ALIRAN GAS SATU DIMENSI PADA KECEPATAN TINGGI
Sub-chapters z8.1. The speed of sound z8.2. Steady, frictionless, adiabatic, onedimensional flow of a perfect gas z8.3. Nozzle choking z8.4. High-velocity gas flow with friction, heating, or both
Perbedaan prinsip antara aliran gas kecepatan tinggi dengan aliran fluida yang telah dipelajari sebelumnya mencakup hal berikut: z Pada ekspansi aliran gas kecepatan tinggi, ada perubahan dari energi dalam ke energi kinetik. Akibatnya ada penurunan temp yang besar dan kenaikan velocity. z Kecepatan dari aliran gas sering = atau > kecepatan suara, yang dapat menimbulkan fenomena choking (tak ada kenaikan laju alir massa dengan penurunan tekanan di downstream) dan shock waves (ledakan fluida pada satu lokasi sementara fluida kecepatan supersonic (> kec suara) bergerak.
Kecepatan Suara z Dengan neraca massa dan momentum suatu volume kecil dalam aliran gas dengan tekanan sebagai satu-satunya gaya yang bekerja, maka: 1/ 2
⎛ dP ⎞ V=⎜ ⎟ z. ⎝ dρ ⎠
(8.6) z Pada Persamaan (8.6) P tidak hanya fungsi dari ρ, tetapi juga fungsi dari temperatur. Pers (8.6) berlaku untuk setiap perubahan tekanan termasuk gelombang suara.
z Suara adalah gangguan kecil tekanan udara yang berosilasi dengan frekwensi antara 20– 20000 Hz. Magnitude dari gangguan tekanan ini biasanya kurang dari 10-3 psi absolut atau 7 Pa. z Ketika suara melalui fluida gas, aliran gas mengalami proses reversible adiabatic compression-expansion. Temperature gas tidak konstan (tempÊ, ketika kompresi, tempË, ketika ekspansi) tetapi entropi konstan. Dengan gelombang suara yang kecepatannya tinggi, gas tidak sempat mengalirkan panas ke bagian gas yang dingin di sekitarnya
z Pada kecepatan suara, Pers 8.6 memenuhi kondisi reversible adiabatic (entropi konstan) 1/ 2 sehingga (8.7a) ⎛ dP ⎞ V=⎜ ⎟ ⎝ dρ ⎠s
z Sebagai suatu kuantitas yang berbeda dengan kecepatan gas, Pers 8.7a berubah menjadi 1/ 2 z. (8.7b) ⎛ dP ⎞ c=⎜ ⎟ d ρ ⎝ ⎠s
di mana c = kecepatan suara
z Untuk suara yang melalui media gas ideal: kP ⎛ dP ⎞ (D.26) ⎜ ⎟ = ⎝ dρ ⎠ s
ρ
1/ 2
1/ 2
1/ 2
z c = ⎛ dP ⎞ = ⎛ kP ⎞ = ⎛ kRT ⎞ (8.11) ⎜ ⎟ ⎜ dρ ⎟ ⎜ρ⎟ M ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dimana k = Cp / Cv (lihat Tabel 8.1) dan M = berat molekul Dalam perhitungan engineering k dianggap konstan, meskipun berkurang sedikit dengan pertambahan temperature. s
Table 1. Values of the ratio of specific heats Gas
k
Comment
Monatomic gases: 1.666 He, Ar, Ne, Kr etc
Exactly
Diatomic gases: N2, O2, H2, CO, NO, air etc Triatomic gases: H2O, CO2, etc
1.40
Not quite exact and temperature dependent
More complex gases
1.3 or less
1.30-1.33
Contoh 8.2: z Berapakah kecepatan suara pada udara dengan temperatur 68oF=528oR ? Jawab: 1/ 2
⎛ kRT⎞ c =⎜ ⎟ ⎝ M⎠
1/ 2
⎛ kT⎞ =R ⎜ ⎟ ⎝ M⎠ 1/ 2
⎛ lbf ft 144 in 32 .2 lbm .ft ⎞ R 1 / 2 = ⎜⎜ 10 .73 2 ⎟⎟ o 2 2 in lbmol R ft lbf .s ⎝ ⎠ 3
ft ⎛ lbm ⎞ 223 .⎜ ⎟ o s ⎝ lbmol . R ⎠
1/ 2
2
m⎛ g ⎞ = 91 .2 ⎜ ⎟ s ⎝ mol .K ⎠
1/ 2
1/ 2
=
1/ 2
ft ⎛ lbm ⎞ ⎛ 1.4 x 528 R ⎞ ⎛ kT ⎞ z. c = R ⎜⎝ M ⎟⎠ = 223 s .⎜⎝ lbmol.o R ⎟⎠ .⎜⎝ 29lbm / lbmol ⎟⎠ = 1126ft / s = 344m / s 1/ 2
1/ 2
o
1/ 2
z Kecepatan suara adalah fungsi dari temperature dan bukan fungsi dari velocity. z Kecepatan suara adalah sifat dari materi, bukan sifat dari aliran. Kalau temperatur berubah, maka kecepatan suara juga berubah apakah fluida mengalir atau tidak
Steady, Frictionless, Adiabatic, OneDimensional Flow of Perfect Gas z.
