Centr´alis er˝ot´erben val´o mozg´as
I
egym´ as gravit´ aci´ os ter´eben mozg´ o ´egitestek
I
atommag k¨ or¨ ul relat´ıv nagy t´ avols´ agra kering˝ o elektron klasszikus modellje (Rydberg atomokn´ al)
V´egtelen t¨ omeg˝ u + v´eges t¨ omeg˝ u test k¨ olcs¨ onhat´ asa.
H´ aromdimenzi´ os t´erben egy U(r) = U(r ) centr´ alis er˝ ot´e. A viszony´ıt´ asi szintet vegy¨ uk fel a v´egtelenben (U(∞) = 0. A centr´ alis er˝ ot´er meg˝ orzi a r´eszecske impulzusnyomat´ek´ at, → a mozg´ as egy, az impulzusnyomat´ek vektor´ ara mer˝ oleges, s´ıkban t¨ ort´enik. L´ assuk, hogy mik´ent jutunk hasonl´ o k¨ ovetkeztet´esekre a Lagrange formalizmus alkalmaz´ as´ aval ´es egy´ uttal tanulm´ anyozzuk a mozg´ asegyenletek megold´ as´ at is. f =3 m˙r2 L(r, r˙ ) = − U(r ) . 2 Lt = 0 , → rendszer konzervat´ıv teh´ at az E =
m˙r2 + U(r ) , 2
energia egy mozg´ as´ alland´ o. Szf´erikus szimmetria → el˝ ony¨ os lehet g¨ ombi koordin´ at´ akban dolgozni. m 2 2 2 2 2 ˙ ϕ) L(r , θ, φ, r˙ , θ, ˙ = (˙r + r θ˙ + r sin θϕ˙ 2 ) − U(r ) . 2 Lϕ = 0 , → ennek a ciklikus koordin´ at´ anak kanonikusan konjug´ alt impulzusa megmarad: ∂L = mr 2 sin2 θϕ˙ = ´ alland´ o. ` ≡ pϕ = ∂ϕ A θ sz¨ ogre fel´ırt Euler-Lagrange egyenlet: d 2˙ (r θ) = r 2 sin θ cos θϕ2 . dt Az egyenletnek megold´ asa a θ(t) = π2 f¨ uggv´eny → s´ıkmozg´ as
` = mr 2 ϕ˙ = ´ alland´ o. 2
E =
mr˙ ` m 2 + U(r ) = ´ alland´ o, (˙r + r 2 ϕ˙ 2 + U(r )) = + 2 2 2mr 2 m¨r = −
(1)
2
∂U `2 + ∂r mr 3
(2) (3)
Az impulzusnyomat´ek vektor ` nagys´ ag´ at” geometriailag is ´ertelmezhetj¨ uk. Az ” 1 r r˙ dϕ kifejez´es annak az elemi fel¨ uletnek a df ter¨ ulete, melyet a helyzetvektor 2 dϕ sz¨ oggel t¨ ort´en˝ o elfordul´ asa sor´ an ´ atseper”. Az ´ alland´ o impulzusnyomat´ek ” ´ert´eke az el˝ oz˝ oek alapj´ an ` = 2mf˙ , ahol a f˙ = 1/2r 2 ϕ˙ deriv´ alt az u ´.n.fel¨ uleti sebess´eg. Centr´ alis er˝ ot´er eset´en az impulzusnyomat´ek megmarad´ asa azt fejezi ki, hogy a fel¨ uleti sebess´eg ´ alland´ o. Ez Keplernek a bolyg´ o kering´es´ere meg´ allap´ıtott m´ asodik t¨ orv´enye.
A fenti t´etel ´ altal´ anosabb ´erv´eny˝ u mint azt annak idej´en Kepler a bolyg´ oknak Nap k¨ or¨ uli mozg´ as´ ab´ ol kik¨ ovetkeztethette. A Nap-bolyg´ o rendszereken t´ ul a Nap-¨ ust¨ ok¨ os, bolyg´ o-hold ´es a minden m´ as gravit´ aci´ o r´ev´en k¨ olcs¨ onhat´ o k´ettest rendszerre ´erv´enyes, a Naprendszeren k´ıv¨ ul is. Nem csak a Kepler-f´ele −1/r t´ıpus´ u gravit´ aci´ os vonz´ as eset´en, hanem b´ armilyen centr´ alis er˝ ot´er eset´en is ´erv´enyben marad.
Sug´arir´any´ u mozg´as
Egydimenzi´ os mozg´ as az Ueff = U(r ) +
`2 2mr 2
effekt´ıv” potenci´ alis energi´ aj´ u t´erben. ” `2 Az mennyis´eget centrifug´ alis energi´ anak nevezz¨ uk. 2mr 2 A mozg´ as az r ≥ 0 tartom´ anyra van korl´ atozva!!.
`2 =E , 2mr 2 A gy¨ ok¨ ok r -ben megadj´ ak a mozg´ as tartom´ any´ anak hat´ arait a centrumt´ ol m´ert t´ avols´ ag szerint U(r ) +
Egy vagy k´et fordul´ opont a potenci´ al alakj´ anak ´es a rendszer energi´ aj´ anak f¨ uggv´eny´eben.
