BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1. Peramalan Peramalan adalah penggunaan data masa lalu dari sebuah variabel atau kumpulan variabel untuk mengestimasi nilainya di masa yang akan datang. Peramalan Merupakan bagian vital bagi setiap organisasi bisnis dan untuk setiap pengambilan keputusan manajemen yang sangat signifikan. Peramalan menjadi dasar bagi perencanaan jangka panjang perusahaan. Dalam
proses
pengambilan
keputusan
tersebut,
perusahaan
seringkali
dihadapkan pada situasi dimana mereka harus melakukan peramalan untuk dapat membuat keputusan yang paling tepat saat itu. Oleh karena itu dibutuhkanlah sebuah program aplikasi yang dapat melakukan peramalan khususnya tentang nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika. Metode
yang
akan
digunakan
dalam
peramalan
ini
adalah
metode
WAW(Wavelet-ARMAX-Winter). Metode ini adalah penggabungan dari metodemetode peramalan yang sudah beredar pada umumnya seperti metode ARMAX, metode regresi harmonik, metode Holt Winters dan metode transformasi wavelet. Ketiga metode ini akan dipakai secara simultan pada skala yang berbeda dalam fungsi waktu. Fungsi waktu tersebut mula-mula diubah dengan teknik non-decimated wavelet transformation (NDWT) ke dalam domain wavelet. Secara umum peramalan yang akan dilakukan membagi tugas peramalan tersebut menjadi tiga bagian yaitu:
8
a. Pada peramalan data frekuensi tinggi atau data yang dalam domain wavelet tidak mengandung variabel tren dan variabel musiman akan
ditangani oleh metode
ARMAX, b. Peramalan data yang mengandung variabel tren diserahkan kepada metode Holt Winters, c. Sedangkan peramalan data yang mengandung variabel musiman akan dilakukan oleh metode regresi harmonik. Sehingga urutan pengerjaan peramalan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika adalah sebagai berikut: a. Transformasi data historis yang akan dipakai ke dalam domain wavelet menggunakan metode NDWT. b. Lakukan peramalan nilai komponen tren menggunakan metode Holt Winters. c.
Lakukan peramalan nilai komponen musiman menggunakan metode regresi harmonik dengan periode musiman yang telah diestimasi.
d. Gunakan metode ARMAX untuk melakukan peramalan komponen data berfrekuensi tinggi pada domain wavelet. e. Gabungkan ketiga peramalan yang telah dilakukan untuk mendapatkan peralaman yang diinginkan. Langkah terakhir ini dapat dilakukan dengan invers transformasi wavelet.
9
2.2.
Metode WAW
2.2.1. Model ARMAX Menurut Chen et al. (2004, pp4) model Auto-Regressive Moving Average atau ARMA adalah salah satu proses pemodelan dari data historis yang statis dan tidak mengandung variabel tren maupun variabel musiman. Data historis yang statis atau disebut juga data stasioner adalah data yang memiliki rata-rata dan bergerak dengan kecenderungan menuju ke rata-rata tersebut. Sedangkan data yang tidak stasioner akan memiliki varians yang terus membesar. Contoh dari data historis yang statis atau stasioner ditunjukkan pada Gambar 2.1 dan 2.2.
Gambar 2.1 Data historis yang stasioner atau statis
10
Gambar 2.2 Data historis yang tidak stasioner
Model ini sebenarnya merupakan gabungan dari banyak unsur dalam teori dan banyak dipakai untuk tujuan peramalan. Model yang dikembangkan oleh Wold pada tahun 1951 ini menggabungkan dua pola serial waktu yaitu model autoregressive atau AR yang dikembangkan oleh Yule pada tahun 1926 dan model moving average atau MA yang dikembangkan oleh Slutzky pada tahun 1937. Model ini biasa direpresentasikan dengan ARMA(p,q) dengan p adalah order dari bagian AR dan q adalah order dari bagian MA. Masing-masing bagian akan dijelaskan sebagai berikut. Model ini memiliki beberapa keunggulan jika dibandingkan dengan model lain, seperti:
11
a. Model ARMA disusun secara logis dan secara statistik memiliki tingkat keakuratan yang tinggi, b. Model ini memasukan banyak informasi dari data historis yang digunakan, c. Model ini menaikan tingkat akurasi peramalan dan pada waktu yang sama menjaga jumlah parameter seminimal mungkin. Metode
ini
menggunakan
pendekatan
iteratif
yang
mengidentifikasi
kemungkinan model yang bermanfaat. Model terpilih, kemudian, dicek kembali dengan data historis apakah telah mendeskripsikan data tersebut dengan tepat. Model “terbaik” akan diperoleh apabila residual antara model peramalan dan data historis memiliki nilai yang kecil, distribusinya random, dan independen.
