AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Alapfogalmak

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2003-09-18

1.1. Alapfogalmak Automatizálás: Az emberiség történetének gazdasági alapját megadó termelési folyamat fejl désének azon szakasza, amely mentesíti az embert nemcsak a fizikai munkavégzés alól, hanem a termelésirányító tevékenység végzése alól is. Az automatizálás alapja az információszerzés, információátvitel és az információfeldolgozás. Irányítás: Beavatkozunk Ezen folyamatokba, annak érdekében, hogy: Ez a termelési folyamat létrejöjjön; Megfelel mederben folyjon; Befejez djön. Lehet kézi (manuális): az irányítás valamelyik részm veletét kezel személy végzi; Lehet önm köd (automatikus): az irányítási részm velet kezel személy beavatkozása nélkül megy végbe. Összefoglalva: Az automatizálás a m szaki tudományok egyik ága, amely az önm köd irányítás törvényszer ségeivel és gyakorlati megvalósításaival foglalkozik, tehát az irányításnak egy önm köd vállfaja. Az irányítás pedig beavatkozás egy folyamatba, egy kívánt cél elérése érdekében. Irányítási rendszer: Információ az irányítási célról

IRÁNYÍTÓ BERENDEZÉS

Kimen jel

c

FOLYAMAT Folyamat mozgása

Hibás információ El zetes információ

Mért (real-time) információ (visszacsatolás)

A kimen jelt l elvárjuk, hogy az általunk kívánt módon alakuljon. A rendszer dinamikusan m ködik, id ben változik ez a folyamat mozgása. Definíciók: Jelhordozó: Fizikai mennyiség (pl. áram vagy feszültség) ami ténylegesen közvetíti a hatást; Jel: Ennek a hatásnak az információtartalma, ez a fizikai állapothatározó (mennyiség) minden olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelm en hozzárendelt információ szerzésére, továbbítására vagy tárolására alkalmas; Jellemz : A jel, amely a folyamattal kapcsolatos. Jellemz nek nevezzük azokat az állapothatározókat, amelyek az irányított folyamat állapotát jellemzik, vagy befolyásolják. A jellemz értéke, illetve változása is jel.

1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Jelek felosztása: a) Értékkészlet szerint (x értékei): {Általában minden jel az id függvényében változik.} x

t

Folytonos jelek: Az értékkészletük összefügg tartomány, tehát meghatározott tartományban bármilyen értéket felvehetnek. Szakaszos (diszkrét) jelek: A jel értéke csak diszkrét értékeket vehet fel, két szomszédos diszkrét érték között az értékkészlet hiányzik. b) Id beni lefolyás szerint, értelmezési tartomány szerint (t értékei): Folyamatos a jel (folytonos idej ): Ha minden id pillanatban szolgáltat információt. Szaggatott a jel (diszkrét idej ): Ha csak adott id közönként szolgáltat információt. Példák: x

Folytonos és folyamatos jel

t

x

Folytonos és szaggatott jel

t

A számítógépes irányításban mindig folytonos és szaggatott a jel (ha elég gyors az analógdigitál átalakító). c) Az információ megjelenési formája szerint: Analóg: A jelhordozó értéke vagy értékváltozása közvetlenül szolgáltatja az információt. Digitális: Az információ számjegyet kifejez diszkrét értékben van jelen (kódolt). d) Az érték meghatározottsága szerint: Determinisztikus: Az értéke id függvénnyel egyértelm en megadható. Sztochasztikus: Véletlen lefolyású, id függvénnyel nem adható meg pontosan, csak valószín ségi számítási módszerekkel adható meg.

2

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A hatáslánc a szabályozási rendszer azon szerkezeti egységeinek sorozata, amelyek a szabályozó hatást közvetítik. A szabályozási (irányítási) rendszert meghatározott szerkezeti vázlattal, m ködési vázlattal, hatásvázlattal írhatjuk le. Szerkezeti vázlat: A szabályozási rendszer vázlatos, vagy jelképes szerkezeti ábrázolása, amely els sorban a rendszer irányítási szempontból lényeges részeit tünteti fel. M ködési vázlat: A hatáslánc szerkezeti részeinek ábrázolási módja, amely e részek irányítástechnikai értelemben funkcionális szerepének jelképi ábrázolásából áll. A szerkezeti részeket téglalapok, a jelek útját pedig hatásvonalak jelképezik. Hatásvázlat: Tagokkal és jelekkel írunk le egy rendszert, ez a hatásvázlat. A tagokban valamiféle matematikai összefüggés van leírva, ez jelképezi a tag dinamikus változását. a) Összegzés, különbségképzés jelölése: y1

y3

y1

y2

y1

y2

y3

y1

y2

y3

y1

y2

y2

y1

y3

y1

y2

y1

y2

y2

b) Nyitott és zárt hatásláncú irányítás: Vezérlés nyitott hatásláncú irányítás

y4 y1

y2

V

F

y3

Ez akkor alkalmazható, ha tudom, hogy mit kell állítanom V-ben, hogy az eredmény megfelel legyen.

y3

Szabályozás zárt hatásláncú irányítás

y4 y1 -

y2

S

F

Ha nem ismerem a zavarjelet ( y4 ). y4

Szabályozás zavarkompenzációval

Z y1 -

S

y2

F

Ha sejtem, hogy mi a zavar hatása, akkor annak a 1-szeresét visszaküldve gyorsítható a rendszer. Ez az egyik leggyorsabb rendszer.

y3

3

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak

1.2. A szabályozás felépítése Példa: H mérsékletszabályozás Szerkezeti vázlat H mérséklet (y 3)

Uf=áll., gerjeszt -feszültség

Alapjel szabályozó

H (termo)elem U1

Potenciométer (y1)

U2

Kemence

Teljesítményer sít

Egyenáramú szervomotor

H mérsékleti távadó

Áttétel Gáz y2 Szabályozó szelep

yh:

A gáz min sége; Az oxigén mennyisége; A küls h mérséklet; A f tend közeg.

A szabályozó szelep szerkezete: Tömszelence hbe

Záróülés qki

Zárótest

M ködési vázlat: Funkciókat leíró vázlat. Ha azt is megadjuk, hogyan hat, akkor hatásvázlat. h1

U1

AK

J

-

U2

h2

TE

M+Á

i

H+T

4

q

Sz

K

h3

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak AK J TE M+Á Sz K

alapjel-képz jelformáló (arányos, differenciáló, integráló hatás) teljesítmény-er sít motor + áttétel szelep kemence h mérséklet q gáz H+T h elem + távadó

Távadó: Olyan egyenáramú er sít , amelynek kis driftje van (jó min ség), negatív visszacsatolása (így pontos), kimen jele egységes jeltartomány, pl. 0-20mA. A szabályozás általános felépítése: yz yr

yv

J

-

yb

V

B

ym

ys

F

Vagy yb, ha nincs motor, ekkor nincs végrehajtó. ye

É J-nél a szaggatott terület V B F É ys ym yz ye ya yr yv yb

Szabályozó Végrehajtó Beavatkozó Folyamat Érzékel Szabályozott jellemz Módosított jel Zavaró jel Ellen rz jel Alapjel Rendelkez jel Végrehajtó jel Beavatkozó jel: mindig mozgás jelleg

A végrehajtó (szinte) mindig motor, ami mozgat. Ha nincs motor (pl. villamos f tés esetén), akkor yv a beavatkozó jel. Ekkor nincs végrehajtó. Angol nyelv jelölések: d r

e

u

C

y

P

5

P C r y e u d

process folyamat control system szabályozó reference signal alapjel controlled signal szab. jel error signal hibajel actuating signal irányítójel disturbance zavarjel


1.3. A szabályozások osztályozása Alapjel szerint: Értéktartó szabályozás: Az alapjel (r) állandó, vagy legalább is hosszú ideig nem változik. Feladata a zavaró hatások ellenére a szabályozott jellemz megadott értéken tartása. Követ szabályozás: Az alapjel az id függvénye (r(t)), ekkor vezet jelnek is hívják. Ha az id beni lefolyás ismert tehát az id függvény ismert , akkor programszabályozásnak is hívják. A tagok matematikai modellje szerint: Lineáris szabályozás: Ha a rendszerben lév összes tagra érvényes a szuperpozíció elve. Ezek a folyamatok statikus jelleggörbével írhatóak le. Nemlineáris szabályozás: Ha nem érvényes a szuperpozíció elve, akár csak egyetlen egy tagra is érvénytelen, akkor a szabályozás nemlineáris. A jelek értékeinek meghatározottsága szerint: Determinisztikus: Minden jel determinisztikus, vagyis minden jel meghatározható, követhet . Sztochasztikus: A rendszerben van sztochasztikus jel is, amely nem követhet , változása véletlenszer . Az id beni lefolyás szerint: Folytonos idej : A szabályozás folytonos, amelyet általában analóg elektronikai eszközökkel valósítanak meg. Diszkrét idej : Ilyen a mintavételes szabályozás, vagyis a számítógéppel, PIC-kel, illetve PLC-vel stb. történ szabályozás.

6


2.1. A leírás alapja a modellalkotás Matematikai modellt kell építeni ahhoz, hogy a fizikai rendszert elméleti módszerekkel tudjuk vizsgálni. Ezt meg lehet tenni: Elméleti módszerekkel; Kísérleti módszerekkel (mérések alapján, az eljárás neve identifikáció: a mért értékekb l matematikai struktúra közelítése).

A modell mindig közelít ! Az elméleti modellalkotás lépései: A m ködés min ségi képének meghatározása. Els dleges hatások figyelembe vétele (a többi elhanyagolható). Változók kijelölése, melyik bemen , kimen , bels . Matematikai összefüggések felírása. Kísérleti modellalkotás (identifikáció): Struktúrafelvétel (feltételezés). Mérések (a folyamat mozgásban legyen). Algoritmusok paraméterek. Ezek a rendszerek dinamikus rendszerek. Egy tag kimen jele nemcsak a bemen jel pillanatnyi értékét l függ, hanem az el életét l is információtároló hatás van a rendszerekben, ez szorosan összefügg az energiatároló-hatással (kondenzátor C, induktivitás L, mozgó tömeg m, h kapacitás c ). Rendszerjellemz függvények: a) A rendszer viselkedését differenciálegyenlet írja le, amelynek egy bemenete és egy kimenete van. Ez a SISO: single input single output n0 y ( n ) n1 y ( n 1) ... n n 1 y n n y m0 u ( m ) m1u ( m 1) ... mn 1u mn u n0

1

ni , mi

R

m n (ez realizálható) b) Állapotegyenlet alak: Olyan bels változókat veszünk fel, hogy egyik a másiknak a deriváltja legyen. Ekkor az n-ed rend differenciálegyenlet helyett n db els rend differenciálegyenletet kapunk. Általános alak: 7

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak x A x B u y C x D u paraméterek bemen jel kimen jel állapotváltozó

A, B, C, D: u: y: x:

Állapotváltozó: Olyan bels változó, amelynek egy adott id pontbeli értékéb l a bemen jelek és a paraméterek ismeretében a következ id pontbeli értéke is meghatározható. Annyi állapotváltozó van, ahányad rend a differenciálegyenlet. x(t ) x(t ) u (t )

vektorok

y (t ) A, B, C, D: paraméter-mátrixok. Ha nem id függ k, akkor invariánsak. MIMO (multiple input multiple outAz állapotegyenletes leírás túllép a SISO leíráson put). Hatásvázlat (állapotegyenlet): u

x(0)

x

B

x

C

y

A D y C x D u x A x B u Ezek alapján megállapítható, hogy adott számú bemenet és kimenet, illetve változó mellett mekkorák a paramétermátrixok. Például egy MIMO rendszernél (multiple input multiple output): u: j db y: k db n db változó, n-ed rend rendszer, n db energiatároló van benne. Mekkora az A mátrix? Mekkora a B mátrix? Mekkora a C mátrix? Mekkora a D mátrix?

nxn nxj kxn kxj

A kapott eredményhez a mátrix-szorzás eredményeit alkalmazva jutunk. : integrátor konstans 0

lineárisan változik konstans (értéke az el zményt l függ)

8

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Energiatároló, emlékszik az el életére. x deti feltételt (x(0)-t)

x , tehát integrálja x -et és hozzáadja a kez-

c) Az átviteli függvény: y( s ) SISO W ( s ) u (s) y(s) y(t)-nek a Laplace-transzformáltja (L) y(s): Algebrai egyenlet (n-ed fokú, s n ). y(t): Differenciálegyenlet. A deriválás s-el való szorzás, az integrálás s-el való osztással valósul meg. A differenciálegyenletb l: m

W ( s)

m0 s m m1 s m 1 ... mm s n n1 s n 1 ... n n

num( s ) den(s )

m( s ) n( s )

( s zk )

m0 1 n

(s

pj)

1

num: den: z k: p j:

numerator (számláló); denumerator (nevez ); zérushelyek; pólushelyek.

Ha n(s)=0, akkor karakterisztikus egyenletet (ez befolyásolja a rendszer m ködését) kapunk. Ennek n db gyöke van (annyi ahány állapotváltozója a rendszernek), ezek vagy valósak, vagy konjugált komplexek. Azért kell, hogy konjugált komplex legyen, mert csak így lesz valós az eredmény: p1 a jb p2

a

jb így lesz valós az eredmény

. . . d) Súlyfüggvény: u(t)= (t) y(t)=w(t)

Dirac-delta (t)

Dirac-delta 1

t Bemen jele: (t) Olyan id függvény, melynek szélessége , magassága

1

0.

A súlyfüggvény jellemz a rendszerre. A tag súlyfüggvénye: y t , a rendszeré: w t .

9

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak e) Átmeneti függvény: A bemenetre egységugrást adunk, és figyeljük a kimnetet. u(t)=1(t) y(t)=v(t) 1(t)

t f) Frekvenciafüggvény: y( j ) W( j ) u( j ) A bemenettel azonos a kimenet, de az fázisban el van tolva. A kett t elosztva kapjuk a frekvenciafüggvényt. W(s)~W(j ), alakilag hasonló Fontos áttérés: d v( t ) dt Az átviteli függvény Laplace-transzformáltja a súlyfüggvénynek. A kimenetet deriválva megkapjuk a súlyfüggvényt. W (s ) L w( x) ; w( x)

10


2.2. Hatásvázlatok átalakítása 2003-09-25 W1

W2

W1 W2

W1 W1+W2 W2 Visszacsatolás:

u1

u

y

W1

W1 1 W1 W2

+/W2

y u1 W1

(u

W0 W1 W2 Hurokátviteli függvény (felnyitott kör átviteli függvénye)

y W2 ) W1

y (1 W1 W2 ) u W1 Jelek áthelyezése: u2

u1

W1

u2

W2

y

u1

W1

u2

W2

y

u1

u1

u2

W2

11

W2

y

W1 W2

W1 W2

y

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Összegzés áthelyezése: u2

u2 y

u1

W

-

y

u1

W

-

u2 u1

u2

y

W

u1

-

W

y

-

A visszacsatolás általános tárgyalása:

u2 u1

y2 u2

-

W2 1 W0

yr

y1

W1

y2

W2

W3

Bemenett l a kimenetig feltéve, hogy u1=0 Mindig ez a nevez W0

W1 W2 W3

A visszacsatolt rendszerben bármelyik jelnek bármelyik jelre való hatása: yr 1 (ha u2=0) u1 1 W0 Az összesített hatás: W1 W2 u1 W2 u 2 y2 1 W0

12

y


2.3. Az állapotegyenlet megoldása Állapotegyenlet:

x

A x B u

y

C x D u

1. Megoldása az id tartományban: t

x(t ) e A t x(0)

e A (t

)

B u (t ) d

0

y (t ) C x(t ) B u (t ) x(0): a kezdeti feltétel. 2. Megoldása az operátortartományban: (segédegyenlet: L x(t ) s x s x 0 ) x

s x(s ) x(0) A x( s ) B u ( s)

s x( s ) A x( s ) x( s ) s I A

x(0) B u (s ) x(0) B u (s )

I: egységmátrix

1

x( s) s I A x (0) B u ( s) y ( s ) C x( s ) D u ( s ) Ha x(0)=0, akkor

Az átviteli mátrix: sI W ( s) C u1 u2 u3

s I

A

A 1

B

W

1

D

x( s)

s I

y( s)

C s I

adj ( sI det( sI

A

1

B u (s )

A

1

B D u ( s)

A) A)

C adj s I

A B D det s I det s I A

A

y1

y1

W11 W12 W13

y2

y2

W21 W22 W23

pl.: De mindegyik Wij nevez je ugyanaz: det s I

A .

Karakterisztikus polinom: n(s)=0 egyenlet (n(s) a nevez együtthatói). Gyökei a mátrix sajátértékei (a f átlóban lév elemek). y1 W11 u1 W12 u 2 W13 u 3 y2

W21 u1 W22 u 2 W23 u 3

13

u1 u2 u3

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Hatásvázlata: u1

W11

u2

W12

u3

W13

y1

y2

W21 W22 W23

Az állapot-trajektória: Ha az állapotegyenletet megoldjuk az id tartományban, akkor lesz n db. (ahány állapotváltozója van) xi(t) id -függvényünk. Ezek ábrázolhatóak az úgynevezett állapottérben (ahány állapot van, annyi dimenziós teret kell elképzelnünk). Pl.: n=3, 0 t t max x3 x(tmax)

x(t) x(0) t=0

x2

x1 Az állapotegyenlet megoldásainak összetev i: A kiszámított id függvénynek ( x(t) ) van 2 db komponense: (t ) x (0 ) xk (t ) e A t x(0) t

t

e A (t

x g (t )

)

B u( ) d

0

(t 0

u: bemen jel, B: er sítés xk a kezdeti feltételt l, xg a gerjesztést l függ. : állapot átmeneti, vagy alapmátrix.

14

) B u( ) d

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Els lépés: a Laplace-transzformáltat kiszámítani az operátor-tartományban adj s I A 1 (s ) L e A t s I A det s I A Pl.: 0 1 0 1 A ; (t ) e 2 3 2 3 adj s

1 0 0 1

0 2

1 3

det s

1 0 0 1

0 2

1 3

(s)

s 1 2 s 3 s 1 det 2 s 3

adj

s 3 1 2 s 2 s 3s 2

s 3 1 2 s s (s 3) 2 s

1

T

2 s 3

s

2

1 s 3

Adjungált számítás: transzponálni az elem helyett az el jeles aldeterminánst venni Speciális eset: az A egy diagonális mátrix p1 0 sajátértékek A 0 p2 p1

0

0

p2

0 e p1 t 0 e p2 t A rendszer sajátmozgása: u(t)=0; x(0)=0. A kezdeti feltételt l függ. (t ) e

x=xk

x

A

x k (t )

(t ) x

Stabilitás (el bb-utóbb megáll egy értéken inga): Aszimptotikusan stabilis a rendszer, ha u(t)=0 és x(0) 0 által létrehozott sajátmozgás t tag végtelen mozgása t esetén az állapottér origójába tart, azaz xk ( ) 0, lim xk (t ) 0 . Feltétele, hogy az alapmátrix [ (t)] ha t tart végtelenbe, tartson t

0-hoz, azaz lim (t ) 0 . t

Els rend rendszer: a>0

xk(t) A a (t ) e a t

a=0

x(0)

xk (t ) e a t x(0)

a<0 t 15

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A stabilitás feltétele, hogy az A mátrix sajátértékei, azaz a karakterisztikus egyenlet det s I A gyökei negatív valósrész ek legyenek. Az állapot-trajektória kétféle lehet: Labilis ( (t )

xk2

Stabilis ( (t )

0)

)

xk1

MATLAB gyakorlat who kiírja, hogy milyen változókat használok clear törli a változókat clear k törli a k változót x=[1 2 3]; y=4 5 6]; y=q*x yy=x*q yyy=x*q k=2; yyyy=k*x; x*q error size(k) length(x) inv(y) v=1:3;

a k mátrix mérete az x mátrix leghosszabb mérete invertálja a mátrixot v=1,2,3 v=1:2:10; v=1,3,5,7,9

16

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2003-10-02 A gerjesztett mozgás Ez esetben akkor mondjuk stabilisnak a rendszert, ha a bemenetre korlátos jelet adva a kimeneten korlátos jelet kapunk. t

e A (t

x g (t )

)

B u( ) d

0

x g ( s) ( s I A) 1 B u (s ) ( s ) B u ( s) Els rend rendszer: az A és B mátrix 1x1-es. Az állapotváltozók száma: 1. x g ( s) ( s a ) 1 b u ( s) t

e a(t

x g (t )

)

b u( ) d

0

u(t)=1(t) Ez az átmeneti függvény, ennek Laplace transzformáltja: u (s ) u

x

b

1 . s

x=xg

a

Átviteli függvénye:

1 s

W (s) b 1

x g ( s) b ( s a )

1

b a s

s a

1 s

ha a=0, akkor : xg(t)=v(t)

b s2 xg (t ) b t

xg ( s )

a>0 a=0

b a a<0

Meredeksége: b

ha a 0, akkor:

xg (s) x g (t )

b 1 b 1 a s a a s b (1 e a t ) a

b 1(t ) Laplace a transzformáltja

b at e a 17

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Két mozgáskomponens: b at x gt (t ) e a b x gu (t ) 1(t ) a Érdemes ket különválasztani.

Tranziens (állandósult) összetev u-tól függ stacionárius összetev t

x k (t )

0 xk(t): kezdeti feltételt l függ, sajátmozgás x gt (t ) 0 x (t): ugyanúgy, mint x esetében gt k Ezért elég x(0)=0 kezdeti feltétellel vizsgálni. x gu (t ) const. Az állapot-trajektória ebben az esetben az xg(t) tengely (egy változó van). Mindig az origóból indul ki (ha nincs kezdeti feltétel), mert az integrátor kimen jele nem ugrik) és állandó értékhez tart. Ez mekkora? Ezt hívják úgy, hogy a rendszer egyensúlyi helyzete. Ha a rendszer stabilis:

A rendszer egyensúlyi helyzete Az integrátor(ok) akkor áll(nak) meg, ha a bemen jel 0, és ez a nyugalmi helyzet. 0 A x( ) B u 0 (0 x ) y ( ) C x( ) D u 0 1

x( )

A

y( )

C A

y( ) u0

kp

(y

y( ))

B u0 1

B u0

D u0

u0 ( D C A

arányos er r sítés

x=[1 2 5]; a1=[3 1 2]; a2=[-1 4 7]; a3=[2 -3 -1]; b1=a1*x; b2=a2*x; b3=a3*x; A=[a1; a2; a3]; b=[b1 b2 b3]; x=inv(A)*b x1=1 x2=2 x3=5 3 fázisú szinuszjel rajzolása: zöld - sárga piros t=0:0.05:2*pi; y1=sin(t); y2=sin(t+2*pi/3); y3=sin(t+4*pi/3);

18

1

B)

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak plot(t,y1); plot(t,y1,t,y2,t,y3); plot(t,y1,g); 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

7

0

1

2

3

4

5

6

7

Control System Toolbox m(s ) n( s ) printsys(m,n) az átviteli függvény m=[6 22 18]; n=[1 6 11 6]; tf2ss(m,n) az átviteli függvényb l állapot-trajektória W s

Transfer function

num(s ) den( s)

State space

[A,B,C,D]=tf2ss(m,n); printsys(A,B,C,D) tf2zp(m,n) zérus pólus er sítés [z,p,k]=tf2zp(m,n); [m1;m2]=zp2tf(z,p,k); Analízis függvények: step(m,n) impulse(m,v) lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t,x0) initial(sys,x0) initial(sys,x0,t) initial(m,n,5) dcgain(m,n) dcgain(A,B,C,D)

v(t) w(t)

19

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Feladat: Állapotteres alakban adott rendszer: 1 A

C

4 7

2

3

5 8

6 9

16 17 18 19 20 21

10 11 B

12 13 14 15 22 23

D

24 25

a) Stabilis-e? p=eig(A) vagy p=roots(poly(A)) Ha minden gyök negatív, akkor stabilis! b) Ha stabilis, akkor azt gerjesztve egy állandó értékre megy. Határozzuk meg egységugrással! u=[1 1]; yv=(-C*inv(A)*B+D)*u vagy dcgain(A,B,C,D)*u c) Sajátmozgás(a kezdeti feltétel hatására hogy mozog)? x1(t), x2(t), x3(t) x0=[1 1 1]; t=0:0.1:10; [y,x]=initial(A,B,C,D,x0,t); size(y) 101 2 plot(t,y(:,1)) subplot(211), plot(t,y(:,1)) subplot(212), plot(t,y(:,2)) subplot(221), plot(t,y(:,1)),grid subplot(222), plot(t,y(:,2)),grid subplot(223), plot(t,y(:,3)),grid x1 x2

A grafikonképerny

felosztása

x3 subplot(224), plot(x(:,1),(:,2),(:,3)),grid d) Vizsgálat tetsz leges bemen jelre. x0=[1;2;3]; t=0:0.1:10; u1=ones(1,length(t)); u2=1-exp(-t); u=[u1,u2]; [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t); subplot(211),plot(t,x),grid subplot(212),plot(t,y),grid

20

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2003-10-09 Script írása: *.m File -> New -> M-File pause a futó program megáll, majd egy billenty nyomás hatására tovább fut % megjegyzés, ENTER-ig tart e) Az átviteli mátrix meghatározása. script: sys1.m A=[-1 -2 -3; 4 -5 6; 7 8 -9]; B=[10 11; 12 13; 14 15]; C=[16 17 18; 19 20 21]; D=[22 23; 24 25]; printsys(A,B,C,D) W (s )

C

s I

A

1

B

D

[m1,n]=ss2tf(A,B,C,D,1); m11=m1(1,:); m12=m1(2,:); [m2,n]=ss2tf(A,B,C,D,2); m21=m2(1,:); m22=m2(2,:); pl.: u1

u2

y1=W11u1+W21u2 W11

y1

W12

y2

W21 W22

21


2.4. Állapottranszformáció A=[13 -64 -40; -45.5 219 137.5; 80 -384 -241]; B=[-1; 4; -7]; C=[5 -5/3 -5/3]; D=0; printsys(A, B, C, D); Stabilis-e? sys2 eig(A) ans = -5.0000 -3.0000 -1.0000 Mind negatív => Stabilis! x y

A x B u C x D u

Be: Ki:

1 db 1 db

SISO 3 állapotváltozó [m,n]=ss2tf(A,B,C,D); 0 0.0000 5.0000

20.0000

1.0000 9.0000 23.0000 15.0000 5 s 20 Az átviteli függvény: W ( s ) 3 s 9 s 2 23s 15 [A1,B1,C1,D1]=tf2ss(m,n); eig(A) mind negatív => Stabilis! dcgain(A,B,C,D) = 1.333 Egyenáramú er sítés. dcgain(A1,B1,C1,D1) = 1.333 Ugyanaz a folyamat végtelen sok formában felírható. Ennek oka az állapot-transzformáció.