Mozg´as az er˝ot´er k¨oz´eppontj´anak k¨ ozel´eben
L´ attuk, hogy minden esetben l´etezik egy legkisebb rmin t´ avols´ ag, amin´el k¨ ozelebb nem ker¨ ulhet a r´eszecske a t´er k¨ oz´eppontj´ ahoz. Feltev˝ odik a k´erd´es, hogy lehet-e ez a t´ avols´ ag nulla. Azaz beleeshet-e” a r´eszecske az ” k¨ oz´eppontba? Helyesebben fogalmazva – milyen felt´etelek mellett ker¨ ulhet a r´eszecske tetsz˝ olegesen k¨ ozel a t´er k¨ oz´eppontj´ ahoz. Az impulzusnyomat´ek meghat´ aroz´ as´ ab´ ol: ` = |r × p| = r⊥ p = rmin pmin ,
(4)
ahol r⊥ az impulzus karja, azaz a k¨ oz´eppont t´ avols´ aga az impulzus ir´ anya ´ altal meghat´ arozott egyenest˝ ol. V´egtelenb˝ ol indul´ o r´eszecske eset´en az r⊥ (+∞)-t u ¨tk¨ oz´esi param´eternek nevezz¨ uk. Nulla kar, nulla impulzusnyomat´ekot jelent ´es azt, hogy a k¨ oz´eppont ir´ any´ aban mozg´ o r´eszecske impulzusnyomat´eka nulla. A fenti k´epletben figyelembe vett¨ uk, hogy a fordul´ opontban a sebess´eg ´es a helyzet vektorai mer˝ olegesek egym´ asra.
Tekints¨ uk most azt az esetet, amikor az E energia ´es ` impulzusnyomat´ek tetsz˝ oleges v´eges mennyis´egek. Az (4) egyenletb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a fordul´ opontban a t´ avols´ aggal ford´ıtottan ar´ anyos a a megfelel˝ o impulzus. Tetsz˝ oleges kicsi rmin korl´ atlanul nagy mozg´ asi energi´ aval j´ ar egy¨ utt, ami egy m´ınusz v´egtelenhez tart´ o potenci´ alis energi´ aval egy¨ utt tudja biztos´ıtani a E teljes energia megmarad´ as´ at. Minden ilyen U(r ) f¨ uggv´eny a nulla k¨ orny´ek´en vezet˝ o rendben U(r ) = −αr −β , α > 0, β > 0 alak´ u, ahol α ´es β a potenci´ alt jellemz˝ o r -t˝ ol f¨ uggetlen v´eges ´ert´ekek. A (2) egyenletb˝ ol a radi´ alis kinetikus energia: mr˙ 2 `2 >0. (5) = E + αr −β − 2 2mr 2 Az egyenl˝ otlens´eget v´egigszorozva r 2 -el az r 2 E tag tetsz˝ olegesen lecs¨ okkenthet˝ o az `2 − 2m-hez k´epest, elegend˝ oen kicsi r -ekre. Azt kapjuk, hogy a k¨ oz´eppont k¨ ozvetlen k¨ ozel´eben teh´ at `2 . 2m A jobboldal egy r -t˝ ol f¨ uggetlen v´eges mennyis´eg. Az egyenl˝ otlens´eg fenn´ all tetsz˝ olegesen kicsi r -re, ha αr 2−β >
1. β > 2
vagy ,
2. β = 2 ´es
α>
`2 . 2m
Ha kezdeti impulzusnyomat´ek n´elk¨ ul (` = 0), azaz egyenesen a k¨ oz´eppont fel´e (r⊥ = 0) indul a r´eszecske, akkor a (5) egyenl˝ otlens´egb˝ ol αr −β > E , ami fenn´ all, ha 1. β > 0
vagy ,
2. β = 0
´es
α > −E .
¨ Osszefoglalva k¨ ovetkeztet´eseinket: Egy centr´ alis er˝ ot´erben v´eges impulzusnyomat´ekkal mozg´ o r´eszecske tetsz˝ olegesen k¨ ozel ker¨ ulhet az er˝ ot´er k¨ oz´eppontj´ ahoz
A p´alya z´arts´aga A (2) egyenletb˝ ol kifejezve az r˙ radi´ alis sebess´eget r dr 2 `2 r˙ ≡ = [E − U(r )] − 2 2 . dt m m r
(6)
Amennyiben az anyagi pont rmin ´es rmax k¨ oz¨ ott v´egez korl´ atos mozg´ ast a mozg´ as peri´ odusa Z rmax dr q T (E ) = 2 , 2 `2 rmin [E − U(r )] − 2 2 m m r A p´ alya alakja meghat´ arozhat´ o az r ´es a ϕ koordin´ at´ ak kapcsolata r´ev´en, melyet a (6) egyenletb˝ ol az id˝ o kik¨ usz¨ ob¨ ol´es´et k¨ ovet˝ oen kapunk meg. A (1) impulzusmegmarad´ asi t´etelb˝ ol: dr dr dϕ ` dr = = , dt dϕ dt mr 2 dϕ ahonnan
` dr r2
Z ϕ(r ) =
r 2m[E − U(r )] −
`2 r2
+´ alland´ o.
(7)
Egy teljes T (E ) peri´ odus alatt a helyzetvektor a Z
` dr r2
rmax
∆ϕ = 2 rmin
r 2m[E − U(r )] −
`2 r2
sz¨ oggel fordul el (12. ´ abra).
