MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT I. 1) A PQRS négyszög csúcsai: P 3; 1 , Q 1; 3 , R 6;2 és S 5; 5 . Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat megfelelő mezőibe. Válaszát indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. (4 pont) b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. (4 pont) c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma. (5 pont) Igaz Hamis A B C Megoldás:
Igaz A B C a)
Hamis *
* *
Az A állítás hamis mert van derékszöge. Például SRQ szög mert RQ 7;1 és RS 1; 7
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
és így RQ RS 0 , így a négyszög R-nél lévő szöge derékszög (1 pont) b) A B állítás igaz (1 pont) mert a PQRS négyszögben az R csúccsal szemközti P csúcsnál lévő szög is derékszög. (1 pont) ugyanis PQ 2;4 és PS 8; 4 , ezért PQ PS 0 (1 pont) Így a PQRS négyszög szemközti szögeinek összege 180°(a húrnégyszög tételének megfordítása miatt), tehát a négyszög húrnégyszög (1 pont)
c)
A C állítás igaz (1 pont) mert ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a PQRS négyszög paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az RQ 7;1 és a
PS 8; 4 vektorok ellentett vektorok legyenek.
(2 pont)
Ez csak úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái másik vektor koordinátáinak. Ez viszont nem teljesül.
1 -szeresei
a
(2 pont) Összesen: 13 pont
2) Legyen adott az f : 2,5;2,5 , f x x 3 3x függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét!
(4 pont) (6 pont) (4 pont)
Megoldás: a)
Mivel x 3 3x x 3 x x 3 , ezért f zérushelyei lehetnek x1 3 ,
(3 pont) x 2 0 és x 3 3 . Az egyenlet mindhárom gyöke eleme az f értelmezési tartományának. ezért mindegyik zérushely jó megoldást ad. (1 pont) b) Az f a teljes értelmezési tartományának belső pontjaiban differenciálható függvény, ezért a monotonitás megállapítása és a szélsőértékek megkeresése az első derivált előjelvizsgálatával történhet (1 pont) 2 f x 3x 3 (1 pont) Az első derivált értéke 0, ha x 1 és x 1 (1 pont) Ezek az x értékek az értelmezési tartomány elemei. Készítsünk táblázatot az f előjelviszonyai alapján az f menetének meghatározása:
c)
x f
-2,5 x -1 pozitív
f
növekvő
x 1 0 f 1 2
-1 x 1 negatív
csökkenő
x 1 0 f 1 2
1 x 2,5 pozitív növekvő
Monotonitás megállapítása a táblázat helyes kitöltése alapján. (3 pont) Az f helyi maximumot vesz fel az x 1 helyen, a helyi maximum értéke f 1 2 (1 pont) Az f helyi minimumot vesz fel az x 1 helyen, a helyi minimum értéke f 1 2 (1 pont) Mivel f 2,5 8,125 , a legkisebb függvényérték -8,125
(1 pont)
Mivel f 2,5 8,125 , ezért a legnagyobb függvényérték 8,125
(1 pont)
Összesen: 14 pont
3) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y valós számok! 10y x 3 (11 pont) 2 lg x 4 x 3 2y 1 Megoldás: Az első megoldás alapján y tetszőleges és x 3 (1 pont) A második alapján y tetszőleges és x 3 vagy x 1 (1 pont) Az egyenletrendszer gyökeit tehát az y és x 3 feltétel mellett keressük (1 pont) Az első egyenletből y lg x 3 (1 pont) Amit beírva a második egyenlet jobb oldalára y helyére kapjuk az (1 pont) lg x 2 4x 3 2lg x 3 lg10 egyenletet. azaz lg x 2 4x 3 lg10 x 3
