BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa tahun terakhir, para pakar matematika telah banyak mencoba melakukan pendekatan untuk memecahkan permasalahan Program Linier Pecahan (PLP). Dalam tulisan ini akan menjelaskan Program Linier Pecahan merupakan salah satu kasus khusus dari pemrograman non linier, yang umumnya digunakan untuk masalah-masalah kehidupan nyata dengan pemodelan satu atau lebih tujuan seperti keuntungan /biaya, aktual pendapatan / standarisasi, input / karyawan, dan lain-lain. Dan itu diterapkan untuk berbagai disiplin ilmu seperti sebagai teknik, bisnis, keuangan, ekonomi, dan lain-lain. Pemrograman
Linier
Pecahan
(PLP)
adalah
kelas
khusus
dari
pemrograman non linier yang dapat ditransformasikan menjadi masalah pemrograman linier dengan metode Charnes dan Cooper. (Stancu-Minansian, 1997) Program Linear
adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Misalnya pengalokasian fasilitas produksi, sumber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi dan lain-lain. (Buβulolo, 2005)
Universitas Sumatera Utara
Program Linier memiliki beberapa sifat yaitu proporsionalitas, addivitas, divisibilitas dan kepastian. Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. Pada beberapa masalah aplikasi pemrograman linier (PL), koefisien pada model seringkali tidak bisa ditentukan secara tepat. Salah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL ini adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL ini dinamakan Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC). Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana parameter konstanta bisa diterima dan memenuhi model LPIC. Pada tulisan ini akan dibahas salah satu metode dalam menyelesaikan LPIC yang telah dikembangkan oleh JW Chinneck dan K Ramadan (2000). Masalah LPIC memiliki fungsi objektif dan kendala persamaan atau pertidaksamaan yang berkoefisien interval. Solusi optimum dibagi menjadi dua, yaitu best optimum dan worst optimum. Dalam kasus minimisasi, best optimum adalah solusi yang memiliki nilai fungsi objektif terkecil, sedangkan worst optimum adalah solusi yang memiliki nilai fungsi objektif terbesar. Solusi optimum pada LPIC didapatkan dengan mencari versi khusus dari fungsi objektif dan kendala yang mengoptimumkan model, yaitu dipilih suatu nilai spesifik (nilai ekstrim) pada koefisien interval yang membuat model LPIC tersebut optimum, sehingga pemecahan masalah LPIC diperoleh dengan menyelesaikan PL yang mengoptimumkan model LPIC. (Farida, 2011) Berdasarkan uraian ini, peneliti tertarik untuk memilih judul penelitian βOptimasi Program Linier Pecahan Dengan Fungsi Tujuan Berkoefisien Intervalβ.
Universitas Sumatera Utara
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah : Maksimumkan
[π 1 ,π 1 ]π₯ 1 +[π 2 ,π 2 ]π₯ 2 +β―+[π π ,π π ]π₯ π +[π π +1 ,π π +1 ]
Z = [π
Kendala
1 ,π 1 ]π₯ 1 +[π 2 ,π 2 ]π₯ 2 +β―+[π π ,π π ]π₯ π +[π π +1 ,π π +1, ]
π΄π₯ β€ π x
j
ο³ 0
( j = 1,2,β¦,m)
1. Menentukan Optimasi Program Linier Pecahan dengan koefisen fungsi tujuan memiliki interval (interval). 2. Mentransformasikan permasalahan menjadi bentuk linier.
1.3 Batasan Masalah
Batasan dalam penelitian ini adalah : 1. Mentransformasikan Optimasi Program Linier Pecahan. 2. Koefisien pada program linier pecahan berbentuk interval.
1.4 Tinjauan Pustaka
Sebagai
sumber
pendukung
teori dalam penulisan ini,
maka penulis
mengggunakan beberapa pustaka antara lain : Program Linier merupakan suatu teknik perencanaan yang menggunakan model matematika dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif dari pemecahan masalah yang kemudian dipilih mana yang terbaik untuk menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan tentang alokasi sumber daya yang ada agar mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan secara optimal dengan melibatkan variabel-variabel linear. Dalam model program linear dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi objektif (objective function) dan fungsi kendala (constraint function) yang linear.
Universitas Sumatera Utara
Winston, W.L, 2003. Operations Research: Applications and Algorithms, menyatakan bahwa bentuk umum model program linier adalah sebagai berikut:
Z ο½ c 1 x 1 ο« c 2 x 2 ο« ... ο« c j x
Maksimumkan
j
(minimumkan) Kendala
a 11 x 1 ο« a 12 x 2 ο« ... ο« a 1 j x
a 21 x 1 ο« a 22 x 2 ο« ... ο« a 2 j x
ο
ο
j
ο³ 0,
untuk
j
ο£ b2
ο
a i 1 x 1 ο« a i 2 x 2 ο« ... ο« a ij x
x
ο£ b1
j
j
ο£ bi
j ο½ 1, 2 ,..., n
dan i = 1,2,β¦,m
Dimana: x
j
= Variabel keputusan ke-j.
c
j
= Koefisien fungsi objektif (KFO) dari variabel keputusan ke-j.
a ij
= Koefisien teknologi dari variabel keputusan ke-j pada kendala ke-i.
bi
= Koefisien ruas kanan pada kendala ke-i
Program Linier Pecahan (PLP) secara luas dikembangkan oleh seorang matematisi Hungaria B.Martos dan asosiasinya di tahun 1960an dengan memusatkan pada masalah optimisasi. Beberapa metode penyelesaian masalah ini Charnes dan Cooper (1962) telah menyarankan metode mereka dengan bergantung pada transformasi ini (PLP) kepada ekivalen program linier. Bentuk umum dari masalah PLP dapat dibuat sbb :
Universitas Sumatera Utara
π π π₯+πΌ
Maksimumkan
Z = π π π₯+π½
Kendala
π΄π₯ β€ π x ο³ 0
dimana π₯ β π
π , x merupakan vektor dari variabel keputusan, π, π β π
π dan b adalah koefisien vektor yang diketahui, π΄ β π
ππ₯π adalah matriks yang diketahui dan πΌ, π½ β π
π adalah konstanta. Kendala permasalahan dibatasi wilayah feasible π₯|π π π₯ + π½ > 0 , yaitu wilayah yang penyebut adalah positif atau penyebut dari fungsi tujuan harus negatif di daerah feasible secara keseluruhan. (Charnes & Cooper ,1962) Pada beberapa masalah aplikasi pemrograman linier (PL), koefisien pada model seringkali tidak bisa ditentukan secara tepat. Salah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL ini adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL ini dinamakan Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC). Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana parameter konstanta bisa diterima dan memenuhi model LPIC.
1.5 Tujuan Penelitian
Secara umum, tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji masalah optimasi Program Linier Pecahan (PLP) dengan fungsi tujuan berkoefisien interval.
1.6 Kontribusi Penelitian
Hasil kajian ini diharapkan dapat menambah referensi bagi pembaca dan pengambil keputusan dalam menyelesaikan optimasi Program Linier Pecahan (PLP) dengan fungsi tujuan berkoefisien interval.
Universitas Sumatera Utara
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah-1: Melakukan studi keperpustakaan dengan mengumpulkan bahan yang merujuk pada tulisan ini. Langkah-2: Menjelaskan prosedur untuk mereduksi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval. Langkah-3: Menyelesaikan contoh numerik permasalahan dalam program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval.
Universitas Sumatera Utara
