BAB 2 SUPERSIMETRI dan SUPERGRAVITASI N=1
2.1 SUPERSIMETRI N=1 Teori medan yang dibangun dari fungsi aksi agar apat memberikan deskripsi fisis haruslah simetris menurut prinsip dasar teori relativitas khusus, artinya teori medan ini harus invariant terhadap transformasi ruang-waktu (eksternal) yang dibangun oleh grup Lorentz tidak homogen atau grup Poincare. Grup Poincare terdiri dari dua buah grup yakni:
a. Grup Lorentz homogen (SO(3,1)) adalah grup transformasi koordinat x' μ = Λμ ν xν
yang membuat metrik Minkowski
η μν invariant: η αβ = Λμ α Λν β η μν
(2.1.1)
Generator grup Lorentz direalisasikan dalam 6 operator diferensial sebagai berikut: J μν = −i ( x μ ∂ν − xν ∂ μ )
(2.1.2)
Namun terdapat pula bentuk 6 generator lain yang dibangun dari generator diatas yakni
Ji± =
dimana: μ ,ν = 0,1,2,3
i, j , k = 1,2,3
.
1 1 ( ε ijk J jk ± iJ 0i ) 2 2
(2.1.3)
4
Generator (2.1.3) memenuhi aljabar untuk grup Lie SU(2) dan nilai eigen dari operator Casimir nya digunakan untuk mengklasifikasi representasi irreducible grup SU(2). b. grup translasi homogen grup ini memiliki aksi berbentuk :
x' μ = x μ + a μ
,
(2.1.4)
Sehingga generator untuk grup translasi diatas berbentuk: Pμ = i∂ μ
.
(2.1.5)
Operator Casimir (operator yang komut terhadap semua generator ) dari grup Poincare adalah Pμ P μ dan WμW μ , dimana :
Wμ =
1 μνρσ ε Pν J ρσ 2
(2.1.6)
disebut vektor Pauli-Lubanski. Nilai eigen dari operator WμW μ adalah m 2 s ( s + 1) dimana m adalah massa partikel dan s =0,1/2,1,… .adalah spin partikel. Nilai eigen itu menunjukan bahwa massa dan spin partikel tetap invariant terhadap transformasi Poincare . Usaha para fiskawan untuk menemukan bentuk simetri yang lebih umum dan non trivial berawal dari Coleman dan Mandula yang mengusulkan bahwa penggabungan grup Poincare yang mempunyai dua generator, yaitu generator translasi (Pa) dan generator rotasi (Jab) yang memenuhi hubungan
[ Pa , Pb ] = 0, [ Pa , J bc ] = i(ηba Pc − ηca Pb ), [ J ab , J cd ] = −i(ηac J bd + ηbd J ac − ηad J bc − ηbc J ad ), dengan a, b, c = 0, 1, 2, 3.
(2.1.7)
5
dengan grup simetri internal (grup transformasi pada ruang internal, seperti:grup SU(2) pada ruang isospin, grup SU(3) pada ruang color pada quark) mempunyai satu generator yaitu Ts, yang memenuhi hubungan
[Ts , Tr ] =
f rst Tt
(2.1.8)
dengan r, s, t = 0, 1...dim G , hanya dapat dilakukan secara trivial melalui hubungan perkalian langsung(direct product) antara grup Poincare dengan grup simetri internal sebagai berikut:
[ Pa , Tr ] = 0, [ J ab , Tr ] = 0.
(2.1.9)
Penggabungan yang non trivial dilakukan oleh Gol’fand-Likhtman pada 1971 dengan memperkenalkan aljabar Lie yang diperluas (graded Lie Algebra) yaitu I
dengan menambahkan suatu generator baru Qα , Qβ&I yang bersifat antikomutatif dimana (I = 1,…N) adalah indeks internal dan α , β = 1,2 ; α& , β& = 1&,2& adalah indeks spinor
Melalui gabungan antara generator baru dan generator Poincare di atas,
terbentuklah suatu aljabar supersimetri. Aljabar untuk N=1 supersimetri dapat dituliskan sebagai berikut: {Qα , Qβ } = {Qα& , Qβ& } = 0 {Qα , Qβ& } = 2σ μ αβ& Pμ [Qα , J μν } = i (σ 2 μν ) α β Qβ [Qα , Pμ ] = 0 [Qα& , Pμ ] = 0 Aljabar supersimetri dengan central charge (Z IJ ) dapat dituliskan
(2.1.10)
6
{Q
I
a I , Qβ& J = 2σ αβ & Paδ J ,
{Q
I
, Qβ J = 2 2εαβ Z IJ ,
α
α
{Q
α& I
}
}
, Qβ& J
}=2
(2.1.11)
2εαβ Z* . && IJ
Supersimetri adalah transformasi yang memetakan boson menjadi fermion, dan juga sebaliknya dimana terdapat perbedaan spin J sebesar ½: Q J = J + 1/ 2
(2.1.12)
Dengan demikian, supersimetri mengharuskan boson dan fermion dikombinasikan ke dalam multiplet yang mempunyai jumlah derajat kebebasan fermionik dan bosonik yang sama. Jika sebuah teori invarian terhadap transformasi supersimetri, maka teori tersebut adalah supersimetrik.
