BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Didalam melakukan kegiatan suatu alat atau mesin yang bekerja, kita mengenal adanya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamanya waktu hidup suatu komponen atau unit pada keadaan operasional tertentu. Misalnya sebuah bola lampu mengalami kerusakan setelah dipakai selama 3000 jam, disini dikatakan bahwa waktu hidup lampu tersebut adalah 3000 jam. Analisis statistika yang digunakan untuk menguji data waktu hidup disebut analisis tahan hidup.
Dari waktu hidup yang diperoleh dari percobaan uji hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Berbentuk data lengkap jika semua benda dalam percobaan semuanya mati. Berbentuk data tersensor tipe I jika data uji hidup dihasilkan setelah percobaan berjalan dalam waktu yang ditentukan, serta berbentuk data tersensor tipe II jika observasi diakhiri setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless. 1982:43).
Fungsi distribusi tahan hidup yang didasarkan pada pengetahuaan atau asumsi tertentu tentang distribusi populasinya termasuk dalam fungsi parametik. Beberapa distribusi yang digunakan untuk mengambarkan waktu hidup antara lain: Distribusi eksponensial,
distribusi
weibull,
distribusi
gamma,
distribusi
rayleigh.
(Lawless.1982:26). Diantara beberapa distribusi tersebut, di dalam skripsi ini dipilih fungsi tahan hidup berdistribusi gamma, atau data waktu hidup diasumsikan berdistribusi gamma. Distribusi gamma merupakan suatu distribusi yang digunakan
Universitas Sumatera Utara
dalam mengambarkan frekuensi kegagalan suatu komponen atau sistem terhadap waktu dan merupakan distribusi yang tepat untuk memecahkan masalah teori antrian dan keandalan.
Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diasumsikan telah mengambarkan keadaan yang sesunguhnya, diperlukan suatu analisis terhadap waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya
Ide dasar dari metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator. Cara memaksimumkan likelihood berkaitan dengan estimasi dalam statistik. Cara mendapat estimasi untuk nilai parameter dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan. Jika diberikan sampel random, n sampel dari populasi yang mempunyai distribusi peluang maka didapat cara untuk mengestimasi parameter distribusinya.
Berdasarkan urain tersebut diatas maka mendorong penulis untuk mengangkat skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Gamma pada data tersensor tipe I dengan metode maximum Likelihood”.
1.2 Perumusan Masalah
Universitas Sumatera Utara
Masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana mengestimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi gamma untuk data tersensor tipe I dengan metode maximum likelihood
1.3 Tinjauan Pustaka
Misalkan variabel random T menunjukan waktu hidup dari organisme dalam populasi. Waktu hidup T merupakan variabel random kontinu dan non negatif dalam interval (0, ∞) . Fungsi tahan hidup adalah probabilitas suatu individu dapat bertahan hidup sampai pada waktu t (t > 0) . Maka fungsi distribusi kumulatif F (t ) untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f (t ) dinyatakan sebagai berikut (lawless. 1982). F (t ) = P(T ≤ t )
Atau t
F (t ) = ∫ f ( x) dx untuk t>0 0
Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup yang didefenisikan dengan. S (t ) = P(T ≥ t ) = 1 − P(T ≤ t ) = 1 − F (t )
Universitas Sumatera Utara
Sensor tipe I, semua fungsi yang diteliti (n) masuk pengujian pada waktu yang bersamaan dan pengujian dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan. Kelemahan sensor tipe I adalah sampai batas waktu yang ditentukan semua objek tetap hidup, sehingga tidak terdapat data tahan hidup dari objek yang diuji.
Distribusi gamma merupakan distribusi yang digunakan dalam mengambarkan waktu hidup, distribusi gamma dapat dianggap sama dengan distribusi eksponensial atau poison, dimana pada distribusi poison dipakai waktu sebagai variabel. Sedang pada distribusi gamma dipakai pertambahan jumlah sebagai variabel tetapi keduanya mempunyai karakteristik populasi yang sama.
λη η −1 −λt f (t ) = t e Γ(η )
.
t>0, n >0, λ > 0
Dengan: t = waktu
η = parameter bentuk
λ = parameter skala jika x adalah variabel acak gamma dengan parameter λ dan n maka rata-rata dan variansnya adalah sebagai berikut (Montgomery.2204:131).
µ = E ( X ) = η λ dan σ 2 = V ( X ) = η
λ2
Fungsi reliabilitas
Universitas Sumatera Utara
( λ t ) k e − λt k!
n −1
R(t ) = ∑ k =0
Fungsi laju kegagalan
h(t ) =
f (t ) R (t )
Dengan fungsi gamma Γ(n) = (n − 1)!
Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan x1 , x 2 ,..x n , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan f ( x, θ ) dengan θ parameter yang akan ditaksir dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:
f ( x1 , x , ,..x n ,θ ) = f ( x1 , θ ). f ( x 2 , θ ).... f ( x nθ ) n
= ∏ f ( xi , θ ) i =1
= L(θ x1 , x 2 ,....x n ) = L(θ )
Dengan:
x1 , x 2 ,...x n = variabel random
θ = parameter yang ditaksir L(θ ) = fungsi likelihood
Universitas Sumatera Utara
1.4. Tujuan Penelitian
Menyajikan
estimasi maximum likelihood dalam penggunaannya bersama teori
keandalan untuk mendapatkan estimasi dari data tahan hidup berdistribusi gamma tersensor tipe I.
1.5. Kontribusi Penelitian
Dengan mengetahui estimasi parameter dari data berdistribusi gamma pada data tersensor tipe I dapat memudahkan peneliti untuk menghitung atau menaksir karakteristik dari data uji waktu hidup suatu komponen atau sistem.
1.6. Metode Penelitian
Mengumpulkan teori-teori probabilitas dan keandalan yang mendukung dalam pelaksanaan penelitian sehingga dapat diperoleh estimasi parameter untuk data tahan hidup berdistribusi gamma, kemudian menggunakan estimasi maximum likelihood untuk mendapatkan estimasi parameter untuk data waktu hidup berdistribusi gamma tersensor tipe I. Langkah terakhir dari penelitian ini adalah menarik kesimpulan dari seluruh permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.
Universitas Sumatera Utara
