Model Transien Aliran Gas pada Pipa
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Nur aini 101 03 031
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
”Dan bahwasanya seorang manusia tiada memperoleh selain apa yang telah diusahakannya. Dan bahwasanya usahanya itu kelak akan diperlihatkan.” (Q.S. 53 : 40)
Malam siang berlalu Gerhana kesayuan, tiada berkesudahan Detik masa berganti, tiada berhenti Oh syahdunya.. Sejenak ku terkenang Hakikat perjuangan, penuh onak dan cabaran Bersama teman - teman, arungi kehidupan Oh indahnya..
”Dan (ingatlah juga) tatkala Rabbmu berkata : Sesungguhnya jika kamu bersyukur pasti Kami akan menambah nikmat kepadamu dan jika kamu mengingkari nikmat-Ku, maka sesungguhnya azab-Ku sangat pedih.” (Q.S. 14 : 7)
Abstrak Pemodelan aliran gas alam dalam pipa transmisi sering dilakukan dengan membuat asumsi bahwa aliran bersifat tunak, yaitu kondisi aliran gas tidak berubah terhadap waktu. Pada beberapa kondisi, asumsi ini memberikan hasil yang tidak dapat diterima, oleh karena itu operasi sistem transmisi gas alam pada keadaan transien dengan temperatur tak konstan dapat dikembangkan untuk kondisi ini. Model transien aliran gas dalam pipa diturunkan dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan energi dan persamaan keadaan gas nyata. Keempat persamaan tersebut khususnya persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan energi membentuk satu sistem persamaan diferensial parsial jenis hiperbolik nonlinier orde satu. Persamaan tersebut sangat sulit dipecahkan secara analitik karena sistem persamaan ini bersifat tidak linear dan hiperbolik. Sebagai alternatif, digunakan metode numerik untuk mendapatkan solusinya. Dalam tugas akhir ini, digunakan skema numerik Lax-Wendroff untuk mengetahui distribusi dari tekanan, laju alir, temperatur, dan sifat aliran gas lainnya. Keadaan tunak digunakan sebagai syarat awal, sedangkan untuk syarat batas diperoleh dari data lapangan. Adapun tujuan dari tugas akhir ini adalah memprediksi distribusi dari sifat aliran gas seperti tekanan, laju alir, dan temperatur. Selain itu, ditampilkan juga contoh dari hasil simulasi numerik.
iii
ABSTRAK Kata kunci: Transien dengan Temperatur Tak Konstan, Lax-Wendroff.
iv
Abstract The modeling of gas flow through the transmission pipe is often done using an assumption that the flow is in a steady state, the condition for which the gas flows independent of time. However, there are some situations for which steady state assumption is not valid anymore. Then the transient non-isothermal gas flow can adequately be applied to this condition. The transient flow model here govern the continuity, the momentum, and the energy equations, together with the real gas equation of state. Those equations, especially the continuity, the momentum, and the energy equations are nonlinear conservative hyperbolic partial differential equations, and if we combined them together with real gas equation of state, it will become a nonlinear hyperbolic partial differential system. Those equations are hard to solve analytically due to the properties of that system which are nonlinear and hyperbolic. As an alternative, a numerical method can be used to determine its solution. In this final project the Lax-Wendroff numerical scheme will be applied to compute the distributions of the gas pressure, gas flow rate, and gas temperature. The steady-state condition is used as the initial condition and the observation field data as the boundary conditions. The main objective in this final project is to predict the distribution of the gas flow properties, such as the gas pressure, gas flow rate, and gas temperature via numerical simulations.
v
ABSTRACT Keywords: Transient Non-Isothermal, Lax-Wendroff.
