1
Analisis Kestabilan Pada Model Transmisi Virus Hepatitis B yang Dipengaruhi Oleh Migrasi Firdha Dwishafarina Zainal, Setijo Winarko, dan Lukman Hanafi Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia email :
[email protected] Abstrak— Hepatitis B adalah infeksi yang terjadi pada hati yang disebabkan oleh virus hepatitis B (HBV). Migrasi adalah salah satu faktor yang berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Dalam permasalahan tersebut dilakukan analisa model transmisi virus hepatitis B yang dipengaruhi oleh adanya migrasi untuk model kompartemen bertipe SEACVM, dengan S (Susceptible), E (Exposed), A (Acute), C (Carrier), V (Vaccinated), M (Migrated). Individu yang terinfeksi ada dua yaitu individu yang terinfeksi akut (Acute) dan individu pembawa/kronis (Carrier) serta ada individu yang bermigrasi (Migrated). Pada model ini akan dicari bilangan reproduksi dasar dan titik kesetimbangan bebas penyakit serta titik kesetimbangan endemik. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada setiap titik kesetimbangan tersebut yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotis. Untuk titik kesetimbangan endemik akan stabil asimtotis jika Selain itu dilakukan penyelesaian numerik untuk model dengan menggunakan metode numerik Runge-Kutta orde empat. Hasil analisa yang diperoleh yaitu titik kesetimbangan yang dilihat dari nilai bilangan reproduksi dasar .
Kata kunci — Model Transmisi Virus Hepatitis B yang Dipengaruhi Migrasi, HBV, Metode Runge-Kutta I. PENDAHULUAN
I
nfeksi virus hepatitis B (HBV) adalah masalah kesehatan utama yang dapat menyebabkan sirosis hati dan Primary Hepatocellular Carcinoma (HCC). Sirosis hati adalah penyakit hati menahun yang mengenai seluruh organ hati. Keadaan tersebut terjadi karena infeksi akut yang disebabkan virus hepatitis sehingga terjadi peradangan sel hati yang luas dan menyebabkan banyak kematian sel. Primary Hepatocellular Carcinoma (HCC) atau biasa disebut dengan kanker hati adalah tumor ganas primer hati yang berasal dari sel – sel hati dan penyebab kematian ke-3 di dunia. Faktor risiko utama penyebab kanker hati adalah sirosis hati[3]. Menurut data World Health Organization (WHO) lebih dari 2 miliar orang terinfeksi virus Hepatitis B. Dari jumlah tersebut, sekitar 350 juta terinfeksi kronis dan menjadi pembawa virus tersebut. Setiap tahun ada lebih dari 4 juta kasus klinis akut virus Hepatitis B dan sekitar 25 % disebabkan oleh individu pembawa virus. Hepatitis B menyebabkan sekitar 1 juta orang meninggal akibat hepatitis aktif yang kronis, sirosis atau kanker hati
primer[1]. Di Indonesia tahun 2010, jumlah kasus terinfeksi virus Hepatitis B mencapai 15 juta orang dan prevalensi Hepatitis B dengan tingkat endemisitas tinggi yaitu sebanyak 1,5 juta orang berpotensi mengidap kanker hati[4]. Mayoritas mereka yang terinfeksi penyakit hepatitis tersebut hidup pada negara – negara berkembang dengan beberapa terjadi pada negara di Eropa. Migrasi merupakan salah satu isu yang sangat berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Sebagai contoh, lebih dari 5 juta penduduk Kanada bermigrasi keluar dari negaranya setiap tahun dan lebih dari 250.000 imigran baru tiba di Kanada setiap tahun. Negara di dunia semakin terhubung melalui perjalanan serta migrasi. Dengan demikian , migrasi memiliki implikasi kesehatan dalam suatu lokasi untuk kedua migrasi lokal dan global, karena penyakit menular tidak tetap terisolasi secara geografis. Setiap tahun jumlah migrasi akan semakin meningkat dan ada potensi untuk setiap penyakit penularannya akan lebih cepat, karena para imigran pembawa virus menularkan virus pada penduduk lokal sehingga jumlah penduduk yang terinfeksi penyakit khususnya Hepatitis B semakin tahun akan semakin bertambah[2]. Dalam Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi dan individu yang terinfeksi dibagi menjadi dua yaitu individu yang terinfeksi akut dan individu pembawa/kronis. Hal ini didasarkan pada tahapan infeksi dari penyakit Hepatitis B, jika telah terinfeksi akut maka dapat menyebabkan infeksi kronis atau dapat disebut pembawa (carrier). Solusi numerik dari permasalahan model ini akan diselesaikan dengan metode numerik Runge-Kutta II. METODOLOGI PENELITIAN A. Tahap Mengkaji Model Transmisi Virus Hepatitis B yang Dipengaruhi Oleh Migrasi Tahap mengkaji model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi dilakukan untuk memahami model transmisi virus penyakit Hepatitis B yang terdiri dari 6 kompartemen yaitu susceptible, exposed, acute, carrier, vaccinated dan migrated class. B. Tahap Mencari Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar Pada tahap ini dilakukan analisis model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan endemik dan bilangan reproduksi dasar.
