AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molnár László Ph.D. hallgató Miskolci Egyetem, Gazdaságelméleti Intézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA ESETÉN A mintanagyság meghatározására számos módszert dolgoztak ki az elmúlt évszázadban a statisztikusok, a gyakorlatban mégis csak egy terjedt el igazán. Ennek az a legfıbb oka, hogy a sokasági arány intervallumbecslésén alapuló megközelítés akkor is alkalmazható, amikor a többi módszer csıdöt mond, hiszen kiküszöböli azok legnagyobb hibáját, vagyis nincs szükség az alapsokasággal kapcsolatos elızetes ismeretekre (pl.: szórás). A következıkben részletesen ismertetem a mintanagyság aránybecslésen alapuló meghatározásának két alapesetét, a végtelen és a véges alapsokaság esetén történı mintanagyság meghatározást. 1.2. Végtelen alapsokaság esetén Ha a mintanagyságot végtelen alapsokaság esetén kívánjuk meghatározni, akkor mindössze két paramétert kell rögzítenünk: – megbízhatósági szint, – pontossági szint. A feladat tehát az, hogy határozzuk meg azt a mintanagyságot, amely eleget tesz az elıbbi paraméterek elıre rögzített értékeinek. A kérdés úgy is megfogalmazható, hogy milyen mintanagyság mellett lesz a pontossági szint egy elıre rögzített érték. A mintanagyság meghatározása ezen a ponton kapcsolódik az aránybecsléshez, hiszen ha kifejezzük a pontossági szint képletébıl a mintaelemszámot, már választ is kaptunk a kérdésünkre. (1.)
z 2 ⋅ p ⋅ (1 − p) ~ n= π ∆2
A képletbe történı behelyettesítéshez valamennyi paraméter adott, kivéve a mintabeli arány. Ez az információ a mintanagyság meghatározásakor, vagyis a kutatás tervezési fázisában nyilvánvalóan nem áll rendelkezésre. Értékét úgy kell megválasztani, hogy azt a mintaelemszámot adja eredményül, amely mellett egy tetszıleges arány intervallumbecslése legfeljebb az elıre rögzített pontossági szintet eredményezi. Más szóval, keressük azt a mintabeli arányt, amely mellett a mintaelemszám maximális. A részfeladat megoldásához a függvénytani ismereteinkre kell támaszkodnunk, ahonnan tudjuk, hogy az f(p) = p ⋅ (1 − p) függvény maximuma ott van, ahol az
elsırendő derivált f' (p) = 0 , a másodrendő derivált pedig f" (p) < 0 . A számítások elvégzése után p = 0,5 eredményt kell, hogy kapjunk. A mintabeli arány ”megfejtése” után az alábbiak szerint egyszerősíthetjük a végtelen alapsokaság esetén alkalmazott mintaelemszámítási képletet. (2.)
0,25 ⋅ z 2π ~ n= ∆2
1.2. Véges alapsokaság esetén A mintanagyság meghatározásának ebben a pontban még nincs vége, amennyiben nem végtelen, hanem véges az alapsokaságot képezı elemek száma. A megbízhatósági és pontossági szint mellett rögzíteni kell az alapsokaság elemszáma, mint paraméter értékét. Ezt követıen írható fel az a képlet, amely felhasználja a végtelen alapsokaság esetén meghatározott mintanagyságot, vagyis korrigálja azt véges alapsokasági esetre. Akkor jutunk erre a megoldásra, ha a pontossági szint képletébıl kifejezzük a mintaelemszámot. (3.)
n=
~ n 1+
~ n N
Ahogy azt korábban már említettem, a társadalomtudományi kutatások gyakorlatában többségében véges alapsokasággal találkozhatunk, ezért az elıbbiekben leírtakat tartsuk szem elıtt a mintavételi terv készítésének folyamatában. 2. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA RÉTEGZETT (R) MINTA ESETÉN A rétegzett mintavétel a véletlen mintavételi eljárások közé tartozó kétlépcsıs folyamat, amely során elıször a sokaságot osztjuk részsokaságokra, vagy más néven rétegekre. A rétegeknek egymást kölcsönösen kizárónak és együttesen teljesnek kell lennie, amelyben minden sokasági elemet be lehet sorolni egy, és csakis egy rétegbe, ugyanakkor egyetlen elem sem marad ki. Ezt követıen minden egyes rétegbıl egyszerő véletlen (EV) mintavétel segítségével részmintákat veszünk, amelyek együttesen alkotják a teljes mintát. Azokat a változókat, amelyek segítségével az alapsokaságot egymást kölcsönösen kizáró részekre osztjuk rétegképzı ismérveknek nevezzük. A rétegképzı ismérveket úgy kell megválasztani, hogy a rétegeken belül az elemeknek homogének, a sokaságon belül a rétegek pedig heterogének legyenek. A legelterjedtebb rétegképzı ismérvek lakossági (B2C) kutatások esetén a demográfiai változók (pl.: földrajzi terület, nem, életkor), üzleti (B2B) kutatások esetén pedig az általános cégadatok (pl.: földrajzi terület, létszám, árbevétel).