A p´ alya z´ arts´ ag´ anak a felt´etele az, hogy ∆ϕ = 2π mn , ahol m ´es n eg´esz ´ sz´ amok. Altal´ aban tetsz˝ oleges U(r ) eset´en a p´ alya nem z´ art. Mind¨ ossze k´et t´ıpus´ u olyan centr´ alis er˝ ot´er van, amelyben minden v´eges mozg´ as z´ art. Ha a potenci´ alis energia : U(r ) ∼ 1r ´es U(r ) ∼ r 2 . Az el˝ oz˝ o a Kepler probl´em´ anak, a m´ asodik a t´erbeli harmonikus oszcill´ atornak felel meg.
Kepler-probl´ema A Newton-f´ele gravit´ aci´ os t´er ´es a Coulomb-f´ele elektrosztatikus t´er is centr´ alis er˝ ot´er, amelyekben a potenci´ alis energia vonz´ as eset´en: U(r ) = − Az r =
α , r
α>0,
Ueff = −
α `2 + r 2mr 2
`2 ´ert´ekn´el az effekt´ıv potenci´ alis energi´ anak minimuma van, amely αm (Ueff )min = −
α2 m 2`2
A g¨ orbe alakj´ ab´ ol nyilv´ anval´ o, hogy E > 0 eset´en a r´eszecske mozg´ asa v´egtelen, E < 0 eset´en pedig v´eges (7). Az U(r ) = − αr helyettes´ıt´est k¨ ovet˝ oen, a (7) egyenletben az integr´ al´ as eredm´enye: ` mα − r ` ϕ = arccos r + C. m 2 α2 2mE + `2
`2 Legyen, C = 0, p ≡ ´es ε = mα
r 1+ r=
2E `2 . Az ´ıgy kapott p´ alya egyenlete: mα2
p 1 + ε cos ϕ
Ez egy olyan k´ upszelet egyenlete, amelynek f´ okusza az orig´ oban van; p ´es ε a p´ alya param´etere, illetve excentricit´ asa. Az ϕ = 0 sz¨ ogh¨ oz az orig´ ohoz legk¨ ozelebbi pont tartozik. Ez az u ´n. perih´elium.
Amikor E < 0 ⇐⇒ ε < 1, a p´ alya ellipszis (16 ´ abra). Az ellipszis nagy ´es kistengelye: a=
α p = , 1 − ε2 2|E |
p ` b= √ = p . 1 − ε2 2m|E |
A t´er centrum´ at´ ol m´ert legnagyobb ´es legkisebb t´ avols´ ag: rmin = a=
p = a(1 − ε) , 1+ε
rmax + rmin p , = 2 1 − ε2
rmax = c=
p = a(1 + ε) . 1−ε
rmax − rmin εp = εa = 2 1 − ε2
(ez´ert nevezik az ε-t excentricit´ asnak). a2 = b 2 + c 2 Az ellipszisp´ aly´ an a kering´es T peri´ odusa a fel¨ uleti sebess´eggel adhat´ o meg. Integr´ alva egy peri´ odusra ´es felhaszn´ alva a fentebb kapott eredm´enyeket: 2mf = T ` ,
f = πab ,
a=
α , 2|E |
3r r m m T = 2πa 2 = πα . α 2|E |3
` b= p , 2m|E |
Azt kaptuk, hogy a peri´ odus n´egyzete ar´ anyos a p´ alya f´elnagytengely´enek a k¨ ob´evel (Kepler harmadik t¨ orv´enye).
Ha E > 0, a mozg´ as v´egtelen. E > 0 eset´en ε > 1, vagyis a p´ alya hiperbola , mely az er˝ ot´er centrum´ at (a f´ okuszt) u ´gy ¨ oleli k¨ or¨ ul, ahogyan az 17 ´ abra mutatja. A centrumt´ ol val´ o legkisebb t´ avols´ ag: p rmin = = a(ε − 1) , ε+1 ahol p α a= 2 = ε −1 2E a hiperbola f´eltengelye”. ” p Az E = 0 eset´en ε = 1, teh´ at a r´eszecske parabol´ an mozog, amelyre rmin = . 2 Ez az eset akkor val´ osul meg, ha a r´eszecske a nyugalmi ´ allapotb´ ol kiindulva, a v´egtelenben kezdi mozg´ as´ at.
A k´ettest-probl´ema A k¨ olcs¨ onhat´ as potenci´ alis energi´ aja csak a r´eszecsk´ek k¨ olcs¨ on¨ os t´ avols´ ag´ at´ ol f¨ ugg. m1 r˙ 21 m2 r˙ 22 L= + − U(|r1 − r2 |) 2 2 r ≡ r1 − r2 relat´ıv helyzet m1 r1 + m2 r2 rc = a rendszer t¨ omegk¨ oz´eppontj´ anak helyzetvektora. m1 + m2 → r1 = rc +
m2 r m1 + m2
;
r2 = rc −
m1 r m1 + m2
r˙ relativ sebess´eg, r˙ c t¨ omegk¨ oz´eppont sebess´ege → r˙ 1 = r˙ c +
m2 r˙ m1 + m2
;
r˙ 2 = r˙ c −
Visszahelyettes´ıt´es ut´ an L= m=
(m1 + m2 )˙r2c m˙r2 + − U(r ) 2 2
m1 m2 a rendszer reduk´ alt t¨ omege. m1 + m2
m1 r˙ m1 + m2
Lrc = 0 → rc ciklikus v´ altoz´ o → (m1 + m2 )˙rc ´ altal´ anos impulzus ´ alland´ o → a rendszer t¨ omegk¨ oz´eppontja ´ alland´ o sebess´eggel mozog. Mindig v´ alaszthat´ ou ´gy egy tehetetlens´egi inerciarendszer, hogy r˙ c = 0, rc = 0 →L=
m˙r2 − U(r ) 2
A feladatot visszavezett¨ uk az adott U(r ) k¨ uls˝ o t´erben egyetlen(reduk´ alt t¨ omeg˝ u) anyagi pont le´ır´ asa.
