50
BAB VI ALIRAN DALAM PIPA 6.1. Pendahuillan
Pada umumuya aliran fluida dapat dibedakan atas (1) aliran dalam saluran, yaitu aliran yang dibatasi oleh permukaan-permukasn keras, dan (2) a1iransekitar benda, yang dikelilingi oleh fluida yang sel~jutnya tidak terbatas. Pebedaan demikian hanyalah untuk memudahkall peni1liauan saja, karena gejaIa dasar dan kelakuam fluida berlal..'UpOOa kedua keadaan tersebut. Aliran melaJui pipa dipilih untuk mewakiJi bentuk penampang lain karena dilapangan secara garis besar dapat kita jumpai dalam aplikasi lapangall. 6.2. Aliran l.aminer dan aliran Turbulen. Koefisicn gesek untuk pipa silinder merupakan fungsi dad Re (bilangan Reynolds). Kenyataan ini ditunjang oleh hasil-hasil eksperimen. Diagram fterhadap Re untuk pipa-pipa silinder ini memu!iukkankarakter yang dernikian (lihat gambar 6-1): f
--
pada bilangan Reynolds yang rendah f berkurang dengan bertambahnya Re sebagai kebalikan harganya.
Re Gambar 6. 1 . hubungan antara koefisien gese(f) dan angka Reynold (Re)
Sedang<1kandi sekitar hcu'gaRe yang tertentu (sekitar 30(0)terdapat pembalmn harga f, yaitu yang IIlrnllnjllkkanketergantul1ganfpOOaRe yang h.:bihkeei!. Ontuk menyelidiki sebab perubahan tersebut perlu kita periksa alirannya secara hUlj?,snng.Unluk tujuan illi kita rellcanakan suatu eksperimen dengan mengalirkall air mclalui suafu pipa yang transparan. Bilangan Reynoidsnya dapat diubah-uabah dcngan mengnbah laju aJiran maS3. Untuk membuat aliran lerlihat, kita dapat menyuntikkan cairan \V~U"lla scpaI1iculgtengab-tengah pipa seperti tcrlihaf pada gambar 6.2.Untuk
51 mudahnya akan kita anggap bahwa aJirnndiamati pOOasuatu kedudukan yang cukup jauh dari penampang masuk pipa sedemikian sehingga prot1l kecepatan tidak berubah dengan jarak. AHran demikian dikatakan telah mencapai kesetimbangan, atau sudah 'berkembang penuh»(atau 'tunak').
.- ."- .-.
-.
--
-.-.
Gambar 6.2. Penyunt.ikan zat Wa(I1ake dalam pipa untuk. menentukan apakap a\iran laminer stau turbulen
Bilakita mulai dengan l~u aJiran masa yang kecil, maka terlihat bahwa a1irnnL.at wama akan meugikuti suatu gans lW11syang jelas yang sejajar dengall 8umbu pipa. Goresan zat wama tetap lurus pada waldu laju aJirnn seeara perlahan-Iahan diperbcsar. Akan tetapj, setelah laju aJiran masa.melebihi suatu harga tortentu, seeara tiba-tiba.garisgaris yang tegas aka.n hilang dan zat wama akan menyebar secara seraganl pOOaselwllh pipa. Eksperimen ini pertama ka1i dilakukan oJeh Osborne-Reynolds, dan ditunjukkannya bahwa OOadua modus yang mungkin pOOaa1iran mela1ui pipa. Da1am modus yang pertama partikel-partikel fluida (air) mengikuti garis lurns yang sejnjar dengan pipa,' akran tetapi dalam modus yang kedua tiap partikel fluida rupanya mengikuti suatu lintasan yang sebarang di seluruh pip&,hanya gerakan rata-ratanya yang mengikuti sumbu pipa. Modus pertama disebut aliran IamineI', sed8l1gkan modus yang kedua turbulen. Transisi dari aliran laminer ke .a1iranurbulen tentunya merupakan fungsi dari bilangan Reynolds dan bukan hanya pada kecepatan saja, yang dapat dituqjukkan dengan eksperimen. MaJaban traosisi terjadi pada bilangan Reynolds yang bersangkutan dengan teljadinya penambahan koefisien gesek secara tiba-tiba clankarena itu perubahan modus aliran ini dapat dianggap sebagai sebab efek tersebut Transisi terjadi karena di atas bilangan reynolds yang ter1entu a1iran lanliner menjadi tidak stabit, bila suatu gangguan keeil diberikan pada aliran. Pengaruh gangguan ini makin membesar dengan bertambabnya waktu. Suatu aliran dikatakan stabil bila gangguan-gangguan diredamkan. Temyata bahwa di bawah bilangan Reynolds yang
52