2.2.2. Autoregressive (AR) Model AR dapat ditulis:
Dimana c adalah konstanta,
adalah parameter model AR, dan
white noise(error). Dengan menganggap error atau
adalah
adalah termasuk konstanta, maka
persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:
Model ini menggunakan data historis sebagai pembentuk pemodelan yang akan dibuat. Oleh karena itulah model ini dinamakan model autoregressive.
12
2.2.3. Moving Average (MA) Model MA dapat ditulis:
Dimana
merupakan parameter model MA, dan
,
merupakan
error yang dihasilkan.
2.2.4. Autoregressive-Moving Average (ARMA) Dan kombinasi dari AR(p) dan MA(q) dari model di atas akan menjadi ARMA(p,q) sebagai berikut:
Dengan mengambil nilai awal
Lalu pindahkan
=1, maka persamaan di atas dapat ditulis:
kesisi kiri persamaan dan mengambil nilai
maka persamaan di atas akan menjadi:
=1,
13
2.2.5. Autoregressive-Moving Average dengan input X (ARMAX) Model ARMAX adalah generalisasi dari model ARMA. Model ARMAX merupakan model ARMA yang dapat menerima variabel input eksternal X kedalam persamaan. Sehingga metode ini tidak sepenuhnya bergantung pada data historis. Metode ini lebih cocok dipakai pada fungsi waktu yang bersifat homogen dan tidak memiliki persamaan tren dan musim. Oleh karena itu, dibutuhkan metode lain yang dapat menangani variabel musiman dan variabel tren yang muncul yang akan dibahas lebih lanjut pada bagian lain tulisan ini. Dari persamaan yang sudah dihasilkan di atas, akan ditambahkan sebuah variabel lagi untuk menangani input eksternal yaitu variabel
. Maka persamaannya menjadi:
Persamaan diatas dapat disingkat menjadi:
Dimana
adalah variabel input,
adalah variabel output, dan
white noise. Dengan mengambil nilai parameter masing-masing adalah:
adalah
=1, maka parameter A, B, dan C
14
Dan , , dan
masing-masing adalah parameter yang sesuai dengan pemodelan
yang akan dibuat. Pada umumnya nilai p, q, dan r akan selalu sama, sehingga matriks parameter akan mempunyai besar 3xn(dengan n banyaknya data historis yang digunakan. Yaitu:
2.2.6. Regresi Harmonik Regresi harmonik (regresi trigonometri, regresi cosinor) adalah sebuah model regresi linier yang menggunakan variabel trigonometri, yang biasanya merupakan variabel deret waktu, dalam persamaan yang digunakan. Regresi harmonik digunakan untuk menangani kejadian berulang yang biasanya terjadi pada data historis yang digunakan. Menurut Young et al. (1999, pp1-3) regresi harmonik merupakan model komponen yang belum terobservasi(unobserved components model). Dalam makalah tersebut regresi harmonik berbentuk: yt = Tt + Ct + St + f(ut)+ Nt + et Dimana yt adalah data historis yang diobservasi; Tt adalah tren atau komponen berfrekuensi rendah; Ct adalah komponen periode atau semiperiode yang periodenya berbeda dengan yang terdapat pada unsur musiman pada data historis yang diobservasi;
15
St adalah komponen musiman; f(ut) menangkap pengaruh dari vektor variabel luar, jika diperlukan ditambahkan hubungan stokastik, linear statis atau linear dinamis; Nt adalah model gangguan stokastik (noise dengan model ARMA); et adalah komponen ‘irregular’, dimana untuk keperluan perhitungan biasanya didefinisikan berdistribusi gaussian dengan nilai rata-rata nol dan varians σ = 2. Dalam proyek peramalan ini regresi harmonik digunakan untuk memprediksi nilai kelanjutan dari komponen musiman saja. Oleh karena itu dalam persamaan diatas, yang dipakai dalah unsur St nya saja. Model St yang lebih sederhana berbentuk:
Dimana p adalah periode musiman data historis yang digunakan, frekuensinya, dan
adalah
= 3,1415…..
Sedangkan model yang lebih umum berupa:
Sedangkan jika nilai dari masing-masing parameter variabel t, maka persamaan diatas akan menjadi:
Karena yt ≈ St, maka:
tergantung pada
16
Model regresi harmonik sebenarnya mirip dengan model polinomial, tetapi menggunakan fungsi trigonometri dari t untuk menggantikan fungsi pangkat dari t. Model ini bersifat orthogonal antara satu bagian dengan bagian lainnya.