Mechanikai hasonl´os´ag
K¨ ul¨ onb¨ oz˝ o fizikai rendszerek eset´en is azonos alak´ uak a mozg´ asegyenletek ´es hasonl´ oak a p´ aly´ ak. Mik´ent m´ odosul a mozg´ as p´ aly´ aja illetve a mozg´ as u ¨teme, ha a rendszer¨ unk t´erbeli sk´ al´ az´ ason megy ´ at. A kezdeti felt´etelek is megfelel˝ ok´eppen kell sk´ al´ az´ odjanak, hogy a mozg´ as p´ aly´ aja az eredeti p´ alya felnagy´ıtott vagy kicsiny´ıtett m´ asa legyen. V´ arhat´ oan az id˝ o is gyorsabban” vagy lassabban” telik a m´ odos´ıtott ” ” renszerben. r0 = αr ,
t 0 = βt ,
ahol az α ´es a β pozit´ıv val´ os sz´ amok. v0 =
α v, β
T0 =
α2 T β2
(8)
Egy rendszer potenci´ alis energi´ aja k-adrend˝ uen homog´en f¨ uggv´enye a helyzetnek, azaz U(αr1 , αr2 , . . . , αrn ) = αk U(r1 , r1 , . . . , rn ) . L0 = T 0 − U 0 =
(9)
α2 T − αk U . β2
A mozg´ asegyenletek azonosak, ha a sk´ al´ azott rendszer Lagrange-f¨ uggv´enye csak egy szorz´ oban k¨ ul¨ onb¨ ozik az eredetit˝ ol, azaz L0 = λL. Ennek felt´etele az α2 /β 2 ´es αk szorz´ ot´enyez˝ ok azonoss´ aga, ahonnan k
β = α1− 2 . Ezek szerint, ha k´et hasonl´ o rendszer valamely karakterisztikus m´erete l illetve l 0 , akkor a mozg´ ast jellemz˝ o id˝ otartamok k¨ oz¨ ott fenn´ all, hogy t0 = t
0 1− k 2 l . l
(10)
A hasonl´ os´ aghoz sz¨ uks´eges sk´ al´ az´ as alkalmaz´ asa ´erv´enyes a kezdeti ´es peremfelt´etelekre is. A kezdeti sebess´egek maguk is a (8) szerint sk´ al´ az´ odnak.
P´ elda 1. Harmonikus oszcill´ ator A potenci´ alis energia n´egyzetes f¨ uggv´enye a helyzetnek, teh´ at a (10) egyenletben k = 2, ahonnan 0 0 t0 l = =´ alland´ o, t l azaz a harmonikus oszcill´ ator, illetve az azonos mozg´ asegyenleteket k¨ ovet˝ o kis kit´er´esekkel rezg˝ o matematikai inga peri´ odusa f¨ uggetlen az amplit´ ud´ ot´ ol. 2. Kepler feladat A potenci´ alis energia ford´ıtottan ar´ anyos a t´ avols´ aggal, teh´ at k = −1, ahonnan 0 3 t0 l 2 = , t l ami Kepler harmadik t´etel´et adja b´ armif´ele differenci´ alegyenlet megold´ as n´elk¨ ul.
Viri´al t´etel Tekints¨ uk most olyan konzervat´ıv rendszereket, melyek mozg´ asa korl´ atos → Mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ oen a rendszert jellemz˝ o fizikai mennyis´egek ´ert´ekei is az id˝ o nagyr´esz´eben bizonyos v´eges ´ert´ekek k¨ ozel´eben tal´ alhat´ ok. Ezek a koordin´ at´ akon ´es sebess´egeken kereszt¨ ul az id˝ onek k¨ ozvetett(!) f¨ uggv´enyei. Hasznos bevezetni egy f (t) id˝ ot˝ ol f¨ ugg˝ o mennyis´eg ´ atlag´ at az al´ abbi meghat´ aroz´ as szerint: Z 1 t f = lim f (τ )dτ . t→+∞ t 0 A fentiek szerint, amennyiben f (t) = dg /dt egy teljes deriv´ alt, ahol g (t) is (az id˝ o d¨ ont˝ o r´esz´eben) korl´ atos f¨ uggv´eny: g (t) − g (0) dg = lim = 0. t→+∞ dt t A (8) ´es (9) homogenit´ asi tulajdons´ agokb´ ol, Euler t´etel´enek alkalmaz´ as´ aval: X ∂T r˙ i = 2T , ∂ r˙ i
i = 1, n ,
(11)
X ∂U ri = kU , ∂ri i
i = 1, 3 .
(12)
i
illetve
A kinetikus energia eset´en X ∂T X d ∂T X d ∂T ri r˙ i = − ri , ∂ r˙ i dt ∂ r˙ i dt ∂ r˙ i i i i
i = 1, 3 .
