DERIVACE FUNKCE Definice 1. (derivace) Buď f funkce, x0 ∈ !. Existuje-li lim
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
x → x0
limitu d er ivací funkce f v b o d ě x 0 a značíme ji f ′ ( x0 ) .1
= lim h→0
f (x + h) − f (x) h
, nazýváme tuto
Definice 2. (tečna a normála) Přímku o rovnici y = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) nazýváme tečno u ke gr afu funkce f v b o d ě x 0 , přímku o rovnici y = f ( x0 ) −
1 f ′( x0 )
( x − x0 ) , kde
f ′ ( x0 ) ≠ 0 nazýváme no r málo u ke gr afu funkce f
v bodě x0. Věta 1. (o existenci derivace) Funkce má v bodě x0 ∈ ! derivaci právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci zprava i zleva a platí f +′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ) . Věta 2. (o souvislosti spojitosti a existence derivace) Má-li funkce f v bodě x0 ∈ ! vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. Věta 3. Nechť funkce f, g mají derivaci v bodě x0 ∈ ! a nechť c ∈ !. Pak platí
[1] : (c ⋅ f )′ ( x0 ) = c ⋅ f ′ ( x0 ) [2] : ( f ± g )′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ± g ′ ( x0 ) [3] : ( f ⋅ g )′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g ′ ( x0 ) f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − f ( x0 ) g ′ ( x0 ) , g ( x0 ) ≠ 0 [4] : ( gf )′ ( x0 ) = g 2 ( x0 ) Tvrzení [1] a [3] lze zobecnit: [1*] : (c f + c f + ! + c f )′ ( x 1 1
2
2
n
n
0
) = c1 f1′( x0 ) + c2 f 2′ ( x0 ) + ! + cn f n′ ( x0 )
[3*] : ( f1 f 2 ! f n )′ ( x0 ) = f1′( x0 ) f 2 ( x0 )! f n ( x0 ) + f1 ( x0 ) f 2′ ( x0 )! f n ( x0 ) + ! + f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )! f n′ ( x0 ) Věta 4. Nechť f ′ ( x0 ) = ∞ a existuje vlastní g ′ ( x0 ) a c ∈ " − {0} , pak platí [1]
(f
+ g )′ ( x0 ) = ∞
[2] (cf )′ ( x0 ) = ∞ ⋅ sgn c , Věta 5. (o derivaci superpozice funkcí) Nechť funkce f má derivaci v bodě x0 a funkce g má derivaci v bodě y0 = f ( x0 ) . Pak superpozice g # f má derivaci v bodě x0 a platí ( g # f )′ ( x0 ) = g ′ ( y0 ) f ′ ( x0 ) = g ′ ( f ( x0 )) f ′ ( x0 ) Věta 6. (o derivaci inverzní funkce) Nechť funkce f je spojitá a ryze monotónní na intervalu F, x0 ∈ F a existuje vlastní nebo nevlastní f ′ ( x0 ) . Pak funkce f −1 má vlastní nebo nevlastní derivaci v bodě y0 = f ( x0 ) , přičemž platí:
( f )′ ( y ) = f ′ (1x ) a f je rostoucí, resp. klesající, je ( f )′ ( y ) = ∞, resp. ( f )′ ( y ) = −∞ .
Je-li f ′ ( x0 ) ≠ 0 , je
−1
0
0
Je-li
1
−1
−1
0
0
Libovolná funkce má v libovolném budě nejvýše jednu derivaci.
1
(
Definice 3. (vyšší derivace) Pro n -to u d e r iva c i platí f ( ) = f ( n
n −1)
)′ , f ( ) ( x ) m
(n )
= f(
m+n)
( x)
Věta 7. Pro n-tou derivaci z následujících funkcí platí
(c1 f1 + c2 f 2 + ! + cn fn )( ) = c1 f1(n) + c2 f 2(n) + ! + cn fn(n) n
n (k ) (n − k ) f g k =1 k n
( fg )(n ) = ∑
Věta 8. (derivování implicitně zadaných funkcí) Implicitně zadané funkce derivujeme tak, že závislé proměnné y1 ! yn zapíšeme ve tvaru y1 = f1 ( x ) ,! , yn = f n ( x ) a počítáme s nimi jako s funkcemi (viz strana 7).