R
1
z Gambar 1. Sistem untuk steady, frictionless, adiabatic, one dimensional flow z Fluida mengalir dari reservoir R ke titik 1. Aliran dianggap bekerja satu dimensi pada arah aliran. Hukum Bernoulli: z.⎛ (8.13) ⎛ V2 ⎞ V2 ⎞ ⎜⎜ h + gz + ⎟⎟ = ⎜⎜ h + gz + ⎟⎟ 2 ⎠R ⎝ 2 ⎠1 ⎝
z Perubahan energi potensial ∆gz diabaikan untuk kebanyakan aliran gas kecepatan tinggi. Diasumsikan R adalah reservoir pada upstream, di mana luas penampang sangat besar dibanding luas penampang pipa Ö VR ≈ 0. z.
VR = 0
; zR = z1
2Rk (TR − T1 ) V = 2(h R − h1 ) = 2Cp (TR − T1 ) = M(k −1) (8.14) 2 1
z.
Rk Cp = [M ( k − 1) ]
z.
⎞ MV 12 2 ⎛ TR ⎜⎜ = − 1 ⎟⎟ RkT 1 k − 1 ⎝ T1 ⎠
z.
M = c12 ; V1 / c1 = M1 ; RkT1
z.
TR 2 k −1 = M1 +1 T1 2
(lihat Appendix D)
(8.15)
(8.16)
z V/c = M = Mach number = rasio of local flow velocity to local speed of sound z Untuk aliran supersonic, M >1; aliran sonic, M =1; aliran subsonic, M <1 k /(k −1) k /(k −1) z . PR ⎛ TR ⎞ (8.17) ⎛ 2 k −1 ⎞ =⎜ ⎟ P1 ⎝ T1 ⎠
z.
= ⎜ M1 ⎝ 1/(k −1)
ρR ⎛ TR ⎞ =⎜ ⎟ ρ1 ⎝ T1 ⎠
+ 1⎟ 2 ⎠
1/(k −1)
k −1 ⎞ ⎛ = ⎜ M12 + 1⎟ 2 ⎝ ⎠
(8.18)
Contoh 8.3: z Udara mengalir dari reservoir dimana kecepatannya dapat diabaikan, pada temp 68oF. z Berapakah temperatur gas pada titik dimana Mach numbernya adalah 2 ? z Berapa kecepatan udara pada kondisi tsb. ? z Jika tekanan udara di reservoir 2 bar dengan density sebesar 2.39 kg/m3, berapa tekanan dan density pada titik tersebut ?
Jawab: z . TR z. z.
1 .4 − 1 = 2 + 1 = 1 .80 T1 2 2
(8.16)
TR = 68 o F = 528 o R = 293 .15K
TR 528o R = = 293o R = −167o F = 163K = −110o C T1 = 1.80 1.8
z Temperatur gas turun ke -110oC menunjukkan adanya konversi energi dari energi dalam ke energi kinetik.
1/ 2
ft ⎛ lbm ⎞ ⎛ 1.4 x 293 R ⎞ ⎛ kT ⎞ ⎟⎟ c = R ⎜ ⎟ = 223 .⎜ ⎟ .⎜⎜ o s ⎝ lbmol. R ⎠ ⎝ 29 lbm / lbmol ⎠ ⎝M⎠ z . = 839ft / s z. V1 = c1M1 = 839ft / s . 2.0 = 1678ft / s = 511m / s z. PR 2 bar 1.4 /(1.4 −1) = 1 .8 = 7.82 ; P1 = = 0.256 bar = 3.71psia P1 7.82 (8.17) z.