22

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Az állapot-transzformáció háttere: x A x B u y C x D u xT

T x

x T T y

1

1

xT

xT

A T

C T

1

xT

1

xT D u

AT

xT y

BT

T A T C T CT

1

T mxn-es, invertálható mátrix

B u

1

xT

xT

T B u

D u DT

xT y

AT xT CT xT

BT u DT u

Transzformált. A rendszer ugyanaz, csak mások az állapotváltozók és a paraméterek

Transzformálás: [AT,BT,CT,DT]=ss2tf(A,B,C,D,T) p1 0 0 jó, ha AT diagonális 0 p2 0 , ekkor nincsenek keresztcsatolások. 0

0

p3

Ha A sajátértékei egyszeresek: [V,P] =eig(A); T=inv(V); [AT,BT,CT,DT]=ss2ss(A,B,C,D,T); Ha csak a f átlóban vannak elemek az A-ban, akkor a kanonikus alak. Egyszer bben: [AT1,BT1,CT1,DT1]=canon(A,B,C,D,modal); Amikor a f átlóban a valósrészek, mellettük a képzetes részek, az a MODAL alak.

23

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A kanonikus alak hatásvázlata (D=0) x1

p1

x1

x2 u

x2

BT p2

y

CT

x3

x3

p3 [AT,BT,CT,DT]=ss2ss(A,B,C,D,companion) 0 0 ... . 0 0 15 1 0 ... . AT 1 0 23 0 1 ... n2 0 1 9 n1 MEGFIGYELHET SÉG KANONIKUS ALAK [m,n]=ss2tf(A,B,C,D) 5 s 20 W ( s) 3 s 9 s 2 23s 15 IRÁNYÍTHATÓSÁGI KANONIKUS ALAK [AM,BM,CM,DM]=tf2ss(m,n) 9 23 15 n1 AM 1 0 0 1 0 1 0 0

n2 ... 0 ... 1 ...

24


2.5. Irányíthatóság és megfigyelhet ség 2.5.1. Állapotirányíthatóság (controllability) Ha a szakaszonként folytonos u vektorral az x(t0) állapot egy tetsz leges x(tv) állapotba véges id alatt átvihet : x(t0 ) x(tv ) (tv t0 ) 0 . Hatásvázlatból meg lehet mondani, hogy az u jusson e minden integrátor bemenetére. Kanonikus (szétcsatolt) alakból megmondható: BT mátrixnak ne legyen csupa nullából álló sora -> A-tól és B-t l függ az, hogy a folyamat állapotirányítható-e! Szükséges és elégséges feltétel: Tesztmátrix: C0 B, AB, A2 B,..., An 1 B

Rangja n legyen!

C0=ctrb(A,B) rank(C0) vagy rank(ctrb(A,B)) Az állapotirányíthatóságnak nem feltétele a stabilitás!

2.5.2. Kimeneti irányíthatóság Ha a szakaszosan folytonos u bemen jelre y(t0) kimenet y(tv) kimenetre átvihet (tv t0 ) 0 véges id alatt. Nem feltétel az állapotirányíthatóság! Függ: A, B, C-t l is. Szükséges és elégséges feltétel: Tesztmátrix: C0 y CB, CAB, CA2 B,..., CAn 1 B

C C0

A tesztmátrix rangja k legyen (k db kimenet)! rank(C*C0)

2.5.3. Megfigyelhet ség (observability) Az x(t0) állapot akkor megfigyelhet , ha egy (t0,tv) véges id intervallumban, vagy u(t), y(t) és A, B, C, D ismerete elég az x(t0) meghatározásához. Tudom mérni a bemen jelet, tudom mérni a kimen jelet, akkor tudom a bels állapotokat is. Tehát belül hogyan vannak elkötve az állapotváltozók. A-tól és C-t l függ. Különböz pólusok

Valamennyi állapotváltozótól függjön

Kanonikus alak: CT-nek ne legyen csupa 0-ból álló oszlopa.

25

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak C CA . .

Ob

CAn Ob=obsv(A,C) rank(Ob)

rangja n legyen 1

2.5.4. A Kalman-féle 4 alrendszer a) b) c) d)

irányítható és megfigyelhet irányítható, de nem megfigyelhet nem irányítható, de megfigyelhet nem irányítható és nem megfigyelhet x

x

1 s pi

1

1 pi s

s

pi A visszacsatolt integrátor helyett.

A hatásvázlata: feltételezzük, hogy 4 pólusa van ennek a rendszernek. s

s

b3=0

b4=0

x2 p2

1 s

a)

C2=0

b) y

x3 p3 x4

1 s

C1

pi 1

b2

u

x1

1

b1

p4

Ahány állapot van, annyi pólus. Pl.: A=[-1 -0.5 0.5; 2 -3 0; 2 -1 -2]; B=[2; 3; 1]; C=[0 0 1]; D=0; printsys(A,B,C,D); 26

C3

c)

C4=0

d)

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Állapot-irányítható-e?

2

N

rank(ctrb(A,B))

(Akkor állapot-irányítható, ha a kapott eredmény egyenl B soraival.)

Megfigyelhet -e?

2

N

rank(obsv(A,C))

(Akkor megfigyelhet , ha a kapott eredmény egyenl C oszlopaival.)

Kimenet-irányítható-e?

1

Y

rank(C*ctrb(A,B))

(Akkor kimenet-irányítható, ha a kapott eredmény egyenl C soraival.)

x

A x

B u

y

C x D u A, B, C, D méreteit tudjuk. x és x méreteit tudjuk. Olyannak kell lennie, hogy m ködjön az egyenlet. Alakítsuk át kanonikus alakra: [AT,BT,CT,DT]=canon(A,B,C,D) 1 0 0 AT 0 3 0 0 0 2 1.7321 0

BT

2.2361 CT

0.5774 0.7071 0

DT

0

Pólusok: -1: irányítható és megfigyelhet -3: nem irányítható, de megfigyelhet -2: irányítható, de nem megfigyelhet 3 pólusból: 2 irányítható 2 megfigyelhet 1 irányítható s megfigyelhet Írjuk fel ennek a rendszernek az átviteli függvényét! s 2 5s 6 W (s ) s 3 6 s 2 11s 6 [m,n]=ss2tf(A,B,C,D) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) (Gyöktényez s alak: zérus-pólus-er sítés.) z=-3 -2 p=-3 -2 -1 k=1 W ( s)

( s 3)( s 2) ( s 3)( s 2)( s 1)

1 s 1

Az átviteli függvény a ki és bemenetekhez egyaránt kapcsolódó irányítható és megfigyelhet alrendszer pólusait tartalmazza. A többi vagy nem megfigyelhet , vagy nem irányítható.

27


Kitekintés: Az állapotirányítás elve Szabályozás: a kimen jelet negatívan visszacsatoljuk, ez klasszikus megközelítés.

Állapotirányítás: Az állapotváltozót csatoljuk vissza konstans tagokon keresztül. Matematikailag tetsz legesen jó szabályozás tervezhet ezzel a módszerrel. De a valóságban nem helytálló! Hatásvázlata: u0

u

k

x

B

x

C

y

A

D=0

F

Állapotirányítás

Feedback visszacsatolás

Tételezzük fel, hogy ez egy SISO rendszer. F f1 , f 2 ,..., f n x1 f

F x

f1 , f 2 ,..., f n

skalár

x2 ...

xn Ahol det(sI-A)=0 ott vannak pólusok. A pólusok szablyák meg a rendszer viselkedését. Ezzel a módszerrel el lehet írni a zárt kör pólusait. Majd meghatározható az F mátrix. Ha az állapotváltozók nem mérhet k, akkor állapot-megfigyel vel irányítunk (megsaccoljuk az állapotváltozókat). ua u y

k

A, B, C, D, x

Állapot-megfigyel x

k Ehhez szükséges: o A, B : irányíthatót adjon; o A, C : megfigyelhet séget adjon. 28

Valójában egy szoftver x becsült értéke


2.6. Alaptagok jellemz függvényei SISO tagokat mérünk. A ki- és bemenetek közötti kapcsolatok leírására szolgáló függvények: w(t): súlyfüggvény, bemenetére Dirac-deltát adunk, (impulse). Ennek a függvénynek az ismeretében tetsz leges bemen jelre kiszámítható a kimenet. v(t): átmeneti-függvény, bemenetére egységugrás, (step). Gyakran ez használatos a súlyfüggvény helyett. W(s): átviteli-függvény, ( m , printsys(m,n)). A frekvencia tartományban az y kin

men , illetve az u bemen jel hányadosa. Ez a súlyfüggvény Laplace transzformáltja. W(j ): frekvenciafüggvény, szinusz-jelet adva a bemenetre a kimenet is azonos lesz, csak fázisszögben fog különbözni, (nyquist, bode) Nyquist: felrajzolja a komplex számsíkon -t között rajzolunk; Bode: két részb l áll: a( ): amplitúdó, log-log tengelyekkel; ( ): fázis, lin-log tengelyekkel.

és

között. Sokszor 0

Általánosan: (s z1 ) (s z 2 )...(s z n ) (s p 1 ) (s p2 )...(s pn ) Ez az alak megkapható: tf2zp W (s )

k zp

m (s) n( s )

Id állandós alak: s r (1 s 1 ) (1 s 2 )... s p (1 s T1 ) (1 s T2 )... Lehet zi=0 és pi=0, kiemelhet ti és Ti lehet komplex is A számlálóban és a nevez ben is lehetnek komplex gyökök. A kimenet valós, ekkor a komplex gyökök párosával fordulnak el és egymás konjugáltjai. W ( s)

k

A kéttárolós leng alak: T02 s 2 2 T0 s 1 (1 s T1 )(1 s T2 ) 1 sajátfrekvencia T0 csillapítási tényez 1 két egyforma valós gyök 1 két konjugált komplex gyök Az, hogy kéttárolós mindig igaz (másodfokú), azért leng , mert komplex alakban leng jelleg . q1=[1 1 1]; q2=[1 2 1]; q3=[1 3 1];

T0=1 T0=1 T0=1

=0,5 =1 =1,5

29

roots

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak s1

s2

-0,5+j0,86

-0,5-j0,86

-1

-1

-0,38

-2,61

Kéttárolós leng alak

Általános alak: f

e

(1 s

r

s k sp

W (s )

1

)

1 g

(1 2

i

0i

s

1 h

(1 s T1 ) 1

(1 2

i

2 0i

s2 )

2 0i

2

T0 i s T

s (r

p)

k W p (s)

s )

1

Arányos id késéses tag

r+e+2f=m p+g+2h=n ha r>p r

a számláló fokszáma a nevez fokszáma akkor s a számlálóban van differenciáló tag; integráló tag; s a nevez ben van nincs kiemelhet s az egész tag arányos.

Lehet másféle id késés is jelterjedés véges sebessége miatt NEM ÁLLAPOTVÁLTOZÓ MIATT (ez a holtid ) Holtid : Th; y (t )

0 u (t Th )

ha ha

t t

Th Th

L-transzformálva (eltolási szabály): y (s ) e s Th u ( s ) w( s)

e

MATLAB-ban csak közelíteni lehet

s Th

Fontos kapcsolat a transzformált és az id tartomány között. Kezd érték tétel. Végérték tétel. W ( s) v(0) lim s lim W ( s) s s s Ez a deriváltakra is igaz: W (s ) s k v( k ) (0) lim s lim s k W (s ) s s s Jellegre nézve: Meg tudjuk mondani az átviteli függvény kezdeti sm sk lim s k n lim n m meredekségét s s s s s m s m 1 ... s m s n 1 ... s W ( s) lim W (0) s 0 s

W ( s) lim v(t ) t

30

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak a) Arányos tag (P): u kp

y

W(s)=kp

v(t)

w(t) kp

t

kp t

N (Nyquist)

t

B (Bode)

Im

a [dB] 20 log(a)

kp Re

kp

log

log

u

b) Integráló tag (I): 1 y s Ti

1 s Ti

W (s )

v(t)

ki s

w(t)

W(j )

Ez v(t) deriváltja.

1

ki

1 Ti

t

Ti

N

1 j Ti

t

Im B

a

1/Ti

log Re 1 s

0°

log -90°

31

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A szingularitás miatt a 0-át ki kell kerülni: s r e j 1 1 j e s r

Ti=2; m=1; n=[2 0]; step(m,n) impulse(m,n) nyquist(m,n) bode(m,n) Impulse Response

Step Response

From: U(1)

From: U(1)

0.5

0.7

0.45 0.6 0.4 0.5

0.35 0.3

0.4

0.25 0.3

0.2 0.15

0.2

0.1 0.1 0.05 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Time (sec.)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (sec.) Bode Diagrams

Nyquist Diagrams

From: U(1)

From: U(1)

20

50

0

40 30

-20

20

-40

10

-60

0

-89

-10

-89.5

-20

-90

-30

-90.5

-40

-91 10-1

-50 -1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Real Axis

32

100

Frequency (rad/sec)

101

102

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak c) Differenciáló tag: u s Td

y

W ( s)

v(t)

s Td

w(t): Nincs értelmezve. Td

t

N

B

Im

a 1/Td

log

Re log

d) Egytárolós tag: 1 állapotváltozó u

1 pólus

y

kp

kp

W ( s)

1 s T

1 s T

w(t)

v(t)

kp

1

kp

m=5; n=[2 1];

T

t

T

N

5 1 2s

1 2s T

T

t A hiba: 1

Im

B 1 T

kp

W

akkor a hiba

2

3dB

1 Ti

kp

Re 1 T

-

a [dB]

j T , ha =1/T,

W

log

kp

log

j T -90°

33

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak e) Kéttárolós tag: logspace(-2,2,100): 10-2-102-ig 100 elem halmaz kp

W (s )

1 2 T s T 2 s2 ha 1, akkor valós gyökök 2 db egytárolós soros ered je ha 1, akkor kéttárolós leng tag, komplex gyökök vannak kp=1 T=1 =0,5 1 W ( s) 1 s s2 m=1; n=[1 1 1]; step(m,n) impulse(m,n) nyquist(m,n) bode(m,n)

Step Response

Impulse Response

From: U(1)

From: U(1)

1.4

0.6

1.2

0.5

1

0.4

0.8

0.3

0.6

0.2

0.4

0.1

0.2

0

0

0

2

4

6

8

10

-0.1

12

0

Time (sec.)

2

4

6

8

10

12

Time (sec.)

Nyquist Diagrams

Bode Diagrams

From: U(1) 1.5

From: U(1) 10

függ

0

1

-10

1/T

-20

0.5

kp

-30 -40

0

0 -50

-0.5

Minél kisebb .

-100 -1

-1.5 -1

-150

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-200 10-1

1

Real Axis

100

Frequency (rad/sec)

rezonancia

34

10

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak hatása: m=1; y=zeros(200,10); t=linspace(0,20,200); 2003-10-30 1 tükörképe) f) PD tag ( 1 s T Proponcionális és differenciális tagok párhuzamosan kötve: W s v(t) 1

1 s Td

w(t): Nincs értelme.

Td

t

N

B

Im

a

0

Re

log 90°

0°

log

Minimálfázisú (minimumfázisú) rendszer: A Bode-diagramban az a (er sítés) és a (fázisszög) között egyértelm kapcsolat van. Például: B a log 0°

log

-90°

-180°

A rendszer minimál-fázisú, ha az átviteli függvény számlálójában és a nevez jében is csak pozitív id állandók vannak: 1 3s W1 1 s 1 3s W2

1 3s 1 s 1 3s 35

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak m1=[3 1]; n1=conv([1 1], [2 1]); printsys(m1,n1); bode(m1,n1) Bode Diagrams From: U(1) 5 0 -5 -10 -15 -20 0 -20 -40 -60 -80 -100 10-2

10-1

100

101

Frequency (rad/sec)

m2=[-3 1]; n2=conv([1 1], [2 1]); bode(m2,n2) Bode Diagrams From: U(1) 5 0 -5 -10 -15 -20 0

-100

-200

-300 10-2

10-1

Frequency (rad/sec)

36

100

101

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak g) PDD2 tag (a kéttárolós tag tükörképe) W s 1 2 Ts T 2 s 2 h) Holtid A jelkésleltetés egy speciális formája. Nem köthet állapotváltozóhoz, nem pólus. Ez egy transzcendens jelenség. u

e-s.Th

y

W (s ) e

s Th

w(t) v(t)

N

t

t

Th

Th

Im B

1

a log

Re 1/Th W

e

j

W

0°

Th j

a e a 1; Th Ha végtelenszer körbejár, akkor

log

-57,3°

Ennek közelítései: 1. Pade közelítés: [m,n]=pade(Th,N);

Holtid

A közelítés fokszáma (hányadfokú polinommmal közelítse?)

pade(Th,N); Pl.: pade(2,3); (a pontosság ellen rzésére jó)

Pontos: Közelítés:

2. Strejc közelítés: 1 e s Th k Th 1 s k Th=1 k=3 m=1; n=conv([1/3 1], conv([1/3 1], [1/3 1])); 37


2.7. Példák összetett tagokra a) Három tárolós tag: 1 1 s T1 1 s T2 1 s T3

W v(t)

w(t)

1

t

N

t

B

Im

a

1/T1

1/T2

1/T3

log

-20 -40

Re

-60 0°

log

-90° -180° -270°

b) Egytárolós, integráló tag: 1 W ( s) s Ti (1 s T ) v(t)

w(t)

1

1 Ti

T

Ti

t B

N

Im

t

T a 1/Ti

Re

0°

-90°

-180°

38

1/T

log log

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak c) Egytárolós differenciáló tag: s Td W ( s) 1 s T v(t)

w(t)

T

Td/T

t

T

N

t

Td/T

B

Im

+20

a 1/Td

1/T

log

-20

Td/T

Re

90°

0°

log

-90°

d) Realizálható PD tag (fázissiettet ): sTd 1 s (T Td ) W ( s) 1 1 sT 1 sT

1 sT1 1 sT2

v(t)

w(t)

T1

T2

t

1+Td/T 1 T

N

B

Im

a 1/T1

1/T2

log

90° 1

1+Td/T

Re 0° -90°

39

log

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak e) Fáziskésleltet tag: 1 s T1 W ( s) 1 s T2

T1 T2

v(t)

w(t) 1

T2

T1 T2

t

Im

N

B

T1/T2

1

t

T2 a 1/T2

Re

1/T1

log

90° 0°

log

-90°

f) PI tag: W ( s) 1

1 s Ti

1 s Ti s Ti

v(t)

w(t) 1

1/Ti

1/Ti t

Ti

N

Im

t

B

Re

a

1/Ti

log

90° 0° -90°

40

log

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak g) Egytárolós holtid s tag: e s Th W ( s) 1 s T v(t)

w(t)

Th+T

1

t

Th

N

B

1

e

t

Th T+Th

Im

Példa: W ( s )

1/T

1/T

a

1/Th

log

Re

s

1 5 s

log

: Bode, Nyquist diagram

1. pontosan om=logspace(-2,1,300); m=1; n=[5 1]; [at,ft]=bode(m,n,om); A tároló fázisszöge A tároló amplitúdója

( ) Th fh=-om*180/pi; fe=fh+ft; semilogx(om,ft,om,fh,om,fe) ampl=abs(1./(1+s*i*om)); re=ampl.*cos(fe*pi/180); im=ampl.*sin(fe*pi/180); plot(re,im), grid 2. Pade-közelítéssel [mh,nh]=pade(1,5); mt=1; nt=[5 1]; [m,n]=series(mh,nh,mt,nt); [m,n]=paraller(mh,nh,mt,nt);

(soros ered ) (párhuzamos ered )

mh

soros (1+sT1) (1+sT2)

mt

nh

(1+sT3)

nt

(1+sT4)

41

párhuzamos


3.1. Alapjelkövetés és zavarjel-elhárítás 3.1.1. Alapjelkövetés állandósult állapotban

ya=ua

yr

W1

y

W2

Tételezzünk fel, hogy stabilis rendszer.

Szabályozó folyamat

A hibajel a felnyitott kör átviteli függvényét l és a bemen jelt l függ. y (s)

W1 W2 W0 ua ( s ) ua (s) 1 W1 W2 1 W0 W0 a felnyitott kör (hurok) átviteli függvénye

k W p ( s) W p (0) 1 si W0(s) egy olyan többtárolós tag, melyre s=0-nál: Wp(s)=1. k huroker sítés i a szabályozás típusszáma (0, 1, 2) W0

Hibajel (yr) yr ( s )

1 ua s 1 W0

1 k 1 i W p ( s) s

ua ( s )

Az alapjel az id hatványfüggvénye: UA t2 ua u A1(t ); u A (t ); u A L: ua s , n=1, 2, 3 stb. 2 sn A tipikus vizsgáló jelek: egység-, egység sebesség-, egység gyorsulásugrás. u1 ua ( s ) sk si uA yr ( s ) i s k Wp ( s) s k y1 (t ) t

lim s y1 (s ) lim s

0

s

0

si 1 n uA si k

42


ua(s) UA UA UA 0 uA k

0. típusú

1. típusú

2. típusú

UA 1 k

0

0

UA k

0

s s

2

UA k

s3

Tudja követni A lemaradás függ a huroker sítést l

Az alapjel követése függ: Típusszámtól (i); Huroker sítést l (k). Fizikai magyarázat: ua

yr

Bemenetre:

k vagy

y

k k v. 2 s s

;

;

2003-11-06 A 0. típusú kör az ugrás alakú alapjelet állandósult állapotban az alapjel amplitúdójától lineárisan függ állandó hibával képes átvinni. Ezzel szemben az 1. és 2. típusú szabályozás az egységugrást hiba nélkül képes követni. Ilyenkor a zárt rendszer állandósult karakterisztikája astatikus. A táblázat tanulsága szerint a különböz típusszámú szabályozások akkor képesek a bemen jelet állandó hibával követni, ha n=i+1. Ennél kisebb kitev nél a statikus hiba zérussá, nagyobbnál végtelenné válik. k id ben változtatja a kimenetét. A visszacsatoló jel akkoAz 1. típusú szabályozás (integrátor) s ra nem lesz, hogy yr nulla legyen. Ha yr=0, akkor megáll a szabályozó. Ekkor a hiba zérus. A hibajel ( yr) tehát lehet nulla is.

43

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Sebességugrás:

Konstans Lemaradással követi Tudja követni

nem tudja követni

Parabola:

Konstans

nem tudja követni nem tudja követni lemaradással tudja követni

Általánosítás: W0 ( s )

m0 ( s) n0 ( s)

ua ( s )

ma (s ) na ( s )

y r ( s)

1 ua ( s ) 1 W0

Az alapjel Laplace-transzformáltja

ma ( s ) 1 m0 ( s ) na ( s) 1 n0 ( s )

n0 ( s ) ma (s ) n0 ( s) m0 (s ) na (s )

n0 ( s) : Zárt kör átv. függvényének nevez je n( s ) ma ( s) : Az állandósult értéket adja na ( s)

n0 (s ) ma (s ) n( s ) na (s )

karakt. egyenlet (neg. valósrész gyökök)

A kvázi-stacionárius hiba akkor t nik el, ha a bemen jel pólusa a W0(s) átviteli függvénynek is pólusa. Ebb l az is következik, hogy a kör a kvázi-stacionárius hibát csak adott típusú bemen jelre küszöböli ki. Az 1. típusú kör például egy exponenciálisan csökken bemen jelet nem tud kvázi-stacionárius hiba nélkül követni (a statikus hiba zérus ugyan, mert hosszú id múlva a bemen jel is elt nik, de addig lesz követési hiba). Vagyis a kvázi-stacionárius hiba csak olyan bemen jelre zérus, amelynek pólusa n0(s)-ben is megvan. na(s) gyöktényez sbe, ha lehet egyszer síteni 0, jel: helyettesíthet , egységugrással is közelíthet .