Visszahelyettes´ıtve a (11) egyenletbe, v´eve ennek id˝ obeli ´ atlag´ at, majd kihaszn´ alva az id˝ oderiv´ altak ´ atlag´ anak elt˝ un´es´et, illetve az d ∂T ∂U =− , i = 1, 3 dt ∂ r˙ i ∂ri Euler-Lagrange egyenleteket, azt kapjuk, hogy 2T =
X ∂U ri . ∂ri i
A fenti egyenlet jobboldal´ at a rendszer viri´ alj´ anak nevezz¨ uk ´es az egyenlet az u ´n. viri´ alt´etelt fejezi ki. Amennyiben a potenci´ alis energia a (9 t´ıpus´ u homogenit´ ast mutat, a (12) egyenletb˝ ol T =
α U . 2
A teljes E energia ´ alland´ os´ ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy E = E = T + U, ahonnan T =
k E , k +2
U=
2 E . k +2
P´ elda 1. Harmonikus oszcill´ ator Az el˝ obbiek nyom´ an k = 2, ahonnan T =U=
E . 2
2. Kepler feladat Mivel k = −1 T = −E ,
U = 2E ,
mely egyenletek, a mozg´ asi energia pozitivit´ as´ at tekintve, kifejezik, hogy ilyen k¨ olcs¨ onhat´ as eset´en a rendszer csak negat´ıv energia eset´en marad k¨ ot¨ ott (korl´ atos).
A kanonikus mozg´asegyenletek f szabads´ agi fok´ u mechanikai rendszer mozg´ as´ anak le´ır´ asa f darab m´ asodrend˝ u k¨ oz¨ ons´eges differenci´ alegyenlettel. Integr´ al´ asi ´ alland´ okat a qk ´es q˙ k kezdeti ´ert´ekeib˝ ol → a rendszer mozg´ as´ allapot´ at 2f adat jellemezni. Hamilton-formalizmus egyen´ert´ek˝ u m´ odszer m´ asik 2f f¨ uggetlen v´ altoz´ oval, 2f els˝ orend˝ u mozg´ asegyenlettel. Minden qk koordin´ at´ ahoz hozz´ arendej¨ uk pk -t: pk =
∂L(qk , q˙ k , t) ∂ q˙ k
qk -hoz rendelt kanonikusan konjug´ alt impulzus (´ altal´ anos impulzus) pk , qk f¨ uggetlen v´ altoz´ oknak tekintj¨ uk. A Lagrange-f¨ uggv´eny helyett H=
f X k=1
Hamilton-f¨ uggv´ennyel jellemezz¨ uk.
pk q˙ k − L(qk , q˙ k , t)
dH =
f X ∂H k=1
dqk +
∂qk
∂H dpk ∂pk
+
∂H dt ∂t
ugyanakkor a H fenti definici´ os k´eplet´enek differenci´ alja dH =
f X
q˙ k dpk + pk d q˙ k −
k=1
∂L ∂L dqk − d q˙ k ∂qk ∂ q˙ k
−
∂L dt ∂t
az Euler-Lagrange-egyenletb˝ ol p˙ k = → dH =
f X
∂L ∂qk
(q˙ k dpk − p˙ k dqk ) −
k=1
q˙ k =
∂H ∂pk
,
p˙ k = −
∂H ∂qk
Hamilton-f´ele kanonikus egyenletek ∂H ∂L =− ∂t ∂t
∂L dt ∂t
(k = 1, 2, . . . , f )
q˙ k =
∂H ∂pk
p˙ k = −
,
∂H ∂qk
(k = 1, 2, . . . , f )
2f els˝ orend˝ u diff.egyenlet. M´ asik el˝ onye, hogy a Hamilton fg. k¨ ozvetlen¨ ul kapcsol´ odik egy megmarad´ o mennyis´eghez. A kvantummechanik´ aban els˝ odleges szerepe van. Id˝ ot˝ ol f¨ uggetlen xi → qk transzform´ aci´ o eset´en a Hamilton-f¨ uggv´eny megegyezik a rendszer teljes mechanikai energi´ aj´ aval. H =T +U =E Hamilton-f¨ uggv´eny az id˝ obeli v´ alt´ oz´ asa f
∂H ∂H q˙ k + p˙ k ∂qk ∂pk
∂H ∂H ∂H ∂H − ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk
X dH = dt k=1
f
→
X dH = dt k=1
+
∂H ∂t
+
∂H ∂H = ∂t ∂t
f
→
X dH = dt k=1
∂H ∂H ∂H ∂H − ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk
+
∂H ∂H = ∂t ∂t
→ ha a Hamilton-f¨ uggv´eny nem tartalmazza expliciten az id˝ ot, akkor id˝ oben ´ alland´ o. Az energia ´ alland´ os´ aga ´es a H = E egyenl˝ os´eg nem teljes¨ ul mindig egyszerre ha a koordin´ at´ ak k¨ oz¨ otti transzform´ aci´ o expliciten tartalmazza az id˝ ot, ´es emiatt a mozg´ asi energia nem homog´en m´ asodfok´ u f¨ uggv´enye az ´ altal´ anos sebessegeknek, hanem tartalmaz nullad- ´es els˝ ofok´ u tagokat is. Nevezetesen T = T0 + T1 + T2
H=
f X
q˙ k pk − L =
k=1
=
f X
f X k=1
q˙ k
∂T − (T − U) = ∂ q˙ k
q˙ k
∂T1 ∂T2 ∂T0 + + ∂ q˙ k ∂ q˙ k ∂ q˙ k
=
T2 − T0 + U
k=1
6=
−T +U = T +U
Ha H nem f¨ ugg expliciten az id˝ ot˝ ol, akkor ´ alland´ o de csak nem egyezik meg az energi´ aval.
