T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Az iszl´ am, mint vall´ as.
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek Az iszl´am kialakul´asa 1. Az Arab f´elsziget nagy r´esz´en a s´emi n´epekhez tartoz´ o nom´ad (beduin) t¨ orzsek ´eltek az I.sz. I. ´evezred kezdet´en (˝ oseik k¨ ozel 3000 ´eve). Politeist´ak, minden t¨ orzsnek saj´at” istenei voltak. ” A VII. sz. elej´en Mohamed gazdag mekkai keresked˝ ou ´j monoteista vall´ast alap´ıt — az iszl´amot —, a zsid´ o ´es a kereszt´eny hagyom´anyokra ´ep´ıtve. Mindegyik n´epr´etegnek ´ıg´ert valamit, pl. a hal´al ut´ani ¨ or¨ ok ´eletet, 4 feles´eget, ...
A kora k¨oz´epkori iszl´am kult´ur´ak matematik´aja. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
´ s, azaz a h´ıv˝ Az iszl´am” sz´ o jelent´ese: odaada oknek Allah ir´anti ” odaad´asa.
2017. m´arcius 30.
622-ben menek¨ ulni k´enyszer¨ ul: hidzsra, Medin´aba fut. Az iszl´am id˝ osz´am´ıt´as kezdete. L´etrehozza az az iszl´amot maguk´ev´a tev˝ o arab t¨ orzsek sz¨ ovets´eg´et. ´ fe ´ta ´ ja ´ va ´ nyilv´ Mohamedet Allah Pro an´ıtj´ak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
2017. m´ arcius 30.
1 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az iszl´ am, mint vall´ as.
Iszl´ am.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek
2017. m´ arcius 30.
2 / 42
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek
Az iszl´am kialakul´asa 2. H´od´ıt´o h´abor´uk, kalif´atusok 1.
630-ban seregek ´el´en visszat´ert Mekk´aba, az ott uralkod´ o pog´any K´aba-kultuszt beolvasztja az iszl´amba, Mekk´at szent helly´e nyilv´an´ıtja.
A h´ od´ıt´asokat seg´ıtette a biz´anci uralkod´ okkal szembeni ´altal´anos ellenszenv.
A mai napig Mekk´aba, a K´aba-k˝ oh¨ oz zar´andokolnak a h´ıvek. Mohamed 632-ben meghalt.
A kor´abbi rabszolgatart´ o t´arsadalom sz´ethullott, kialakult a keleti ¨ oz´eses f¨ t´ıpus´ u feudalizmus. Ont¨ oldm˝ uvel´es.
´ k, az els˝ A Pr´of´eta (Mohamed) ut´odai a kalifa o, Abu Bekr. Ut´oda ´ dot Omar (634-640) megind´ıtja a h´ od´ıt´ o (szent) h´abor´ ukat, a Dzsiha
Kialakult a v´arosi kult´ ura”: ´ep´ıt´eszet, k´ezm˝ uipar, kereskedelem. A ” birtokadom´anyoz´asok miatt fokozatosan gy¨ ong¨ ult a k¨ ozponti hatalom.
a hitetlenek” ellen minden ir´anyba. ” C´el: az isz´am terjeszt´ese.
Gyorsan ´atvett´ek a megh´ od´ıtott ter¨ uletek magasabb szint˝ u kult´ ur´aj´at, kezdetben igen t¨ urelmesek voltak m´eg vall´asi t´eren is. Hisp´ania p´eld´aja.
A m´as vall´as´ uakat, a hitetleneket u ¨ld¨ ozt´ek, de j´o ideig kiv´etel tettek a zsid´ okkal ´es a kereszt´enyekkel.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
3 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
4 / 42
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
T¨ort´enelmi m´erf¨oldk¨ovek H´od´ıt´o h´abor´uk, kalif´atusok 3.