2.2.7. Metode Holt Winters Menurut Prajakta (2004, pp3-8) metode Holt Winter adalah sebuah metode peramalan yang dapat menerima inputan dari data historis yang mengandung variasi unsur tren dan unsur musiman. Tetapi pada proyek peramalan ini metode Holt Winters akan digunakan untuk meramalkan unsur tren dari data historis yang digunakan. Metode ini tidak mengasumsi adanya struktur stokastik pada data historis dan hanya meramalkan berdasarkan pada persamaan dasar. Metode Holt Winters ini sebenarnya merupakan pengembangan dari metode exponential smoothing yang sudah lama digunakan untuk keperluan peramalan.
2.2.8. Exponential Smoothing Exponential smoothing adalah suatu prosedur yang secara kontinu merevisi peramalan sesuai dengan pengalaman atau experimen yang telah dilakukan. Exponential smoothing menghasilkan bobot yang menurun secara eksponensial seiring dengan observasi yang semakin lama telah dilakukan. Dengan kata lain exponential smoothing akan memberikan bobot yang lebih tinggi kepada observasi yang baru dari pada observasi yang lama.
17
2.2.9. Single Exponential Smoothing Menurut Kalekar (2004, pp3), single exponential smoothing juga bisa disebut sebagai exponential smoothing sederhana. Metode ini digunakan untuk peramalan jangka pendek, biasanya hanya berjangka waktu satu bulan ke depan. Model ini mengasumsi bahwa data yang digunakan tidak mengandung tren ataupun pola berkembang (biasa disebut data stasioner). Rumusan umumnya dapat dilihat sebagai berikut:
2.2.10. Double Exponential Smoothing Metode ini digunakan apabila data yang digunakan memperlihatkan unsur tren. Exponential smoothing dengan tren bekerja seperti single exponential smoothing, hanya saja akan ada dua komponen yang harus di revisi setiap periode yaitu komponen utama dan komponen tren. Rumusan umumnya berbentuk sebagai berikut:
Ada beberapa metode dalam menentukan nilai awal untuk umum di set sama dengan digunakan: =
. Sedangkan untuk
dan
.
secara
, ada tiga metode yang dapat
18
= =
2.2.11. Triple Exponential Smoothing Pada tahap inilah exponential smoothing disebut sebagai metode Holt Winter. Metode ini tidak hanya dapat memasukan unsur tren, tetapi juga dapat memasukan unsur musiman pada data historis. Sehingga akan memperluas jangkauan data dapat digunakan. Oleh karena itu metode ini memasukan parameter ketiga atau parameter musiman. Sebenarnya ada dua tipe persamaan Holt Winters yang akan digunakan yang terletak pada persamaan musiman. Yang pertama adalah model musiman perkalian dan yang kedua adalah model musiman pertambahan. Sedangkan dalam pembuatan program peramalan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika, lebih tepat digunakan model musiman pertambahan. Hal ini dikarenakan nilai musiman yang terjadi bersifat penambahan. Fungsi peramalan yang menyertakan kedua variabel tren dan musiman dalam perhitungan berbentuk:
Dimana an adalah komponen level permanen, bn adalah komponen tren linear, Sn+t faktor musiman penambahan, dan Nilai
adalah komponen error.
sebagai komponen level permanen didefinisikan sebagai berikut:
19
Dimana
α = konstanta pertama yt = persamaan awal dari data historis St-d = persamaan musiman 1 musim sebelumnya
Sedangkan
sebagai persamaan tren, didefinisikan sebagai berikut:
Dimana
β = konstanta kedua
Dan
sebagai persamaan musiman, didefinisikan sebagai berikut:
Dimana
γ = konstanta kedua
Untuk keadaan mula-mula nilai
,
, dan
didefinisikan sebagai berikut:
2.2.12. Transformasi Wavelet Wavelet adalah sebuah pemodelan data dengan bentuk waktu dan frekuensi. Hal ini sebenarnya memiliki ide yang sama dengan bentuk pemodelan fourier atau yang kita kenal dengan fourier transform. Namun, pada analisis wavelet, ide pokoknya adalah untuk menganalisa berdasarkan skala yang memainkan peran yang cukup penting dalam sebuah analisis data. Analisis wavelet memproses data skala atau resolusi yang berbeda. Maka hasil dari sebuah analisis wavelet adalah untuk melihat baik dalam skala besar maupun skala kecil.