2
(1 pont)
A logaritmusfüggvény monotonitása miatt x 2 4x 3 10 x 3
(1 pont)
A bal oldal szorzattá alakítva x 3 x 1 lg x 3
(1 pont)
Mivel x 3 , ezért .9x 29 0 29 Innen x 3,2 9 2 és y lg 0,653 9
(1 pont)
2
2
Az egyenletrendszer megoldása tehát x
(1 pont) (1 pont) 29 2 és y lg 9 9
(1 pont) Összesen: 11 pont
4)
a) Legyen an egy mértani sorozat, melynek első tagja 5, hányadosa 3. Mennyi a valószínűsége, hogy ha ennek a mértani sorozatnak az első 110 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag 11-gyel osztva 1 maradékot ad? (6 pont) b) Legyen bn egy számtani sorozat, amelynek az első tagja 5, és differenciája 3. Mekkora a valószínűsége, hogy ha ennek a számtani sorozatnak az első 110 tagjából egyen kiválasztunk, akkor a kiválasztott tag 11-gyel osztva 1 maradékot ad? (7 pont)
Megoldás: a)
Az első sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok 11-gyel való osztás maradékát: 5; 4; 1; 3; 9; 5; … (1 pont) A maradékok ciklikusan ismétlődnek (mindig 3-mal szorzunk) (1 pont) Minden ötödik tag 1-es maradékot ad (2 pont) 1 tehát a valószínűség (2 pont) 5 b) A számtani sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok 11-gyel való osztás maradékát: 5; 8; 0; 3; 6; 9; 1; 4; 7; 10; 2; … (1 pont) Ettől kezdve ismétlődik: 5; 8; 0; … (1 pont) tehát a ciklushossz 11 (1 pont) Egy ciklusban egy kedvező eset van (1 pont) Mivel 10 ciklus van a 110. tagig, és mindegyikben egy darab 1-es van (1 pont) 10 1 így a keresett valószínűség (2 pont) 110 11 Összesen: 13 pont
II. 5) Panni és Kati elvállalta, hogy a szövegszerkesztővel legépelik Dani szakdolgozatát. A két lány együttes munkával 12 munkaóra alatt végezne a gépeléssel. Kedden reggel 8 órakor kezdett Panni a munkához, Kati 10 órakor fogott hozzá. Megállás nélkül ki-ki egyenletes sebességgel dolgozott kedden 14 óráig, ekkor a kézirat 40%-ával végeztek, és abbahagyták a munkát. a) Hány óra alatt gépelné le Panni, illetve Kati a teljes szakdolgozatot (állandó munkatempót, és megszakítás nélküli munkát feltételezve)? (9 pont) Szerdán reggel egyszerre kezdtek 9 órakor a gépeléshez, és együtt egyszerre fejezték be. Szerdán Panni fél óra ebédszünetet tartott, Kati pedig a délelőtti munkáját egy órányi időtartamra megszakította. b) Hány órakor végeztek a lányok a munkával szerdán? (7 pont) Megoldás: a)
Jelölje x azt az időt órában, amennyi idő alatt Panni egyedül begépelte volna a kéziratot, y pedig azt, amennyi alatt Kati végezte volna el ugyanezt a munkát egyedül. Panni szerdán t órát fordított gépelésre. Foglaljuk táblázatba a szövegből kiolvasható adatokat: A teljes munka elvégzése (h) Panni
x
Kati
y
együtt
12
1 óra alatti teljesítmény
1 x 1 y 1 12
Gépelésre fordított idő (h) kedden 6 4
A táblázat helyes kitöltése (3 pont) Mindezekből tudhatjuk 1 1 1 A munka elvállalásakor (1 pont) x y 12 6 4 2 a keddi nap végén (2 pont) x y 5 A két egyenletből: x 30 óra és y 20 óra (2 pont) A feladat feltételeinek megfelelően Panni 30 óra, Kati 20 óra alatt végzett volna egyedül a munkával. (1 pont)
