Vissza
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B1 teszt
87 A világot csak hat szám vezérli. (Martin Rees) Ezt a könyvet öt betű.
B1 teszt 1. Az x n +1 = x n + a) ∞ ;
1 , ∀ n ≥ 1 , x 1 = 0 sorozat határértéke n(n + 1) b) 0; c) 1 d) 2; e) nem létezik.
2. A lim{x }e −x határérték ( {x } az x törtrésze) x →0
a) nem létezik; b) 0 ;
c) 1 ;
d) ∞ ;
n , ∀ n ≥ 1 sorozat n +1 1 a) periodikus; b) határértéke ; c) monoton; 2 e) egyéb.
e) egyéb.
3. Az x n =
d) korlátlan;
2
4. Az I =
∫ x e dx 2 x
integrál értéke
0
a) 2e 2 − 2 ;
b) 4e 2 − 2 ; c) e 2 + 1 ;
d)
3 4 1 e + ; 4 4
e) egyéb.
5. Hány komplex gyöke van a z 5 = z egyenletnek? a) 0; b) 5 ; c) 6 ; d) 7 ;
e) végtelen sok.
6. Ha 2log4 x = 8 , akkor 4log2 x egyenlő b) 210 ; c) 1 ; a) 212 ;
e) egyéb.
d) 2048 ;
7. Ha z + z = 8 + 4i , akkor z 2 + 3z egyenlő a) 0 ; b) 1 + i ; c) 2 − 36i ; d) 2 + 36i ; e) 36 + 2i . 8. Az x − 1 + x − 2 = 3 egyenlet (x ∈ \) megoldásai a) egész számok; b) valódi komplex számok; c) négyzetének összege 5 ; d) egy intervallumot alkotnak; e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
88
B1 teszt
9. Az
M = {x ∈ _ 6x 2 − 5x + 1 = 0} ∪ {x ∈ _ x 2 − (1 + 2)x + 2 = 0}
halmaz elemeinek száma a) 0 ; b) 1 ;
c) 2 ;
d) 3 ;
e) 4 .
10. Az A(1, −2, 3) , B(0, −1,1) és C (2, 3, −7) pontok által meghatározott sík és az M (2,1, −1) pont távolsága 3 2 1 a) ; b) ; c) ; d) 0 ; e) egyéb. 10 5 13 G G G G u + v = 2 i − 3 j G G 11. Ha G G G , akkor 2u + 3v egyenlő G 3u + 2v = −i + 2 j G G G G G G a) 11i − 17 j ; b) 12i + 23 j ; c) 8i − 7 j ; e) egyéb.
G G d) 7i + 8 j ;
12. A B(4, 0) pont távolsága az x − 3y + 5 = 0 egyenletű egyenestől 4 9 6 5 a) ; b) ; c) ; d) ; e) egyéb. 10 10 10 10 13. Az A(1,2) , B(3,1) és C (4, 3) pontok által meghatározott háromszög területe 3 1 5 a) ; b) ; c) ; d) 2 ; e) egyéb. 2 2 2 14. Ha sin x = cos 3x , akkor 3π k π π k ∈ ] ; b) x ∈ − + k π k ∈ ] ; a) x ∈ + 4 2 8 (4k + 1)π k ∈ ] ; c) x ∈ 4
{
{
}
} }
π + k π k ∈ ] ∪ − π + kπ k ∈ ] ; d) x ∈ 2 4 8 π π k π k ∈ ] ∪ + kπ k ∈ ] . e) x ∈ − + 8 2 4
{
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B1 teszt 15.
89
a − b ≠ (2k + 1)π ,
Ha
2
E=
∀ k ∈ ],
akkor
az
2
(cos a + cos b ) − (sin a + sin b ) 2 2 tört értéke (cos a + cos b ) + (sin a + sin b )
a) sin(a + b) ; b) cos(a + b) ;
c) 1 + sin(a + b) ; d) sin2
a +b ; 2
e) egyéb. 1
x + sin x dx integrál értéke x2 e + 1 −1 1 + sin 1 1 ; b) 0 ; c) ; a) 2 2 1 +e
16. Az I =
17. A lim x →0
∫
1 d) − ; 2
e) egyéb.
tgx − sin x határérték x ⋅ arctg2x
b) ∞ ;
a) nem létezik;
c) −∞ ;
d)
1 ; 6
e)
1 . 2
x függvény egy primitívje 2 x x x e a) x ⋅ arctg + ln ; b) x ⋅ arctg + ln(4 + x 2 ) ; c) arctg2 ; 2 2 2 2 4+x − x x 2 x x e) x ⋅ arctg + ln . d) ⋅ arcsin − ln(4 + x 2 ) ; 2 2+x 2 4 + x2
18. Az f : \ → \ , f (x ) = arctg
19. Azoknak az a ∈ \ paramétereknek az összege, amelyekre az x + ay + z = 0 ax + 3y + 1 = 0 egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása 3x + 5y + az = 0 a) 0 ; b) 11 ; c) −11 ; d) 6 ; e) egyéb. x 2 2 2 20. Az
2 x
2 2
2 2 x
2
= 0 egyenlet gyökeinek szorzata
2 2 2 x a) −12 ;
b) −48 ;
c) 12 ;
d) 48 ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
90
B1 teszt
21. Ha az f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + 6 polinomnak ( a, b ∈ \ ) a −1 + i komplex szám gyöke, akkor az a 2 + b 2 értéke a) 25 ; b) 13 ; c) 89 ; d) 125 ; e) 50 . x + 1, x ≤ 2 22. Az f : \ → \ , f (x ) = 2 függvény x − 1, x > 2 a) nem injektív; b) nem szürjektív; c) periodikus; értelmezett; e) bijektív.
d)
nem
jól
23. A 2x + y − 7 = 0 , −x + 2y + 4 = 0 és x = 2 egyenletű egyenesek által meghatározott háromszög G súlypontjának a koordinátái: 38 3 49 8 37 11 43 19 a) , ; b) , ; c) , − ; d) , − ; 15 15 15 5 15 15 15 15 e) egyéb. 24. Az ABC háromszög csúcsai A(1,2) , B(5, 0) és C (5, 6) . A 4y − x = 7 egyenletű egyenes a) a BC oldal felezőmerőlegese; b) a háromszög egyik magasságpontja; c) a háromszög egyik szögfelezője; d) a háromszög egyik oldalfelzője; e) egyéb.
1− x2 25. Az f (x ) = arccos − 2 arctg x kifejezés 1 + x2 π a) , ∀ x ∈ \ ; b) π , ∀ x ∈ \ ; c) 0 , ha x > 0 ; 2 e) egyéb.
d) növekvő;
26. Egy konkáv négyszög oldalainak felezőpontjai által meghatározott négyszög a) trapéz; b) konkáv négyszög; c) paralelogramma; d) átlói harmadolják egymást; e) szögeinek mértéke számtani haladványban vannak. Azon m ∈ \ értékek összege, amelyekre az f : \ → \ , x <0 mx , függvény deriválható \ -en f (x ) = mx e − (m 2 + 3m − 3)x − 1, x ≥ 0 a) 0 ; b) 3 ; c) −3 ; d) 4 ; e) −4 .
27.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B1 teszt
91
2 függvény ( a > 0 ) egy primitívje a + x2 1 x 1 x b) arctg ; c) arctg ; 2a a a a
28. Az f : (−a, a ) → \ , f (x ) =
2
1 2x arctg ; a a 1 2ax d) arcsin 2 ; e) egyéb. a x + a2 a)
π2 29. Az x n = n
n
k
∑ n sin k =0
a) nem létezik;
30. Ha P (x ) =
kπ sorozat határértéke n
b) 0 ;
d) π ;
c) ∞ ;
a2 − x
ab
ac
ab
b2 − x
bc
ac
bc
c2 − x
e)
π . 2
, ∀ x ∈ \ esetén ( a ≠ b ≠ c ≠ a ),
akkor a P ′(x ) = 0 egyenlet gyökeinek összege 2 a) a 2 + b 2 + c 2 ; b) (a 2 + b 2 + c 2 ) ; c) 3 1 2 (a + b 2 + c 2 ) ; e) egyéb. 2
3 2 (a + b 2 + c 2 ) ;d) 2
31. Ha x 1 és x 2 az x 2 − x + 3 = 0 egyenlet két gyöke, akkor az 2 2 1 x + x 1 + 1 x 2 + x 2 + 1 E = 13 + kifejezés értéke 2 x 2 − x 22 + 2 x 13 − x 12 + 2
a) 0 ;
32.
2
Ha
2
1 + i 11 1 − i 11 1 + ; d) ; c) 2 2 2
13 b) ; 29
f : \ \ {1,2, 3} → \ ,
∀ x ∈ \ \ {1,2, 3} és f (x ) =
akkor a 2 + b 2 + c 2 49 7 a) ; b) ; 4 2
c) 1 ;
f (x ) =
e)
16 . 25
3x 2 − 13x + 13 , (x − 1)(x − 2)(x − 3)
a b c + + , ∀ x ∈ \ \ {1,2, 3} , x −1 x −2 x − 3 d)
13 ; 4
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
92
B1 teszt
33. Ha x 1 és x 2 az x 2 − 3x + 2 = 0 és x 3 illetve x 4 az x 2 − 2x + 3 = 0 egyenlet gyökei, akkor az értéke a) 0 ;
b) 6 ;
(x 3 − x1 )(x 3 − x 2 )(x 4 − x1 )(x 4 − x 2 ) c) 2 ;
d) 36 ;
szorzat
e) egyéb.
34. Az ABC egyenlő oldalú háromszögben meghúzzuk az AD magasságot ( D ∈ (BC ) ). Ha CD = 5 , akkor a) a háromszög kerülete 40 ; b) a háromszög területe 25 3 ; d) tetszőleges belső pontra az oldalaktól c) AD ∈ (1,2) ; való távolságok összege 5 3 ; e) létezik olyan M pont a háromszög 2 2 síkjában, amelyre MA + MB + MC 2 = 50 . 35. Egy háromszög súlyvonalai a) felezik egymást; b) nincsenek egy síkban; c) páronként összefutóak de nem mind összefutóak; d) áthaladnak a háromszög köré írt kör középpontján; e) egyéb. 36. Az x n = [sin n ] ⋅ sin n sorozat a) állandó; b) mértani haladvány; c) konvergens; d) monoton; e) egyéb. 37. Az f : \ → \ , f (x ) = 3 x 2 (x − 1) függvény inflexiós pontjainak száma a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 . 38. Az (x 2 + 2x )e x −1 = 1 egyenlet [0,1] intervallumba eső gyökeinek száma b) 1 ;
a) 0 ;
c) 2 ;
d) 3 ;
e) végtelen sok.
π 2
39. Az I n =
∫ sin
n
x dx , n ≥ 1 sorozat határértéke
0
a) nem létezik;
b) 0 ;
c)
2 ; π
π
2 d) ; π
e) egyéb.
n 2 + 1 n 2 + 22 n2 + n2 + + ... + és n +1 n +2 n +n 1 1 1 2n 2Tn − Sn Tn = + + ... + , akkor a lim határérték n →∞ n2 n +1 n +2 n +n
40.
Ha
Sn =
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B1 teszt
93
a) nem létezik; b) 2 ln 2 ;
c)
1 ; 2
d) 0 ;
e) egyéb.
41. (] 6 , +) minden részcsoportjában összeadjuk az elemeket, majd az így kapott összegeket is összeadjuk. Az eredmény 0; b) c) d) a) 1; 2; 3;
e) 4.
42. Jelöljük rk -val az fk = X k + k polinom (X − 2) -vel való osztási n
maradékát. Ha x n = ∑ rk , ∀ n ≥ 1 esetén, akkor x 10 értéke k =1
a) 2101 ;
b) 1053 ;
c) 1072 ;
d) 4107 ;
e) egyéb.
43. Az (n − 1)x n − nx n −1 + 1 = 0 egyenlet valós gyökeinek maximális száma n ≥ 2 esetén a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 4 ; e) n . 2003
44. Ha A ∈ M 2 (\) és A a) 0 ;
b) 1 ;
2003 91 , akkor det(A) egyenlő = 22 1 c) −1 ; d) 2003 ; e) egyéb.
45. Hány darab M (x , y ) , x , y ∈ ] pont esetén teljesülnek a következő egyenlőtlenségek: x + y ≥ 4, x − 3y ≥ −8, y − 3x ≥ −8 . a) 0 ;
b) 1 ;
c) végtelen sok
d) 7 ;
e) 11 .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
94
B2 teszt Az örökkévalóság nagyon hosszú, különösen a vége fele (Woody Allen) s még tesztet sem kell írni
B2 teszt 1. Az 12 − 22 + 32 − ... + 20032 összeg értéke a) 2003 ⋅ 2002 ; b) −2003 ⋅ 1001 ; c) 2003 ⋅ 1001 ; e) egyéb. 2.
Azoknak 1 m A = m −2 1 2 a) 0 ; b) 2 3. Ha A = 1 b) a) 6n ; e) egyéb.
az
m∈^
értékeknek
az
d) 2003 ⋅ 1002 ;
összege,
amelyekre
2 m mátrix invertálható −1 −1 ; c) 5 ; d) 3 ; e) egyéb. a b 0 és An = c d , akkor a + b + c + d = 3 2 c) (n 3 − 6n + 11n − 4)3n ; 4n + 2n ;
d) 2 ⋅ 3n ;
d) 1 ;
xn határérték n e) egyéb.
d) l = 1 ;
e) egyéb.
d) 4 ;
e) egyéb.
4. Ha x 1 = 1 és x n +1 = 1 + (n + 2)x n , ∀ n ≥ 1 , akkor a lim
n →∞
a) 0 ;
b) nem létezik;
5. Ha l = lim x →0 x >0
a) l = ∞ ;
c) ∞ ;
ln(1 + sin x ) , akkor ln x b) l = 0 ;
c) l = −∞ ;
1
6. Az
∫ (x
2
− 4x + 3)e −xdx integrál értéke
0
a) −2 ;
b) 1 ;
c)
2 −1; e
az
7. Két merőleges egyenes iránytényezőjének szorzata
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B2 teszt a) 1 ;
95 b) 0 ;
c) −1 ;
d) i ;
8. Az x 2 + y 2 − 8x − 4y − 16 = 0 egyenletű kör átmérője a) 6 ; b) 3 ; c) 12 ; d) 18 ;
e) egyéb.
e) egyéb.
x −1 x −2 z − 3 = = egyenletű egyenes és a 2z + 3y + 4z = 0 2 3 4 egyenletű sík a) párhuzamos; b) merőleges; c) egy pontban metszi egymást; d) 30° -os szöget zár be; e) egyéb. 9. Az
10. Egy trapéz középvonalának hossza 3 és a magasságának a hossza 7 . A trapéz területe 21 a) ; b) 21 ; c) 42 ; d) 70 ; e) egyéb. 2
G G G G G G G G 11. Ha u = 2i + 3 j és v = 3i − 2 j , akkor az u ⋅ v skaláris szorzat értéke a) 12 ; b) 13 ; c) −5 ; d) 0 ; e) egyéb. 12. Ha ε az x 3 − 1 = 0 egyenlet egy nem valós P = (1 − ε)(1 − ε2 )(1 − ε 4 )(1 − ε5 ) , akkor a) P = 0 ; b) P = 3 ; c) P = 9 ; d) P ∉ \ ; e) egyéb.
gyöke
és
13. Ha 2x +y + 3 = 5x +y és 3x +2y + 7 = 4x +2y , akkor x 2 + y 2 értéke a) 1 ; b) 5 ; c) log2 7 ; d) 10 ; e) egyéb. 14. Az f ∈ ] 6 [X ] , f = X 3 − X polinom gyökeinek összege b) a) 0; 2; c) 3; d) 5; e) 1. 15. Ha az f = X n + X n −3 − 2 polinom osztható az X 2 + X + 1 polinommal, akkor létezik olyan k ∈ `* , amelyre a) n = 6k + 2 ; b) n = 3k ; c) n = 3k + 1 ; d) n = 3k + 2 ; e) egyéb. 16. Ha az (an )n ≥1 ⊂ \ * sorozat tagjai teljesítik az
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
96
B2 teszt 1 1 1 n −1 + + ... + = a1 + a 2 a2 + a 3 an −1 + an a1 + a n
egyenlőséget bármely n ∈ ` , n ≥ 3 esetén, akkor a) (an )n ≥1 mértani haladvány; b) (an )n ≥1 számtani haladvány; c) (an )n ≥1 periodikus;
d) (an )n ≥1 állandó sorozat;
e) egyéb. 17. Az [1001,2003] intervallumban hány darab n természetes szám esetén n 3 van a 2 3 x 4 + kifejtésének x -től független tagja? x a) 1001 ; b) 182 ; c) 92 ; d) 91 ; e) egyéb. 2n + 7n , akkor n→∞ 3n + 8n
18. Ha l = lim
a) l = 0 ; b) l = ∞ ; c) l =
7 ; 8
d) l =
3 ; 2
e) egyéb.