t('rtentu aJiran pipa yang laminer bersifat stabil untuk tiap gangguan yang kecil dan karena itu tetap laminer.Bila bilangan Reynolds diperbesar, aliran pipa laminer menjadi tidal<stabil bila ada gangguan yang ti-ekwensinya tertentu dan akhimya untuk setiap gangguan kecil. Parla bilangan Reynolds yang tinggi ini gangguan-gallgguan tumbuh dan berinteraksi satu sama lain yang mengakibatkan gerakan fluktuasi yang sebarang yang memberikan ciri pada aliran turbulen. Karena Iransisi tergantung pada ganguan-gangguan yang dapat berasal dari luar (karena getaran misalnya ) atau karena kekasaran permukaan pipa, fr.msisi tersebut clapat terjadi dalam snafu selang biJangan Reynolds. DaJam eksperimen-eksperimen yang diatur secara ha1i-hati.aliran laminer dalam pipa yang liill dapat diusabakan hillgga bilangan Reynolds 2000 sampai 3000. Di bawab Re
= 2000 aliran benar-benar bersifat
stabil da
seialu laminer. Batas atas yang eksak dari hingga harga Re yang masih memungkillkan terjadinya alirnn laminar belum diketahui. dan aliran laminer dengan Re sampai 40.000 telah diamati dalam 8uasana istimewa. Alifan tw-bulcn dan turbulensi tidak terbatas pads alirall dalanl pipa saja,tetapi juga terjadi pada aliran-aliran melalui permukaan atan benda-benda. MaJaban turbulensi dapat teIjadi pada tiap jenis aliran asalkan bilangan Reynolds-nya cukup tinggi. Tubulensi juga merupakan ciri dari beberapa aliran yang dijumpai sehari-hari. Sebagai contoh, atmosfir hampir selalu ada dalam keadaan hJrbulen. Jelaslab bahwa aliran tw-bulen tidak dapat dipandang sebagai aJiran yang benarbenat stationer; selanjutnya lintasan aliran dari bagian-bagian fluida tertentu tidak dapat diramalkan seem"a a. priori, walaupun untuk syarat batas geometris yang paling sedehanapun. Paling baik harga rata-rata terhadap wal1u dan aJiran dapat dianggap stasioner. clan arab rata-rata dari aliran dapat ditentukan. Bila kita menyederhanakan persamaan Navier-Stokes, dengan menganggap aliran yang benar-benar stasioner atau dengan menentukan lintasan aliran dari partikel-pm"tikelflnida secara a priori~ maim dellga selldirillya kita telah membatasi tinjauan kita pada aJiran lanliner.
53
6.3
DISTRmUSI TEGANGAN GESER DALAM PIPA BIRPENAMPANG LINGKARAN.
Kita akan menganalisa aHran dalam pipa bulat (berpenampang lingkaran), dan pertama-tama akan mellUfuukanpersamaan yang umum yang menghubungkan tegangan geser , penurunan t~kanan dan jari-jari, dan tidak menggunakan persamaan Navier-Stokes secara langsung. Untuk ini, kita perhatikan suatu bagian dari pipa bulat dengan penampang tetap, yang mengalirkan fluids dengan massa jenis yang tetap. Akan kita anggap babwa alinm telah mencapai kesetimbangan (jadi telah berkembang penuh) daD karena itu gradien tekanannya telah mencapai harga yang kostan.panjang pipa 1clanjarijari pipa r. sedangkan beda tekanan sepaqiang I besamya Ap (lihat gambar 6.3)
Gambar 6.3. disbibusi tegangan geser dalam pipe
Tekanan pada tiap penampang bersifat seragam karena pipanya lw'us dan karena itu aJiran rata-rata arahnya mengikuti garis-garis sej~ar sumbu pipa. Untuk silinder keeil yang tergambar dengan garis potus-putus, syarat kesetimbangan gaya-gaya menghasilkan:
Ap. 1t~ =- 2 1tr t 1
6-1
di mana t tegangan geser pada koHt silinder yang bersangkutan. Bila rcJari-jari pip~ maka 6.1. menjadi :
Ap. 1tr~
= 21troto I
(6-2)
Dapat dilihat dari 6.1 dan6.2 babwa: r
(6-3)
T''='T'o'ro
yang menyatakan bahwa tegangan geser harns berubah secara tinier dengan jari-jari. Tegangan geser dinding 'to tentu ada hubungannya dengan koefisien gesek £koefisien
gesek didefmisikan sebagai :6p
= f.!-2 pv 'l.1_d
(6-4)
54
Jadi, dari 6.2 dan 6.4 : i r 1 2 I 2.. -:=J .- pv .-. 0
ro
2
1
1 zpv
(6-5)
d
atau To = 4.J
6.4
2
(6-6)
JAIU-.TAR! HIDRAUI,IK
Untuk saluran dengan penampang yang buka lingkaran, hubungan antura tekanan dengan teganAangeser dapat dinyatakan sebag'cU:
P A- (p + dp) A + to S d x = 0
(6-7)
di mana s adalm. parameter (keliIiugpenampang). sehingga diperoleh :
.."