2 C. Tahap Menganalisis Kestabilan Lokal Tahap ini akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik dengan memasukkan nilai kesetimbangan kedalam matriks Jacobian, sehingga didapatkan nilai akarakar karakteristik dari matriks Jacobiannya untuk mengetahui kestabilan asimtotik lokal pada titik – titik tersebut. D. Tahap Simulasi Numerik Runge-Kutta orde-4 Tahap simulasi numerik Runge-Kutta orde 4 dilakukan menggunakan software pemrograman MATLAB untuk menggambarkan grafik kestabilan dan penyelesaian numerik model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi.
j.
adalah tingkat penurunan kekebalan virus sehingga menjadi individu yang rentan (Susceptible), sedangkan adalah vaksinasi dari individu yang rentan (Susceptible)
Dari asumsi- asumsi tersebut didapatkan diagram kompartemen sebagai berikut δπ - δπηC
S
δS β(A+KC)S
δE
E
δπηC µ1M
γ1 E
δM δ0V
δA
A
pS
µ2M
M
qγ2A
E. Tahap Kesimpulan dan Saran Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.
C
(1-q)γ1A
γ3C
V
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Model Transmisi Virus Hepatitis B yang Dipengaruhi Oleh Migrasi Model epidemik transmisi virus Hepatitis B mempunyai asumsi- asumsi sebagai berikut : a. Populasi dibagi menjadi 6 kelompok individu yaitu : S adalah populasi susceptible (kelompok individu yang rentan terhadap penyakit Hepatitis B) E adalah populasi exposed (kelompok individu yang terkena virus Hepatitis B namun tidak tampak penyakitnya) A adalah populasi Acute (kelompok individu yang terinfeksi penyakit Hepatitis B yang tergolong akut) C adalah populasi carrier (kelompok individu yang menjadi pembawa virus Hepatitis B atau terinfeksi penyakit Hepatitis B yang tergolong kronis) V adalah populasi vaccinated (kelompok individu yang memiliki kekebalan sementara terhadap virus Hepatitis B) M adalah populasi migrated (kelompok individu yang melakukan migrasi) b. adalah tingkat transmisi dari populasi migrated ke populasi exposed sedangkan adalah tingkat transmisi dari populasi migrated ke populasi acute sehingga terdapat dan . c. adalah tingkat kematian dan tingkat kelahiran d. adalah proporsi kegagalan imunisasi e. adalah proporsi bayi baru lahir dari ibu pembawa virus Hepatitis B (carrier) yang gagal imunisasi. f. adalah tingkat transmisi individu yang terkena penyakit (exposed) menjadi menular dan berpindah pada populasi acute atau populasi vaccinated, adalah tingkat transmisi individu dari populasi acute ke populasi carrier dan , adalah tingkat transmisi individu dari populasi carrier ke populasi vaccinated. g. adalah proporsi dari individu terinfeksi akut (acute) menjadi carrier. h. adalah koefisien transmisi i. adalah penularan dari pembawa (Carrier) dari infeksi akut
δC
δV
δ(1-π)
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Transmisi Virus Hepatitis B Model dapat dituliskan sebagai berikut : (
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ( ( ( )
) )
( ) )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
dengan jumlah populasi . Persamaan untuk dapat ditulis menjadi ( ) , sehingga akan direduksi persamaan laju populasi Vaccinated dengan mensubstitusikan ( ) ke dalam persamaan (1) dan persamaan (5) dihilangkan, sehingga persamaan baru dari model menjadi : (
)
(
)
3 (
(
(
))
( )
)
( ) (
(
)
( )
) (
dengan
(
)
(
)
adalah laju kemunculan suatu infeksi baru pada kompartemen adalah laju dari perpindahan individu keluar dari kompartemen adalah laju dari perpindahan individu masuk ke dalam kompartemen
[
]
(
[
)
] (
)
)
Maka Basic Reproduction Number dari model adalah : B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah suatu keadaan tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam suatu populasi sehingga Titik kesetimbangan model didapatkan dengan
( (
) )
(
(
dengan
)
( )(
) )
E.
dari persamaan ( ) ( ) sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit ( ) adalah ( (
)
)
C.
Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadi infeksi penyakit di dalam populasi Titik Kesetimbangan Endemik didapatkan dengan
[ dengan
dari persamaan ( ) ( ) sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik ( ) dengan (
(
)( (
) ) )( (
(
)
]
,
( ) )
(
(
)
,
Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan | | Sehingga didapat akar – akar karakteristik sebagai berikut : ( )( )( )
)
(
Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu dilakukan pelinieran dengan menggunakan ekspansi deret Taylor pada persamaan (7) sampai (11). Matriks Jacobian persamaan (7) sampai (11) di titik kesetimbangan bebas penyakit ( ) menjadi
) )
Nilai eigen pertama dan kedua diketahui bernilai negatif ( (
(
)( )
(
( )
)
(
)) (
(
)
)
, jika , jika
( (
) )
D. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) diperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Didefinisikan sebagai berikut[5] :
) )
(( Untuk dengan ( (
)( )(
(
)
(
)( )(
) )
)( (
))
) (
)
4 [
(
)
)(
(
)]
( ( (
)
)(
)
)( (
( )
) )[
(
)
)( (
(
(
)]
[
)
(
) (
(
]
))
dengan
)
Titik kesetimbangan bebas penyakit dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya . Dengan rumus Routh Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini : Tabel 1. Routh- Hurwitz Bebas Penyakit
( (
)
)
(
(
)
)
Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan | | Sehingga didapat akar – akar karakteristik sebagai berikut : ( )( )( ) Nilai eigen pertama dan kedua diketahui bernilai negatif
[ Substitusi nilai dari
) jika Nilai bernilai positif ( dan ( )( ) ( ) Nilai nilai dan akan bernilai positif jika ( )( ) ( ). Selanjutnya untuk dapat dianalisa sebagai berikut : karena Dengan sebagai penyebut bernilai , dan sehingga dapat )( dikatakan , jika memenuhi ( ) ( )
[
)(
)
(
F. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Kestabilan lokal titik endemik dilakukan pelinieran terlebih dahulu sebelum melakukan analisis kestabilan. Matriks Jacobian persamaan (7) sampai (11) di titik kesetimbangan bebas penyakit ( ) menjadi
dengan
]
(
( (
) ) ),
( (
((
)
)
(
)
( ( ( )
Untuk dengan
) dan
[
(
)]
Sedangkan untuk
Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel- variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi akan stabil asimtotik lokal ketika (
( )] sehingga didapat
) )
Akan dilakukan Operasi Baris Elementer untuk membuat nol baris kedua dan kolom pertama dari matriks Jacobian titik kesetimbangan endemik. Sehingga matriksnya menjadi
( ( )(
(
)
) )
)(
)(
[ (
) )
) (
)
(
)]
Titik kesetimbangan endemik dari model dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya . Dengan rumus Routh Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini : Tabel 2. Routh- Hurwitz Endemik
(
) (
( ) ( (
)
( ( (
) (
Untuk ( ( )
)
)( )
)( )
)
(
)(
[ ( )]
) (
)
)
) (
)
5 (
(
)(
)
)( (
(
)(
(
)
(
)
(
)
)
) )
Sehingga untuk
nilai
dan
akan bernilai positif
karena ( ) jika Selanjutnya untuk dapat dianalisa sebagai berikut : karena , dan sehingga dapat dikatakan , Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabelvariabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan endemik untuk model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi telah terbukti stabil asimtotik lokal ketika Gambar 2. Grafik Kestabilan Untuk Bebas Penyakit Saat G. Simulasi Numerik Metode numerik yang digunakan adalah metode numerik Runge- Kutta orde empat. Parameter dan nilai awal yang digunakan disajikan dalam tabel dibawah ini :
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Tabel 3. Nilai Parameter Bebas Parameter Endemik Penyakit 0.0121 0.0143 0.3 0.3 6 6 4 4 0.005 0.34 0.85 0.8 0.05 q 0.05 0.06 0.06 0 p 1 0.23 0.23 0.56 0.56 0.90 0.70 1 1
Tabel 4. Nilai awal dari masing- masing Subpopulasi Sub populasi Nilai awal 1 Nilai awal 2 No ketika (juta jiwa) (juta jiwa)
Pada Gambar 3 waktunya mencapai 40 tahun, dengan . Dari gambar tersebut terlihat bahwa seluruh populasi sudah menunjukkan ke arah titik setimbang dan stabil pada titik tersebut. Untuk populasi Susceptible grafik populasi ini menuju satu titik yaitu dan stabil pada titik tersebut. Ini artinya pada populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penyebaran penyakit,. Pada populasi terinfeksi seperti Exposed, Acute dan Carrier, grafik populasi ini menuju satu titik yaitu 0 dan konstan pada titik tersebut. Ini artinya pada populasi Exposed, Acute dan Carrier ini lama – lama akan habis. Sedangkan pada populasi Migrated pergerakan grafik mencapai 0 yang berarti tidak ada lagi populasi migrasi yang menyebarkan penyakit dan populasi migrasi akan habis. Berdasarkan hasil numerik, mulai dari tahun ke 33 sampai seterusnya virus Hepatitis B ini akan menghilang Pada model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi ini grafik untuk kesetimbangan bebas penyakit pada Gambar 2 mendekati nilai nol. Sehingga dibuat simulasi dengan nilai awal subpopulasi yang lebih kecil untuk mengetahui grafik kesetimbangan bebas penyakit menjadi lebih jelas. Untuk nilai awal jumlah individu dari masing – masing populasi dapat dilihat pada Tabel 4 untuk nilai awal 2.