19. Az 5a + 3b + 3c = 0 feltétel ahhoz, hogy az ax 2 + bx + c = 0 egyenletnek legyen valós gyöke a [0,2] intervallumban ( a, b,c ∈ \ és a ≠ 0 ) a) szükséges; b) elégséges; c) szükséges és elégséges; d) nem szükséges és nem is elégséges; e) egyéb. n na +x a +x x + = egyenletnek, ha a x b a > b > 0 és n ≥ 2 természetes szám? a) 1 ; b) 2 ; c) függ a -tól és b -től; d) függ n -től; e) egyéb.
20. Hány megoldása van az
n
21. Az x ∈ ` szám hány különböző értékére egész szám a x 2 + x + 4 kifejezés értéke? a) 1 ; b) 0 ; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb. 22. Ha x , y,z ∈ ^ , x + y + z ≠ 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 0 és x = y = z = 1 , akkor x + y + z értéke a) 0 ;
b) 2 ;
c)
2;
d) 4 ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B2 teszt
97
23. Az f : \ → \ , f (x ) = x − a + x − b , a, b ∈ \ , a ⋅ b ≤ 0 függvénynek a legkisebb értéke pontosan akkor 2 −ab , ha a) a > b ; b) a + b = 0 ; c) a ⋅ b = 0 ; e) egyéb. 2
d) a ⋅ b = −1 ;
2
n n −1 24. ∑ 2k C 22nk − 2 ∑ 2k C 22nk +1 = k =0 k =0 n a) 0 ; b) −1 ; c) 3 ; d) 1 ;
e) egyéb.
1 x ⋅ 2 = 4 egyenletnek? x d) végtelen sok; e) egyéb. 1
25. Hány valós megoldása van az x ⋅ 2 x + a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ; n
n 2 + 2n + 3 26. Ha l = lim 2 , akkor n →∞ n + n + 1 a) l = e −1 ; e) egyéb.
b) l = 1 ;
c) l = e ;
d) l = ∞ ;
[nx ] , akkor n →∞ n
27. Ha x ∈ \ és l = lim a) l = x ;
b) l = x 2 ;
d) l nem függ x -től;
x >0 x , c) l = ; x + 1, x < 0 e) egyéb.
x −1 x határérték 28. A lim x 2 − x →∞ x x + 1 1 c) − ; d) −1 ; a) nem létezik; b) 1 ; 2
29.Legyen H
e) egyéb.
azoknak az x 0 értékeknek a halmaza, amelyekre az
x 3 + 2x + 1, x ∈ \ \ _ f : \ → \ , f (x ) = függvény folytonos x 0 -ban. H 5x − 1, x ∈_ elemeinek összege a) 0 ; b) −1 ; c) 1 ; d) 1 ; e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
98
B2 teszt
30. Ha 2 arcsin a)
3 − 1;
x = arccos x , akkor x = 2 3 −1 3 +1 π b) ; c) ; d) ; 8 2 2
e) egyéb.
31. Az y 2 = 2px egyenletű parabolában ( p > 0 ) az első szögfelezővel párhuzamos húrok felezőpontjainak mértani helye a) az y = px egyenletű egyenes; 1 b) az y = − x , x ≥ p egyenletű félegyenes; p p c) az y = p , x ≥ egyenletű félegyenes; 2 d) az y = p egyenletű egyenes; e) egyéb. 32. Ha az x 2 + y 2 = r 2 egyenletű kör érinti a 2x − y = −1 egyenletű egyenest, akkor 2 1 1 a) r = ; b) r = ; c) r = 5 ; d) r = ; e) egyéb. 5 5 5 33. Az y = mx +
p ( m ≠ 0 ) egyenesnek és az y 2 = 2px egyenletű 2m
parabolának a) nincs közös pontja; b) egy közös pontja van és az egyenes nem érinti a parabolát; c) egy közös pontja van és az egyenes érinti a parabolát; d) két közös pontja van ; e) egyéb. G 34. Ha u egy rögzített vektor és az A pont a C (O, R) körön mozog (bejárja JJJG G ezt a kört), akkor az OA + u vektor O kezdőponttú reprezentánsának végpontja a) egy egyenesen mozog; b) egy körön mozog; c) bárhol lehet a kör síkjában; d) egy szakaszon mozog; e) egyéb.
35. A sin a) 1 ;
π π ⋅ cos szorzat értéke 10 5 1 1 b) ; c) ; 4 2
d)
1 8
;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B2 teszt 36.
99 I a = (a, ∞)
Az
halmazon
értelmezzük
az
x ∗ y = xy − a(x + y ) + a 2 + a , ∀ x , y ∈ I a műveletet. Ha az x ∈ I a elem inverzét a ∗ műveletre nézve x ′ -vel jelöljük, akkor x + x ′ minimuma b) 2(a + 1) ; c) 2(a 2 − 1) ; d) 2(a 2 + 1) ; a) 2(a − 1) ; e) egyéb. x 2 y2 + = 1 egyenletű ellipszishez a P (10, −8) ponton át érintőket 25 16 húzunk. Ha az érintési pontokon áthaladó egyenes egyenlete y = ax + b , akkor 2 4 5 5 a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; e) egyéb. 5 5 4 2
37. Az
kπ , ∀ j = 0, n és k ∈ ] esetén, akkor a 2j 1 1 1 + + ... + összeg sin 2x sin 4x sin 2n x b) c tg2 x − c tg2 2n x ; c) c tg x − c tg 2n x ; a) tg x + tg 2n x ; 1 x d) n c tg n − 2c tg 2x ; e) egyéb. 2 2
38. Ha x ≠
n
39. Az f = (X n − a ) − (X + a ) polinom a ∈ ] esetén a) irreducibilis ][X ] -ben; b) irreducibilis \[X ] -ben; c) irreducibilis _[X ] -ben; d) reducibilis ][X ] -ben;
e) egyéb.
ln 2
40. Ha I n =
∫
n
e x − 1dx , akkor a lim I n határérték
0
a) nem létezik; b) 0 ; 4
41. Az
∫ 0
n →∞
c) 1 ;
d) ln 2 ;
e) egyéb.
dx dx integrál értéke x −a + 2
2 −a a) ln , ha a ≤ 0 ; 6 −a a −2 c) ln , ha a ≥ 4 ; a +2
(a + 2)(6 − a ) , ha a ∈ (0, 4) ; 4 a +2 d) ln , ha a ∈ (0, 4) ; e) egyéb. a −2 b) ln
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
100
B2 teszt
x 2 + ax , x <0 42. Az f : \ → \ , f (x ) = , a, b ∈ \ függvény + ≥ ln( 1), 0 b x x a) nem folytonos ∀ a, b ∈ \ ; b) deriválható ∀ a, b ∈ \ ;
c) pontosan akkor deriválható \ -en ha a = b ; d) pontosan akkor deriválható \ -en ha a = b = 1 ;
e) egyéb.
43. Ha (1 + 5)n = An + Bn 5 és An , Bn ∈ ` , ∀ n ≥ 1 , akkor a lim
n →∞
határérték a) 1 ;
b)
44. A lim
n →∞
{
n →∞
a) e ;
n
c)
5;
d) 0 ;
e) egyéb.
1 ; 2
e) egyéb.
}
n 2 + n + 1 határérték
b) 1 ;
a) 0 ;
45. A lim
1 ; 5
An Bn
1 c) − ; 2
n! határérték n 1 b) ; c) 1 ; e
d)
d) nem létezik;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B3 teszt
101 Ahogy a puszta kéz nem elég az asztalosmunkához, a puszta agy sem a gondolkodáshoz (Bo Dahlbom, Lars Erik Janlert) a tesztekről jobb nem nyilatkozni
B3 teszt 1. Ha f (x ) = x 3 − x 2 + x + 2 és x 0 = 1 + i 2 , akkor f (x 0 ) -ban a) 0 ;
b) −1 ;
c) 1 ;
d) 3 + i 2 ;
e) egyéb.
2. Határozd meg Im f -et, ha f : [1, 4] → \ , f (x ) = x 2 − 4x + 3 , ∀ x ∈ [1, 4] . a) [0, 3] ;
b) [−1, 0] ;
c) [−1, 3] ;
d) [−7, 3] ;
e) egyéb.
3. Határozd meg az n ∈ `* értékét, ha az (1 + 3)n kifejtésében a legnagyobb tag a 11 -edik. a) n = 7 ; b) n = 12 ; c) n = 18 ; d) n = 24 ; e) egyéb. n
4. Az S = ∑ kC nk összeg bármely n ∈ `* esetén k =0
n(n 2 − n + 2) ; 2 d) (n 3 − 6n 2 + 12n − 6) 2n −1 ; e) egyéb.
a) n 2n −1 ; b) 3n 2 − 6n + 4 ; c)
5. Ha y = ax + b annak az egyenesnek az egyenlete, amely áthalad az M (1, 4) ponton és egyenlő távolságra van az A(−2,1) és B(4, 3) pontoktól, akkor a + b 13 10 b) 2 ; c) 4 ; d) ; e) . a) 0 ; 3 3 6. Az A(1,1) , B(1, − 1) és C (2, 0) pontokon áthaladó kör sugara a)
5;
b)
3;
c) 1 ;
d) 4 ;
e) 3 .
7. Milyen m ∈ \ esetén érinti az y = mx + 2 egyenletű egyenes az y 2 = 4x egyenletű parabolát? 1 1 a) m = ; b) m = ; c) m = 1 ; d) m − 0 ; e) egyéb. 8 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
102
B3 teszt
8. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsa A(−3, 5) , B(1, 7) és az átlók metszéspontja M (1,1) . Határozd meg a CD oldal felezőpontjának koordinátáit. b) (4, −5) ; c) (−4, 5) ; d) (2, 3) ; e) (−2, − 3) . a) (3, − 4) ;
G G G G 9. Határozd meg az m ∈ \ paraméter értékét úgy, hogy az u = −2i + 5j − k G G G G és a v = 3i + j + mk vektorok merőlegesek legyenek. a) 1 ; b) 0 ; c) 2 ; d) −2 ; e) −1 . 10. A C nn+−31 = C nn+−13 (3 + C nn −1 ) egyenlet megoldásainak száma (csak azokat vesszük figyelembe, amelyekre a megjelenő kombinációs együtthatók nem nullák). a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb. 11. Az E = 3 45 + 29 2 + 3 45 − 29 2 szám egyenlő a) 1 ; b) 5 ; c) 12 ; d) 6 ; e) 8 . x x 1 12. Ha (3 + 2 2 )2 + (+3 − 2 2 )2 = 6 , akkor x + értéke x 3 10 3 2 b) ; c) ; d) ; e) egyéb. a) 2 ; 2 3 2 13. Ha x 1 , x 2 és x 3 az f = X 3 + aX 2 + b polinom gyökei ( a, b ∈ ^ ), akkor az S =
f (x 2 + x 3 ) x1
a) −1 ; 14. Az
+
f (x 3 + x 1 ) x2
b) 0 ;
+
f (x 1 + x 2 ) x3
c) −2a 2 ;
\ -en értelmezzük az
összeg értéke
d) a 2 + b ;
x ∗ y = log3 (3x + 3y − 1) ,
műveletet. Az (\, ∗) struktúra a) nem kommutatív csoport; b) kommutatív csoport; d) nem értelmezett, mert ∗ nem művelet; 15. Ha a lim
x →∞
a) a = −3 ;
(
e) egyéb. ∀ x, y ∈ \
c) monoid; e) egyéb.
)
x 2 + 2 + x 2 − 1 − ax határérték véges, akkor
b) a = 2 ;
c) a = 1 ;
d) a = 4 ;
e) a =
1 . 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B3 teszt
103 x
x 2 + ax + 1 16. Ha lim 2 = e , akkor x − 2x + 1 x →∞ a) a = 3 ; b) a = −1 ; c) a = 1 ;
d) a = 0 ;
e) egyéb.
17. Számítsd ki annak a körnek a sugarát, amely áthalad az A(3,1) és B(−1, 3) pontokon és középpontja a 3x − y = 2 egyenletű egyenesen van. a) 10 ; b) 7 ; c) 3 ; d) 4 ; e) 10 . 18. Határozd meg azokat az M 1(0, a1 ) és M 2 (0, a2 ) pontokat, amelyekből az
AB szakasz derékszögben látszik, ha A(−3,1) és B(3, −7) . Az így kapott M 1M 2 szakasz felezőpontjának az ordinátája 5 7 b) 4 ; c) 2 ; d) ; e) . a) 3 ; 2 2 19. A d1 : 3x − y − 1 = 0 , d2 : 2x − y + 3 = 0 és d3 : x − y + 7 = 0 egyenesek a) páronként 60° -os szöget zárnak be egymással; b) egy derékszögű háromszöget határolnak; c) összefutnak; d) párhuzamosak; e) egyéb. x 2 y2 x 2 y2 + = 1 és + = 1 egyenletű ellipszisek metszéspontjai a 2 b2 b2 a 2 által meghatározott négyszög átlói által bezárt szög mértéke a) 45° ; b) 90° ; c) 30° ; d) 60° ; e) egyéb.
20. Az
21. Az ABC háromszögben D ∈ (BC ) a belső szögfelező talppontja. Az JJJG JJJG AB ⋅ AC − BD ⋅ DC különbség értéke 2 3 b) d (A, BC ) ; c) (AB 2 + AC 2 ) ; a) 0 ; 8 3 2 2 d) BC ; e) AD . 4 22. Az a és b valós paraméterek milyen értékeire van a 2
2
(ax + b ) + 3 (ax − b ) + 3 a 2x 2 − b 2 = 3 b egyenletnek pontosan egy megoldása? b) b = 0 , a ∈ \ * ; c) b ∈ {0,1} , a ∈ \ * ; a) a = 0 , b ∈ \ ; d) a = 1 , b = 0 ; e) egyéb. 3
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
104
B3 teszt
23. Az (X − 1)n +3 + X 2n +3 , n ≥ 2 polinom egyik osztója a) X 2 + X + 1 ; b) X 2 − X + 1 ; c) X 2 + 1 ; d) X 2 + 3X + 1 ; e) egyéb. 24. Az \ -en értelmezett az x ∗ y = xy − 4x − 4y + α művelet. Milyen α
(
)
esetén lesz a [4, ∞), ∗ struktúra csoport? a) α ≥ 20 ;
b) α = 20 ;
c) α = 13 ; d) α = 21 ; e) egyéb.
25. Ha A ∈ M n (\) és det(A) = 0 , akkor a) létezik k ∈ ` úgy, hogy Ak = 0n ; b) létezik B ∈ M n (\) úgy, hogy B ≠ 0n és A ⋅ B = 0n ; c) A nem invertálható de végtelen sok jobboldali inverze van; d) det A* = 1 ; e) egyéb. 26. A 2 , 3 és 7 számok a) számtani haladványt alkotnak; b) mértani haladványt alkotnak; c) lehetnek egy mértani haladvány (nem föltétlenül egymásutáni) tagjai; d) nem lehetnek egy számtani haladvány (nem föltétlenül egymásutáni) tagjai; e) egyéb.