44


3.1.2. Zavarelhárítás

ua

yr

yz2 W1

yz1 W2

1 y z1 (s ) Használható az el z alapjelre vonatkozó táblázat. 1 W0 W2 b) yr ( s ) yz 2 ( s) 1 W0 1 y z1 y z 2 vagy s 1 vagy s2 1 s3 Mi van W2-ben? Ha van benne integrátor, akkor egységugrás egységsebesség-ugrás. A zavarjelet is integrálja, mintha nagyobb típusú zavarást adnánk rá. Ha W2(0)=áll. -ó hatás, mint el bb a helyzet + belejátszik W2(0) er sítése. a) yr (s )

W0

5 1 a hiba. 0. típusú (1 0,15)(0 0,5s ) 1 k Maradó hiba 1(t) hatására. ua(t)=I(t) egységugrás y ( s) 1 átviteli függvény 1. r ua (s ) 1 W0 y ( s) W0 2. ua ( s ) 1 W0 1. [mh,nh]=feedback(1,1,m0,n0) hívás visszacsatolásra 2. [m,n]=feedback(m0,n0,1,1) m0=5 n0=conv([0.1 1], [0.5 1]) step((mh,nh),m,n) sys1=ss(tf(mh,nh)) step(sys1,sys2) sys3=tf(m,n)

45

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Wb

1 s (1 0,1s)(1 0,5 s) s [1 0]

1. típusú, kiemelhet integráló

egységugrás hatására m0=1 n0=conv([1 0], conv([0.1 1], [0.5 1])) [mh,nh]=feedback(2,2,m0,n0) [m,n]=feedback(m0,n0,2,2) Feedback visszaható m1 n1

m2 n2

feedback(m1,n1,m2,n2) 1 el re 2 W0 vissza nincs maradó hibája sys2 kimen jel sys1 hibajel

W0 2 W0

Egységugrás hatására lsim (linear simulation) t=(0:0.1:10) u=t lsim(sys2,u,t)

1 Step

Gain

-45°-os egyenes

1

1

s-1

s-1

T ransfer Fcn

Transfer Fcn1

46

Scope

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Könyvtár -

simulink - continuous (alaptagok) - matemetika (gain, summator) - signals & systems (multiplexer) - sinks (scope) - solves (konstans, step, ramp)

step paraméterei: 1. típus

step szabályos jel

végérték

hiba

kezd érték

kezd érték végérték step

t

47

step


3.2. Stabilitás A rendszer azon tulajdonsága, hogy az egyensúlyi állapotában (mozgásából) kimozdítva képes-e újra egyensúlyba kerülni. A lineáris rendszerben ez egy rendszertulajdonság. A nemlineáris rendszerben viszont függ az alapjelt l és a munkaponttól is. Egyel re a lineáris esettel foglalkozunk. A stabilitás feltétele a zárt kör, az átviteli függvény nevez jének pólusai negatív valósrész ek legyenek. Az A mátrix sajátértékei, a det(sI-A)=0 egyenlet gyökei, a zárt átviteli függvény pólusai (a nevez gyökei) gyökei negatív valósrész ek Vizsgálat: a) Zárt körb l kiindulva: W0 W 1 W0 [m,n]=feedback(m0,n0,1,1) roots(n) a nevez gyökei 1 W0 s (0.1s 1)(0.5s 1) pzmap(m,n), grid komplex síkon: pólus, zérus alak az er sítést l függ a stabilitás is b) Felnyitott körb l kiindulva: +-

W1

W2

W0

W1 W2

Nyquist kritérium: 1. Egyszer sített: Ha W0 ( s ) -nek nincsenek jobboldali pólusai, a zárt rendszer aszimptotikusan stabilis, ha W0 ( j ) , a teljes Nyquist diagram nem vesz körül a ( 1 j 0) pontot. Im

N

Re

(-1+j0): a stabilitás határa

Stabilis

Labilis

48

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2. Általános: Ha W0(s)-nek jobboldali pólusai is vannak (labilis a felnyitott kör). A zárt rendszer stabilis, ha W0 ( j ) , a teljes Nyquist diagram, annyiszor fogja körül ( 1 j 0) pontot, az óra járásával ellentétes irányban, ahány jobboldali pólusa van W0(s)-nek. Bode alapján a stabilitás: (minimálfázisú rendszert feltételezve) B a 20 40

dB : stabilis D

dB : nem tudD

cut:

vágási frekvencia

juk megmondani 60

1

t: t

dB : labilis D

fázistöbblet 180 0 c stabilis

t

c

Van algebrai kritérium is, ennek neve: Hurmitz kritérium. 2003-11-13 Stabilitás feltétele, hogy az átviteli függvény gyökei legyenek negatív valósrész ek. Tervezni általában nyitott körb l lehet kényelmesen. ha a felnyitott körnek nincsenek jobboldali pólusai, akkor a felnyitott kör önmagában stabilis; ha vannak jobboldali pólusai, akkor a felnyitott kör önmagában labilis. A Bode diagramból is megállapítható a stabilitás: dB 20 -nél metszi a tengelyt: stabilis; D dB 40 -nél metszi a tengelyt: határeset; D dB 60 -nél metszi a tengelyt: labilis. D 49

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Mi van integráló tag esetén? 1 W0 ( s ) , ez egy integráló hurok. Pólusai: p1=-1; p2=-2(?); p3=0 s (1 s )(1 2s ) s sík

W sík

p3=0 eset ** -2

-1

0

* -1

s

j

s

r ej

Ha balról kerüljük ki

Ekkor a baloldali síkon van, mert jobbról kerültük ki

W W

* **

1 j 1 e r

j

Nincs jobboldali pólusa, és nem is veszi körbe a Nyquist diagram a (-1+j0) pontot, tehát a rendszer stabilis. Az általános Nyquist kritériumot kell alkalmazni: ha a felnyitott kör egyszer veszi körbe a (-1+j0) pontot, akkor a rendszer stabilis.

A háromtárolós tag Nyquist diagramja, egyszer sítve:

-1+j0

Egy rendszer lehet: Strukturáltan stabilis: minden pozitív paraméterre (er sítés - k, id állandó - T) stabilis; -1+j0

k

Feltételesen stabilis: bizonyos paraméter értéknél már labilis (k-ra szokás vizsgálni). W s

k s (1 sT1 )(1 sT2 ) A görbe helyzete a k-tól függ

50

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa: Stabilis-e a rendszer, ha ez a felnyitott kör átviteli függvénye? 10 10 W0 3 (0,1s 1)(0,5s 1)(2s 1) 0,1s 1, 25s 2 2,6s 1 m0=10; n0=conv([0.1 1],conv([0.5 1], [0.5 1])); margin(m0,n0); Bode Diagram Gm = 3.17 dB (at 6.63 rad/sec) , Pm = 10.5 deg (at 5.56 rad/sec)

50

0

-50

-100

-150 0

-90

-180

-270 -2

10

-1

10

10

0

10

1

2

3

10

10

Frequency (rad/sec)

Gm Pm= t

er sítési tartalék (hány rad/sec-nál) fázis többlet (milyen frekvencián 0 a fázis,

c)

Gyök-helygörbe: rlocus(m0,n0) Ezzel lehet megkeresni a zárt rendszer pólusait a felnyitott körb l kiindulva, változó er sítés esetén a körer sítés függvényében.

51

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak m0=10; n0=[0.1 1.25 2.6 1]; rlocus(m0, n0)

Root Locus

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20 -30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Real Axis

rlocfind(m0,n0) Szálkereszt. Jobb gombbal rákattintva a pontra megmondja az ottani er sítést. Az a k kritikus, ahol a fázistöbblet pontosan zéró. Keressük meg pontosan: próbálgatással! m0=1; script: pr1.m k=input('k='); (megáll a futó program értékkérésre) margin(k*m0,n0); Ha túlmegyünk a kritikus er sítésen, akkor kiírja hogy a rendszer nem stabil. Példa: Labilis nyitott körre. 1 2s W0 k Labilis, mert a nevez pozitív, így jobboldali gyöke van. 1 5s Lehet-e k-val stabilizálni? a) k>0 (negatív visszacsatolás):

52


ha =0 *

ha

W0

k

-2/5.k

W0=k 2 k 5

ha belülre kerül a (-1), akkor stabilis, ha kívülre, akkor labilis Feltétel: k

53

5 , ekkor stabilis! 2

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak b) k<0 (pozitív visszacsatolás): Akkor stabilis, ha k=-1! k =0

-1

2/5.k

W0 1 W0 1 2s 1 W0 1 k 0 1 5s 1 5s k (1 2s ) 0

Algebrailag:

W

Ennek a gyöke a rendszer pólusa is

1 k A pólus. Akkor negatív a pólus, ha a számlóló 2k 5 és a nevez is azonos el jel , tehát

s

k<-1 vagy k>5/2

SIMULINK simulink

Simulink Library Browser 2s+1

3

-5s+1 Step

Gain

Transfer Fcn

Scope

gain: 1 3 Szabályos, 0,7T-re áll. A hiba: 0,25( ) 1 k -2 Szabályos, 2-re áll. 0 Hiba 1. LASSÚ! W0 W 1 W0 k 2 Állandósult állapotban: W 2 1 k 1 2

54

(negatív visszacsatolás) (pozitív visszacsatolás)


3.3. Min ségi jellemz k Leng jelleg , van túllendülése

v(t)

5%

Aperiodikus

t tc

Fontos jellemz je a szabályozásnak a szabályozási id (tc): ez az az id , amíg a rendszer beáll a várt érték 5% -ára. Mit l függ? A pontosságtól: típusszám, huroker sítés; Stabilitástól: huroker sítés; Lengési hajlamtól: t (fázis többlet), minél kisebb annál leng bb a rendszer, minél nagyobb, annál aperiodikusabb; 3 10 Szabályozási id t l: c (vágási frekvencia), jó közelítéssel tc c

c

A szabályozás viselkedése a zárt kör pólusaitól függ (baloldali, jobboldali). Im 1 T0

0

Ha csak az egyik van, akkor biztosan aperiodikus a rendszer

Re

Ezek elég messze vannak (3 ), így a rendszer kéttárolós leng taggal helyettesíthet (átviteli függvénye: 1

1 Ts T 2 s 2

Domináns pólusok

)

cos cos Túllendülés: -tól függ {kb. =0,7 egy jó beállítás}

55

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa: 0.5 0.5 3 s (1 0.1s )(1 0.5s ) 0.05 s 0.6 s 2 m0=0.5 n0=[0.05 0.6 1 0] [m,n]=feedback(m0,n0,1,1) pzmap(m,n) W0

s

Pole-Zero Map

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4 -12

-10

-8

-6 Real Axis

56

-4

-2

0

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak damp(tf(m,n)) rlocus(m0,n0), sgrid Root Locus

20 0.76

0.64

0.5

0.34

0.16

0.86 15

10

5

0.94

0.985

25

0

-5

-10

15

20

10

5

0.985

0.94

-15 0.86 0.76 -20 -30

-25

0.64 -20

0.5

-15

-10

0.34

0.16 -5

0

Real Axis

A zárt kör frekvencia átvitel felnyitott körb l. W0 W ha W0>>1, akkor W=1 1 W0 ha W0<<1, akkor W=W0

B

a W0

c

W határ határ:

c

amíg az er sítés állandó

57

5

10

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak m0=0.5 n0=[0.05 0.6 1 0] [m,n]=feedback(m0,n0,1,1) sys=ss(tf(m,n)) sys0=ss(tf(m0,n0)) bode(sys, sys0) Bode Diagram

100

50

0

-50

-100

-150 0

-90

-180

-270 -2

10

-1

10

0

1

10

10

Frequency (rad/sec)

58

2

10

3

10


4.1. Követelmények, módszerek A rendszertechnikai méretezésnek szintézisnek a célja az adott követelmények megfelel szabályozási kör kialakítása. Magában foglalja a szabályozási struktúra és a paraméterek alkalmas kiválasztását. A tényleges létesítmény tervezésének ezen kívül számos nem kevésbé fontos eleme van (eszközök, környezeti hatások, üzembiztonság). Az ideális szabályozás: 1. Stabilis: megvalósítható ipari rendszerekben; 2. Statikus hiba zérus: adott típusú jelre eltüntethet , illetve korlátozható; 3. Alapjel, illetve zavarjel változáskor a tranziensek id tartama tart nullához: ez nem lehetséges, az id állandók (pólusok) hatása túlvezérléssel csökkenthet . ENNEK ÁRA VAN (mind technológiai mind mechanikai szempontból)! A holtid nem küszöbölhet ki! Tervezési módszerek: a) Automatizált: a követelményeket matematikai formában megadjuk, pl. rögzítjük a pólusokat. Ez a tervezési eljárás az el írások megadása után önm köd en határozza meg a kívánt rendszert. b) Interaktív (frekvencia) módszer: lépésr l lépésre, próbálgatással, tervez i döntéssel dolgozzuk ki a részeredményeket alapul véve általában m ködik. Id tartomány inkább automatizált

Frekvencia tartomány inkább interaktív

A stabilitást kell biztosítanunk, ezért alkalmazzuk a Nyquist (Bode) kritériumokat (kompenzálás, huroker sítés). Statikus hiba Szabályozási id

típusszám, k. c.

Túllendülés, aperiodikus viselkedés:

t,

illetve kéttárolós helyettesítése ( ).

Vizsgálni kell a túlvezérlést!

59


4.2. Szabályozó típusok Figyeli, hogy mennyi az aktuális hiba, és a szerint kompenzál: proporcionális irányítás; Figyeli a múltat: integráló hatás; Gondol a jöv re: deriváló hatás. Ezeket megvalósítja: ipari PID szabályozó. 1 Wc k 1 s Td s Ti Ez nem megvalósítható Helyette

Wc

1 s Ti

k 1

s Td 1 s T

v(t) Td T

k 1

Jó, ha

k Ti

Td állandó T

t

T

A három hatás összege:

Wc

k 1 s(Ti T ) s 2 Ti (Td Ti s (1 s T )

T)

Ebb l nem ajánlott tervezni.

Kezel szervek (általános szabályozó): P gomb

k-t állítja ( PB

Ti gomb Td gomb

Ti-t állítja; Td-t állítja.

Megvalósítható, ilyennel fogunk tervezni: Wc 1 s T1 : Fázissiettet tag 1 s T2

T1

1 100 % arányossági tartomány); k

k

1 s Ti 1 s T1 s Ti 1 s T2

T2 . 60

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Egy nagyon fontos egyenlet következik most. Ezzel az egyenlettel könnyen tudunk körer sítést számolni a továbbiakban, ha a méretezést papír-ceruza módszerrel végezzük. Bode diagram részlet: B a B a1 a2

Egyenes egyenlete (általánosan): y log a1 k log 1 log B log a2 a1 a2

2

log B

k=1, 2 k

k log

2

k log

2 1 1

k 1: k

k log

a x b

2:

dB D dB 40 D 20

Az er sítés körfrekvencia aránypár: a1 a2

2 1

61


4.3. Soros kompenzáció 2003-11-20

ua

Wc

u

Wp

y

A kompenzálás során stabilis rendszert akarunk létrehozni! Feltételei lehetnek: Statikus pontosság: típusszámtól és a huroker sítést l függ. Szabályozási id : vágási frekvencia. Lengési hajlam: t többletfázis. Túlvezérlés (umax).

4.3.1. Szabályozó tervezése arányos szakaszhoz (önbeálló folyamat). Konstans bemenetnél konstanshoz tart, nincs benne integrátor. 1. P kompenzálás Példa: Wp

1 (1 10s )(1 s )(1 0,2 s )

Tervezés: a) Papíron; b) MATLABbal; a) Papíron: a

0,1

1

5

kc 2

10

A tengelyre az id állandók (10; 1; 0,2) reciprokjait mérjük.

c

Nem rajzoljuk újra a diagramot, még a körer sítés meghatározása után sem. Az új 0 dB tengelyt eltoljuk lefelé kc-vel.

A P kompenzálás azt jelenti, hogy Wc csak egy konstans. Wc kc W0

kc W p

A felnyitott kör Bode diagramja. Ahol elmetszi az tengelyt, ott lesz az c. Az itteni fázisszögb l kivonjuk a 180°-ot, ez lesz a fázistöbblet ( t). Alkalmazzuk: a1 2 a2 1 62

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 0,9

c

1

a1 1

A logaritmus lépték miatt.

0,1

2

a2

kc

1 0,9 9 0,9 2 Tehát durva méretezéssel: kc=9. Milyen szabályozási id várható? 3 10 tc a1

a2

kc

1

c

c

3,3 tc

12

tc 7 s Mekkora a túlvezérlés? u max -tól, -ig: Wc k c

kc 1 W0

u (s) ua ( s )

Wu

ua(t)=1(t) u (0) Wu s

kc

b) MATLAB-bal mp=1; np=conv([10 1], conv([1 1], [0.2 1])); kc=9; margin(kc*mp, np) Bode Diagram Gm = 17.5 dB (at 2.37 rad/sec) , Pm = 54.1 deg (at 0.717 rad/sec)

50

0

-50

-100

-150

-200 0

-90

-180

-270 -3

10

-2

10

-1

0

10

10

Frequency (rad/sec)

63

1

10

2

10

3

10

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak c=0,71 t=54,53°

9

10s+1 10s

Step

Gain

Transfer Fcn3

1

1

1

10s+1

s+1

0.2s+1

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Transfer Fcn2

Scope

kc

ua

y (*)

hibajel

Maximális túllendülés? 1,2-0,9=0,3 *: amikor beáll 5%-ra az a szabályozási id (papíron ez 7s volt). mp=1; np=conv([10 1], conv([1 1], [0.2 1])); kc=9; [m,n]=feedback(kc*mp,np,1,1); [y,t]=step(m,n); (ekkor nem rajzol diagramot) max(y) 1.0775 a túllendülés roots(n) -5.2092 -0.4454 + 0.8726i A domináns póluspár. -0.4454 - 0.8726i

Mennyi a -ja? =cos A cél legyen az, hogy t=60°. Akkor addig kell változtatni kc-t, amíg VAGY 64

t

60° nem lesz.

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak van megadva. VAGY A túlvezérlés van megadva pl. 10-szeres c

kc=10.

A maradó hiba kiküszöbölésére: integrátor. 2. PI kompenzálás

a

Wp

1 (1 10 s)(1 s )(1 0,2 s )

Wc

kc 1

1 s Ti

kc

0,1

1 s Ti s Ti

1

5

10

kc 1/Ti

A tervezés lényege most, hogy hová tegyük az 1/Ti töréspontot.

c

Ti=10 kc=9 (mint el bb)

mp=1; np=conv([10 1], conv([1 1], [0.2 1])); mc=[10 1]; nc=[10 0]; [m0,n0]=series(mc,nc,mp,np); kc=input('kc='); ( t=60°-ra keresünk) margin(kc*m0,n0) kc=5 t=60,42° c=0,45 Ha kc=9, akkor t =46°, c =0,722. SIMULINK: kc=5

5 Step

Gain

10s+1

1

1

1

10s

10s+1

s+1

0.2s+1

Transfer Fcn3

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Transfer Fcn2

65

Scope


kc=9 9 Step

Gain

10s+1

1

1

1

10s

10s+1

s+1

0.2s+1

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Transfer Fcn2

Transfer Fcn3

PI tagnál a túlvezérlés maximuma nem t=0-ban van!

66

Scope

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 3. PD kompenzálás Wp

1 (1 10 s)(1 s )(1 0, 2 s )

Wc

kc 1

a

s Td 1 s T 1/T1

0,1

kc

1 s T1 ; 1 s T2

T1

T2

Fázis siettet tag.

1/T2

1

5

Azt kell elérni hogy a -20dB/Dos szakasz hosszabb legyen.

10

T1=1 T2=0,25

c=4

(T1/T2 lehet 5 10)

Nagyságrendileg a második legnagyobb együtthatójút kell kil ni. kc c kc 40 1 1 SIMULINK

40

s+1 0.25s+1

Step

Gain

Transfer Fcn3

1

1

1

10s+1

s+1

0.2s+1

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Transfer Fcn2

umax=160, ha kc=10.

67

Scope

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 4. PID kompenzálás Maradó hiba kiküszöbölésére I hatás, gyorsításért D hatás. 1 Wp (1 10 s)(1 s )(1 0, 2 s ) Wc

kc 1

Wc

kc

1 s Ti

s Td 1 s T

1 s Ti 1 s T1 ; s Ti 1 s T2

PIPD szabályozót alkalmazunk: T1

T2

a

0,1

1

5

10

c =3

kc 1

c 1

Ti

kc

30

10; T1 1; T2

0,1

1 10s 1 s 10 s 1 0,1s 1 s 30 1 300 0,1 umax 300 SIMULINK: 30

30 Step

Gain

s+1

10s+1

0.1s+1

10s

Transfer Fcn3

Transfer Fcn4

1

1

1

10s+1

s+1

0.2s+1

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Transfer Fcn2

68

Scope


A PI kompenzálást használják a leginkább, mert a maradó hiba eltüntethet . A D hatást ritkán használják, mert akkora lehet a túlvezérlés, hogy úgysem m ködik a valóságban. Csak nagyon kis értékekkel m ködik a D, tehát nem érdemes! 3 frekvencia tartomány: I

II

III

I: Állandósult állapotra jellemz , megmondható az állandósult állapotbeni hiba. II: c környéke. A szabályozás gyorsaságára jellemz , a szabályozási id re. III: Nagyfrekvenciás tartomány. Változatlan marad, nem kell vele foglalkozni. Nem lényeges, hogy milyen id állandók vannak itt, azok már nem kellenek. Pólus kidobás: A legnagyobb id állandót a Ti-vel jelöljük. A második legnagyobbat T1-gyel jelöljük. A W0-ban ezekkel lehet majd egyszer síteni. Ennek a hatása: A kidobott pólus vagy nem irányítható, vagy nem megfigyelhet . De a rendszer kimenetileg irányítható. Létezik labilis pólus: pl. Wp

1 (10 s 1) (1 5s )(1 s ) *

* Labilis pólus, mert a gyökei jobboldalra esnek. Ez már nem minimálfázisú rendszer. Ekkor nem szabad a tanult módon méretezni. Nem szabad póluskidobással kiejteni. 69


4.3.2. Szabályozó tervezése integráló szakaszhoz (folyamathoz) Wp

1 s(1 0,5 s)(1 0,1s) a

* 1

2

10

log

kc 1

c

1. P kompenzáció Wc=kc 2 c * c kc 1 kc 2 1 c 1 MATLAB mp=1; np=conv([1 0], conv([0.5 1], [0.1 1])); kc=2; margin(kc*mp, np) Bode Diagram Gm = 15.6 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 43.2 deg (at 1.56 rad/sec)

50

0

-50

-100

-150 -90

-135

-180

-225

-270 10

-1

0

1

10

10

Frequency (rad/sec)

t=43,2° c=1,56

70

10

2

10

3

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2. PD kompenzáció 1 s T1 Wc kc ; 1 s T2

T1

T2

a 1

2

10

20

kc c =8

T1

0,5

T2

0,05

kc

8

umax

80

3. PI kompenzáció 1 s Ti Wc kc ; s Ti

1 s (1 0,5s )(1 0,1s )

Wp

Maradó hiba.

Wc

Wp

()

1 s ( )( )

1 s

71

log

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2. típusú szabályozás. A zavarjel elhárító és alapjel követés javítása érdekében: integrátor alkalmazása. Probléma, hogy rögtön 40 dB -os töréssel indul 180°-os fázistolás. Mi lesz a fázistöbbD lettel?

90°

0°

1/Ti

2

10 controller

controller

-90° Integrátor -180°

-270° 0

process

Itt már van fázistöbblet process

Nem jó, mert nincs fázistöbblet p

ered

c

Im

-1+j0

Re

Az integrátort a 2-es id állandó elé kell tennünk (Ti-t a legnagyobb id állandótól nagyobbra vesszük), így lesz fázistöbbletünk. Kb. 1 D-dal tesszük balra. Az c a fázistöbblet csúcsánál legyen. Jelen esetben: a) Ti=5s (10 0,5s ). a 1 1/Ti=0.2

c

2

10

1/T1

1/T2

kc

1

72

1

log kc

0

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak MATLAB: mp=1; np=conv([1 0], conv([0.5 1], [0.1 1])); mc=[5 1]; nc=[5 0]; kc=1; [m0, n0]=series(mp,np,mc,nc); margin(kc*m0,n0) Bode Diagrams

Gm=20.473 dB (at 4.1952 rad/sec), Pm=47.699 deg. (at 0.92472 rad/sec) 150

100

50

0

-50

-100

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 10-3

10-2

10 -1

100

10 1

102

Frequency (rad/sec)

Balra kell tolni c-t, hogy maximális legyen a fázistöbblet. kc-vel kell variálni. kc=0.55; Bode Diagrams


100

50

0

-50

-100

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 10-3

10-2

10-1

Frequency (rad/sec)

73

10 0

101

102

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak t=51,5°;

c=0,56.

b) Tegyük 1/Ti-t másfél nagyságrenddel balra. Ti=15s (10 10 30; 30 0,5 ) mp=1; np=conv([1 0], conv([0.5 1], [0.1 1])); mc=[15 1]; nc=[15 0]; kc=1; [m0, n0]=series(mp,np,mc,nc); margin(kc*m0,n0) Bode Diagrams

Gm=21.229 dB (at 4.3818 rad/sec), Pm=56.168 deg. (at 0.90907 rad/sec) 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 10-3

10-2

10-1

100

101

102

Frequency (rad/sec)

kc=0,35; Bode Diagrams


50

0

-50

-100

-150

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 10-3

10-2

10-1

100

Frequency (rad/sec)

74

101

102

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak t=67° c=0,35. SIMULINK-ben 15s+1

0.3 Step

Gain

1

1

1

15s

s

0.5s+1

0.1s+1

Transfer Fcn2

Transfer Fcn

T ransfer Fcn1

Transfer Fcn3

Scope

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Lehet-e találni olyan kc-t, ahol nincs túllendülés? A gyök-helygörbével: rlocus(m0,n0), sgrid rlocfind(m0,n0) 4. PIPD kompenzáció a PD 1 1/Ti=0.2

2 1/T1

10 1/T2

1 15s 1 0,5s 15 s 1 0,05s MATLAB: mp=1; np=conv([1 0], conv([0.5 1], [0.1 1])); mc=conv([15 1], [0.5 1]); nc=conv([15 0], [0.05 1]); kc=0.3; [m0, n0]=series(mp,np,mc,nc); margin(kc*m0,n0) Wc

75

9

10

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Bode Diagrams

Gm=39.913 dB (at 14.071 rad/sec), Pm=75.105 deg. (at 0.30682 rad/sec) 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 10 -3

10 -2

10 -1

10 0

Frequency (rad/sec)

76

101

10


4.4. Holtid s szakasz kompenzálása Az ideális holtid s taggal helyettesíthet szakasz szabályozása a holtid s tag két alaptulajdonsága: A frekvencia átviteli függvényének amplitúdója a frekvenciától független. Túlvezérléssel nem gyorsítható, mert a holtid t okozó véges jelterjedési sebesség nem függ a bemen jel amplitúdójától. A holtid kezelése, az értéke szerint: Ha jóval kisebb, mint az id állandók: elhanyagolható (legalábbis az els lépésben). Ekkor a kompenzáló algoritmus és a vágási körfrekvencia kiválasztásakor nem jut szerephez. Ekkor úgy tekinthet , mint az id állandós tagok egyike, amelyek a zárt kör átviteli függvényében is megjelennek. 1 Ha összemérhet az id állandókkal: problémás eset. Ilyenkor h az , úgynevezett Th holtid s sarokfrekvencia, amely elmozdíthatatlan, korlátozza a felnyitott kör vágási frekvenciáját. Így ez a 60°-os fázistöbblet betartásával sem növelhet

h

fölé, ha a kör 2 csupán egyetlen integráló, vagy nagy id állandós egytárolós tagból áll. Ekkor a zárt kör m ködését a holtid és az emiatt hosszúra nyúló beállási id is lassítja. Ha jóval nagyobb, mint az id állandók: az id állandókkal nem foglalkozunk.