H´od´ıt´o h´abor´uk, kalif´atusok 2. 637-ben Sziria, 638 Jeruzs´alem, 640-42 Egyiptom, 641 Perzsia. ´ n (644-656) h´ A 3. kalifa, Oszma od´ıt´asai: Ciprus, Rhodosz, ¨ enyorsz´ag. Megindult az arabiz´al´as”, kiv´etel Perzsia. A f˝ Orm´ ov´aros ” Damaszkusz.
661-ben meggyiltolt´ak Alit, ´es Oszm´an ut´ odai az Omajjadok jutnak uralomra. 680-ban meg¨ olik Ali egyik fi´at, v´ egleges szak´ıt´ as a s´ıita kisebbs´eg ´es a szunnita t¨ obbs´eg k¨ oz¨ ott. 697 Karthago, 709-ben el´erik az Atlanti ´ oce´ant, 711-ben a nyugati g´ otok legy˝ oz´es´evel a Pireneusi f´elszigetet is megh´ od´ıtj´ak. dzsabal al Tarik, azaz T´arik ibn Zij´ad hadvez´er szikl´aja ⇒ Gibralt´ar.
S´ ulyos belharcok: Oszm´an kalif´at Ali, a k´es˝ obbi 4. kalifa meggyilkoltatta. Ez a h´abor´ u az´ ota is tart Ali h´ıvei a s´ıit´ ak ´es Oszm´an h´ıvei a szunnit´ ak k¨ oz¨ ott.
705-15, I. Valid alatt a legnagyobb a birodalom, az Aral t´ ot´ ol ´es az Indus v¨ olgy´et˝ ol a Pireneusokig. 732: veres´eg Poitiersn´el (Martell K´aroly), v´ege az eur´ opai el˝ onyomul´asnak.
Alapvet˝o ellent´et¨ uk: ki a legf˝ obb vall´asi vezet˝ o? Ali ut´ odai az im´ amok (s´ıit´ak), vagy a kalifa (szunnit´ak)
´ sz megd¨ 750-ben Abu’l-Abba onti az Omajjad kalif´atust, megalap´ıtja ´ k dinaszti´ az Abbaszida aj´at (750-1258). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
2017. m´ arcius 30.
5 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
Iszl´ am.
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
A tudom´anyok f¨olvir´agz´asa.
2017. m´ arcius 30.
6 / 42
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
A tudom´anyok f¨olvir´agz´asa.
Bagdad, mint az u´j tudom´anyos k¨ozpont. ´ r (a 2. abbaszida kalifa) 762-ben Bagdadba teszi ´ al-Manszu at a birodalom sz´ekhely´et.
Bagdad, mint az u´j tudom´anyos k¨ozpont.
´ run-ar-Rasid ´ Ut´odai, Al-Mahdi, Ha es al-Mamun alatt a bagdadi kalif´atus ´evsz´azados aranykora” kezd˝ odik, az arab (iszl´am) ” irodalom, ´ep´ıt´eszet ´es tudom´any f¨ olvir´agz´asa. ´ run ar-Ras´ıd (786-809), al-Mamun Manszur (754-775), Ha (813-833) idej´ en — alexandriai mint´ara — l´etrej¨ ott a B¨ olcsess´ egek
H´ aza. 830-ban lett teljesen k´esz.
¨ Osszegy˝ ujt¨ ott´ek az Akad´emia 529-es bez´ar´asa (II. Jusztini´anusz) ut´an keletre menek¨ ult tud´osok tan´ıtv´anyait, akik nagy sz´am´ u g¨ or¨ og m˝ uvet hoztak magukkal. Ezeket sorra arabra ford´ıtott´ak. Nekik k¨ osz¨ onhet˝ o igen sok ´ okori g¨ or¨ og m˝ u f¨ onnmarad´asa autentikus arab ford´ıt´asban (az eredetiek ´altal´aban m´ar nem f¨ ollelhet˝ ok). ´ rizmi, al-Fergani, al-Kindi. A kezdet legismertebb tud´ osai: al-Hva
Otthont adott tud´osoknak, egy k¨ onyvt´arnak. Mellette ford´ıt´ ok ´es k¨onyvm´asol´ok hada dolgozott.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
7 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
8 / 42
T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es.