1 2 3 4 5 Hasil simulasi dengan mengambil parameter dan nilai awal berdasarkan yang terdapat pada Tabel 3 untuk yang bebas penyakit dan Tabel 4 dengan nilai awal 1 menghasilkan , yang berarti simulasi model berada pada keadaan bebas penyakit. Didapatkan grafik kestabilan sebagai berikut :
Gambar 3. Grafik Kestabilan Untuk Bebas Penyakit Saat
6 Pada Gambar 3 terlihat jelas bahwa laju pertumbuhan populasi Susceptible awalnya menurun dan mulai tahun ke-5 grafik populasi ini naik turun, ini artinya masih terdapat penyebaran penyakit. Populasi Susceptible mulai mendekati satu titik setimbang yaitu dan stabil pada titik tersebut. Sedangkan untuk populasi Exposed, Acute, Carrier dan Migrated grafik populasi mereka mencapai 0, pada kurun waktu yang tidak lebih dari 20 tahun. Berdasarkan hasil numerik, virus Hepatitis B akan menghilang mulai tahun ke-19 karena pada waktu tersebut semua populasi sudah menuju titik setimbang dan konstan pada titik tersebut.
( (
)
)
Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika
dan
(
)(
)
(
)
b. Titik kesetimbangan endemik ( dengan
Hasil simulasi dengan mengambil parameter dan nilai awal berdasarkan yang terdapat pada Tabel 3 untuk yang endemik dan Tabel 5 menghasilkan , yang berarti simulasi model berada pada keadaan endemik, yang berarti terdapat penyebaran penyakit. Didapatkan grafik kestabilan sebagai berikut :
(
(
) )( ( (
(
) )( (
) (
)
)
) )
)
Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika
dengan bilangan reproduksi dasar (
( 2.
Gambar 4. Grafik Kestabilan Untuk Endemik Saat Pada Gambar 4 terlihat jelas bahwa populasi Susceptible mulai mendekati satu titik setimbang yaitu dan stabil pada titik tersebut. Sedangkan untuk populasi Exposed , Acute mulai mendekati ke arah titik setimbang yaitu sedangkan untuk Carrier mulai mendekati titik setimbang yaitu serta stabil pada titik setimbang tersebut pada kurun waktu yang tidak lebih dari 10 tahun. Berdasarkan hasil numerik tersebut, terdapat penyebaran virus Hepatitis B dikarenakan masih terdapat individu pada setiap populasi yang rentan maupun populasi yang terinfeksi. IV. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah diberikan pada bab sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi yang telah dikaji, telah didapatkan titik setimbang dan analisis kestabilan sebagai berikut : a. Titik kesetimbangan bebas penyakit (
)
( )(
) yaitu : )
)
Simulasi model transmisi virus Hepatitis B yang dipengaruhi oleh migrasi dengan menggunakan metode numerik Runge-Kutta menghasilkan grafik dari kesetimbangan bebas penyakit dan kesetimbangan endemik jika nilai h = 0,1. Serta pengaruh dari input nilai awal pada populasi, jika nilai awal pada populasi lebih sedikit maka waktu untuk menuju titik setimbang bebas penyakit maupun endemik semakin cepat.
V. DAFTAR PUSTAKA [1] Pang, Jianhua.Cui, Jing-an dan Zhou, Xueyong. (2010). “Dynamical Behavior of a Hepatitis B Virus Transmission Model with Vaccination”. Journal of Theoretical Biology. [2] Altaf Khan, Muhammad, dkk. (2013). “Transmission Model of Hepatitis B Virus with the Migration Effect”. BioMed Research International. [3] K. Hattaf, dkk. (2009). “Optimal Control of Treatment in a Basic Virus Infection Model”. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, 2009, No.20, 949958. [4] Larasati, Devi dan Tjahjana, Redemtus Heru. (2012). “Analisis Model Matematika Untuk Penyebaran Virus Hepatitis B”. Tugas Akhir Jurusan Matematika Universitas Diponegoro Semarang. [5] Driessche,P.,Watmough,J. 2002. “Reproduction Numbers and Sub-threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission”. Mathematical Biosciences 180 (2002) 29-48
7