1 −2 −1 2 3 , akkor 27. Ha A = 2 3 és B = 4 2 1 1 2 −7 1 4 −9 −2 1 2 4 a) AB = 3 b) BA = ; c) AB = 10 10 9 ; 2 1 ; 3 5 7 −6 5 7 6 5 −9 −2 1 d) AB = 10 10 9 ; e) egyéb. 6 6 5
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B3 teszt
105
x = by + cz 28. Az y = ax + cz egyenletrendszer ( a,b, c ∈ \ ) pontosan akkor y = ax + by rendelkezik nullától különböző megoldásokkal, ha a) ab + bc + ca + 4abc = 1 ; b) ab + bc + ca − 2abc = 1 ; d) a = b = c = 1 ; e) egyéb. c) ab + bc + ca + 2abc = 1 ; π 2
e x + cos x ∫ e x + sin x + cos x dx integrál értéke 0 π π 1 ln 2 π 1 ln 2 + ln e 2 + 1 − ; b) − ln e 2 + 1 + ; 2 2 4 2 2 π 1 ln 2 + ln e 2 + 1 + ; d) nem létezik; e) egyéb. 2 2
29. Az
π 4 π c) 4 a)
( (
) )
(
)
30. Számítsd ki az f (x ) = e x , g(x ) = e −x függvények grafikus képe és az x = 1 egyenletű egyenes által határolt síkidom területét ( f , g : \ → \ ) (e − 1)2 1 1 1 a) ; b) e − + 1 ; c) e + + 1 ; d) e − + 2 ; e e e e e) egyéb. 2x 2 + 1 , ∀ x > 1 függvény ferde 31. Ha az f : (1, ∞) → \ , f (x ) = x −1 aszimptotája y = ax + b , akkor az a + b összeg értéke a) 3 ; b) 0 ; c) 4 ; d) 2 ; e) egyéb. 32. Ha g : \ → \ az f : \ → \ , f (x ) = x 3 + x + 1 függvény inverze, akkor 1 a) g ′(11) = ; b) g ′′(11) = 0 ; c) g ′(11) = 13 ; d) g ′(11) = 0 ; 13 e) egyéb. x
2 1 2 33. Számítsd ki a lim e −x ∫ t 2e t dt határértéket! x →∞ x 0 1 b) ; c) 1 ; d) 0 ; a) ∞ ; 2
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
106
B3 teszt 1
34. Ha l = lim n ⋅ ∫ x n arctg2 xdx , akkor n →∞
0
2
a) l =
π ; 16
b) l =
π ; 4
c) l = 0 ;
d) l = 1 ;
e) egyéb.
35. Azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek áthaladnak az A(5, 0) ponton és érintik az (x + 5)2 + y 2 = 64 egyenletű kört a) egy egyenes; b) egy hiperbola ág; c) egy parabola; d) egy kör; e) egy ellipszis. 36. A C (O, R) kör rögzített belső pontján át meghúzzuk az AB és CD JJJG JJJG JJJG JJJG egymásra merőleges metsző húrokat. Az AD ⋅ CB + AC ⋅ BD összeg b) 0 ; c) −R 2 ; d) 3R 2 ; e) OP 2 . a) R 2 ;
1 − x 37. A G = 0 x
x 1 0 0 x ∈ \ \ halmaz 2 0 1 − x a) részcsoportja (GL3 (\), ⋅) -nak; b) nem kommutatív csoport; 0
{}
c) kommutatív csoport; d) nem csoport, mert egyetlen eleme sem invertálható;
e) egyéb.
x (x + y + z ) = 2 38. Az y(x + y + z ) = 6 egyenletrendszer megoldásainak négyzetösszege z (x + y + z ) = −4
a) 13 ;
b) 14 ;
c) 8 ;
1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3x határérték x →0 x2 a) nem létezik; b) 13 ; c) 7 ;
d) 9 ;
e) egyéb.
d) 1 ;
e) egyéb.
39. A lim
40. Ha x n =
1 1 1 + 1 + ... + n , akkor a lim x n határérték 0 n →∞ Cn Cn Cn
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B3 teszt
107
a) 0 ;
b) 2 ;
1 ; n +1
c) 1 ;
d)
c) 0 ;
d) 1 ;
e) egyéb.
n
n határérték 2 n →∞ k =1 n + k
41. A lim ∑ a)
π ; 4
2
b) arctg 2 ;
42. Ha a 0 = 1 és an+1 = an + 1 + an2 , akkor a lim
n →∞
a)
4 ; π
b)
π ; 2
c)
π ; 4
e) egyéb.
an határérték 2n
d) 0 ;
e) egyéb.
43. Ha m és M az f : \ → \ , f (x ) = ax 3 + px + q függvény lokális minimuma illetve maximuma, akkor a m ⋅ M szorzat értéke 27q 2 4p 3 16p 3 4p 3 2 2 2 2 a) p + ; b) q + ; c) q + ; d) q − ; 4a 27a 27a 27a e) egyéb. 44. A c ∈ \
paraméter milyen értékeire Darboux tulajdonságú az 1 1 − x , x ≠0 f : \ → \ , f (x ) = x e − 1 függvény? c, x =0 1 1 1 a) c = 0 ; b) c = ; c) ∀ c ∈ − , ; 2 2 2 d) nem létezik ilyen érték; e) egyéb.
45. Az 3x + 7 x = 6x + 4x egyenlet gyökeinek száma b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; a) 0 ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
108
Tartalomjegyzék
B4 teszt A nyelvet azért találták fel, hogy az emberek elrejthessék gondolataikat egymás elől. (Charles-Maurice de Talleyrand) Hát a tesztet?
B4 teszt 2x + 5y = 1 1. A rendszer megoldása (] 8 , +, ⋅) -ban 3x + 4y = 7 a) x = 0, y = 3; b) x = 1, y = 3; c) x = 3, y = 1; d) nem egyértelmű; e) egyéb. x − ay + z = 1 2. Az x − y + z = −1 , a ∈ \ ax + a 2y − z = a 2 határozatlan, ha a) a = 1 ; b) a = −1 ;
c) a = 2 ;
egyenletrendszer pontosan akkor
d) a = −3 ;
e) a = 0 .
3. Az f : \ → \ , f (x ) = (x + 1)2 + 1 + (x − 3)2 + 1 függvény b) minimuma 2 ; a) minimuma 2 2 ; c) nem rendelkezik lokális szélsőértékponttal; d) bijektív; e) egyéb. 3 −4 2 1 4. A −2 3 −1 ⋅ X = 0 egyenlet megoldásában az elemek összege 1 −1 −2 −2 a) 0 ; b) 3 ; c) −2 ; d) 1 ; e) egyéb. 5. Az \ -en értelmeztük az x ∗ y = x + y + axy , ∀ x , y ∈ \ műveletet ( a ∈ \ rögzített). A művelet semleges eleme 1 b) nem létezik; c) − ; a) 0 ; a
d)
1 ; a
6. Az a = log8 27 szám függvényében számítsd ki a log 4 18 .
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B4 teszt a) a 2 + 2a − 3 ; b) a + 1 ;
109 c)
2 1 1 a + ; d) a + ; 3 2 2
7. Az 9x 2 + 25y 2 = 1 egyenletű ellipszis fókusztávolsága 4 8 16 32 a) ; b) ; c) ; d) ; 15 15 15 15
e) egyéb.
e) 1 .
8. Hány közös pontja van az x 2 + y 2 + 2x − 4y − 20 = 0 egyenletű körnek és az x + y = 1 egyenletű egyenesnek? a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; e) végtelen sok.
n 9. Számítsd ki a BA C mértékét, ha A(1,1) , B(2, 3) és C (5,1) . a) 30° ; b) 60° ; c) 45° ; d) 90° ; e) 0° . 10. Az ABC háromszög csúcspontjai A(1, −3) , B(3, −5) és C (−5, 7) . Ha G (x , y ) az oldalak felezőpontjai által meghatározott háromszög súlypontja, akkor x + y értéke 2 1 a) 0 ; b) − ; c) 1 ; d) ; e) egyéb. 3 4 MA 11. Az AB szakaszon vegyük fel az M pontot úgy, hogy = 2. MB Határozd meg az M pont koordinátáit ha A(2,2) és B(8,10) . 11 22 11 22 a) 6, ; b) , 6 ; c) , 6 ; d) 6, ; e) egyéb. 3 3 3 3 12. Az ABC háromszög két csúcspontjának koordinátái A(3, −1) és B(5, 7) és a magasságpontja H (4, −1) . A harmadik csúcs koordinátái 5 16 3 11 a) (6, −1) ; b) (5, −1) ; c) 5, − ; d) , − ; e) , −2 . 4 3 2 2 13. Az a∈\ milyen értékeire merőleges a d1 : (3a − 1)x + (5 − 4a )y + 8 = 0 és d2 : (5a − 7)x + (a + 3)y − 7 = 0 egyenes egymásra? a) a = 0 ; b) a ∈ {0,2} ; c) a ∈ {1,2} ;
d) a = 1 ;
e) a = 2 .
Helyes válaszok
110
Tartalomjegyzék
B4 teszt
14. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának két végpontja A(−1, 3) és B(3, 5) . Az átfogó irányvektora v(1, 8) . Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit. 3 5 a) (0, 0) ; b) , − ; c) (3, −7) ; d) (2, −3) ; e) (1, −2) . 2 2 λ 1 2 3 1 λ 3 2 15. Azoknak a λ értékeknek az összege, amelyekre az A = 2 1 λ 3 1 2 3 λ mátrix rangja nem négy b) −6 ; c) 0 ; d) 11 ; e) egyéb. a) 6 ; 16. Az a)
5
17. A
5
3 + 5 3 2 + 5 + 5 3 + 5 3 2 − 5 kifejezés értéke
15 ;
b) negatív; c) egész szám;
d) 1 ;
e) egyéb.
1 = 0 egyenlet valós megoldásainak halmaza x2 b) ∅ ; c) {±1, 0} ; d) végtelen sok elemet tartalmaz;
x2 −1 + x 1−
a) {−1,1} ; e) egyéb.
18. A x − 3 x − 1 ≥ 1 egyenlőtlenség valós megoldásainak halmaza a) [0,1] ; b) [0, ∞] ; c) [0,1] ∪ {9} ; d) \ ; e) egyéb. log2 x + log 3 y = 3 egyenletrendszer megoldásaira az x ⋅ y szorzat 19. A 2 x + y 2 = 25 értéke a) 1 ; b) 10 ; c) 5 6 ; d) 12 ; e) egyéb.
20. x 1 , x 2 és x 3 az x 3 − x 2 + x − 20 = 0 egyenlet gyökei. Számítsd ki a x1
x2
x3
∆ = x3
x1
x 2 determinánst.
x2
x3
x1
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B4 teszt
111
a) −1 ;
b) 1 ;
c) 0 ;
d) 3 ;
e) egyéb.
21. Ha A ∈ M n (\) és A* az A adjungált mátrixa, akkor detA* értéke 1 a) 1 ; b) , ha det A ≠ 0 ; c) detA ; d) detn −1 A ; detA e) egyéb. 22. Ha xyz = 1 , akkor az S = összeg értéke a) 0 ; d) 1 ;
yz zx xy + + 1 + y + yz 1 + z + zx 1 + x + xy
b) függ x , y, z -től; e) egyéb.
c) csak x -től függ;
23. Ha A ∈ M 2 (\) , A ≠ 02 és létezik olyan k ∈ ` , amelyre Ak = 02 , akkor a legkisebb ilyen k a) 2 ; b) 4 ;
(
) (
c) 8 ;
d) függ A -tól;
e) egyéb.
)
24. A ], + és _, + csoportok a) izomorfak;
b) nem izomorfak;
(
)
(
)
c) egyetlen csoportmorfizmus létezik ], + -ról _, + -ra;
(
)
(
)
d) végtelen sok csoportmorfizmus létezik _, + -ról ], + -ra; e) egyéb. 25. A
n
∑C k =1
1 k p +k
összeg értéke
p (n + 1)! p ! 1 (n + 1)! ; b) ; 1 − − p + 1 (n + p) ! p − 1 p ! (n + p)! d) p ! ; e) egyéb.
a)
c)
1 ; p2
26. Ha az f = X 2n + 2aX 2n −1 + a 2 polinomnak ( a ∈ \ és n ∈ `* ) a g = X − 1 polinommal való osztási maradéka 4 , akkor az f -nek az X + 1 -gyel való r osztási maradékára a) r ∈ {0,16} ; b) r = 0 ; c) r = 16 ; d) r ∈ {−4, 4} ; e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
112
B4 teszt x
27. Határozd meg az f : \ \ {1} → \ , f (x ) =
∫e
t2
ln (1 − 2t + t 2 )dt ,
0
∀ x ∈ \ \ {1} függvény lokális szélsőérték-pontjainak számát.
a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) végtelen;
e) egyéb.
e
28. Számítsuk ki a lim ∫ (ln x ) dx határértéket. 2n
n →∞
a) e ;
1
c) ∞ ;
b) 1 ; a
29. Ha a > 0 , akkor az I =
∫ 0
a) 0 ; d) a ;
d) 0 ;
e) egyéb.
ln(1 + ax ) dx integrál értéke 1 + x2
a2 + 1 b) arctg a + ; 2 e) egyéb.
a2 + 1 c) arctg a ⋅ ; 2
30. Ha x n az x 3 + nx − n = 0 egyenlet egyetlen valós gyöke ( n ≥ 1 ), akkor a lim x n határérték n→∞
a) 0 ;
b)
1 ; 2
c) 2 ;
d) 1 ;
e) nem létezik.
2x + 1 1 − 31. A lim 2 határérték x →1 x + x − 2 x ln x a) 0 ;
b) ∞ ;
c) −∞ ;
d)
6 ; 5
e) egyéb.
x 3 , x ∈ _ 32. Az f : \ → \ , f (x ) = függvény az 2 x , x ∈ \ \ _ intervallumok közül melyiket transzformálja intervallumba? b) (1,2) ; c) (0, ∞) ; d) (−∞, 1] ; e) egyéb. a) [−1,1] ; 1
33. Számítsd ki az I =
x 2k * ∫ 1 + e x dx integrált, ha k ∈ ` . −1
alábbi
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B4 teszt
113
a) 0 ;
b)
1 1 ; c) ; 4 2k + 1
d) 2k ;
e) egyéb.
34. Számítsd ki az y 2 = x 3 egyenletű görbe ívhosszát az x 0 = 0 és x 1 = 4 abszcisszájú pontok közt ( y > 0 ). 8 4 a) 10 10 − 1) ; b) ( (10 10 − 1) ; 27 27 2 e) egyéb. d) (10 10 − 1) ; 27
c)
x 1 35. Számítsd ki a lim x 1 + − e határértéket. x →∞ x e a) − ; b) 0 ; c) −∞ ; d) −2e ; 2
4 ; 27
e) nem létezik.
1
36. Az I n =
∫x
n
1 + x 3 dx , ∀ n ≥ 1 sorozat
0
a) állandó; e) egyéb.
b) periodikus;
c) nem korlátos;
d) monoton;
1
37. Ha an =
∫ x e dx , akkor a lim a n x
n →∞
0
a) 1 ;
b) 0 ;
n
határérték
c) nem létezik;
d)
1 ; 2
e) egyéb.