Iszl´ am ´ allamalakulatok, terjeszked´ es.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
A tudom´anyok f¨olvir´agz´asa.
´ Attekint´ es.
A korai iszl´am kult´urk¨or matematik´aja. Az els˝o id˝oszak h´ıres matematikusai. Abu Abdallah Muhammad ibn M´ usza al-Hv´ arizmi al-M´andzs´ uszi (780-850) algebrai ´ertekez´ese.
Bagdad, mint az u´j tudom´anyos k¨ozpont. N´eh´any legenda:
Abu K´ amil Sudzsa ibn Muhammad al-H´aszib al-Miszri (egyiptomi sz¨ ulet´es˝ u, X. sz.) algebrai munk´ai, amelyek XV. sz´azadi it´aliai h´eber ford´ıt´asban maradtak f¨ onn.
A horezmi kult´ ura, az alexandriai k¨onyvt´ar elpuszt´ıt´asa, DE mind a horezmi, mind az alexandriai kult´ ura hanyatl´ o korban volt, a tud´osok d´elre, ill. keletre menek¨ ultek, a k¨ onyveket/m˝ uszereket is magukkal vitt´ek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Szabit ibn Kurra al-Harrani (Thabit Qurra) (IX. sz.) algebr´aja ´es sz´amelm´elete. Abul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Hajjam, azaz Omar Khajjam perzsa matematikus, csillag´asz ´es k¨ olt˝ o: harmadfok´ u egyenletek geometriai kezel´ese, napt´arreform.
2017. m´ arcius 30.
9 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
al-Hvarizmi.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
A korai iszl´am kult´urk¨or matematik´aja.
2017. m´ arcius 30.
10 / 42
al-Hvarizmi.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese. Eredeti c´ıme (r¨oviden): Al-kit´ab al-muktaszir fi-hisz´ab al-dzsabr val-muk´abala, azaz R¨ovid k¨ onyv a dzsabr ´es a muk´abala sz´amol´asr´ ol. Megt´eveszt˝o, mert a k¨onyvnek csak egy kisebb r´esze foglalkozik ezzel. A legnagyobb r´esz a hagyat´eknak az iszl´am ¨ or¨ ok¨ os¨ od´esi jog szerinti f¨oloszt´as´aval foglalkozik.
Egy illusztr´al´o feladat. A 10-et k´et r´eszre osztottam. Az egyiket megszoroztam a m´asikkal. Ezut´an az egyiket megszoroztam ¨ onmag´aval, s az a szorzat, amelyben az egyiket ¨ onmag´aval szoroztam n´egyszer akkora mint a k´et r´esz szorzata. A sz¨ oveges megold´as sz´ ohaszn´alata:
A f¨onnmaradt legteljesebb ´es legink´abb autentikus arab k´ezirat´at Oxfordban ˝orzik, ez 1362-ben k´esz¨ ult.
dolog ´es t´ız m´ınusz dolog a k´et mennyis´eg, a n´egyzet pedig b˝ os´eg, a k´et r´esz szorzata: t´ız dolog m´ınusz a b˝ os´eg.
A k´et alapvet˝o ´es sok´aig u ´jnak hitt m´ odszere:
Mai jel¨ ol´esekkel: megoldand´ oa
al-jabr = kieg´esz´ıt, visszaad, helyre´all´ıt (csontkov´acs!), matematikailag a m´erlegelv alkalmaz´asa.
4x(10 − x) = x 2
al-muqabala = egyszer˝ us´ıt´es, ¨ osszevon´as, matematikailag: az egynem˝ u tagok ¨ osszevon´asa az egyenlet azonos oldal´an. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
11 / 42
egyenlet.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
12 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hvarizmi.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
al-Hvarizmi.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese. A t´argyalt egyenlet-t´ıpusok.
