www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Az Élet és Tudomány FIFIKÁS FIZIKA cikksorozata 2. Mi a Doppler-jelenség lényege? Az Élet és Tudomány folyóiratban megjelen˝o cikksorozat most tárgyalja az egyenes vonalú mozgásokat, az egyenletesség és a sebesség problémakörét. Egy nagyon izgalmas kérdéskört is érintünk, a Doppler-effektust. A cikkek terjedelme nem teszi lehet˝ové, hogy az el˝oadott elméletet bonyolultabb problémákkal illusztráljuk. Ezért el˝oszörvizsgáljunk meg néhány egyszer˝u feladatot, majd térjünk rá a Doppler-jelenségkör beható elemzéséhez.1 Közben azonban más termsézet˝u kiegészítéseket is f˝uzünk az Élet és Tudományban megjelen˝o cikkekhez. + Egyenes vonalú pályán (autóút mentén) a távolságot a benzinkúttól mérjük. Egy autó pontosan 0 órakor a benzinkúttól indult és egyenletesen mozog, óránként 90 km utat tesz meg. Mikor érkezik meg ebben a tempóban a 225 km távoli célhoz? -Tekintsünk egy t id˝opontot a mozgás id˝oszaka alatt, azaz a t-tengely pozitív felén. Jelöljük ebben az id˝opontban a test benzinkúttól mért távolságát x-szel. Mivel az autó egyenletesen mozog, ezért az egymáshoz tartozó (t, x) párok a t–x síkon egy egyenesen helyezkednek el, azaz a mozgás grafikonja egy egyenes szakasz (vagy félegyenes). Továbbá, mert az autó 0 órakor a 0 km koorinátájú helyen volt, az indulástól eltelt id˝o és a benzinkúttól mért távolság egyenesen arányos mennyiségek. Ezért van olyan v-vel jelölt állandó, hogy ha az autó t ideig mozog, akkor a benzinkúttól mért távolsága x = v · t. A v mennyiség a mozgás sebessége. A sebesség mértékegysége [v] = hatunk km -mal, használható a mérföld és gyakori a fényév is. s nap év
m s
vagy
km , h
számol-
1. ábra. Az 1. ábráról látható, hogy a sebesség egyenl˝o a függ˝oleges szakasz x hosszának (vagyis az elmozdulásnak) és a vízszintes id˝oszakasz t hosszának (vagyis az eltelt id˝otartamnak) hányadosával, azaz az α szög tangensével. Azt mondhatjuk tehát, hogy a sebesség grafikus jelentése: 1
A továbbiakban a felvet˝od˝o problémát a +, a megoldást a -, megoldás végét a 3, fontos megjegyzés, felismerést, tételt a Z szimbólummal jelöljük.
1
www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
a mozgás id˝o-hely grafikonjának meredeksége2 , azaz tg α =
x = v. t
A kit˝uzött feladat megoldására rátérve megállapíthatjuk, hogy a cél állandóan 250 km-re van: minden t esetén x = 250 km, az autó koordinátája pedig x = 90 · t. A megoldás matematikailag az egyszer˝u x = 225 x = 90 · t egyenletrendszer megoldására vezet. Ebb˝ol pedig azt kapjuk, hogy az autó 2,5 óran át mozog, vagyis t = 2, 5 órakor ér célba. Vegyük észre, hogy ennek a nagyon egyszer˝u feladatnak a jelent˝oségét az adja, hogy hozzá kapcsolódva vezettük be a sebesség fogalmát. Ez azonban azért sikerülhetett, mert azt, hogy mi a sebesség, már „tudtuk”, s˝ot fel is használtuk. Itt inkább a fogalmi tisztázásról volt szó. Megjegyzés: A sebesség egyik legfontosabb fogalmi jegye a viszonylagosság. A sebesség relatív mennyiség, ezért annak a kijelentésnek, hogy egy test sebessége 90 km , csak akkor h van értelme, ha egyértelm˝u, hogy mihez viszonyítjük a test mozgását. Példánkban az autó sebessége 90 km az út mellett épült házakhoz viszonyítva. Képzeljük el azonban, hogy egy h km teherautó 45 h sebességgel szembejön az úton. A teherautó vezet˝oje megállapítja, hogy a személyautó 135 km/h sebességgel közeledik és halad el mellette. Azt is észleli azonban, hogy sebességgel szembe közelednek és hátrafelé az út mellett épült házak, a házak el˝ott a fák 45 km h haladnak el mellette. A személyautó tehát 135 km/h sebességgel „száguld”, de nem ett˝ol nem érkezik korábban céljához, mert a cél – az útmenti jelz˝otáblákkal együtt – 45 km sebességgel h mozog hátrafelé és t id˝o elteltével x = 225 + 45 · t km távol lesz, az személyautó pedig ekkor az x = 135 · t km koordinátájú helyen mozog (2. ábra.). A probléma megoldását nyújtó
2. ábra. egyenletrendszer így módosul: x = 45 · t + 225 . x = 135 · t 2
Ez azzal a kiegészítéssel értelmes, hogy nem szabad megfeledkeznünk a két tengely különböz˝o mértékegységér˝ol.
