131
6.5 Pru˚beˇh funkce — shrnutı´
Proto funkce nema´ zˇa´dne´ asymptoty bez smeˇrnice. Nynı´ budeme hledat asymptoty se smeˇrnicı´. S pouzˇitı´m du˚sledku 6.35 dostaneme 1 π = . x→±∞ x 2 π Tedy funkce ma´ asymptotu se smeˇrnicı´ y = 2 pro x → ±∞. b = lim arccotg
N
6.5. Pru˚beˇh funkce — shrnutı´ Prˇi vysˇetrˇova´nı´ pru˚beˇhu funkce f postupujeme takto: 1. Stanovı´me D(f ), H (f ), zda je funkce f prˇ´ıpadneˇ suda´, licha´ nebo periodicka´. Najdeme body nespojitosti a rozhodneme o jejich druhu. Urcˇ´ıme nulove´ body funkce f a intervaly, kde je f kladna´ a kde za´porna´. 2. Vypocˇ´ıta´me f ′ a podle jejı´ho zname´nka urcˇ´ıme: • intervaly, kde je f rostoucı´ (z podmı´nky f ′ > 0),
• intervaly, kde je f klesajı´cı´ (z podmı´nky f ′ < 0), • loka´lnı´ extre´my (podle zmeˇny zname´nka f ′ ).
3. Vypocˇ´ıta´me f ′′ a podle jejı´ho zname´nka urcˇ´ıme: • intervaly, kde je f konvexnı´ (z podmı´nky f ′′ > 0),
• intervaly, kde je f konka´vnı´ (z podmı´nky f ′′ < 0), • inflexnı´ body (podle zmeˇny zname´nka f ′′ ).
4. Urcˇ´ıme asymptoty funkce f . 5. Vypocˇ´ıta´me funkcˇnı´ hodnoty ve vy´znamny´ch bodech (loka´lnı´ extre´my, inflexnı´ body atd.). 6. Nakreslı´me graf funkce. Prˇ´ıklad 6.37. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f:y=
ln x 2 . x
Rˇesˇenı´. 2 2 = − lnxx = −f (x), proto 1. Definicˇnı´ obor D(f ) = R r {0}. Platı´ f (−x) = ln(−x) −x je dana´ funkce licha´ a vlastnosti musı´ by´t jisty´m zpu˚sobem „symetricke´“. Nulove´ body funkce urcˇ´ıme z rovnice f (x) = 0, odkud dosta´va´me x = ±1. Vysˇetrˇ´ıme zname´nko funkce: f:
−
−1 1
+
0
−
1
+
132
Pru˚beˇh funkce
2. Urcˇ´ıme prvnı´ derivaci: f ′ (x) =
2x x2
x − ln x 2 x2
2 − ln x 2 . x2
=
Odtud zjistı´me staciona´rnı´ body funkce: f ′ (x) = 0
ln x 2 = 2
⇔
⇔
x = ±e.
Snadno zjistı´me zname´nko prvnı´ derivace na jednotlivy´ch intervalech: f ′:
−
−ee
+
0
min
+
e
−
max
Funkce naby´va´ loka´lnı´ho minima v bodeˇ x = −e a loka´lnı´ho maxima v bodeˇ x = e. 3. Druha´ derivace je − 2x x 2 − (2 − ln x 2 )2x x2
′′
f (x) =
=
x4
2(ln x 2 − 3) . x3
Urcˇ´ıme nulove´ body druhe´ derivace, protozˇe pouze v nich mohou by´t inflexnı´ body: √ ⇔ ln x 2 = 3 ⇔ x = ± e3 . f ′′ (x) = 0 Jejı´ zname´nko je: f ′′ :
−
√ − e3
+
0
inf
−
√ e3
+
inf
4. Pro urcˇenı´ asymptot funkce pocˇ´ıtejme limity lim±
x→0
ln x 2 = ∓∞, x
ln x 2 = 0. x→±∞ x lim
Odtud vidı´me, zˇe prˇ´ımka y = 0 je asymptotou bez smeˇrnice a prˇ´ımka y = 0 je asymptotou pro x → ±∞. 5. Spocˇ´ıta´me hodnoty funkce f ve vy´znamny´ch bodech (extre´my, inflexnı´ bod): 2 maximum/minimum: f (±e) = ± , e
√ 3 inflexe: f (± e3 ) = ± √ . e3
6. Nakreslı´me graf funkce — viz obr. 6.6. Funkce je licha´, proto je jejı´ graf soumeˇrny´ podle pocˇa´tku. (Meˇrˇ´ıtko na ose x je dvakra´t veˇtsˇ´ı nezˇ na ose y.) N
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
133
y y=
2 e
√ − e3
−ee
−1
O
1
√
e
ln x 2 x
e3
x
− 2e
Obr. 6.6
ˇ esˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce 6.6. R Prˇ´ıklad 6.38. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f : y = x − 2 arctg x. Rˇesˇenı´. 1. Definicˇnı´ obor dane´ funkce je D(f ) = R. Da´le platı´ f (−x) = −x − 2 arctg(−x) = −x + 2 arctg x = −f (x), proto je funkce licha´ a jejı´ vlastnosti budou „symetricke´“. Pokusı´me se urcˇit zname´nko funkcˇnı´ch hodnot. Rovnici arctg x = x2 vsˇak nedoka´zˇeme rˇesˇit. Jeden korˇen je jasny´ — x = 0. Protozˇe funkce arctg x ma´ v bodeˇ x = 0 derivaci rovnu 1 a funkce x2 ma´ derivaci 12 , lze z grafu˚ teˇchto funkcı´ odhadnout, zˇe existuje jedine´ cˇ´ıslo a > 0 takove´, zˇe v ±a ma´ nasˇe funkce korˇeny. Prˇesneˇji to uvidı´me z vy´sledne´ho grafu. Tedy: f:
− + − + −a a 0 a
2. Pocˇ´ıtejme prvnı´ derivaci: y′ = 1 −
2 x2 − 1 = . 1 + x2 1 + x2
Odtud dosta´va´me staciona´rnı´ body x = ±1 a zname´nko prvnı´ derivace na jednotlivy´ch intervalech: f ′:
+
−1 1
max
−
1
min
+
134
Pru˚beˇh funkce
Vidı´me, zˇe funkce ma´ v bodeˇ x = 1 loka´lnı´ extre´m, a to loka´lnı´ minimum; symetricky v bodeˇ x = −1 ma´ loka´lnı´ maximum. 3. Vypocˇteme druhou derivaci y ′′ =
2x(1 + x 2 ) − (x 2 − 1)2x 4x = , (1 + x 2 )2 (1 + x 2 )2
odkud f ′′ (x) = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0. Urcˇ´ıme zname´nko druhe´ derivace: f ′′ :
−
0
+
inf 4. Funkce je spojita´ na cele´m R, nema´ proto zˇa´dne´ asymptoty bez smeˇrnice. Vysˇetˇr´ıme, zda ma´ asymptoty se smeˇrnicı´: arctg x x − 2 arctg x = lim 1 − 2 = 1 − 0 = 1, x→±∞ x→±∞ x x π b+ = lim (x − 2 arctg x − x) = −2 · = −π, x→+∞ 2π = π. b− = lim (x − 2 arctg x − x) = −2 · x→−∞ 2 a = lim
Asymptotami funkce jsou tedy prˇ´ımky y = x − π pro x → +∞ a y = x + π pro x → −∞. 5. Spocˇteˇme funkcˇnı´ hodnoty funkce ve vy´znamny´ch bodech: f (0) = 0,