A sz¨oveg szerinti megold´as l´ep´esei.
ax 2 = bx
(1)
x 2,
ax 2 = b
(2)
4x 2 ,
ax = b
(3)
ax + bx = c
(4)
4x(10 − x) = x 2 , 40x −
4x 2
40x =
x2
=
+
2
40x = 5x 2 ,
ax 2 + c = bx
x 2 = 8x,
(5)
ax 2 = bx + c.
x = 8.
(6)
Term´eszetesen minden egy¨ utthat´ o pozit´ıv.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
13 / 42
al-Hvarizmi.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
2017. m´ arcius 30.
14 / 42
al-Hvarizmi.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese. Egy (4) t´ıpus´u feladat.
Sz´am´ır´asuk Hindu trad´ıci´ok alapj´an 10-es helyi´ert´ekes sz´amrendszer¨ uk volt. ´ Atvett´ ek a sz´amjegyek ´ır´as´at is, l´enyeg´eben n´aluk alakult ki a mai is haszn´alt kalligrafika. ´ Atvett´ ek a sz´amjegy hi´any´anak jel¨ ol´es´et is, al-Hvarizmi alkalmazta el˝osz¨ or a mai z´er´ ora eml´ekeztet˝ o jelet:
Egy n´egyzet ´es t´ız gy¨ oke ugyanazon mennyis´egnek harminckilenc dirhem, azaz mi legyen az a n´egyzet, amelyet saj´at gy¨ ok´enek t´ızszeres´evel n¨ ovelve harminckilenc?
Az eredeti sz¨oveges megold´as. Megfelezed a gy¨ ok¨ ok sz´am´at, amely most ¨ ot¨ ot ad. Ezt megszorzod onmag´aval; a szorzat huszon¨ ¨ ot. Add ezt hozz´a a harminckilenchez; az ¨ osszeg hatvann´egy. Vedd most ennek gy¨ ok´et, ami nyolc, vond ki bel˝ ole a gy¨ ok fel´et, ami most ¨ ot.
... a hi´anyz´o sz´amjegy hely´ere ´ırj´al k¨ or¨ ocsk´et.
A marad´ek h´arom. Ez a gy¨ oke a keresett n´egyzetnek; a n´egyzet maga kilenc.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
15 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
16 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hvarizmi.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
al-Hvarizmi.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
Mai szimbolik´aval, majd sz¨ ovegesen a megold´as geometriai indokl´asa.
Az ´abra. x 2 + 10x = 39 2
x + 10x + 25 = 39 + 25 (x + 5)2 = 39 + 25 = 64 √ x + 5 = 64 = 8 x =8−5=3 Rajzoljunk egy n´egyzetet, ´es mindegyik oldal´ahoz illessz¨ unk egy-egy 10 ag´ u t´eglalapot. 4 magass´ Eg´esz´ıts¨ uk ki n´egyzett´e, ami n´egy 10 u n´egyzet hozz´av´etel´et 4 oldal´ jelenti. 2 A kapott n´egyzet ter¨ ulete 39 + 4 · 10 = 64. 4 Ennek oldala 8 hossz´ us´ag´ u, ´ıgy a bels˝ o n´egyzet” oldala 8 − 2 · 10 4 = 3. ” Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
17 / 42
al-Hvarizmi.
2017. m´ arcius 30.
18 / 42
al-Hvarizmi.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
Megold´as mai jel¨ol´esekkel.
Egy (5) t´ıpus´u egyenletre vezet˝o feladat.
Megoldand´o egy x 2 + px = q alak´ u egyenlet.
A sz¨ oveges probl´ema az
A sz¨oveges megold´as mai formul´akba ¨ oltve: 2 2 x 2 + 4 · p4 x + 4 · p4 = q + 4 · p4 , 2 2 x + 2 · p4 = q + 4 · p4 , q 2 x + 2 · p4 = q + 4 · p4 , q 2 = q + p2 − p2 .