Kanonikus egyenletek levezet´ese a vari´aci´ osz´am´ıt´as elvb˝ol qk -kat ´es a pk -kat f¨ uggetlen v´ altoz´ oknak tekintj¨ uk ´es ennek megfelel˝ oen egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul vari´ aljuk, amikor a # Z t2 " X f δS = δ pk q˙ k − H(qk , pk , t) dt = 0 t1
k=1
A hat´ arokon a δq vari´ aci´ ok z´erus: Z
t2
δS = t1
f X
q˙ k δpk + pk δ q˙ k −
k=1
∂H ∂H δqk − δpk ∂qk ∂pk
dt = 0
Mivel egyr´eszt d δqk dt Z t2 X f ∂H ∂H q˙ k − δpk − p˙ k + δqk dt = 0 ∂pk ∂qk t1 δ q˙ k =
k=1
δqk ´es δpk vari´ aci´ ok tetsz˝ olegesek → visszakapjuk a kanonikus mozg´ asegyenleteket.
A kanonikus transzform´aci´ ok
Ha alkalmas ´ altal´ anos koordin´ at´ at tal´ alunk akkor a hozz´ a tartoz´ o´ altal´ anos impulzus ´ alland´ o. Ha pl. qi ciklikus koordin´ ata, akkor pi = αi =´ alland´ o. Legyen pk = αk minden k-ra. Legyen Ht = 0 → a H csak az ´ alland´ o pk -kat tartalmazza : H = H(α1 , α2 , . . . , αf ). ∂H = ωk =⇒ qk (t) = ωk t + βk ∂αk A βk integr´ al´ asi ´ alland´ ok a kezdet felt´etelekb˝ ol sz´ am´ıthat´ ok ki. Teh´ at a mozg´ asfeladat megold´ as´ at az alkalmas transzform´ aci´ o megtal´ al´ as´ ara vezett¨ uk vissza. q˙ k =
Vizsg´ aljuk azokat a transzform´ aci´ okat, amelyek a kanonikus egyenleteket v´ altozatlanul hagyj´ ak. Qk = Qk (q1 , q2 , . . . , qf ; p1 , p2 , . . . , pf ; t) Pk = Pk (q1 , q2 , . . . , qf ; p1 , p2 , . . . , pf ; t) (k = 1, 2, . . . , f ) ¯ ∂H P˙ k = − ∂Qk
¯ ∂H Q˙ k = , ∂Pk
(k = 1, 2, . . . , f )
¯ = H(Q ¯ k , Pk , t) a Hamilton-f¨ ahol H uggv´eny transzform´ altja → kanonikus transzform´ aci´ ok Vari´ aci´ os elv alapj´ an # Z t2 "X f ˙ ¯ δ Pk Qk − H(Qk , Pk , t) dt = 0 t1
i=1
Z
t2
⇔δ t1
"
f X
# pk q˙ k − H(qk , pk , t) dt = 0
i=1
A k´et integrandusznak egy tetsz˝ oleges W f¨ uggv´eny id˝ o szerinti teljes deriv´ altj´ aban k¨ ul¨ onb¨ ozhetnek egym´ ast´ ol
Z
t2
δ t1 f X
dW dt = δW (t2 ) − δW (t1 ) = 0 dt
pk q˙ k − H(qk , pk , t) =
k=1
f X
¯ k , Pk , t) + Pk Q˙ k − H(Q
k=1
dW dt
Mivel a rendszer ´ allapot´ at 2f f¨ uggetlen v´ altoz´ oval jellemezz¨ uk, W az id˝ on k´ıv¨ ul 2f f¨ uggetlen v´ altoz´ o tetsz˝ oleges f¨ uggv´enye. N´egy t´ıpusa lehet a W v´ altoz´ okt´ ol val´ o f¨ ugg´es´enek : W1 (qk , Qk , t),
W2 (qk , Pk , t),
W3 (pk , Qk , t),
W4 (Qk , Pk , t). ⇐
A feladat konkr´et jellege szabja meg, hogy ezek k¨ oz¨ ul melyiket c´elszer˝ u haszn´ alni.
1.) Vegy¨ uk el˝ osz¨ or a W1 -et.A kanonikus transzform´ aci´ o felt´etele : f X
pk q˙ k − H =
k=1
f X
¯+ Pk Q˙ k − H
k=1
d W1 (qk , Qk , t), dt
ahol f
dW1 ∂W1 X = + dt ∂t
k=1
∂W1 ˙ ∂W1 q˙ k + Qk ∂qk ∂Qk
.