f (1) = 1 −
π , 2
f (−1) = −1 +
π . 2
6. Nakreslı´me graf funkce, viz obr. 6.7.
N
Prˇ´ıklad 6.39. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f : y = arcsin
2x . 1 + x2
Rˇesˇenı´. 1. Nejprve urcˇ´ıme definicˇnı´ obor. Funkce arcsin u je definova´na pouze pro hodnoty 2x ˇ´ıkladu 1.31 a) jsme uka´zali, zˇe u ∈ [−1, 1], proto musı´ platit −1 ≤ 1+x 2 ≤ 1. V pr tato nerovnost platı´ pro vsˇechna x ∈ R, tj. D(f ) = R. Funkce f je vsˇude spojita´. Nynı´ vysˇetrˇ´ıme, zda je funkce f suda´ nebo licha´: f (−x) = arcsin
−2x 2x = − arcsin = −f (x). 1 + x2 1 + x2
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
135
y π
y = x − 2 arctg x π 2
−1 1
O
−1 1
−a
1−
a
x
π 2
−π
Obr. 6.7 Funkce je licha´, a proto jsou jejı´ vlastnosti opeˇt „symetricke´“. Nulove´ body funkce jsou 2x 2x arcsin =0 ⇔ = 0 ⇔ x = 0, 2 1+x 1 + x2 tj. jediny´m nulovy´m bodem je x = 0. Vzhledem k pru˚beˇhu funkce arkussinus platı´: − + f: 0
2. Pocˇ´ıtejme prvnı´ derivaci funkce. Je nutne´ si uveˇdomit, zˇe funkce arcsin u ma´ derivaci jen pro u ∈ (−1, 1) a v bodech u = −1, u = 1 existujı´ pouze jednostranne´ nevlastnı´ derivace +∞. y′ = q 1−
1 4x 2 (1+x 2 )2
·
=√
2(1 + x 2 ) − 2x · 2x = (1 + x 2 )2 1 + x2
1 + 2x 2 + x 4 − 4x 2
Odtud pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) je y′ =
·
2 − 2x 2 2(1 − x 2 ) p = . (1 + x 2 )2 (1 + x 2 ) (x 2 − 1)2
2(1 − x 2 ) 2 =− 2 2 2 (1 + x )(x − 1) x +1
136
Pru˚beˇh funkce
a pro x ∈ (−1, 1) je 2 2(1 − x 2 ) = 2 . 2 2 (1 + x )(1 − x ) x +1 √ (Prˇi vy´pocˇtu jsme pouzˇili rovnosti a 2 = |a| pro libovolne´ a ∈ R.) V bodech −1, 1 existujı´ pouze jednostranne´ derivace. S pouzˇitı´m cvicˇenı´ 9 z kapitoly 5 dostaneme: y′ =
2 = 1, x→−1+ 1 + x 2 −2 f+′ (1) = lim = −1. x→1+ 1 + x 2
−2 = −1, x→−1− 1 + x 2 2 = 1, f−′ (1) = lim x→1− 1 + x 2
f−′ (−1) = lim
f+′ (−1) = lim
Body x = ±1 jsou tedy tzv. u´hlove´ body. Da´le urcˇ´ıme zname´nko prvnı´ derivace na jednotlivy´ch podintervalech: −
f ′:
+
−1 1
min
1
−
max
Odtud podle veˇty 6.10 nahle´dneme, zˇe v bodeˇ 1 naby´va´ funkce loka´lnı´ho maxima (prˇestozˇe v tomto bodeˇ neexistuje derivace!); symetricky pak v bodeˇ −1 naby´va´ loka´lnı´ho minima. 3. Vy´pocˇet druhe´ derivace provedeme na jednotlivy´ch podintervalech: Pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) je −2 ′ 4x y ′′ = = , 1 + x2 (1 + x 2 )2 pro x ∈ (−1, 1) je ′′
y =
2 1 + x2
′
=
−4x . (1 + x 2 )2
Nulovy´ bod druhe´ derivace je tedy pouze x = 0 a jen tam mu˚zˇe by´t inflexe. Urcˇ´ıme zname´nko f ′′ a intervaly, kde je funkce konvexnı´ a kde konka´vnı´. f ′′ :
−
−1 1
+
0
−
1
+
inf
V bodech −1, 1 inflexe nenı´, protozˇe v nich neexistuje prvnı´ derivace.
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
137
4. Funkce je spojita´ na cele´m R, zjevneˇ tedy nema´ zˇa´dne´ asymptoty bez smeˇrnice. Vysˇetrˇ´ıme, zda ma´ asymptotu se smeˇrnicı´ pro x → ±∞. Platı´ a = lim
arcsin
2x 1+x 2
x
x→±∞
b = lim arcsin x→±∞
0 = 0, ±∞
=
2x = lim± arcsin y = 0, y→0 1 + x2
prˇicˇemzˇ jsme v poslednı´m kroku pouzˇili veˇtu o limiteˇ slozˇene´ funkce (y = Prˇ´ımka y = 0 je asymptotou dane´ funkce pro x → ±∞. 5. Urcˇ´ıme funkcˇnı´ hodnoty ve vy´znamny´ch bodech f (−1) = arcsin(−1) = −
π , 2
f (1) = arcsin 1 =
π . 2
6. Nakreslı´me graf funkce — viz obr. 6.8.
N
y y = arcsin
π 2
−1 1
2x ). 1+x 2
O
2x 1 + x2
x
1
− π2
Obr. 6.8 Prˇ´ıklad 6.40. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f : y =
p 3 1 − x3.