1/ 2
1/ 2
o
1/ 2
3 ρR 2 . 39 kg / m = 1.81 /(1.4 −1) = 4.35 ; ρ1 = = 0.549 kg / m 3 z . ρ1 4.35
(8.18)
z Jika A* dan V* adalah kondisi kritis di mana Mach number = 1 sebagai referensi: . A1 = ρ*V * (8.20) A *
ρ 1V1
z Substitusi rasio ρ = f(T) dan V=c M, maka . (8.21) (k + 1) / 2(k − 1) A1 1 ⎡ M12 (k − 1) / 2 + 1⎤ = ⎢ ⎥ A* M1 ⎣ (k − 1) / 2 + 1 ⎦ z.
Gambar 8.3. Efek M terhadap A dari M<1 hingga M >1
A1 A*
1.0 1.0
M
z Gambar 8.3 menunjukkan, pada daerah M <1, jika V ingin lebih besar, A diperbesar. z Sebaliknya pada daerah M >1, jika ingin V lebih besar, A diperbesar. z Gambar 8.4. menunjukkan argumen di atas.
Gambar 8.4. Relasi antara jarak dengan ρ, A dan V pada sistem steady, frictionless, adiabatic, one dimesional flow
z Misalkan V mempunyai nilai kecil saat masuk pipa dan bertambah secara linear dengan jarak. Karena aliran ini mengembang dengan naiknya A, ρ berkurang dengan jarak. z Di daerah M <1, V naik lebih cepat dibanding turunnya ρ atau -(dρ/dx) < (dV/dx). Untuk menjaga ρVA konstan, A harus diturunkan. Tetapi ketika V makin besar, ρ turun makin besar, hingga pada M = 1, ρ turun secepat V naik atau -(dρ/dx) = (dV/dx). z Ketika M >1, ρ turun jauh lebih cepat dibanding naiknya V atau -(dρ/dx) > (dV/dx). Untuk menjaga ρVA konstan, A harus dinaikkan.
z Juga dapat diturunkan: & . m ρ R ( kRT R / M ) 1 / 2 = A * [( k − 1) / 2 + 1] ( k +1) / 2 ( k −1) z Untuk gas ideal:
.
& PR ⎛ Mk ⎞ m = 1/ 2 ⎜ ⎟ A * TR ⎝ R ⎠
1/ 2
(8.23)
(8.24)
1 [(k − 1) / 2 + 1]( k +1) / 2( k −1)
Contoh 8.6: z Udara pada 30 psia dan 200oF mengalir dari suatu reservoir ke dalam saluran (duct). Aliran adalah steady, adiabatic, dan frictionless. Laju alir udara adalah 10 lbm/s. z Berapa luas penampang, temperatur, tekanan dan bilangan Mach di suatu titik dimana kecepatan udara tersebut adalah 1400 ft/s ?
Jawab: k − 1⎞ M = 660 o R − z .(8.14) T1 = TR − V12 ⎛⎜ ⎟
⎝ k ⎠ 2R (1400 ft / s ) 2 (1 . 4 − 1)( 29 lbm / lbmol ) = 4 2 2 o 2 x 1 . 4 x 4 . 98 x 10 ft / s [ lbm / lbmol R ]
497 o R = 276 K 1/ 2
z. c = R1/ 2 ⎛⎜ kT ⎞⎟ = 223ft .⎛⎜ lbm ⎞⎟ .⎛⎜ 1.4 . 497 R ⎞⎟ o 1/ 2
1/ 2
s ⎝ lbmol. R ⎠ ⎝M⎠ = 1092ft / s = 333m / s
o
⎝ 29lbm/ lbmol⎠
z.
M1 =
1400ft / s = 1.282 1092ft / s
z .(8.17) PR = ⎛⎜ TR ⎞⎟ P1 ⎜⎝ T1 ⎠⎟
z.
k /(k−1)
1.4 /(1.4−1)
⎛ 660⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 497⎠
= 2.70
30 psia P1 = = 11 .1psia = 76 .5 kPa 2.70
z. (8.24)
& m 30lbf / in 2 (29lbm/ lbmol . 1.4) [32.2(lbm.ft) /(lbf.s 2 )] = A * 223ft / s[lbm/ lbmol o R]1/ 2 (660 o R)1/ 2 [(1.4 −1) / 2 + 1](1.4+1) / 2(1.4−1) 1/ 2
lbm kg = 0.62 = 437 2 s .in s . m2
z.
& m 10 lbm / s 2 2 A* = = = 16 . 1 in = 0 . 0104 m 0 .62 lbm /( s . in 2 ) 0 .62 lbm /( s . in 2 )
z .(8.21) A 1 ⎛ 1.282 x 0.4 / 2 + 1 ⎞ = ⎜ ⎟ A * 1.282 ⎝ 0 .4 / 2 + 1 ⎠ 2
2 .4 / 2 ( 0 .4 )
A = 1.059 A* = 17.0in 2 = 0.011m 2
= 1.059
;
Nozzle Choking z.