Iszl´ am.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
x 2 + 21 = 10x egyenletre megold´as´at k´eri. Megjegyz´ es. Egy ilyen t´ıpus´ u egyenletnek k´et pozit´ıv gy¨ oke is lehet. al-Hv´arizmi itt meg is adta mindkett˝ ot.
2017. m´ arcius 30.
19 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
20 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hvarizmi.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
al-Hv´arizmi algebrai ´ertekez´ese.
al-Hvarizmi.
Megjegyz´ es.
A sz¨oveges megold´as. Felezd meg a gy¨ok¨ot, ez ¨ot lesz, ´es szorozd meg ¨ onmag´aval, lesz huszon¨ot, ´es vonj le bel˝ ole huszonegyet, amennyivel a n´egyzet ki van b˝ov´ıtve, marad n´egy, vonj ebb˝ol gy¨ok¨ot, ez kett˝ o lesz, ´es vond ki ezt a gy¨ ok fel´eb˝ ol, azaz ¨otb˝ol, marad h´arom;
A matematika dedukt´ıv t´argyal´asa valamikor Diophantosz idej´en fokozatosan visszaszorul, u ´jra teret nyer az emp´ırikuss´ag. Al-Hv´arizmivel kezd˝ od˝ oen az iszl´am matematikusok egy l´ep´est tesznek a deduktivit´as fel´e: m´eg nem j¨ onnek el˝ o szigor´ u bizony´ıt´asok, DE valamif´ele indokl´asokat”, ” f˝ oleg geometriaiakat, vezetnek be.
´es ez lesz a n´egyzet gy¨oke, amelyet keresel, a n´egyzet pedig kilenc. Ha pedig akarod, add ezt (a kett˝ ot!) a gy¨ ok¨ ok fel´ehez, ez h´et lesz, ´es ez a n´egyzet gy¨oke, amelyet keresel, a n´egyzet pedig negyvenkilenc.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
21 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Abu Kamil.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Abu Kamil egy feladata.
2017. m´ arcius 30.
22 / 42
Abu Kamil.
Abu Kamil egy feladata. Megold´as 1: al-Hv´arizmi elj´ar´as´at k¨ovetve. 1
Osszuk f¨ol a t´ızet k´et r´eszre u ´gy, hogy a r´eszek h´anyadosai ¨ osszege onmag´aval szorozva ¨ot. ¨
Mai jel¨ol´esekkel.
2
Ha a k´et r´esz x ´es 10 − x, akkor megoldand´ o az √ x 10 − x + = 5 10 − x x
3
Mindk´et oldalt szorozzuk meg a k´et nevez˝ o szorzat´aval: √ √ 2 (2 + 5)x + 100 = (20 + 500)x, √ szorozzuk meg a k´et oldalt 5 − 2-vel (!!!) √ x 2 + 50000 − 200 = 10x, amib˝ ol m´ar kapjuk, hogy
egyenlet.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
x =5−
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
23 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
q √ 225 − 50000.
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
24 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Abu Kamil.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Abu Kamil egy feladata.
Harmadfok´u egyenletek.
Megold´as 2: Abu-Kamil egy o¨tlete.
´ Okori el˝ozm´enyek.
A v´egeredm´eny nyilv´an nem tetszett neki ez´ert u ´jabb m´ odszert keresett: dolognak” azaz a hat´arozatlannak most a k´et r´esz ” h´anyados´at tekintette:
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Mezopot´ami´aban a I. e. XVIII. sz´azadt´ ol speci´alis alak´ u harmadfok´ u egyenletekre vezet˝ o feladatok is voltak, pl.
ami mai jel¨ol´essel 10−x = y. x √ ´Igy megoldand´o az y 2 + 1 = 5y egyenlet, ami egyszer˝ ubb alak´ u.
x 2 (x + 1) = A x 3 = B.
Ennek megold´asa r y=
1 1 1 − . 4 2
A megold´asokat speci´alis t´abl´azatokb´ ol olvast´ak le.