1 2n nk 2k e sin határérték ∑ n →∞ n n k =1 1 1 2 2 a) e 2 sin 4 ; b) e 2 sin 4 − e 2 cos 4 + ; 5 5 5 5 2 2 2 1 2 c) e cos 4 − + e sin 4 ; d) 0 ; e) egyéb. 5 5 5
38. A lim
39. Számítsd ki az origóból az (x − 2)2 + (y − 4)2 = 4 egyenletű körhöz húzható érintők által bezárt szög tangensét. 3 2 7 9 b) ; c) ; d) ; e) . a) 1 ; 4 3 8 14
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
114
B4 teszt
JJJG JJJG JJJG JJJG 40. Az ABCD tetszőleges négyszögben az AB ⋅ CD + BC ⋅ AD összeg JJJG JJJG JJJG JJJG a) AC ⋅ BD ; b) AC ⋅ BD ; c) AC ⋅ DB ; JJJG JJJG JJJG JJJG AC + BD AB + AD ; e) egyéb. d) ⋅ 2 2
41. Az ABCD konvex négyszögben O1 és O2 az AC és BD felezőpontja. JJJJG JJJG JJJG A 4O1O2 = AD − BC feltétel a) szükséges de nem elégséges; b) elégséges de nem szükséges; c) szükséges és elégséges; d) nem szükséges és nem elégséges; e) egyéb ahhoz, hogy ABCD paralelogramma legyen. 42. AB és CD egy kör két egymásra merőleges metsző húrja és P a G JJJG JJJG JJJG JJJG metszéspontjuk. A v = PA + PB + PC + PD összeg JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G a) 0 ; b) 2PO ; c) AC + BD ; d) AB + CD ; e) egyéb. 43. Egy háromszög csúcsai A(0, 0) , B(9, 0) koordinátái 3 d) a) (5,1) ; b) 6, ; c) (7,2) ; 2
és C (6,12) . A magasságpont 11 3 , ; 2 2
e) egyéb.
44. Azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek átmennek az A(3, 0) ponton és érintik az x 2 + y 2 = 25 egyenletű kört a) egy egyenes; b) egy kör; c) egy hiperbola; d) egy ellipszis; e) egyéb. 45. Az 5x + 2 log2 x = 27 egyenlet gyökeinek száma a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) végtelen ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B5 teszt
115 Az, hogy rácsot látsz magad előtt, még nem jelenti, hogy fogoly vagy. Lehet, hogy te vagy kívül.
B5 teszt 1.
A
(bn )n ≥1
mértani
haladványban
b3 − b2 + b1 = 3 − 2
és
b1 + b4 = 1 + 2 2 . A haladvány első tagjának és kvóciensének összege
a) 1 − 2 ;
b) 3 ;
c) 2 + 2 ;
d) 0 ;
e) 1 + 2 .
bc a a 2 2. Ha a ≠ b ≠ c ≠ a , akkor a ∆ = ac b b 2 determináns
ab c c 2 1 a2 a3 a) (b − a )(c − b)(c − b) ;
b) 1 b 2
1 c2 d) 2abc ;
b3 ; c3
1 a a3 c) 1 b b 3 ;
1 c c3
e) egyéb.
3. Ha a ] -n értelmezett x ∗ y = xy + ax + ay + a , ∀ x , y ∈ ] művelet asszociatív, akkor b) a = 1 ; a) a = 0 ;
c) a ∈ {0,2} ;
d) a ∈ {0,1} ; e) egyéb.
4. A z 2 − 2 z + 1 = 0 egyenlet megoldásainak száma a) 2 ; b) 3 ; c) 4 ; d) 6 ; 5. Az f (x ) = a) [−1, 2) ;
arcsin x
kifejezés maximális értelmezési tartománya x 2 − 2x b) [−1,1] ; c) [−∞, 0) ∪ (2, ∞) ; d) [−1, 0) ; e) egyéb.
(2n )! , n ≥ 0 sorozat 3n ! a) nem korlátos; b) monoton; c) korlátos de nem konvergens; d) konvergens; e) periodikus.
6. Az x n =
e) végtelen.
Helyes válaszok
116
Tartalomjegyzék
B5 teszt n
n a + n b határérték 7. A lim n →∞ 2
a)
a +b ; 2
b) ab ;
c)
2ab ; a +b
d)
a 2 + b2 ; e) 1 egyéb. 2
n szög mértékét, ha A(1,1,1) , B(3, −2,2) és C (2, 3, 5) . 8. Számítsd ki a BAC a) 30° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e) 120° . 9. Írd fel az A(1,1, −1) és B(3, 4,1) pontokon áthaladó egyenes egyenletét. x −1 y −1 z +1 x +1 y −1 z +1 a) = = ; b) = = ; 2 3 2 2 3 2 x −1 y +1 z +1 x −1 y −1 z −1 c) = = ; d) = = ; e) egyéb. 2 3 2 2 3 2 10. Számítsd ki az ABC háromszög területét ha A(−2, −2) , B(1,2) és C (−1,1) . 7 5 5 9 a) 5 ; b) ; c) ; d) ; e) . 3 3 2 4 11. Az ABCD körbeírható négyszögben AB = 3 , BC = 4 , CD = 20 és DA = 5 . Számítsd ki a négyszög területét. a) 10 ; b) 11 ; c) 21 ; d) 14 ; e) egyéb. x2 y2 + = 1 egyenletű ellipszisbe írjunk téglalapot, amelynek két 49 24 szembefekvő oldala áthalad a fókuszpontokon. A téglalap területe 484 921 480 a) ; b) 69 ; c) ; d) 70 ; e) . 7 14 7
12. Az
13. Az A , B , C és D pontok affixumai rendre a , ib , ib ⋅ ε és −a ε2 , ahol 1+i 3 a, b ∈ \ és ε = . A BD és AC egyenesek által bezárt szög 2 mértéke a) 90° ; b) 120° ; c) 60° ; d) 45° ; e) 30° . 14. Az a oldalhosszúságú négyzet köré írjunk kört és a kör köré szabályos hatszöget. A hatszög és a négyzet területének aránya
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B5 teszt
117
a) 2 ;
b)
c)
2;
3 ; 2
d)
3;
15. Egy egyenlő szárú háromszög alapja a és a szára írható kör sugara a) d)
a 6 ; 4 a 2 ( 3 − 1) 4
b) ;
e)
a 3 ( 2 − 1) 4 a 3 ( 2 + 1) 4
;
c)
e)
3 . 2
a 3 . A háromszögbe 2
3a 2 ; 4
.
3 sin x + cos x = 1 egyenlet megoldáshalmaza π π π π a) (−1)k − + k π k ∈ ] ; b) (−1)k − + k π k ∈ ] ; 6 6 3 6 π π π π d) (−1)k + + k π k ∈ ] ; c) (−1)k + + k π k ∈ ] ; 3 6 2 6 e) egyéb.
16. A
{ {
} }
{ {
} }
G G G G G G 17. Ha a + b = a + b , akkor az a és b vektorok a) párhuzamosak és ellentétes irányításúak; b) merőlegesek; c) egyenlők; d) azonos irányúak és azonos irányításúak e) 30° -os szöget zárnak be. 18. Az ABCD paralelogrammában M ∈ (BD ) és N ∈ (AC ) úgy, hogy JJJG JJJG JJJG 1 JJJG OM = 2MD és ON = NC , ahol O az átlók metszéspontja. 2 JJJJG 1 JJJG 1 JJJG JJJJG 1 JJJG 1 JJJG a) MN = AB + AD ; b) MN = AB − AD ; 2 6 3 6 JJJJG 1 JJJG 1 JJJG JJJJG 1 JJJG 1 JJJG c) MN = AB − AD ; d) MN = AB − AD ; 6 3 2 6 JJJJG 1 JJJG 1 JJJG e) MN = AB + AD . 3 2 19. Ha y ≥ 4 − 2x , y ≥ 2 + minimuma
x −1 x és y ≤ 4 − , akkor az x 2 + y 2 kifejezés 3 4
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
118
B5 teszt
a) 25 ;
b) 16 ;
c) 5 ;
d) 2 ;
e) 1 .
20. Ha v1(−3, 0,2) , v2 (2,1, −4) és v3 (11, −2, −2) , akkor a) v1 ⊥ v2 és v2 ⊥ v 3 de v1 ⊥ v3 ;
b) v3 felírható a v1 és v2 lineáris
c) v1 , v2 és v3 lineárisan függetlenek; d) v1 , v2 és
kombinációjaként;
v 3 páronként merőlegesek egymásra;
e) egyéb.
21. A x − 6 + 3 x + 2 + 4 36 − x 2 = 2 egyenlet valós gyökeinek száma a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 24 ; e) egyéb.
( 5 2 + 3 6)
50
22. Az a) 11 ;
binom kifejtése hány irracionális tagot tartalmaz?
b) 22 ;
c) 38 ;
d) 47 ;
e) 4 .
23. Az f = X 4 + X 3 + aX 2 + bX + c , a, b, c ∈ ] polinom minden gyöke egész szám és x 1 = 1 , x 2 = −1 két gyöke. Az a 2 + b 2 + c 2 összeg a) 14 ;
b) 6 ;
c) 3 ;
d) 2 ;
e) 38 .
24. Ha log a −1 (x 2 + 2) ≥ 1 , ∀ x ∈ \ , akkor a +1
a) a ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ; d) a ∈ (1, ∞) ; e) egyéb. n
25. A lim
∑ [k a ] p
k =1
n p +1
n →∞
része)
a ; p +1
b) a ∈ (−∞, −1) ; c) a ∈ (−∞, −3) ;
határérték a, p ∈ \ és p > 0 esetén ( [x ] az x egész
a ; p
c) nem létezik;
d) ∞ ;
e) 0 .
sin x + x cos x határérték e + e −x − 2 sin x a) −∞ ; b) 0 ; c) nem létezik;
d) ∞ ;
e) 1 .
a)
26. A lim x →0
b)
x
27. Ha f : \ \ {2, 3} → \ , f (x ) =
1 , akkor f (101)(1) x − 5x + 6 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B5 teszt
119
1 1 a) 101 ! 102 − 102 ; 2 3 1 d) 101 ! 1 − 102 ; 3
1 1 b) 101 ! 102 − 102 ; 3 2 1 e) 101 ! 1 + 102 . 3
28. Ha a 0 = 2 és an −1 = an + határérték a) e ;
n , ∀ n ≥ 1 , akkor a lim(n + 1)!⋅ ln an n →∞ (n + 1) !
c) e −1 ;
b) e 2 ;
29. Az f : \ → \ , f (x ) =
1 c) 101 ! 1 − 102 ; 2
e) ∞ .
d) 1 ;
2x 2 − 3x − 2
függvény x2 + 1 a) grafikus képének 1 szögpontja van; b) grafikus képének három lokális szélsőérték pontja van; c) grafikus képének két különböző aszimptotája van; 5 d) teljesíti az f (x ) ≥ egyenlőtlenséget ∀ x ∈ \ esetén; 2 e) esetén az f (x ) = 2 egyenlet x 1 , x 2 és x 3 gyökeire teljesül az
x 1x 2 + x 2x 3 + x 3x 1 = −1 egyenlőség. 30. Ha az f : [0, 4] → \ , f (x ) = 2 arcsin 3
I =
x −2
∫ x +1
x −2 − 4x − x 2 2
függvényre
4x − x 2 f ′(x )dx , akkor
2
a) I = 2 ln
2 + 1; 3
b) I = 3 ln
4 1 − ; 3 2
c) I = 0 ;
d) I = 1 ;
e) egyéb. 31.
Az
an +1 = (−1)n +1 (a1 − C n1a2 + C n2a 3 − ... + (−1)n −1an )
értelmezett sorozat a) mértani haladvány; d) konstans;
b) számtani haladvány; e) egyéb.
rekurzióval
c) periodikus;
32. Bármely a ∈ ] esetén az x 5 + 2ax 2 + (2a + 1)x + 2a + 1 = 0 egyenletnek nem lehet a) három valós gyöke; b) egész gyöke; c) 1 -nél kisebb gyöke;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
120
B5 teszt
d) negatív gyöke; 33. A
(
26 + 5)
101
e) egyéb. számban közvetlenül a tizedesvessző utáni egymást
követő 9 -es számjegyek száma a) 200 ; b) 10 ; c) 25 ;
d) 100 ;
e) egyéb.
a b 34. Adott a d ∈ ` rögzített szám és a H = a, b ∈ ] halmaz. db a a) H a mátrixok összeadásával és szorzásával test ; b) Ha d nem teljes négyzet, akkor (H , +, ⋅) -ban nincsenek zérusosztók ; c) ∀ d ∈ ` esetén véges sok egység létezik (H , +, ⋅) -ban ; d) Ha d = 6 , akkor (H , +, ⋅) test; 35.
Ha
x 1, x 2 , x 3
az
e) egyéb.
x 3 + px + q = 0
1
1
1
∆ = x1
x2
x 3 determináns értéke
x 12
x 22
x 32
b)
p ; 2
a) 0 ;
c)
p3 − 27q 2 ; 2
d)
egyenlet
p3 − 9q 2 ; 27
gyökei,
akkor
a
e) egyéb.
36. Ha n ∈ `* , akkor az [ n + n + 3 ] − [ 4n + 6] kifejezés értéke a) 0 , ∀ n ≥ 1 ; b) 1 , ∀ n ≥ 1 ; c) függ n -től; d) szigorúan pozitív ∀ n ≥ 10 ;
e) egyéb.
37. Ha x 1 és x 2 az a 2x 2 + (b 2 − 2ab)x − 2b 2 = 0 ( a, b ∈ \, a ≠ 0 ) egyenlet gyökei, akkor a) x 1 ≤ 3 és x 2 ≤ 3 ; b) x 1 ≥ 3 és x 2 ≥ 3 ;
c) x 1 ≤ 3 és x 2 ≥ 3 ;
d) x 1 ≤ 0 és x 2 ≥ 0 ; e) egyéb. 38. Az x = x + 1 − x − 1 egyenlet megoldásainak száma b) 1 ; c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb. a) 0 ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B5 teszt
121 4
4 20 + 5i 19 + 7i + 39. A kifejezés értéke 9 −i 7 + 6i a) 0 ; b) −14 ; c) 14 ; d) 1 + i ;
40. Az a ∈ \ paraméter milyen értékeire x 2 + ax + 1 f (x ) = 2 függvény az Im f = [−3, 5] x −x + 4 a) a ∈ [−4, 0] ; b) a = −5 ± 4 19 ; d) nem létezik ilyen érték;
e) egyéb.
teljesíti az
f : \ → \,
egyenlőséget? c) a = 3 ± 4 13 ; e) egyéb.
1 1 − , x ∈ (0, 1] 41. Az f : [0,1] → \ , f (x ) = x sin x függvény a c valós c, x 0 = paraméter milyen értékeire primitiválható? 2 a) c = ∞ ; b) c = 0 ; c) c = ; 2 d) nem létezik ilyen érték; e) egyéb. 1
42. Az I n =
∫ 0
a) 1 ;
xn dx sorozat határértéke 1+x 1 b) 0 ; c) ; d) nem létezik; 2
1
43. Az I =
sin x
∫ ln (2 + x ) dx 2
e) egyéb.
integrál értéke
−1
b) −1 ;
a) 2 ;
c) ln 2 ;
(
d) 0 ;
e) ln 3 .
)
44. A lim cos πn 3 n 3 + 3n 2 + n + 1 határérték n →∞
a) nem létezik; b) 0 ;
1 c) − ; 2
d)
3 ; 2
e) egyéb.
45. Az x ⋅ 2x ⋅ log2 x = 128 egyenlet megoldásainak száma a) 1 ;
b) 0 ;
c) 2 ;
d) 4 ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
122
B6 teszt Bizonyos helyzetekben a legjobb döntést úgy hozhatjuk, hogy feldobunk egy pénzérmét.
B6 teszt 9
(1 + i ) komplex szám egyenlő (1 − i )7 b) 1 − i ; c) i ; a) 1 + i ;
1. A z =
2. Ha ε harmadrendű egységgyök és ε ∈ mátrix rangja b) 2 ; a) 1 ;
d) 2 ;
\
c) 3 ;
e) −i .
1 , akkor az M = ε2 ε d) 0 ;
ε 1 ε2
ε2 ε 1
e) egyéb.