Mivel a r´egi ´es az u ´j koordin´ at´ ak f¨ uggetlenek a fenti els˝ o egyenl˝ os´eg csak akkor teljes¨ ul, ha a qk ´es Qk egy¨ utthat´ oi az egyenlet k´et oldal´ an megegyeznek. ´ıgy ad´ odik, hogy pk =
∂W1 , ∂qk
Pk = −
∂W1 , ∂Qk
¯ = H + ∂W1 . H ∂t
Az els˝ o f egyenletb˝ ol kifejezhetj¨ uk Qk -kat, a m´ asodikb´ ol a Pk -kat, a harmadik megadja az u ´j Hamilton-f¨ uggn´enyt. A transzform´ aci´ o a W1 f¨ uggv´enyb˝ ol sz´ armaztathat´ o, ez´ert a W -t a kanonikus transzform´ aci´ o alkot´ of¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk.
2.)A W2 (qk , Pk , t) alkot´ of¨ uggv´enyt haszn´ aljuk, ha f¨ uggetlen v´ altoz´ ok´ent a qk ´es Pk -kat tekintj¨ uk qk , Qk f¨ uggetlen v´ altoz¨ ok helyett.Ez az ´ att´er´es k¨ ozvetlen¨ ul megval´ os´ıthat´ oa ∂W1 = −Pk ∂Qk u ´n. Legendre transzform´ aci´ oval. Ez azt mutatja , hogy W2 alkot´ of¨ uggv´eny megkaphat´ o a W1 -b˝ ol a X W2 (qk , Pk ; t) = W1 (qk , Qk ; t) + Pk Qk k
o ¨sszef¨ ugg´essel.Fejezz¨ uk ki W1 -et a fenti o ¨sszef¨ ugg´esb˝ ol ´es helyettes´ıts¨ uk be az el˝ oz˝ o (1)-es pontbeli egyenletbe. ´Igy " # f f f X X X d ˙ ¯ pk q˙ k − H = Pk Qk − H + Qk Pk = W2 (qk , Pk ; t) − dt k=1
k=1
k=1
=−
f X k=1
¯ + dW2 . Qk P˙ k − H dt
A keresett transzform´ aci´ ora az el˝ obbi gondolatmenettel kapjuk, hogy ∂W2 pk = , ∂qk ∂W2 Qk = , ∂Pk ¯ = H + ∂W2 H
3. A harmadik transzform´ aci´ ot´ıpusn´ al pk -k, Qk -k a f¨ uggetlen v´ altoz´ ok. Az els˝ ob˝ ol erre val´ o´ att´er´es az els˝ o egyenletcsopor alapj´ an Legendre-transzform´ aci´ oval t¨ ort´enik.Ez´ert W3 a W1 -gyel a k¨ ovetkez˝ ok´eppen fejezhet˝ o ki : f X W3 (pk , Qk ; t) = W1 (qk , Qk ; t) − qk pk . k=1
Az ebb˝ ol ad´ od´ o W1 -et az (1) egyenlet´ebe helyettes´ıtve, −
f X k=1
qk p˙ k − H =
f X k=1
¯ + d W3 (pk , Qk ; t). PK Q˙ k − H dt
A keresett transzform´ aci´ ora ebb˝ ol az el˝ obbi gondolatmenettel ad´ odik, hogy qk = −
∂W3 , ∂pk
∂W3 , ∂Qk ¯ = H + ∂W3 H ∂t 4.Amikor a pk -kat ´es Pk -kat tekintj¨ uk f¨ uggetlen v´ altoz´ oknak, W4 a W1 -b˝ ol kett˝ os Legendre-transzform´ aci´ oval ad´ odik, Pk = −
W4 (pk , Pk ; t) = W1 (qk , Qk ; t) +
f X k=1
Pk Qk −
f X k=1
pk qk
W4 (pk , Pk ; t) = W1 (qk , Qk ; t) +
f X
Pk Qk −
k=1
f X
pk qk
k=1
Ezt felhaszn´ alva a m´ ar t¨ obbsz¨ or id´ezet egyenletben kapjuk, hogy −
f X k=1
qk p˙ k − H = −
f X
¯+ Qk P˙ k − H
k=1
d W4 (pk , Pk ; t). dt
Az ebb˝ ol ad´ od´ o transzform´ aci´ os k´epletek qk = −
∂W4 , ∂pk
∂W4 , ∂Pk ¯ = H + ∂W4 . H ∂t A r´egi ´es az u ´j koordin´ at´ ak ´es impulzusok transzform´ aci´ os k´epleteiben (az egyenletek els˝ o k´et csoportj´ aban) egyik t´ıpusn´ al sem fordul el˝ o a rendszerre jellemz˝ o Hamilton-f¨ uggv´eny,ez´ert a transzform´ aci´ o kanonikus jellege teljesen f¨ uggetlen a vizsg´ alt probl´em´ at´ ol.A Hamilton-f¨ uggv´eny transzform´ aci´ oja mind a n´egy t´ıpusn´ al ugyanolyan alak´ u. Qk = −
P´eld´ak a kanonikus transzform´aci´ okra
1.Legyen a kanonikus transzform´ aci´ o alkot´ of¨ uggv´enye W2 =
f X
qk Pk .
k=1
Az el˝ oz˝ o r´esz (2)-es pontj´ anak alapj´ an ∂W2 = Pk , ∂qk
pk =
∂W2 = qk , ∂Pk ¯ =H H
Qk =
Eszerint az u ´j koordin´ at´ ak ´es impulzusok megegyeznek a r´egiekkel. Teh´ at ez a W2 az azonos transzform´ aci´ o alkot´ of¨ uggv´enye.