P1
P2
Gambar 8.8. Sistem untuk nozzle choking, P1 = konstan, P2 < P1. z Udara mengalir dari reservoir dengan tekanan P1 ke reservoir dengan tekanan P2 melalui nozzle yang konvergen (A berkurang). Dengan menjaga P1 konstan, P2 mulai dikurangi. z Semakin kecil P2 ditetapkan, semakin besar laju alir massa .
z Saat P2/P1 mencapai 0,5283, laju alir massa menjadi konstan (tak ada lagi kenaikan laju alir massa). Rasio P2/P1 terjadi pada M =1. z Peristiwa ini disebut choking. Choking terjadi pada nozzle atau pipa konvergen
Gambar 8.9. Efek rasio tekanan terhadap laju alir
Aliran Gas Kecepatan Tinggi dengan Friksi, Pemanasan, atau Keduanya A. Aliran Adiabatik dengan Friksi z. P 1
P0
P3 ∆x
z
frictionless nozzle
Gambar 8.11. Sistem untuk aliran adiabatic dengan friksi. P0 > P3.
z Momentum balance: z . 0 = ρAV dV − A dP − τ wall πD dx z . τ wall
V2 =fρ 2
(8.25) (8.26)
z Sistem yang ditinjau adalah dari titik 1 ke titik 2 di mana ada friksi. Karena itu sistem tidak isentropic; ada kenaikan entropi dari gas yang mengalir. Dengan penurunan yang rumit didapatkan (Streeter & Wylie):
z.
2 4f∆x 1 ⎛ 1 1 ⎞ k + 1 ⎧⎪ M22 1 + ⎡⎣( k − 1) / 2⎤⎦ M1 ⎫⎪ ln ⎨ 2 − ⎜ 2 − 2 ⎟+ =0 2⎬ D k ⎝ M1 M2 ⎠ 2k ⎪⎩ M1 1 + ⎡⎣( k − 1) / 2⎤⎦ M2 ⎪⎭
(8.27) z Dalam system ini, dengan adanya friksi, tekanan turun. Penurunan tekanan membuat densitas turun, sehingga velocity naik. z Karena efek friksi ∝ V2, -dP/dx tak sama untuk setiap titik di mana -dP/dx Ê ketika xÊ. Pipa dengan friksi memberi efek seperti pipa konvergen.
z Pada awalnya P0 = P3. Ketika P0 = konstan dan P3 diturunkan, laju alir akan naik dan Mach number akan naik hingga M = 1. z Penurunan P3 lebih lanjut tak menyebabkan laju alir di outlet naik dan aliran tercekik (flow is choked). z Ketika aliran di outlet M < 1, P2 = P3. Ketika aliran di outlet M = 1, aliran tercekik (laju alir konstan). z Ketika P3 diturunkan lagi, M > 1 dan P2 tak berubah walau P3 turun (P2 > P3). P2 tak berubah karena laju alir konstan
z Dari titik 0 ke titik 1, dianggap tak ada friksi (gunakan rumus converging, isentropic nozzle). z Dari titik 1 ke 2 ada friksi dan gunakan Pers 8.27. Laju alir massa di titik 1 dihitung dengan Pers 8.24. z Hubungan antara tekanan P3 dengan laju alir ditunjukkan oleh Figure 8.12. di mana N = 4 f ∆ x D
z Untuk memecahkan lajualir massa untuk nilai Po dan P3 yang diketahui, terka harga M1. z Dari Pers 8.24, hitunglah (ṁ/A)1. z Dari Pers 8.16 hitunglah T1, dan dari Pers 8.11. hitung V1 z Dari Pers 8.27 (korelasi titik 1 dan 2) hitunglah M2 dan V2, z Sebab (ṁ/A)1 = (ṁ/A)2 atau (ρV)1 = (ρV)2, P2 bisa dihitung dengan rumus gas ideal. Kalau tekanan P2 sesuai dengan P3, maka terkaan M1 benar. Bila tidak, ganti terkaan M1 dengan harga lain. Iterasi mulai lagi. z Ini tedious job (ribet bangeet). Untuk mengatasinya sebagai alternatif gunakan Gambar 8.12
z.
Gambar 8.12. Relasi tekanan-laju alir massa untuk alat di Gambar 8.11.
