B.3. Aliran mantap satu arah pada akuifer tak tertekan di atas lapisan impermeable dengan pengisian

B.3. Aliran mantap satu arah pada akuifer tak tertekan di atas lapisan impermeable dengan pengisian Aliran air tanah pada akuifer tak tertekan akan berubah tidak hanya melalui pengisian kembali oleh air hujan P tetapi juga karena adanya perkolasi melalui lapisan semipermeabel. Jika koefisien transmisibilitas dianggap kha dan tinggi muka air tetap dan seragam maka persamaan aliran menjadi: dh Darcy : Q  2 r kha dr dQ   h  Kontinyuitas :  2r  P   dr c   d 2 h 1 dh n Pc   Digabung :    0 2 r dr kha c kha c dr Dengan penyelesaian umumnya adalah : r r h  C1I 0    C2 K 0    Pc        r r  r   r  Q  2khC1   I1    C2   K1            dengan   kha c 

Konstanta integrasi dalam persamaan tersebut harus ditentukan dari syarat batas. Untuk akuifer dengan jarak tak hingga diberikan gambar berikut : Q0 P

Permukaan tanah Permukaan air sebelum pemompaan s

Permukaan air setelah pemompaan Permukaan air artesis konstan

H

Q 2 r0

h



Garis datum Lapisan semi permeable dengan tahanan c terhadap aliran vertikal

r

26

Untuk gambar di atas diberikan batas sebagai berikut: r  ,

h  H,

C1 0

r r ,

QQ ,

C 2 

0

0

Q

0

2kh

a

jika disubstitusikan dengan persamaan di atas menjadi : h  Pc   

Q0

r K0   2kha  

Q  Q0

dan

Penurunan muka air menjadi :

s  H h

Setara dengan :

s

Untuk nilai

r K1      r

Q0

r K0   2kha  

r kecil dapat disederhanakan : 

s

Q0

2kha

ln

1.123 r

Selisih penurunan muka air untuk 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur menjadi:

s s  1

2

Q

r

0

2kh

a

ln

2

r

1

Untuk sumur yang berada di tengah-tengah pulau yang berbentuk lingkaran (gambar di bawah ini) maka syarat batasnya adalah : r  L,

r  r0 ,

 L  L h  H  C1I 0    C2 K 0    Pc      C  r  C  r  Q Q 0  2r0 kha  1 I1  0   2 K1  0       

27

Q0

s

h’ 

h

Q1

H

2 r0

Garis datum

r L

Dengan  = H dan untuk nilai x kecil, xI 1 ( x) 

Q x x  0, xK1 ( x)   1 C1   0 , 2 x 2kha 2

L K   0 Q0     Pc C1  2kha  L  L I0   I0    

setelah disubstitusikan menjadi :  L  K   0 Q0      r  Pc  r  r h I  K I 0    Pc  H    0 0    2kha   L        I  L     I0          0    Sebelum pemompaan, Q0=0 dan elevasi muka air h’ adalah: Pc r h'   I 0    Pc  H   L I0       Penurunan muka air s  h'h , menjadi:  L  K0    Q0      r   r  s I 0    K 0    2kha   L        I0        28

pada saat tahanan c pada lapisan semipermeabel menjadi lebih besar, di seluruh area, maka :

1.123 r K 0    ln ,  r  

disubstitusikan menjadi : Q  1.123 1.123  s   0  ln  ln  2kha  L r 

atau

s

r kecil 

r I0    1  Q0

2kha

ln

L r

Contoh: Sebuah akuifer tak tertekan jarak tak hingga yang memiliki koefisien transmisibiltas T=15.10-3m2/det berada di atas lapisan semi permeabel dengan tahanan c=25.106 detik. Di bawah lapisan tersebut terdapat akuifer artesis dengan muka air seragam dan konstan. Air tanah dipompa dari sumur yang berada di titik tengah daerah tangkapan yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 500 m, dengan debit 0.045 m3/det. Berapakah pengisian kembali (recovery), jika diketahui hujan sejumlah 9.10-9 m/det? Air yang dipompa dari sumur dapat dibagi menjadi 3 : Q1 dari luar daerah tangkapan Q2 dari air hujan dalam daerah tangkapan Q3 dari akuifer artesis melalui perkolasi dalam daerah tangkapan Q  Q0

r K1   dengan      r

sehingga Q1  Q0

kha c  ,

  15.10  3 x25.106   612 m 



500  500  K1    Q0 0.8180.833  0.681Q0 612  612 

Q2   5002 x9.10  9  7.1x10 3 m3 /det  0.157Q0 Q3  Q0  Q1  Q2  Q0  0.681Q0  0.157Q0  0.162Q0