4.4.1. kompenzálás az eddig megismert tagokkal Az ideális holtid s tag (tiszta holtid ): Wp k p e s Th W p e s Th kp 1 N

1/Th

Im

0°

ap ( ) 1 Re

p

( )

log

-57.3°

Th

-90°

1. P szabályozó Ha kc 1 , akkor a felnyitott kör Nyquist diagramja: N

Im

Re

-1

Ha kc<1, akkor a Nyquist diagram nem veszi körbe a (-1+j0) pontot: stabilis! Ez esetben azonban túl nagy lesz a hiba. Alkalmazva a statikus hibára vonatkozó összefüggést: 1 1 hiba : EZ NEM JÓ SZABÁLYOZÁS! 1 k 2 77

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2. I szabályozó Az I szabályozó Nyquist-diagramja: N

A kompenzált holtid s tag Nyquist-diagramja:

Im

N

Re

Im

1

1 s Ti

Wc

W0

1 j

t

c

t

Ti 2

1 Ti

j

e c

2 Th

Th

Th t

2 Th t

Ti

3 6Th 60 6Th

3 2Th

MATLAB: Th=1; Ti=2; Bode, Nyquist mc=1; nc=[2 0]; [mh,nh]=pade(1,5); [m0,n0]=series(mh,nh,mc,nc); margin(m0,n0) bode(m0,n0)

78

Re

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Bode Diagrams

From: U(1) 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60

0 -100 -200 -300 -400 -500 -600 -700 -800 -900 -1000 10 -1

100

101

102

Frequency (rad/sec)

nyquist(m0,n0)

Nyquist Diagrams From: U(1)

60

40

20

0

-20

-40

-60 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real Axis

SIMULINK 1 2s Step

T ransfer Fcn

Transport Delay

79

Scope

0.4


Kéttárolós holtid s tag: e 5s Wp (1 s )(1 10 s ) 1 s Ti 3. PI szabályozó Wc s Ti a 0.1

0.2

1

Holtid Tároló Ered

0° Holtid -90°

Tároló

-180° Ered

1 10 s 10 s Papír-ceruza módszerrel nem méretezhet ! Wc

kc

80

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak mt=1; nt=conv([1 1], [10 1]); [mh,nh]=pade(5,5); [mp,np]=series(mt,nt,mh,nh); mc=[10 1]; nc=[10 0]; [m0,n0]=series(mp,np,mc,nc); kc=0.9; margin(m0,n0) Bode Diagrams


0

-50

-100

0

-500

-1000

-1500 10-3

10-2

10-1

100

101

Frequency (rad/sec)

SIMULINK

0.9 Step

Gain

1

10s+1

10s2+11s+1

10s

Transfer Fcn1

Transfer Fcn

81

Scope Transport Delay


82


4.4.2. A kompenzálás új módszere: Smith-prediktor

Wt

Wc

e

s Th

Nem valóságos!

Valóságos!

Wcs

Wt e

s Th

Wcs: Smith controller Wcs Wt e

s Th

1 Wcs Wt e

Wc Wt

s Th

1 Wc Wt

e

s Th

s Th

Wcs 1 Wc Wt

Wc 1 Wcs Wt e

Wcs 1 Wc Wt

Wc Wc Wcs Wt e

Wcs 1 Wc W Wc Wt e Wcs

s Th

s Th

Wc

Wc 1

1 e

s Th

Wc Wt

Ez az egyenlet által meghatározott tag megfelel következ nek: Wc

1 e

s Th

Wcs Wt

A szabályozót, tehát a holtid nélküli részhez kell méretezni. Majd a fenti formulával határozható meg a Smith-szabályozó. e 5s ; (1 s )(1 10 s ) 1 Wt (1 s )(1 10 s ) 1 10 s Wc 10 s

Ehhez kell PI kompenzáció. Ehhez keressük kc -t.

83

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak mt=1; nt=conv([1 1], [10 1]); [mh,nh]=pade(5,5); [mp,np]=series(mt,nt,mh,nh); mc=[10 1]; nc=[10 0]; [m0,n0]=series(mp,np,mc,nc); kc=0.9; margin(kc*m0,n0) Bode Diagrams


0

-50

-100

0

-500

-1000

-1500 10-3

10-2

10-1

100

101

Frequency (rad/sec)

SIMULINK:

7 Step

Gain

10s+1

1

10s

10s2 +11s+1

T ransfer Fcn

T ransfer Fcn1 1 10s2 +11s+1 Transfer Fcn2 T ransport Delay1

84

Scope T ransport Delay


85


4.6. Kompenzálás visszacsatolással A visszacsatolásos kompenzálás tipikusan: ua

-

kc

I.

-

II.

Wp

y

Wv

Ezeket kell méretez-

A feladat a kc (soros er sítés) és a Wv (visszacsatoló tag) meghatározása úgy, hogy jól közelítsünk egy megadott W0-t (hurokátviteli függvényt) az 1 2 tartományban. Ha I.-t l II. pontig felírjuk az átviteli függvényt: Wp 1 , ha W p Wv 1 1 W p Wv Wv W0 Ekkor: Wv

kc kc W0

1 Wv

, és biztosítani kell, hogy W p Wv

1

Wp W0

kc

1.

Lépések: 1. Felrajzolni a

Wp W0

Bode diagramját az el írt frekvenciatartományban.

2. kc megválasztása, hogy kc 3. Wv

kc W0

Wp W0

1 legyen.

realizálható legyen.

86

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa: m0=1; n0=conv([1 0], [0.33 1]); margin(m0,n0) Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=72.527 deg. (at 0.95386 rad/sec) 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100

-80

-100

-120

-140

-160

-180 10-2

10-1

100

101

102

Frequency (rad/sec)

3 s 1 10 s 1 0,33s 1 Legyen W0 ,0 3s 1 . s 1 0,33s Ez annak felel meg, mintha PD-vel kompenzálnánk Wp-t. Wp

Wp W0

3 Bode diagramja: 1 10 s Realizálható s Td 1 s T Td 10

a

T

3

Wv

kc

0,1

1

3

10

0,1 10 s 1 0,1s

Az új 0 dB tengely Wp W0

De miel tt méretezzük, nézzük meg stabilis-e (strukturálisan, feltételesen)? Ez strukturálisan stabilis. A fázistöbblete, t=72°

87

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 3 3kc 0,1 1 kc 10

-

10

Wp

-

10 s 1 0,1s

kc 10 s 1 0,33s . Ez nem realizálható, mert a számláló fokszáma nagyobb, W0 mint a nevez fokszáma. mp=3; np=conv([1 0], conv([10 1], [0.33 1])); mv=[10 0]; nv=[0.1 1]; [m0,n0]=feedback(mp,np,mv,nv); kc=10 margin(kc*m0,n0) Wv

Bode Diagram Gm = 6.8 dB (at 2.94 rad/sec) , Pm = 73.6 deg (at 1.07 rad/sec)

50

0

-50

-100

-150 -90

-135

-180

-225

-270 -1

10

10

0

10 Frequency (rad/sec)

88

1

10

2

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak SIMULINK:

Step

Scope

4

10

3.3s3 +10.33s2 +s

Gain

T ransfer Fcn 10s 0.1s+1 Transfer Fcn1

Ugyanez soros PD szabályozóval:

-

kc

Wc

10 s 1 0,2 s 1 Mekkora a túlvezérlés? Wc

89

Wp


0.5 Step

Gain

10s+1

3

0.2s+1

3.3s3 +10.33s2 +s

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

Scope

A PD jobb, mert kisebb túlvezérléssel m ködik. Másik értékelési szempont: Mennyire érzékeny a paraméterváltozásra?

10 Step

Gain

4 3.3s3 +10.33s2 +s T ransfer Fcn 10s 0.1s+1 Transfer Fcn1

90

Scope


10s+1

3

0.2s+1

3.3s3+10.33s2+s

Transfer Fcn

Transfer Fcn1

0.5 Step

Gain

A visszacsatolás érzékenyebb, mert az

c

Scope

a fázisdiagramban a görbe meredek szakaszán van. 91


4.7. Zavarkompenzáció Akkor adjuk rá, amikor már beállt a kimenet.

Wcz

ua

-

Wc

PIPD szabályozó tervezése, 1 s Ti 1 s T1 Wc s Ti 1 s T2 Ti

2

T1

0,3

u

-

uz

1 1 0,3s

t=60°

1 1 2s

+

y

legyen:

T2 0,03 m1=1; n1=[0.3 1]; m2=1; n2=[2 1]; mc1=[2 1]; nc1=[2 0]; mc2=[0.3 1]; nc2=[0.03 1]; [mp,np]=series(m1,n1,m2,n2); [mc,nc]=series(mc1,nc1,mc2,nc2); [m0,n0]=series(mp,np,mc,nc); kc=45; margin(kc*m0, n0) Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=59.753 deg. (at 19.437 rad/sec) 100

50

0

-50

-100 -80 -100 -120 -140 -160 -180 10-2

10-1

100

Frequency (rad/sec)

92

101

102

103

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Méretezés: Wcz

1 0,3s 1 0,03s

2s+1

0.3s+1

1

1

2s

0.03s+1

0.3s+1

2s+1

T ransfer Fcn3

T ransfer Fcn2

T ransfer Fcn1

T ransfer Fcn

45 Gain

Step

45 Step

Gain

Scope

2s+1

0.3s+1

1

1

2s

0.03s+1

0.3s+1

2s+1

Transfer Fcn3

Transfer Fcn2

Transfer Fcn1

Transfer Fcn

Step1

93

Scope


45 Step

Gain

2s+1

0.3s+1

1

1

2s

0.03s+1

0.3s+1

2s+1

Transfer Fcn3

Transfer Fcn2

Transfer Fcn1

Transfer Fcn

0.3s+1 0.03s+1 Transfer Fcn4

Step1

94

Scope


4.8. Kaszkád szabályozás uz ua

Wc1

-

Wc2

-

u

1 1 5s

+

1 1 2s

Ökölszabály: A bels kört l gyorsítást várunk el (P, PD). A küls kört l zavarkompenzálást (PI). Bels kör: a

PD

0.2

1

c=3

kc

Wp

Wc1

1 5s 1 s kc

1 3

A túlvezérlés a bels körben: kc

T1 T2

3 5 15

A bels kör ered je: 1 5s 1 3 1 s 1 5s W1 1 5s 1 1 3 1 s 1 5s [m01,n01]=series(3*[5 1], [1 1], 1, [5 1]); [m1,n1]=feedback(m01,n01,1,1); printsys(m1,n1) num/den = 15 s + 3 ---------------5 s^2 + 21 s + 4 95

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak minreal(tf(m1,n1)) Transfer function: 3 ----s + 4 3 3 1 Tehát W1 s 4 4 1 0, 25s A küls szabályozó méretezése: A küls szabályozó szempontjából a folyamat: 3 1 1 W2 4 1 0,25s 1 s PI szabályozó: 1 s Wc 2 kc s Keressük meg a kc-t, ha t=60°! m=[0 3]; n=4*conv([0.25 1], [1 1]); mc=[1 1]; nc=[1 0]; [m0,n0]=series(m, n, mc, nc); kc=3.5; margin(kc*m0, n0) Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 60.3 deg (at 2.28 rad/sec)

40

20

0

-20

-40

-60 -90

-135

-180 -1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

96

2

10


4.9. Szabályozók kísérleti beállítása 4.9.1. Ziegler-Nichols módszer Ez a módszer min ségileg akkor elfogadható, ha a lengés amplitúdója periódusonként felez dik. A módszer lényege, hogy az önbeálló jelleg szabályozást a huroker sítés növelésével (P szabályozás) állandósult lengés állapotába hozzuk. A stabilitás határhelyzetében megmérjük a lengések periódusidejét és a beállított kritikus huroker sítést: Tkrit : A lengés periódus ideje, kritikus esetben. kkrit : A beállított kritikus huroker sítést. A különböz paraméterek beállítandó értékei K Ti kc 0.5 kkrit

P

Pl.: Wp

21s

PI

kc

0.45 kkrit

Ti

0.8 Tkrit

PID

kc

0.6 kkrit

Ti

0.5 Tkrit

4

Td

Td 0 0 0.125 Tkrit

1 : 48,5s 38s 2 11,5 s 1 3

kc=6,83 T=13 sec 6.83 Step

Gain

1 21s4 +48.5s3+38s2 +11.5s+1 T ransfer Fcn

97

Scope

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Erre PI kompenzációt: kc=3.2 Ti=11 sec 3.2 Step

Gain1

11s+1

1

11s

21s4 +48.5s3+38s2 +11.5s+1

T ransfer Fcn1

T ransfer Fcn

98

Scope


4.9.2. Oppelt módszer Fölvesszük a szakasz átmeneti függvényét. Majd ezt egy egytárolós holtid s taggal közelítjük az e s Th ábrán látható módon: W 1 s T v(t)

T

Th

v(t)

T

t

t Th

A különböz paraméterek beállítandó értékei T T T kc ; kc ; i kc ; d Th Th Th P

0.7

PI

0.6

3

PID

0.9

2.2

0.4

Az átviteli függvény bemenetére egységugrást adunk, majd leolvassuk T-t, és Th-t.

99

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2004-02-19 Alapfogalmak, ismétlés Vezérlés: Nyílthurkú irányítás, ekkor ismerjük a zavarjelet. Szabályozás: Olyan visszacsatolt folyamatirányítás, ahol nem ismerjük a zavaró jelet. Visszacsatolást alkalmazunk, hogy ellensúlyozzuk a zavart. Alapjel: A rendszer bemen jele. Szabályozott jel: A szabályozott rendszerünk kimen jele. Rendelkez jel: Alapjel rendelkez jel különbsége. Ellen rz jel: A visszacsatolt szabályozott jel. Irányító jel / Végrehajtó jel: A szabályozó kimen jele. Túllendülés: A szabályozott jel túllendülése az alapjel értékén. Túlvezérlés: Az irányító jel túllendülése az 1-en. Kimenet Átviteli függvény , Laplace transzformált alakban. Bemenet Átmeneti függvény: Az egységugrásra adott válasz. Kimenet Frekvencia függvény . Mindkett szinuszos függvény. Vesszük mindkett Bemenet komplex alakját (Bode, Nyquist). Az átviteli függvény és a frekvenciafüggvény alakilag hasonló. Egy tag akkor arányos tag, ha nincs kiemelhet s, sem a számlálóban sem a nevez ben. Ha van, akkor ahányad fokú, annyi tárolós. Csak az realizálható, ahol a számláló kisebb, vagy azonos fokszámú, mint a nevez . Holtid : A véges jelterjedési id miatt lép fel. Ennek nem törtfüggvény az átviteli függvénye ( e s Th ). Stabilitás: Egyensúlyi állapotából kilendítve visszatér-e eredeti állapotába. A rendszer mozgása lehet: Sajátmozgás; Gerjesztett mozgás. A rendszer stabilitása, ha ismert az állapotegyenlete: Vesszük az A mátrix sajátértékeit, ezeknek negatív valósrész eknek kell lenniük. Ha ismert az átviteli függvény, akkor vesszük a nevez gyökeit, ezeknek negatív valósrész eknek kell lenniük. Ezek azonosak a sajátértékekkel. Zárt rendszert kell vizsgálni! (Azért kell negatívnak lenni a valósrészeknek, mert a pólusokat visszatranszformálva csak így fog csillapodni.) Frekvencia módszernél a felnyitott kört kell vizsgálni. A stabilitási kritérium a Nyquist kritérium. A szabályozások tulajdonságai: Az alapjelet jól kövesse, és elhárítsa a zavarjelet. Ez min ségileg a szabályozás típusszámától függ (hány integrátor van benne), mennyiségileg a huroker sítést l. Smith prediktor: Holtid kompenzálásra használatos. Ezzel a módszerrel egy gyors szabályozás építhet . A zavarkompenzáció feltétele, hogy ismerjük a zavaró jelet. A zavarjelr l lecsatolunk. A kaszkádszabályozás feltétele, hogy a szabályozáson belül is tudjunk mérni. A bels kört gyorsítjuk, a küls körben zavart kompenzálunk.

100


5.1. Alapfogalmak Az el z témakörökben az úgynevezett lineáris, LTI (Linear Time Invariant) rendszerekkel foglalkoztunk. Ezek autonóm rendszerek: x A x B u y C x D u De a paraméterek id ben változhatnak, s ett l még lineárisak maradnak. Ezek már nem autonóm rendszerek: x A t x B t u y

C t x D t u

Csáki Frigyes professzor szerint: Minden fizikai rendszer alapjában véve nem lineáris és a paraméterei is az id ben többé, kevésbé változnak. Tehát az állapotegyenlet a következ képpen módosul, ha nem autonóm a rendszer: x f x, u , t y

g x, u , t

Ha id -invariáns, akkor: x f x, u y

g x, u

A nemlineáris rendszerek m ködését, nemlineáris egyenlet, egyenletrendszer, nemlineáris differenciálegyenlet, differenciálegyenlet-rendszer, nemlineáris függvénykapcsolat írja le. Ebb l következik, hogy a szuperpozíció nem alkalmazható! Fontos tulajdonságok: 1. Kimenet lefolyása, függ U nagyságától és a kezdeti feltételekt l. (A lineáris rendszernél nem.) 2. Stabilitás függhet a bemen jelt l, kezdeti feltételt l. (A lineáris rendszernél ez egy rendszer tulajdonság.) 3. Statikus hiba sokszor nem számítható pontosan, csak megadhatók a változásainak korlátai. (A lineáris egyenletrendszerekben pontosan, könnyen számítható.) 4. Harmonikus kimen jelnél fel-harmonikusok, szub-harmonikusok lehetnek. (Lineáris rendszernél ugyanaz, mint a bemenet frekvenciája.) 5. Rezonancia: A frekvencia menetben ugrás lehet. (A lineáris rendszer frekvencia menete 1 folytonos, pl.: két tárolós leng tag: W s ). 1 2 T s T 2 s2 6. Határciklus: Állandósult lengést végez, lehet nemszinuszos is. (Lineáris rendszerekben nincs).

101

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A nemlinearitások osztályozása: 1. Statikus jelleggörbék szerinti osztályozás: a) Folytonos szakaszos b) Folytonos: differenciálható nem differenciálható c) Szakadásos: egyérték többérték 2. Id beli viselkedés szerinti osztályozás: a) Lassan változó: mágnesezési görbe b) Gyorsan változó: rakéta vezet szárnyain ébred er hatás felszálláskor

102


5.2. Esettanulmány: H mérsékletszabályozás és modellezése Ug=áll.

Alapjel szabályozó

H elem Kemence Telj. er sít

Szervo motor

H mérsékleti távadó

Áttétel q gáz Szabályozó szelep

kc=kc

k1=2

h1

i2 AK

J

k 2/s=1/30s

k3=1

u1 TE

k4=1 h2

M

Á

k5=1

k6=1

K

H

q Sz

k7=1 u2

i1 TA

0..20mA 0..10mA

24V 24V (2-es szorzó) Ezt vesszük szabályozott jellemz nek, a folyamatba beleértjük H+TA-t is.

Gyakorlati értékek: : 800 1000 C° 0...1 3 m qmax: 1.8 h mV H: NiCr-Ni, 41.31 (1000°C-nál 41.31mV) 0...1 1000C u2: 33.05 (800°C) 41.31 mV (1000°C) i1: 020 mA-ig terjed egységes jeltartományú áram. 0...1 h1: 0300°-ot fordul. i2: 0 20 mA 0...1 u1: 24V ford . Motor: 24V, 3.5A, 3000 min 1 ford . : , = 03000 -b l számítható s min Á futási ideje 30 sec. h2: 010 mm 0...1 3 m Sz: 1.441,8 (lineáris közelítés) 0...1 h Elegend -e ez? Kell tartalék. Mi van alul (1.44 alatt)?

103

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Er sítések kiszámítása: 48V k1 20 mA rad 2 50 sec k2 24V mm 10 ford k3 30 2 50 3 m 0.36 h k4 10 mm 1000 C 800 C k5 m3 0.36 h mV 41.31 33.05 C k6 1000 C 800 C 20mA k7 mV 41.31 33.05 C Áttérés relatív egységekre: A nemlineáris rendszerek általánosan: normálás általánosan: y0

y1

k1

Lineáris esetben: y1max k1 y0max y2max y1max Relatív egységek: k2

y0 rel y1rel y2 rel

y1min y0 min

y1 y0

y2min y1min

y2 y1

y0 y0max

y0min

y1 y1max

y1min y2

y2max

y2min

y2

k2

y0 rel y1rel y2 rel

y0 max

y0 y0min

y1max

y1 y1min

y2 max

y2 y2min

104

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Er sítések relatív egységekben: y1 y1rel y1max y1min k1rel y0 y0 rel y0max y0min

1

HA A JELTARTOMÁNYOK ILLESZKEDNEK y2 y2 rel y2max y2min 1 k2 rel y1 y1rel y1max y1min Ekkor minden er sítés egységnyi! A kimen és bemen jeltartományok (dobozok között) ugyanakkorák.

Vigyázni: az integrátornál és ott, ahol egyoldalas kétoldalas áttérés van. 020mA

-24V024V

egyoldalas

kétoldalas

Unipoláris jeltartomány

bipoláris jeltartomány

A dinamika: a) Teljesítményer sít : PWM (impulzus szélesség moduláció), 20 kHz, millisecundum alatti tranziensek. Gyakorlatilag id késés nélküli (a kemencéhez képest, ami sokáig f t), lineáris. W1 1 b) Egyenáramú motor: (lineáris közelítéssel) mt At 1 s Tv 1 s Tm s 2 Tm Tv

ua

Am 1 s Tm s 2 Tm Tv

A motor er sítése:

Am

A terhel nyomaték:

At

Mechanikai id állandó:

Tm

Villamos id állandó:

Tv

1 k1 Ra k1 k2 Ra k1 k2 La Ra

105

2

2

Ra : : : La : k1 , k2 :

armatúra ellenállás fluxus inercianyomaték armatúra-induktivitás motor-állandók

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Számítások: rad 50 sec Am 24 V 1. Ra 5(nagy motor)-10(kis motor)%-a a névleges U -nek I 24V Ra 0.1 0.68 3.5 A SI rendszerben k1 k2 rad At Ra Am2 At 116.3 sec Nm La 0.6 mH méréssel 2

Tv

0.88m sec

Tm ... függ Tm Tv , nálunk 20m sec A motor átviteli függvénye: 1 1 W2 5 1 0.02 s 1.7 10 s 30 s A motor nemlineáris: változik (mágnesezési görbe) c) Áttétel: W3

minden változik.

k3 1 . Nemlinearitás: kotyogás, súrlódás.

d) Szelep: Szerkezeti jelleggörbe (nyitási jelleggörbe): A h f1 Amax hmax Átfolyási jelleggörbe: q h f2 qmax hmax f1

f2

Szelep-jelleggörbe lehet: nemlineáris (a gáz összenyomható nyagoljuk el, tehát: W4 k 4 1

dinamika), de ezt ha-

e) Kemence: Általában nemlineáris (800°C-on nem ugyanannyi gázt kell elégetni, mint 950°C-on ugyanannyi h mérsékletemelkedéshez). DE egyel re vegyük lineárisnak! Dinamikája: v(t)

t

106

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Közelítsük kéttárolós leng taggal: 1 W5 1 50s 1 300s f) H elem: W6 g) Távadó: W7

1 1 s 1 10s 1 Elhanyagolható az a néhány

sec amit késleltet.

Nemlinearitás lehet tehát: Motor Áttétel Szelep Kemence A leegyszer sített hatásvázlat:

ua -

kc

J

1 15

1 5

s 1 0.02 s 1.7 10 s

1 1 s 1 10s

2

1 1 50 s 1 300 s

y

Linearizált hatásvázlat.

A folyamat átviteli függvénye: Wp s

15 s 1.7 10

5

1 0.02 s 1 50 s 1 300 s 1 10 s 1 s 1

A 1.7 10 5 0.02 s 1 elhanyagolható. 15 s Ti s 50 s

T2 s

300s

T1 s

10 s

T3 s

s

T4 s

Wp

1 15s 300s 1 50s 1 10s 1 s 1

107


a

1/T1 0.001

PD:

Wc s

1/T2 0.01

kc

1 s T1 1 s T2

T1 T2

108

1/Ti

1/T3 0.1

1/T4 1

log


kc

-

1 s Ta 1 s Tb

1 15s

1 1 300 s 1 50 s 1 10 s 1 s

Ta=300sec Tb=30sec mp=1; np=conv([300 1], conv([50 1], [10 1])); mm=1; nm=[15 0]; [m,n]=series(mp, np, mm, nm); mc=[300 1]; nc=[30 1]; [m0,n0]=series(mc,nc,m,n); kc=0.1; margin(kc*m0,n0) Bode Diagrams Gm=14.719 dB (at 0.020851 rad/sec), Pm=58.484 deg. (at 0.0062429 rad/sec) 100

50

0

-50

-100

-150 0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Frequency (rad/sec)

Most vizsgáljuk meg szimulációval: SIMULINK

1/150 Alapjel

Motorerõsítés

300s+1

1

1

30s+1

s

150000s3 +18500s2 +360s+1

PD

Motor

Folyamat

109

Oszc.


Bemenet

Kimenet

Hibajel

Túlvezérlés

Túllendülés: 1.1 (ymax) Hibajel: 0 (yr) Túlvezérlés: 1/15 (u) De a túlvezérlés nem jó! Nem lehet összevonni az er sítéseket! A javított folyamatunk:

0.1 Alapjel

kc

300s+1 30s+1 PD

1/15 Motorerõs.

1

1

s

150000s3 +18500s2 +360s+1

Motor

110

Folyamat

Oszc.

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Most pedig tuningoljuk a szabályozásunkat! Változtassuk meg a PD nevez jét: 300 s 1 , ehhez új körer sítést kell keresnünk: 15 s 1 Bode Diagrams Gm=13.935 dB (at 0.026726 rad/sec), Pm=52.938 deg. (at 0.0090007 rad/sec) 100

50

0

-50

-100

-150

0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

10

Frequency (rad/sec)

mp=1; np=conv([300 1], conv([50 1], [10 1])); mm=1; nm=[15 0]; [m,n]=series(mp, np, mm, nm); mc=[300 1]; nc=[15 1]; [m0,n0]=series(mc,nc,m,n); kc=0.15; margin(kc*m0,n0) Szimuláció:

0.1 Alapjel

Kc

300s+1 15s+1 PD

1/15 Motorerõs.

1

1

s

150000s3 +18500s2 +360s+1

Motor

Folyam at

111

Oszc.


Sokkal hamarabb beáll a rendszer, de megn tt a túlvezérlés (u=3)

112


5.3. Munkaponti linearizálás Nemlineáris rendszerre általánosan néhány fizikai, kémiai, stb. alapelv mondható ki. Részletesebb következtetések bizonyos alapon például a nemlinearitás jellege szerint szelektált csoportokra vonatkoztathatók. Konkrét eredményekhez nemlineáris differenciálegyenletek analitikus vagy numerikus megoldásain vezet az út. A megoldás egyedi jellege miatt egyes paraméterek hatása rendkívül nehezen értékelhet . A lineáris közelítésnek a matematikai egyszer sítésen túl éppen az a jelent sége, hogy nagyobb áttekintést biztosít. x

f x, u , t

y g x, u , t A munkapont környezetében kis változásokat tételezünk fel. A m szaki gyakorlatban 010%. A munkapont: x0 t u0 t y0 t A változások: x t u t y t x

x0

x

u

u0

u

y

y0

y

x0

f t , x0 , u0 ;

x0

x

f t , x0

x, u0

u

y0

g t , x0 , u 0 ;

y0

y

g t , x0

x, u 0

u

x

f t , x0

x, u 0

u

f t , x0 , u0

f * t , x, u

y

g t , x0

x, u 0

u

g t , x0 , u0

g * t , x, u

x

f x t , x0 , u0

x

fu t , x0 , u0

u

A t

x B t

y

g x t , x0 , u0

x g u t , x0 , u0

u

C t

x D t

Ha id -invariáns a rendszerünk, azaz

x

f x, u

y

g x, u

Ez az ún. perturbált rendszer.

u u

, akkor:

Ha követ szabályozás: x0 t , u0 t , és y0 t , tehát a rendszer mozog Ha értéktartó szabályozás: x0 , u0 , y0 A, B, C , D , tehát minden konstans.

