𝛾1 𝛾2 (𝛿𝜋𝜂+𝛽𝜅)
Nilai 𝑎1 bernilai positif 𝑎1 > 0 jika ℜ0 < 1 dan 𝑄1 𝛿 + 𝛾1 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 > 𝛽𝛾1 𝛿𝜋 + 𝛿0 •
𝑎2 =
𝑄1 (𝛿+𝛾1 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿𝜋+𝛿0 +𝛿(𝛿+𝑄1 +𝛾1 +𝛾3 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝛿+𝛿0 +𝑝
•
𝑎3 =
𝛿+𝛾3 [𝑄1 (𝛿+𝛾1 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 −𝛽𝛾1 𝛿𝜋+𝛿0 ] 𝛿+𝛿0 +𝑝
−
+
𝛾3 (𝑄1 +𝛾1 ) 𝛿+𝛿0 +𝑝 𝛿+𝛿0 +𝑝
𝑞𝛾1 𝛾2 𝛿𝜋𝜂 𝛿+𝛿0 +𝑝 +𝛽𝜅 𝛿𝜋+𝛿0 𝛿+𝛿0 +𝑝
Nilai nilai 𝑎2 dan 𝑎3 akan bernilai positif jika 𝑄1 𝛿 + 𝛾1 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 > 𝛽𝛾1 𝛿𝜋 + 𝛿0 . Selanjutnya untuk 𝑏1 dapat dianalisa sebagai berikut : 𝑎1 𝑎2 > 𝑎3 karena 𝑎1 𝑎2 − 𝑎3 > 0. Dengan 𝑎1 sebagai penyebut bernilai 𝑎1 > 0, dan 𝑎3 > 0 sehingga dapat dikatakan, 𝑏1 > 0, jika memenuhi 𝑄1 𝛿 + 𝛾1 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 > 𝛽𝛾1 𝛿𝜋 + 𝛿0
•
Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel- variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi akan stabil asimtotik lokal ketika 𝑄1 𝛿 + 𝛾1 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 > 𝛽𝛾1 𝛿𝜋 + 𝛿0 dan ℜ0 < 1
6. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik •
Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu dilakukan pelinieran dengan menggunakan ekspansi deret Taylor .
•
Matriks Jacobian di titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑇 ∗ = ( 𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐴∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀∗ ) menjadi
•
−𝑍1 𝑍2 0 0 0
−𝛿0 −𝛿 − 𝛾1 𝛾1 0 0
−𝛽𝑆 ∗ − 𝛿0 𝛽𝑆 ∗ −𝑄1 𝑞𝛾2 0
− 𝛿𝜋𝜂 − 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝛿0 −𝛿0 𝜇1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ 𝜇2 0 0 −𝛿 − 𝛾3 −𝐷2 0
dengan 𝑄1 = (𝛿 + 𝑞𝛾2 + 1 − 𝑞 𝛾1 ), 𝐷2 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝛿 𝑍1 = 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 + 𝛽(𝐴∗ + 𝜅𝐶 ∗ ), 𝑍2 = 𝛽(𝐴∗ + 𝜅𝐶 ∗ )
• Akan dilakukan Operasi Baris Elementer untuk membuat nol baris kedua dan kolom pertama dari matriks Jacobian titik kesetimbangan endemik. Sehingga matriksnya menjadi
•
−𝑍1 0 0 0 0
−𝛿0 −𝐷4 𝛾1 0 0
−𝛽𝑆 ∗ − 𝛿0 − 𝛿𝜋𝜂 − 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝛿0 𝐷3 𝑍3 0 −𝑄1 𝑞𝛾2 −𝛿 − 𝛾3 0 0
dengan • 𝐷3 = 𝑍1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝑍2 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ + 𝛿0 • 𝐷4 = 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 • 𝑍3 = 𝑍1 𝛽𝑆 ∗ − 𝑍2 𝛽𝑆 ∗ + 𝛿0
−𝛿0 𝑍1 𝜇1 −𝑍2 𝛿0 𝜇2 0 −𝐷2
Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan 𝜆𝐼 − 𝐽 = 0 Sehingga didapat peolinomial karakteristik sebagai berikut : • 𝜆 + 𝑍1 𝜆 + 𝐷2 𝜆3 + 𝑎1 𝜆2 + 𝑎2 𝜆 + 𝑎3 = 0 Nilai eigen pertama dan kedua diketahui bernilai negatif • 𝜆1 = −𝑍1 • 𝜆1 = − 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 + 𝛽(𝐴∗ + 𝜅𝐶 ∗ ) Substitusi nilai dari 𝐶 ∗ sehingga didapat •
𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2 ) 𝛿+𝛾3
𝜆1 = − 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 + 𝛽𝐴∗ (
Sedangkan untuk 𝜆2 • 𝜆2 = −𝐷2 • 𝜆2 = −( 𝜇1 + 𝜇2 + 𝛿)
Untuk 𝜆3 + 𝑎1 𝜆2 + 𝑎2 𝜆 + 𝑎3 = 0 dengan • 𝑎1 = δ + 𝛾3 + 𝑄1 + 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 • 𝑎2 = 𝑄1 𝛿 + 𝛾3 + 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 𝛿 + 𝛾3 + 𝑄1 + 𝑍2 𝛾1 𝛽𝑆 ∗ + 𝛿0 − 𝑍1 𝛽𝛾1 𝑆 ∗
•
𝑎3 = 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 𝛿𝑄1 + 𝛾3 𝑄1 + 𝛿 + 𝛾3 𝑍2 𝛾1 𝛽𝑆 ∗ + 𝑍2 𝛾1 𝛿0 − 𝑍1 𝛾1 𝛽𝑆 ∗ − 𝑞𝛾1 𝛾2 𝑍1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝑍2 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ + 𝛿0
• Titik kesetimbangan endemik dari model dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑏1 > 0. Dengan rumus Routh Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini : Tabel 2. Routh- Hurwitz Endemik
𝜆3
𝑎0 = 1
𝑎2
𝜆2
𝑎1
𝑎3
𝜆
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3 𝑎1
•
𝑎1 = δ + 𝛾3 + 𝑄1 + 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 δ + 𝛾3 + 𝑄1 + 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 > 0
•
𝑎2 = 𝑄1 𝛿 + 𝛾3 + 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 𝛿 + 𝛾3 +𝑄1 + 𝑍2 𝛾1 𝛿0 + 𝑍2 − 𝑍1 𝛽𝛾1 𝑆 ∗
•
𝑎3 = 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 𝛿𝑄1 + 𝛾3 𝑄1 + 𝛿 + 𝛾3 𝑍2 𝛾1 𝛽𝑆 ∗ + 𝑍2 𝛾1 𝛿0 − 𝑍1 𝛾1 𝛽𝑆 ∗ −𝑞𝛾1 𝛾2 𝑍1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝑍2 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ + 𝛿0 𝑎3 = 𝑍1 𝛿 + 𝛾1 + 𝑍2 𝛿0 𝛿𝑄1 + 𝛾3 𝑄1 + 𝑍2 𝛾1 𝛿0 (𝛿+ 𝛾3 ) + 𝛿 + 𝛾3 (𝑍2 − 𝑍1 )𝛾1 𝛽𝑆 ∗ + 𝑞𝛾1 𝛾2 𝑍1 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ − 𝑍2 𝛿𝜋𝜂 + 𝛽𝜅𝑆 ∗ + 𝛿0
•
Untuk 𝑍2 − 𝑍1 𝛽𝛾1 𝑆 ∗ 𝑍2 − 𝑍1 𝛽𝛾1 𝑆 ∗ = −(𝛿 + 𝛿0 + 𝑝)𝛽𝛾1 𝑆 ∗ 𝑆∗=
𝑄1 𝛿+𝛾3 𝛿+𝛾1 −𝛿𝜋𝜂 𝑞𝛾1 𝛾2 1−ℜ0 +𝛽𝑆 0 𝛾1 (𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2 ) 𝛾1 𝛽 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
−
𝑀 ∗ 𝛿+𝛾3 𝜇2 𝛿+𝛾1 +𝜇1 𝛾1 𝛾1 𝛽𝐴∗ 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
Sehingga untuk nilai 𝑎2 dan 𝑎3 akan bernilai positif jika ℜ0 > 1 karena
𝑍2 − 𝑍1 𝛽𝛾1 𝑆 ∗ > 0
Selanjutnya untuk 𝑏1 dapat dianalisa sebagai berikut : • 𝑎1 𝑎2 > 𝑎3 karena 𝑎1 𝑎2 − 𝑎3 > 0. dan 𝑎3 > 0 sehingga dapat dikatakan, 𝑏1 > 0, Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel- variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan endemik untuk model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi telah terbukti stabil asimtotik lokal ketika ℜ0 > 1
Simulasi Numerik • Metode numerik yang digunakan adalah metode numerik Runge- Kutta orde empat. NO
Parameter
Bebas Penyakit
Endemik
1
𝛿
0.0143
0.121
2
𝜋
0.3
0.3
3
𝛾1
6
6
4
𝛾2
4
4
5
𝛾3
0.34
0.005
6
𝛽
0.8
0.85
7
q
0.05
0.05
8
𝛿0
0.06
0.06
9
p
1
0
10
𝜇1
0.23
0.23
11
𝜇2
0.56
0.56
12
𝜂
0.70
0.90
13
𝜅
1
1
Nilai awal yang digunakan No
Sub populasi ketika 𝒕=𝟎