Věta 9. (Derivace elementárních funkcí)
(a )′ = a x
x
(log a x )′ =
f g ′ = [eln f
g
1 cos 2 x
⋅ ln a
( tan x )′ =
1 x ln a
(cot x )′ = −
]′ = [e g ⋅ln f ]′ = e g ⋅ln f ( g ⋅ ln f )′ =
1 sin 2 x
(arcsin x )′ = (arccos x )′ = −
1 1− x
(arctan x )′ =
2
1 1− x
2
1 1 + x2
(arccot x )′ = −
1 1 + x2
f ′ f g g ′ ln f + g f
NĚKTERÉ DŮSLEDKY VLASTNOSTÍ DERIVACE Věta 10. (Rolleova) Nechť funkce f splňuje tyt předpoklady: [1] je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]
[2] V každém bodě otevřeného intervalu ( a, b ) má vlastní nebo nevlastní derivaci [3] Platí f ( a ) = f (b )
pak existuje takové číslo c ∈ ( a, b ) , že f ′ (c ) = 0
Věta 11. (Lagrageova - 1. věta o střední hodnotě, věta o přírůstku funkce) Nechť funkce f splňuje tyt předpoklady: [1] je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] [2] V každém bodě otevřeného intervalu ( a, b ) má vlastní nebo nevlastní derivaci Pak existuje takové číslo c ∈ ( a, b ) , že f ′ (c ) =
f (b ) − f ( a ) b−a
Věta 12. (Cauchyova - 2. věta o střední hodnotě, věta o podílu přírůstku) Nechť funkce f, g splňují tyto předpoklady: [1] jsou spojitá na uzavřeném intervalu [a, b]
[2] V každém bodě otevřeného intervalu ( a, b ) existuje vlastní nebo nevlastní f ′ ( x ) a vlastní g ′ ( x ) [3] Platí g ′ ( x ) ≠ 0 pro x ∈ ( a, b )
Pak existuje takové číslo c ∈ ( a, b ) , že platí
f ′ ( c ) f (b ) − f ( a ) = g ′ ( c ) f (b ) − g ( a )
2
Grafická interpretace. Rovnice x = g (t ) , y = f (t ) , t ∈ [a, b ] vyjadřují křivku v rovině !2. Číslo směrnicí její sečny určené body
g ( a ) , f ( a ) , g (b ) , f (b ) . Číslo
bodě g (c ) , f (c ) .
v bodě
Tedy
tečna
g (c ) , f (c )
je
f ′ (c ) g ′ (c )
rovnoběžná
f (b ) − f ( a ) f (b ) − g ( a )
je
je směrnicí její tečny v se
sečnou
jdoucí
body
g ( a ) , f ( a ) , g (b ) , f (b ) .
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO Věta 13. (L’Hospitalovo pravidlo) Nechť f, g jsou funkce a x0 e !*. Nechť platí buď lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 , nebo x → x0
lim g ( x ) = ∞ . Existuje-li lim
x → x0
x → x0
x → x0
f′ f f′ ( x ) = a ∈ "∗ , existuje i xlim ( x ) a platí xlim ( x) = a . → x0 g → x0 g ′ g′
Věta 14. Neurčité výrazy typu 00 , ∞∞ lze určit pravidlem. Ostatní limity je třeba vhodně upravit (viz. Table 1). Table 1
1 1 − g (x) f ( x) ∞ − ∞ : lim f ( x ) − g ( x ) = lim x → x0 x → x0 1 1 g (x) f (x)
f ( x) 0 ⋅ ∞ : lim f ( x ) g ( x ) = lim x → x0 x → x0 1 g (x)
00 , ∞ 0 ,1∞ : lim f ( x ) x → x0
g (x)
= lim e
g ( x )⋅ln f ( x )
x → x0
DIFERENCIÁL FUNKCE Definice 4. Funkce f se nazývá d ifer e nco va te lná v b o d ě x 0 ∈ !, jestliže existuje δ ∈ !, δ > 0 s vlastností
x0 , δ ) ⊆ Dom f a takové číslo A ∈ !, že platí: f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = A ⋅ h + τ ( h ) . V tomto případě se lineární funkce ! (" h → A ⋅ h, h ∈ " nazývá d ifer enciálem funkce f v b o d ě x 0 a značí se d f ( x0 ) . Můžeme říct, že A ⋅ h je lineární aproximací přírůstku funkce a τ ( h ) je chyba této aproximace. Funkce τ ( h ) je τ (h) obecně taková, že platí lim =0. h→0 h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = A ⋅ h + τ ( h ) ⇒ ⇒ lim h→0
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h τ (h ) = A + lim , A = f ′ ( x0 ) h→0 h
= A+
τ (h ) ⇒ h
Odtud vidíme, že d f ( x0 ) = A ⋅ h = f ′ ( x0 ) ⋅ h
3
Často se používá zápis h = x − x0 = d x
f ( x ) − f ( x0 ) = d f ( x0 )
Proto d f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ⋅ h = f ′ ( x0 ) d x .