2
www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
A megoldás természetesen t = 2, 5 h, ez könnyen ellen˝orizhet˝o.3 +Egyenes vonalú pályán (autóút mentén) a távolságot a benzinkúttól mérjük. Egy személyautó pontosan 0 órakor a benzinkúttól indult és egyenletesen mozog, a sebessége v1 = 108 km/h. A t = 0 órakor az x0 = 16 km helyen v2 = 36 km/hz sebességgel – az autóval azonos irányban – mozog egy vontató. Ábrázoljuk a két járm˝u id˝o-hely grafikonját! Mikor és hol éri utol az autó a vontatót? - Mindkét járm˝u egyenletesen mozog. Az autó benzinkúttól mért távolsága a t id˝opontban: x = v1 · t = 108 · t. A vontató az óra indításakor a 16-os kilométerk˝ot˝ol indult és t id˝o alatt v2 · t = 36 · t távolságot mozdult el. Ezért ez a lassú járm˝u a t id˝opontban a benzinkúttól x = 36 · t + 16 távol van. A 3. ábrán látható a két mozgás grafikonja. A két test a t id˝opontban a két járm˝u helykoordinátája: x = 108 · t, x = 36 · t + 16 Abban a t id˝opontban, amikor a járm˝u találkozik: 108 · t = 36 · t + 16, innen azt kapjuk, hogy t = 0, 2˙ h azaz 13, 3˙ perc (800 s) múlva3 éri utol az autó a vontatót, és ekkor az x = 24 km koordinátájú helyen mozognak.3
3. ábra. +Egyenes vonalú pályán 36 km/h sebességgel mozog egy vontató. Egy 108 km/h sebesség˝u autó követi, amely el˝ozni készül. Ezt a szándékát kürtszóval jelzi, ezért 5 másodpercig m˝uködteti az autókürtöt. Tegyük fel, hogy mindaddig nyomja a kürtöt, amíg pontosan a vontató mellé nem ér. Mennyi ideig hallja a kürt hangját a vontató vezet˝oje? (Számoljunk a hangsebesség 330 m/s értékével!) - Jelöljük v1 -gyel az autó sebességét, v2 -vel a vontató sebességét,4 vagyis v1 = 30 m/s, 3
Idézzük fel azt az elemi számtanból ismert megállapodást, miszerint egy végtelen szakaszos tizedes törtet úgy írunk le, hogy az els˝o periódus els˝o és utolsó számjegye f˝olé pontot teszünk. Ha pedig a pediódus egy számjegy˝u, akkor ennek az ismétl˝od˝o számjegysorozatnak az el˝oször el˝oforduló számjegyére tesszük a pontot. Ezzel jelöljük 75 ˙ az ismétl˝odést. például: 13 = 5, 76923 0˙ = 5, 692369236923 . . . , 53 = 1, 6˙ = 1, 666 . . . . 4 Gondoljuk el, hogy egy járm˝u, – mondjuk a vontató – 36 km/h sebességgel halad. Ez nem t˝unik nagy sebességnek. Egyetlen rend˝or sem jelentene fel gyorshajtás miatt. De most képzeljük el, hogy a vontató mel-
3
www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
