10.1.13
Asymptoty grafu funkce
Předpoklady: 1110, 1111 Asymptoty grafu už známe – kreslili jsme si je jako přímky, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asymptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hyperbol jsme kreslili asymptoty jako první. Př. 1:
Najdi na grafech následujících funkcí asymptoty. Asymptoty je možné rozdělit do dvou skupin. Zkus takové dělení vymyslet a asymptoty do dvou skupin rozdělit.
-4
-4
y
y
4
4
2
2
-2
2
4
x
-4
-2
-2
-2
-4
-4
y
y
4
4
2
2
-2
2
4
x
-4
-2
-2
-2
-4
-4
1
2
4
x
2
4
x
-4
y
y
4
4
2
2
-2
2
4
x
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
4
x
pro x jdoucí k ±∞ se hodnoty funkce přibližují 1 ⇒ asymptota y = 1 pro x jdoucí k 2 se hodnoty funkce přibližují ±∞ ⇒ asymptota x = 2
pro x jdoucí k ±∞ se hodnoty funkce přibližují nule ⇒ asymptota y = 0 pro x jdoucí k 0 se hodnoty funkce přibližují ±∞ ⇒ asymptota x = 0 y
y
4
4 2 2 -4
-2
2
4
x -4
-2
-2
2
4
x
-2 -4 -4 na obrázku není graf funkce pro x jdoucí k ±∞ se hodnoty funkce přibližují ±∞ ⇒ asymptoty y = ± x
pro x jdoucí k −∞ se hodnoty funkce přibližují -2 ⇒ asymptota y = −2
Asymptoty bychom mohli roztřídit do dvou skupin: • asymptoty, ke kterým se graf funkce blíží, když se x blíží k ±∞ . Tyto asymptoty jsou přímky vodorovné nebo šikmé, vždy jde o graf lineární funkce ⇒ asymptoty se směrnicí grafu funkce f • asymptoty, ke kterým se graf funkce blíží, když se x blíží k nějakému číslu a. Tyto asymptoty jsou svislé přímky dané rovnicí x = a ⇒ asymptoty bez směrnice grafu funkce f
Pedagogická poznámka: Studentům činí problém nalézt třídící kritérium. Myslím, že nemá cenu hledání příliš prodlužovat. Asymptoty bez směrnice grafu funkce f • jsou vždy kolmé na osu x ⇒ s grafem funkce se nikdy neprotínají • graf funkce se k nim blíží, když se hodnoty proměnné x blíží k nějakému číslu a Definice:
2
Nechť je funkce definována v Rδ ( a ) (případně v Rδ+ ( a ) nebo Rδ− ( a ) ). Přímka o rovnici
x = a se nazývá asymptota bez směrnice grafu funkce f, právě když má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Jak najdeme asymptoty bez směrnice pro funkce f? Stačí když najdeme body, kde má funkce nevlastní limity ve vlastním bodě (většinou body, kde není definována).
Př. 2:
Najdi asymptoty bez směrnice pro funkci y =
x3 . x2 − 4
Hledáme body, kde funkce není definována (tam je šance na nevlastní limitu ve vlastním bodě a tím i asymptotu bez směrnice). Funkce obsahuje zlomek ⇒ jmenovatel musí být různý od nuly x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) = 0 ⇒ x ≠ −2 , x ≠ 2
D ( f ) = R − {−2; 2} •
zjišťujeme lim+ x→2
x3 : x2 − 4
Zkusíme x = 2, 01 : y =
x3 2, 013 ⇒ kladná čísla dělíme velmi malými = x 2 − 4 2, 012 − 22
x3 = +∞ ⇒ funkce má asymptotu bez směrnice x = 2 2 x→2 x − 4 (limitu z druhé strany nemá cenu zjišťovat) x3 zjišťujeme lim+ 2 : x →−2 x − 4 kladnými čísly ⇒ lim+
•
( −1, 99 ) ⇒ záporná čísla dělíme zápornými x3 = Zkusíme x = −1,99 : y = 2 x − 4 ( −1, 99 )2 − 22 3
x3 čísly s malou absolutní hodnotou ⇒ lim+ 2 = +∞ ⇒ funkce má asymptotu bez x →−2 x − 4 směrnice x = −2 (limitu z druhé strany nemá cenu zjišťovat) Výsledek si můžeme ověřit pomocí grafu nakresleného počítačem:
3
Př. 3:
Prostuduj obrázek grafu funkce y =
x3 a rozhodni zda má funkce asymptotu se x2 − 4
směrnicí. Odhadni její rovnici. Z obrázku se zdá, že graf funkce y = přímka y = x .
x3 se pro x blížící se k ±∞ chová podobně jako x2 − 4
Přidáme do obrázku funkci y = x :
4
Zdá se, že jsme se trefili. Jak přesně definovat asymptotu se směrnicí pro funkci? Podíváme se na obrázek v místech, kde se hodnoty blíží k asymptotě:
Jak se pozná, že se funkce blíží k asymptotě?
