1. A, e²te rekurenci
Q0 = 2 Qn = −2Qn−1 + (n + 2)2 ,
pro n > 0.
B, e²te následující rekurenci n¥kterou z metod z kapitoly o sumách:
Q0 = 1 Qn = nQn−1 + n!,
pro n > 0.
2. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = 2 Qn = 2Qn−1 + 2 cos(nπ), B, Zjednodu²te sumu
X
pro n > 0.
(aj bk − ak bj )2
1≤j
tak, aby po£et s£ítání byl úm¥rný n.
3. A, e²te rekurenci
Q0 = π, Q1 = 2π, Qn = 2Qn−1 − Qn−2 + π,
pro n > 1.
B, e²te metodou suma£ního faktoru
T0 = 5 2Tn = nTn−1 + 3n!,
pro n > 0.
4. A, e²te rekurenci
Q0 = −π Qn = −6Qn−1 − πn2 ,
pro n > 0.
B, Dokaºte, ºe platí n−1 X
n−1 X
k=0
k=0
(ak+1 − ak )bk = an bn − a0 b0 −
(bk+1 − bk )ak+1 .
5. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = π, Q1 = π 2 , Qn = −Qn−2 + (n + π)2 ,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te následující sumu metodou z kapitoly 2.5.5: n X
k 2 2k .
k=1
6. A, e²te rekurenci
Q0 = 0, Q1 = 0, Qn = 2Qn−1 − Qn−2 + 2n, B, e²te sumu
n X
pro n > 1.
Hk
k=0
perturba£ní metodou. Návod: Zkuste namísto Hk dosadit kHk . 7. A, e²te rekurenci
Q0 = 5 Qn = 5Qn−1 + 5n + 5, B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X
(−1)n−k k 2 .
k=0
pro n > 0.
8. A, e²te rekurenci
Q0 = 0 Qn = Qn−1 + 2n + n,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X
(−2)k k 2 .
k=0
9. A, e²te rekurenci
Q0 = −5 Qn = 5Qn−1 + 55n2 ,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n ³ X
´
(−1)k k + k 2 .
k=0
10. A, e²te rekurenci
Q0 = 0 Qn = πQn−1 + πn2 , B, Vypo£t¥te sumu
n X
pro n > 0.
k([k > 0] − [k < 0]).
k=−n
11. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²´ sudá a lichá n):
Q0 = 1 Qn = 3Qn−1 + 6 cos(nπ) + 9 sin(nπ),
pro n > 0.
B, Vyjád°ete následující sumu pomocí j a n : X
[1 ≤ j ≤ k ≤ n]
k
12. A, e²te rekurenci
Q0 = −3 Qn = 3Qn−1 + 3n3 ,
pro n > 0.
B, Dokaºte Lagrangeovu rovnici: X 1≤j
2
(aj bk − ak bj ) =
à n X k=1
a2k
!Ã n X k=1
!
b2k
−
à n X k=1
!2
ak bk
.
13. A, e²te rekurenci
Q0 = −1, Q1 = −3, Qn = 2Qn−1 − Qn−2 + 3n + 3,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n µ ¶k µ ¶k+1 X 1 1
2
k=0
·
3
.
14. A, e²te rekurenci
Q0 = 4, Q1 = 2, Qn = Qn−1 − Qn−2 + 3,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X (−1)n−k k=0
2k
.
15. A, e²te rekurenci
Q0 = 2, Q1 = −2, Qn = −Qn−2 + (n + 1)2 ,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu 2n X (−1)k k=1
k
.
Nápov¥da: rozloºte na sumy pro lichá a sudá k. Uvaºte, ºe X 1≤k<2n k lich
1 1 = H2n − Hn . k 2
16. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = 2, Q1 = −3, Qn = Qn−2 + n cos(nπ), B, Dokaºte, ºe platí
X 1≤k<2n k lich
pro n > 1.
1 1 = H2n − Hn . k 2
17. A, e²te rekurenci
Q0 = π, Q1 = π, Qn = Qn−1 − Qn−2 − 7n,
pro n > 1.
B, Plo²né momenty p°i po£íta£ovém rozpoznávání obrazu o rozm¥ru n × n bod· s jasovou funkcí f (i, j), 1 ≤ i, j ≤ n jsou de novány jako n X n X
mrs =
ir j s f (i, j).
i=1 j=1
Centrální momenty vztaºené k t¥ºi²ti hit , jt i jsou de novány jako
µrs =
n X n X
(i − it )r (j − jt )s f (i, j),
i=1 j=1
kde
it =
m10 , m00
jt =
m01 . m00
Dokaºte, ºe µ01 = µ10 = 0 pro libovolné n a f (i, j). 18. A, e²te rekurenci
√ √ Q0 = 2, Q1 = 2 2, √ Qn = Qn−1 − Qn−2 + 2,
pro n > 1.