Ebb˝ol x-re az x 2 + 10x = 100 egyenlet ad´ odik, amit k¨ onny˝ u megoldani (al-Hv´arizmi): √ x = 125 − 5.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
Iszl´am. A bagdadi iskola matematikusai csak m´asodfok´ u egyenletekre vezet˝ o probl´em´akat t´argyaltak.
25 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Harmadfok´u egyenletek.
Harmadfok´u egyenletek.
´ tudom´anyos k¨ozpontok. Uj
Omar Khajjam
2017. m´ arcius 30.
26 / 42
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Bagdad csak a X. sz´azad v´eg´eig volt a legf˝ obb tudom´anyos k¨ ozpont.
1074-ig sokfel´e j´art, sok helyen tanult sokf´ele tudom´anyt: az irodalomt´ ol a csillag´aszaton ´at a matematik´aig.
A XI. - XII. sz´azadt´ol fokozatosan egyre ´eszakabbra ker¨ ultek a tudom´anyos k¨ozpontok, el˝osz¨ or a mai Ir´an ter¨ ulet´ere.
1074-ben Maliks´ah szult´an udvar´aban fontos tiszts´eget ´es feladatokat kapott.
Az utols´o jelent˝os olyan iszl´am tudom´anyos k¨ ozpontok, amelyek ¨ sz´ınvonala meghaladta a korabeli eur´ opaiakat, a mai Uzbegiszt´ an ter¨ ulet´en voltak: Szamarkand ´es Buchara (XV. sz.).
Matematikai trakt´atusokat (A jabr ´es a mukabala sz´am´ıt´asok bizony´ıt´asa, Komment´arok Euklidesz m˝ uveihez, stb.) Csillag´aszati t´abl´azatokat k´esz´ıtett egy bevezetend˝ o napt´arrendszerhez, ´es a javaslat´at el is k´esz´ıtette a 80-as ´evek v´eg´ere. Obszervat´ oriumot vezetett.
Omar Khajjam Majdnem teljes neve: Ghijjaszu-d-din Abu-l-Fath Omar ibn Ibrahim al-Khajjam, 1048 k¨ or¨ ul sz¨ uletett Nisapur (Khorasszan) v´aros´aban. Valamikor 1113 ´es 1131 k¨ oz¨ ott halt meg csendesen Avicenat olvasva. (A k´es˝obbiek a val´ osz´ın˝ ubbek.) Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
A kor legnagyobb perzsa k¨ olt˝ oje is volt: Rub´aijj´atok (kb. sz´az gy¨ ony¨ or˝ u n´egysoros vers a ´elet sz´eps´eg´er˝ ol). A szult´an er˝ oszakos hal´ala ut´an kegyvesztett lett, elhagyatottan halt meg. 27 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
28 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar Khajjam, a perzs´ak egyik nagy k¨olt˝oje.
Versek a Rubaijjat-okb´ol.