v2 = 10 m/s. Tegyük fel, hogy az autó az 0 km kooridnátájú helyen kezdett tülkölni, és ekkor a vonatató az x0 helyen van. A 4. ábrán látható az autó és a vontató id˝o-hely grafikonja. Az autó által kibocsájtott hangjel els˝o rezdülése a 0 id˝opotban keletkezik és minden irányba (így a vontató felé is) mozog. A hangjel utolsó rezdülése akkor hagyja el az autót, amikor éppen a vontatóval azonos helyen mozog. A hang rezgésekb˝ol áll, minden rezgés azonos c = 330 m/s sebességgel halad. A hangjel grafikonja tehát az ábrán látható (trapéz formájú) sáv. Jelöljük t1 -
4. ábra. gyel azt az id˝opontot, amikor a hang eleje utoléri a vontatót, vagyis amikor a vontató vezet˝oje a hangot éppen hallani kezdi. Jelöljük t2 -vel azt az id˝opontot, amikor az autó utoléri a vontatót. (Világos, hogy az autót t2 id˝opontig, vagyis t2 =: ∆t ideig nyomja a dudát,5 a vontató vezet˝oje pedig t2 − t1 =: ∆t∗ ideig hallja a hangot, hiszen a t1 id˝opontban észleli a hangot és a t2 id˝opontig hallja. Az autó mozgásának egyenlete6 x = v1 t, a vontatóé x = v2 t+x0 , végül a hang els˝o rezdülésének egyenlete x = ct. Így tehát: x = v1 t x = v2 t + x0 . x = ct
A t1 id˝opontban ct1 = v2 t1 + x0 , vagyis a hang elejének grafikonja metszi a vontató grafikonját. A t2 id˝opontban v1 t2 = v2 t2 + x0 , ekkor ugyanis a két járm˝u grafokonja metszi egymást. Ez az
lett kell futnunk 10 m/s-os sebességgel. Ez nagy feladat, legtöbben nem is vagyunk képesek ilyen sebességgel futni. Ha feladatmegoldás közben felidézzük ezt a képet, akkor nem kell fejben számolni vagy képletek után kutatni, hiszen mindenki könnyen megjegyezheti, hogy a 10m/s-es sprint megfelel a járm˝u óránként 36 km-es sebesség˝u sebességének. 5 Vagyis jelöljük a dudaszó id˝otartamát – az id˝oszakának hosszát – ∆t-vel! A matematikából ismert megállapodás az, hogy a defináliáló egyenl˝oség jele := vagy =: . A kett˝ospont oldalán szerepl˝o szimbólum az újonnan értelmezett fogalom (mennyiség) jele, például a p := h2 − 4dq mennyiség az dx2 + hx + q = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsának a definíciója. (Azon most ne botránkozzunk, hogy a másodfokú egyenlet paramétereit nem a, b, c-vel jelöltük. Ezt semmilyen szabály nem teszi kötelez˝ové. Hiszen ha valaki azt állítja, hogy a Pitagorásztétel (szerinte) a2 = b2 + c2 , akkor ez bizony lehet helyes, ha a derékszög˝u háromszög két befogója b és c, az átfogója pedig a.) 6 A mozgás grafikonja az id˝o-hely kétdimenziós síknak az a {(t, x)|x = v1 t} részhalmaza, azoknak a (t, x) pontoknak az összessége, amelyre érvényes az x = v1 t egyenlet.