113

A t , B t ,C t , D t

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak f1 x1

.

.

.

. A

f x t , x0 , u0

f1 xn .

.

.

.

.

fn x1

.

.

.

Ezek a Jacobi mátrixok (parciális deriváltakból álló mátrixok)

fn xn

Gyakori, hogy a nemlinearitás statikus jelleggörbével jellemezhet . Ekkor a nemlineáris tag gondolatban egy nemlineáris statikus összefüggést reprezentáló N u részre és egy a tranziens viselkedést leíró W s lineáris részre bontható. N u úgy fogható fel, mint olyan arányos tag, amelynek átviteli tényez je az u bemen jelt l függ. Linearitás helyettesítésének két szokásos módszere a munkaponti linearizálás (linearizálás az id tartományban) és a leíró függvény (harmonikus vagy frekvencia tartománybeli linearizálás). u

N(u)

W(s)

Nemlin.

Lineáris

Pl.: egyenáramú motor hatását Am-ben figyelembe vesszük, de Tm és Tv állandó

Statikus jelleggörbe

Ha az y

y u nemlineáris statikus függvény az u0 , y0 koordinátájú munkapontban diffe-

renciálható, akkor e pont környezetében a görbét érint jével, illetve a függvényt Taylor sorának lineáris részével helyettesítve: dy y y0 u u0 du u u0 lineáris összefüggés áll fenn, amely a munkaponttól való y tekintve változóknak lineáris arányos taggal szimbolizálható: y k u0 u

y

y0 és

u

u u0 eltéréseket

A k átviteli tényez a görbe munkaponti differenciálhányadosa a munkaponti koordinátáktól függ. Az ilyen tagot tartalmazó rendszerekben e munkapont-függés a visszacsatolásokon keresztül egyéb paraméterekre is kiterjed.

114

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak y

y

k u0

u

k u0

y

tg

y0

x u

u0

A lineáris közelítés a kisjel helyettesítés feltétele az, hogy a vizsgált folyamatban az y , illetve az u jelek maximális értékei a munkapont olyan sz k sávjában maradjanak, amelyben az érint vel való közelítés még megengedhet . A folyamat nemlineáris jellege abban mutatkozik, hogy más munkapontra áttérve megváltoznak a rendszer paraméterei. Ezt a kompenzáció méretezésénél figyelembe kell venni. Nem alkalmazható a módszer szakadásos vagy többérték jelleggöbére. A munkaponti linearizálás több bemen változótól való függés esetére is igaz. A jelleggörbe megfelel je ilyenkor többváltozós felület (hiperfelület), amelyek munkaponti linearizálása a többváltozós érint síkkal való helyettesítését jelenti. Például y y u1 , u2 két bemen változó esetére: y u10 , u 20 y u10 , u 20 u u1 u2 k1 u10 , u20 u1 k2 u10 , u20 u2 u1 u2 Szelepek vizsgálata: h qki

A Amax

f1

h hmax

: Szerkezeti jelleggörbe.

Szelep-ülés: A

q

f2

h

qmax hmax Ez az átfolyási jelleggörbe. A lekerekítés kb. 5-ös. Ekkor lineáris a szelep.

115

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Szokásos jelleggörbék: y

Lineáris jelleggörbe

1

y

h

u

u

hmax A Amax

y

Egyenszázalékos: y ke u y ln y ke u C

0

u

1

y

Egyenszázalékos jelleggörbe

A0 eke u

y

1

A0 e ke ke : egyenszázalékos áll.

u e ke

y ke

1% 0

u

1

Az egyenszázalékos szelep alkalmazása például két folyadék összekeverésekor: Víz Sav

Alkalmazásának másik oka: A szelep jelleggörbe torzul. Ekkor a torzulás ellensúlyozható az egyenszázalékos jelleggörbével. Ha nagy a cs ellenállás. Ilyen jelleggörbe kell. Ilyen szelep kell.

A mi esetünkben használt szelep egyenszázalékos szelep, ke 1 3u y e e3 SIMULINK:

3 . Tegyük be a modellünkbe!

f(u) Alapjel

Szelep--jelleggörbe

Oszc.

t

y

T o Workspace t

T o Workspace y

116

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak plot(t,y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0.15 Alapjel

Erõsítés

300s+1 15s+1 PD

1/15 Motorer.

1 s Motor

0

0.1

0.2

f(u) Szelepjelleggörbe

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1

0.8

0.9

1

Oszc.

150000s3 +18500s2 +360s+1 Folyamat

Így nem szabad modellezni! Munkapontban, kis változásokra nézzük! A munkapontunk: ys=0.25, ez 850°C.

117


Így a kimenetünk:

Az integrátor kimenete a szelep bemenete. Az integrátor kimenetét csak úgy tudjuk meghatározni, ha visszaszámoljuk a szelep egyenletéb l. y e 3 e 3u 0.25 0.25 e 3 e 3u 0.25 e 3u e3 0.25 ln 3 3u e 1 0.25 u ln 3 0.538 3 e y

A munkapontunk most legyen 0.75 (950°C). 0.75 e 3 e3u ln 0.75 ln e 3 ln e3u ln 0.75 3 u 0.904 3 Ekkor a kimenetünk:

118


0.25-ös munkapont: ysmax=0.305 0.75-ös munkapont: ysmax=0.83 TANULSÁG: A legnagyobb meredekség helyre kell méretezni a rendszert. Worst Case! Ha ott jó, akkor kisebb igénybevételnél is jó lesz! A kemence hatása: yk

A kemence jelleggörbéje Look-up table

uk

uk=[0 0.03 0.07 0.12 0.19 0.28 0.38 0.5 0.64 0.8 1]; yk=0:0.1:1; Ezt a szelep után tesszük. Maradunk a Worst Case esetben. A ki0.85-re. A szelep után az menete legyen 0.8, az alapjel 0.8 érték 0.64. Ehhez szükséges a szelep bemenete (vagyis az integrátor kimenete): 0.64 e 3 e3u 0.64 3 u 0.851 3 Az el z

2004-03-04 rendszert megvizsgáljuk két munkapontban: 0.2; 0.8. 119


0

0 0.15

Bemenet 0.2-0.3

0

0 0.15

Bemenet 0.8-0.9

Erõsítés PD 0.8

Motor 0.2

0 300s+1 15s+1 PD 0.8

Szelep 0.2

0.851

Motor 0.8

0.8

f(u)

s

TE, M erõsítés 0.8

1.5e+005s3+18500s2 +360s+1 Kemence Kemence 0.2 nemlinearitása 0.2

0.64

1

1/15

Szelep 0.8

0.2-es munkapontban:

0.2

0.2 1

f(u)

s

TE, M erõsítés 0.2

PD 0.2

0.07

1

1/15

15s+1

Erõsítés PD 0.2

0.114

0 300s+1

0.8 1 1.5e+005s3 +18500s2 +360s+1

Kemence nemlinearitása 0.8

Scope 0.2

Scope1

Kemence 0.8

0.8-as munkapontban:

3

ln 0.07 e ln 0.64 e3 1 3u y e u 0.114 u 0.851 e3 3 3 Méretezés a worst case-re (legrosszabb esetre). Itt a legnagyobb az er sítés (a kemence jelleggörbéjéb l): 0.3 0.2 kk 1 2.5 0.07 0.03 0.8 0.7 kk 2 0.714 0.64 0.5

120


121


5.4. Tipikus nemlinearitások

Telít dés (saturation)

Érzéketlenségi sáv (dead zone)

Relé (relay)

Ideális relé

Hiszterézises relé

Hiszterézis, kotyogás (backlash)

Háromállású relé

A háromállású relé megvalósítása SIMULINKben: Relay1 Sine Wave

-1 Gain1

Scope -1

Relay2

122

Gain2


A modellünkbe tegyük be: A kotyogást az áttétel elé. Az érzéketlenségi sávot, mint súrlódást a motor elé.

0.15 Step1

Gain2

300s+1 15s+1 Transfer Fcn (with initial outputs)4

2

1 30s

Backlash Gain3 Dead Zone Transfer Fcn (with initial outputs)3

1

f(u) Fcn1

Scope1

1.5e+005s3+18500s2 +360s+1 Look-Up Table1

Transfer Fcn (with initial outputs)5

Látható, hogy hibával áll be. Ha az érzéketlenségi sávon belülre esik a hibajel, akkor leáll az integrátor. 123


5.5. A leíró függvény 5.5.1. Linearizálás a frekvencia tartományban Eddig a statikus jeltartományban dolgoztunk. Nemlineáris tag kimen jelében körkörfrekvenciájú alapfrekvenciájú harmonikus bemen jel (szinuszos jel) hatására az harmonikuson kívül fel-harmonikusok is megjelennek (lehetnek szub-harmonikusok is, s t egyenáramú komponens is), tehát a kimenet is harmonikus lesz. (Ha a tag lineáris lenne, akkor a kimenet a bemenett l csak amplitúdóban és fázisban különbözne, a frekvencia maradna.) Ha ezek a szabályozási kör frekvenciafügg elemein jobban csillapodnak, mint az alap-harmonikus, jelenlétükt l els lépésben el lehet tekinteni, és a nemlineáris tag kimen jelét annak alapharmonikusával lehet közelíteni. Ekkor az azonos frekvenciájú ki- és bemen jel közötti összefüggés egy frekvencia átviteli függvénnyel a leíró függvénnyel jellemezhet , amelynek abszolút értéke az amplitúdók hányadosa, a fázisszöge a ki- és bemen jel közötti fáziseltolás. Ez közelít módszer! Akkor lehetne tökéletes, ha a rendszer egy sz r lenne, amely az alap-harmonikust átengedi, de a fel-harmonikusokat nagy csillapítással kisz ri. Els dleges alkalmazási területe annak vizsgálata, hogy a statikus nemlinearitás okoz-e tartósan fennmaradó lengést, illetve labilissá teszi-e a rendszert. A módszernek vannak korlátai: Nincs megfelel eljárás a pontosság ellen rzésére. Csak becslésre alkalmas. A stabilitás megítélhet , de az átmeneti folyamatokra még hozzávet legesen is nehéz következtetni. Ugyanakkor ez az egyetlen gyakorlati módszer, amely alkalmas szakadásos jelleg tagokra is. Vagyis a leíró függvénnyel való harmonikus linearizálás akkor is használható, ha a munkaponti linearizálás nem vezet célhoz. 1 u

N u

u

yk

W

u u sin t

0

t

-1 y1

Y1 sin t

y

N u

Legyen a bemen jel körfrekvenciájú szinuszos rezgés, amely a váltakozó áramok elméletében szokásos módon egy komplex vektor képzetes részeként fejezhet ki: u U sin t Im U e j t Az y kimen jel y1 alap-harmonikusa: y1 Y1 sin t

Im Y1 e j e j

Y1 : az alap-harmonikus komplex amplitúdója.

t

Im Y1 e j

Az alap-harmonikus is komlex.

A leírófüggvény (L) az Y1 és U komplex amplitúdók hányadosa: Y1 L ej L1 jL2 U Y1 ; U : komplex amplitúdók L

124

t

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A kimen jel alap-harmonikusa az id tartományban: y1 Im L U e j t L1 U sin t L2 U cos t Az N statikus nemlinearitáson az U sin

t bemen jel által keltett kimen jele: y

N U sin t

Ennek Fourier sorában, az alap-harmonikust összevetve annak id függésével: 1 L1 N U sin t sin t d t U L2

1 U

N U sin

t

cos

t d

t

Ez a gondolatmenet elvileg bármilyen nemlinearitásra alkalmazható. Általában: L U ,

, vagyis

a leírófüggvény a bemen jel amplitúdójának és a frekvenciájának függvénye. Statikus nemlinearitás esetén azonban: L U . Azaz csak a bemen jel amplitúdójától függ. Ha a nemlinearitás egyérték (nincs hiszterézis), akkor nincs fázistolása: L2 0; L1 L U Hiszterézises nemlinearitás, van fázistolás: L L1 U

jL2 U

A fontosabb nemlinearitásokra vonatkozó leírófüggvények Telítés, korlátozás: y k u0

u

u0 k u0

ur

U jelöléssel (U a bemen szinuszos jel amplitúdója) u0 L k L

2 k

1 arc sin ur

1 1 ur

125

1 ur

ha ur 1

2

ha u r

1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Ideális kétállású relé: y y0

u y0

4 y0 U 0

L

Hiszterézises kétállású relé: y y0

u y0

L L

0 4 y0 , U

h U

arcsin

ha U

h

ha U

h

Érzéketlenségi sáv: y

u

e

e

c U ; e L 0

ur

L

k

2 k 2

tg

arc sin

1 ur

1 1 ur

126

1 ur

ha ur

1

ha ur

1

2

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Háromállású ideális relé érzéketlenségi sávval: y

y0

u

e

e y0

L

0

L

4 k 1 U

e U

ha U

e

ha U

e

2

Háromállású relé érzéketlenségi sávval: y

y0

e

d

d

u

e

y0

L

e d 2 y0 2 2 1 U UU e 1 arc sin U 2

arc sin

e U

2

1

d U

El feszítés: y y0 u y0

k

tg 4 y0 L U

127

k

d U

2

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Hiszterézis: y y0 h

u

h y0

k

tg ;

L

0

L1

k 2

L

arcsin 1 2 L2

L

L12

L22

L1

j L2

h U

4 k

2 1 2 x

2

arc tg

L ej

h U

x L2 L1

128

x

ha ur

1, ill.

1 ur

h U

1

ha ur

1, ill.

1 ur

h U

1

x2


5.5.2. Stabilitásvizsgálat a leíró függvény alapján A statikus nemlinearitások csaknem minden szabályozási körben el fordulnak valamilyen formában. A fizikai szerkezetek például véges teljesítmény (jel-amplitúdó) felvételére készülnek, így bizonyos jelszinten felül természetes, vagy mesterségesen el idézett nemlineáris korlátozó tulajdonságaik vannak. Ezért általában minden lineárisnak tekintett szabályozási körnek is van olyan jel-amplitúdó tartománya, ahol a nemlinearitás dominál, ez a dinamikus tulajdonságokat els sorban a stabilitást jelent sen módosíthatja. A nemlinearitás hatása például a visszacsatolt rendszerben olyan önfenntartó állandósult lengés határciklus alakulhat ki, amelynek amplitúdója a nemlineáris karakterisztikától függ, de a bemen jelt l, illetve a kezdeti feltételekt l független. Így az lineáris elmélettel nem írható le. A leíró függvényt éppen arra dolgozták ki, hogy a lineáris stabilitásvizsgálati módszereket a határciklus kimutatására is alkalmassá tegye. ua

L U

W0 j

y

Tételezzük fel, hogy ebben a szabályozási körben a hibajel valamilyen okból U amplitúdóval, megközelít leg szinuszosan leng (a fel-harmonikusokat elhanyagoljuk). A körben lév statikus nemlinearitást az L U leíró függvény az U amplitúdótól függ , de frekvenciafüggetlen körer sítés míg a lineáris tagokat a W0 j

frekvencia-függ , de amplitúdó-

független átviteli tényez jellemzi. A felnyitott, linearizált kör ered WL U , vénye az

frekvenciától és az U amplitúdótól is függ: WL U , L U W0 j

Nyquist diagramja egy görbesereg, aminek a paramétere U. Stabilitás vizsgálat a Nyquist kritériummal (egyszer sített)

Im

-1

Re Uhat.

Ustab.

Ulab.

WL U stab. , WL U hat . , WL U lab. ,

129

frekvencia függ-

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Ha egy adott U-hoz tartozó WL nem fogja körül a

1 j 0 pontot, akkor a rendszer

aszimptotikusan stabilis. Ha egyetlen U-hoz tartozó görbe sem fogja körül a

1 j 0 pontot, a rendszer globáli-

san stabilis. Ha minden U-hoz tartozó görbe körbefogja a 1 j 0 pontot, akkor a rendszer globálisan labilis. Ha átmegy a görbe a 1 j 0 ponton, ez egy határeset, akkor lehet egyik oldalon labilis a másikon stabilis. Stabilis-labilis határán van, határciklus lép fel: állandósult lengés. A határciklus lehet: Konvergens (fennmaradó, stabilis). Divergens (felbomló, labilis). Olyan paramétereken lebeg (frekvencia, amplitúdó), amelyek a leírófüggvény paraméterei, amikor átmegy a 1 j 0 ponton. Vizsgálat: UH U , itt figyeljük, hogy merre mozdul WL. UH: a határciklushoz tartozó amplitúdó. Ha a stabilitás felé mozdul, akkor a határciklus konvergens, ha a labilitás felé, akkor divergens. VAGY UH U esetén: Ha a stabilitás felé, akkor divergens, ha a labilitás felé, akkor konvergens.

130

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Vizsgálat a komplex síkon Határeset: WL U , j

1

: önmagában ( L 1 esetben) stabilis rendszert jellemez és minimálfázisú.

W0 j

1 L U

W0 j m

L U W0 j

: a metszési frekvencia. Im

W0 j -1+j0

Re 1 L

W0

1 L U

L

m

Az L valahol itt van.

Matematikai magyarázat a komplex síkkal kapcsolatban. Im Re

r e

Re

Re

1 j e r

j

Ez globálisan stabilis. Mivel a W0 j

Im

Im

1 , és a W0 j L U

1 j e r nem metszik egymást. És a

1 L U

a

bal oldalán helyezkedik el. Bármilyen U paraméter mellett stabilis.

Melyek az összetartozó és U értékek, melyek esetén metszi a WL a negatív valós tengelyt? WL fázisszöge egyenl a W0 fázisszögének és az L fázisszögének az összegével, ami pontosan -180°, ahol a negatív valós tengelyt metszi. Akkor lesz a kett fázisszöge -180°, ha a lineáris (W0) (-180°- )-t forgat! Most meg kell vizsgálnunk, hogy m U m mekkora, kisebb-e, mint 1. Im

Re Globálisan labilis, nincs metszés.

Um

W0

1 L

m

131

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak W0

W0

-1+j0 H

1 L

Konvergens határciklus

UH

Divergens határciklus

W0 1 L

Divergens határciklus

Konvergens határciklus

A két utolsó eset összehasonlítása: az els eset jobb, de csak elméleti eset. Példa: Leíró függvény; Stabilitásvizsgálat (határciklus?)

L

4 U arcsin

0.1 U

Valószín leg lesz határciklus.

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

132

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Válasszuk ki, hogy mennyi a -0.0785-höz tartozó » [a.*sin(f), w'] ans = -9.9010 0.1000 -5.8325 0.1668 -3.3356 0.2783 -1.7726 0.4642 -0.8075 0.7743 -0.2902 1.2915 -0.0823 2.1544 -0.0200 3.5938 -0.0045 5.9948 -0.0010 10.0000 2.15 Válasszuk ki a 2.15-höz tartozó valósrészt: [a.*cos(f), w'] ans = -0.9901 -0.9729 -0.9281 -0.8227 -0.6252 -0.3748 -0.1773 -0.0719 -0.0271 -0.0099

0.1000 0.1668 0.2783 0.4642 0.7743 1.2915 2.1544 3.5938 5.9948 10.0000

UH 0.1773 Ezt hol találjuk meg iLre-ben [iLre, U] ans =

UH

-0.0000 -0.1360 -0.2221 -0.3042 -0.3848 -0.4646 -0.5441 -0.6234 -0.7025 -0.7815 0.2...0.3

0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

133

.

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa:

UH

0.2 2.15

H

T

1 2

0.07

5.5.3. A leíró függvény közelít jellege

Nincs határciklus, globálisan stabilis (nincs metszés, balra esik). Több tároló esetén sokkal szinuszosabb lenne a kimenet.

134


5.6. szervomotorok érzéketlenségi sávjának csökkentése

Küls terhelés + Mozgási súrlódás Statikus jelleggörbék, ha a terhel nyomaték zérus. Küls terhelés + Nyugalmi súrlódás

d/2 Érzéketlenségi sáv

Az érzéketlenségi sáv csökkentésére két jól bevált módszer: Helyzetbeállító Tachométeres visszacsatolás

5.6.1. Helyzetbeállító

Er sít -

Motor

Arányos taggal visszacsatolva

Léptékezve: u

ke -

W

s u s

1 s 1 s Tm

ke s 1 s Tm ke 1 s 1 s Tm

1 1

s ke

s 2 Tm ke

Integráló volt és arányos lett!

135

U

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1 1 0.02s

2

1 s

1 30

Az er sítés még növelhet . A biztonság javára tévedünk, ha így modellezünk, és nem vesszük figyelembe azt a kis hiszterézist, amit fentebb tárgyaltunk. Méretezzük a helyzetbeállítót (HB), mint lineáris rendszert. Fázistartalékunk ( t) legyen 60°. m=2; %mert eleve van egy 2-es er sítésünk n=conv([0.02 1], conv([1 0], [0 30])); khb=500; %a helyzetbeállító er sítése margin(khb*m,n) Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=60 deg. (at 28.868 rad/sec) 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 100

101

102

103

Frequency (rad/sec)

SIMULINK: 1000 Alapjel 0->1

Erõsítés

Holtsáv

1

1

0.02s+1

30

s

Folyamat WIO

Motorer. WIO

Motor WIO

136

1 Oszc.


Jó lenne, ha ez így m ködne! Tegyünk be korlátozást, így nem lesz túllendülésünk, a kimenet folyamatosan éri el a várt értéket. 0.5

0

0

0

1

1000 Alapjel 0.5->0.6

Erõsítés

0

0

Telítõdés -1 ... 1

Holtsáv

15 1

1

0.02s+1

s

30

Fol yamat WIO

Motor WIO

Motorer. WIO

0.5

0.5

Telítõdés 0 ... 1

Oszc.

De alkalmazhatunk relés helyzetbeállítót. Ekkor nincs szükség a holtsáv figyelembevételére.

137

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1

-0.002 -0.001 0.001 0.002

-1

In1 Out1

Alapjel 0.5->0.6

RHB

Telítõdés -1 ... 1

1

1

1

0.02s+1

s

30

Folyamat WIO

Motor WIO

Motorer. WIO

Telítõdés 0 ... 1

Oszc.

De ekkor csak hibával áll be 6.000 5.997 0.003 2004-03-18 Tegyük be a helyzetbeállítót az eredeti rendszerünkbe. 0.15

300s+1

In1

1

f(u)

Out1

1.5e+005s3 +18500s2 +360s+1

300s Alapjel 0.8->0.9

Erõsítés

PD WIO

Szelepjg. HB

LUT Kem encejg.

Folyam at WIO

Scope

Ez így nem lesz jó, mert a HB egy új rendszer. A típusszám 1 0! Az er sítés is más! Újra kell méreteznünk a rendszert. Mivel helyettesíthet a [HB + Szelepjelleggörbe]?

138

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A HB ered je (helyettesítése): Ha lineáris rendszer lenne:

a 33.3

-

1000

W0

1 1 30 s 1 0.02s

1

10

33.3

50 100

33.3dB W

Zárt kör: W

W

W0 1 W0

W

1, haW0

W

W0 , haW0

1

1 0.03s 1 0.03s Ha ez igaz lenne: v(t)

1 1

EZ NEM IGAZ!

0.1 alapjel ugrásra

3 sec.

1

t

50-60msec

MIVEL HELYETTESÍTSÜK? Linearizálnunk kell. De ez átmeneti jelenség, nem statikus. Tekintsük lineárisnak! Egytárolós tag átmeneti függvénye:

v(t) 1

1 1 s T

T Nemlineáris Egytárolós tag

t

A nemlineáris rendszerekben (a valóságban) a munkapont környékén mozog a rendszer. Csak 10-20%-os ugrások lehetnek, ha jól m ködik a rendszerünk. Csak linearizálással lehet a bemen jel 0 1-re. A helyzetbe állító helyettesítése a nemlinearitást figyelembe véve: 1 ; T 3sec max.30sec 1 s T Lineáris rendszerként méretezzük. 139

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak k

Mit teszünk a:

PD

helyett? Tegyünk PI-t, vagy PIPD-t! 1 s Ti PI : Wc Ti 300sec s Ti Keressük meg kc-t MATLAB-ban T=3 sec. és T=30 sec. esetekre! mc=[300 1]; nc=[300 0]; kc=3; mhb=1; nhb=[3 1]; [m1,n1]=series(mhb,nhb,mc,nc); mp=1; np=[150000 18500 360 1]; [m0,n0]=series(m1,n1,mp,np); margin(kc*m0,n0) mc=[300 1]; nc=[300 0]; kc=2; mhb=1; nhb=[30 1]; [m1,n1]=series(mhb,nhb,mc,nc); mp=1; np=[150000 18500 360 1]; [m0,n0]=series(m1,n1,mp,np); margin(kc*m0,n0) kc = 3 Ha nincsbenne statikus nemlinearitás! kc = 2 SIMULINK-ben nem tudjuk rendesen szimulálni! Nagyon sok pontot kell számolni. Levesszük az oszcilloszkópot és az adatokat a To Workspace (TW) dobozzal átadjuk a MATLAB-nak: r TW r

u

e

TW u

TW e 3 Alapj el 0.8->0.9

Erõsítés

300s+1

In1

300s PD WIO

t

u1 Cl ock

T W u1

Out1

T elítõdés

Szel epj g. HB

140

1

f(u)

1.5e+005s3 +18500s2 +360s+1 LUT Kemencej g.

Folyamat WIO

TW t

y TW y

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

500

1000

1500

Lineáris rendszerként méretezzük: kc1 kc 2

3 k 2 k De :

ks kc

kk

k ks kk

5.6.2. Tachométeres visszacsatolás Egy nem léptékezett ábra. Ezen az ábrán u most feszültséget jelent! Visszacsatolatlan.

Am s 1 s Tm

u

s TD 1 s T Ennek kéne lenni, de csak

141

s TD , mert úgy tekintjük, hogy T=0.