Rˇesˇenı´. 1. Definicˇnı´ obor je D(f ) = R. Da´le snadno urcˇ´ıme nulove´ body funkce: p 3 1 − x 3 = 0 ⇔ 1 − x 3 = 0 ⇔ x 3 = 1 ⇔ x = 1.
U trˇetı´ odmocniny je zname´nko funkce f stejne´ jako zname´nko vy´razu pod odmocninou: + − f: 1
p √ Protozˇe f (−x) = 3 1 − (−x)3 = 3 1 + x 3 , funkce nenı´ ani suda´. ani licha´.
138
Pru˚beˇh funkce
2. Funkce
√ 3
u ma´ konecˇnou derivaci pouze pro u ∈ R r {0}. Proto pro x 6 = 1 platı´ 1 −x 2 −2 y ′ = (1 − x 3 ) 3 · (−3x 2 ) = p , 3 3 (1 − x 3 )2
odkud plyne f ′ = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0. Da´le vysˇetrˇ´ıme zname´nko derivace: f ′:
−
0
−
−
1
Funkce je na cele´m R klesajı´cı´ a nema´ tudı´zˇ loka´lnı´ extre´m ve sve´m staciona´rnı´m bodeˇ x = 0. V bodeˇ x = 1 s pomocı´ cvicˇenı´ 9 z kapitoly 5 urcˇ´ıme derivaci v bodeˇ x = 1: −x 2 = −∞. f ′ (1) = lim p x→1 3 (1 − x 3 )2
3. Pro x 6 = 1 je druha´ derivace 2
′′
y =−
2x(1 − x 3 ) 3 − x 2 32 (1 − x 3 ) − 13 (−3x 2 ) 4
(1 − x 3 ) 3 =−
=
2x(1 − x 3 ) + 2x 2 · x 2 1 3
(1 − x 3 ) (1 − x 3 )
4 3
2x = −p , 3 (1 − x 3 )5
odkud plyne, zˇe f ′′ = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0. Zna´zornı´me zname´nko druhe´ derivace: f ′′ :
+
0
inf
−
1
+
inf
Funkce ma´ inflexnı´ body x = 0 a x = 1. 4. Funkce je spojita´ na cele´m R, proto nema´ zˇa´dne´ asymptoty bez smeˇrnice. Pocˇ´ıtejme asymptoty se smeˇrnicı´: r √ 3 1 − x3 3 1 a = lim = lim − 1 = −1, x→±∞ x→±∞ x x3 p 3 b = lim 1 − x3 + x = x→±∞ p √ p x 2 + x 3 x 3 − 1 + 3 (x 3 − 1)2 3 p = lim x − x 3 − 1 = √ x→±∞ x 2 + x 3 x 3 − 1 + 3 (x 3 − 1)2 1 x3 − x3 + 1 p = lim = = 0. √ 3 3 x→±∞ x 2 + x x 3 − 1 + +∞ + ∞ + ∞ (x 3 − 1)2
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
139
Tedy prˇ´ımka y = −x je asymptotou funkce pro x → ±∞. 5. Spocˇ´ıta´me funkcˇnı´ hodnoty ve vy´znamny´ch bodech: f (0) = 1, 6. Nakreslı´me graf funkce — viz obr. 6.9.
f (1) = 0.
N
y y=
1
O
√ 3 1 − x3
x
1
Obr. 6.9 Prˇ´ıklad 6.41. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f : y = x arccotg
1 . x
Rˇesˇenı´. 1. Je D(f ) = R r {0}. Protozˇe 1 hπ 1 i π 1 f (−x) = −x arccotg − = −x − arctg − = −x + arctg = x 2 x 2 x π π 1 1 = −x + − arccotg = −πx + x arccotg , 2 2 x x funkce nenı´ ani suda´, ani licha´. Da´le vidı´me, zˇe f 6 = 0 na cele´m D(f ). Funkce je kladna´ pro x > 0 a za´porna´ pro x < 0: f:
−
0
+
2. Vypocˇteme prvnı´ derivaci: 1 −1 1 y = arccotg + x · 2 − 2 = x x 1 + x1 ′
= arccotg
x2 1 1 x 1 + = arccotg + . 2 x 1+x x x 1 + x2
140
Pru˚beˇh funkce
Urcˇenı´ zname´nka derivace nelze prove´st klasicky´m zpu˚sobem, musı´me pouzˇ´ıt mensˇ´ı u´vahu. • Ze znalosti funkce arccotg u jednodusˇe zjistı´me, zˇe x>0
⇒
x<0
⇒
1 > 0, x π 1 arccotg > . x 2
arccotg
• S pouzˇitı´m vy´sledku prˇ´ıkladu 1.31 a) da´le urcˇ´ıme, zˇe x>0
⇒
x<0
⇒
x > 0, 2 1 + x x 1 1 + x2 ≤ 2 .
• Z teˇchto u´vah jizˇ snadno vyply´va´, zˇe x>0
⇒
x<0
⇒
y ′ > 0, π 1 y ′ > − > 0. 2 2
Takzˇe funkce nema´ zˇa´dny´ staciona´rnı´ bod a je na cele´m D(f ) rostoucı´: f ′:
+
0
+
3. Vypocˇteme druhou derivaci: 1 x 2 + 1 − 2x · x = y = − + 2 x2 (x 2 + 1)2 1 + x1 ′′
−1
=
1 − x2 x2 + 1 + 1 − x2 2 1 + = = , 2 2 2 2 2 1+x (1 + x ) (1 + x ) (1 + x 2 )2
odkud vidı´me, zˇe f ′′ (x) > 0 pro vsˇechna x ∈ D(f ): f ′:
+
0
+
Funkce je na obou intervalech definicˇnı´ho oboru konvexnı´.