Nilai awal (juta jiwa)
1
𝑆
50
2
𝐸
20
3
𝐴
10
4
𝐶
3
5
𝑀
2
Grafik Kestabilan Untuk Bebas Penyakit Saat 𝕽𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟔 < 𝟏, 𝑵 = 𝟐𝟎, 𝒉 = 𝟎. 𝟏
Grafik Kestabilan Untuk Bebas Penyakit Saat 𝕽𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟔 < 𝟏, 𝑵 = 𝟒𝟎𝟎, 𝒉 = 𝟎. 𝟏
Penjelasan Grafik • Pada Gambar t-nya diperpanjang hingga mencapai 40 tahun, dengan 𝑁 = 400, ℎ = 0.1 . Dari gambar tersebut terlihat bahwa populasi Susceptible, Exposed, Acute, Carrier, Migrated sudah menunjukkan ke arah titik setimbang dan stabil pada titik tersebut. Untuk populasi Susceptible grafik populasi ini menuju satu titik yaitu 𝑆 = 0,0598 dan stabil pada titik tersebut. Ini artinya pada populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penyebaran penyakit,. Pada populasi terinfeksi seperti Exposed, Acute dan Carrier, grafik populasi ini menuju satu titik yaitu 0 dan konstan pada titik tersebut. Ini artinya pada populasi Exposed, Acute dan Carrier ini lama – lama akan habis. Sedangkan pada populasi Migrated pergerakan grafik mencapai 0 yang berarti tidak ada lagi populasi migrasi yang menyebarkan penyakit dan populasi migrasi akan habis. Berdasarkan hasil numerik, mulai dari tahun ke 33 sampai seterusnya virus Hepatitis B ini akan menghilang
Grafik Kestabilan Bebas Penyakit dengan nilai awal yang lebih kecil Saat , ℜ0 = 0,0126 < 1, 𝑁 = 200, ℎ = 0.1
Penjelasan Grafik • Pada Gambar 4.4 terlihat jelas bahwa laju pertumbuhan populasi Susceptible awalnya menurun dan mulai tahun ke-5 grafik populasi ini naik turun, ini artinya masih terdapat penyebaran penyakit. Populasi Susceptible mulai mendekati satu titik setimbang yaitu 𝑺 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟗𝟖 dan stabil pada titik tersebut. Sedangkan untuk populasi Exposed, Acute, Carrier dan Migrated grafik populasi mereka mencapai 0, pada kurun waktu yang tidak lebih dari 20 tahun. Berdasarkan hasil numerik, virus Hepatitis B akan menghilang mulai tahun ke-19 karena pada waktu tersebut semua populasi sudah menuju titik setimbang dan konstan pada titik tersebut.
Grafik Kestabilan Untuk Endemik Saat , 𝕽𝟎 = 𝟏. 𝟔𝟏𝟖𝟏 < 𝟏, 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎, 𝒉 = 𝟎. 𝟏
Penjelasan Grafik Pada gambar terlihat jelas bahwa populasi Susceptible mulai mendekati satu titik setimbang yaitu 𝑺 = 0.5520 dan stabil pada titik tersebut. Sedangkan untuk populasi Exposed , Acute mulai mendekati ke arah titik setimbang yaitu 0.0035, sedangkan untuk Carrier mulai mendekati titik setimbang yaitu 𝐶 = 0.0409 serta stabil pada titik setimbang tersebut pada kurun waktu yang tidak lebih dari 10 tahun. Berdasarkan hasil numerik tersebut, terdapat penyebaran virus Hepatitis B dikarenakan masih terdapat individu pada setiap populasi yang rentan maupun populasi yang terinfeksi.