::
~.Ap $
(6-8)
l
di mana I panjang pipa. Untuk pipa berpenampang lingkaran, dari persamaan 6.2 dan 6.4 dapat digabungkan menjadi :
To = t.p ro. 21
(6-9a)
:: f .~Pv2 4 2
(6-9b)
atan
r = 4.<> 1
(6-9c)
__pv2[ 2
Jadi bila harga eksperimental 'toatan f diketahni. maka besaran yang lain dapat dihitnng. Deugau cara yang serupa, nntnk saluran betpenampang bnkan lingkaran. dapat diturunkan.
55
bp
= f.
;It
4A
PV2
2
Suku 4 Als menggantikan d, dan disebut drmeter ekivalen, de.Als adalah hasil b38i luas penarnpang aliran dengan perimeter yang terbasahi dan disebut radius (jari-jari) hidraulik, rhoUntuk saJnran dengan penampang tidak beraturan, digunakan diameter ekivalende di tempat d, demikian pula unluk perhilungan bilangan Reynolds. Untuk empat persegi panjang, dengan sisi-sisi a dan b, de = 4 ab/2(a+b) = 2 ab/(a+b). wtuk annulus dengan diameter dalam d1dan diameter IU8l"d2, de
= n (d - d 12)/1,( ~
d 2 + d 1)
=d2 -
d 1.
Berdasarkan definisi diameter ekivalen di atas, maka untuk saluran yang tidak sepenuhnya'diaJirif1uida,
maka s hanyalah mencakup sebagian perimeter saja, yaitu
yang berselltuhan del1ganfluids, dan adanya permukaan bebas tidak diperhitungkan. Konsep diameter ini temyata sangat berguna untuk mengorelasikan sifat-sifat saJuran ya.n,gtidak berpenampa11glingkarang. Ada bcberapa penyimpa.ngan, terutama pada saluran-saluran dengan sudut-sudut yang t~am, karena a.daQyaaliran sekunder yang cuknp berarti dan menyebabkan kemgia.n-kemgianta.n1bahanpads nliran turbulen. 6.5
ALmAN LAl\fINER STASIONER DALAM PIPA. Ulltuk aliran laminer, eksperimen ReY110ldsmenwljukkan bahwa tiap partikel
bergerak sepanjang garis lurns yang sejajar dengan sumbu pipa. Persamaan geraknya d.'1patdisederhanakan sekaJi, d~U1dapat ditunjukkan bahwa tegangan gesemya sarna dengal1: du ~ ::
Jl
-d7
(6-7)
Dari persamaan ini yang menyatakan hubungan antarn gaya-gaya geser dengan .profil kecepatsll untuk aJiran lamiller dalumpipa, dan dari 6.i diperoleh :
dll -=-r dr
Ap
21p
(6-8)
56
persamaan ini berlaku terbatas pada aJiran laminer karena mencakup anggapanbahwa aliran bersifat stationer dan bahwa garis-garis ants merupakan garis-garis lurus yang sejsY3fdengan sumbu.setelah integrasi diperoleh : 2
Ap
= Zip
u
~
2
+ konstan
(6-9)
kecepatan fluida pada dinding pipa (r = ro), sarnadengan kecepatandinding, yaitl1nol, karena syarat tidak OOanyapergeseran (no slip). Konstanta integrasillya dengan demikiall dapat"dihitung sehingga : ...(6-10) Tanda negatif di depan Ap menUl~iukkanbahwa hanya bila tekanan pOOadaerah hulu (leiriOlebih besar dari hilir (kanan), fluida mengalir ke arab hilir (kanan). Persamaan di atas menyatakan pula bahwa untuk alinui laminer daJam pip~ distribusi kecepatannya bersif8t parabolik. Contoh di atas ini menunjukkan, bagaimana dengan syarat umum kesetimbangRD,dan hukum tegangan geser, prpfil kecepatan dapat ditentukan. Dengan menggunakan persamaan 7.10, I~u massa pipa dapat dihitung. yaitu :
Q
= I~u2"rrdr
=-
6.p n.r~4
81J,t
(6-11)
sedangkan kecepatan rata-ratanya : (6-12) yangtemyata
sarna dengan setengah harga kecepatan maksimun yang terjadi pOOa
tengah-tengah pipa. Persarnaan 6.12-dapat disusun kembali dalam bentuk: D.p= hI.g p
57
= 64l£.