Contoh 8.10 (penggunaan Gambar 8.12): z Po = 30 psia, To = 200oF. Pipa penghubung berdiameter 1 in, schedule 40 dari steel sepanjang 8ft. Hitung laju alir untuk berbagai kondisi P3. Jawab: z Relative roughness (ε/D) untuk pipa commercial steel berdiameter 1 in adalah 0.0018 (Lihat Tabel 6.2). Dari Figure 6.10 untuk bilangan Reynold yang tinggi, friction factor (f) = 0.0055.
z.
4f∆x 4 (0.0055) 8 N= = = 2.01 D (1.049 / 12)
z Dari Contoh 8.6, didapat bahwa untuk kondisi Po dan To ini (frictionless, adiabatic) & lbm kg z. m = 0.62 = 437 A*
s . in 2
s .m2
z Untuk P3 = 27psia, maka P3/Po = 0.9, dengan menggunakan Gambar 8.12, didapat: z . m& / A = 0 . 36 m& / A *
z Jadi: z .m&/ A = 0.36 x 0.62 lbm / s . in 2 = 0.22 lbm / s . in 2 = 152 kg / s . m 2 z Untuk pipa 1 in schedule 40: z.m &= 0.22 lbm / s . in 2 . 0.864in 2 = 0.19 lbm / s = 0.086 kg / s z Dengan menggunakan cara yang sama dapat dibuat table sbb:
&/ A m &/ A * m
P3
P3 / Po,
lbm/s
30
1.0
0.00
0.00
27
0.9
0.36
0.19
24
0.8
0.48
0.30
21
0.7
0.56
0.35
18
0.6
0.61
0.38
15
0.5
0.64
0.397
<10
0.34
0.65
0.403
Pada P3 = 10.2 psia, aliran tercekik, pengurangan tekanan lebih lanjut tidak menaikkan laju alir massa
B. Aliran Isothermal z Pada pipa pendek, ketika M ∼ 1 pada outlet, dibutuhkan laju transfer panas tak terhingga untuk menjaga kondisi isothermal karena penurunan temperatur yang signifikan. Kondisi yang umum adalah adiabatik. z Aplikasi lebih banyak pada pipa panjang, mis untuk gas alam, yang dikubur di dalam tanah yang memberi panas untuk menjaga kondisi isotermal. z Dari Pers 8.25 dan 8.26, momentum balance menjadi: V 2 dx ρ V dV + dP = 4 f ρ z. (8.28) 2 D
z Untuk pipa panjang ρVdV << suku-suku lain (lihat soal 8.40), maka Pers 8.28 menjadi 2 & − 4 f m ⎛ ⎞ 1 dx z. (8.29) dP = ⎜ ⎟ 2 ⎝A⎠ ρ D
z Untuk gas ideal: PM z. ρ = sehingga RT
&⎞ − 4 f RT ⎛ m z . PdP = 2 DM ⎜ A ⎟ dx ⎝ ⎠ 2
z.
(
)
⎡ P − P D M (π / 4) &= ⎢ m 4f ∆x R T ⎢ ⎣ 2 1
2 2
5
atau 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
1/ 2
(8.30)
z Kalau f = 0,0080/(D in)1/3 disubstitusi ke Pers 19, maka akan diperoleh persamaan Weymouth, yang banyak dipakai dalam rancangan awal pipa gas. Latihan 1. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 100oF, berapa tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ?
2. Udara mengalir dari suatu reservoir melalui suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 40oF, berapa tekanan, temperatur pada suatu titik dimana kecepatan = 1300 ft/s? 3. Suatu saluran udara bertekanan di suatu bengkel berisi udara bertekanan 50 psia pada temperatur 70oF. Ketika kita membuka valve dan udara mengalir menuju atmosfir, berapa temperatur udara keluar ? Seringkali temperatur ini cukup dingin untuk menkondensasikan air yang ada di atmosfir. Pernah lihat gejala ini ?
4. Udara mengalir melewati suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 100oF, berapa tekanan, temperatur dan kecepatan pada suatu titik dimana bilangan Mach = 0,6 ? 5. Udara mengalir dari suatu reservoir melalui suatu nozzle secara isentropic. Jika tekanan dan temperatur reservoir adalah 60 psia dan 40oF, berapa tekanan, temperatur pada suatu titik dimana kecepatan = 1300 ft/s?
6. Suatu saluran udara bertekanan di suatu bengkel berisi udara bertekanan 50 psia pada temperatur 70oF. Ketika kita membuka valve dan udara mengalir menuju atmosfir, berapa temperatur udara keluar ? Seringkali temperatur ini cukup dingin untuk menkondensasikan air yang ada di atmosfir. Pernah lihat gejala ini ?