A XIX. sz´azad k¨ozep´en az angol Edward FITZGERALD ford´ıtotta le egy versciklus´at, a Rubaijjat-okat angolra, ebb˝ ol sz¨ ulettek az eur´ opai ford´ıt´asok ´es (sajnos) ´atk¨olt´esek is. Magyarra t¨obben is ford´ıtottak bel˝ ol¨ uk, a legteljesebb anyag Szab´ o L˝orinct˝ol sz´armazik, ˝o h´arom v´altozatot is publik´alt. Sz´amos verset ford´ıtott/k¨olt¨ott ´at Faludy Gy¨ orgy. A IV. Rubaijjat (Szab´o L˝orinc) Kakassz´o harsan ´at a Reggelen s bekopogtat, H´e nyitni odabenn! ” Nincs sok id˝onk, s ha egyszer elmegy¨ unk, nem j¨ov¨ unk vissza sohasem.” A IV. Rubaijjat (Faludy Gy¨ orgy) A kocsma z´arva. Sz´az borissza v´ar el˝otte reggel. Mikor nyitnak m´ar? Siess, kocsm´aros, az ´elet r¨ ovid: ki egyszer elmegy, nem t´er vissza m´ar. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
29 / 42
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
V. A r´ ozs´as Ir´am bizony elveszett. S Dsemshyd h´etgy˝ ur˝ us Kelyhe hova lett? Mindegy, ma is rubint-l´ang a Bor, ´es Vir´ag t¨ omi a parti Kerteket. XII. Egy j´ o Versk¨ otet a P´alm´ak alatt, s Keny´er, kancs´ o Bor, ´es ha kobzodat megzend´ıted itt a Vadonban, — ´ oh Paradicsom r¨ ogt¨ on Sivatag! XIV. N´ezd, hogy nevet a ny´ıl´ o R´ ozsa r´ad! Sietek ´elni” — mondja — sz´ep Vil´ag, ” ” mert selyem ersz´enyem f¨ olhasad ´es a kert Sar´aba ¨ olti Arany´at!” Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar Khajjam a k¨olt˝o.
2017. m´ arcius 30.
30 / 42
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Harmadfok´u egyenletek.
LV. Bar´ataim, j´okedvem van nagyon, eg´esz H´azam megint Lakodalom: ´ elhagytam az Eszt, a medd˝ o Bany´at, s a Sz¨oll˝o L´anya az u ´j Asszonyom. LVIII. Az esti Kocsma-Kapun´al, ahol u ¨ltem, nemr´eg egy sug´arz´o, komoly Angyal j¨ott; v´all´an Kors´o; fogta ´es fel´em ny´ ujtotta. S mi volt benne? — Bor. LVII. Sokat sz´amolt´al, s ´ıgy lett v´egre jobb ” ´ Napt´arod, Eveid?” — k´erdik, — Ah dehogy! csak t¨or¨oltem a meg-nem-sz¨ uletett Holnapot ´es a halott Tegnapot. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Iszl´ am.
Omar Khajjam egyik legszebb eredm´enye. A k¨ ovetkez˝ o probl´em´ara (´es t¨ obb hasonl´ ora) szellemes ´es korrekt geometriai megold´ast adott. Egy k¨ ob meg egy oldal ´es valamely sz´am egy¨ utt egyenl˝ o egy n´egyzettel. A k¨ ovetkez˝ o geometriai probl´em´at kell megoldani: Adott egy egys´egnyi szakasz, tov´abb´a az a, b, c szakaszok. Konstru´aljunk meg egy olyan x szakaszt, amelyre x 3 + b 2 x + a3 = cx 2 . Az egyenlet egy¨ utthat´ oinak alakja a g¨ or¨ og¨ ok ´altal bevezetett u ´n. homogenit´as elv´ere utal, mely szerint egy hossz´ us´ag csak hossz´ us´aggal, egy ter¨ ulet csak egy ter¨ ulettel, s egy t´erfogat csak egy m´asik t´erfogattal adhat´ o¨ ossze. 2017. m´ arcius 30.
31 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
32 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar megold´asa 1.
Omar megold´asa 2.
El˝ok´esz¨uletek.
´ Abra.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
A konstrukci´o alapja a p´arhuzamos szel˝ ok t´etele. 1
Keress¨ unk egy olyan z szakaszt, amelyre b : a = a : z.
2
Hat´arozzunk meg egy olyan m szakaszt, amelyre b : z = a : m.
3
Vil´agos, hogy m = a3 /b 2 .
A szerkeszt´es. A megszerkesztend˝o alakzat a k¨ ovetkez˝ o:
Szerkeszt´es 1. 1. Vegy¨ uk f¨ ol az AB = m = a3 /b 2 ´es a BC = c szakaszokat egym´as ut´an. 2. Rajzoljunk egy f´elk¨ ort az AC szakasz mint ´atm´er˝ o f¨ ol´e, ´es ´all´ıtsunk r´a mer˝ olegest B-ben. Ez a f´elk¨ ort D-ben metszi. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
33 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar megold´asa 3.