20
Transformasi wavelet menyelesaikan persoalan yang sering muncul tentang perbedaan resolusi pada beberapa kasus. Gambar 2.3 biasanya digunakan untuk menjelaskan bagaimana resolusi waktu dan frekuensi diinterpretasikan. Setiap kotak pada Gambar 2.3 adalah nilai dari transformasi wavelet pada domain wavelet. Luas dari semua kotak pada gambar tersebut adalah sama sesuai dengan teorema Heisenberg, tetapi panjang dan lebarnya dapat berbeda merepresentasikan proporsi waktu dan frekuensi. Semakin rendah frekuensinya, semakin panjang kotak yang dihasilkan; dan memiliki resolusi frekuensi yang lebih baik, tetapi resolusi waktu yang kurang baik, dan sebaliknya.
Gambar 2.3 Domain frekuensi-waktu dari transformasi wavelet
Perbedaan yang mendasar antara transformasi wavelet dan transformasi fourier adalah dalam hal fungsi basis yang digunakan dalam transformasi. Fungsi wavelet terlokalisasi dalam ruang yang artinya mampu untuk menggambarkan setiap detail dari pergerakan data yang ada. Sementara fungsi fourier yang berbentuk fungsi sinus dan
21
cosinus tidak dapat melakukan hal ini. Lokalisasi ini membuat wavelet sangat cocok untuk menangani bagian data yang diskontinu. Transformasi wavelet tidak memiliki himpunan fungsi basis tertentu, tidak seperti transformasi fourier yang memiliki fungsi basis berbentuk sinus dan kosinus. Oleh karena itu, transformasi wavelet, yang memiliki kemungkinan tak terhingga untuk fungsi basis yang dapat digunakan, dapat memberikan informasi yang tidak jelas kepada metode waktu-frekuensi lainnya seperti analisis fourier. Perbedaan resolusi waktu-frekuensi antara transformasi wavelet dan transformasi fourier dapat diilustrasikan oleh Gambar 2.4 yang menunjukan fungsi basis dalam domain waktu-frekuensi dari transformasi wavelet dan transformasi fourier.
Gambar 2.4 Perbedaan fungsi basis transformasi wavelet dan transformasi fourier
Grafik di sebelah kiri menunjukan contoh transformasi fourier yang memiliki ukuran kotak yang sama untuk setiap tempat pada domain waktu-frekuensi. Sedangkan grafik disebelah kanan adalah contoh transformasi wavelet. Kotak dengan waktu yang
22
lebih pendek cocok untuk menggambarkan keadaan diskontinu, sementara kotak dengan waktu lebih panjang cocok untuk menggambarkan analisis frekuensi secara lebih detail. Diantara berbagai metode transformasi wavelet yang ada, metode non-decimated wavelet transform (NDWT) adalah metode yang cocok untuk memodelkan data historis yang akan digunakan dalam peramalan. Metode NDWT termasuk ke dalam keluarga transformasi wavelet diskrit yang menggunakan data diskrit sebagai data masukan.
2.2.13. Non-decimated wavelet transform Ada dua jenis transformasi wavelet yaitu transformasi wavelet kontinu dan diskrit. Menurut chen et al (2004, pp81-93), transformasi wavelet diskrit (TWD) adalah transformasi wavelet yang sangat efisien dalam aspek penghitungan. Salah satu properti intrinsik dari TWD adalah pengurangan koefisien wavelet, yang menghilangkan semua koefisien lain pada level frekuensi yang sama. Transformasi bisa dilakukan dengan koefisien yang tersisa, dan invers transformasi bisa didapatkan dengan sempurna. Tetapi hal tersebut berakibat pada pergeseran nilai varians dari transformasi tersebut. Pergeseran varians artinya bahwa TWD dari data histori tidak sama dengan hasil pergeserannya. Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 2.5. Data histori terdapat pada grafik kiri atas dan hasil pergeserannya terdapat pada grafik kanan atas. Sedangkan TWD dari masing-masing grafik terdapat dibawahnya. Sudah jelas bahwa koefisien TWD terlalu berbeda bila didapatkan dengan menggeser data historis. Non-decimated wavelet transform (NDWT), sesuai dengan namanya tidak mengurangi jumlah koefisien wavelet yang digunakan. Metode ini dapat memberikan informasi yang cukup banyak untuk dianalisis secara lebih akurat dan komprehensif
23
dengan jumlah koefisien wavelet yang tidak berkurang seiring dengan proses transformasi. Oleh karena adanya jumlah koefisien yang cukup banyak, NDWT membutuhkan tempat penyimpanan yang cukup besar dan jumlah perhitungan yang cukup banyak.