W

u

Am s 1 s Tm s Am TD 1 s 1 s Tm

1 Am TD

1 1 Am TD

Am s Tm s 1 1 Am TD

Ez a visszacsatolt.

Ezt tesszük be a folyamat elé (ez adja u-t). Így megmarad a huroker sítés.

Csökkentek az id állandók és az érzéketlenségi sáv. Az érzéketlenségi sáv 1 Am TD -ed részére csökken! A motor kisebb jel hatására is elindul. Mert álló motor esetén nagyobb a huroker sítésünk, amint elindul a motor, a huroker sítés visszaáll.

Összefoglaló: Lassú rendszereknél helyzetbe állítót, gyors rendszereknél (mint pl.: szervomotor) tachométeres visszacsatolást alkalmazunk. A helyzetbeállító esetén elveszítjük az integráló jelleget, tachométeres eljárásnál nem.

142


5.7. Az elintegrálódás és kiküszöbölése

5 Alapjel 0.5->0.8

Erõsítés

10s+1

1

1

10s

10s+1

2s+1

PI WIO

Oszc.

Folyamat 1 WIO Folyamat 2 WIO

A körer sítés számítása ( t=50): m=[10 1]; n=conv([10 0], conv([10 1], [2 1])); kc=5; margin(kc*m,n)

Tegyünk bele telít dést (01) a PI után:

5 Alapjel 0.5->0.8

Erõsítés

10s+1 10s PI WIO

Telítõdés 0...1

143

1

1

10s+1

2s+1

Folyamat WIO 1 Folyamat WIO 2

Scope


Az a jelenség, hogy korlátozás el tt az irányítójel a határon túlhalad, túlvezérlés van. Majd miután korlátozzuk a szabályozó jelét, a túlvezérlés megsz ni ugyan, de az irányítójel kés bb kezd el csökkenni, mint kéne. Emiatt a szabályozásunk késni fog, lassabb lesz. Védekezés ellene: Alapjel meredekség korlátozása: Hogyan valósítható ez meg? Alapjel megvezetés (integrátorral) helyzetbe állítóval.

A telítési határok összehangolása (IC tápfeszültségek). Foxboro-struktúra A Foxboro-struktúra A PI szabályozót a következ képpen realizálja r

e y

kc

u + 1 1 s T

144

A telítést összhangba kell hozni a küls telítésekkel 1 W kc 1 1 1 s T 1 kc 1 s T

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa a gyorsabb m ködésre:

Oszc. 2 5 Alapjel 2 0.5->0.8

Erõsítés 2

Telítõdés 1

Telítõdés 2

1

1

10s+1

2s+1

Folyamat 1 WIO 2 Folyamat 2 WIO2

1 10s+1 Foxboro vcs. WIO

A Foxboro munkapont-beállítása: 0

0.5

kc

+ 0.5

145

1 10 s 1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Jól megfigyelhet , hogy a szabályozásunk javul. Gyors lesz, de nem lesz túllendülés! Az elintegrálódás összefoglalása r

e

C

u

P

y

y

Az elintegrálódás mértéke: a csúcspont nem feltétlen ott van, ahol a hibajel zérus.

A korlátozott irányítójel.

Az az id , ameddig a kör nyitott.

u A kívánt korlátozott irányítójel.

e Az elintegrálódás miatti tényleges id késés

146


5.8. Állásos szabályozások Statikus nemlineáris karakterisztikájú elemek lineáris id késéses elemekkel való kombinációjával különböz szabályozó szervek (PD jelleg kapcsolóüzem er sít , oszcillátor, stb.), illetve egyszer szabályozási kör az úgynevezett állásos szabályozás építhet fel. A különböz kapcsolások általában egy nemlineáris tagnak lineáris id késéses tagon való negatív visszacsatolásán alapszik. Az állásos szabályozó bemen jele: e, folytonos. e r y . Kimen jele: u, állásos jel. 2, 3, esetleg 5 állapota lehet. r

e

C

u

y

Az állásos szabályozók tulajdonképpen kapcsolók. Lényeges különbségek a folytonos szabályozóhoz képest: Nem szabályoz zérus maradó hibával: Ha kétállású: van egy állandósult lengése (ez a határciklus). Ha háromállású (háromállású relé): az érzéketlenségi sávon belül bármekkora lehet a maradó hiba. El nyök: kapcsolóüzem er sít kimenet: Kisebb a végfok disszipációja: kisebb h t tönk, a kapcsolás kisebb olcsóbb. Motorokat vezérel: vagy áll, vagy névleges feszültséget kap jó hatásfok. Kétállású szabályozás méretezése u M

e

d-t l függ: A kapcsolási frekvencia (kisebb d frekvencia). A lengés amlitúdója. M-t l függ a teljesítménytöbblet.

nagyobb

d

A relé kimenetén csak két u érték jelenhet meg: M és 0. Így az y jelnek is csak 0 és y0 k M statikus egyensúlyi értékei lehetnek. Statikus egyensúly nem állhat be. Így az állandósult állapotban konvergens határciklus keletkezik, amelyben az u és y jelek középértékük körül periodikusan lengenek. Lengés közben y olyan T id állandós exponenciális görbe mentén változik, amely vagy y0 , vagy zérus végértékhez tart. A stacionárius állapotnak az a jele, hogy egy teljes lengési periódus elteltével a jelek a kiindulási értékükre állnak vissza. Az y szabályozott jellemz a d hiszterézis sávon belül periodikusan ingadozik az alapjel körül. A kapcsolási frekvencia függ a bemen jelt l.

147

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak ymax

y ymax-r

r

d r

t A teljesítménytöbblet: ymax r P 100 % r Jó érték a 100% elméletben! Gyakorlatban 30-40% engedhet meg.

1

1 Alapjel 0.5 -> 0.7

Erõsítés

10s+1 Relé

Oszc.

Egytárolós WIO

De a valós folyamatok többtárolósak: 1 Alapjel 0.5 -> 0.7

Erõsítés

Relé

1

1

10s+1

2s+1

Egytárolós 1 WIO

Egytárolós 2 WIO

148

Oszc.

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Holtid és hatásának csökkentése (termikus visszacatolás)

A kéttárolós helyett nézzünk meg egy egytárolós, holtid s folyamatot: WP Th

2sec

T

5sec

5s+1 Erõsítés

s Th

1 s T

1

1 Alapjel 0.5 -> 0.7

e

Relé

Holtidõ

Oszc.

Egytárolós WIO

Termikus visszacsatolás, smegoldás: Kemence Állásos szabályozó

~ Azon alapszik, hogy becsapja a szabályozót. Amikor kikapcsolja a szabályozó a f tést, a fels kék f t szál f ti a mellette lév bimetált. Ez negatívan vannak bekötve. Így a szabályozó úgy érzi, hogy túl gyorsan h l a rendszer, és hamarabb bekapcsol. Amikor bekapcsolt, akkor a másik kis kék f t szál kezdi f teni a mellette lév bimetált, ami pozitívan van bekötve. A szabályozó most úgy érzi, hogy túl gyorsan hevül a rendszer és kikapcsolja a f tést. Így nincsenek akkora túllendülések. 149


Be

Ki

Be

Azért hívják termikus visszacsatolásnak, mert h -elemmel oldották meg. Ma ugyanezt az elvet m veleti er sít kkel, vagy mikroprocesszorral valósítják meg. A1

Av 1 s Tv

W

A1 A1 Av 1 1 s Tv

A1

1 Av 1 s Tv

1 1 s Tv Av

1 1 s Tv . Ez egy soros PD szabályozónak felel meg. Av Bimetallos szobatermosztát A folytonos megfelel :

Egyoldalas termikus visszacsatolás. Csak f teni tud gyorsabban.

~

150


1

Oszc. 1

5s+1 Alapjel 1 0.5 -> 0.7

Relé 1

Holtidõ 1

Egyttárolós 1 WIO

1 Step1

Relé 2

1

10s+1

5s+1

Egyttárolós 2 WIO

Egytárolós 3 WIO

0.03 2s+1 Vcs. WIO

Oszc. 1 képe:

Oszc. 2 képe: Látható, hogy ahol kicsit kell szabályozni, ott megn a kapcsolás frekvenciája.

151

Oszc. 2


5.9. Id arányos szabályozó A bemen jelek: r, y, e (folytonosak), kimen jele: u (id arányos). tbe PWM (Impulzus Szélesség Moduláció): PWM jel . A id arány jellemzi. tbe tki Két-, vagy háromállapotú (ez a gyakoribb, pl. motor). El nye hogy a kimenete kapcsolóüzem (kisebb disszipáció, jó hatásfok). Jól közelíti a folytonos szabályozást, gyakorlatilag nincs hátránya. Integráló végrehajtó (szervomotor) id arányos m ködtetése yb Szabályozó

u yv

Motor

yb

1

Beavatkozó

sT

t yv umax

Ha elég nagy a kapcsolási szám, akkor szinte folyamatos.

t tbe

tki

Ennek a szabályozásnak a megvalósítása: 1. Vegyünk folytonos szabályozót és kössünk utána impulzus szélesség modulátort (PWM): Ezt kell átalakítani Komparátorral

152

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2. Csatoljunk vissza egy állásos tagot: r y

PWM

-

PD jelformáló Av 1 s Tv

Egy lényeges különbség az id arányos és az állásos szabályozás között Id arányos szabályozás: ha nagy a huroker sítés, akkor a bels visszacsatolás miatt oszcillál a kimenet. Állásos szabályozás (termikus visszacsatolás): nem kapcsolgat nagy huroker sítés esetén sem, csak a kapcsolás gyorsul. y

Maradó hiba van, mert 0 típusú

Állásos szabályozó, termikus visszacsatolással

PD szabályozó

t

153


5.10. Szabályozók programozása 5.10.1. Szabályozók megvalósítása Lehet analóg módon (pl.: m veleti er sít vel). Lehet szoftverrel. a

W0 k

20

dB D

3

tc

10

c

Nagyfrekvencia, az itteni töréspontok nem számítanak

c

c

Kisfrekvenciás tartomány

Közepes frekvencia (

c

környéki frekvencia)

A kisfrekvenciás tartományban az er sítés a lényeg, valamint itt határozható meg a típusszám (ezekt l függ a maradó hiba). A szoftverrel megvalósított szabályozás természetesen mintavételes szabályozás. Lényeges a mintavételi id ( Ts ). Ha 1 Ts a nagyfrekvenciába esik, akkor nyugodtan méretezhetünk folytonosként szabályozót (pl.: PIC). Ha 1 Ts az c körül van, akkor kell diszkrét szabályozót tervezni. Ha a mintavételi id reciprokja a kisfrekvenciás tartományba esik, akkor nem m ködik a rendszer (nem teljesül a Shannon-tétel sem). Programozáskor fontos: Az elintegrálódás kiküszöbölése A lökésmentes indítás

154


5.10.2. Programozási algoritmusok Rekurzív pozíció algoritmus u s 1 Wc s kc 1 s Td : ez fizikailag nem valósítható meg, de programban e s s Ti igen. Ez a párhuzamos PID hatás, ez az ipari PID szabályozás. Ehhez digitalizálni kell: Integrálás téglány szabállyal (legegyszer bb): y z Ts 1 ez az -nek felel meg 1 u z 1 z s Differenciálás két pontból (kétpontos differenciálás): 1 z1 ez s -nek felel meg Ts A szabályozó átviteli függvénye: u z

Wc z

kc 1

e z

B alak, ahol a0 A a1 b0 b1 b2

Ts 1 z

Ti

Td Ts

1

1 z

1

b0

b1 z 1 b2 z 1 a1 z 1

2

1

1 kc kc kc

Ts Ti

1

Td Ts Td Ts

1 s Td Ts

uk uk uk 1 b0 ek b1 ek 1 b2 ek 2 Ez a sebesség-algorizmus. uk mutatja meg, hogy mit kell változtatni. A jelölés: uk uk

uk

1

u k

b0 ek

u k , mindhárom ugyanazt jelenti. b1 ek

1

b2 ek

2

Ez a formula kiszámolja, hogy mi a következ kiküldend uk t, ez a pozíció-algoritmus, ez a gyakoribb. Az elintegrálódás kiküszöbölése: Erre egy programrészlet: Valamilyen algoritmussal beolvassuk yk-t. input(yk); ek=rk-yk; uk=uk1+b0*ek+b1*ek1+b2*ek2; if (ukumax) uk=umax; output(uk); //Jól m ködik mert rekurzív 155

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Integrátor-visszaállítás módszere PI algoritmust vizsgálunk, az integrálást szummázással helyettesítjük: k

r

e

u

uk

kc ek

ki

ej j 0 ik

ik: az integrátor-rekesz tartalma T ki k c s Ti uk kc ek ik

y

Egy program-részlet: ek=rk-yk; ik=ik1+ki*ek; vk=kc*ek+ik; //Ez a beavatkozójel if (vkumax) uk=umax; else uk=vk; ik1=ik+(uk-vk); //Ez az integrátor visszaállítás Foxboro-szabályozás e

u

kc

f z u z

+ f

1 1 sTi

ahol

e x Taylor-sora (a szabályozóban elég ezt felhasználni, els 3 tag is elég): x x2 ... 1! 2! Program-részlet: ek=rk-yk; uk=kc*ek+fk1; if (ukumax) uk=umax; fk1=beta*fk1+(1-beta)*uk; fk = beta * fk1+ 1- beta * uk 1 ex

1

nem kell

ez megegyezik :

f z

1

u z 1 Ez is rekurzív formula!

z z

1

1

156

z1 z1

1 1 e

Ts Ti


5.10.3. A lökésmentes indítás Átkapcsolás: kézi-automatikus

r

e y

A

PID K

u

K: kézi A: automatikus Amikor beáll a rendszer, akkor kapcsoljuk A-ra

A lökésmentes indítás lépései: 1. Be kell mérni az el z (vagyis a kézi) irányítójelet (u). 2. Az algoritmust úgy kell indítani, hogy az els pillanatban kiküldött u a kézi u-val legyen egyenl . A rekurzív módszernél az ek1= ek2 legyen akkora, mint az el z .

157


6.1. Bevezetés Ez a témakör a számítógépes folyamatirányítás alá tartozik. Feladata számítógéppel követni egy jellemz t és ezt szabályozni. Ennél a szabályozási formánál a szabályozás lényegi részét rábízzuk a PLC-re, vagy a számítógépre. Az összekapcsolás A/D, D/A átalakítókkal történik. Hasonló követelményeknek kell megfelelni, mint a folyamatos rendszereknél. Általában egybeépítve

Folyamatot irányító számítógép (PLC)

A/D

Tartószerv Beavatkozó mennyiség

Folyamat

T Mintavételezés T: mintavételezési id

A/D Valós idej m ködés (real-time)

Folyamatos jel

Mintavételezett jel (ez még mindig analóg jel)

A folyamatot irányító számítógép (PLC): Taszkokat (m veleteket) végez (pl. alapjelképzés; mért jelek fogadása, sz rése; szabályozási algoritmus kiadása; beavatkozó jel számítása). Teljesítménye kicsi, információ jelleg , ezt er síteni kell.

6.1.1. Mintavételezés és tartás A jelfeldolgozás f eszközei a digitális számítógépek. Ezek szakaszos m ködés ek, egy adat feldolgozásához id re van szükségük, ezért csak megszámlálhatóan sok adatból álló információt képes fogadni. Az y(t) folytonos idej jelet feldolgozás el tt megszámlálható sokaságú t1 , t2 ,...tn id pontokhoz tartozó y t1 , y t2 ,... y tn értékekb l álló számsorozattá kell alakítani. Az id pontok egymástól általában azonos, Ts (mintavételezési id ) távolságra vannak. Ekkor a diszkrét id pontok: 0, Ts , 2Ts ,... nTs . A tartószerv feladata meghatározott ideig tartani a mintavételezés id pillanatában mért értéket.

tartószerv

158

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Számítógéppel valósid ben lehet szimulálni a folyamatokat a LabView nev programmal. Az A/D átalakító: Feladata, hogy a bemen analóg jelét diszkretizálja és megfelel kódolás után a kimenetén a bemenetnek megfelel adatokat kapjunk. kvantálás

A diszkretizálásnál bejön egy kvantálási hiba, mert a kvantálás nem végtelenül finom. A kódolás: nagy szószélesség kell a nagy pontossághoz. D/A átalakító, tartószerv: 1. ZOH: zérusrend tartószerv (Zero Order Hold). A jelek között tartja a mért állapotot. 2. FOH: els rend tartószerv (First Order Hold). Lineáris esetben használható. 3. SOH: másodrend tartószerv (Second Order Hold). Másodfokú függvénnyel közelít.

ZOH

FOH

SOH

A mintavételezési id megválasztása: Jó, ha s r n mintavételezünk, de ez id igényes (régebbi processzoroknál ez fontos lehet). Ha nagy a mintavételezési id (ritkán mintavételezünk), akkor torz, hamis információt kaphatunk. Shannon-tétel: A mintavételezési frekvenciának legalább kétszer akkorának kell lennie, mint a legnagyobb mintavételezend jelben el forduló frekvencia. Az oldalfrekvenciákat le kell vágni.

159


6.1.2. Min ségi el írások

Referencia jel

Szabályozási algoritmus

ZOH

u

Folytonos FOLYAMAT

Ez a PC-ben vagy PLC-ben valósul meg

Stabilitás: lineáris esetben a struktúrából ered Statikus el írások: Alapjelkövetés: az alapjelet valamekkora id n belül követni kell. Zavarelhárítás: a zavarjel hatását el kell tüntetni. Dinamikus el írások: Milyen a zárt rendszer viselkedése egységugrás alapjelre? Optimalizálás:

Ezt a területet minimalizálni kell.

Robosztusság: Méréssel határozzuk meg a folyamat paramétereit illetve, hogy azok milyen tartományban mozognak. Figyelni kell, hogy milyen a beavatkozó jel (u). Új szempontok: Az információ csak a mintavételezéskor áll rendelkezésünkre. Ebb l adódik egy információveszteség. Információveszteség a mintavételezésnél, hiba az A/D átalakítónál. A beavatkozó jelünk lépcs sen folytonos. Mindezek miatt a mintavételes rendszer valamelyest másképp viselkedik, mint a folytonos. A beavatkozó szerv lehet olyan, hogy nem kell tartószerv (pl. léptet motor).

160

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Példa egy mintavételes rendszerre. Integráló folyamat hogyan viselkedik mintavételes rendszerben? ya

e

ZOH

eT

T

1 s

k

y

e eT

(n-1)T

t

T

y

t

T

0.5;1;1.5;3

k 1 y 0

0

y n T

y n 1 T

y n T

y n 1 T 1 k T

y n T

y n 1 T T

Ha

k T e n 1 T

k y n 1 T

T 0 dy t k y t k ya t dt s y s k y s k ya s y s ya s

k T ya

y n 1 T

k T ya

n 1 T k ya

n 0 T

y n 1 T

Differenciaegyenlet

n 1 T

Differenciálegyenlet. 1/k

1 s k 1 1 s k Ha nem mintavételezzük, akkor ez strukturálisan stabilis. a) T 0.5 W s

y 0

k

ya

0

y 1T

k T

0.5

y 2T

0.5 0.5 k T

y 3T

0.5 0.75 0.5 0.875

y 4T

0.5 0.875 0.5 0.9375

y

0.75

1

161

2

3

4

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak b) T 1 y 0

0

Véges beállás (dead-beat)

y 1T

0 k T 1

y 2T

0 k T

1

Meg kell vizsgálni, hogy mi van a mintavételezési pontok között! c) T 1.5 y 0

0

y 1T

1.5

y 2T

0.5 1.5 1.5 0.75

y 3T d) T

...

1.25

3

y 0 y 1T y 2T

0 3 2 3 3 3

y 3T 2 3 3 9 A mintavételezés során elveszítettük a stabilitást. A mintavételezés behoz egy holtid t, s emiatt romlanak a stabilitási feltételek.

162


6.2. Mintavételes jelek leírása, z-transzformált y(t)

Fizikai mintavételezés

t T

2T

3T

y*(t)

Ha

állandó, akkor a

t területe

egyenl az amplitúdóval.

t

y* t

y 0

t

y 1T

t T

y 2T

t 2T

y n T

t n T

n 0

y* s

y 0 z

y*

1 ln z T

y z

e

y 1T e sT

sT

2s T

y 2T e

... : a diszkretizált jel Laplace transzformáltja

: ez a z transzformált y z

y n T

z

y 2T

z

2

y 1T

n

a jel z transzformáltja

:

z

1

y 0

...

n 0

z 1 az eltolási operátor Ekkor a mintavételi id pontban azonnal meg tudjuk adni a jel értékét. Im Im s z z Re

Re

es T ej

T

A negatív valósrész (baloldali) pontok a kör belsejében lesznek. A jobboldali félsík pontjai a körön kívülre esnek. Az imaginárius tengely a körvonal. A z tartományban a pontokat (pólusokat) nagyon pontosan kell megadni.

163


6.2.1. Tipikus jelek z-transzformáltjai 1. Impulzus alakú jel: y* t

y*

y z

t 1

T

Ha van egy jelem, ami T-ig lecseng, akkor ugyanaz lesz a z-transzformáltja, mint az el z nek. Gyakrabban kéne mintavételezni. 2. Egységugrás: y* t

t

y z

1 z

y z

1 1 z

1

z

t T

t 2T

2

mértani sor

...

...

z 1

z 1

3. Exponenciálisan lecseng jel: y z e

1 e

aT

z

1

e

ez is mértani sor 1 z aT 1 1 e z z e

at

y z

t 4. Sebességugrás:

y z

0 T z

1

2T z

2

...

t

y z y z

T

z

z

z 1 z T z z 1

1

1

T

z z 1

1 z

1

z

z 2

2

T ...

z

z 3 ... z 1 T 1 z 1 1 z1

A z-transzformálás lineáris m velet. 164

2 aT

T

z

z 1 z 1

T z z 1

2

z

aT

2

...

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 5. Z e Z ej

j t

Z cos z z e

t

z z cos z

2

t

j sin

Z cos

t

z cos

T

1

T

j sin

z sin

j

z

2

Z sin

t

T

z cos

T T

j sin

T

sin 2

T

2

T T

2 cos

Z cos

j Z sin z z cos

z j T

T

2 cos

t

1

T

t ;1 t ; e a

Érdemes tudni:

Ha ismerem a jel Laplace transzformáltját, akkor van más módszer is: A B y t y s ... : résztörtes alak (residue) s a s b y t A e at B e bt ... y z

z z e

A

z z e

B

at

...

bt

6.2.2. A z-transzformált néhány fontos tulajdonsága 1. Linearitás: Z c1 y1 t

c2 y2 t

c1 y1 z

c2 y2 z

2. Határértékek: Kezdeti érték: y* 0 lim y z , mivel: y z

y 0

z

Végérték: y*

lim 1 z z

Mivel: yn z z 1 yn yn z

z

y 0 z 1

y 3T

yn

z

1

1

z 1

z

1

yn

1

y 2T

y 1T y 0

y 2T

lim yn z z

y 1T

z

z

1

z

3

z

z 2

y 1T

... y n T y n T

3. Eltolás: Z y t n T

z

n

1

y 2T z

2

...

y z

1

y 0 1

1

y 1T z

y z : jobbra tolás 165

2

... y n T

y 2T y 0

z

3

z

z

n

... y n 1 T 1

y n 1 T

y 2T z

n

z

y 1T

n

z

2


y 1T y 2T z y z

z

1

y 3T

z y 0

z

2

balra tolás

6.2.3. Inverz z-transzformáció 1. z

1

hatványaival írjuk fel a jelet.

2. Részlettörtekre bontjuk. 3. Differenciaegyenlet megoldására vezetjük vissza a feladatot.

Példa: y z T

2 z2 z z 2 z 0.24 0.5

1. 2 z2 2 z2

z : z2

z 0.24

2

z

1

0.52 z

2

2 z 0.48 z 0.48 z 1 0.24 z

1

0.52 0.24 z

1 2 1.8 1.6 1.4 1.2

num=[2 -1 0]; den=[1 -1 0.24]; yd=dimpulse(num,den,5); plot(1:5,yd,'*')

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

y z

z k0

k1

k2

z p1 z p2 num1=[2 -1]; den=[1 -1 0.24]; [k,p,k0]=residue(num1,den) 166

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak k= 1 1 p= 0.6000 0.4000 k0 = [] 2. y z y* t ea T a b

z z 0.6 e anT

z z 0.4 e bnT

ez két exponenciális jel volt

0.6 1 ln 0.6 1.0217 T 1 ln 0.4 1.8326 T a=2*log(0.6); %MATLAB-ban ez az ln b=2*log(0.4); t=0:0.5:2; yd=exp(a*t)+exp(b*t); plot(t, yd, '*')

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

167

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


6.3. Mintavételezett jelátviteli tagok leírása Id tartományban: differenciaegyenlettel. z operátortartományban: impulzus-átviteli függvénnyel. Frekvencia tartományban: frekvenciafüggvénnyel (szabályozóra). T

u

u*

uT

ZOH

W(s)

u z

2z 2 z u z z 2 z 0.24 2 u z u z z1

y z y n T

Ha nem ZOH-t alkalmazunk, akkor más lesz a függvény

y z

W z

y z

y*

T

y

2u n T

2 z1 u z 1 z 1 0.24 z 2 y z z 1 0.24 y z z

u n 1 T

y n 1 T

1

2

0.24 y n 2 T

u

0

y 0

2

y 1T

0 1 2 1

y 2T

0 0 1 0.24 2 0.52

6.3.1. Példák impulzus-átviteli függvények meghatározására

1 T

u

u z W z

T

1

u*

y z

ZOH

0 T z

uT 1

z

2

T

1 s z

3

y

...

T z 1

168

T

T z

1

y*

1 z

1

z

2

...