5
S rostoucím x se zmenšuje rozdíl mezi hodnotou funkce a hodnotou asymptoty f ( x ) − ( ax + b ) . Podobně jako u limity musíme zajistit, aby asymptota byla pro funkci „nejbližší“ přímkou ⇒ vzdálenost mezi grafem a přímkou musí jít k nule: lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 . x →+∞
⇒ Definice: Přímku y = ax + b nazýváme asymptotou se směrnicí grafu funkce f, jestliže lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 nebo lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 . x →−∞
x →+∞
Jak určíme asymptotu nějaké funkce (tedy hodnoty koeficientů a a b)? Definice: lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 není úplně ideální (ve výrazu jsou oba koeficienty, což je x →+∞
na určení koeficientů z jedné rovnice příliš mnoho). vydělíme limitu číslem x: f ( x ) ax b f ( x) f ( x) b b lim − + = lim − a + = lim − lim a + lim = 0 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x x →+∞ x x x →+∞ x x f ( x) f ( x) lim − a + 0 = 0 ⇒ lim = a - teď už máme vztah pro koeficient a x →+∞ x →+∞ x x Jakmile určíme koeficient a můžeme určit koeficient b z původní limity lim f ( x ) − ( ax + b ) = lim f ( x ) − ax − lim b = 0 ⇒ b = lim f ( x ) − ax x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
Rovnici asymptoty y = ax + b určíme ve dvou krocích: f ( x) • a = lim x →+∞ x • b = lim f ( x ) − ax x →+∞
Př. 4:
Urči pomocí předchozího postupu asymptotu funkce y =
x3 . x2 − 4
x3 x3 3 2 3 f ( x) 1 1 x a = lim = lim x − 4 = lim 3 = lim 3 x = lim = =1 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 4 x x x x x − 4x 1− 0 1 − −4 3 x2 x3 x x3 x3 x3 − 4 x −4 x b = lim f ( x ) − ax = lim 2 − 1 ⋅ x = lim 2 − 2 = lim 2 = x →+∞ x →+∞ x − 4 x →+∞ x − 4 x − 4 x →+∞ x − 4 x −4 2 0 b = lim 2 x = lim x = =0 x →+∞ x 4 1− 0 4 x →+∞ 1− 2 − x x2 x2 −4
Limity pro x → −∞ počítat nebudeme, vyšly by stejně ⇒ asymptotou funkce y = přímka y = x .
6
x3 je x2 − 4
Pedagogická poznámka: Následující příklady při hodině spíše nestihneme, každopádně je studenti mají doma k nahlédnutí.
Př. 5:
3x 2 + 2 x Urči asymptoty funkce y = . x+2
3x 2 + 2 x 3x2 x 2 +2 2 3+ 2 2 f ( x) 3 x + 2 x x = lim x = 3+ 0 = 3 a = lim = lim x + 2 = lim 2 = lim x 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x + 2 x →+∞ x →+∞ 2 x 2 x x 1+ 2 1+ 0 + 2 2 x x x 2 2 2 3x + 2 x 3x + 2 x 3x + 6 x −4 x b = lim f ( x ) − ax = lim − 3 ⋅ x = lim − = lim = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x x + 2 + 2 + 2 + 2 x x = lim −4 = −4 = −4 b = lim x →+∞ x 2 x →+∞ 0 1+ 0 + 1+ x x x 3x 2 + 2 x asymptotou funkce y = je přímka y = 3 x − 4 . x+2 −4
Výsledek si opět můžeme ověřit obrázkem:
7
Př. 6:
Urči asymptoty funkce y =
x −1 . 2x + 3
x −1 x 1 1 1 − 2 − 2 2 x − 1 0−0 = lim 2 x + 3 = lim 2 = lim x 2 x = lim x x = =0 a = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2 x + 3 x →+∞ x 3 x →+∞ 2 + 3 2 + 0 x x 2 2+ 2 x2 x x x 1 1 − 1− x −1 x −1 x b = lim f ( x ) − ax = lim − 0 ⋅ x = lim = lim x x = lim x →+∞ x →+∞ 2 x + 3 x →+∞ 2 x + 3 x →+∞ x →+∞ x 3 3 2 + 2+ x x x 1− 0 1 = b= 2+0 2 x −1 1 asymptotou funkce y = je přímka y = . 2x + 3 2 f ( x)
I tento výsledek si ověříme obrázkem:
Př. 7:
Petáková: strana 155/cvičení 15 c) e)
Shrnutí: Pomocí limit můžeme určit rovnice asymptot funkce.
8