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
141
4. Spocˇteˇme jednostranne´ limity funkce f v bodeˇ x = 0: 1 x
lim+ x arccotg
arccotg 1 = lim+ 1 x→0 x x
lim− x arccotg
arccotg y 1 π = lim = = 0. y→−∞ x y −∞
x→0
x→0
arccotg y 0 = = 0, y +∞
= lim
y→+∞
(Prˇi vy´pocˇtu jsme pouzˇili veˇtu o limiteˇ slozˇene´ funkce, kde y = x1 .) Proto funkce nema´ v bodeˇ x = 0 asymptotu bez smeˇrnice. Vysˇetrˇ´ıme asymptoty se smeˇrnicı´: x arccotg x1 1 π = lim arccotg = lim± arccotg y = , x→±∞ x→±∞ y→0 x x 2 1 π 1 π b = lim x arccotg − x = lim x arccotg − = x→±∞ x→±∞ x 2 x 2
a = lim
= lim
x→±∞
Prˇ´ımka y =
π 2
arccotg x1 − 1 x
π 2
= lim± y→0
arccotg y − y
−1
π 2
=
0 1+y 2 = lim± = −1. 0 y→0 1
x − 1 je asymptotou funkce pro x → ±∞.
5. Nakreslı´me graf — viz obr. 6.10.
N
y
O 2 π
x
−1 y = x arccotg
Obr. 6.10
1 x
142
Pru˚beˇh funkce
Prˇ´ıklad 6.42. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f : y = ln cos x.
Rˇesˇenı´. 1. Urcˇ´ıme definicˇnı´ obor dane´ funkce. Funkce ln u je definovana´ pouze pro hodnoty u ∈ (0, ∞), proto musı´ by´t cos x > 0. Zrˇejmeˇ platı´ π π cos x > 0 ⇔ x ∈ − + 2kπ, + 2kπ , k ∈ Z. 2 2 Odtud plyne [ π π − + 2kπ, + 2kπ . D(f ) = 2 2 k∈Z
Da´le se nabı´zı´ oveˇrˇit, zda je dana´ funkce periodicka´. Jelikozˇ funkce cos x je periodicka´ s periodou 2π, platı´ cos(x + 2π) = cos x, odkud ln cos(x + 2π) = = ln cos x, takzˇe je funkce f periodicka´ s periodou 2π. Proto stacˇ´ı se omezit prˇi vysˇetrˇova´nı´ pru˚beˇhu pouze na jeden z intervalu˚ tvorˇ´ıcı´ch D(f ), naprˇ. (− π2 , π2 ). Oveˇrˇme sudost/lichost funkce. Platı´ f (−x) = ln cos(−x) = ln cos x = f (x), nebot’funkce cos x je suda´. Odtud je videˇt, zˇe je dana´ funkce suda´ a jejı´ graf bude osoveˇ soumeˇrny´ podle osy y. Vysˇetrˇ´ıme zname´nko funkce f . Vı´me, zˇe ln u > 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ u > 1 a da´le cos x ≤ 1 pro vsˇechna x ∈ R. Odtud snadno plyne π π f (x) ≤ 0 pro x ∈ − , , π2 π2 ⇔ x = 0. f (x) = 0 ⇔ cos x = 1, x ∈ − , 2 2 Tedy − − f: − π2
π 2
0
2. Pocˇ´ıtejme prvnı´ derivaci: − sin x = − tg x. cos x Odtud plyne y ′ = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0. Zname´nko prvnı´ derivace je y′ =
f ′:
− π2
+
0
max
−
π 2
Vidı´me, zˇe funkce ma´ v bodeˇ x = 0 loka´lnı´ maximum.
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
143
3. Pocˇ´ıtejme druhou derivaci: y ′′ = −(tg x)′ = −
1 <0 cos2 x
Tedy: f ′′ :
π π pro x ∈ − , . 2 2
−
− π2
π 2
Funkce je na cele´m intervalu (− π2 , π2 ) konka´vnı´. 4. Jelikozˇ funkce nenı´ definovana´ na zˇa´dne´ poloprˇ´ımce (a, +∞) ani (−∞, a), nema´ smysl vysˇetrˇovat asymptoty pro x → ±∞. Spocˇ´ıtejme limity v krajnı´ch bodech vysˇetrˇovane´ho intervalu: lim ln cos x = lim+ ln y = −∞.
x→− π2 +
y→0
Analogicky´ vy´sledek vycha´zı´ pro limitu x → smeˇrnice v bodech − π2 a π2 .
π− , 2
takzˇe funkce ma´ asymptoty bez
5. Spocˇ´ıta´me funkcˇnı´ hodnoty ve vy´znamny´ch bodech: f (0) = 0. 6. Nakreslı´me graf — viz obr. 6.11.
N
y − 5π 2
−2π 2π
− 3π 2
− π2
O
y = ln cos x π 2
3π 2
2π
5π 2
x
Obr. 6.11 Prˇ´ıklad 6.43. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce f:y=
x3 . x2 − 1
144
Pru˚beˇh funkce
Rˇesˇenı´. 1. Jedna´ se o raciona´lnı´ funkci, ktera´ nenı´ definovana´ pouze v korˇenech jmenovatele. Tedy D(f ) = R r {−1, 1}. Funkce f (x) je spojita´ na D(f ). Protozˇe f (−x) =
(−x)3 −x 3 x3 = = − = −f (x), (−x)2 − 1 x2 − 1 x2 − 1
je funkce je licha´, jejı´ graf bude strˇedoveˇ soumeˇrny´ vzhledem k pocˇa´tku. Da´le urcˇ´ıme zname´nko f (x). Je to raciona´lnı´ lomena´ funkce, korˇen cˇitatele x = 0 je trojna´sobny´, korˇeny jmenovatele x = −1 jsou jednoduche´. Tedy −
f:
−1 1
+
0
−
1
+
2. Vypocˇteme prvnı´ derivaci: ′ x3 3x 2 (x 2 − 1) − x 3 · 2x x 4 − 3x 2 ′ = = . y = x2 − 1 (x 2 − 1)2 (x 2 − 1)2
√ Korˇeny cˇitatele x 4 − 3x 2 = x 2 (x 2 − 3) jsou x = 0 (dvojna´sobny´) a x = ± 3 (jednoduche´). V nich jsou staciona´rnı´ body. Da´le urcˇ´ıme zname´nko y ′ : + − − − − + √ √ − 3 −1 1 0 1 3
f ′:
max
min
√
√ Tedy v bodeˇ x = − 3 je loka´lnı´ maximum a v bodeˇ x = 3 je loka´lnı´ minimum. 3. Vypocˇteme druhou derivaci: 4 x − 3x 2 ′ (4x 3 − 6x)(x 2 − 1)2 − (x 4 − 3x 2 )(x 2 − 1)2x = = y ′′ = (x 2 − 1)2 (x 2 − 1)4 (x 2 − 1)[(4x 3 − 6x)(x 2 − 1) − 4x(x 4 − 3x 2 )] = = (x 2 − 1)4 2x 3 + 6x 4x 5 − 6x 3 − 4x 3 + 6x − 4x 5 + 12x 3 = . = (x 2 − 1)3 (x 2 − 1)3
Cˇitatel 2x 3 + 6x = 2x(x 2 + 3) ma´ jednoduchy´ korˇen x = 0, v neˇmzˇ mu˚zˇe by´t inflexe (komplexnı´ korˇeny na´s nezajı´majı´). Da´le urcˇ´ıme zname´nko y ′′ . Nesmı´me zapomenout, zˇe korˇeny x = ±1 ve jmenovateli jsou trojna´sobne´. Dostaneme: f ′′ :
V bodeˇ x = 0 ma´ funkce inflexi.