2.2 Supermedan Chiral Pada metode superfield, SUSY dapat dibangun dengan memperkenalkan supermedan (superfield) yang didefinisikan pada ruang dengan koordinat z M : ( x m ,θ α ,θ α& ) yang
disebut superspace.
Superfield F ( x,θ , θ ) adalah pemetaan dari superspace ke
bilangan kompleks sebagai berikut : F ( x,θ ,θ ) = f ( x) + θϕ ( x) + θχ ( x) + θ 2 m( x) + θ 2 n( x) + θσ lθυl ( x) + θ 2θλ ( x) + θ 2θφ ( x) +θ 2θ 2ω ( x)
(2.2.1)
dimana f , ϕ , χ ,... adalah medan –medan komponen. Sementara itu gerak dalam superspace dibagun oleh operator diferensial: Dα = ∂
∂θ α
Dα& = − ∂
+ iσ αα& θ α& ∂ m
∂θ
m
α&
+ iθ α σ αα& ∂ m m
(2.2.2)
7
Chiral superfield adalah memenuhi hubungan berikut Dα& Φ = 0
(2.2.3)
Dan untuk supermedan antichiral hubungan nya adalah: Dα Φ + = 0
(2.2.4)
Dengan menggeser koordunat lama x m → y m = x m + iθσ mθ maka supermedan yang memenuhi hubungan diatas adalah : Φ = A( y ) + 2θ ψ ( y ) + θ θ F ( y )
(2.2.5) Φ+ = A* ( y* ) + 2θ ψ ( y* ) + θ θ F * ( y* )
Medan A dan medan ψ diatas adalah multiplet chiral dengan spin-0 dan spin-1/2 masing–masingnya. Medan F disebut medan tambahan dan dapat dihilangkan dengan menggunakan persamaan geraknya (on-shell)
Lagrangian medan chiral paling umum yang invariant terhadap transformasi SUSY adalah : L = ∫ d 2θ d 2θ K (Φi , Φ+ k ) + [ ∫ d 2θ P(Φi ) + h.c]
dimana K (Φ, Φ) adalah potensial Kaehler1 dan P(Φ) adalah superpotensial. Dimana kita sudah menggunakan sifat indeks berulang.
∑a b = a b i
i
1
Lihat bab berikut
i
i
i
.
8
Dengan menjabarkan bentuk supermedan chiral nya maka bentuk Lagrangian on-shell nya adalah: L = − g ij ∂ m A i ∂ m A j − ig ij χ j σ m Dm χ i +
−
1 ∂P ∂P Di D j P χ i χ j − g ij i 2 ∂A ∂A j
1 1 Rijkl χ i χ k χ j χ l − Di D j Pχ i χ j 4 2 (2.2.6)
dimana : Dm χ i = ∂ m χ i + Γ i jk ∂ m A j χ k Di D j P = ∂ i ∂ j P − Γ k ij ∂ k P
Saat menjabarkan diatas ternyata kita menemukan bahwa medan scalar A i dapat dinyatakan sebagai koordinat dari manifold Kahler kita peroleh juga bahwa potensial skalar umum adalah:
V = g ij
∂P ∂P ∂A i ∂A j
(2.2.7)
2.3 Supergravitasi Supergravitasi terjadi jika parameter transformasi bergantung pada koordinat atau bersifat lokal.Lagrangian SUSY diatas tidak lagi invarian terhadap tansformasi lokal ini.kita harus memodifikasi dengan menambahkan medan baru yakni medan spin 2 graviton ea dan medan spin 3/2 gravitino ψm a dan konjugasinya. Selanjutnya untuk m
memformulasikan teori medan yang bersifat lokal maka pada setiap titik superspace didefinisikan basis E A = dz M E M
A
yang komponennya disebut veilbein. Indeks A
9
adalah indeks Lorentz yang menunjukan bahwa secara lokal kita dapat menemukan kerangka koordinat sehingga ruang menjadi datar/Minkowski.