vi
Prakata Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis, sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Ucapan rasa terima kasih yang tulus kepada yang terhormat Bapak Dr. Agus Yodi Gunawan dan Bapak Dr. Ir. Leksono Mucharam yang telah memberikan kesempatan, bimbingan dan motivasi yang sangat berharga kepada penulis. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada: 1. Bapak Prof. Edy Soewono dan Ibu Dr. Janny Lindiarni sebagai penguji yang telah memberikan masukan dalam seminar tugas akhir. 2. Ibu Dr. Pudji Astuti selaku dosen wali yang telah membimbing penulis selama 4 tahun sehingga penulis berhasil meraih cita-citanya menjadi seorang sarjana matematika. 3. Untuk Papa dan Mama tercinta, Tofan, Kakakku dan Adikku, terima kasih atas segala dorongan, dukungan, perhatian, kasih sayang, dan doa yang tak pernah putus selama penulis menjalani studi di ITB ini. 4. Seluruh Staff Pengajar FMIPA Program Studi Matematika ITB yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. 5. Prof Septoratno Siregar, Pak Darmadi, Mas Del, Teh Didit, Bu Ellis, Icha, vii
PRAKATA
viii
Mba Silvy, Teh Rela, Mas Andrey, dan Teman-teman RC-OPPINET yang lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu terima kasih untuk pengalaman, ilmu dan kesenangan yang sangat berharga. 6. Seluruh Staff Tata Usaha FMIPA Program Studi Matematika ITB, khususnya Ibu Dyah. 7. Seluruh staff Perpustakaan Pusat dan Perpustakaan Program Studi Matematika ITB. 8. Seluruh anggota HIMATIKA dan rekan-rekan matematika angkatan 2003, khususnya Cica, Dita, Rity, Amru, Ismail, iQs, dan Andrew. 9. Teman - teman kost Pelesiran 18, terima kasih atas canda tawa dan kesenangan yang sangat berharga. 10. Teman - teman di mesin, khususnya Rico, Bayu, Cupu, Black, Brur atas pelajaran perpindahan panas yang diberikan dan canda tawanya. 11. Semua pihak yang telah membantu selama mengikuti pendidikan sarjana di ITB yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan karena Allah SWT. yang Maha Sempurna. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Akhirnya penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi diri penulis dan pembaca serta berguna dalam pengembangan ilmu pengetahuan.
Bandung, Juni 2007 Penulis
Daftar Isi
Abstrak
iii
Abstract
v
Prakata
vii
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ix
DAFTAR ISI
x
2 LANDASAN TEORI
7
2.1
Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Faktor Deviasi (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Massa Jenis (ρg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Specific Grafity (γg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5
Viskositas (µg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6
Faktor Gesekan ( fg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7
Kecepatan Suara (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8
Specific Heat (Cv dan C p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9
Persamaan Aliran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9.1
Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9.2
Persamaan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9.3
Persamaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.11 Hubungan Laju Alir Gas (Q) dan Fluks Massa Gas (m) . . . . . . . 27
3 Pemodelan Matematika dan Metode Numerik
29
3.1
Model Keadaan Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2
Model Keadaan Transien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
DAFTAR ISI 3.3
xi
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1
Analisis Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2
Syarat Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3
Syarat Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4
Skema Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Analisis Hasil Simulasi
50
5 Kesimpulan dan Saran
59
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Lampiran - Penurunan Rumus
63
Daftar Tabel
3.1
Data Masukan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2
Hasil Perhitungan ρ, Z, c dan fg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3
Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1
Perbandingan Tekanan Gas di Inlet dengan Data Lapangan. . . . . . 56
4.2
Perbandingan Tekanan Gas di Outlet dengan Data Lapangan. . . . . 56
xii
Daftar Gambar
2.1
Segmen S Sembarang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Kesetimbangan Gaya Fluida Mengalir di dalam Pipa. . . . . . . . . 22
2.3
Iterasi Newton Raphson dalam Menentukan Akar. . . . . . . . . . . 27
3.1
Segmen x sampai dengan x + ∆x pada Kontrol Volum. . . . . . . . . 30
3.2
Perpindahan Panas secara Konveksi di dalam Pipa. . . . . . . . . . 32
3.3
Perpindahan Panas Konveksi dan Konduksi di dalam Pipa. . . . . . 36
3.4
Tekanan pada Keadaan Tunak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5
Temperatur pada Keadaan Tunak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6
Laju Alir di Inlet Waktu Simulasi 7 jam. . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7
Laju Alir di Outlet Waktu Simulasi 7 jam. . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8
Stencil Skema Lax-Wendroff Dua Langkah. . . . . . . . . . . . . . 49
4.1
Laju Alir Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 xiii
DAFTAR GAMBAR 4.2
xiv
Temperatur Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3
Tekanan Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4
Validasi Tekanan Gas di Inlet dengan Data Lapangan. . . . . . . . . 56
4.5
Validasi Tekanan Gas di Outlet dengan Data Lapangan. . . . . . . . 57