−
−1 1
+
0
inf
−
1
+
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
145
4. Nynı´ ma´me najı´t asymptoty bez smeˇrnice a se smeˇrnicı´. Protozˇe funkce je spojita´ na sve´m definicˇnı´m oboru, asymptoty bez smeˇrnice mohou by´t jen v bodech x = −1 a x = 1. Vypocˇteme jednostranne´ limity: −1 x3 = = −∞, x→−1 x 2 − 1 +0 1 x3 lim− 2 = = −∞, x→1 x − 1 −0 lim −
−1 x3 = = +∞, x→−1 x 2 − 1 −0 1 x3 lim+ 2 = = +∞. x→1 x − 1 +0 lim +
Asymptoty bez smeˇrnice jsou x = −1 a x = 1. Da´le urcˇ´ıme asymptoty se smeˇrnicı´: x3 x 2 −1
x3 1 = lim = 1, 3 x→±∞ x x→±∞ x − x x→±∞ 1 − 1 x2 1 x3 x x − x = lim = lim b = lim x→±∞ x 2 − 1 x→±∞ x 2 − 1 x→±∞ 1 −
a = lim
= lim
1 x2
= 0.
Asymptota pro x → ±∞ tedy existuje a ma´ rovnici y = x. 5. Spocˇ´ıta´me funkcˇnı´ hodnoty ve vy´znamny´ch bodech: f (0) = 0, f ′ (0) = 0 a √ (± 3)3 3√ 3. f (± 3) = √ =± 2 (± 3)2 − 1 √
6. Nakreslı´me graf funkce — viz obr. 6.12.
N
Prˇ´ıklad 6.44. Urcˇete hodnotu rea´lne´ho parametru a tak, aby funkce f (x) = a sin x + meˇla v bodeˇ x =
π 3
1 sin 3x 3
extre´m.
Rˇesˇenı´. Nejprve urcˇ´ıme prvnı´ derivaci: f ′ (x) = a cos x + cos 3x. Odtud f′
π 3
= a cos
π a π + cos 3 = − 1. 3 3 2
Ma´-li nastat v bodeˇ π3 extre´m, musı´ by´t f ′ ( π3 ) = 0, a tedy a = 2. Jesˇteˇ musı´me ′′ oveˇrˇit, zˇe extre √ ´ m opravdu nastane. Prˇi a = 2 je f (x) = −2 sin x − 3 sin 3x a ′′ π N f ( 3 ) = − 3 − 0 < 0, takzˇe je zde loka´lnı´ maximum.
146
Pru˚beˇh funkce
y
3 2
√
3
y= √ − 3
O
−1
1
√
3
x3 x2 − 1 x
√ − 23 3
Obr. 6.12 Prˇ´ıklad 6.45. Ze cˇtverce papı´ru o straneˇ a vystrˇihneˇte v rozı´ch cˇtverce tak, aby krabice slozˇena´ ze zbytku papı´ru meˇla co nejveˇtsˇ´ı objem. Rˇesˇenı´. Snadno nahle´dneme, zˇe vznikla´ krabice bude kva´dr se cˇtvercovou podstavou. Oznacˇme x, y jejı´ rozmeˇry — viz obr. 6.13. Objem krabice je pak da´n vzorcem V = x 2 y. Da´le x z obra´zku snadno odhalı´me za´vislost 2y+x = a, odkud y = a−x 2 a tudı´zˇ platı´ a−x V = x2 . 2 a Hledejme maximum funkce V na intervalu [0, a]. Funkce je Obr. 6.13 spojita´ a ma´ derivaci, takzˇe podle Weierstrassovy veˇty existuje absolutnı´ maximum a je bud’ ve vnitrˇnı´m staciona´rnı´m bodeˇ, nebo v krajnı´ch bodech. y
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
147
Vyja´drˇ´ıme prvnı´ derivaci V ′ (x) = x(a − x) −
x2 3 =x a− x , 2 2
odkud V ′ (x) = 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x = 0 nebo x = 23 a. Lehce zjistı´me, zˇe v bodeˇ x0 = 23 a naby´va´ funkce globa´lnı´ho maxima (v krajnı´ch bodech je V (0) = V (a) = 0, takzˇe jsou to absolutnı´ minima). Hledane´ rozmeˇry jsou tedy x0 =
2 a, 3
y0 =
a , 6
Vmax = x02 · y0 =
2 3 a . 27
N
Prˇ´ıklad 6.46. Do pu˚lkruhu o polomeˇru r vepisˇte obde´lnı´k nejveˇtsˇ´ıho obsahu. Rˇesˇenı´. Oznacˇme si strany obde´lnı´ku a, b. Z obra´zku 6.14 vidı´me, zˇe podle Pythagorovy veˇty platı´: 2 b + a2 = r 2, 2 odkud
r
r2 −
b r
a
Obr. 6.14
b2
, 4 jelikozˇ uvazˇujeme pouze a ≥ 0. Pro obsah obde´lnı´ku platı´ S = a · b, a tedy v nasˇem konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ r b2 S = r2 − · b. 4 Vyja´drˇili jsme obsah vepsane´ho obde´lnı´ku jakozˇto funkci jedne´ promeˇnne´ b. Budeme hledat extre´my te´to funkce na intervalu [0, 2r]. Podle Weierstrassovy veˇty absolutnı´ extre´my existujı´. Vyja´drˇeme nejprve prvnı´ derivaci: r 2 b − r 2 − 2b4 b2 ′ 4 2 ·b+ r − =q . S (b) = q 2 2 4 r2 − b r2 − b a=
4
4
Nynı´