Omar megold´asa 4.
´ Abra.
´ Abra.
2017. m´ arcius 30.
34 / 42
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Szerkeszt´es 3. Szerkeszt´es 2. 3. A BD szakaszra m´erj¨ uk f¨ ol a BE = b t´avols´agot, s h´ uzzunk E -n kereszt¨ ul egy EF p´arhuzamost az AC egyenessel. 4. A BC szakaszon szerkessz¨ uk meg azt a G pontot, amelyre ED : BE = AB : BG (ism´et a p´arhuzamos szel˝ ok t´etele), majd rajzoljuk meg a DBGH t´eglalapot. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
35 / 42
5. A H ponton ´at rajzoljunk egy olyan der´eksz¨ og˝ u hiperbol´at (egyenlete xy = const.), amelynek aszimptot´ai az EF ´es ED egyenesek. Messe a hiperbola a f´elk¨ ort J-ben. 6. H´ uzzunk J-n kereszt¨ ul p´arhuzamost DE -vel, s messe ez EF -et K -ban, BC -t L-ben. Messe a GH az EF -et M-ben. ´ ıtjuk, hogy BL a keresett x hossz´ 7. All´ us´ag´ u szakasz. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
36 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar megold´asa 5.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Omar megold´asa 6.
´ Abra.
´ Abra.
A bizony´ıt´as 1. A bizony´ıt´as 2.
1. Mivel J, H a hiperbola pontjai, (EK )(KJ) = (EM)(MH). 2. ED : BE = AB : BG maga ut´an vonja, hogy (BG )(ED) = (BE )(AB).
4. Mivel (BL)(LJ) = (EK )(BE + KJ) = (EK )(BE ) + (EK )(KJ) = (EK )(BE ) + (AB)(BE )
3. Az el˝oz˝o k´et egyenl˝os´egb˝ ol:
5. a 3. pont alapj´an = (BE )(EK + AB) = (BE )(AL), 6. ´es ´ıgy kapjuk, hogy (BL)2 (LJ)2 = (BE )2 (AL)2 .
(EK )(KJ) = (EM)(MH) = (BG )(ED) = (BE )(AB). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
2017. m´ arcius 30.
7. A magass´agt´etelt alkalmazva (LJ)2 = (AL)(LC ). 37 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Iszl´ am.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Omar megold´asa 7.
2017. m´ arcius 30.
38 / 42
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Omar megold´asa 8.
´ Abra.
´ Abra.
A bizony´ıt´as 3. A bizony´ıt´as 4.
8. Az el˝oz˝o k´et pont alapj´an (BE )2 (AL) = (BL)2 (LC ), vagyis (BE )2 (BL + AB) = (BL)2 (BC − BL).
10. Rendezve az ut´ obbi egyenletet
9. Be´ırva a BE = b, AB = a3 /b 2 , BC = c ´ert´ekeket az el˝ oz˝ o egyenl˝os´egb˝ol
(BL)3 + b 2 (BL) + a3 = c(BL)2 ad´ odik,
b 2 (BL + a3 /b 2 ) = (BL)2 (c − BL).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
11. teh´at a BL = x val´ oban megold´asa a harmadfok´ u egyenletnek. 2017. m´ arcius 30.
39 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
40 / 42
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Az iszl´ am kult´ ur´ ak matematik´ aja.
A v´egs˝o tanuls´ag.
Harmadfok´ u egyenletek: Omar Khajjam.
Az ´abra.
XXVII. Rubaijjat
´n is, ifjan, e ´s sokat, Hallgattam e ´ zo ´ Szenteket s Doktorokat: vita ¨ ru ¨ lmagyara ´ zta ´ k a Semmit is, ko ˝ lu ¨ k okosabb. de sose lettem to
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
41 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Iszl´ am.
2017. m´ arcius 30.
42 / 42