~
pvd.~ . 2 64 1'2 l -. ----F:e 2 d
.. ...(6-13)
Persamaall yang terakhir ini dapa1 diballdiugkan dengan pers3m3an untuk kell.lgiall gc::.:ck~m di dalam pipa. Untuk kasus khusus alinmlaminer, terlihat ballwa:
l
v2
:: -J-= d 2
64 y2
__0Re 2
l
(6-14) d
:ltau: 64 Jr _ _. -Re
.. ...(6-15)
yang menunjukkan bahwa f merupakan fungsi sederhana dari bilangan Reynolds. Eksperimen menunjukkan persamaan dengan hasil Idi atas. Aliran laminer dengan profil kecepatan parabolik dalam tabung silindrik ini dikenaJ sebagai aJiran PoiseuiUe atau aliran Hagen-Poiseuille. Periu ditekankan bahwa distribusi kecepatan (persamaan 6.10) \
dapat diperoleh dengan integrasi persamaan Navier-Stokes sec9J1llangsung. 6.6. Atiran turbute~ melalui pipa lidn; basiJ...hasiieksperimen.
Untuk menentukan profit kecepatan turbulrn di dalam pipu. kelihatannya sangat logis hil1lkitn melaknknn 1ma.lisayang sempa clenganalinm huniner. T~tapi 3naJisa yang demikian tidak alum berlmsil km"ellaaliranlak lagi stasioner da'llintasan partikel-partikel t1uida sangat seharang, yang Inengakibatkan tidak mungkinnya peramalan gans-gans ami::!.
Akan tetapi ada beberapa hal yang sepintas laJu dapat dikatakan dalam menganalisa dish'ihusi kecepatannya. Harga rata-rata. clari kecepatan (terhadap waletu) hm'us searah dengan sumbu pipa, profil kecepata.l1rata-rata harus simetrik terhadap
58
sumbupjp~ dan pada dinding pipa kecepatan fluida hw"usnol. karena syarat tidak adanya pergeseran. Bentuk mnurn dari profit kecepatan ditunjukkan pada gambar 6.4.
A B
-. -. -. -. -.-
Gambar 6.4 Benlk umurn profil kecepatan
Eksperimen Rynolds menmyukkan bahwa dalam aliran turbulm, elernen-elemen fluida.(yangjauh lebih besar dari satu molekul) bergerak sep31yangpipa secara sebarang. Bila suatu partikel fluida bergerak tegak lurus pada arab kecepatan rata-rata (misalnya dari A kc B daIam gambar 6.4). ia bergerak dad daerah yang momentum rata-ratanya dalmn arab x yang lebih rendah ke daerah yang momentum (dalam arab x) rata-ratanya ~ebihtinggi. Oleh kan~n3ifu partikel tersebut akan mengadakwl gaya tahanan pada fluida di 8ekitar B. demikian pula, bila suatu partikel bergerak menjauhi 8umbu pipa, ia ak.an mempercepat fluida di sekitm.tempat bam yang didudukinya. Gaya-gaya ini merupakan hasil dari gernk lintang turbulen dari partikel-partikel fluida dan merupakan sebab dari geser (gaya geser nyata) dalam tluida. Dapat kita ingat bahwa gaya~gaya viskos dalam gas semplUl13dapat dijelasakan berdasarkan gerak molekuler yang sebarang; yaitu bahwa gaya-gaya gt'ser diha~ilkan oleh transfer momentum oleh gerak termal dari molekulmolekul. Gejala yang s~ienis ter:iadidalam gerak turbulen. tetapi dalam skala yang lebih besar. Dapst kita mengerti bahwa persoalan aIiran turbulen dalam pipa akan bersifat kompleks. Harga-harga koefisien gesek yang digunakan dalwll penggunaan teknik s~b8gjan b~sar bersifat ernpirik, nkan tetapi dengail menggunakan analisa diperoleh penjelas~Ul-pellielasanyang memuaskan tentang kecenderungan-kecenderungan yang diamati. Lebih dahulu akan dibatasi data ek~perimental1jntukpipa liein. Analisa teoritis akau menyusu1. Sela1~jutnya akan dibicarakan persoalan pipa-pipa kasar Yang dimaksudkan dengan pipa licin adaIah pipa-pipa denga:1permukaan seperti gelas, plastik
59
atuu logam yaJ1gdihaluskan. Pipa-pipa kasar m~.ncakuppipa-pipa lain seperti pipa-pipa baja, pipa-pipa besi dan pipa-pipa beton. Korelasi tentang koefisien gesek dalam 8li~
turbulen pertama-tama diajukan
oleh Blasius (1911), dengaD melakukan survei secara
kritis pada data dan
menfonuulasikan persamaan empirik berikut : 0,36 f=
Rl~ 114
YC1J1g berlakl1untuk pipa licin sampai bilangan Reynofcis 10 3. Dapat dilihat bahwa faktor ge.Rek dalam aliran turbulen berubah lebih pelan dengflll bilangan Reynolds dibanding dellp,an pada aliran lamincr. Bila dimlAA3pbahwa pada Re
= 2300 baik
maupun turbulen dapat terjadi, maka untuk aliran lamip-erf
64IRe .