29

B.4. Aliran mantap satu arah pada akuifer tak tertekan di atas lapisan semipermeable dan pada akuifer artesis di bawah lapisan semipermeable

Q02

Q01

Permukaan tanah

P

Permukaan air preatik Permukaan air artesis

Akuifer tak tertekan, T= k1H1 Q1 

h’

Garis datum Lapisan semi-permeabel, tahanan c1 Q2

Akuifer tertekan, T= k2H2

Lapisan impermeabel r

dh dr

Hukum Darcy :

Q1  2rk1H1

Kontinyuitas :

dQ1 h   2r  P   dr c  

Digabung :

d 2h dr 2 d 2



d dr dQ2 h  2r dr c

Q2  2rk 2 H 2

1 dh h   P   r dr k1H1c k1H1



1 d h    0 r dr k 2 H 2 c

dr 2 d 2 h   



dr 2 d 2 h    dr 2

atau

1 d h    h   P  2  r dr k1H1 



1 d h    P  r dr k1H1

30

k1 H1 1 1 1 dan   k2 H 2 2 k1H1c k 2 H 2 c Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum : 2 P 2 r  r  P dan h    A3 ln r  h    A1I 0    A2 K 0    r  A4   k H 4 k H     1 1 1 1 memberikan nilai h dan  : Pc r 2 Pc r r h  C1I 0    C2 K 0    C3 ln r  2   C4 1  22 4 1   2    

dimana :



Pc r 2 Pc r r   C1I 0    C2 K 0    C3 ln r  2   C4 1  22 4 1   2    

dimana :

12

 k1H1c,

22

kH  k 2 H 2 c,   1 1 k2 H 2

12 dan   1 2

C. Aliran Tak Mantap Tertekan pada Sumur Tunggal C.1. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Artesis tanpa Pengisian Q0

t=0 t=t2

s

t=t1

Permukaan air artesis

Unit area Lapisan impermeabel H

2 r0

Q

Akuifer tertekan tanpa pengisian Lapisan impermeabel

r

Jika p adalah ruang pada unit area pada gambar di atas, maka massa air yang terkandung dalam elemen p tersebut adalah : M w   w pH

dan massa tanah adalah :

M g   g 1  p H

dimana w dan g adalah rapat massa air dan rapat massa butiran tanah. 31

Dengan penurunan s yang meningkat oleh sejumlah ds, massa air dalam elemen akan berubah menjadi : dM w d dp dH , sementara massa butiran tanah adalah :  pH w   w H  w p ds ds ds ds dM g d g dp dH atau  0  1  p H  g H   g 1  p  ds ds ds ds d g  dp dH 0  w 1  p H  wH   w 1  p  g ds ds ds

Kedua persamaan di atas memberikan : d g dM w d  dH  pH w  w 1  p H  w ds ds g ds ds Dalam mekanika tanah diketahui jumlah tekanan air dan tekanan butiran tanah adalah: s w g pemompaan akan menurunkan tekanan air menjadi d w    w gds tetapi jika tanah tetap jenuh, hal itu tidak menurunkan tekanan tanah d w  0, d g  d w   w gds d g d g d w menurut teori elastisitas, d w   w , dH   H , d g   g E Kw Kw dimana E adalah modulus elastisitas tanah, Kw dan Kg masing-masing adalah modulus pemadatan (modulus of compression) air dan butiran tanah. Substitusi dengan persamaan di atas menghasilkan :  p 1 p 1  dM w    w2 gH      Kw ds K E  g  Volume air yang dibebaskan dari elemen dalam unit area tersebut adalah :  p 1 p 1  dVw   w gH      Kw ds K E  g  dengan  adalah konstanta akuifer yang ditinjau. Dengan perhitungan pengisian di atas, persamaan aliran menjadi:

32

Hukum Darcy : Kontinyuitas :

s r V Q  2r dr w , t

Q  2rkH

Sehingga menjadi Digabung :

2s r

2



Vw dVw s s   t ds t t Q s  2r r t

dengan

1 s  s  0 r r kH t

Untuk syarat batas r  r0 , Q  Q0 , dan r  , Q  0 , persamaan diferensial di atas memiliki penyelesaian (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) : Q0 s W u2 4kH dimana W u 2 dinamakan integral logaritmik dan parameter u2 dinyatakan dengan :

   

 r2

1    r   2  kH  t 4kH t dengan r adalah jarak antara titik pengamatan dan titik tengah sumur, dan t adalah waktu sejak pemompaan. Untuk nilai u2 kecil, di dekat dinding permukaan sumur setelah waktu tertentu 0.562 0.75 terlampaui, nilai W u 2 dapat didekati sebagai W u 2  ln 2  2 ln u u Sedangkan penurunan muka air dinyatakan sebagai : Q0 Q0 0.562 0.75 s ln 2  ln 4kH 2kH u u selisih penurunan muka air pada 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur adalah : Q0 Q0 Q0 Q0 u r 0.75 0.75 atau s1  s2  s1  s2  ln  ln ln 2  ln 2 2kH u1 2kH u2 2kH u1 2kH r1 u  2

sehingga

 

u

 

Untuk kasus pada gambar berikut, penurunan muka air pada dinding sumur diberikan sebagai : Q Q0 2L s0  0 W u 2 r  r0  W u 2 r  2 L dan penurunan tetap-mantap s  ln 4kh 2kH r0 penurunan tetap-mantap ini dapat dicapai setelah periode waktu yang sangat singkat.

 

  

33

Q0

t=0 t=

s

t=t

Permukaan air artesis

Lapisan impermeabel 2 r0

Akuifer tertekan tanpa pengisian Lapisan impermeabel

L

Contoh: Diketahui pada gambar di atas, T = 0.2x10-3m/det, debit pemompaan Q0 = 0.015 m3/det, jari-jari sumur r = 0.25 m dan jarak dari sungai L = 250 m. Maka penurunan tetap-mantap pada dinding sumur adalah: 0.015 2.3log 2 x250  1.65 m s0  3 0.25 2 0.2 x10 C.2. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Leaky Artesis Q0

Permukaan air preatik

t=0 t=t2

s

t=t1

Permukaan air artesis Akuifer tak tertekan

Lapisan semipermeabel, tahanan C 2 r0

Q

Leaky Artesian, T=kH Lapisan impermeabel

r

Hukum Darcy : Kontinyuitas :

s r  s s  Q  2r dr    ,  t c 

Q  2rkH

34

Digabung :

2s r

2



1 s s  s   0 r r kHc kH t

Untuk syarat batas r  r0 , Q  Q0 , dan r  , Q  0 , persamaan diferensial di atas memiliki penyelesaian pendekatan yang valid untuk t kecil (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) : Q0  r2  2 r 2 dan   kHc s W  u ,  dengan u  4kH   4kH t Penurunan maksimum diperoleh untuk t   dan u 2  0 dimana formula di atas disederhanakan menjadi: Q0 r r r s K0   dan Q  Q0 K1   2kH      

C.3. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Tak Tertekan di atas Lapisan Impermeabel Q0

t=0 t=t2

s

t=t1

Permukaan air artesis

Akuifer tak tertekan, T=kH

2 r0

Q Lapisan impermeabel r

Hukum Darcy : Kontinyuitas : Digabung :

s r Q s  2r r t 2  s 1 s  s   0 r 2 r r kH t

Q  2rkH

35

Untuk syarat batas r  r0 , Q  Q0 , dan r  , Q  0 , persamaan diferensial di atas memiliki penyelesaian (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) : Q0 s W u2 4kH

 