T z 1 z

1

T

1

z 1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak s

z

Egytárolós t

1

u

T

u z

1

y z

0

y z

u

1 e

1 e

ZOH

*

T T1

T T1

z

z

1

1

1 1 s T1

uT

1 e

1 e

T T1

T T1

T T1

e

z

T1

1 e

T

1

e

z

2

T T1

T

y

2

y*

T

1 e

T T1

e

2

T T1

1 e z

2

... 1 e

W z

1 e z e

z

3

T T1

T T1

...

z

1

W z z

1

T T1 T T1

s

z

u: egységugrás u z 1 T1

e

T T1

ZOH átviteli függvénye 1 s

ZOH

ZOH

1 e s

1 e s

sT

sT

W s

1 1 s T1

ZOH

1 e z e

169

T T1 T T1

1 e z e

T T2 T T2

1 1 s T2

z z1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Kéttárolós

1 ZOH

1 s T1 1 s T2

Az impulzus-átviteli függvény MATLAB-ban: 1 ; T 1 1 5s num=1; den=[5 1]; ts=1; [numd,dend]=c2dm(num,den,ts,'zoh') numd =

0 dend = 1.0000

0.1813 -0.8187

num=1; den=[5 1]; ts=1; [numd,dend]=c2dm(num,den,ts,'zoh'); num1=1; den1=[50 15 1]; [numd1,dend1]=c2dm(num1,den1,ts,'zoh'); [z,p,k]=tf2zp(numd1,dend1) z = -0.9048 p = 0.9048 0.8187 k = 0.0091 k

z

z z1 p1 z p2

170

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 2004. 04. 15.

6.3.2. Áttekintés

Folytonos

Digitális szabályozó algoritmus

-

ZOH

FOLYAMAT

P(s) (=W(s))

Ez számítógép, vagy PLC feladata.

Ezt a rendszert hibrid rendszernek is nevezzük, mert a folyamatunk folytonos, de a szabályozó diszkrét jeleket ad. Az analízis és szintézis (a vizsgálat és tervezés) így több tartományban is történhet: Az id tartományban: t-tartomány; Az operátortartományban: s-tartomány; -tartomány. A frekvenciatartományban: A jel z-transzformáltja y

t

T

A folytonos jel mintavételezve: y* t y 0 t y 1T y* s z

y 0 sT

e 1 y ln z T

-1

y 1T e

sT

t T

y 2T

y 2T e

2 sT

t 2T

...

1

z : az eltolási operátor y z

y 0

y 1T

z

e

1

y 2T

1

171

z

2

...

...


P(s)

ZOH u

u

*

y*

y

u z

y z

y z

P z

u z

P z : az impulzus átviteli függvény. Példák impulzus átviteli függvényekre Az integráló tag impulzus átviteli függvénye: T

T

ZOH y z

0 T z

1

z

2

z

3

...

T

T

T

1 s z

1

1 z

T 1

z 1

Mint azt már tudjuk, az s tartományban az imaginárius tengely a z tartományban az egység sugarú kör körvonala. Az s tartományban az origó, az a z tartományban az 1 j 0 pont. Az egytárolós tag impulzus átviteli függvénye: 1 T1

T ZOH

1 1 s T1

3T1

T

Az egytárolós tagunk kimenete a következ függvénnyel írható le: 1 e z u z z 1

172

t T1

.


y z

z

y z u z

1

1 e

2

z

z

1

T T1

z

3

z ... e

e

T T1

z

1

T T1

1

1 e

z

1

1 z T T1

2

T T1

1 e

1

z T T1

z

1

2

z

1 e

1

e

e

T T1

2

3

T T1

z

2

z

T T1

e

z

2

... 1 z 1 z

T T1

z

e

1

...

T T1

1

3

1

e

T T1

z

2

T T1

1

1 e 1 e

z T T1

1

z

T T1

T T1

1

1

z 1

1

1 e

T T1 T T1

1 e 1 e 1 e z z z e z Példa egytárolós folyamathoz: T1=5 T=5 Ez még jó mintavételezési id . Így még visszakapjuk a dinamikát. y P z

1 e1 z e1

0.6321 z 0.3679

t num=1; den=[5 T=5; [numd, [z, p, z

1];

dend]=c2dm(num, den, T, zoh); k]=tf2zp(numd, dend); = Empty matrix: 0-by-1 p = 0.3679 k = 0.6321 s

1 T1

z

e

T T1

Ha adva van egy impulzus-átviteli függvény, akkor abból hogyan lehet meghatározni, hogy mi az átviteli tényez (az egységugrásra adott válasz állandósult állapotban)?

173

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak y z

P z u z

v z

P z

lim v t t

z z 1

lim 1 z z

1

lim 1 z

v z

1

z

z

1

z 1

1

P z

lim P z z

1

y z

1

P z

0.6321 z 1 0.3679 z

y z

0.6321 u z z

1

u z 1

0.3679 y z

z

1

0.6321 u n 1 T z 1 0.3679 y z z 1 y nT Ezzel az utolsó egyenlettel (a differenciaegyenlettel) írhatjuk le a folyamatokat az id tartományban. Láthatjuk, hogy ez egy rekurzív módszer. Tehát memóriaigényes. A mintavételes rendszerek véges memóriájú rendszerek, mert tárolni kell az el z értékeket is. Példa egy összetett mintavételes rendszerre T

T

A 1 s T1

ZOH

ZOH

1 s

T

Az ered impulzus-átviteli függvény: P z P1 z P2 z A MATLABban továbbra is alkalmazhatóak a folyamatos rendszernél megismert szorzási, egyszer sítési és visszacsatolási eljárások: series, parallel, feedback, cloop, minreal. Példa kéttárolós esetre Itt nem alkalmazhatjuk a soros összeszorzást! A kimenetet el ször részlettörtekre bonjuk.

A 1 sT1 1 sT2

ZOH

A kimenetet részlettörtekre bontva (residue): ZOH

ZOH

1 sT1

1 sT2

174

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1 e P z z e

T T1

1 e

T T1

z e

T T2

k z T T2

z e

T T1

z e

, ahol k és

T T2

Ha holtid s a mintavételezett folyamatunk: TH d P z z d T ua z ZOH

y 0

T

K s

y z

0

K T K T z 1 K T z 1 K T ua z 1 z 1 Akkor esik a körbe (vagyis akkorstabilis), ha y z

1-K T 0

ua z y z

z z 1 K T z 1 K T

z

1 K T

z 1

b

e

z

K T z 1 z b A visszaállításhoz bontsuk részlettörtekre: c1 c2 y z K T z z 1 z b y z

c1 z b z

y z

y* t y nT

K T

c2 z 1 1

b c2

b 1 1 z 1 c1 1 b z 1 K T z 1 1 b 1* t 1 nT

e

1

z

1

z b b 1

z

z

z 1

z b

at *

ea nT

1 nT

bn

175

aT

1 2

konstansok

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak K 1 T 0.5 b 1 K T y 0

0.5

0

y 1T

1 0.5 0.5

y 2T

1 0.52

0.75

y 3T

1 0.53

0.875

Hogyan tudjuk megvizsgálni a rendszereket a frekvenciatartományban? s j Pl.: 1 1 s j 1 1 1 s T1 1 j T1 1 1 2 T1 s T12 s 2

1 1

2

2 1

T

2 T1 j

Az 0 frekvencia mutatja meg az állandósult állapotot. A frekvenciatartománybeli vizsgálatokból következtetéseket tudunk levonni az id tartománybeli viselkedésekre. Hogyan néz ki ez mintavételes rendszernél? T z e sT ; z e j z 1 T j T e 1 1 e

T T1 T T1

1 e j T

T

T T1 T T1

z e e e Diszkrét esetben is használható a nyquist és a bode diagram: dnyquist, dbode. Nézzük meg hogyan néz ki egy egytárolós tag bodéja folytonos és mintavételes esetben: T1=0.1sec; T=0.05sec. numPs=1; denPs=[0.1 1]; T=0.05; [numPz, denPz]=c2dm(numPs, denPs, T, 'zoh'); omega=logspace(-1,2,200); [mags, phases]=bode(numPs, denPs, omega); [magz, phasez]=dbode(numPz, denPz, T, omega); loglog(omega, mags, 'r', omega, magz, 'b')

176


10

-1

10

-1

0

10

1

10

2

10

10

Megfigyelhet , hogy a kisfrekvenciás tartományban (a mintavételezési id reciproka alatt) a két függvény kb. együtt halad. 0

-50

-100

-150

-200

-250

-300 -1 10

0

1

10

ZOH

2

10

1 s

10

ZOH

177


A behozott holtid miatt nem lehet strukturálisan stabilis a rendszer.

1 s

T z 1

T e

j T

T 1

1

j T

j T 2 2 j T

az el z közelítése e

T 1

...

1 e j

j Tj

Taylor sorával

Egytárolós tag: 1 1 sT1 T

1 e z e

T T1 T T1

1 e ej

T

T T1

e

1 T T1

1

j T

1

T T1 1

T T1

T1

1 kisfrekvenciás tartomány T 1 Ennél a közelítésnél az -nél az eltérés kb. 1 rad. T T

1

178

e

j Tj

T T1

T T1 j T

e

j Tj

1 e 1 j T1

j Tj


6.4. Mintavételes rendszerek szabályozása A folytonos rendszereknél leginkább a PID szabályozást alkalmaztuk. Ez proporcionális, integráló, deriváló hatású.

6.4.1. Kisfrekvenciás közelítés Kompenzálás folytonos esetben

C(s)

-

A

P(s)

C PID

A 1

1 s TI

s TD 1 sT1

TD T1

A

TI A tervezés sokkal jobban alkalmazható, ha szorzat alakban írjuk fel. CPID s

A

1 sTI 1 s TD T1 , akkor pontos a közelítés, ha TI sTI 1 sT1 PI

PD

A PID jelleg összeállása a PI és PD jellegekb l: PI

PD 1/TI

PID 1/

1/T1

Milyen legyen a nyitott kör bodéja?

179

TD

T1


20

dB c

D

1 2TH

, ha van holtid

*

t

-180° * Mert az c -nél integrálónak tekinthet a folyamat. Az integráló 90 c TH 57.3 . Ha kisfrekvenciás tartományban: dB 0 -dal indul : arányos a folyamat; D 20

dB -dal indul D

: egyes típusú a folyamat;

40

dB -dal indul D

: kettes típusú a folyamat.

180

-je -90°. Összesen:

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Háromtárolós arányos folyamat: Arányos szabályozás:

-20

-120°

-40 -60

P szabályozóval

-60

PI szabályozóval

PI szabályozó, ha nagyobb pontosságot akarunk elérni:

-20

-120°

-40

PD szabályozó, ha gyorsítani akarunk:

-20

-120°

PD szabályozóval

-40 -60

PID szabályozó, ha a pontosság mellett a gyorsaság is kívánatos:

-20

-120°

PID szabályozóval

-40 -60

A szabályozástervezésnél, tehát kisfrekvencián alkalmazható a folytonos módszer! 181

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A háromtárolós tag kompenzálása: 1 1 sT1 1 sT2 1 sT3

Az

c

T

z

k z e

T T1

semmiképpen sem lehet nagyobb, mint

1 ! T

1 T1

1 T2

1

z e

z

2

T T2

z e

1 T3

T T3

1 T

-20 -40 -60

6.4.2. Diszkrét póluskiejtéses szabályozók 2004. 04. 22. A mintavételes szabályozók tervezésének módszerei Póluskiejtéses diszkrét PID a kisfrekvenciás tartományban. Véges beállású szabályozó. Schmidt-prediktoros szabályozó. PID jelleg kompenzáció a w transzformáció alapján. A véges beállású szabályozóval és a Schmidt-prediktorral nagy holtid esetén jelent s gyorsítás érhet el. Diszkrét idej szabályozások

-

Digitális szabályozó algoritmus

ZOH

folytonos FOLYAMAT Folytonos FOLYAMAT

Folyamatirányító számítógép (PLC)

182

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A legfontosabb követelmények: Statikus hiba; Stabilitás; Túllendülés. dB -os szakasznál metszi a 0dB-es tengelyt. Ez a vágási D 3 10 körfrekvencia. Ennek értékéb l a szabályozási id jósolható meg ( ). ts Akkor stabilis, ha a bode diagram a 20

c

dB 20 D

c

~

c

1 , ha van holtid 2TH 5%

ts

t

-180°

A mintavételezés során belép egy járulékos holtid T j , ez maximum a mintavételezési id fele. A PI szabályozó megvalósítása a gyakorlatban: m veleti er sít kkel. Zv Zb

Ub

-

Uk +

Ub Zb

Uk Za

0

Uk

Ub

Zv Zb

Au

10 4...108

Uk

5...10V

Diszkrét szabályozók megvalósítása P: PI: PD:

C z C z C z

A A A

T T1

z e z 1 z e z e

T T2 T T2

T2

T2

haT2 183

0

C PD, ideális z

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak CPD , id z PID:

C z

A

z e z T T1

z e z 1

A

T T2

ez realizálható

z e z

T T2

Vizsgáljuk meg e tagok dinamikáját, hogy mennyire hasonlít a folyamatos esethez: PI: T1=10; T2=4; T=1; A=2; numPI=A*[1 -exp(-T/T1)]; denPI=[1 -1]; y=dstep(numPI, denPI, 20); stairs(y), grid 6

5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2

PD:

0

2

4

6

8

10

T1=10; T2=4; T=1; A=2; numPD=A*[1 -exp(-T/T2)]; denPD=[1 -exp(-T/(T2/5))]; y=dstep(numPD, denPD, 20); stairs(y), grid

184

12

14

16

18

20


1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

PID:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

T1=10; T2=4; T=1; A=2; numPID=A*[1 -exp(-T/T2)-exp(-T/T1) exp(-T/T1)*exp(T/T2)]; denPID=[1 -1 0]; y=dstep(numPID, denPID, 20); stairs(y), grid 2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0

2

4

6

8

10

185

12

14

16

18

20

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A kompenzáló tagokat az adott folyamatokhoz modellek segítségével tervezzük meg. PID szabályozó tervezése: 1 s TD ez akkor lehet PI PD,ha TI TD T1 C s A 1 s TI 1 s T1 C s

A

1 s TI 1 s s TI 1 s T1

TD 5

T1 20

T1

-20

-120°

-40 -60

u*

T

C

P z

P

u z

1

ZOH

y z

T T1

z e

C s

A

z e z 1

z e

z e

T T2

T T2 T

T1

T2

' 2

T2

T

'

z e T2 Az ideális PID szabályozó: PI

C z

A

T T1

z e z 1

z e z

T T2

Ideális PD

Hogyan viselkedik az ideális PD, ha mintavételezett egységugrással tápláljuk? z e z

T T2

y z

A frekvenciatartományba való átszámításhoz: z esT e j T dbode, dnyquist A bode diagramból jól látható, hogy kisfrek1 vencián a mintavételezett rendszer jól T követ a folytonost

A kompenzálás T T1

y*

1 s T1 1 s T2

k

u z

T

v 0 v

186

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak v z v t

z

z e z 1 z 0 lim v z

T T2

z

lim 1 z

v t

z

1 1 z

1

1 e 1

z

A 1

1

A túlvezérlés: v 0 v

A

T T2

v z

A A 1 e

z e lim A z 1 z

T T2

1

~

1 e

T T2

A 1 e

1 T T2

1

1

T T2

T2 T

T T2

PI, PD, PID, PIPD kompenzálás a szokásos módon, póluskiejtéssel. Példa: T

C

e ZOH

s

1 sT1 1 sT2

t legyen 60° T=1 T=1; %Holtid nélküli folytonos folyamat numPs=1; denPs=[50 15 1]; %Mintavételezve, impulzusátviteli fgv [numPz, denPz]=c2dm(numPs, denPs, T, 'zoh') numPz = 0 0.0091 0.0082 denPz = 1.0000 -1.7236 0.7408

0.0091 z 1 0.0082 z 2 z1 1 1.7236 z 1 0.7408 z 2 a holtid miatt %Zérus-pólus alak a z-tartományban [zerosd, polesd, gaind]=tf2zp(numPz, denPz) zerosd = -0.9048 polesd = 0.9048 0.8187 gaind = 0.0091 Egyenlettel: P z

Egyenlettel: P z

0.0091

%A nevez t megszorzom z-vel 187

z 0.9048 z 0.9048 z 0.8187 z

T

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak denPz=[denPz 0]; A szabályozó legyen: z 0.9048 z 0.8187 C z A z 1 z %Az ábrázolás kisfrekvencián ... 1-ig w=logspace(-2,0,100)'; A meghatározása úgy, hogy a fázistartalék 60°legyen. z 0.9048 L z C z P z 0.0091 A 2 , a nyitott kör ered je. z z 1 A=1, adjuk meg a polinom számlálóját és nevez jét! %Az L(z) átviteli fgv A=1; numLz=[0.0091 0.0091*0.9048]; denLz=[1 -1 0 0]; [Magd,Phased]=dbode(numLz, denLz, T, w); %Foglaljuk táblázatba [Phased, Magd, w] Phased -91.1316 -91.1855 -91.2419 -91.3011 -91.3630 -91.4279 -91.4959 -91.5671 -91.6418 -91.7199 -91.8018 -91.8876 -91.9775 -92.0717 -92.1703 -92.2736 -92.3819 -92.4953 -92.6141 -92.7386 -92.8690 -93.0056 -93.1487 -93.2987 -93.4557 -93.6203 -93.7927 -93.9733 -94.1624 -94.3606 -94.5683 -94.7858 -95.0137 -95.2524 -95.5025 -95.7645 -96.0390

Magd 1.7334 1.6546 1.5794 1.5076 1.4391 1.3736 1.3112 1.2516 1.1947 1.1404 1.0886 1.0391 0.9919 0.9468 0.9038 0.8627 0.8235 0.7860 0.7503 0.7162 0.6836 0.6526 0.6229 0.5946 0.5676 0.5418 0.5171 0.4936 0.4712 0.4498 0.4293 0.4098 0.3912 0.3734 0.3564 0.3402 0.3247

w 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120 0.0126 0.0132 0.0138 0.0145 0.0152 0.0159 0.0167 0.0175 0.0183 0.0192 0.0201 0.0210 0.0221 0.0231 0.0242 0.0254 0.0266 0.0278 0.0292 0.0305 0.0320 0.0335 0.0351 0.0368 0.0385 0.0404 0.0423 0.0443 0.0464 0.0486 0.0509 0.0534

188

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak -96.3265 -96.6278 -96.9434 -97.2740 -97.6203 -97.9832 -98.3633 -98.7615 -99.1787 -99.6157 -100.0736 -100.5532 -101.0557 -101.5821 -102.1336 -102.7113 -103.3166 -103.9506 -104.6149 -105.3108 -106.0398 -106.8035 -107.6035 -108.4417 -109.3198 -110.2396 -111.2033 -112.2128 -113.2704 -114.3783 -115.5390 -116.7549 -118.0287 -119.3631 -120.7611 -122.2255 -123.7597 -125.3669 -127.0505 -128.8142 -130.6619 -132.5975 -134.6251 -136.7492 -138.9743 -141.3052 -143.7470 -146.3048 -148.9843 -151.7910 -154.7311 -157.8109 -161.0369 -164.4161 -167.9557 -171.6632 -175.5466 -179.6140 -183.8741 -188.3359 -193.0088 -197.9026 -203.0276

0.3100 0.2959 0.2824 0.2696 0.2573 0.2456 0.2344 0.2238 0.2136 0.2039 0.1946 0.1857 0.1773 0.1692 0.1615 0.1541 0.1471 0.1404 0.1340 0.1279 0.1221 0.1165 0.1112 0.1061 0.1013 0.0967 0.0922 0.0880 0.0840 0.0801 0.0765 0.0730 0.0696 0.0664 0.0634 0.0605 0.0577 0.0550 0.0525 0.0500 0.0477 0.0455 0.0434 0.0414 0.0394 0.0376 0.0358 0.0341 0.0325 0.0309 0.0295 0.0280 0.0267 0.0254 0.0241 0.0230 0.0218 0.0207 0.0197 0.0187 0.0177 0.0168 0.0159

0.0559 0.0586 0.0614 0.0643 0.0673 0.0705 0.0739 0.0774 0.0811 0.0850 0.0890 0.0933 0.0977 0.1024 0.1072 0.1123 0.1177 0.1233 0.1292 0.1353 0.1417 0.1485 0.1556 0.1630 0.1707 0.1789 0.1874 0.1963 0.2057 0.2154 0.2257 0.2364 0.2477 0.2595 0.2719 0.2848 0.2984 0.3126 0.3275 0.3430 0.3594 0.3765 0.3944 0.4132 0.4329 0.4535 0.4751 0.4977 0.5214 0.5462 0.5722 0.5995 0.6280 0.6579 0.6893 0.7221 0.7565 0.7925 0.8302 0.8697 0.9112 0.9545 1.0000

189

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Most keressük meg a -120°-hoz tartozó Phased-ét. Itt lesz a fázistartalék 60°. Az ehhez tartozó Magd-ének a reciprokát veszszük. Ez lesz az A. A=1/0.0664=15.0602. Vagy megtehetjük a következ utasítás-sorozattal is: M1=[Phased, Magd, w]; M120=table1(M1, -120); A=1/M120(1) Az A értéke 15.3773 lesz. Ezzel a módszerrel pontosabb eredményre jutunk, mert a MATLAB interpolált értékkel dolgozik. De csak monoton függvényt tud interpolálni! pillanatban a folyamat kimenete 0, mert tárolós. Így Az els olyan mintha csak a szabályozó lenne a körben! A=15.3773; numLz=A*numLz; numCz=A*conv([1 -0.9048],[1 -0.8187]); denCz=[1 -1 0]; [Magd,Phased]=dbode(numLz,denLz,T,w); [GM,PM,wpi,wc]=margin(Magd, Phased, w) GM = 3.1533 PM = 60.0082 wpi = 0.7958 wc = 0.2650 Amikor MATLAB-ban dolgozunk mintavételes rendszerrel, akkor csak a mintavételezési id kben látjuk a rendszer adatait. De ha SIMULINK-ben szimulálunk, akkor a mintavételi id k között is tudjuk mik az állapotok. u

Clock

t

u

To Workspace2

To Workspace

y To Workspace1

numCz(z)

numPs(s)

denCz(z) Alapjel

PD Fcn1

denPs(s) Zero-Order Hold

FOLYAMAT

Holti dö

Kimenet

Most nem az oszcilloszkóp képeit nézzük, hanem a MATLAB rajzait. plot(t,y), grid

190


1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15

20

25

30

Nézzük a szabályozó kimenetét! stairs(z), grid 16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

0

5

10

15

20

Most nézzünk egy másik kéttárolós, holtid s folyamatot! e s P s 1 5s 1 10s T

1 c

~

1 4

191

25

30

35


0.2

1/T=1

1

1

3 10

30

e

c

ne közelítse meg nagyon

a törés-pontot 20 40 (mérési pontatlanág miatt). A legközelebbi törés-pont 1 3...1 5 távolságra lehet!

Legyen 1

Az

-120°

1 1 30

=exp(-1/30)=0.9672 z 0.9672 z 0.9048 z 0.8187 C z A z 1 z 1 z numCz1=conv([1 -0.9672], [1 -0.9048]); numCz=conv(numCz1, [1 -0.8187]); denCz=[1 -2 1 0]; A=1; T=1; z 0.9048 z 0.9672 L z C z P z A 0.0091 z 1 z2 z 1 numLz=0.0091*conv([1 0.9048], [1 -0.9672]); denLz=[1 -2 1 0 0]; w=logspace(-2, 1, 100)'; [Magd, Phased]=dbode(numLz, denLz, T, w); M1=[Phased, Magd, w] -121.5160 -120.8071 -120.2155 -119.7435 -119.3934 -119.1675 -119.0679 -119.0969 -119.2568 -119.5504 -119.9807 -120.5510 -121.2652

0.2271 0.2098 0.1940 0.1796 0.1663 0.1542 0.1431 0.1328 0.1233 0.1146 0.1065 0.0991 0.0921

0.0811 0.0870 0.0933 0.1000 0.1072 0.1150 0.1233 0.1322 0.1417 0.1520 0.1630 0.1748 0.1874

%Két 120°. %A kisebbik frekvenciánál: 5.1546 %A nagyobbik frekvenciánál: Az er sítés 10.0908 A1=1/0.0991; A2=1/0.1940; numCz1=A1*numCz; numCz2=A2*numCz; numLz1=A1*numLz; numLz2=A2*numLz; [Magd, Phased]=dbode(numLz1, denLz, T, w); [GM, PM, wpi, wc]=margin(Magd, Phased, w) GM = 192

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1.2424 PM = -33.2520 wpi = 6.3748 wc = 6.2426 [Magd, Phased]=dbode(numLz2, denLz, T, w); [GM, PM, wpi, wc]=margin(Magd, Phased, w) GM = 2.4322 PM = 59.7843 wpi = 6.3748 wc = 0.0933 A második er sítés a jobb, ez a kisebb. Itt van meg a 60°fázistartalék. Vizsgáljuk meg a rendszerünket SIMULINK-ben, egységsebesség alapjelre! u u t Clock

To Workspace2 numCz1(z) PD Fcn1

To Workspace1

numPs(s)

denCz(z) Ramp

y

To Workspace

denPs(s) Zero-Order Hold

FOLYAMAT

Holtidö

Kimenet

Kimenet1

193


Láthatjuk, hogy a szabályozott rendszerünk jól követi az alapjelet. MATLAB képek: 120

100

90 100 80

70

80

60

60

50

40 40 30

20 20 10

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

0

Most nézzük meg hogyan viselkedik (numCz2). Itt az er sítés 10.0908.

194

20

40

a

másik

60

80

100

120

szabályozónkkal


Ha jól megnézzük a két ábrát, láthatjuk, hogy lassabban követi az alapjelet a rendszer. Ez a fázistartalék miatt lehet. 2004-04-29

6.4.3. Véges beállású szabályozók tervezése Ennél a módszernél a cél az, hogy a rendszerünk véges számú lépésszám alatt álljon be. A szabályozó a véges beállású szabályozó, dead-beat controller:

ZOH

P(s)

P z

c2dm

A folytonos szakaszban a mintavételi pontok között is vizsgálnunk kell a folyamatot. y z C z P z Az ered impulzus-átviteli függvény: u z 1 C z P z Stabilis-e a rendszer? Ennek megválaszolására nézzük meg a karakterisztikus egyenlet gyökeit. Az 1 C z P z 0 egyenlet megoldásainak negatív valósrész eknek kell lenniük. Ha azt akarjuk, hogy a kimeneten a jel d lépéssel késve jelenjen meg:

195

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak y z u z d

C z P z 1 C z P z TH T

entries

C P

z 1 z

C

d

1

1 C P

C P1 C P

z

d

z z

d

d d

P

B z d , ahol A és B polinomok A z d A ez csak akkor alkalmazható, ha a szakasz stabilis B B1 z d z d 1 z d A

P C

LABILIS PÓLUSOKAT NEM SZABAD KIEJTENI! Az adatok mérési eredményekb l származnak. A mérések nem 100%-ig pontosak. Így nem pontos a pólus helye sem, a folyamat szétlenghet!