4
www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
észrevétel két egyenletben „ölt testet”: ) ct1 = v2 t1 + x0 . v1 t 2 = v2 t 2 + x0 Vonjuk ki a második egyenletb˝ol az els˝ot, azt kapjuk, hogy v1 t2 − ct1 = v2 t2 − v2 t1 . Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy egyik oldalra a t1 -et, a másik oldalra a t2 -t tartalmazó tangok kerüljenek, majd emeljük ki a közös tényez˝oket! Ezután fejezzük ki t1 -et! A lépések így öldhet˝ok formába: v1 t2 − v2 t2 = ct1 − v2 t1 , (v1 − v2 )t2 = (c − v2 )t1 , v1 − v 2 t1 = t2 . c − v2 A vontató vezet˝oje a t1 és t2 id˝opontok közötti id˝oszakban hallja a hangot, ennek hossza pedig ! v1 − v2 c − v2 − v1 + v2 c − v1 v1 − v2 = t2 = t2 1 − = t2 . t2 − t1 = t2 − t2 c − v2 c − v2 c − v2 c − v2
Vegyük figyelembe, hogy t2 =: ∆t és t2 −t1 =: ∆t∗ , és osszuk el a tört számlálóját és nevez˝ojét c-vel, ekkor v1 1− c − v 1 c. ∆t∗ = ∆t = ∆t c − v2 v2 1− c A mi esetünkben: 30 330 = 5 300 = 4, 7 s ∆t∗ = 5 320 10 1− 330 vagyis a vontató vezet˝oje rövidebb ideig hallja a kürtszót, mint a kürtöt m˝uködtet˝o autó vezet˝oje. Vizsgáljunk meg néhány speciális esetet! a. Mi történik akkor, ha a vontató áll? Ekkor v2 = 0, tehát 1−
v1 c = ∆t!1 − v1 = 4, 54 s. ∆t∗ = ∆t c 0 1− c 1−
b) Ha a vontató szembe mozog az autóval, akkor v2 = −10, és ebben az esetben 30 330 = 4, 41 s. ∆t∗ = ∆t − 10 1− 330 1−
5
www.baranyi.hu
2011. március 29.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
c) Tegyük fel most a vontató mozog, az autó azonban áll, miközben m˝uködteti a kürtöt, mint egy sziréna az út mentén. Ekkor 0 330 = ∆t 1 ∆t∗ = ∆t = 5, 15 s. 10 10 1− 1− 330 330 1−
Fontoljuk meg, hogy az autókürt által kibocsátott hangrezgés a vontató vezet˝ojének fülébe jut. Ez azt jelenti, hogy az például els˝o esetben s˝ur˝ubben hallja a rezgést, magasabb hangot hall, mintha állna mellette a dudáló autó. Az utolsóként említett esetben hosszabb ideig észleli a hangot, ritkábbnak érzi a rezgést. Ha az autó kürtje f frekvenciájú (rezgésszámú) rezgést bocsájt ki, és a vontató vezet˝oje f ∗ frekvenciát észlel, akkor f ∆t = f ∗ ∆t∗ . Ezért v1 1 11− c , = f∗ f v2 1− c
ezért
v2 c . f∗ = f v1 1− c 1−
Az f ∗ észlelt frekvencia és a hangforrás által kibocsátott hang frekvenciája között érvényben van ez az ún. – Doppler-összefüggés. Ezt gyakran tapasztalhatjuk, ha egy jármú (szirénázó motorkerékpár, autó, vonat, repül˝ogép) közeledik vagy távolodik (łásd az 5. ábrát7 ). De ugyanezt
5. ábra. tapasztaljuk akkor is, amikor valamely hangforráshoz (légvédelmi szirénához) közeledünk vagy t˝ole távolodunk. De nemcsak hang esetén érvényes, hanem minden hullámforrás esetén megfigyelhet˝o a Dopplerjelenség, az észlelt frekvencia módósulása a hullámorrás által kibocsátott hullám frekvenciájához. Különösen fontos a Doppler-jelenség a csillagászatban. Ha valamely galaxis távolodik tölünk, akkor fénye a vörös szín felé, ha közeledik, akkor a kék szín felé tolódik el.3 7
A kép forrása: < http://images.yourdictionary.com/doppler-effect >
6