√ b2 = 0 ⇔ b = 2r. 2 Funkce S je v krajnı´ch bodech intervalu [0, 2r] nulova´, na cele´m intervalu je neza´porna √ ´ (obsah obde´lnı´ku nemu˚zˇe by´t za´porne´ cˇ´ıslo) a tedy je zrˇejme´, zˇe v bodeˇ b0 = 2r naby´va´ sve´ho maxima (b = 0 a b = 2r da´vajı´ minimum). Odtud jizˇ snadno urcˇ´ıme hledany´ maxima´lnı´ obsah vepsane´ho obde´lnı´ku: r r r2 r √ =√ ⇒ Smax = a0 · b0 = √ · 2r = r 2 . a0 = r 2 − 2 N 2 2 S ′ (b) = 0
⇔
r2 −
148
Pru˚beˇh funkce
Prˇ´ıklad 6.47. Do elipsy s hlavnı´ poloosou a a vedlejsˇ´ı poloosou b vepisˇte obde´lnı´k se stranami rovnobeˇzˇny´mi s poloosami tak, aby obsah obde´lnı´ku byl maxima´lnı´. C
D b
Rˇesˇenı´. Rovnice elipsy se strˇedem v bodeˇ (0, 0) ma´ tvar 2 x2 + yb2 = 1. Oznacˇme si vrcholy obde´lnı´ku dle oba2 ra´zku 6.15. Bod C ma´ sourˇadnice C = (x, y), kde x ∈ [0, a], y ∈ [0, b]. Ze symetrie je jasne´, zˇe obsah obde´lnı´ku urcˇ´ıme jako S = 4xy. Jelikozˇ bod C lezˇ´ı na elipse, urcˇ´ıme jeho y-ovou sourˇadnici z rovnice elipsy:
y
a
x
A
B
Obr. 6.15
y 2 = b2
x2 1− 2 a
⇒
r
y =b 1−
x2 , a2
jelikozˇ uvazˇujeme y ≥ 0. Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vyja´drˇit obsah vepsane´ho obde´lnı´ku jako funkci jedne´ promeˇnne´: r x2 S(x) = 4bx 1 − 2 . a Hledejme nynı´ absolutnı´ maximum funkce S(x) na intervalu [0, a]. To podle Weierstrassovy veˇty existuje. Staciona´rnı´ bod S urcˇ´ıme z rovnice r
2 2x 1 − 2 xa 2 − a2 ′ = 4b q 1− 2 +x q = 0, S (x) = 4b 2 2 a 2 1 − xa 2 1 − xa 2 x2
odkud 1−
2x 2 = 0, a2
takzˇe
a x=√ , 2
jelikozˇ opeˇt uvazˇujeme pouze x ≥ 0. Je zrˇejme´, zˇe v krajnı´ch bodech intervalu [0, a] je funkce S(x) nulova´ (vytvorˇeny´ obrazec je u´secˇka),√ je proto na cele´m intervalu [0, a] neza´porna´, a tedy je zrˇejme´, zˇe v bodeˇ x0 = a/ 2 naby´va´ sve´ho absolutnı´ho maxima. Nynı´ jizˇ snadno urcˇ´ıme hledany´ maxima´lnı´ obsah:
y0 = b
s
1−
x02 b =√ 2 a 2
⇒
a b Smax = 4x0 y0 = 4 · √ · √ = 2ab. 2 2
N
6.6 Rˇesˇene´ prˇ´ıklady na extre´my a pru˚beˇh funkce
149
Prˇ´ıklad 6.48. Do koule o polomeˇru R vepisˇte va´lec s nejveˇtsˇ´ım obsahem. Rˇesˇenı´. Prˇi rˇesˇenı´ teˇchto „prostorovy´ch“ u´loh je vzˇdy za´kladem u´speˇchu nakreslit si vhodny´ obra´zek. Na nasˇem obra´zku 6.16 vidı´me strˇedovy´ rˇez danou koulı´. Oznacˇme r polomeˇr za´kladny a v vy´sˇku vepsane´ho va´lce. Podle Pythagorovy veˇty platı´: v 2 2
r v 2
v
R S
+ r 2 = R2, Obr. 6.16
odkud p v = 2 R2 − r 2,
jelikozˇ uvazˇujeme pouze neza´pornou vy´sˇku. Nynı´ mu˚zˇeme vyja´drˇit objem vepsane´ho va´lce jakozˇto funkci jedne´ promeˇnne´ r: p V (r) = πr 2 · v = 2πr 2 R 2 − r 2 .
Budeme hledat absolutnı´ extre´m te´to funkce na intervalu [0, R]. Podle Weierstrassovy veˇty existuje. Nejprve vyja´drˇ´ıme prvnı´ derivaci: p 2r(R 2 − r 2 ) − r 3 −r = 2π , V ′ (r) = 2π 2r R 2 − r 2 + r 2 · √ √ R2 − r 2 R2 − r 2 tedy V ′ (r) = 0
⇔
r(2R 2 − 3r 2 ) = 0
⇔
r = 0 nebo r =
r
2 R. 3
V krajnı´ch bodech je V (0) p = V (R) = 0, takzˇe jde o absolutnı´ minima. Absolutnı´ maximum je v bodeˇ r0 = 2/3R. Nynı´ jizˇ snadno dokoncˇ´ıme vy´pocˇet: r
v0 = 2 R 2 −
2 2 2R R =√ , 3 3
takzˇe Vmax = πr02 · v0 = π
2 2 2R 4π R · √ = √ R3. 3 3 3 3
N
150
Pru˚beˇh funkce
Prˇ´ıklad 6.49. Do koule o polomeˇru R vepisˇte kuzˇel s nejveˇtsˇ´ım objemem.
v v
r R−v
R
S v−R
S
R r
a)
b)
Obr. 6.17 Rˇesˇenı´. Nakresleme si strˇedovy´ rˇez koulı´ a oznacˇme v vy´sˇku kuzˇelu a r polomeˇr za´kladny. Situace vypada´ na´sledovneˇ. V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ (pro v ≤ R — viz obr. 6.17 a)) platı´ dle Pythagorovy veˇty (R − v)2 = R 2 − r 2 , v druhe´m prˇ´ıpadeˇ (pro v ≥ R — viz obr. 6.17 b)) (v − R)2 = R 2 − r 2 . V obou prˇ´ıpadech zı´ska´va´me r=
p 2vR − v 2 .
Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vyja´drˇit objem vepsane´ho kuzˇele pouze v za´vislosti na v: V =
1 2 1 1 2 πr v = πv(2vR − v 2 ) = πv 2 R − πv 3 . 3 3 3 3
Hledejme absolutnı´ maximum funkce V (v) na intervalu [0, 2R]. Podle Weierstrassovy veˇty existuje. Vyja´drˇ´ıme si prvnı´ derivaci: 4 4 V ′ (v) = πvR − πv 2 = πv R − v , 3 3 odkud
V ′ (v) = 0
⇔
v = 0 nebo v =
4 R. 3
151
Cvicˇenı´
V krajnı´ch bodech je V (0) = V (2R) = 0, tedy jde o globa´lnı´ minima. Globa´lnı´ maximum je v bodeˇ v0 = (4/3)R. Jesˇteˇ urcˇ´ıme hledany´ objem: r √ 8 2 16 2 8 1 32 R − R = R ⇒ Vmax = πr02 v0 = πR 3 . r0 = 3 9 3 3 81 N
Cvicˇenı´ 1. Ramena a mensˇ´ı za´kladna rovnoramenne´ho lichobeˇzˇnı´ku majı´ velikost a. Urcˇete velikost jeho veˇtsˇ´ı za´kladny tak, aby byl obsah lichobeˇzˇnı´ku maxima´lnı´. 2. Do rovnoramenne´ho troju´helnı´ku o za´kladneˇ a a vy´sˇce v vepisˇte obde´lnı´k s nejveˇtsˇ´ım obsahem. 3. Do kruzˇnice o polomeˇru r vepisˇte rovnoramenny´ troju´helnı´k s maxima´lnı´m obsahem. 4. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my funkce: a)
y = x 2 + 4x + 5,
b)
d)
y = x 4 − 4x 3 + 4x 2 ,
e)
g)
y = xe x .
1
y = x 3 − 12x − 6, p y = 3 (x 4 − 1)2 ,
c) f)
x−1 , x √ 3 y = 3 − 2 x2,
y=
5. Najdeˇte absolutnı´ extre´my funkce: a)
y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1, x ∈ [−2, 1],
b)
y = x 2 ln x, x ∈ [1, e].
6. Najdeˇte intervaly, na nichzˇ je funkce f konvexnı´ resp. konka´vnı´, a urcˇete jejı´ inflexnı´ body: √ 3 a) y = 5x 2 + 20x + 7, b) y = x(1 − x)2 , c) y = x 2 − 1 + x 2 , 2 x − x2 d) y = , e) y = xe . 1 + x2 7. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce a nakreslete graf: a) d)
x , 1 + x2 x−1 y = arctg , x
y=
b) e)
1 − x2 , 1 + x2 1 y= 2 . x + 4x + 3 y=
c)
y=
1+x , 1 + x2
152
Pru˚beˇh funkce
8. Urcˇete asymptoty ke grafu funkce: a) d)
y = 3x + 1 x2
y = xe ,
3 , x−2
2x , x2 − 1
b)
y=x+
e)
p 3 y = x 3 + 4x 2 ,
9. Vysˇetrˇete pru˚beˇh funkce a nakreslete graf: x b) y = a) y = x 3 + 3x, , x−1 2 x+1 −x d) y = xe 2 , , e) y = ln 1−x
1 , 1 −x 2
c)
y=
f)
1 . y = x ln e + x
c)
y = ln(4 − x 2 ),
f)
y=
p 3
2x 2 − x 3 .
10. Oveˇrˇte, zˇe funkce f (x) z prˇ´ıkladu 1.39 ke kapitole 1 nenı´ monotonnı´ na zˇa´dne´m ryzı´m jednostranne´m okolı´ pocˇa´tku.
* „Dveˇ veˇci jsou nekonecˇne´: vesmı´r a lidska´ hloupost; a nejsem si jist tı´m vesmı´rem. . . “ Albert Einstein * Co je lepsˇ´ı — veˇcˇna´ blazˇenost, nebo burˇty s cibulı´? Na prvnı´ pohled by se mohlo zda´t, zˇe veˇcˇna´ blazˇenost, ale doka´zˇeme, zˇe tomu tak nenı´. Co je lepsˇ´ı nezˇ veˇcˇna´ blazˇenost? Nic. A burˇty s cibulı´ jsou samozrˇejmeˇ lepsˇ´ı nezˇ nic. Kdyzˇ to slozˇ´ıme dohromady, vyjde na´m, zˇe burˇty s cibulı´ jsou lepsˇ´ı nezˇ veˇcˇna´ blazˇenost!
199
Vy´sledky cvicˇenı´
Kapitola 6. Pru˚beˇh funkce Oznacˇme M(x, y) resp. m(x, y) loka´lnı´ maximum resp. minimum v bodeˇ (x, y). 1. 2a. 2. Smax =
av 4
.
√ 3. Rozmeˇry troju´helnı´ka: a = r 3, v =
3r , 2
kde a je za´kladna a v vy´sˇka.
4. a) m(−2, 1), b) m(2, −22), M(−2, 10), c) nejsou, d) M(1, 1), m(0, 0), m(2, 0), e) M(0, 1), m(−1, 0), m(1, 0), f) M(0, 3), g) m(1, e). M(1, 2), m(−2, −151),
6. a) b) c)
konvexnı´ na R, inflexe nenı´, konka´vnı´ na (−∞, 2/3), √ konvexnı´ na √ (2/3, +∞), inflexe v x = 2/3, konvexnı √´ na (−∞, −1/3 √ 3) a (1/3 3, +∞), konka √ ´ vnı´ na √ (−1/3 3, 0) a (0, 1/3 3), inflexe v x = −1/3 3 a x = 1/3 √ √ 3, √ √ konvexnı´ na (− √3, 0) a ( 3, +∞), √ konka´vnı´ na (−∞, − 3) a (0, 3), inflexe v x = −√ 3, x = √ 0 a x = 3, √ √ konvexnı´ na (− √3, 0) a ( 3, +∞), √ konka´vnı´ na (−∞, − 3) a (0, 3), inflexe v x = − 3, x = 0 a x = 3.
d) e)
b)
M(e, e2 ), m(1, 0).