b) Szerdán Panni t, Kati t
1 órát gépelt 2
(1 pont)
1 t t 2 3 Szerda délután, a munka befejezésekor (2 pont) 30 20 5 Ebből t 7,5 óra (1 pont) Panni fél órát ebédelt, így a gépelésre fordított 7,5 óra 8 óra munkaidőre változik. Kati szerdán 7,5 0,5 7 órát gépelt, és egy órával több (vagyis 8) volt a munkaideje. (2 pont) Szerdán 9 órakor kezdtek, és mindketten 8 óra munkaidő után fejezték be a gépelést, vagyis 17 órára lettek készen a kézirattal. (1 pont) Összesen: 16 pont 6) Egy közvélemény-kutató intézet felméréséből kiderült, hogy a felnőttek 4%-a színtévesztő. Véletlenszerűen kiválasztunk 8 felnőttet abból a népességből, amelyre ez a felmérés vonatkozott. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük: a) pontosan két személy színtévesztő? (3 pont) b) legalább két személy színtévesztő? (8 pont) A kért valószínűség értékét ezred pontossággal adja meg! Ebben az intézetben 8 férfi és 9 nő dolgozik főállásban. Egy megbeszélés előtt, amikor csak ez a 17 főállású kutató jelent meg, a különböző nemű kutatók között 45 kézfogás történt. Tudjuk, hogy minden nő pontosan 5 férfival fogott kezet, és nincs két nő, aki pontosan ugyanazzal az öttel. c) Lehetséges-e, hogy volt két olyan férfi, aki senkivel sem fogott kezet? (5 pont) Megoldás: a) Annak a valószínűsége, hogy a 8 vizsgált személy közül pontosan kettő 8 színtévesztő a binomiális modell alapján: P 0,042 0,966 (2 pont) 2 (1 pont) P 0, 035 b) Az az eset, hogy a 8 vizsgált személy közül legalább 2 színtévesztő van, azt jelenti, hogy 2 vagy több a színtévesztők száma (1 pont) Egyszerűbb a kérdezett esemény komplementerének valószínűségét kiszámolni, tehát azt ,hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb 1 színtévesztő van a 8 ember között. (1 pont) 8 A pontosan 0 színtévesztő valószínűsége: P0 0,96 0,7214 (1 pont)
8 A pontosan 1 színtévesztő valószínűsége: P1 0,041 0,967 0,2405 (1 pont) 1 Tehát P (színtévesztők száma legfeljebb 1): P0 P1 0,962 (2 pont) Ekkor a komplementer esemény valószínűsége: 0,038 (1 pont) Tehát 0,038 a valószínűsége annak, hogy legfeljebb két személy színtévesztő a kiválasztott nyolc személyből. (1 pont)
c)
Ha lehetséges lenne, akkor összesen 6 férfival fogtak volna kezet a nők (1 pont) 6 Ezeket a „férfi ötösöket” 6 -féleképpen lehet kiválasztani (1 pont) 5 Mivel 9 nő van, ezért a feltétel szerint kellene legalább 9 különböző „férfi ötös” (1 pont) Nem lehetséges, hogy volt két olyan férfi is, aki senkivel sem fogott kezet, mert ellentmondásra jutottunk. (1 pont) Összesen: 16 pont
7) A világhírű GAMMA együttes magyarországi koncertkörútja során öt vidéki városban lépett fel. Az alábbi táblázat tartalmazza a körút néhány üzleti adatát. fizető nézők bevétel a jegyeladásból város egy jegy ára (Ft) száma (ezer Ft) Debrecen 12350 14820 Győr 8760 12264 Kecskemét 1600 22272 Miskolc 9970 1500 Pécs 1300 15405 a) A koncertturné során melyik városban adták el a legtöbb jegyet? (3 pont) b) Mennyi volt az összes eladott jegy átlagos ára? (4 pont) Bea