Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Padányi Katolikus Gyakorlóiskola, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Cél: a pontos, kitartó munka, az önállóság fejlesztése, az önellenőrzés kialakítása, a szaknyelv elsajátítása, a matematika szövegértő olvasása, a tankönyvek használata. Az elméleti tudnivalók mellett mintapéldákat is közlünk a megoldásukkal. Az ezekhez hasonló feladatokat kell tudni megoldani.

1/10. oldal


1. Halmazok: tudni kell a halmazt megadni, ismerni kell a halmazok egyenlőségét, az üres halmaz, részhalmaz, véges és végtelen halmaz fogalmát. Tudni kell az egyesítés, metszet, különbségképzés műveleteket, a kiegészítő ( komplementer) halmaz fogalmát, ismerni kell a számhalmazokat és jelölésüket. Pl. 1. A={x I x ∈Z és 4 ≤ x < 12 } olyan egész számok halmaza, amelyek 4-gyel egyenlőek vagy 4-nél nagyobbak, de 12-nél kisebbek, vagyis A={4,5,6,7,8,9,10,11} 2. ha A={a,b,c,d,e} és B={c,e,f,g}, akkor A∪ B = {a,b,c,d,e,f,g}, A∩B={c,e}, AB={a,b,d}, B-A={f,g} 3. Ábrázold számegyenesen a [0;7[ és a ]− 5;3] intervallumokat! Milyen halmaz a következő? [0;7[ I ]− 5;3] = ([0;3]) a kerek zárójelben a válasz található

[0;7[ − ]− 5;3] = (]3;7[) Algebra és számelmélet I. Az egész kitevőjű hatvány ismerete: an −3

3

1 1 8 3 2 4 = 2 = , pl. 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 , 3 = 1 ,   =  = 16 27 4 2 3 II. A hatványozás azonosságainak ismerete, feladatokban a felismerése, megfogalmazása mondatokban. 3

−2

0

n

n

( (a ⋅ b ) = a ⋅ b , n

n

an a   = n , b b

a n ⋅ a k = a n+k ,

an = a n−k , ak

(a )

n k

= a n ⋅k )

pl. 5 ⋅ 10 −7 ⋅ 3 ⋅ 10 5 = 15 ⋅ 10 −2 = 0,15 3 ⋅ 10 4 3 = ⋅ 10 7 = 1,5 ⋅ 10 7 −3 2 2 ⋅ 10 37 ⋅ 2 7 = 6 7 45 = 4 2 = 16 3 4 −2 −3

(3 )

= 36

III. Műveletek betűs kifejezésekkel összevonás: 3xy – 4a + 5xy + 6a – 7xy = xy + 2a szorzás: (3 xy − 6b ) ⋅ (5a − xy ) = 15axy − 3x 2 y 2 − 30ab + 6bxy

törtek összevonása:

(

)

x x + 1 2 x 2 − ( x + 1)( x − 3) 2 x 2 − x 2 − 2 x − 3 x 2 + 2x + 3 − = = = x − 3 2x 2 x ( x − 3) 2 x ( x − 3) 2 x ( x − 3)

2/10. oldal


2 xy 6x 12 x 2 y ⋅ = 2 x − y x + y x − y2 3a 2a + 3b 3a 4b 12ab törtek osztása: : = ⋅ = 2a + b 4b 2a + b 2a + 3b (2a + b )(2a + 3b )

törtek szorzása:

nevezetes szorzatok:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (x − y )2 = x 2 − 2 xy + y 2 ( p + q )( p − q ) = p 2 − q 2

szorzattá alakítás: a., kiemeléssel: 5ab - 4ax + 7ay = a( 5b – 4x + 7y) b., a nevezetes szorzatok alkalmazásával: 2 x 2 − 10 x + 25 = ( x − 5) a 2 − 16 = (a + 4 )(a − 4 ) y 2 + 6 y + 9 = ( y + 3)