100
1 3. A x + 3 2 x tartalmazza x -et? a) 61 ; b) 14 ; 4. Ha az f :
→
binom Newton-féle kifejtésében hányadik tag nem c) 52 ;
d) 43 ;
e) 91 .
, f (x ) = max (x 2 + ax + b, x 2 + bx + a ) függvényre
( a, b ∈
) f (3) = 20 és f (−2) = 3 , akkor a + b értéke a 2 − b2 a) a 2 + b 2 ; b) ab − 1 ; c) ab + 1 ; d) ; 2 5. Ha a = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 , akkor a) a ∉ ; b) a = 1 ; c) a < 1 ;
d) a > 1 ;
e) egyéb.
e) a = 2 .
6. A x + 1 + 1 − x 2 = 3 x 2 + 7 − 2 egyenlet valós gyökeinek száma a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 6 ; e) 12 . , f (x ) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 , akkor Im f 3 − 7 7 − 3 2 2 ; ; a) (−2,2) ; b) − c) , , 2 2 2 2
7. Ha f :
→
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B6 teszt
123
d) (−1,1) ; e) egyéb. 8. Számítsd ki az A(1,2, −1) és B(3,1,2) pont távolságát. a) 6 ;
b)
c) 41 14 ;
41 ;
d)
14 ;
e) 14 41 .
9. Ha 2x + by + cz = 0 az A(1, −1, −1) , B(−1,1,1) és C (2,1,1) pontokon áthaladó sík egyenlete, akkor 2 + b + c értéke b) 5 ; c) 4 ; d) 3 ; e) egyéb. a) 6 ; 10. Írd fel az A(1,1,1) ponton áthaladó d : merőleges sík egyenletét. a) x + 2y + 3z = 6 ; d) x + 4y + 9z = 14 ;
x −1 y −1 z −1 = = egyenesre 1 2 3
y z 11 + = ; c) x + y + z = 3 ; 2 3 6 e) egyéb. b) x +
11. Egy négyszög átlóinak hossza 3 és 4 . Számítsd ki a négyszög területét, ha az átlók 30° -ös szöget zárnak be egymással. 7 a) 6 ; b) 3 ; c) 12 ; d) ; e) egyéb. 2 12. Az y 2 = 2px egyenletű parabolába írjunk egyenlő oldalú háromszöget, amelynek egyik csúcsa a parabola csúcspontja. A háromszög oldalának hossza 3 p; b) 3p ; c) 4 3p ; d) e) egyéb. a) 2 3p ; 2 13. A z = 1 + i affixumú A pontot 120° -al elforgatjuk az origó körül trigonometrikus irányba és az így kapott A′ pontra nézve megszerkesztjük az origó A′′ szimmetrikusát. Az A′′ pont affixuma a) 1 + 3 + i (1 − 3 ) ; b) −1 − 3 + i(−1 + 3 ) ; c) (1 + 3 )(1 + i ) ;
d) (1 − 3 )(1 + i ) ;
e)
3 − 1 − i ( 3 + 1) .
14. Mennyi az R sugarú kör köré írható egyenlő oldalú háromszög és a körbe írható szabályos hatszög területének aránya? 2 3 5 3 a) 3 ; b) ; c) ; d) ; e) 2 . 3 2 3
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
124
B6 teszt
1 . A trapéz átlói és a trapéz 2 alapjai és a két átlója két háromszöget határoznak meg. Mennyi e háromszögek területének aránya? 1 1 1 1 a) ; b) 2 ; c) ; d) ; e) . 2 4 3 6
15. Egy trapéz párhuzamos oldalainak aránya
16. A cos x ⋅ cos 3x = cos 5x ⋅ cos 7x egyenlet megoldáshalmaza k π k π k π π k ∈ ; k ∈ ; a) b) c) + k ∈ ; 8 4 4 8 k π 3π k∈ e) egyéb. d) + ; 8 4 17. Ha a + b = a − b , akkor az a és b vektorok a) párhuzamosak; e) egyéb.
b) merőlegesek;
c) egyenlők; d) összege 0 ;
18. Az OAB háromszögben m(AOB ) = 90° , OA = OB , M ∈ (AB ) és AM ON N ∈ (OM ) úgy, hogy = 1 . Az NA + 2NB vektorösszeg = 2 és NM MB a) ON ; b) 2ON ; c) 3ON ; d) 2ON + BA ; e) ON + AB . 19. Ha a = 2i + 3j − k és b = i + j + k , akkor az a és b által bezárt szög koszinusza 4 2 4 4 a) ; b) ; c) ; d) ; e) 0 . 29 14 42 53 20. Az ABC háromszögben BC = 8 , m(A) = 60° és m(B ) = 45° . Az AC oldal hossza 2 6 4 6 5 6 8 6 6 a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 3 3 3 3 3 21. Az a1 , a2 , … , ak számok számtani haladványban vannak (ebben a sorrendben) és teljesítik a következő feltételeket: ¾ az első négy tag összege 44 ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B6 teszt
125
¾ az utolsó négy tag összege 236 ; ¾ az összes tag összege 420 . a) a 3 = 18 ; b) a17 = 62 ; c) a10 = 56 ; d) k ≤ 10 ; 22.
e) egyéb.
Annak
szükséges és elégséges feltétele, hogy teljesüljön a +b +c 2 ax 2 + bx + c ≤ (x + x + 1) egyenlőtlenség ∀ x ∈ esetén 3 a) a = b, b < c ; b) b ≥ a, a = c ; c) a = b = c ;
d) a > b, b = c ;
az
e) egyéb.
2x − y + az = 0 23. A x + 2y − z = 0 egyenletrendszernek pontosan akkor van a 3x + 4y + (a + 2)z = 0 triviálistól különböző megoldása, ha a) a = 6 ; b) b = 2 ; c) a = −3 ; d) a = 1 ; e) a = −7 .
paramétereket, ha az f = X 3 − X 2 + bX + c 24. Határozd meg a b, c ∈ polinom osztható (X − 1) -gyel és x 12 + x 22 + x 32 = 3 , ahol x 1 , x 2 és x 3 az f gyökei. a) 13 ;
b) 5 ;
25. A G = (−2,2)
halmazon
f : (0, ∞) → G , f (x ) =
c) 2 ;
x ∗y =
d) 6 ;
4(x + y ) , xy + 4
e) egyéb. ∀ x , y ∈ G . Ha az
ax + b függvény izomorfizmus az x +1
(
*
, ⋅) és (G, ∗)
közt, akkor a + b értéke a) 0 ; b) 1 ; c) nem értelmezett, mert (G, ∗) nem csoport; d) nem értelmezett, mert nincs ilyen alakú izomorfizmus a két csoport közt; e) egyéb. 26. Adott az f : [−2,1] → , f (x ) = 1 + x − x 2 függvény. a) nem alkalmazható a Lagrange tétel, mert f nem deriválható (−2,1) -n; b) nem alkalmazható a Rolle tétel, mert f nem folytonos;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
126
B6 teszt
1 c) a Lagrange tételben megjelenő c értéke − ; 2 1 d) a Lagrange tételben megjelenő c értéke ; 2
e) egyéb.
27. Az f : → , f (x ) = max{x , x 2 , x 3 } függvény grafikus képének a) két ferde aszimptotája van; b) két visszatérési pontja van; c) három inflexiós pontja van; d) két szögpontja van; e) egy szakadási pontja van.
1 függvény 1001 -edik deriváltja x −1 1001! 1001 1001 ; b) − ; c) − ; a) 1001 1001 (x − 1) (x − 1)1002 (x − 1) 1001 1001! ; e) − . d) 1002 (x − 1) (x − 1)1002 cos n π n 29. Az x n = 1 + sorozat n a) monoton; b) konvergens; c) korlátos de nem konvergens; d) nem korlátos; e) periodikus.
28. Az f :
\ {1} →
, f (x ) =
30. Ha x n +1 = x n2 − x n + 1 , ∀n ≥ 1 és x 1 ∈ (0,1) , akkor a lim (x 1x 2 ...x n ) n →∞
határérték a) nem létezik;
b) 1 ;
c)
1 ; 2
d) 0 ;
e) x 1n .
3 ; 2
e) e .
n i 31. A lim ∏ 1 + 2 határérték n →∞ n i =1
a) ∞ ; 32. Azok az a ∈
b) 0 ;
c) 1 ;
értékek, amelyekre az f :
d)
→
1 cos , x ≠ 0 x , f (x ) = 0, x =0
függvény Darboux tulajdonságú 1 1 a) 0 ; b) ; c) − ; d) [−1,1] ; 2 2 2 33. Az f : [0, 3] → , f (x ) = x x függvény ívhossza 3
e) a =
2 . π
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B6 teszt
127
a) 5 ;
b)
7 ; 2
c)
1 ; 9
d)
19 ; 4
e)
14 . 3
34. Az m ∈ paraméter hány különböző értékére van az x 4 −m m − 8 + + = 0 egyenletnek két egész gyöke? 2m m x a) 2 ; b) 3 ; c) 4 ; d) végtelen sok; e) egyéb. 35. Az f : [0,2] → 23 a) , 4 + 2 ; 8
2x 2 − x + 3, x ∈ [0,1] , f (x ) = függvény képe ( Im f ) 2 + x + x , x ∈ [1,2] b) 3, 4 + 2 ; c) ; d) ∅ ; e) egyéb.
{ }
x 2 − 2mx − 6 1 + 6 ≥ 12m , egyenlőtlenség m∈ \ − 2 2m + 1 megoldáshalmaza a) [6m, − 4m ] ; b) (−∞, −4m ] ∪ [6m, ∞) ; c) ; d) [6m, ∞) ; e) egyéb.
36.
Az
ax + by + cz + dt = 0 bx − ay + dz − ct = 0 37. Az egyenletrendszernek a, b, c, d ∈ cx − dy − az + bt = 0 dx + cy − bz − at = 0 2 2 a + b + c 2 + d 2 ≠ 0 esetén a) nincs megoldása; b) végtelen sok megoldása van; c) pontosan egy (0, 0, 0, 0) -tól különböző megoldása van; d) csak a triviális megoldása van; e) egyéb. 38. A 1 + ax = x + 1 − ax , a ∈ egynél több valós gyöke, ha 2 2 a) a ∈ ,1 ; b) a ∈ − ,1 ; 2 2 e) egyéb. d) a ∈ 1, ∞ ;
és
egyenletnek pontosan akkor van
)
c) a ∈ − 2,1 ;
)
x 2003 + y 2003 = 22003 + 1 39. Hány megoldása van az egyenletrendszernek az 3 x − y 3 = −7 × halmazban?
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
128
B6 teszt
a) 1 ;
b) 2 ;
c) 0 ;
d) végtelen sok;
e) egyéb.
1 x x , x ≠ 0 függvény 40. Az f : → , f (x ) = 0, 0 x = a) primitiválható a (0,1) intervallumon; b) nem primitiválható az (1, ∞) 1 c) integrálható ,1 -n ∀ n ∈ n d) nem integrálható [0,1] -en; e) egyéb.
intervallumon;
1 1 határérték ∑ n →∞ n i⋅j 1≤i < j ≤n 1 a) 0 ; b) ; c) 1 ; 2
*
;
41. A lim
d) 2 ;
k
dx ∫ x 2 + 3x + 2 , ∀ k ∈ 0 akkor a lim bn határérték
*
42. Ha ak =
és bn = n ln
e) egyéb.
n 1 + ∑ ak , ∀ n ∈ 2 k =1
*
,
n →∞
b) −2 ;
a) 0 ; 43. Ha f :
→
c) −∞ ;
páronként különböznek, akkor a
1
∑ f ′(x k =1
∏
1≤i < j ≤n
e) egyéb.
, f (x ) = (x − x 1 )(x − x 2 )...(x − x n ) és az (x i )i =1,n számok n
a)
d) ln 2 ;
1 ; b) 0 ; (x i − x j )
d) 1 ;
c)
k
)
összeg értéke
f (x ) − f ′(x ) ; (x − x 1 )(x − x 2 )...(x − x n )
e) egyéb. 2π
44. A
∫ sin(sin x )dx
integrál értéke
0
a) nem létezik;
b) −
π ; 2
c)
π ; 3
d)
45. Határozd meg az összes olyan f :
x ⋅ f ′(x ) = f (x ), ∀ x ∈
*
és f (1) = 1 . A
*
→
π ; 2
e) egyéb.
függvényt, amelyre
100
∑ f (k ) összeg értéke k =1
a) 5151 ;
b) 5252 ;
c) 5050 ;
d) 5115 ;
e) 5500 .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B7 teszt
129 A matematikának több köze van a tréfához, álmokhoz, hisztériához, mint azt általában vélnénk. (Seymour Papert)
B7 teszt 1. Adott az f : [0, 4] → \ , f (x ) = x − (x − 2)2 függvény. a) teljesülnek a Rolle-tétel feltételei; b) f (0) = f (4) ; c) végtelen sok c ∈ \ létezik, amelyre f ′(c) = 0 ; d) nem alkalmazható a Rolle-tétel, mert f nem folytonos; e) egyéb. 2. Számítsd ki az A(1,2) és B(5, 7) pont távolságát. a) 9 ;
b) 41 ;
c)
14 ;
d) 14 41 ; e)
41 .
3. Írd fel az A(1, 3) és B(4, 9) ponton áthaladó egyenes egyenletét a) y = 3x − 1 ; b) y = 3x − 2 ; e) egyéb.
c) y = 2x + 1 ;
d) y = 2x + 1 ;
4. Számítsd ki az A(2, 3) pontnak a távolságát a d : 2x + 3y − 1 = 0 egyenletű egyenestől. 6 12 ; b) ; a) 13 13 13
c)
13 ;
d) 0 ;
e)
12 . 13
5. Egységnyi területű rombusz hegyesszöge 30° . A rombusz oldala 1 a) 2 ; b) 2 ; c) 3 ; d) ; e) egyéb. 2 6. Az
x 2 y2 − = 1 egyenletű hiperbolába pontosan akkor lehet négyzetet írni, a 2 b2
ha a) a = b ;
b) a > b ;
c) b > a ;
d) b = 2a ; e) b ≥ 2a .
7. Egy szabályos hatszögbe írt körbe írjunk egyenlő oldalú háromszöget. A háromszög és a hatszög kerületének aránya 2 3 4 3 a) ; b) 3 ; c) ; d) ; e) egyéb. 3 3 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
130
B7 teszt
sin 2x − tg x határérték x→ cos 2x 4 a) 0 ; b) nem értelmezett;
8. A limπ
c) −∞ ;
d) ∞ ;
e) 1 .
9. Az f : [−1,1] → \ , f (x ) = 1 − x 2 , ∀ x ∈ [−1,1] függvény grafikus képéhez az A(x 0 , y 0 ) pontban húzott érintő párhuzamos az y = 2x + 3 egyenessel. Ha A rakta van a függvény grafikus képén, akkor a + 2b értéke 5 2 5 a) 1 ; b) ; c) 0 ; d) − ; e) egyéb. 5 5 10. Ha f : \ → \ , f (x ) = sin x , ∀ x ∈ \ , akkor f (1001)(π) értéke a) 0 ;
b) 1 ;
c) −1 ;
d)
1 ; 2
1 e) − . 2
x
x + 2 11. A lim határérték x →∞ x − 2 a) ∞ ; b) 1 ; c) 0 ; d) 2 ; e) e 4 . x − ay + z = 1 12. Az egyenletrendszer megoldásai pontosan akkor x − y + z = −1 ax + a 2y − z = a 2 függnek egy paramétertől, ha b) a = 1 ; c) a = 0 ; d) a ∈ { 2, −1} ; e) a = −1 . a) a = 2 ;
1
ε
ε2
13. Ha ε harmadrendű egységgyök, akkor a ∆ = ε
ε2
1 determináns
ε2
1
ε
a) 1 + ε + ε2 ;
b) 1 ;
c) −1 ;
14. Adott a G = (0,1) halmaz és x ∗ y =
d) 1 − ε + ε2 ;
e) egyéb.
xy , ∀ x, y ∈ G . 2xy − x − y + 1
1 ; 2 b) a ∗ nem művelet G -n, tehát nincs semleges eleme; c) a ∗ művelet nem asszociatív G -n, tehát nincs semleges eleme ; a) a ∗ művelet semleges eleme y =
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B7 teszt d) y =
131
1 ; 4
e) egyéb.
