1
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas
diskrit
jumlah
keberhasilan
dalam
n
percobaan
ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial. Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar, maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah, karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi, bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.
Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p) untuk x = 1, 2, 3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat
Universitas Sumatera Utara
2
besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ. Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p. 1.3 Pembatasan Masalah
Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.
1.4 Tujuan
Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan Poisson dengan menggunakan parameter distribusinya masing-masing.
Universitas Sumatera Utara
3
1.5 Tinjauan Pustaka
Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan tentang metode analisis yang penulis gunakan.
James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20 tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q (gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial yang dirumuskan sebagai berikut: f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =�𝑛𝑛𝑥𝑥 �pxqn-x=
Dengan:
p = probabilitas sukses
n!
x! (n − 𝑥𝑥)!
pxqn-x
q = 1- p n = jumlah total percobaan x = jumlah sukses dari n kali percobaan
Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas nilainilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut: (q + p)n = qn + �n1 �qn-1 p + �2n �qn-2 p2 +...+ pn
Di mana 1, �𝑛𝑛1 �, �𝑛𝑛2 �, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai berikut:
Mean Varians
μ = np
σ2 = n pq
Deviasi standarσ = �n p q
Universitas Sumatera Utara
4
Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.
Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali, x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak : P( x = i ) = � ni �piqn-i Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa
distribusiBinomial
sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n
Universitas Sumatera Utara
5
percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial. Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar. f (x)= 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) =
Dengan:
𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝜆𝜆
e = 2,71828...
𝑥𝑥!
x= 0, 1, 2, ...
Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut Mean Varians Deviasi standar
𝜇𝜇 = λ
𝜎𝜎2 = λ
𝜎𝜎 = √𝜆𝜆
1.6 Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan: 1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p. 2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih lagi. 3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan distribusi probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
6
1.7 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p 2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p 3. Menarik kesimpulan dari hasil kajian.
Universitas Sumatera Utara