5. a)
7. a) D = R, licha´, asymptota y = 0, graf viz obr. 1.4 a). y:
−
0
+
−
y′:
+
−1 1
min
−
y ′′ :
√ − 3
+
−
0
√ 3
1
−
max
+
inf inf inf b) D = R, suda´, asymptota y = −1, graf viz obr. 1.4 b). y:
− −1 1
+
1
−
y′:
+
0
−
y ′′ :
max c) D = R, asymptota y = 0, graf viz obr. 1.4 c). y:
−
−1 1
+
y′:
+
− + √ √ −1/ 1/ 3 1/ 3
inf
−
√ −1 − 2
min
+
inf
− √ −1 + 2
max
200
Vy´sledky cvicˇenı´
−
y ′′ :
−2 −
√
+
3
− √ −2 + 3
inf d) D = R r {0}, asymptota y = π4 . y:
+
0
−
+
1
inf
+
y′:
+
0
+
1
inf
+
y ′′ :
0
+
1 2
−
inf y π 2 π 4
y = arctg
x−1 x
1 2
O − π4
x
1
− π2
e) D = R r {−3, −1}, asymptoty x = −3, x = −1, y = 0. y:
+
−3 3
−
−11
+
+
y ′′ :
+
y′:
−3 3
−
−11
−3 3
+
y
y= −3
−2 2
−1 −1
O
x2
1 + 4x + 3 x
+
−2 2
max
−
−11
−
201
Vy´sledky cvicˇenı´
8. a) x = 2, y = 3x, b) x = −1, x = 1, y = x, c) x = −1, x = 1, y = 0, d) x = 0, y = x, e) y = x + 4/3, f) x = −1/e, y = x + 1/e. 9. a) D = R, licha´, graf obr. V.1 a). f:
−
0
+
+ 0
f ′:
−
f ′′ :
+
0
inf b) D = R r {1}, asymptoty x = 1, y = 1, graf obr. V.1 b). f:
+
0
−
1
+
−
f ′:
−
1
−
f ′′ :
+
1
inf c) D = (−2, 2), suda´, asymptoty x = −2, x = 2, graf obr. V.1 c). f:
− + − √ √ −2 2 − 3 3 2
f ′:
+
−2 2
−
0
2
f ′′ :
max d) D = R, licha´, asymptota y = 0, graf obr. V.1 d). f:
−
0
+
f ′:
− −1 1
+
1
−
f ′′ :
−
−2 2
− + − + √ √ − 2 0 2
min max inf inf e) D = (−1, 1), licha´, asymptoty x = −1, x = 1, graf obr. V.1 e). f:
−
0
+
+ 0
f ′:
f) D = R, asymptota y = −x + 2/3, obr. V.1 f). f:
+
0
+
2
−
f ′:
−
0
f±′ (0) +
inf
−
f ′′ :
0
+
inf = ±∞, f (2) = −∞, graf
− − 4/3 2
min max
2
′
f ′′ :
−
0
−
2
+
inf
10. Funkce je licha´, takzˇe stacˇ´ı oveˇrˇit pro x > 0. Protozˇe 1/x je klesajı´cı´, je f (x) monotonnı´ na (0, δ), δ > 0 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ g(x) = f (1/x) je monotonnı´ na (1/δ, +∞). Je 1 2 + cos x −x sin x − 2 − cos x = ⇒ g ′ (x) = . g(x) = f x x x2
O zname´nku derivace rozhoduje spojita´ funkce h(x) = −x sin x − 2 − cos x. Oznacˇme xn = π/2 + 2πn, yn = −π/2 + 2πn, n ∈ N. Po dosazenı´ dostaneme, zˇe h(xn ) = −2πn − 2 → −∞ a h(yn ) = 2πn − 2 → +∞ pro n → ∞. Tedy
202
Vy´sledky cvicˇenı´
y y y = x 3 + 3x
y=
x x−1
1
O x
O
x
1
a)
b)
y = ln(4 − x 2 ) y −x 2 /2
−2
y =xe √ − 2 −1 1
2 x
O
c)
y
O
1
√
x
2
d)
y y = ln −1 1
x+1 1−x
y y= 1 O
x
O
e)
2x 2 − x 3
4/3 2
f)
Obr. V.1
p 3
x
203
Vy´sledky cvicˇenı´
pro libovolneˇ velka´ x naby´va´ g ′ (x) jak kladne´ tak za´porne´ hodnoty, a tudı´zˇ g nenı´ monotonnı´ na zˇa´dne´m intervalu (1/δ, +∞). Kapitola 7. Prˇiblizˇne´ vyja´drˇenı´ funkce . . . 1. a) cos 61◦ = 0,4849, b) e1,2 = e · 1,2 = 3,26194, 2. a)
π 4
4. a)
ln(x + 1) = x −
− 0,005,
kde b)
ln(1 kde
b)
x3 3
+
x5 5
+ ··· +
. 6. ln 2 = 0,693134 (x = 13 ), b) c)
5,3,
c)
¯ 9,2.
3 n x2 + x3 − · · · + (−1)n+1 xn + Rn+1 (x), 2 n+2 x n+1 , Rn+1 (x) = (−1) n+1 (1+ξ )n+1 2 3 n − x) = −x − x2 − x3 − · · · − xn − Rn+1 (x), n+1 Rn+1 (x) = (1+ξ1)n+1 xn+1 .
5. T2n (x) = 2 x + 7. a)
. c) sin 32◦ = 0,53022.
x 2n−1 2n−1
.
. ln 3 = 1, 096586 (x = 12 ).
T3 (x) = 1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 , T3 (x) = (x − 1) − 2
T2 (x) = 1 − x ,
(x−1)2 2
+
(x−1)3 3
, d)
T2 (x) =
√ 2 1 2
−
(x− π2 ) 2
8. a) b)
f (x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + (x − 1) + 4, f (x) = (x − 2)4 + 8(x − 2)3 + 21(x − 2)2 + 10(x − 2) − 5.
9. a)
T3 (x) = 1 + 2x + 2x 2 + 43 x 3 ,
b)
−
(x− π2 )2 8
.
T3 (x) = 2x + 23 x 3 .
10. − 12 . Na´poveˇda: Prˇeved’te na spolecˇne´ho jmenovatele, jmenovatele „nahrad’te“ funkcı´ ekvivalentnı´ (uvazˇte, zˇe sin x ∼ x, x → 0 a ex − 1 ∼ x, x → 0) a v cˇitateli pouzˇijte Maclaurinovy rozvoje funkcı´ sin x a ex . ´ hly urcˇene´ podle tabulky hodnot tg jsou urcˇene´ prˇesneˇji nezˇ pomocı´ hodnot sin. 11. U Na´poveˇda: Pro diferencia´l funkce α = αt = arctg z platı´ |dαt | = cos2 α |dz|, pro funkci α = αs = arcsin y platı´ |dαs | = | cos1 α| |dy|. Protozˇe cos2 α ≤ | cos1 α| , je |dαt | ≤ |dαs |.