15. Ha x ∗ y = xy − 9x − 9y + 90 , ∀ x , y ∈ ] , akkor a invertálható elemeinek összege a) 10 ; b) 18 ; d) −9 ; c) nem értelmezett, mert végtelen sok tagot tartalmaz;
(],∗)
struktúra
e) egyéb.
16. Az ABCD négyzetben M és N a DC illetve BC felezőpontja. Ha n , akkor m = cos MAN 3 1 2 4 3 ; b) m = ; c) m = ; d) m = ; e) m = . a) m = 2 2 2 5 4 17. Az A(2,1,1) pont vetülete az x + y + 3z + 5 = 0 egyenletű síkra a) (1, 0, −2) ; b) (0,1, −2) ; c) (−2,1, 0) ; d) (−2, 0,1) ; e) (1, −2, 0) .
JJJG JJJG JJJG 18. Ha AB(1,2, −2) , BC (−2, −1, −2) és CD(−1, −2,2) , akkor az ABCD négyszög a) konkáv; b) átlói 60° -os szöget zárnak be egymással; c) négyzet; d) trapéz; e) egyéb. 19. Ha az ABC
háromszögben cos A + cos B + cosC =
háromszög a) derékszögű; b) egyenlő szárú és derékszögű; d) egyenlő szárú és az egyik szög mértéke 60° ; 20. Ha tg y =
3 , akkor a 2
c) tompaszögű; e) egyéb.
1 + tg x , akkor 1 − tg x
a) y = x +
π 5π ; b) y = x + ; 4 4
d) y − x ∈
{ π4 + 2k π k ∈ ]} ;
(4k + 1)π k ∈ ] ; c) y ∈ x + 4 e) egyéb.
21. Az A(1,2) pont az x 2 + y 2 − 4x + 6y − 12 = 0 egyenletű kör a) belső pontja; b) középpontja; c) külső pontja ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
132
B7 teszt
d) középpontjától 5 egység távolságra van;
e) egyéb.
22. Az y = x 2 + 2x + 3 és y = −x 2 + 2x + λ parabolák milyen λ ∈ \ esetén érintik egymást? b) λ ∈ {±3} ; c) λ = 3 ; d) λ ∈ \ * ; e) egyéb. a) nincs ilyen λ ; 23. Ha a ∈ \ * rögzített és az x , y,z ∈ ^ számokra x + y + z = a és 1 1 1 1 + + = , akkor x y z a a) x = y = z ; b) (x − a )(y − a )(z − a ) = 0 ; c) xyz = 1 ; d) x , y, z ∈ \ ; e) egyéb. 24. Az X 4 + X 2 + 1 polinom a) irreducibilis ][X ] -ben; b) reducibilis ][X ] ; c) gyökei mind valós számok; d) gyökeinek négyzetösszege −1 ; e) gyökei közül kettő valós és kettő nem. 25. Az x 2 − x = m x (x + 1) , m ∈ \ egyenletnek a) három valós gyöke van, ∀ m ∈ \ ; b) két valós gyöke van ∀ m ∈ \ ; c) egy, kettő vagy három gyöke van m -től függően; d) egy vagy két gyöke van ∀ m ∈ \ ; e) egyéb. 26.
Az
(ak )k ≥1
a 6 − a 4 + a2 = a)
1 ; 4
számtani
haladványban
2 . A haladvány állandó különbsége 3 1 1 b) ; c) ; 2 3
a 5 − a 3 + a1 =
1 2
1 ; 6
e)
d)
és
1 . 12
27. Az f : [0, ∞) → \ , f (x ) = x 2 , ∀ x ≥ 0 és g : [0, ∞) → \ , g(x ) = 8x , ∀ x ≥ 0 függvény grafikus képe által határolt korlátos síkidom területe
a)
8 ; 3
b)
5 ; 7
c)
7 ; 6
1 sin , x ≠ 0 28. Az f : \ → \ , f (x ) = függvény x 0, 0 x =
d)
1 ; 2
e) ∞ .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B7 teszt
133
a) monoton; e) korlátlan. 4
29. A lim ∫ a →∞
2
a) 0 ;
b) folytonos; dx határérték x −a + 2 b) nem létezik;
c) primitiválható; d) periodikus;
c) 1 ;
d) ln 2 ;
e) ∞ .
x2 1 + − m = 0 egyenletnek 30. Az 2 x 3 3 a) egy pozitív gyöke van, ha m < ; b) egy negatív gyöke van, ha m > ; 2 2 3 3 c) minden gyöke pozitív, ha m > ; d) van egy duplagyöke ha m ≥ ; 2 2 3 e) pontosan egy pozitív gyöke van ha m ≥ . 2
31. Határozd meg az összes olyan
f :\→\
függvényt, amelyre
100
f ′(x ) = 2xf (x ) , ∀ x ∈ \ és számítsd ki az S = ∑ ln f (k ) összeget. k =1
a) S = 0 ; b) S = 638530 ; d) S = 638350 ; e) S = 633850 . 32. A {x } +
c) S = 683530 ;
{x1 } = 1 egyenletnek ( {x} az x törtrésze)
a) végtelen sok racionális megoldása van; b) végtelen sok irracionális megoldása van; d) két racionális megoldása van; n
1 sorozat határértéke 2k 2 π2 π b) ; c) ; 12 4
c) nincs megoldása; e) egyéb.
33. Az Sn = ∑ arctg k =1
2
a) arctg
π ; 12
d) 1 ;
e) ∞ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 permutációra a legkisebb olyan 34. Ha σ = 3 5 4 1 7 9 8 2 6 k ∈ `* szám, amelyre σ k = e a) 2 ; b) 3 ; c) 16 ;
d) 4 ;
e) 12 .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
134 35.
B7 teszt Ha
a, b, c ∈ \
és
a b c + + = 0, b −c c −a a −b
akkor
az
a b c + 2 + 2 kifejezés értéke 2 (c − a ) (b − c ) (a − b ) a) 0 ;
c) a + b + c ;
b) 1 ;
d)
1 ; a +b +c
e) egyéb.
36. Ha az (A, +, ⋅) gyűrűben x 12 = x , ∀ x ∈ A , akkor a) 2x = 1, ∀ x ∈ A ;
b) x 2 = 1, ∀ x ∈ A ;
d) 2x = x , ∀ x ∈ A ;
e) egyéb.
c) x 2 = x , ∀ x ∈ A ;
37. Az (m − 3)x 2 − 2(3m − 4)x + 7m − 6 = 0 , m ∈ \ egyenletnek pontosan akkor van két valós gyöke, ha 1 1 1 a) m ∈ (−∞, − 2) ∪ , ∞ ; b) m ∈ (−∞, − ) ∪ , ∞ ; 2 2 2 1 1 d) m ∈ (−∞, − ) ∪ 2, ∞ ; e) egyéb. c) m ∈ (−∞, ) ∪ 2, ∞ ; 2 2
(
)
(
)
38. A z 2 − 3z + 2 ≤ 0 egyenlőtlenség ^ -beli megoldásainak halmaza 3 3 c) [1,2] ∪ d) a) [1,2] ; b) [1,2] ∪ + 2i ; + αi α ∈ \ ; 2 2 ∅ ;e) egyéb.
{
}
mx − 1 , ∀ x > 0 függvény x +1 a) pontosan akkor injektív, ha m ≠ −1 ; b) pontosan akkor injektív ha m ∈ (−1,1] ;
39. Az f : (0, ∞) → (−1,1) , f (x ) =
c) pontosan akkor szürjektív, ha m = −1 ; d) pontosan akkor bijektív ha m ≥ 1 ; e) egyéb. 40. A x + [x ] + x − x = 1 egyenlet valós megoldásainak száma a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb. 41. Az x , y ∈ \ számok teljesítik a x − 1 + y − 1 = 1 egyenletet. Ha m x legkisebb és M a legnagyobb értéke, akkor az y 1 1 a) m = és M = 2 ; b) m = M = 1 ; c) m = és M = 2 ; 2 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B7 teszt d)
135
1 és M = 5 ; 5
e) egyéb.
t ln t , t>0 2 2 42. Ha f : [0, ∞) → \ , f (t ) = (1 + t ) és I n = t=0 0, ∀ n ∈ `* \ {1} , akkor a lim I n határérték
n
∫ f (t )dt , 1
n →∞
1 a) ln 2 ; 4 43. Az
b) 0 ;
c) ln 2 ;
d)
1 ; 4
e) egyéb.
a, b,c ∈ \
paraméterek milyen értékeire primitiválható az axe nx + bx 2 + c f : \ → \ , f (x ) = lim függvény? n →∞ e nx + 1 a) nem léteznek ilyen értékek; b) a = 0 , b = 0 és c = 1 ; c) c = 0 és a, b ∈ \ tetszőleges; d) a = 0 és b, c ∈ \ tetszőleges; e) egyéb. 1
44. A
∫x
2 p +1
ln(1 + a x )dx integrál értéke a ∈ (0,1) ∪ (1, ∞) és p ∈ ` esetén
−1
a)
ln a ; 2p + 3
b)
− ln a ; 2p − 3
c)
ln a ; 2p − 3
d) 0 ; e) egyéb.
45. Az ax (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 1 egyenlet összes gyöke pontosan akkor valós, ha 16 9 a) a ∈ (−∞,1] ∪ , ∞ ; b) a ∈ (−∞, −1] ∪ , ∞ ; 16 9 9 16 c) a ∈ (−∞, −1] ∪ − , ∞ ; d) a ∈ (−∞, −1] ∪ , ∞ ; 16 9 9 e) a ∈ (−∞,1] ∪ , ∞ . 16
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
136
B8 teszt A legeslegértékesebb gondolat az értékes gondolatok gondolata
B8 teszt a b c 1. Az b c a determináns kifejtése c a b a) (a 2 + b 2 + c 2 ) (a + b + c) ; b) (a + b + c) (ab + ac + bc − a 2 − b 2 − c 2 ) ; c) (a + b + c)3 ; d) (a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) ; 2. Ha f : (−1,1) → a) 0 ;
e) egyéb.
1 − x2 1 , akkor f ′ értéke 2 2 1+x 16 23 c) − ; d) ; e) egyéb. 15 16
, f (x ) = ln
b) nem létezik;
3 xy − 6 3. Adott a G = , ∞ halmaz és x ∗ y = , ∀ x, y ∈ G . 2 x +y −5 a) a ∗ semleges eleme a 2 ; b) a ∗ semleges eleme a 3 ; c) a ∗ semleges eleme a 2 és a 3 ; d) nincs semleges elem, mert ∗ nem művelet G -n; e) egyéb.
4. Az f : a) e 2x ;
→ , f (x ) = e 2x függvény n -ed rendű deriváltja ( n ∈ * ) b) 2ne 2x ; c) 2n e 2x ; d) n 2e 2x ; e) egyéb.
5. Az A(1, 0, 4) , B(1, 3, 7) , C (0, −1, 3) és D(0,2, −1) pontok a) egy szabályos tetraéder csúcspontjai; b) egy síkban vannak; c) egy egyenesen vannak; d) nincsenek egy síkban; e) egyéb. x 2 y2 − = 1 egyenletű hiperbola aszimptotáit. a 2 b2 a a b) y = a + b ± x ; c) y = a − b ± x ; b b
6. Határozd meg az
a a) y = ± x ; b b d) y = ∓ x ; a
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B8 teszt 7. Ha lim
x →∞
137
(
)
x 2 + 1 + ax + b = 1 , akkor a + b értéke
b) −2 ;
a) 2 ;
c) 1 ;
e) −1 .
d) 0 ;
x3 \ {1, 3} → , f (x ) = 2 száma x − 4x + 3 b) 2 ; c) 4 ; d) 0 ;
8. Az f : a) 1 ;
e x − cos x + ln (1 + x 2 )
e) egyéb.
2
9. A lim
x2
x →0
a) ∞ ;
b) 0 ;
10. Ha az f : a + b értéke a) 1 ;
→
határérték c)
5 ; 2
d) 1 ;
e) 3 .
ax + b, x ≤ 0 , f (x ) = függvény deriválható, akkor x −1 2 , x >0 x + 1
b) 2 ;
d) −2 ;
c) 0 ;
e) egyéb.
11. Határozd meg az α : x − 2y + 2z − 7 = 0 és β : 2x − y − 2z + 1 = 0 síkok szögének mértékét. a) 15° ; b) 30° ; c) 45° ; d) 60° ; e) 90° . 12. Ha a , b , c tetszőleges vektorok ( a ≠ 0 ) és u = (a ⋅ b)c − (a ⋅ c)b ,
v=
a ⋅b a −b , akkor az u ⋅ v skaláris szorzat értéke a ⋅a
a) 1 ;
b) −1 ;
c) 0 ;
2
2
2
d) a + b + c ;
e) egyéb.
x 2 y2 + = 1 egyenletű ellipszis 16 9 a) fókuszpontja; b) belső pontja ; c) külső pontja; d) középpontja; e) egyéb.
13. Az A(2,2) pont az
14. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha A(1,1,1) , B(3, −2,2) és C (2, 3, 5)
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
138 a)
B8 teszt
2 3 7 6 ; b) ; 3 2
c)
8 5 ; 3
d)
5 14 ; 3
e) egyéb.
15. Az A , B és C pont affixuma rendre 1 + i , −1 + 2i éa −1 − 3i . Az ABC háromszög területe a) 10 ; b) 15 ; c) 20 ; d) 7 ; e) 5 . 16. Az ABC C -ben derékszögű háromszögben CA = CB , M ∈ (AB ) és CN AM N ∈ (CA) úgy, hogy = = 2 . Ha OA = a és OB = b , akkor NA MB 1 1 1 a) MN = (a − 2b ) ; b) MN = (−a + 2b ) ; c) MN = (a + 2b ) ; 3 3 3 1 1 d) MN = − (a + 2b ) ; e) MN = (a − 4b ) . 3 3 17. Ha a = 2i − 3 j és b = i + 2 j , akkor az a és b által bezárt szög koszinusza 2 4 4 a) 0 ; b) − ; c) − ; d) − ; e) egyéb. 13 91 65 18. Ha a + b = λ (a − b ) és λ ∈ a) merőlegesek; b) egyenlők ; e) egyéb.
\ {±1} , akkor az a és b c) összege 0 ;
d) párhuzamosak;
19. Ha z = cos ϕ + i sin ϕ , ϕ ∈ [0,2π ] , akkor 1 + z értéke ϕ ϕ a) 2 cos ; b) −2 cos ; c) 1 ; d) 0 ; 2 2
e) egyéb.
20. Ha az x 2 + (m − 1)x + m + 1 = 0 és (m − 1)x 2 + (m 2 − 3m + 3) x + 2m − 1 = 0 egyenleteknek pontosan egy közös gyökük van ( x 0 ), akkor m + x 0 értéke 3 b) 1 ; c) 0 ; d) − ; e) egyéb. a) −1 ; 2 21. A
(
2 + 3 3)
a) 422 ;
2003
binom kifejtésében a racionális tagok száma
b) 513 ;
c) 782 ;
d) 537 ;
e) 334 .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B8 teszt
139
22. A P = X n − nX n−1 + nX n−2 − 1 polinomnak legfeljebb hányszoros gyöke lehet, ha n ∈ és n ≥ 3 ? a) 1 ; b) 3 ; c) n − 2 ; d) 5 ; e) egyéb. n
23. A P = X 4 + X 3 − X − 1 polinom minden n ≥ 1 természetes szám esetén osztható a) (X − 1)2 ; b) (X − 1)2 (X + 1) ; c) (X 2 + 1) (X 2 − 1) ; d) (X 2 + X + 1)(X 2 − 1) ;
e) (X 2 − X + 1) (X 2 − 1) .