elment Budapesten a GAMMA együttes koncertjére, és becslése szerint 50000 ember hallgatta a zenét. Peti Prágában volt az együttes koncertjén, ahol a nézők számát 60000 főre becsülte. A GAMMA együttes menedzsere, aki ismerte a tényleges nézőszámokat, elárulta, hogy: - Budapesten a tényleges nézőszám nem tér el 10%-nál többel a Bea által adott becsléstől - Peti becslése nem tér el 10%-nál többel a tényleges prágai nézőszámtól c) Mekkora a budapesti nézőszám és a prágai nézőszám közötti eltérés lehetséges legnagyobb értéke, a kerekítés szabályainak megfelelően ezer főre kerekítve? (6 pont) d) A fenti adatok ismeretében előfordulhatott-e, hogy Budapesten és Prágában ugyanannyi ember volt a GAMMA együttes koncertjén? (3 pont) Megoldás: a)
A kitöltött táblázat: város
fizető nézők száma
egy jegy ára (Ft)
Debrecen 12350 1200 Győr 8760 1400 Kecskemét 13920 1600 Miskolc 9970 1500 Pécs 11850 1300 Kecskeméten 13920, Pécsett 11850 fizető néző volt A legtöbb fizető néző Kecskeméten volt
bevétel a jegyeladásból (ezer Ft) 14820 12264 22272 14955 15405 (2 pont) (1 pont)
b) Az öt városban összesen 56850 fizető néző volt (1 pont) Miskolcon a jegyeladásból 14955 ezer Ft bevétel származott (1 pont) Az öt városban az összes bevétel 79716 ezer Ft volt (1 pont) 79716000 Az átlagos jegyár (1 pont) 1402 Ft volt 56850 c) Bea becslése 50000 fő, ennek 10%-a 5000 fő. Ha a tényleges nézőszám Budapesten b, akkor 45000 b 55000 (1 pont) Peti becslése 60000 fő, ennek 10%-a 6000 fő. Ha a tényleges nézőszám Prágában p, ennek a 10%-a 0,1p, akkor 0,9 p 60000 1,1p (2 pont) Innen 54546 p 66666 . (1 pont) A legnagyobb eltérés akkor van a két nézőszám között, ha b 45000 és (1 pont) p 66666 . Ekkor az eltérés 66666 45000 21666 fő A nézőszámok közötti lehetséges legnagyobb eltérés ezresekre kerekített értéke 22 ezer fő (1 pont) d) A b-re kapott és p-re kapott reláció miatt az azonos b és p értékeket a 45000;55000 és az 54546;66666 intervallumok közös egész elemei adják (1 pont) Tehát b p , ha mindkét nézőszám ugyanazon eleme az 54546;55000 intervallumnak (1 pont) Mindezekből következik, hogy lehetséges, hogy a két fővárosban azonos számú néző hallgatta a GAMMA együttest. (1 pont) Összesen: 16 pont 8) a) Ábrázolja
függvény-transzformációk
segítségével
a
3; 4
x 2 2 x 3 hozzárendelési szabállyal megadott intervallumon az x függvényt! (6 pont) b) Legyen az f, a g és a h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: f x x 2 2x 3 ; g x x 3, h x x . Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. Például: g f x g f x x 2 2x 3 3 x 2 2x 6
Készítse el –a fenti példának megfelelően- az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit! (6 pont) c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre p t x t p x ! Adja meg a p és t függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont)
Megoldás: a)