2

a szorzattá alakítás alkalmazása, amikor törteket közös nevezőre hozunk: x−2 3x + 1 (x − 2)(x + 3) − (3x + 1)(x − 3) = x 2 + x − 6 − (3x 2 − 8 x − 3) = − = x 2 − 9 x 2 + 6x + 9 (x − 3)(x + 3)2 (x − 3)(x + 3)2 x 2 + x − 6 − 3x 2 + 8 x + 3

(x − 3)(x + 3)2

=

− 2x 2 + 9x − 3

(x − 3)(x + 3)2

IV. Oszthatóság az egész számok körében. Ismerni kell az oszthatósági szabályokat, a prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös fogalmát, tudni kell a prímtényezős felbontást, a legnagyobb közös osztó ill. a legkisebb közös többszörös felírását, a számrendszer fogalmát.

pl. egyszerűsítsük a következő törtet: 4032 2 6 ⋅ 32 ⋅ 7 2 ⋅ 7 14 = 5 3 2 = = 21600 2 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 2 75 4032 2016 1008 504 252 126 63 21 7 1

2 2 2 2 2 2 3 3 7

21600 10800 5400 2700 1350 675 225 75 25 5 1

2 2 2 2 2 3 3 3 5 5

3/10. oldal


Milyen szám a 10-es számrendszerben a következő 3-as számrendszerbeli szám:21120012(3) ? 37 36 35 3 4 333 2 3130 2 1 1 2 0 0 1 2= = 2 ⋅ 37 + 1 ⋅ 36 + 2 ⋅ 3 4 + 0 ⋅ 33 + 0 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 + 2 = 2 ⋅ 2187 + 729 + 243 + 162 + 3 + 2 = 5513

Függvények Tudni kell a derékszögű koordinátarendszerben a pontok ábrázolását a koordináták segítségével. Pl. A( -2 ; 3 )

Elsőfokú függvények ábrázolása Pl. x a 3 x − 2

Mit rendel a − −

2 -höz? 5

2 6 16  2 a 3⋅−  − 2 = − − 2 = − 5 5 5  5

Válasz: −

2 16 -höz − -öt rendel a függvény. 5 5

Milyen x-hez rendel 5-öt? 3x – 2 = 5 x=

7 3

Válasz:

7 -hoz rendel 5-öt a függvény 3

4/10. oldal


Másodfokú függvények: x a −x 2 + 4

Az x a x 2 függvény transzformációjával ábrázoljuk 1. lépés: f: x a x 2 2. lépés: g: x a − x 2 3. lépés: h: x a − x 2 + 4

Abszolútérték függvény Pl. ábrázoljuk az g: x a x + 2 , vagy pl. a h: x a x + 3 függvényt az f: x a x függvény transzformációjával.

5/10. oldal


Törtfüggvények

Pl. ábrázoljuk az x a

2 1 1 vagy az x a függvényt az x a transzformációjával x x−2 x

Ismerni kell a következő fogalmakat: értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, szigorú monotonitás, minimumhely, minimumérték, maximumhely, maximumérték, páros függvény, páratlan függvény, konvex, konkáv függvény, számok egész és törtrészének fogalma .

6/10. oldal


Geometria: háromszögek, négyszögek, sokszögek Ismerni kell: a szög fogalmát (rajzban), a szögek fajtáit, a szögpárok fajtáit( nagyságuk alapján, ill. a szögszárak helyzete alapján) a háromszögek fajtáit, tulajdonságait, Pitagorasz tételét és annak megfordítását, alkalmazását egyenlőszárú, ill. derékszögű háromszögben. a négyszögek osztályozását, tulajdonságait: ( konvex, konkáv, paralelogramma, trapéz, deltoid, belső szögek összege, külső szög fogalma, a külső szögek összege), a sokszögek fajtáit, tulajdonságait.

