Bab 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti teori kontrol dan manajemen sains, pemodelan matematika dan berbagai aplikasi dalam bidang perindustrian. Karena dalam praktek kenyataan asumsi kepastian tentang nilainilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan program linear sering sulit dipenuhi, maka sering terjadi kekurangakuratan dalam masalah
pengambilan
keputusan.
Untuk
memecahkan
dan
mengakomodasi
ketidakpastian tersebut, akan didekati dengan teori himpunan fuzzy. Fuzzy Linear Programming memiliki peranan penting dalam pemodelan fuzzy yang dapat merumuskan ketidakpastian ke dalam lingkungan nyata.
Banyak jenis permasalahan Fuzzy Linear Programming yang pernah dikemukakan oleh para ahli dan juga telah diusulkan beberapa pendekatan untuk memecahkan masalah ini. Secara khusus, metode yang paling sesuai adalah didasarkan pada konsep perbandingan bilangan fuzzy dengan menggunakan ranking function. Biasanya dalam metode tersebut, didefinisikan sebuah crisp model yang disetarakan dengan masalah Fuzzy Linear Programming dan kemudian menggunakan solusi yang optimal dari model tersebut sebagai solusi yang optimal dari Fuzzy Linear Programming. Selain itu, dengan menggunakan ranking function linear umum, diperkenalkan algoritma dual simplex untuk menyelesaikan masalah pemograman linear dengan variabel fuzzy dan dualnya.
Asumsikan bahwa dalam sebuah permasalahan program linear terdapat beberapa parameter yang merupakan bilangan fuzzy, inilah yang disebut sebagai
Universitas Sumatera Utara
2
masalah Fuzzy Linear Programming. Mungkin saja beberapa koefisien dari permasalahan tersebut, misalnya pada fungsi tujuan, koefisien teknis, koefisien ruas kanan ataupun variabel pengambilan keputusan itu merupakan bilangan fuzzy.
1.1.1 Linear Programming
Untuk
mendefinisikan
masalah
Fuzzy
Linear
Programming,
sebelumnya
diperkenalkan permasalahan program linear. Program linear adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimal (seperti keuntungan maksimal atau biaya terendah) dalam suatu model matematika dengan beberapa daftar kendala yang direpresentasikan dalam persamaan linier. Sebuah permasalahan program linear dapat didefinisikan sebagai berikut: Maks : z s.t
: Ax
= cx b x ≥0
di mana : x = (x1,
, xn)T, c = (c1,
, cn), b = (b1,
, bm)T, dan A = [aij]m × n
cj, bi, dan aij merupakan bilangan – bilangan crisp. Tetapi bagaimanapun, dalam masalah pengambilan keputusan di dunia nyata, adalah hal biasa jika estimasi koefisien Linear Programming yang digunakan itu tidak tepat. Selain itu, pengambil keputusan juga mungkin mengizinkan beberapa pelanggaran dalam pencapaian kendala. Dalam kasus ini, Fuzzy Linear Programming memberikan fleksibilitas.
1.1.2 Fuzzy Linear Programming
Pandang masalah Linear Programming berikut: Maks : ~z s.t
= c~ x
~ A~ x =b : ~ x ≥ 0
di mana matriks koefisien A = [aij]m × n dan vektor c = (c1, , cn) adalah matriks crisp ~ ~ x = (~ x j ) , b = (bi ) adalah vektor fuzzy non negatif dan vektor berturut – turut dan ~
Universitas Sumatera Utara
3
~ non negatif sehingga ~ x j , bi ∈ F ( R) untuk semua 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m , disebut sebagai masalah Fuzzy Linear Programming.
Dalam tulisan ini akan dijelaskan cara menyelesaikan Fuzzy Linear Programming dengan mentransformasikan bentuk Fuzzy Linear Programming ke bentuk Linear Programming terlebih dahulu.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas adalah bagaimana cara mentransformasikan bentuk Fuzzy Linear
Programming
menjadi
permasalahan
program
linear
klasik
yang
penyelesaiannya lebih familiar dan sederhana.
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam tulisan ini, masalah yang dibahas adalah penyelesaian persoalan Fuzzy Linear Programming dengan bilangan fuzzy triangular. Sebuah bilangan fuzzy ~ ~ triangular A sebarang ditunjukkan oleh A = (m A , α A , β A ) dengan F(R) adalah himpunan dari bilangan fuzzy triangular.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk mengetahui cara menyelesaikan masalah Fuzzy
Linear
Programming
dengan
bilangan
fuzzy
triangular
dengan
mentransformasikannya terlebih dahulu ke bentuk masalah Linear Programming.
1.5 Manfaat Penulisan
Penulisan ini dapat dimanfaatkan untuk mempermudah di dalam menyelesaikan permasalahan Fuzzy Linear Programming dan berguna di dalam studi/ pembelajaran tentang beberapa konsep dasar dari Fuzzy Linear Programming.
Universitas Sumatera Utara
4
1.6 Metodologi Penulisan
Metodologi penulisan ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah - langkah sebagai berikut : 1. Memaparkan beberapa definisi serta teorema yang mendukung dalam memperoleh hasil utama penulisan ini. 2. Memaparkan langkah – langkah penyelesaian permasalahan Fuzzy Linear Programming dengan tahapan sebagai berikut: a. Memaparkan tentang bilangan fuzzy, yaitu dalam hal ini dengan menjelaskan tentang bilangan fuzzy triangular dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular. b. Memaparkan tentang metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah Fuzzy Linear Programming dan disertai dengan ilustrasi.
1.7 Tinjauan Pustaka
L.A. Zadeh (1965, hal: 338) menyatakan bahwa suatu himpunan fuzzy merupakan sebuah kelas dari objek – objek
dengan suatu rangkaian kesatuan dari nilai
keanggotaan. Demikian sebuah himpunan digolongkan oleh sebuah fungsi (karakteristik) keanggotaan yang memberikan setiap objek sebuah nilai keanggotaan yang berkisar antara 0 dan 1.
H.J. Zimmermann (1975, hal: 209) menyatakan bahwa pada Fuzzy Linear Programming, fungsi objektif dan kendala – kendalanya ditunjukkan dengan fungsi keanggotaannya. Zimmermann mendefinisikan fungsi keanggotaan untuk fungsi objektif dan untuk kendala – kendala pada permasalahan Fuzzy Linear Programming.
Sri Kusumadewi dan Hari Purnomo (2004, hal: 376) menyatakan bahwa pada Fuzzy Linear Programming, akan dicari suatu nilai z yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sehingga memenuhi batasan – batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy. Mereka mereprentasikan tiap batasan dengan
Universitas Sumatera Utara
5
sebuah himpunan fuzzy dan menentukan fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy tersebut.
S.H. Nasseri (2008, hal: 2473) menyatakan bahwa Fuzzy Linear Programming adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana sebagian besar dari masalah tersebut terkait dengan permasalahan program linear dengan variabel fuzzy.
Universitas Sumatera Utara