Lagrangian supergravitasi chiral dapat ditulis sebagai berikut
Llokal =
(
ε μναβ 1 −R ~ ~ i μ j ψ μ σ α ∇νψ 1 β − ψ 1 μ σ α ∇νψ 1 β + g ∂ A ∂ A + ij μ 2 M −h −
ig ij 2
(χ σ i
μ
∇ μ χ j + χ jσ μ ∇ μ χ i
)
)
(2.3.1)
− g ij (ψ 1ν σ μ σ ν χ i ∂ μ A j + ψ 1ν σ μ σ ν χ j ∂ μ A i ) + Lψ
1
μ
(
σ μν ψ 1ν + L ψ 1 μ σ μν ψ 1ν + ig ij N j χ i σ μψ 1 μ + N i χ j σ μψ 1 μ
)
+ M ij χ i χ j + M i j χ i χ j − V + O( perkalian 4 fermion)
N i = 2 g ij D j L
dimana didefinisikan : L = e K / 2 M P( Z ) 2
L = e K / 2M P (Z ) , 2
serta potensial skalar untuk SUGRA N=1 adalah : V = exp( K / M 2 ){g ij ( Di P )( D j P ) −
3 PP } M2
(2.3.2)
dimana terdapat notasi turunan Di P = P, i + K , i P / 2M 2 P, i =
∂P ∂A i
Lalu dari uraian lagrangian SUGRA N=1 diatas juga didapat suku massa fermion sebagai berikut:
10
M ij = Di D j (e K / 2 M P) 2
(2.3.3)
M i j = Di D j (e K / 2 M P ) 2
Suku massa boson (matrix massa boson ) diperoleh dari matriks Hessian dari potensial skalar (2.3.2) . Graviton adalah partikel tak bermassa sedangkan dari Lagrangian diatas gravitino memiliki massa sebesar:
2
m3/ 2 = e K / 2 M P( Z )
(2.3.4)
2.4 Keadaan Vakum SUSY dan SUGRA N=1
Sebagai suatu teori yang menjelaskan fenomena fisika energi tinggi maka SUSY harus rusak secara spontan(spontaneous SUSY breaking(SSSB)) agar massa dari sebuah partikel berbeda dari superpartner-nya sesuai dengan hasil eksperimen. SSSB terjadi jika keadaan dasar (ground state) dari teori
0
tidak invariant
terhadap transformasi SUSY yakni minimal nilai ekspektasi vakum dari satu buah operator Q, Q tidak bernilai nol, akibatnya nilai ekspektasi energi maupun potensial tidak nol(>0). Untuk Chiral superfield kondisi untuk terjadiya SSSB adalah persamaan Fi = 0 tidak memiliki solusi. Sehingga dari persamaan (2.2.8) kita harus menentukan apakah persamaan berikut memiliki solusi: ∂P
∂Z i
= ∂P
∂Z i
=0
(2.4.1)
O’raifeartaigh(1975) membuat model potensial untuk chiral superfield yang dapat membuat SUSY rusak dan tetap ternormalisasi di dimensi 4 yaitu:
11
P = λX ( Z 2 − M 2 ) + gYZ Potensial diatas terdiri dari tiga jenis medan chiral X,Y,Z.
Pada SSSB akan muncul medan fermion (spin ½) tak bermassa yang akan membawa suku inhomogen saat transformasi SUSY yang disebut goldstino. Namun partikel goldstino tidak pernah teramati, sehingga untuk mengatasi problem ini harus terdapat efek super Higgs dengan menggunakan SUGRA. Sehingga partikel gravitino menjadi bermassa.
Pada SUGRA syarat keadaan vakum dari potensial (2.3.2) memiliki simetri yang invarian terhadap transformasi supersimetri adalah : Di P = 0
(2.4.2)
Dapat dilihat pula pada persamaan (2.3.2) jika simetri keadaan vakum SUGRA tidak rusak maka V<0 dan ini menyebabkan konstanta kosmologi alam ini akan bernilai negative (anti De Sitter) dan bertentangan dengan hasil observasi.