2.K´et szabads´ agi fok´ u rendszerekn´el gyakran tal´ alkozunk azzal a transzform´ aci´ oval, amelynek alkot´ of¨ uggv´enye W2 = q1 (P1 + P2 ) + q2 (P1 − P2 ). A fentebb eml´ıtett o ¨sszef¨ ugg´esek alapj´ an p1 =
∂W2 = P1 + P2 , ∂q1
p2 =
∂W2 = P1 − P2 ∂q2
;
Q1 =
∂W2 = q1 + q2 , ∂P1
Q2 =
∂W2 = q1 − q2 ∂P2
.
Az ut´ obbiakb´ ol q1 =
1 (Q1 + Q2 ), 2
q2 =
1 (Q1 − Q2 ) 2
A Hamilton-f¨ uggv´eny itt is megegyezik az eredetivel : ¯ =H H
3.Vizsg´ aljuk azt a transzform´ aci´ ot, amelynek sor´ an az u ´j Qk koordin´ at´ a csak a r´egi qk -kt´ ol ´es az id˝ ot˝ ol f¨ uggnek : Qk = Qk (qk , t). Ide tartoznak pl. az ortogon´ alis koordin´ atatranszform´ aci´ ok vagy a der´eksz¨ og˝ u koordin´ at´ akr´ ol a pol´ arkoordin´ at´ akra val´ o´ att´er´es. Az ilyen transzform´ ac´ ot ponttranszform´ aci´ onak nevezz¨ uk.Ez is kanonikus transzform´ aci´ o, ugyanis a W2 =
f X
gk (q1 , q2 , . . . , qf , t)Pk
k=1
alkot´ of¨ uggv´enyb˝ ol sz´ armaztathat´ o.A m´ ar emlitett r´esz m´ asodik egyenlete szerint ∂W2 Qk = = gk (qk , t). ∂Pk Mivel a gk f¨ uggv´eny tetsz˝ oleges, valamennyi ponttranszform´ aci´ o kanonikus. Annak felt´etele, hogy a qk -k az u ´jQk -ba transzform´ al´ odjanak az, hogy az alkot´ of¨ uggv´eny a Pk -kban line´ aris legyen. Hasonl´ ok´eppen igaz az is, hogy ha az alkot´ of¨ uggv´eny a qk -kban line´ aris, akkor A PK -k az u ´j Pk -kba mennek ´ at. Ekkor W2 =
f X
γk (P1 , P2 , . . . , Pf , t)qk .
k=1
´es ´ıgy pk =
∂W2 = γk (Pk , t). ∂qk
A Poisson-z´ar´ojelek
Legyen f = f (q, p, t) = f (q1 , . . . , ps , t): X ∂f ∂f df ∂f q˙ k + p˙ k . = + dt ∂t ∂qk ∂pk k
q˙ k =
∂H , ∂pk
p˙ k =
∂H , Hamilton-egyenletekb˝ ol ∂qk
df ∂f = + {H, f } , dt ∂t ahol {H, f } =
X ∂H ∂f ∂H ∂f − ∂pk ∂qk ∂qk ∂pk k
a H ´es f mennyis´eg Poisson-f´ele z´ ar´ ojeles kifejez´ese
Annak felt´etele, hogy az f mennyis´eg mozg´ as´ alland´ o legyen: ∂f df =0 → + {H, f } = 0 . dt ∂t Ha
∂f = 0 , → {H, f } = 0 ∂t Tetsz˝ oleges f ´es g f¨ uggv´enyp´ arra a Poisson-z´ ar´ ojel X ∂f ∂g ∂f − {f , g } = ∂pk ∂qk ∂qk k
. defin´ıci´ oja: ∂g . ∂pk
A Poisson-z´ ar´ ojelek tulajdons´ agai: {f , g } = − {g , f }
(13)
{f , c} = 0
(14)
{f1 + f2 , g } = {f1 , g } + {f2 , g } , {f1 f2 , g } = f1 {f2 , g } + f2 {f1 , g } , ∂ ∂g ∂f , {f , g } = ,g + f, ∂t ∂t ∂t ∂f {f , qk } = , ∂pk ∂f {f , pk } = − , ∂qk
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
ahol c egy ´ alland´ o f¨ uggv´eny. {qi , qk } = 0 ,
{pi , pk } = 0 ,
{pi , qk } = δik .
{f , {g , h}} + {g , {h, f }} + {h, {f , g }} = 0 . Jacobi-azonoss´ ag.
Ha f ´es g k´et mozg´ as´ alland´ o {f , g } = ´ alland´ o, (Poisson-t´etele). Bizony´ıt´ as: ha h = H {f , {g , H}} + {g , {H, f }} + {H, {f , g }} = 0 . ahonnan {H, g } = 0 ´es {H, f } = 0, teh´ at {H, {f , g }} = 0. Ha az f ´es g mozg´ as´ alland´ o expliciten f¨ ugg az id˝ ot˝ ol: d ∂ {f , g } = {f , g } + {H, {f , g }} . dt ∂t ∂g + f, − {f , {g , H}} − {g , {H, f }} = ∂t ∂g ∂f = + {H, f } , g + f , + {H, g } , ∂t ∂t
d {f , g } = dt
∂f ,g ∂t
vagy d {f , g } = dt
df ,g dt
dg + f, dt
(21) (22)