24. Egy kör köré írt egyenlő szárú trapéz alapjainak hossza a és b . A trapéz szárai a kört az M és N pontban érintik. Számítsd ki az MN szakasz hosszát a és b függvényében. a) ab ;
25. A
b)
2ab ; a +b
x −1 + x =
a) 0 ;
1 3
x2
c)
a +b ; 2
d)
2a 2b 2 ; a 2 + b2
e) egyéb.
egyenlet valós megoldásainak száma
b) 1 ;
c) 2 ;
d) 6 ;
e) egyéb.
26. Ha A = 3 3 + 3 3 + 3 3 − 3 3 és B = 2 3 3 , akkor a) B ∈ ; b) A > B ; c) A = B ; d) A < B ;
e) egyéb.
27. Ha (a + b + c)(ab + bc + ca ) = abc , akkor a) a = b = c = 0 ; b) a = b = −c = 1 ; c) (a + b)(b + c)(c + a ) = 0 ; d) a = b = c = 1 ;
e) egyéb.
28. A lim x x határérték x →0 x >0
a) nem létezik; b) 0 ; 29. Ha f : → és g : a) f ⋅ g is növekvő; d) f − g növekvő;
c) 1 ;
→
d) ∞ ;
e) egyéb.
növekvő függvények, akkor b) f ⋅ g csökkenő; c) f + g növekvő; e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
140
B8 teszt
30. Ha az x 3 + px + q = 0 egyenlet gyökei x 1 , x 2 és x 3 , valamint 6S 5 S k = x 1k + x 2k + x 3k és E = , akkor 5S 2 ⋅ S 3 a) E = 2 ; b) E = 1 ; c) E csak p -től függ; d) E csak q -tól függ; e) egyéb. 31. Az x 2 + mx + m 2 − 2 = 0 egyenletnek m ∈ esetén a) lehet mindkét gyöke egész; b) az m paraméter 6 különböző értékére van legalább egy egész gyöke ; c) ha van racionális gyöke, akkor az egész szám; d) nem lehet egész gyöke; e) egyéb.
→
32. Az f :
ax + b, x < 0 , f (x ) = 2 ( a, b ∈ ax 1, x 0 + ≥
) függvény pontosan
akkor a) szigorúan monoton ha a > 0 és b > 1 ; b) injektív, ha szigorúan monoton; d) invertálható ha b = 1 ; e) egyéb. c) szürjektív ha a < 0 és b > 1 ; x +y +z =a 2 2 2 2 33. Az egyenletrendszer ( a ∈ * rögzített) x + y + z = m x 3 + y3 + z 3 = a3 megoldásainak szorzata pontosan akkor 0 , ha a) m = ±1 ; b) m = ±a ; c) m = ±2 ; d) m = ±2a ; e) m = a vagy m = 2a . 34. Az f : → , f (x ) = x 4 + 3x 2 + 7 függvény grafikus képe a) végtelen sok egész koordinátájú pontot tartalmaz; b) nem tartalmaz egyetlen egész koordinátájú pontot sem; c) szimmetrikus az origóra nézve; d) szimmetrikus az Ox tengelyre nézve; e) egyéb.
{
35. Ha A = x ∈ a) A = {1} ;
}
x + 1 + 2 x + x + 1 − 2 x = 2 , akkor b) A = {0,1} ;
c) A =
{21} ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B8 teszt
141
1 d) A = ,1 ∪ {0} ; 2
e) egyéb.
36. Ha az x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + 1 = 0 egyenletnek van valós gyöke ( a, b ∈ ), akkor az a 2 + b 2 kifejezés minimuma a)
1 ; 2
b)
2 ; 2
c)
4 ; 5
d) 2 ;
e) egyéb.
→ az f : → , f (x ) = x 5 + x függvény inverze, akkor 1 1 −20 a) g ′(2) = ; b) g ′′(2) = 2 ; c) g ′(2) = − ; 2 6 6 3 d) pontosan akkor létezik a lim x p (g(x ) − 5 x ) határérték, ha p = ; x →∞ 5 e) egyéb.
37. Ha g :
1 n
38. Ha an =
∫
1 n
arcsin(nx )dx és bn =
1 n+1
b) π 2
39. Az
π a) ; 2
∫ 0
arctg(nx )dx , akkor a lim
n →∞
1 n+1
határérték a) 0 ;
∫
1 ; 2
c) 2 ;
d) nem létezik;
e) egyéb.
cos x
(sin x ) dx integrál értéke cos x (sin x ) + (cos x )sin x π 2 b) ; c) ; d) 0 ; 4 π
40. Az f :
an bn
→
e) egyéb.
1 sin , x ≠ 0 x , f (x ) = függvény pontosan akkor , 0 a x =
primitiválható, ha π 2 a) a = ; b) a = ; 4 π
c) a = 0 ;
d) a ≤ 1 ; e) egyéb.
Helyes válaszok
142
Tartalomjegyzék
B8 teszt
41. Határozd meg a c cx e + ln x , x f (x ) = 1 x x −1 , x a) c = 0 ; b) c 1
42. Az I n =
∫ 0
1 ; a) 2 a +1
∈ paraméter értékét úgy, hogy az f : (0, ∞) → ∈ (0, 1] függvény folytonos legyen. >1
= 1;
c) c = 2 ;
,
d) c = −1 ; e) egyéb.
xn dx sorozat esetén a lim n ⋅ I n határérték n →∞ x 2 + 2x + a 2 + 1 1 b) 2 ; c) 0 ; d) ∞ ; e) egyéb. a +4
1 , x ∈ \ {1,2} x arctg 2 x x 3 2 − + 43. Az f : → , f (x ) = függvény x =2 π, π , x =1 2 a) nem folytonos x 0 = 1 -ben; b) nem folytonos x 0 = 2 -ben; c) deriválható -en; d) grafikus képének az Ox tengely aszimptotája; e) grafikus képének egy ferde aszimpototája van. 44. Határozd meg az összes olyan f : → függvényt, amelyre f ′(x ) = f (x ), ∀ x ∈ és f (1) = e . Az így kapott f függvényre számítsd ki 101
az S = ∑ ln f (k ) összeget. k =1
a) 5005 ; b) 5151 ; c) 5500 ; d) 5115 ; e) 5100 . 45. Ha az f : (1, ∞) → függvényre f (2x + 1) ≤ x ≤ 2 f (x ) + 1 , ∀ x > 1 , akkor a) f nem injektív; c) f csökkenő;
b) f bijektív és f (x ) + f −1(x ) ≤ 2x , ∀ x ≥ 2 ; d) f (x ) = log2 x ;
e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B9 teszt
143 A laikus fejében sok lehetőség kinálkozik, a mesterében csak kevés (Daisetz Teitaro Suzuki)
B9 teszt 1. Az f (x ) = P (x )e x függvény deriváltja P ∈ \[X ] és gr (P ) = n esetén a) Q(x )e x , ahol Q ∈ \[X ] és gr (Q ) = n − 1 ; b) Q(x )e x , ahol Q ∈ \[X ] és gr (Q ) = n ; c) Q(x )e x , ahol Q ∈ \[X ] és gr (Q ) = 2n ; d) Q(x )e x , ahol Q ∈ \[X ] és gr (Q ) ≤ n − 1 ; e) egyéb. 2. Az f : \ → \ , f (x ) = 42−3x , ∀ x ∈ \ függvény egy primitív függvénye 1 ln(2−3x ) 1 (2−3x )⋅ln 4 e ; b) − e ; 3 ln 4 3 ln 4 1 ln(2−3x ) d) e ; e) egyéb. 3 ln 4
a) −
c) −
1 ln 4(2−3x ) e ; 3 ln 4
3. Határozd meg az a ∈ \ paraméter értékét úgy, hogy az f : \ → \ , f (x ) = x 2 − ax + 6 függvény grafikus képének két szögpontja legyen, amelyek abszcisszájának összege 5 a) 5 ; b) 6 ; c) 0 ;
d) 10 ;
e) 4 .
1 1 1 + 2 + ... + 2 , n ≥ 1 általános tagú sorozat n +1 n +2 n +n a) nem korlátos; b) korlátos de nem konvergens; c) periodikus; d) konvergens; e) nem konvergens, de van határértéke.
4. Az x n =
5. A lim
x →∞
a) 1 ;
2
sin x határérték x b) ∞ ; c) −∞ ;
d) nem létezik;
e) 0 .
x 2 + 1, x ∈ _ 6. Hány pontban folytonos az f : \ → \ , f (x ) = x 2, x ∈ \\_ függvény
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
144
B9 teszt
a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) végtelen sok;
e) 4 .
Határozd meg az a ∈ \ paraméter értékét úgy, hogy az x2 + 1 f (x ) = 2 függvény grafikus képének a maximális értelmezési x + ax + a tartományán egy függőleges aszimptotája legyen. d) nem létezik; e) a = 4 . a) a = 2 ; b) a = −2 ; c) a = 1 ;
7.
8. Ha f : \ → \ , f (x ) = arctg x , ∀ x ∈ \ , akkor f (101)(0) értéke a)
1 ; 101
b) −
9. Határozd meg a z =
1 ; 102 3 +i
(
3 − i)
1 3π 3π cos + i sin ; 4 2 2 2 1 c) 4 (cos π + i sin π ) ; 2
a)
10. Ha tg x = a)
16 ; 9
c) 0 ;
5
d) −
1 ; e) egyéb. 1012
komplex szám trigonometriai alakja
1 π π cos + i sin ; 4 2 2 2 1 d) 4 (cos 2π + i sin 2π) ; 2
b)
1 , akkor sin 4x értéke 3 24 49 b) ; c) ; 25 24
d) 1 ;
e) egyéb.
e)
15 . 16
1 1 = 2 cos ϕ , akkor ∀ n ≥ 1 esetén z n + n egyenlő z z n a) 2 sin nϕ ; b) 2 cos nϕ ; c) 2 cos nϕ ; d) 2n cos nϕ ; e) egyéb.
11. Ha z +
12. Az a befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögben egy belső P pont távolsága a befogóktól u és v . Mennyi a távolsága az átfogótól? 2 2 u + v ; b) (u + v − a ) ; c) a) (a − u − v ) − a 2 ; 2 2 2 u + v d) a − e) egyéb. 2; 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B9 teszt
145
14 8 és cos a + cos b = − , akkor tg(a + b) értéke 65 65 72 43 56 b) ; c) − ; d) 0 ; e) − . 37 29 33
13. Ha sin a + sin b = − a)
13 ; 7
14. Ha egy ABC háromszögben cos A + cos B = sin C , akkor a háromszög a) egyenlő szárú; b) egyenlő szárú és derékszögű; c) derékszögű; d) tompaszögű; e) egyéb. 15. A C n5+8 = 5Vn3+6 (≠ 0) egyenlet megoldásaiban a számjegyek összege a) 5 ; 16. Ha
b) 13 ;
(x 0, y0 )
x 0 + y 0 értéke
c) 8 ;
e) 15 .
4x − 5 ⋅ 9y = −1 a egyenletrendszer megoldása, akkor x 4 + 2x ⋅ 3x = 6 b) −1 ;
a) 0 ;
d) 21 ;
c) 1 ;
d) 2 ;
e) −2 .
17. Ha (7 + 4 3 ) = 2 − 3 , akkor x
a) x = log2− 3 (7 + 4 3) ;
1 d) x = − ; 2 18. Az
b) x =
1 ; c) x = − log2− 3 (7 + 4 3) ; 2
e) egyéb.
{1, 2, 3, 4, 5}
halmaz minden harmadrendű kombinációjából
készítsünk egy olyan háromjegyű számot, amelyben a számjegyek növekvő sorrendben vannak egymás után. Az így kapott számok összege a) 1610 ; b) 1756 ; c) 1908 ; d) 1924 ; e) 1845 .
2 −1 0 19. Az A = 1 3 2 mátrix inverzében az elemek összege 4 1 2 5 a) 2 ; b) 0 ; c) −7 ; d) ; e) egyéb. 3
Helyes válaszok
146
Tartalomjegyzék
B9 teszt 3 1 0
20. Számítsd ki a ] 5 -ben a ∆ = 1 2 4 determinánst. 3 1 2 a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 0.
x + y = 5 21. ] 6 -ban az egyenletrendszernek (α ∈ ] 6 ) pontosan akkor α ⋅ x + 5y = 1 van egyértelmű megoldása, ha ; d) α ∈ {0, a) α = 0; b) α ∈ {0, 4} ; c) α ∈ {0, 4,2} 4, 3} ; . 4,1} e) α ∈ {0, x
22. A lim ∫ cos t ⋅ e −atdt határérték a > 0, a ∈ \ esetén x →∞
a) 0 ;
0
b)
a ; 1 + a2
c)
1 ; 1 + a2
d)
a 1 ; e) 2 . a −1 a −1 2
23. Az x 1 = 2 , 2x n +1 = 1 + x n2 , ∀ n ≥ 1 sorozat határértéke a) 1 ;
b) nem létezik;
c) ∞ ;
d) 2 ;
e) egyéb.
x − sin x határérték kiszámítására x →∞ x + sin x a) alkalmazhatjuk a l’Hospital szabályt; b) egymásután kétszer kell alkalmaznunk a l’Hospital szabályt; c) nem alkalmazhatjuk a l’Hospital szabályt, mert a számláló deriváltja 0 is lehet; x − sin x d) nem alkalmazhatjuk a l’Hospital szabályt, és lim =1 ; x →∞ x + sin x e) egyéb.
24. A lim
2
25. Az (x − 3)x −10 = (x − 3)3x egyenlet valós megoldásainak száma a) 0 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 4 ; e) 5 . 26. Ha az f : \ → \ függvény Darboux tulajdonságú és injektív, akkor a) szürjektív; b) monoton és folytonos; c) periodikus;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B9 teszt
147
d) folytonos de nem monoton;
e) egyéb.
27. Az ABC háromszög súlyvonalainak hosszát rendre jelöljük ma , mb és
mc -vel. Az a) 1 ;
ma2 + mb2 + mc2
a 2 + b2 + c2 3 b) ; 4
tört értéke c)
1 ; 2
d)
2 ; 3
e) egyéb.
28. Az f : ^ → ^ , f (z ) = iz + 4 − i függvény a) nem injektív; b) nem szürjektív; c) bijektív; d) monoton; e) egyéb. 29. Ha M (x 0 , y 0 , z 0 ) az A(2,2, 3) pont vetülete az
x −1 y +1 z −2 = = 1 2 1
egyenletű egyenesre, akkor x 0 + y 0 + z 0 értéke 20 22 24 a) 6 ; b) ; c) ; d) ; 3 3 3
e)
16 . 3
x 2 y2 + = 1 egyenletű ellipszis átmegy a P (4, −1) ponton és érinti a 2 b2 az x + 4y = 10 egyenest, akkor a 2 + b 2 értéke a) 36 ; b) 25 ; c) 50 ; d) 48 ; e) 68 .
30. Ha az
31. Az x 2 + y 2 = 1 egyenletű körben húzzunk az Ox tengellyel párhuzamos húrokat. A húrok végpontjai kössük össze a körnek az Oy tengelyen levő pontjaival. Mi az összekötő egyenesek (körön kívüli) metszéspontjainak mértani helye? a) egy parabola a csúcsa nélkül; b) egy hiperbola a csúcsok nélkül; c) egy kör; d) egy ellipszis; e) egy félegyenes. 32. Egy háromszög legnagyobb oldalával szemben fekvő szög kétszer akkora, mint a legkisebb oldallal szemben fekvő szög. A háromszög oldalai egymás után következő természetes számok. A háromszög kerülete a) 9 ; b) 12 ; c) 15 ; d) 24 ; e) 30 . 33. Ha z 1z 2 − z 32 , z 2z 3 − z 12 és z 3z 1 − z 22 egy egyenlő oldalú háromszög csúcsainak affixumai, akkor a) z 1 = z 2 = z 3 ; b) z 1 + z 2 + z 3 = 0 ;
c) z 12 + z 22 + z 32 = 0 ;
Helyes válaszok
148
Tartalomjegyzék
B9 teszt
d) z 1 , z 2 és z 3 egy egyenlő oldalú háromszög csúcsainak affixumai vagy
z1 = z 2 = z 3 ;
e) egyéb.