2 x 2x 3, ha x 0 (1 pont) x 2 x 2x 3, ha x 0 2 x 1 4, ha x 0 (1 pont) x 2 x 1 4, ha x 0 A grafikon két összetevőjének ábrázolása transzformációval (2 pont) A függvény képe a megadott intervallumon (2 pont) b) Összetett függvényhez a 3 függvény közül 2-t kell kiválasztani a sorrendre való tekintettel, ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (1 pont) 2 2 A függvények: g f x g f x x 2x 3 3 x - 2x - 6 (megadva)
f h f g h
c)
g x f g x x 3 2 x 3 3 x 2 - 8x +12
(1 pont)
f
(1 pont)
2
x h f x x 2 - 2x - 3 h x f h x x 2 2 x 3 x 2 - 2 x - 3 h x g h x x - 3 g x h g x x - 3 Egy egyszerű példa: p x x c és t x x c
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (ahol c nullától különböző
konstans) p t x x c c x
(1 pont) (1 pont)
t
(1 pont)
p x x c c x
Tehát p t x t
p x
(1 pont) Összesen: 16 pont
9) Az ABCDA’B’C’D’ téglatestben úgy jelöljük a csúcsokat, hogy az ABCD alaplappal egybevágó lapon az A’ csúcsot az A-val, a B’ csúcsot a B-vel, a C’ csúcsot a C-vel, a D’ csúcsot a D-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy DAD’ szög 45°-os, a BAB’ szög 60°-os. a) Mekkora a B’AD’ szög koszinusza? (6 pont) b) Mekkora az AB’A’D’ tetraéder térfogata, ha a téglatest legrövidebb éle 10? (4 pont) c) Mekkora az AA’D és az AB’D’ síkok hajlásszöge? (6 pont)
Megoldás: a)
Jó ábra az adatok feltüntetésével
(2 pont)
Jelöljük a téglatest AD élének hosszát a-val. Mivel a D’DA háromszög egyenlőszárú derékszögű háromszög: DA DD ' a és AD ' a 2 (1 pont) A téglatest 8 db éle a hosszúságú, Az ABB’ derékszögű háromszög oldalai a 2a rendre: BB ' a; AB (1 pont) ; AB ' 3 3 2a A téglatest A’B’ élére illeszkedő két lapja egybevágó, ezért AB ' B ' D ' , 3 tehát az AB’D’ háromszög egyenlőszárú (1 pont) A keresett BA ' D ' az alapon fekvő egyik szög, ennek koszinuszát például koszinusz függvénnyel a B’FA derékszögű háromszögből (F pont az AD’ alap felezőpontja) vagy az AB’D’ háromszögből koszinusz-tétellel számíthatjuk ki 6 (1 pont) cos 0, 6124 4 b) Mivel a AB’A’D’ tetraédert úgy kaptuk, hogy a téglatest A’ csúcsába befutó három egymásra merőleges élének végpontjait összekötöttük ezzel az A’ csúccsal, a tetraéder térfogatát megkaphatjuk, ha AA’D’ lapot tekintjük a tetraéder alaplapjának és erre a lapra merőleges A’B’ élt a tetraéder magasságának (1 pont) 2 AA ' A ' D ' a ; TAA ' D ' 2 2 a , innen m A 'B ' 3
TAA ' D ' A ' B ' 1 a 2 a a3 3 V 3 3 2 18 3
(1 pont)
a (1 pont) 10 , innen a 10 3 3 Ezt az értéket a térfogat képletébe a helyére behelyettesítve kapjuk, hogy V 500 . (1 pont) A téglatest legrövidebb éle AB A ' B '
c)
Az AA’D’ és az AB’D’ síkok hajlásszögét az AD’ metszésvonaluk egy pontjába állított merőlegesek szöge adja meg. Az AB’A’D’ tetraéder AD’ élére illeszkedő két lapja egyenlőszárú háromszög a közös AD’ lapon, ezért a metszésvonalakon F pont legyen az AD’ él felezőpontja. Ekkor A ' FB ' (1 pont) A B’A’F háromszög A’-ben derékszögű, mert az A’B’ él a tetraéder magassága, ezért merőleges az AA’D’ alaplap minden egyenesére, így A’F-re is. (1 pont) a ; A 'B ' 3 Az AA’D’ egyenlőszárú derékszögű háromszögben az A’F magasság az AD’ AD ' a 2 a átfogó felével egyenlő, vagyis A ' F (1 pont) 2 2 2 a A 'B ' 2 (1 pont) tg 3 0,8165 a A 'F 3 2 Innen 39,23 (2 pont) Összesen: 16 pont
