Asymptoty grafu funkce

Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 28. července 2006

Obsah Najděte asymptoty grafu funkce y =

1 − x2 . . . . . . . . . x−2

3

Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =

1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−

0− = ∞ x−2 x→2 Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Lenka Přibylová, 2006 ×


1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Nejprve nalezneme deﬁniční obor funkce. Asymptota bez směrnice může nastat pouze v nedeﬁnovaném bodě x0 = 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Hledáme jednostranné limity v x0 = 2, nejprve zprava. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

lim− =


k

Dosazením dostáváme limitu typu

0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

lim− =


Pro x → 2+ je jmenovatel kladné číslo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Záporný čitatel a kladný jmenovatel dává záporné číslo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

lim− =


Hledáme limitu v x0 = 2 zleva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

lim− =


k

Dosazením dostáváme limitu typu

0 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Pro x → 2− je jmenovatel záporné číslo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Záporný čitatel a záporný jmenovatel dává kladné číslo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 : x−2

D(f ) = R − {2}

−3 1 − x2

lim+ =

0+ = −∞ x−2 x→2

−3 1 − x2

= lim−


Obě jednostranné limity v bodě x0 = 2 jsou nevlastní, funkce má tečnu t : x = 2 v nevlastních bodech [2, ±∞]. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =

1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x − 2x x→∞ x2 x→∞ x(x − 2) 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim

Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

−x2 1 − x2 1 − x2 = lim = −1 = lim 2 x→∞ x2 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim

Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. f (x) Podle předpisu k = lim je k = lim x→∞ x x→∞ ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1−x2 x−2

x

.

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 1 − x2 −x2 = −1 = lim 2 = lim x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim


Roznásobíme jmenovatel. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 1 − x2 −x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1

k = lim


Víme, že stačí uvažovat hlavní členy polynomů. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1

k = lim


Krácením dostaneme k = −1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1

k = lim

Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Podle předpisu q = lim (f (x) − kx) je x→∞ 1 − x2 q = lim − (−1)x . x→∞ x−2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 −2 1 − 2x l’H = lim = −2 = lim x→∞ 1 x→∞ x − 2 k = lim


Převádíme na společného jmenovatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = −2 = lim = lim x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim


Upravíme čitatel. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = −2 = lim x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim


∞

Limitu typu

∞ řešíme např. l’Hospitalovým pravidlem.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → ∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→∞ x(x − 2) x→∞ x − 2x x→∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→∞ x→∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→∞ x − 2 x→∞ 1 k = lim

Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se směrnicí y = kx + q. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 x→−∞ x(x − 2) 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim

Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

−x2 1 − x2 1 − x2 = lim = −1 = lim 2 x→−∞ x2 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim

Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. Analogicky řešíme limity pro x → −∞. U racionálních lomených funkcí je pravidlem, že je výsledek stejný jako pro x → ∞. POZOR - u ostatních funkcí tomu tak není!!! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 1 − x2 −x2 = −1 = lim 2 = lim x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 1 − x2 −x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = lim = −2 x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2


k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 −2 1 − 2x l’H = lim = −2 = lim x→−∞ 1 x→−∞ x − 2

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = −2 = lim = lim x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2

1 − x2 −x2 1 − x2 = lim 2 = lim = −1 x→−∞ x(x − 2) x→−∞ x − 2x x→−∞ x2 1 − x2 1 − x2 + x(x − 2) q = lim + x = lim x→−∞ x→−∞ x−2 x−2 1 − 2x l’H −2 = lim = −2 = lim x→−∞ x − 2 x→−∞ 1

k = lim


⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c



1 − x2 pro x → −∞: x−2


k = lim

Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se směrnicí y = kx + q. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c


Asymptoty grafu funkce

Recommend Documents