Gambar 2.5 Perbedaan hasil TWD dari data asli dengan data yang sudah digeser
Domain wavelet membagi data historis menjadi dua bagian yaitu bagian frekuensi tinggi (yang merupakan hasil dari filter tinggi (g)) dan bagian frekuensi rendah (yang merupakan hasil dari filter rendah (h)). Bagian berfrekuensi tinggi merupakan koefisien detail dari data historis. Sedangkan bagian berfrekuensi rendah merupakan bagian smooth dari data historis. Filter h dan g masing-masing didefinisikan sebagai fungsi rekursif h[r] dan g[r] sebagai berikut:
24
Dimana
merupakan faktor dilatasi. Operator gabungan dari
masing-masing adalah
dan
dan
. Metode NDWT adalah pengaplikasian secara
sekuensial dari operator gabungan tersebut kepada data historis yang akan digunakan. Jika c(J) merupakan data historis, dan
Transformasi dari untuk
maka:
adalah sebuah vektor
. Subvektor
data berfrekuensi tinggi, sedangkan
merupakan detail level dari merupakan bagian smooth dari data historis
(data berfrekuensi rendah). Jika banyaknya vektor input dan
adalah
, maka untuk setiap nilai
memiliki banyak yang sama. Jika data historis
fungsi
maka koordinat ke-k dari
Maka koefisien
,
diasosiasikan dengan adalah:
dapat memberikan informasi pada skala
dan lokasi k.
Algoritma dekomposisi ini dapat dilihat pada Gambar 2.6. Sedangkan algoritma rekonstruksinya dapat dilihat pada Gambar 2.7.
25
Gambar 2.6 Algoritma dekomposisi data ke dalam domain wavelet
Gambar 2.7 Algoritma rekonstruksi domain wavelet kembali seperti semula
2.2.14. Metode WAW Transformasi wavelet, sesuai dengan karakteristiknya yaitu penyaringan yang sensitif terhadap skala, dapat mengubah data historis menjadi beberapa skala tertentu. Hal ini dapat dimanfaatkan untuk memisahkan beberapa level skala dan untuk mendeskripsikan level skala tersebut pada beberapa resolusi dalam domain wavelet. Ini berarti wavelet dapat melihat dengan lebih detail pada skala waktu tertentu, yaitu dengan
26
memisahkan komponen tren dan komponen musiman dari data historis yang digunakan tersebut. Komponen tren “terletak” pada koefisien skala dan level detail yang kasar(dengan frekuensi yang lebih rendah) seperti yang berlawanan yaitu komponen berfrekuensi tinggi yang memerlukan detai waktu yang halus untuk dapat mendeskripsikannya. Sedangkan komponen musiman terletak pada level menengah. Dengan memisahkan level detail yang kasar, menengah dan halus ini, barisan data dapat dipisahkan dari unsur tren dan unsur musiman yang mungkin ada pada data tersebut. Data berfrekuensi tinggi ini tentu saja sudah bersifat tetap. Oleh karena itu bagian ARMA dari model ARMAX dapat mendeskripsikan komponen berfrekuensi tinggi ini dan pada saat yang sama, input dari ARMAX dapat menerima inputan dari luar yang berguna bagi peramalan yang akan dilakukan. Komponen utama dari data historis berada pada bagian data berfrekuensi tinggi, komponen tren akan berada di bagian smooth (data berfrekuensi rendah), sedangkan komponen musiman akan berada dibagian tengah di antara komponen utama dan komponen tren. Semua peramalan yang dilakukan, didasarkan pada domain wavelet yang sudah dibentuk. Peramalan dari tren, musiman dan data berfrekuensi tinggi, akan digabungkan menggunakan invers transformasi wavelet untuk mendapatkan peramalan akhir. Semua proses peramalan ini dapat diringkas sebagai berikut: 1. Transformasi data historis yang akan dipakai sebagai input pada program menggunakan metode NDWT untuk memisahkan komponen tren dan komponen
27
musiman yang mungkin ada pada data historis tersebut. Pemisahan ini dapat dilihat pada domain wavelet. 2. Lakukan peramalan nilai komponen tren menggunakan metode Holt Winters. Prediksi ini dilakukan pada bagian smooth dari dekomposisi wavelet yang didapatkan. 3. Lakukan peramalan nilai komponen musiman menggunakan metode regresi harmonik dengan periode musiman yang telah diestimasi. 4. Gunakan metode ARMAX untuk melakukan peramalan komponen data berfrekuensi tinggi pada domain wavelet. 5. Gabungkan ketiga peramalan yang telah dilakukan untuk mendapatkan peralaman yang diinginkan. Langkah terakhir ini dapat dilakukan dengan invers transformasi wavelet.