6.4.4. IMC (Internal Model Control) Bels modellen alapuló irányítás B z A A B

-

ZOH

d

P s 3

B z A

d

A fenti eljárás a zavarjel elhárítását végzi. A A , B és z d -on a kalap azt jelzi, hogy ezek modellek. Ha nincs zaj, akkor a 3-as összegz kimenete 0. Ha van zaj, vagy nem pontos a rendszer, akkor zárul a kör, megvalósul a negatív visszacsatolás. Ez az eljárás tulajdonképpen ugyanaz, mint a véges beállású szabályozás:

-

+

A B B z A

ZOH

d

Szabályozó

196

P s

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A A B A szabályozó: C z d A B 1 z d B1 z B A Példa a véges beállású szabályozóra: e 10 s P s ; T 5sec 1 5s Ett l a következ viselkedést várjuk: 15sec

10sec

Minél kisebb a mintavételi id , annál nagyobb a beavatkozó jel! 1 e1 P z z2 T z e T1 num=1; den=[5 1]; [numd,dend]=c2dm(num, den, 5, 'zoh') numd = 0 0.6321 dend = 1.0000 -0.3679 P z C z

0.6321 z 1 z2 1 1 0.3679 z 1 0.3679 z 1 0.6321 z 1 1 z 3

A nyitott kör: L z

C z P z z

A zárt kör:

W z

z

3

1 z

3

3

1 z3 z3 1 1 z

z

3

3

y

t Milyen a beavatkozó jel?

197


u ya

1 0.3679 z 0.6321 1 z

C 1 C P

1

z

3

1 z

1 3

1 0.3679 z 0.6321

1

1.582 0.582 z

1

3

u u

y

To Workspace

1-0.3679z-1

1

0.6321*[1 0 0 -1]

5s+1

Alapjel, ya Step

Szabályozó Discrete Filter

Zero-Order Hold

FOLYAMAT1

Holtidö

To Workspace1

Oszc. y

Oszc. ya, y t Clock

To Workspace2

Hasonlítsuk össze a PI szabályozó tervezésével! z 0.6379 CPI z A z 1 z 0.3679 0 6321 0.6321 L z C PI z P z A A 2 z 1 z2 z 1 z 0.3679 z Mekkora legyen A , hogy t 60°legyen? om=logspace(-2, log10(0.2), 100); [mag, phase]=dbode(0.6321, [1 -1 0 0], 5, om); v=[phase mag om'] -119.6957 3.0545 0.0415 -120.6080 2.9637 0.0427 A=1/3.0545 A=0.3274 ts=5/0.0415 120.4819

198

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak A szabályozó: u u

y

T o Workspace

0.3274*[1 -0.3679]

1

1-z-1 Alapjel Step

To Workspace1

5s+1


Zero-Order Hold

FOLYAMAT1

Holtidö

Kimenet

Kimenet1 t Clock

T o Workspace2

Egy másik folyamat: e 10 s P s T ; 2 1 5s P z P z C z

5

0.2642 z 1 0.1353 z 2 1 0.7353 0.1353 z 0.5122 0.2642 z 0.3679 z 2 A 1 0.7358 z 1 0.1353 z 2 B1 z d 0.2642 0.1353 z 1 1 z 3

199


u u

y

To Workspace

1-0.7358z -1+0.1353z -2

1

0.2642+0.1353z-1+-0.2642z-3-0.1353z -4

25s2 +10s+1

Step

Discrete Fil ter

Zero-Order Hold

FOLYAMAT1

To Workspace1

Holti dö

Kim enet

Kim enet1 t Clock

To Workspace2 Kimenet2 1.4

4

3.5 1.2 3

1

2.5

2 0.8

1.5 0.6 1

0.5

0.4

0 0.2 -0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12

14

0

0

10

20

30

40

50

60

A mintavételi pontok között leng a rendszer. Ennek oka, hogy a szabályozóval kiejtettük a z 0.5122 -t. ami a folytonos folyamatban nem volt (a mintavételezés hozta be). Példák: 1 leng, de beáll z 0.5 1 leng, nem áll be, elszáll z 2 T intergáló z 1 y t

lim 1 z

1

z z 1

H z

1 z 0.5 z legyen 1.5, ekkor lesz H z

H z

z 1

200

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak y z u z

0.5 z 1 1 0.5 z

y z

0.5 z

y nT y 0

1

1

0.5 y z

z

0.5 u n 1 T

1

0.5 y n 1 T

0

y 1T

0.5

y 2T

0.5 0.5 0.5 0.75

y 3T

0.5 0.5 0.75 0.875

. . y z u z

1.5 z 1 1 0.5 z

y nT y 0

1

1.5 u n 1 T

0.5 y n 1 T

0

y 1T

1.5

y 2T

1.5 0.5 1.5 0.75

y 3T 1.5 0.5 0.75 1.125 Hogyan lehet elkerülni a mintavételi pontok közötti lengést? Nem hagyjuk, hogy az algoritmus kiejtse a zérust!

6.4.5. Véges beállású szabályozó, a mintavételi pontok közötti lengés elkerülése kiejthet tartalmazza a baloldai pólusokat

nem kiejthet

B B1 B2 z d A A C P d W B2 z 1 C P C P B2 z d P z

C P

B2 z

d

C P 1 B2 z C

C

C P B2 z d

B2 z

B2 B1 B 2 z d A A B 1 B2 z

z

z

d

d

d

d

1 B2 z

d

A B1 1 B2 z

d

Bontsuk fel B-t B1 B2 -re: 201

d

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak B

B1 B2 1 0.5122 z 1 1.5122 0.2642 1.5122

B2 B1

0.6613 0.3387 z 0.3995

1 0.7358 z 1 0.1353 z 2 0.3995 1 0.6613 z 3 0.3387 z

C Az el z

1

4

szabályozó helyett most alkalmazzuk ezt! u u

y

To Workspace

1-0.7358z-1+0.1353z-2

1

0.3995*[1 0 0 -0.6613 -0.3387]

25s2 +10s+1

Step

Discrete Filter

Zero-Order Hold

FOLYAMAT1

To Workspace1

Holtidö

Kimenet

Kimenet1 t Clock

To Workspace2 Kimenet2

2.6 1.4

2.4 1.2 2.2

2

1

1.8 0.8 1.6

0.6

1.4

1.2 0.4 1

0.2

0.8

0.6

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0

0

5

10

15

20

25

6.4.6. Smith-prediktor

-

Csp s

P s e

s TH

-

202

C s

P s

e

s TH

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak s TH

Csp P e

1 Csp P e Csp

s TH

Csp C P

C P e 1 C P

C C Csp P e

Csp 1 C P 1 e Csp

s TH

s TH

C 1 C P 1 e

s TH

C

s TH

C

P e

s TH

Egyenérték az el z vel. P 1 e

s TH

Csp Most is látható, hogy a szabályozó tartalmaz információt a szakaszról.

Egyenérték az el z vel. -

-

C

P e

s TH

P

P e

s TH

-

IMC struktúra.

Példa: e 10 s ; T 5sec 1 5s num=1; den=[25 10 1]; [numd, dend]=c2dm(num, den, 5, 'zoh') numd = 0 0.2642 0.1353 dend = 1.0000 -0.7358 0.1353 om=logspace(-2, 0, 100); [mag, phase]=dbode(0.6321, [1 -1], 5, om); v=[phase mag om'] -120.8600 0.6162 0.2154 A=1/0.6162; numc=1.6228*[1 -0.3679]; denc=[1 0.0258 0 -1.0258]; 0.6321 z 3 0.6321 z 2 P z 1 0.3679 z 1 z 0.3679 z 0.3679 C PI z A z 1 0.6321 0.6321 L z A 1.6228 z 1 z 1 P s

203

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1 0.3679 z 1 1 z1 1 0.3679 z 1 1.6228 1 z1 1.6228 0.6321 z 1 1 1 z 1 z1 1.6228 1 0.3679 z 1

CPI z

1.626

Csp z

Csp z

1 0.0258 z

1

1.0258 z

1.6228 1 0.3679 z 1 z

2

1

1

1.0258 z

1

0.0258 z

3

3

u u

y

T o Workspace

1.6228*[1 -0.3679]

1

1+0.0258z-1+-1.0258z-3

5s+1

Step

Zero-Order Hold


T o Workspace1

Holtidö

FOLYAMAT 1

Kimenet

Kimenet1 t Clock

T o Workspace2

1.8

1.4

1.7 1.2

1.6 1 1.5

0.8

1.4

1.3

0.6

1.2 0.4 1.1

0.2 1

0.9

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2004-05-06

204


6.4.7. PID jelleg szabályozó w transzformációval A módszernél a diszkrét szabályozót folytonos módszerrel valósítjuk meg, úgy hogy a mintavételezés által behozott holtid figyelembe vesszük. A járulékos holtid figyelembevételével tervezzük meg a szabályozót (a fázisszöget módosítjuk). A holtid által módosított formulát visszatranszformáljuk diszkrétbe. Ehhez a trapézmódszert használjuk fel (tustin). f

Trapéz-módszer:

f z

(k-1)Ts

i t

f t dt k 1 Ts

i k Ts 1 z

1

i z f z

t

kTs

k Ts

Ts f k Ts 2

i k 1 Ts Ts f z 2 Ts 1 z 1 2 1 z1 i z

f z

k 1 Ts

f

Ts f k Ts 2

1 T 1 z (megfeleltethet ) s s 2 1 z 1 2 1 z s Ts 1 z 1

i z

z

f

k 1 Ts

1

1 1

az integrátor megfelel je az s differenciál operátor megfelel je

Ts 2 z Ts 1 s 2 Bevezetjük az s helyett a w-t, hogy ne keverjük a folytonost a diszkrétb l nyert folytonossal. T 1 w s 2 1 z1 2 w z Ts Ts 1 z 1 1 w 2 1 s

205

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Tervezési koncepció: Adott a folytonos szakasz P s . Ebb l meghatározzuk P z -t (ebben benne van a mintavétel és a zérusrend tartószerv hatása). Ezt folytonossá alakítjuk a trapézformulával (ez lesz P w ), amihez tervezzük a folytonos (pl.: PID) szabályozót, ez lesz a C w . Ezek után a folytonos szabályozót áttranszformáljuk a z tartományba. P s P z P w C w C z Példa: egytárolós folyamat P s Ts

1 1 0.1s 0.1s

1 e

P z

z e P w

P z

0.1

T T1 T T1

ZOH

Ts 2 T 1 w s 2 1 w

z

P(s)

%A folytonos folyamat: numPs=1; denPs=[0.1 1]; Ts=0.1; %Amintavételezett folyamat [numPz,denPz]=c2dm(numPs,denPs,Ts, 'zoh');

0.6321z 1 1 0.3679 z

P z

1

Az átviteli tényez innen is meghatározható, ha z 1

%Az átviteli tényez meghatározása: ddcgain(numPz,denPz) ans = 1.0000 %Áttérés a w tartomáyba: [numPw,denPw]=d2cm(numPz,denPz,Ts,'tustin')

P w

0.4621w 9.2423 w 9.2423

9.2423 1 0.05 w w 9.2423

A számlálóban kapott zérus fázistolást eredményez. Ezzel próbálja követni a diszkrét rendszer fázistolását. %Omega felvétele 0.1-t l, 100-ig: om=logspace(-1, 2, 200); %Az er [Mags, [Magw, [Magd,

sítések és fázistolások számítása Phases]= bode(numPs, denPs, om); Phasew]= bode(numPw, denPw, om); Phased]=dbode(numPz, denPz, Ts, om);

%Ábrázoljuk a kapott függvényeket, er sítés: loglog(om,Mags,'r',om,Magw,'b',om,Magd,'g')

206


10

-1

10

-1

10

10

0

1

10

2

10

%Ábrázoljuk a kapott függvényeket, fázistolás: semilogx(om, Phases, 'r', om, Phasew, 'b', om, Phased, 'g') 0

-100

-200

-300

-400

-500

-600 -1 10

10

0

1

10

2

10

Látható, hogy a mintavételi id reciprokjáig (a kisfrekvenciás tartományban) a fázisszögek nagyjából együtt futnak.

Példa: kéttárolós holtid s folyamat e s P s 1 5 s 1 10 s Ts

1sec %A folytonos folyamat: numPs=1; denPs=conv([5 1], [10 1]); Ts=1; %A diszkrét folyamat: [numPz, denPz]=c2dm(numPs, denPs, Ts, 'zoh')

P z

0.0091z 1 0.0082 z 2 1 1.7236 z 1 0.7408 z

2

%Diszkrétb l folytonosba: [numPw, denPw]=d2cm(numPz, denPz, Ts, 'tustin') %Zérus-pólus-er sítés: [zPw, pPw, kPw]=tf2zp(numPw, denPw)

207

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak ez javítja a fázisszöget

P w

2.4876 10

4

w 40.0333

w 2

w 0.1993 w 0.0999

e

w

A P(w) átalakítása id állandós alakba:

P w

1.004

1 40.0333

1

2.4876 10 4 40.0333 0.1993 0.0999 1

1

1 w 2

e

1 1 w 1 w 0.1993 0.0999 5.0176

10

om=logspace(-2, 1, 500); [Mags, Phases]= bode(numPs, denPs, om); [Magw, Phasew]= bode(numPw, denPw, om); %A holtid figyelembevétele: Phases=Phases-om'*Ts*180/pi; Phasew=Phasew-om'*Ts*180/pi; %Ábrázolás: figure(1) loglog(om, [Mags, Magw]), grid, shg 0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-2

10

-1

10

10

0

figure(2) semilogx(om, [Phases, Phasew]), grid, shg

208

1

10

w


-100

-200

-300

-400

-500

-600

-700

-800

-900 -2 10

-1

0

10

10

10

%A szabályozó a w tartományban: PID numCw=conv([10 1], [5.0176 1]); denCw=conv([10 0], [1 1]);

C w

A

1 10 w 1 5.0176 w 10 w 1 w

PID

El bb feltételezzük, hogy A=1. %A nyitott kör: [numLw, denLw]=series(numPw, denPw,numCw, denCw) [numLw, denLw]=minreal(numLw, denLw, 1e-2) %Er sítés-fázisszög: [MagL, PhaseL]=bode(numLw, denLw, om); PhaseL=PhaseL-om'*Ts*180/pi; vec=[PhaseL MagL om'] -118.8154 0.4814 0.2045 -119.2121 0.4745 0.2073 -119.6141 0.4678 0.2102 -120.0215 0.4612 0.2131 -120.4343 0.4546 0.2161 -120.8527 0.4482 0.2191 -121.2767 0.4418 0.2222 %-120° 0.4678 A=1/0.4678 2.1377 %Ellen rzés, hogy megvan-e a 60° fázistöbblet: numCw=A*numCw; numLw=A*numLw; [MagL, PhaseL]=bode(numLw, denLw, om); PhaseL=PhaseL-om'*Ts*180/pi; [GM, PM, w180, wc]=margin(MagL, PhaseL, om) GM = 3.5913 PM = 60.3848 w180 = 0.6719 wc = 0.2102

209

1

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak %Visszatranszformálás z tartományba: [numCz, denCz]=c2dm(numCw, denCw, Ts, 'tustin'); [zCz, pCz, kCz]=tf2zp(numCz, denCz)

C z

8.2563

z 0.9048 z 0.8188 z 1 z 0.3333

Az irányítójel egységugrás bemen ugrik, a kimenet beáll 1-re.

jelre t=0 pillanatban 8.2563-ra

6.4.8. A mintavételi id megválasztása Be kell tartani a Shanonn-tételt. Ami kimondja, hogy a mintavételezési frekvenciának legalább kétszer akkorának kell lenne, mint a mintavételezend jelben el forduló legnagyobb frekvencia. Ekkor még visszakapjuk a jel dinamikáját. Tehát: s c.

t

A jelet sz r vel (filterrel) kell visszaállítani. Ideális esetben: ahol 2 T, T : a periódusid Ez a sz r nem valósítható meg, helyette tartószerveket alkalmazunk (pl.: ZOH) 2

2

Hogyan befolyásolja a mintavételi id a jel maximális értékét? A B1 z

1 1 10 s

1 e 1 e

T 10

T 10

z z

1

1

ZOH

1

B z A

1

210

1 1 10s

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak T

P z

C z

10sec

0.6321 z 1 1 0.3679 z

5sec

0.3935 z 1 1 0.6065 z

0.5sec

0.488 z 1 1 0.0.9512 z

max u

1 0.3679 z 0.6321 1 z

1

1

1

1

1 1.582 0.6321

1

1 0.6065 z 0.3935 1 z

1

1 0.9512 z 0.0488 1 z

1

2.54

1

20.5

1

6.4.9. A mintavételes rendszer stabilitása K 1 z

1 1 T1 s

ZOH

1

A zárt kör impulzusátviteli függvénye:

W

K z 1 e z 1 z e

L

T T1

1 L

K z 1 e z 1 z e A karakterisztikus egyenlet: 1

z

2

z K

1 e

T T1

K z 1 e

T T1 T T1

1 e

z 1 z e

T T1

T T1

e

Példa: T T1

1

z2

z 0.63 K 1.37

e

b 2

0

c

b

z1,2

0.3678 ~ 0.37 0.37

2

b 4

K z 1 e

T T1

T T1

T T1

0

Megnézzük, hogy a diszkrét rendszer gyökhelygörbéje ( K

T T1

T T1

c

211

0

) mi lesz.

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Valós gyökök, ha

b 4

c

2

c , vagy b

vagy

b 2

b

2

c

0.249 4.1

K K

Egybees gyökök: K 0.249 b2 c K 4.1 4 A stabilitás határa: b2 4

b 2

0.63 K 1.37 4

0.63 K 1.37 2 x

b2 4

c

1

2

0.37 1

b 2

x2

0.37 1 x

x2

0.37 1 2 x 2 x 1.37

K kr

1

c

x

1.37 2

2.74 0.63

4.35

x2

z1 0.37 z2 1

A másik határból: x2 c 1 K 0 -x Mikor adódnak konjugált komplex gyökök ? 0.247 K 4.1 z1,2 z1, 2

j 0.37 x 2

x x2

0.37 x 2

Ezek a pontok egy 0.37

K kr

4.35

K

4.1

0.37

0.6083 1

0.6083 sugarú kör kerületén vannak.

0.37

0.37

1

Gyökhelygörbe MATLABbal: 212

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak K z 1 e z 1 z e

L z

T T1

T 1 T1 1

K z 0.63 z 1 z 0.37

T T1

K

1

T=1; z=tf('z', T); lz=z*0.63/((z-1)*(z-0.37)) Transfer function: 0.63 z ------------------z^2 - 1.37 z + 0.37 Sampling time: 1 rlocus(lz) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1 -2

-1.5

-1

-0.5

0 Real Axis

0.5

1

1.5

2

rlocfind(lz) %Ezzel lehet megnézni melyik pontnak mi a koordinátája

Folytonos esetre:

s=tf('s'); ls=(5*s+1)/((1+0.1*s)*(1+s)*(1+10*s)) Transfer function: 5 s + 1 --------------------------s^3 + 11.1 s^2 + 11.1 s + 1 rlocus(ls)

213


6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-8

-6

-4 Real Axis

214

-2

0

2

4

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 1. Bevezetés .....................................................................................................................................1 1.1. Alapfogalmak .................................................................................................................................. 1 1.2. A szabályozás felépítése .................................................................................................................. 4 1.3. A szabályozások osztályozása ........................................................................................................ 6

2. Folytonos idej lineáris tagok és rendszerek leírása ................................................................7 2.1. A leírás alapja a modellalkotás ...................................................................................................... 7 2.2. Hatásvázlatok átalakítása............................................................................................................. 11 2.3. Az állapotegyenlet megoldása ...................................................................................................... 13 2.4. Állapottranszformáció .................................................................................................................. 22 2.5. Irányíthatóság és megfigyelhet ség ............................................................................................. 25 2.5.1. Állapotirányíthatóság (controllability) .................................................................................................... 25 2.5.2. Kimeneti irányíthatóság........................................................................................................................... 25 2.5.3. Megfigyelhet ség (observability) ............................................................................................................ 25 2.5.4. A Kalman-féle 4 alrendszer ..................................................................................................................... 26

Kitekintés: Az állapotirányítás elve.................................................................................................... 28 2.6. Alaptagok jellemz függvényei .................................................................................................... 29 2.7. Példák összetett tagokra ............................................................................................................... 38

3. Folytonos idej szabályozások jellemz i .................................................................................42 3.1. Alapjelkövetés és zavarjel-elhárítás ............................................................................................ 42 3.1.1. Alapjelkövetés állandósult állapotban ..................................................................................................... 42 3.1.2. Zavarelhárítás .......................................................................................................................................... 45

3.2. Stabilitás......................................................................................................................................... 48 3.3. Min ségi jellemz k........................................................................................................................ 55

4. Folytonos idej lineárisszabályozások tervezése ..................................................................... 59 4.1. Követelmények, módszerek.......................................................................................................... 59 4.2. Szabályozó típusok........................................................................................................................ 60 4.3. Soros kompenzáció........................................................................................................................ 62 4.3.1. Szabályozó tervezése arányos szakaszhoz (önbeálló folyamat) .............................................................. 62 1. P kompenzálás..................................................................................................................................... 62 2. PI kompenzálás ................................................................................................................................... 65 3. PD kompenzálás.................................................................................................................................. 67 4. PID kompenzálás ................................................................................................................................ 68 4.3.2. Szabályozó tervezése integráló szakaszhoz (folyamathoz) ..................................................................... 70 1. P kompenzáció .................................................................................................................................... 70 2. PD kompenzáció ................................................................................................................................. 71 3. PI kompenzáció................................................................................................................................... 71 4. PIPD kompenzáció.............................................................................................................................. 75

4.4. Holtid s szakasz kompenzálása ................................................................................................... 77 4.4.1. kompenzálás az eddig megismert tagokkal ............................................................................................. 77 1. P szabályozó........................................................................................................................................ 77 2. I szabályozó......................................................................................................................................... 78 3. PI szabályozó ...................................................................................................................................... 80 4.4.2. A kompenzálás új módszere: Smith-prediktor......................................................................................... 83

4.6. Kompenzálás visszacsatolással..................................................................................................... 86 4.7. Zavarkompenzáció........................................................................................................................ 92 4.8. Kaszkád szabályozás..................................................................................................................... 95

215

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 4.9. Szabályozók kísérleti beállítása ................................................................................................... 97 4.9.1. Ziegler-Nichols módszer ......................................................................................................................... 97 4.9.2. Oppelt módszer........................................................................................................................................ 99

5. A nemlineáris rendszerek néhány kérdése ............................................................................101 5.1. Alapfogalmak .............................................................................................................................. 101 5.2. Esettanulmány: H mérsékletszabályozás és modellezése ....................................................... 103 5.3. Munkaponti linearizálás............................................................................................................. 113 5.4. Tipikus nemlinearitások ............................................................................................................. 122 5.5. A leíró függvény .......................................................................................................................... 124 5.5.1. Linearizálás a frekvencia tartományban ................................................................................................ 124 A fontosabb nemlinearitásokra vonatkozó leírófüggvények....................................................................... 125 5.5.2. Stabilitásvizsgálat a leíró függvény alapján........................................................................................... 129 Stabilitás vizsgálat a Nyquist kritériummal (egyszer sített)....................................................................... 129 Vizsgálat a komplex síkon.......................................................................................................................... 131 5.5.3. A leíró függvény közelít jellege .......................................................................................................... 134

5.6. szervomotorok érzéketlenségi sávjának csökkentése............................................................... 135 5.6.1. Helyzetbeállító....................................................................................................................................... 135 5.6.2. Tachométeres visszacsatolás ................................................................................................................. 141

5.7. Az elintegrálódás és kiküszöbölése ............................................................................................ 143 A Foxboro-struktúra ................................................................................................................................... 144 Az elintegrálódás összefoglalása ................................................................................................................ 146

5.8. Állásos szabályozások ................................................................................................................. 147 Holtid és hatásának csökkentése (termikus visszacatolás)........................................................................ 149

5.9. Id arányos szabályozó ................................................................................................................ 152 Egy lényeges különbség az id arányos és az állásos szabályozás között ................................................... 153

5.10. Szabályozók programozása ...................................................................................................... 154 5.10.1. Szabályozók megvalósítása ................................................................................................................. 154 5.10.2. Programozási algoritmusok ................................................................................................................. 155 Rekurzív pozíció algoritmus....................................................................................................................... 155 Integrátor-visszaállítás módszere................................................................................................................ 156 Foxboro-szabályozás .................................................................................................................................. 156 5.10.3. A lökésmentes indítás.......................................................................................................................... 157

6. Mintavételes szabályozási rendszerek .................................................................................... 158 6.1. Bevezetés ...................................................................................................................................... 158 6.1.1. Mintavételezés és tartás ......................................................................................................................... 158 6.1.2. Min ségi el írások ................................................................................................................................ 160

6.2. Mintavételes jelek leírása, z-transzformált............................................................................... 163 6.2.1. Tipikus jelek z-transzformáltjai ............................................................................................................. 164 6.2.2. A z-transzformált néhány fontos tulajdonsága ...................................................................................... 165 6.2.3. Inverz z-transzformáció ......................................................................................................................... 166

6.3. Mintavételezett jelátviteli tagok leírása .................................................................................... 168 6.3.1. Példák impulzus-átviteli függvények meghatározására......................................................................... 168 Egytárolós................................................................................................................................................... 169 ZOH átviteli függvénye .............................................................................................................................. 169 Kéttárolós.................................................................................................................................................... 170 6.3.2. Áttekintés............................................................................................................................................... 171 A jel z-transzformáltja ................................................................................................................................ 171 Példák impulzus átviteli függvényekre....................................................................................................... 172

6.4. Mintavételes rendszerek szabályozása ...................................................................................... 179 6.4.1. Kisfrekvenciás közelítés ........................................................................................................................ 179 6.4.2. Diszkrét póluskiejtéses szabályozók...................................................................................................... 182 Diszkrét szabályozók megvalósítása........................................................................................................... 183 A kompenzálás............................................................................................................................................ 186

216

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak 6.4.3. Véges beállású szabályozók tervezése................................................................................................... 195 6.4.4. IMC (Internal Model Control) ............................................................................................................... 196 6.4.5. Véges beállású szabályozó, a mintavételi pontok közötti lengés elkerülése.......................................... 201 6.4.6. Smith-prediktor...................................................................................................................................... 202 6.4.7. PID jelleg szabályozó w transzformációval......................................................................................... 205 6.4.8. A mintavételi id megválasztása ........................................................................................................... 210 6.4.9. A mintavételes rendszer stabilitása........................................................................................................ 211

217

AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Alapfogalmak

Recommend Documents