2.1. Felosztó (divizív) rétegzés A rétegzett mintavétel nagyon is gyakorlati kérdése a részminták és az általuk együttesen alkotott teljes minta nagyságának meghatározása. Ha ismertnek feltételezzük a teljes minta elemszámát, akkor több megoldása létezik a minta rétegek közötti elosztási tervének. Nevezzük ezeket a módszereket összefoglalóan – az osztályozási eljárások analógiájára – felosztó (divizív) rétegzésnek. A divizív rétegzés menetét a következı 6 lépés alkotja: 1. definiáljuk a teljes sokaságot, 2. válasszuk ki a rétegképzı ismérveket és alakítsuk ki a részsokaságokat, 3. rögzítsük a teljes minta megbízhatósági és pontossági szintjét, 4. határozzuk meg a teljes minta nagyságát, 5. válasszuk ki az elosztási tervet, 6. a teljes minta felosztása megadja a részminták elemszámát. 2.1.1. Egyenletes elosztás Az egyenletes elosztás esetében úgy jutnunk a részminták elemszámához, hogy a teljes minta elemszámát elosztjuk a rétegek tervezett számával, vagyis minden egyes rétegbıl azonos nagyságú mintát veszünk. (4.)
n n = i m
Az egyenletes elosztás egyszerő, nem igényel komolyabb tervezési-szervezési elıkészítést, kényelmesen végrehajtható, és bizonyos feltételek mellett az egyes rétegek mintavételi hibáinak összege minimális. Ha kíváncsiak vagyunk az egyes rétegek statisztikai mutatóira elfogadható megbízhatósági és pontossági szint mellett, akkor az egyenletes elosztás jó megoldásnak tekinthetı. 2.1.2. Arányos elosztás Az arányos elosztás lényege az, hogy a részminták úgy aránylanak a teljes mintához, mint a részsokaságok a teljes sokasághoz. Ennek megfelelıen egy nagyobb rétegbıl nagyobb mintát veszünk. (5.)
N n = n⋅ i i N
Az arányos elosztás szintén egyszerő, elıkészítése nem igényel komolyabb erıfeszítést, könnyen végrehajtható, és a mintában ugyanazok az arányok érvényesülnek, mint a sokaságban. A minta a rétegképzı ismérvre nézve reprezentatívnak tekinthetı, ezért szokták önsúlyozó mintának is nevezni. 2.1.3. Neyman-féle optimális elosztás
A Neyman-féle optimális elosztás esetében a részminták elemszáma nem csak a részsokaság arányától, hanem annak elıre ismert vagy legalább becsült szórásától (σi) is függ. Nagyobb szóródású rétegekbıl nagyobb, kisebb szóródásúakból kisebb mintát veszünk feltéve, hogy a részsokaságok egyforma nagyságúak.
N ⋅σ (6.) n = n ⋅ m i i i ∑ N ⋅σ i=1 i i Az elosztás elınyös tulajdonsága, hogy a fıátlagot ilyen mintából számítva minimális mintavételi hibához jutunk, végrehajtása azonban nem egyszerő, hiszen nehéz megbízható információkat nyerni a rétegenkénti szórásokra, ezért ez az elosztás kizárólag az elmélet számára fontos. Azonos rétegenkénti szórások esetén a Neyman-féle optimális elosztás megegyezik az arányos elosztással. 2.1.4. Költségoptimális elosztás A Neyman-féle optimális elosztás továbbfejlesztett változata a költségoptimális elosztás, amely a rétegek nagysága és szórása mellett a részsokaságok megfigyelési egységköltségeit (πi) is figyelembe veszi. A mintavétel teljes költsége (C) az alábbi képlet segítségével kalkulálható. (7.)
m C = ∑ π ⋅n i=1 i i
Rögzített költségkeret esetén a fıátlag mintavételi hibáját minimalizáló elosztás a következı formulába történı helyettesítéssel kapható meg.
(8.)
N ⋅σ i i π i n = n⋅ i m Ni ⋅ σi ∑ i=1 π i
A részsokaságok egyforma nagysága és szórása esetén abból a rétegbıl vesszük a nagyobb mintát, aminél kisebb a megfigyelési egységköltség. Azonos egységköltségek esetén a költségoptimális elosztás megegyezik a Neyman-féle optimális elosztással és rendelkezik annak elınyös és hátrányos tulajdonságaival. Az ismertnek feltételezett teljes minta rétegek közötti elosztási terveinek elméleti és gyakorlati aspektusból vett elınyös és hátrányos tulajdonságait az alábbi 1. táblázat tartalmazza.