KESIMPULAN • Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah diberikan pada bab sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi yang telah dikaji, telah didapatkan titik setimbang dan analisis kestabilan sebagai berikut : a. Titik kesetimbangan bebas penyakit • 𝐷 0 = ( 𝑆 0 , 0,0,0,0) 𝛿𝜋+𝛿0 , 0,0,0,0) (𝛿+𝛿0 +𝑝)
• 𝐷0 = (
• Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika ℜ0 < 1 dan
𝑄1 𝛿 + 𝛾1 𝛿 + 𝛿0 + 𝑝 > 𝛽𝛾1 𝛿𝜋 + 𝛿0
b. Titik kesetimbangan endemik • 𝑇 ∗ = ( 𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐴∗ , 𝐶 ∗ , 𝑀∗ ) dengan •
∗
𝑆 = ∗
• 𝐸 = •
𝐶∗
=
𝑄1 𝛿+𝛾3 𝛿+𝛾1 −𝛿𝜋𝜂 𝑞𝛾1 𝛾2 𝛾1 𝛽 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
−
𝑀∗ 𝛿+𝛾3 𝜇2 𝛿+𝛾1 +𝜇1 𝛾1 𝛾1 𝛽𝐴∗ 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2
𝑄1 𝐴∗ −𝜇2 𝑀∗ 𝛾1 𝑞𝛾2 𝐴∗ 𝛿+𝛾3
• Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika ℜ0 > 1 dengan bilangan reproduksi dasar ℜ0 yaitu : • ℜ0 =
𝛽𝛾1 𝑆 0 𝛿+𝛾3 +𝜅𝑞𝛾2 𝑄1 𝛿+𝛾1 𝛿+𝛾3 −𝛿𝜋𝜂𝑞𝛾1 𝛾2
• Simulasi model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi dengan menggunakan metode numerik Runge-Kutta menghasilkan grafik dari kesetimbangan bebas penyakit dan kesetimbangan endemik jika nilai h = 0,1. Serta pengaruh dari input nilai awal pada populasi, jika nilai awal pada populasi lebih sedikit maka waktu untuk menuju titik setimbang bebas penyakit maupun endemik semakin cepat.
DAFTAR PUSTAKA [1] Pang, Jianhua.Cui, Jing-an dan Zhou, Xueyong. (2010). “Dynamical Behavior of a hepatitis B virus transmission model with vaccination”. Journal of Theoretical Biology. [2] Altaf Khan, Muhammad, dkk. (2013). “Transmission Model of Hepatitis B Virus with the Migration Effect”. BioMed Research International. [3] K. Hattaf, dkk. (2009). “Optimal Control of Treatment in a Basic Virus Infection Model”. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, 2009, No.20, 949-958. [4] Larasati, Devi dan Tjahjana, Redemtus Heru. (2012). “Analisis Model Matematika Untuk Penyebaran Virus Hepatitis B”. Tugas Akhir Jurusan Matematika Universitas Diponegoro Semarang. [5] Anonim. (2012). “Dampak Infeksi dari Virus Hepatitis B (HBV)”. http://penyakithepatitisb.com/dampak-hepatitis-b/. Diakses tanggal 5 Februari 2014 05.24. [6] Finizio, N dan Ladas, G. 1998. “Ordinary Differential Equations with Modern Applications”. California: Wadsworth Publishing Company. [7] Nisa, Aglis. 2011. “Analisis Stabilitas Model Matematika Dari Penyebaran Penyakit Menular Melalui Transportasi Antar Dua Kota”. Tugas Akhir.Jurusan Matematika Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. [8] Driessche,P.,Watmough,J. 2002. “Reproduction Numbers and Sub-threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission”.Mathematical Biosciences 180 (2002) 29-48 [9] Anton, Howard. 2000. “Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1”. Batam: Interaksara
TERIMA KASIH