10x 34. Az 2 = 3x + 2 egyenlet megoldásaira igaz, hogy x + 1 a) x 1x 2 + x 3x 4 = 0 ; b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 ; c) x 1x 2x 3x 4 = 1 ; d) x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 ;
e) x 1x 2x 3x 4 = 0 .
35. Az a + b = c + d és a 2 + b 2 = c 2 + d 2 ⇒ a n + b n = c n + d n , ∀ n ≥ 3 kijelentés a) nem igaz ha a, b, c, d ≤ 0 ; b) nem igaz ha a, b, c, d > 0 ; c) igaz ha a, b, c, d ∈ ^ ; d) csak akkor igaz, ha a, b, c, d > 0 ; e) egyéb. 36. Hány megoldása van az f n (x ) = x egyenletnek, ha f : [0,1] → [0,1] , 1 x ∈ 0, 2x , 2 és f n = f D f D ... D f . f (x ) =
n 2 − 2x , x ∈ 1 ,1 2 a) 0 ;
b) 2 ;
c) 4 ;
d) 2n ;
e) egyéb.
37. Az f : \ → \ , f (x ) = x 2 − 2mx + m + 1 , m ∈ \ függvény csak akkor nem vált előjelt a (0,1) intervallumon, ha 1 − 5 1 + 5 1 + 5 , a) m ∈ ; b) m ∈ (−1,2) ; c) m ∈ −∞, ; 2 2 2 d) m ∈ (−∞,2) ;
e) egyéb.
3x 2 + mx + n , (m, n ∈ \) függvény milyen m x2 + 1 és n értékre teljesíti az Im f = [−4, 3] egyenlőséget?
38. Az f : \ → \ , f (x ) =
a) m = 1 és n = −4 ; b) m = 0 és n = 4 ; d) m = 0 és n = −4 ; e) m = −2 és n = 3 .
c) m = 1 és n = 3 ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B9 teszt
149
39. Ha a,b, c ∈ \ és z =
a 2 − ibc b 2 − ica c 2 − iab + + (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b)
( a ≠ b ≠ c ≠ a ), akkor z 4 értéke b) −4 ;
a) 1 ;
c)
a 2 + b2 + c2 2 ; [(a − b)(b − c)(c − a )]
2
d) (a 2 + b 2 + c 2 + 1) ; e) egyéb.
a, b, c ∈ \ számokra a(4a + 3b + 2c) > 0 . Lehet-e ax 2 + bx + c = 0 egyenlet mindkét gyöke az (1,2) intervallumban? a) igen; b) nem; c) függ a, b,c -től; d) csak ha a = b ; e) egyéb.
40.
41.
Az
Hány
megoldása
van
az
x 4 + y 4 + z 4 = 1 , x 2 + y 2 + 2z 2 = 6
egyenletrendszernek? b) 2 ; c) 6 ; a) 1 ;
d) 8 ;
x , y, z ∈ \
e) végtelen sok.
a , a > 0 egyenlet valós gyökeinek száma a −x c) 2 ; d) 4 ; e) egyéb.
42. A a − x + 2a − x = a) 0 ; 1
43. Az
∫ 0
a) 0 ;
b) 1 ; ln(1 + x ) dx integrál értéke 1 + x2 π + ln 2 π ln 2 b) ; c) ; 4 8
d) 1 ;
e) egyéb.
d) 0 ;
e) egyéb.
π 3
sinn x dx határérték n n + sin x cos x 0 π π b) ; c) ; 12 8
44. A lim ∫ n →∞
a)
π ; 6
az
45. Hány automorfizmusa van a (], +) csoportnak? a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 16 ;
e) végtelen.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
150
B10 teszt A profi akkor is képes tökéletes munkát végezni, ha semmi kedve hozzá
B10 teszt 1. Határozd meg az a
paraméter értékét úgy, hogy az f : \ → \ ,
f (x ) = 3 x 3 − x 2 + a függvénynek legyen 0 abszcisszájú visszatérési pontja. a) a = 1 ; b) a = 2 ; c) a = 0 ; d) a = −2 ; e) a = −1 .
2. A lim sin x határérték x →∞
b) 1 ;
a) 0 ; 3. A lim
7
x →1 3
b) ∞ ;
Határozd
∫ (ax
2
meg
az
c)
7 ; 3
a, b,c
d) értékét
+ bx + c )e dx = −(x + 1) e
értéke a) 2 ;
d) −1 ;
e) egyéb.
x −1 határérték x −1
a) 1 ; 4.
c) nem létezik;
−x
b) 3 ;
2 −x
c) 4 ;
+C
úgy,
3 ; 7 hogy
egyenlőség. d) 0 ;
e)
3 7 + . 7 3
teljesüljön Az
az
a +b +c
e) egyéb.
Határozd meg a c ∈ \ értékét úgy, hogy az f : \ → \ , 1 arctg , x ≠1 x −1 függvény folytonos legyen. f (x ) = c, x =1 2 π a) c = 0 ; b) c = 1 ; c) c = ; d) c = π ; e) c = − . 2 π
5.
(1 − 2i )(1 + i ) , akkor 1−i a) Re z = 1 ; b) Im z = 2 ; 2 1 e) z −1 = − i . 5 5
6. Ha z =
c) z = 2i − 1 ;
d) z = 5 ;
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B10 teszt
151
7. Az i ⋅ i 2 ⋅ ...i 101 szorzat értéke a) 1 ; b) i ; c) −i ;
d) −1 ;
e) egyéb.
JJJG JJJG 8. Ha A(1, −1, 3) , B(3, 0, 5) , C (2, 0, −6) és D(−4,1, 5) , akkor AB ⋅ CD értéke a) −20 ; b) 14 ; c) −17 ; d) 11 ; e) 0 . 9. Ha cos 2x = a)
1 ; 6
10. A cos a) 0 ;
2 , akkor sin 3x lehetséges értékeinek összege 3 3 1 1 b) 0 ; c) ; d) ; e) . 2 3 6
π 2π 3π − cos + cos kifejezés értéke 7 7 7 1 1 3 b) ; c) ; d) ; 3 2 4
e)
2 . 3
11. Ha (1 + 2 ) = 2 − 1 , akkor x
a) x = 1 ;
b) x = −1 ; c) x = log
2 −1
(
2 + 1) ;
1 e) x = − . 2 log 1 x2+5 1 3 x +3 >1 12. Az 2 egyenletrendszer megoldáshalmaza 2 x − x ≤ 2 a) [0,1] ; b) [−1,2] ; c) (−1,2) ; d) (0,1) ;
d) x =
1 ; 2
e) (−1,1) .
2 −1 0 13. Ha az A = α 1 3 mátrix invertálható, akkor 1 0 −2 5 5 7 a) α = ; b) α = 0 ; c) c = − ; d) α = − ; e) α ∈ ] . 2 2 2
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
152
B10 teszt
14. Az \ × \ halmazban értelmezzük az (x , y ) + (x ′, y ′) = (x + x ′, y + y ′) , ∀ x , x ′, y, y ′ ∈ \ és (x , y ) ⋅ (x ′, y ′) = (x ⋅ x ′, xy ′ + x ′y ) műveleteket. Hány zérusosztó létezik az (\ × \, +, ⋅) gyűrűben? a) 0 ; b) 1 ; c) végtelen sok;
d) 4 ;
e) 2 .
15. Határozd meg az a és b paramétereket úgy, hogy az f : \ → \ , 1 f (x ) = 3 ax 3 + bx 2 függvénynek az y = 2x − egyenletű egyenes 3 aszimptotája legyen. Az a + b összeg értéke b) −4 ; c) 8 ; d) −8 ; e) 0 . a) 4 ; 16. Az f : \ → \ , f (x ) =
ax 1 + a 2x
függvény ( a > 0 ) egy
∀x ∈ \
primitívje
1 arctg(a x ) ; ln a 1 1 c) F (x ) = arctg(a x ) ; d) F (x ) = arctg(a x ) ; a a ln a a) F (x ) = arctg(a x ) ; b) F (x ) =
e) egyéb.
1!+ 2!+ ... + n ! sorozat (2n )! a) nem korlátos; b) korlátos de nem konvergens; c) periodikus; d) konvergens; e) nem korlátos de létezik határértéke.
17. Az x n =
18. Ha x 1 = 3 és x n +1 = 3 + 2x n , ∀ n ≥ 1 , akkor a lim x n határérték n →∞
b) −1 ;
a) nem létezik;
c) 3 ;
d) ∞ ;
e) egyéb.
1 1 sin , x ≠ 0 x függvény 19. Az f : \ → \ , f (x ) = x 0, x =0 a) folytonos \ -en; b) deriválható \ -en; c) Darboux tulajdonságú; d) periodikus; e) egyéb. 20. Az (x − 2)x a) 1 ;
2
−4
= (x − 2)3x +6 egyenlet valós megoldásainak száma b) 2 ; c) 3 ; d) 4 ; e) 5 .
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B10 teszt
153
21. Az 1 , 2 , 3 , 4 számok permutációiból készíthető összes négyjegyű szám összege: a) 666 ; b) 6666 ; c) 66660 ; d) 66666 ; e) 66060 . 22. Az x 2 + 4y 2 = 1 ellipszis Ox tengely körüli forgatásából származó test felszíne π 2π 2 3 π 2π 2 3 a) − + ; b) + ; c) 1 ; 2 9 2 9 π π 2π 2 3 d) − ; e) . 2 9 2 23. Ha egy háromszög szögeire sin(α − β ) = sin2 α − sin2 β , akkor a háromszög a) egyenlő oldalú; b) egyenlő szárú; c) derékszögű; d) egyenlő szárú vagy derékszögű; e) egyenlő szárú és derékszögű. 1 24. Adott az (x − 1)2 + y 2 = 4 egyenletű kör. A P 2, − ponton áthaladó 2 legrövidebb húr hossza a) 3 ; b) 4 ; c) 2 3 ; d) 11 ; e) 14 .
25. Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, a derékszög belső 24 2 szögfelezője pedig . A befogók összege 7 b) 9 ; c) 21 ; d) 14 ; e) egyéb. a) 27 ; 26.
Az
ABC
háromszögben
b −a = 2,
l ) = 30° l ) − m(A m(B
és
c = 2 ( 3 + 1) . A p − c kifejezés értéke a) 0 ;
b) 1 ;
c)
3;
d)
3 − 1 ; e) 2 − 3 .
G G G 27. Ha u és v két tetszőleges, 0 -tól különböző vektor, akkor a G G2 G G2 u +v + u −v tört értéke G2 G2 u + v G G a) függ u és v -től b) 1 ; c) 2 ; d) 0 ; e) egyéb.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
154
B10 teszt
28. Ha z 12 + z 22 + z 32 + z 1z 2 + z 2z 3 + z 3z 1 = 0 , akkor a) z 1 = z 2 = z 3 = 0 ; b) z 1 + z 2 + z 3 = 0 ; c) z 1 , z 2 z 3 egy (esetleg elfajult) egyenlő oldalú háromszög csúcspontjai; d) z 1 , z 2 z 3 egy (esetleg elfajult) derékszögű háromszög csúcspontjai; e) egyéb. 29. Ha M (x 0, y 0 ) az y 2 = x parabolának az A(1, 0) pontjához legközelebb eső pontja, akkor x 0 + log2 y 0 értéke a) 1 − log2 3 ;
b) 1 + log2 3 ; c) 1 ;
d) 0 ;
30. Azon pontok mértani helye, amelyekből az ellipszis derékszögben látszik a) egy kör; b) egy ellipszis; d) egy hiperbola ív; e) egyéb.
e) egyéb.
x 2 y2 + = 1 egyenletű a 2 b2
c) egy parabola ív;
31. A (] 15 , +, ⋅) gyűrű egységeinek szorzata
l; a) 14
c) 1;
7; b)
d) 8;
e) egyéb.
32. Hány automorfizmusa van az (\, +, ⋅) testnek? a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 4 ;
e) végtelen sok.
33. Hány automorfizmusa van a (_, +) csoportnak? a) 1 ; b) 2 ; c) 4 ; d) 16 ;
e) végtelen sok.
1 n
34. Ha I n =
∫
arctg nxdx , akkor a lim n(n + 1)I n határérték n →∞
1 n+1
a)
π 1 − ; 4 2
b)
π π 1 − ln 2 ; c) − ln 2 ; 4 2 4
d)
π ; 4
e) 0 .
x
35.
Az
f : \ → \,
f (x ) =
∫e
t2
(t 2n − 2nt + 1)dt
0
szélsőérték pontjainak száma ( n ∈ `* \ {1} )
függvény
lokális
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
B10 teszt
155
a) 0 ;
b) 2 ;
c) 4 ;
d) 2n ;
e) 2n − 1 .
x
36. A lim ∫ sin t ⋅ e −atdt határérték ( a > 0, a ∈ \ ) x →∞
0
a a) ; 1 + a2
b)
a a 1 ; c) ; d) ; e) egyéb. 2 2 1−a 1 − a2 1+a
37. Ha 2a 2 + b 2 + c 2 = 3 és a,b, c ∈ \ , akkor az a − 2b + c kifejezés minimuma 38 33 31 38 a) ; b) − ; c) − ; d) − ; e) egyéb. 11 2 5 11 38.
Ha
a1, a2 ,a 3 ∈ \
és
f : \ → \,
az
f (x ) = (x − a1 )(x − a2 ) + (x − a2 )(x − a 3 ) + (x − a 3 )(x − a1 )
függvényre
teljesül az f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ \ feltétel, akkor a) a1 = a2 = a 3 = 0 ;
b) a1 = a2 = a 3 ;
d) ellentmondáshoz jutunk;
e) egyéb.
c) a1 < a2 < a 3 ;
39. A x −7 x −6 x −5 x − 1996 x − 1997 x − 1998 + + = + + 1996 1997 1998 7 6 5 egyenlet valós gyökeinek száma b) 1 ; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb. a) 0 ; 40. Az mx 2 − (4m + i )x + m(1 + 2i ) + 3 = 0 egyenletnek hány valós m értékre létezik valós gyöke? b) 1 ; c) 2 ; d) végtelen sok; e) egyéb. a) 0 ;
{
41. Ha A = x ∈ \ \ {−1,1} x − halmaz elemeinek száma b) 1 ; a) 0 ;
}
p ∈ ], p − prímszám , akkor az A ∩ _ x
c) 2 ;
d) 4 ;
e) végtelen sok.
Helyes válaszok
Tartalomjegyzék
156
B10 teszt
2x 2 − x + 3, x ∈ [0,1] 42. Az f : [0,2] → \ , f (x ) = függvény 2 + x + x , x ∈ [1,2] a) nem injektív; b) nem szürjektív; c) nem bijektív; d) rendelkezik inverz függvénnyel; e) egyéb.
43. Az f : \ → \ , f (x ) = min(sin x , cos x ) függvény a) szigorúan növekvő \ -en; b) nem periodikus; c) nem korlátos; 2 d) legkisebb felső korlátja ; e) egyéb. 2 1 1 ≥ egyenlőtlenségnek ( n ∈ `* \ {1} ) 2x − 8n + 1 + 1 2 a) minden n ∈ `* \ {1} esetén pontosan egy megoldása van; b) végtelen sok megoldása van ha ≥ 2 ; c) megoldásainak száma függ n -től; d) nincs megoldása ha n ≥ 100 ; e) egyéb.
44. Az
45 Hány részcsoportja van a (_, +) csoportnak? a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 4 ;
e) végtelen.