Geometria: távolságok, nevezetes ponthalmazok Tudni kell: pont és egyenes távolságát, két egyenes távolságát. Ismerni kell és a szerkesztését is tudni kell a következő síkbeli ponthalmazoknak: − adott ponttól adott távolságra levő pontok − két ponttól egyenlő távolságra levő pontok − két egyenestől egyenlő távolságra levő pontok Tudni kell a kör részeinek az elnevezését, a háromszög két nevezetes vonalát( belső szögfelezők, oldalfelező merőlegesek), meg kell tudni szerkeszteni, ill. tudni kell, milyen nevezetes pont a metszéspontjuk. Thalesz tétele és alkalmazása. Pl. külső pontból egy adott körhöz érintő szerkesztése. Az érintőnégyszög fogalma és tulajdonságai.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek egyenletek: 2 x − = −1 x x −1

x ≠ 0, x ≠1

2( x − 1) − x 2 = −1 x(x − 1)

/ ⋅ x( x − 1)

2 x − 2 − x 2 = −(x 2 − x ) 2x − 2 − x 2 = −x 2 + x

x=2

7/10. oldal


egyenlőtlenségek

2 <3 x−3

/-3

2 −3< 0 x−3

2 − 3( x − 3) <0 x−3 − 3 x + 11 <0 x−3

− 3 x + 11 tört úgy lehet negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes előjelű. Ez kétféle x−3 módon lehetséges:

A

1.,

-3x + 11 > 0 és x-3 < 0 x<

11 és x<3 3

tehát x<3 vagy 2., x>

-3x + 11 < 0 és x-3 > 0 11 és x>3 3

tehát x>

11 3

11  Az összes megoldás: ]− ∞;−3[ U  ; ∞  3 

8/10. oldal

Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerek: 2x + 5y = 7 /·3

Az egyenlő együtthatók módszerével számoljuk ki az y-t.

-3x + 2y = -1 /·2 6x + 15y = 21 -6x + 4y = -2 19y = 19 y=1 x-et behelyettesítéssel: 2x + 5·1 = 7 2x = 2 x=1 1 megoldása van az egyenletrendszernek: ( 1 ; 1 ) számpár Ismerni kell a behelyettesítő módszert is és a megoldások számát.

Egybevágósági transzformációk Címszavakban felsoroljuk a szükséges tudnivalókat. − a geometriai transzformáció fogalma − a négy síkbeli egybevágósági transzformáció ( tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás) megadása, tulajdonságai, alakzatok képének szerkesztése − tengelyesen szimmetrikus alakzatok, tulajdonságaik. − középpontosan szimmetrikus alakzatok, tulajdonságaik. − a középvonal fogalma, a háromszög, paralelogramma, és a trapéz középvonala − a háromszög magasságvonalai, súlyvonalai − a szög ívmértéke, a körív hossza, a körcikk területe − alakzatok egybevágósága − a háromszögek egybevágóságának alapesetei

Kombinatorika Egyszerű összeszámolási feladatok: Hányféle módon olvasható ki a TISZTELET szó, ha a bal felső sarokból indulumk és mindig csak egyet lépünk jobbra vagy lefelé?

T

I

S 1

I

S 1

S

Z

Z

Z 1

E 1

6 10

L 5

15

1

E 4

E

E 4

1

3

3

T

T

T

T

T

1

2

1

Z

10

L 20

E 35

5

L 15

E 35

T 70

Válasz: 70 féle úton olvashatjuk ki. Különböző elemek sorrendjeinek a száma: pl. hány darab ötjegyű szám képezhető a 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha mindegyiket csak egyszer használhatjuk fel? Az 1. hely 5 lehetőség, bármelyik számjegyet írhatjuk az első helyre, a 2. helyre 4 lehetőségünk van, a 3.-ra 3, a 4. helyre 2 lehetőség, az utolsó helyre a maradék 1 számjegy kerülhet. Ez összesen 5·4·3·2·1 = 120 lehetőség., tehát 120 db 5-jegyű szám képezhető.

Statisztika − Adatok ábrázolása diagramon (oszlopdiagram, kördiagram) − Adatok jellemzése – a módusz, medián, átlag, terjedelem meghatározása

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Recommend Documents