Q  Q0 eu

2

 r2

1    r   2  kH  t 4kH t dengan r adalah jarak antara titik pengamatan dan titik tengah sumur, dan t adalah waktu sejak pemompaan. Untuk nilai u2 kecil, di dekat dinding permukaan sumur setelah waktu tertentu 0.562 0.75 terlampaui, nilai W u 2 dapat didekati sebagai W u 2  ln 2  2 ln u u Sedangkan penurunan muka air dinyatakan sebagai : Q0 Q0 0.562 0.75 s ln 2  ln 4kH 2kH u u selisih penurunan muka air pada 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur adalah : Q0 Q0 Q0 Q0 u r 0.75 0.75 atau s1  s2  s1  s2  ln  ln ln 2  ln 2 2kH u1 2kH u2 2kH u1 2kH r1

dengan u 2 

atau u 

 

 

Untuk kasus pada gambar berikut, penurunan muka air pada dinding sumur diberikan sebagai : Q Q0 2L s0  0 W u 2 r  r0  W u 2 r  2 L dan penurunan tetap-mantap s  ln 4kh 2kH r0 penurunan tetap-mantap ini dapat dicapai setelah periode waktu yang sangat singkat.

 

   Q0

t=0 t=

t=t

Permukaan air

s

Q0

Akuifer tak tertekan, T=kH

2 r0 Lapisan impermeabel L

r

36

Jika sumur dipompa pada periode waktu tertentu T, penurunan yang dihasilkan dapat diperoleh dengan metode superposisi, dengan menambahkan sumur pengisian dengan t  T dengan kapasitas yang sama pada lokasi yang sama. Untuk akuifer dengan jarak tak hingga, penurunan menjadi : Q0 0t T :s  W u 2 t t 4kH Q0 t T :s  W u 2 t  t  W u 2 t  t T 4kH dimana untuk penurunan di dinding sumur, formula di atas disederhanakan menjadi : Q0  0.562 Q0 0.562  t ln t T :s   ln 2 ln 2  atau s  4kH t  T 4kH  u t  t u t  t T 

   

 



Contoh : Sebuah akuifer tak tertekan dengan jarak tak hingga memiliki T=5.10 -3 m2/det, kapasitas lapangan spesifik  = 0.15 terletak di atas lapisan impermeabel. Dalam waktu 2 minggu, dari dalam sumur dipompa : 10 hari pertama dengan debit 0.01 m3/det 4 hari berikutnya dengan debit 0.03 m3/det Berapakah penurunan pada akhir periode pemompaan pada titik sejauh 80 m dari titik tengah sumur?

 

Q0  r2 2 2 Formula yang digunakan adalah s  dengan u  Wu 4kH 4kH t Dengan syarat batas seperti pada soal, maka: 0.01 0.03  0.01 2 s W u  W u22 dengan 1 3 3 4 5 x10 4 5 x10 2 0.15 80 u12   39.7 x10  3 , W u12  2.69 3 3 4 x5 x10 10 x86.4 x10 0.15 80 2 2 u2   0.136, W u 22  1.53 3 3 4 x5 x10 4 x86.4 x10 dan s=0.43 + 0.49 = 0.92 m

 

 

 

 

37

C.4. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Tak Tertekan di atas Lapisan Semipermeabel s r Q  s s   2r    , r  t c 

Q  2rkH

Hukum Darcy : Kontinyuitas :

2s

Digabung :

r 2

1 s s  s   0 r r kHc kH t



Q0 Permukaan tanah Permukaan air artesis

t=0 t=

t=t2

t=t1

s Permukaan air preatik

Q Akuifer tak tertekan, T=kH 2 r0

Lapisan semi permeable dengan tahanan c terhadap aliran vertikal Akuifer tertekan dengan muka air konstan Lapisan impermeabel r

Untuk syarat batas r  r0 , Q  Q0 , dan r  , Q  0 , persamaan diferensial di atas memiliki penyelesaian pendekatan yang valid untuk t kecil (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) : Q0  r2  2 r 2 s W  u ,  dengan u  dan   kHc 4kH   4kH t Penurunan maksimum diperoleh untuk t   dan u 2  0 dimana formula di atas disederhanakan menjadi: Q0 r r r s K0   dan Q  Q0 K1   2kH       38