12 BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Statistika inferensi merupakan salah satu cabang statistika yang berguna untuk menaksir parameter. Penaksiran dapat diartikan sebagai dugaan atau perkiraan atas sesuatu yang akan terjadi dalam kondisi tidak pasti, sedangkan parameter adalah nilai, ciri dari populasi. Dengan demikian penaksiran parameter merupakan suatu metode yang digunakan untuk memprediksi karakteristik suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil.
Penaksiran parameter ada dua macam, yakni penaksiran titik (point estimation) dan penaksiran interval (interval estimation). Penaksiran titik diartikan sebagai penaksiran dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh sebuah bilangan tunggal. Sedangkan penaksiran interval adalah penaksiran dari parameter populasi yang dinyatakan oleh dua bilangan diantara posisi parameternya. Penaksiran interval mengindikasikan tingkat kepresisian, atau akurasi dari sebuah penaksiran sehingga penaksiran interval akan dianggap semakin baik jika mendekati estimasi titik (Murrary & Larry, 1999).
Salah satu penentuan penaksir titik adalah metode maksimum likelihood. Maksimum likelihood mendasarkan inferensinya pada sampel, dan juga metode ini salah satu cara untuk menaksir parameter distribusi normal. Ide dasar metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator dan kegunaannya untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampelnya. Metode maksimum likelihood, teknik estimasi parameternya lebih mudah, sehingga orang banyak menggunakan teknik ini. Akan tetapi teknik ini hanya dapat digunakan bilamana distribusi populasi diketahui. Selain itu, metode maksimum likelihood sangat sensitive terhadap data ekstrim. Data ekstrim ini sangat berpengaruh terhadap nilai rata-rata ataupun variansi.
13 Selain metode maksimum likelihood terdapat metode bayes. Metode bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior). Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang peroleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi. Pada metode Bayes, karena nilai parameternya berasal dari suatu distribusi, maka kesulitan pertama yang dijumpai adalah bagaimana bentuk distribusi parameter tersebut. Walaupun untuk menentukan distribusi prior dari parameter adalah sulit, tetapi kelebihan estimasi parameter dengan metode bayes mudah untuk dipahami hanya memerlukan pengkodean yang sederhana, lebih cepat dalam penghitungan dan tampaknya lebih menjanjikan karena ada informasi tambahan untuk menyimpulkan karakteristik populasi.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang diajukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana mencari estimator
parameter
µ dan σ 2 dari distribusi normal
menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood. 2. Bagaimana perbandingan hasil estimator antara metode Bayes dan
metode
Maksimum Likelihood.
1.3
Tinjauan Pustaka
1. Metode Bayes (Hogg&Tans, 1997) Misalkan suatu kasus kontinu dari fungsi padat Y, dikatakan g ( y : θ ) , dapat diperoleh dari syarat fungsi kepadatan dari Y atas θ dan dapat
ditulis g ( y : θ ) =g(y θ ), sehingga g(y θ )h( θ )=k(y, θ ) sebagai gabungan fungsi padat dari statistik Y dan parameter. Fungsi padat marginalnya adalah: ∞
k1 ( y ) =
∫ h(θ ) g(y θ )d θ
−∞
(1.1)
14 Sehinggga k ( y, θ ) g ( y θ )h(θ ) = = k (θ y ) k1 ( y ) k1 ( y )
(1.2)
Keterangan:
k (θ y )
= distribusi posterior
k1 ( y )
= distribusi marginal
k ( y, θ )
= distribusi bersyarat
(Ronald & Raymond, 1995) Distribusi gabungan sampel x1 , x 2 , ..., x n dan parameter θ adalah: f( x1 , x 2 , ..., x n : θ )= f( x1 , x 2 , ..., x n : θ )f( θ ).
Sehingga distribusi marginalnya
sebagai berikut :
∑ f ( x1 , x 2 ,...x n ;θ ) θ g(x1, x2, …, xn)= ∞ ∫ f ( x1 , x 2 ,...x n ;θ )dθ −∞
( bila diskrit ) (1.3)
( bila kontinu )
jadi distribusi posteriornya dapat ditulis sebagai berikut: f (θ | x 1 , x 2 ,...x n ) =
f(x1 , x 2 ,…, x n , θ) g(x1 , x 2 ,… , x n )
(1.4)
Keterangan: f( θ )
= distribusi awal (prior)
f (θ | x 1 , x 2 ,...x n ) = distribusi pasca (posterior) f( x1 , x 2 , ..., x n : θ )= distribusi gabungan sampel g(x1, x2, …, xn)
= distribusi marginal
2. Maksimum Likelihood
(Ronald & Raymond, 1995) Bila diketahui pengamatan bebas x1 , x 2 , ..., x n dari fungsi padat peluang (kasus kontinu) atau fungsi massa peluang (kasus diskrit) f ( x, θ ) , maka penaksir kemungkinan maksimum θ * adalah memaksimumkan
fungsi kemungkinan
15 L( θ ) = f ( x1 ,θ ), f ( x 2 ,θ ),... f ( x n ,θ ) n
=
∏ f ( x ,θ ) i
i =1
=L( θ x1 , x 2 , ..., x n )
(1.5)
Taksiran maksimum likelihood untuk θ adalah nilai θ yang memaksimumkan L. Nilai θ
yang memaksimumkan L adalah sama dengan nilai θ
yang
memaksimumkan ln L .
(Hogg&Tans, 1997) Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ . Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood L( θ ) diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang
memaksimumkan fungsi likelihood
L( θ ) . maka persamaan maksimum
likelihoodnya adalah. ∂ L(θ ) = 0 ∂ (θ )
(1.6)
dengan ketentuan jika ln L( θ ) maksimum maka L( θ ) juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah ∂ ln L(θ ) = 0 ∂ (θ )
1.4
(1.7)
Tujuan Penelitian 1. Untuk menguraikan dan menentukan estimator parameter µ dan σ 2 dari distribusi normal dengan metode bayes dan maksimum lakelihood 2. Membandingkan hasil estimator antara metode Bayes dengan metode Maksimum Likelihood terhadap nilai parameter populasi.
1.5
Kontribusi Penelitian
1. Mengetahui cara mengestimasi menggunakan bayes dan maksimum likelihood
16 2. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema bayes
dan
maksimum
likelihood
serta
memperlihatkan
prosedur
penggunaan metode bayes dan maksimum likelihood dalam mengestimasi parameter µ dan σ 2 dari distribusi normal 3. Meningkatkan pemahaman yang baik bagi penulis dalam membangun teori keputusan dan statistik inferensi dan mengetahui secara mendetail fungsi keputusan bayes dan maksimum likelihood untuk penaksiran parameter. 4. Menerapkan metode bayes dan maksimum likelihood dalam penunjang ilmu matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat meningkatkan penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik . 5. Sebagai bahan acuan untuk mempelajari permasalahan estimasi guna memudahkan dalam pengambilan keputusan.
1.6
Metode Penelitian
1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai metode bayes dan maksimum likelihood 2. Memaparkan dan menjelaskan pengertian dasar metode bayes dan maksimum likelihood 3. Mencari estimator parameter
µ
dan
σ 2 dari distribusi normal
menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood 4. Mengestimasi parameter µ dan σ 2 dari distribusi normal pada contoh kasus 5. Menentukan batas toleransi dari hasil estimasi µ dan σ 2 6. Mengambil kesimpulan dan saran dari kedua estimator µ dan σ 2