B, Vyjád°ete pomocí harmonických £ísel Hn sumu n X
k2
k=2
1 . −1
Nápov¥da: 2/(k 2 − 1) = 1/(k − 1) − 1/(k + 1). 19. A, e²te rekurenci
Q0 = e, Q1 = 2e, Qn = Qn−1 − Qn−2 − e,
pro n > 1.
Poznámka: £íslo e je základ p°irozeného logaritmu. B, Zjednodu²te sumu
n X n X
ak aj [j 6= k].
k=1 j=1
20. A, e²te rekurenci
g(1) = 1/3, g(2n + j) = 3g(n) + 33n + 333,
pro j = 0, 1 a n > 0.
Nápov¥da: °e²te nejprve rekurenci bez £lenu 33n, pak ji zobecn¥te a pouºijte repertoárovou metodu. B, Zjednodu²te sumu
n X n X
(ak − aj )2 .
k=1 j=1
21. A, e²te rekurenci
g(1) = 1, g(2n + j) = 3g(n) + sin(jπ/2), B, Dokaºte, ºe platí
n X n X
pro j = 0, 1 a n > 0.
à n X
2
(ak + bj ) ≥ 4
k=1 j=1
ak
!Ã n X
!
bj .
j=1
k=1
22. A, e²te rekurenci
Q0 = 7, Q1 = 7, Qn = Qn−1 − Qn−2 − 7n, B, Dokaºte, ºe platí
n
n X
a2j
≥
à n X
j=1
pro n > 1.
!2
aj
.
j=1
23. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²´ sudá a lichá n):
Q0 = 13, Q1 = 21, Qn = −Qn−2 + n2 , pro n > 1. B, Dokaºte, ºe platí
n X
n (a2k k=1
+
b2k )
à n X
≥2
ak
k=1
!Ã n X
!
bj .
j=1
24. A, e²te rekurenci
g(1) = 1/3, g(2n + j) = 3g(n) + cos(jπ),
pro j = 0, 1 a n > 0.
B, e²te perturba£ní metodou sumu n X
(−1)n−k k.
k=0
25. A, e²te následující rekurenci (vyuºijte obecné °e²ení z p°edná²ek):
g(1) = 1/3, g(2n + j) = −3g(n) + 3, B, Zjednodu²te sumu
n X n k−1 X X
pro j = 0, 1 a n > 0.
ai (ak − aj ).
i=1 k=1 j=1
26. A, e²te rekurenci
Q0 = −2 Qn = −4Qn−1 − 6n, B, Vypo£t¥te sumu
n X n X j k=1 j=1
2k
.
pro n > 0.
27. A, e²te následující rekurenci
Q0 = −2 Qn = 4Qn−1 − 6 cos(nπ), B, Zjednodu²te sumu
n X n X n X
pro n > 0.
a2i (ak − aj )2 .
i=1 k=1 j=1
28. A, e²te rekurenci
Q0 = 2 Qn = −3Qn−1 + 5n2 + 7n + 11, B, Zjednodu²te sumu
n X n X
pro n > 0.
ak aj (1 − 2[j < k]).
k=1 j=1
29. A, e²te následující rekurenci
Q0 = 2, Q1 = 3, Qn = −Qn−2 + 5n + 8,
pro n > 1.
B, Dokaºte Cauchyho nerovnost à n X
a2k
!Ã n X
!
b2k
≥
à n X
k=1
k=1
!2
ak bk
.
k=1
Návod: pokuste se vyjád°it rozdíl levé a pravé strany jako výraz, který je vºdy nezáporný. 30. A, e²te rekurenci
Q0 = −3 Qn = −6Qn−1 − 9n2 ,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te pomocí harmonických £ísel sumu n X 2k + 1 k=1
k(k + 1)
.
Návod: 1/k(k + 1) = 1/k − 1/(k + 1). 31. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²´ sudá a lichá n):
Q0 = 2,
Q1 = 3,
π Qn = Qn−2 + n sin((2n + 1) ), 2 B, Vypo£t¥te pomocí harmonických £ísel sumu n X k=1
k . −1
4k 2
Návod: 4k/(4k 2 − 1) = 1/(2k − 1) + 1/(2k + 1).
pro n > 1.
32. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²´ sudá a lichá n):
Q0 = 2, Q1 = −3, Qn = −Qn−2 + n2 , pro n > 1. B, e²te sumu
X
Sn =
kxk ,
x ∈ R.
0≤k≤n
33. A, e²te rekurenci
Q0 = 7, Q1 = 77, Qn = 2Qn−1 − Qn−2 + 2,
pro n > 1.
B, e²te metodou suma£ního faktoru
T0 = 3 3Tn = nTn−1 − 3n!,
pro n > 0.
34. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = 3, Q1 = 3, Qn = −Qn−2 + (n + sin(nπ))2 ,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te perturba£ní metodou: n X
k 2 2k .
k=1
35. A, e²te rekurenci
Q0 = 2 Qn = 2Qn−1 − 2n2 + 2n + 2,
pro n > 0.
B, e²te perturba£ní metodou (namísto kHk dosa¤te k 2 Hk ): n X
kHk .
k=0
36. A, e²te rekurenci
Q0 = 7 Qn = 2Qn−1 + 3n ,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n µ ¶n−k µ ¶k X 1 1 k=0
3
·
5
.
37. A, e²te následující rekurenci (p°edpokládejte Qn 6= 0 pro n ≥ 0):
Q0 = α, Q1 = β, Qn = (1 + Qn−1 )/Qn−2 ,
pro n > 1.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X (−2)k k=0
(−3)n−k
.
38. A, e²te rekurenci
Q0 = 5, Q1 = 9, Qn = Qn−2 + 5n + 3,
pro n > 1.
B, Vyjád°ete pomocí harmonických £ísel Hn sumu n X k=1
k2
k . −1
Nápov¥da: 2k/(k 2 − 1) = 1/(k − 1) + 1/(k + 1). 39. A, e²te rekurenci
Q0 = −2, Q1 = 0, Qn = Qn−2 + n2 , pro n > 1. B, Vyjád°ete pomocí harmonických £ísel Hn sumu n X
k2 . 2 k=1 k − 1 Nápov¥da: 2k/(k 2 − 1) = 1/(k − 1) + 1/(k + 1). 40. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = 7 Qn = 7Qn−1 + 7 sin(nπ), B, Zjednodu²te sumu
2n 2n X X
pro n > 0.
(cj dk − ck dj )2
j=1 k>j
tak, aby po£et s£ítání byl lineární funkcí n. 41. A, e²te rekurenci
Q0 = 1 Qn = −11Qn−1 + n − 1, B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X
(−1)k (n − k)2 .
k=0
pro n > 0.
42. A, e²te rekurenci
Q0 = 2 0 Qn = Qn−1 + 2n+1 + n + 1,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n X
(−3)n+k k.
k=0
43. A, e²te rekurenci
Q0 = 13 Qn = −3Qn−1 + 3n2 ,
pro n > 0.
B, Vypo£t¥te bez pouºití repertoárové metody sumu n ³ X
´
(−1)k k 2 − (n − k) .
k=0
44. A, e²te rekurenci
Q0 = π Qn = 2πQn−1 + πn2 + π 2 , B, Vypo£t¥te sumu
n X
pro n > 0.
k 2 (1 − 2[k < 0]).
k=−n
45. A, e²te následující rekurenci (uvaºujte zvlá²t sudá a lichá n):
Q0 = 1, Q1 = −1, Qn = Qn−2 + 11 cos((n − 1)π),
pro n > 1.
B, Vyjád°ete následující sumu pomocí H2n a Hn : n X
1 . 2k − 1 k=1 46. A, e²te rekurenci
Q0 = log 3, Q1 = 3 log 3, Qn = Qn−1 − Qn−2 + log 3, B, Vyjád°ete pomocí harmonických £ísel Hn sumu n X k=1
2k 2
1 . + 3k − 2
Nápov¥da: 2/(2k 2 + 3k − 2) = 1/(k + 2) − 2/(2k − 1).
pro n > 1.
47. A, e²te rekurenci
1 , Q1 = −Q20 , 2 = Qn−1 − Qn−2 − Q1 ,
Q0 = Qn B, Zjednodu²te sumu
n n+1 X X
pro n > 1.
ak aj [j 6= k + 1].
k=1 j=2
48. A, e²te rekurenci
g(1) = 3, g(2n + j) = 3g(n) + 3n + 3g(1),
pro j = 0, 1 a n > 0.
Nápov¥da: °e²te nejprve rekurenci bez £lenu 3n, pak ji zobecn¥te a pouºijte repertoárovou metodu. B, Zjednodu²te sumu
n X n X
(ak + aj )2 .
k=1 j=1