~
aliran laminer
6-6..Turbulensi dan tegangan Reynolds Tw.bulensi adalah gerak p3J1ikel fluida yang sebarang dan fak teratur, baik mcnurut waJdu maupun ruang."Tak teratur" berarti bahwa gerak tersebut tak dapat ditentukan flecarajelas sedangkan"sebarang "(random) berarti walupun tak teratur) harga stalistik dari berbagai besaran dapat ditentukall. Turbulensi dibangkitkan oleh gaya-gaya viskos dan oleh gerakan lapisan .fluida yang berdampingall pada kecepa1anyang berbeda. Suatu gerak turbulen cenderung untuk tcredam bjla tidak ada sumber energi luar. Sebagai contoh, bila. suatu jaring kawat diletakkan di dalam terowongan angin, ulakan-ulakan yang bersekala agak besar akan t~rbentuk dibelak:mg kawat-kaw:Jt terscbut. Ulakan-ulakan ini saling berinteraksi, dan berdi~ipasi
mel'undi uiakun-ulukull yang Ie-bih kecil, smnpai akhirnya disipasi 1111
berlall~sulIg akiba1 elek viskos lIIw"ni (juili bcrsekala molekuler). Oleh karena itu turbulensi ml;'ncakupk~lompokpmtikel-partikel fluida. Terdapat bcberapa kendalabila kita mencoba menyelesaik311secara analitik d3l'i a1irnn tw-bulen, hal ini discbabkan karena alirnn tersebut bersifat sebarang dan tidak Rtationer. Meskipull demikj8J) pemecahan tersebut dnpat didekati den,gan persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini mencakup aliran turbulen, dan karena itu masih dapat diterapkan. Untuk rnernlliai analisa vektor, kecepatatl di dalam alirnn tlu.bulen kita
60
bedakan atas kornponen mta-rata (atau bulk), dan komponen kecepatan sekunder yang berfluktuasi yang disuperposisikan
pada yang pertama. Komponen sekunder ini
bersangkutan dengan gemk tal
W=w+w'
Dimana u ,v
w adalah kompouen rata-rata dan u', y' clan w' adalah komponen-
kompollcn 11ukturn;i. IJerJu.diperhatiklUl bahwa daJam aJiran tw'buien satu dimensi daJam arah XI walaupun,v
dan, w s~m1adongan nol, y' dan w' bclum tentu DOl.Sclanjutnya
sital fluida sepl~11itckanan dan maSSH jcnis juga memiliki komponen sesaat p dan p, dell,",ankomponen fluktllHsi p' elmlp'. PengukunUl kecl~patan fluicla yang bedl uktum:Jiini memcrlukan alat khusus, ya.itu anemometer J:awat pana.';, Y1mgmempunyai komponcn ntama kawat balns ( diameter .10-..jsampai .5x 10..4 inei). Kawat ini dipanaskan
dengan
alirall lis(rik stationer, clan laha1l31lnya diukur. Tahanan seballding dengall temperatw' ka\.vat, yang selanjutnya t('rgantung pada k~e~patan aJiran fluida melaJni kawat tersebut. KureJla kapasitas termiknya yang rendab, kawat terseLut bersifat saugat peka. terbadap fluktuasi k0ccpatan yang cukup kedl dari aliran turbnlen. Isyarat yang keluar dari ft.llometerkawat paml8 ini dapat. ditUJ~ukkan pada gambar berikut ini.
61
"
t I
u
\I
-----Garnbar; 6-5 : Ouktusi aliran lI.;;-DIJlen