1. táblázat Az elosztási tervek elınyei és hátrányai
Egyenletes Arányos Neyman-féle optimális Költségoptimális
Elınye Egyszerő, könnyen végrehajtható; Alacsony a rétegek mintavételi hibája Egyszerő, könnyen végrehajtható; Reprezentatív
Hátránya Nem reprezentatív Magas a rétegek mintavételi hibája
Figyelembe veszi a rétegek szórását
Bonyolult, nehezen végrehajtható
Figyelembe veszi a rétegek megfigyelési egységköltségét
Bonyolult, nehezen végrehajtható
A gyakorlat számára a legfontosabb elosztások az egyenletes és az arányos, amelyek egyszerőek, könnyen végrehajthatók és kedvezı statisztikai tulajdonságokkal rendelkeznek. A Neyman-féle optimális és a költségoptimális elosztások feltételezik a rétegenkénti szórás ismeretét, amelyre a legritkább esetben áll rendelkezésre, vagy érhetı el megbízható és pontos információ. 2.2. Összevonó (agglomeratív) rétegzés A részminták és az általuk együttesen alkotott teljes minta elemszámának meghatározása történhet összevonó (agglomeratív) rétegzéssel, amelynek az a lényege, hogy nem a teljes minta nagyságát rögzítjük elıre, hanem a részminták nagyságát. Mindezt annak érdekében tesszük, hogy a rétegek önmagukban is elemezhetık legyenek elfogadható megbízhatósági és pontossági szint mellett. Az agglomeratív rétegzés menetét a következı 5 lépés alkotja: 1. definiáljuk a teljes sokaságot, 2. válasszuk ki a rétegképzı ismérveket és alakítsuk ki a részsokaságokat, 3. rögzítsük minden egyes részminta megbízhatósági és pontossági szintjét, 4. határozzuk meg a részminták nagyságát, 5. a részminták összevonása megadja a teljes minta elemszámát. A divizív és az agglomeratív rétegzési módok elınyös és hátrányos tulajdonságait a következı 2. táblázat tartalmazza. A vizsgálat szempontjait a minta nagysága és költsége, valamint a teljes sokaság és a rétegek megbízhatósági és pontossági szintjei jelentették.
2. táblázat Az rétegzési módok elınyei és hátrányai
Felosztó (divizív) rétegzés Összevonó (agglomeratív) rétegzés
Elınye Elfogadható megbízhatósági és pontossági szint a teljes sokaságra nézve; Kisebb minta is elegendı hozzá; Kevésbé költséges Kiváló megbízhatósági és pontossági szint a teljes sokaságra nézve; A rétegek általában önmagukban is elemezhetık
Hátránya A rétegek általában nem elemezhetık önmagukban
Nagyobb minta szükséges hozzá; Költségesebb
Összefoglalva elmondható, hogy a divizív rétegzési módokat akkor célszerő alkalmazni, amikor a kutatás költségvetési kerete relatíve kisebb (nem több mint 400) minta vételét teszi lehetıvé, ezen belül pedig az arányos rétegzés biztosítja a minta súlyozás nélküli reprezentativitását. A divizív rétegzést alkalmazva akkor jutunk önmagukban is elfogadható megbízhatósági és pontossági szint mellett elemezhetı részmintákhoz, ha relatíve nagyobb (mintegy 800-1 600) minta áll a rendelkezésünkre és az egyenletes rétegzést választjuk. Abban az esetben, amikor kutatás költségvetési kerete nagyobb mintaelemszám vételét is lehetıvé teszi, célszerő agglomeratív rétegzést alkalmazni. Ezzel az eljárással önmagukban is elemezhetı részmintákhoz jutunk, nem beszélve a teljes minta kiváló megbízhatósági és pontossági szintjérıl. IRODALOMJEGYZÉK [1] HAJDU: Többváltozós statisztikai számítások, Központi Statisztikai Hivatal, 2003 [2] HUNYADI – MUNDRUCZÓ – VITA: Statisztika, Aula Kiadó, 1997 [3] HUNYADI – VITA (2002): Statisztika közgazdászoknak, Központi Statisztikai Hivatal, 2002 [4] KETSKEMÉTY – IZSÓ (2005): Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Eötvös Kiadó, 2005 [5] MALHOTRA: Marketingkutatás, KJK-KERSZÖV Jogi és Üzleti Kiadó, 2002