TAYLORŮV VZOREC Definice 5. Buď n ∈ $ ∪ {0} a f funkce, jež má v bodě x0 ∈ ! derivace až do řádu n. Potom polynom t : x → f ( x0 ) + f n
f ′ ( x0 )
( x − x0 ) +
f ′′ ( x0 )
( x − x0 )
2
+!+
f(
n)
( x0 )
( x − x0 )n , x ∈ "
se nazývá T aylo rův p o lyno m 1! 2! n! stup ně n funkce f v b o d ě x 0 . V případě, kdy x0 = 0 jej nazýváme Maclaurino vým polynomem. a a ( a − 1)! ( a − n + 1) Definice 6. (rozšířená definice kombinačního čísla) Pro a ∈ ", n ∈ $ klademe rovnost = n! n Table 2 - Maclaurinovy polynomy pro elementární funkce
ex = 1+ cos x = 1 −
(1 + x )
a
x x2 xn + + ! + + o ( xn ) 1! 2! n!
ln (1 + x ) =
2n x2 x4 n x + − ! + ( −1) + o ( x 2 n +1 ) 2! 4! 2n !
sin x =
n x x 2 x3 n −1 x − + − ! + ( −1) + o ( xn ) 1 2 3 n
x x3 x5 x 2 n +1 n − + − ! + ( −1) + o ( x 2n + 2 ) 1! 3! 5! ( 2n + 1)!
a a a = 1 + x + x2 + ! + xn + o ( xn ) 1 2 n
Z funkcí uvedených v předchozí tabulce je možno tvořit nové funkce algebraickými operacemi a superpozicemi. Pro nalezení Taylorových polynomů takto vzniklých funkcí není zpravidla vhodný přímý výpočet pomocí derivování – jednodušší je provést příslušné operace přímo s T. polynomy. Je však třeba ověřit, že takto vskutku obdržíme T. polynom a jakého stupně. O všech funkcích předpokládejme, že mají v daném bodě x0 derivaci řádu n. Součet funkcí. tnf + g = tnf + tng Součin funkcí. tnf ⋅ g = tnf ⋅ tng|n (pozn.1) Superpozice funkcí. tng # f = tng # tnfn f
f
Podíl funkcí. Napíšeme polynom tng ve tvaru tng : x → c0 + c1 ( x − x0 ) + c2 ( x − x0 ) + ! + cn ( x − x0 ) , x ∈ " . Z rovnosti 2
n
f
tnf = tng ⋅ tng pak určujeme neurčité koeficienty c1 , c2 ,! , cn . Věta 15. Nechť funkce f má na intervalu J spojitou derivaci řádu n a v F vlastní nebo nevlastní derivaci řádu n + 1. Pal existuje takové číslo ξ ∈ J , že platí
1
tnf ⋅ tng|n
polynom
rnf ( x ) =
(ξ ) ( x − x0 )n +1 = ( n + 1)!
f(
je polynom, který obdržíme, jestliže se v součinu polynomů
n +1)
f(
n +1)
(ξ )
n!
( x − ξ )n ( x − x0 ) .
Použijeme-li
tnf ⋅ tng omezíme pouze na členy s mocninami stupně ≤ n, a to ačkoliv je
tnf ⋅ tng obecně polynomem stupně 2n. 4
ξ = x0 + Φ ( x − x0 ) , 0 < Φ < 1, pak má zbytek tvar f(
n +1)
( Φx )
( n + 1)!
f(
n +1)
(x
0
+ Φ ( x − x0 ))
( n + 1)!
( x − x0 )
n +1
a pro Maclaurinův polynom
x n +1 .
VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE Věta 16. Budiž funkce f spojitá v intervalu J, jež má v každém vnitřním bodě intervalu J derivaci f ′ (c ) . Potom je f rostoucí v J tehdy a jen tehdy, je-li f ′ ( x ) ≥ 0 v každém vnitřním bodě intervalu J.
Věta 17. Budiž funkce f spojitá v intervalu J, jež má v každém vnitřním bodě intervalu J druhou derivaci f ′′ (c ) . Potom
je f konvexní v J tehdy a jen tehdy, je-li f ′′ ( x ) ≥ 0 v každém vnitřním bodě intervalu J.
5
PŘÍKLADY
DEFINICE DERIVACE Příklad 1. Z definice derivace odvoďte ′
( x ) = lim
x → x0
x − x0 x − x0
= lim
x → x0
(
( x )′
x − x0 x − x0
)(
x + x0
)
= lim
x → x0
1 x + x0
=
1 2 x0
Příklad 2. Z definice derivace odvoďte (cot x )′ sin ( x + h ) sin x sin ( x + h ) − sin x cos ( x + h ) − ( ) + − cot x h cot x ( ) + cos x h cos x cos x ⋅ cos ( x + h ) (cot x )′ = lim = lim = lim = h →0 h 0 h 0 → → h h h cos h (sin x cos x − cos x sin x ) + sin h (sin 2 x + cos 2 x ) cos x [sin x cos h + cos x sin h ] − sin x [cos x cos h − sin x sin h ] cos x ⋅ cos ( x + h ) cos x ⋅ (cos x cos h − sin x sin h ) = = lim = lim h →0 h 0 → h h cos 2 x sin h + sin 2 x sin h sin h cos 2 x + sin 2 x 1 cos x ( cos x ⋅1 − sin x ⋅ 0 ) = lim = lim = 2 h →0 h 0 → cos x cos 2 x h h
Příklad 3. Z definice derivace odvoďte (ln x )′ x x ln ln x0 x0 [1] ln x − ln x0 t 1 1 ln u [2] 1 1 1 1 = lim = lim = lim = = lim t = lim t (ln x ) = xlim x x x x u 1 t 0 t 0 → x0 → → → → → x 0 x − x 0 x x − x0 x0 u − 1 x0 e − 1 x0 e − 1 x0 0 0 −1 x0 t x [1] : u = , [2] : t = ln u x0 ′
DERIVOVÁNÍ a b ′ c d ax + b Příklad 4. Dokažte = 2 cx + d (cx + d ) a b ′ c d ad − bc ad − bc ax + b a ⋅ (cx + d ) − ( ax + b ) ⋅ c acx + ad − acx − bc = = ∧ = = ⇒ L≡P P L = = 2 2 ( cx + d )2 (cx + d )2 (cx + d )2 cx + d ( cx + d ) (cx + d )
Příklad 5. Derivujte y =
(
(
1
1 + x2 x + 1 + x2
)
(
)
)
(
)
−2 −2 ′ ′ y′ = − 1 + x2 x + 1 + x2 1 + x2 x + 1 + x2 = − 1 + x2 x + 1 + x2 ( x 1 + x2 + 1 + x2 ) =
6
)
(
)
(
−2 −2 1 1 x2 − 1 + x 2 x + 1 + x 2 1 ⋅ 1 + x 2 + x ⋅ 2 x + 2x = − 1 + x2 x + 1 + x2 1 + x2 + + 2x = 2 2 2 1+ x 1+ x
(
)
1 + 2 x2 + 2 x 1 + x2 1
1 + x + x + 2x 1 + x = − 1 + x2 x + 1 + x2 = 2 1 + x2 (1 + x 2 )3 2 ( x + 1 + x 2 ) −1 = 32 (1 + x 2 ) −2
2
2
2
1 + 2 x2 + 2 x 1 + x2 1 = = (1 + x 2 )3 2 ( x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 + x 2 )
Příklad 6. Příklad 7.
D E R I V O V Á N Í I M P L I C I T N Ě ZA D A N Ý C H F U N K C Í Příklad 8. Pro y = f ( x ) derivuj x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 ⇒ 2 x + 2 yy ′ = 0 ⇒ y ′ = −
x y
Příklad 9. Pro x = f (t ) , y = g (t ) y = f ( x ) derivuj x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 ⇒ 2 xx′ + 2 yy ′ = 0 ⇒ y ′ = −
x x′ y
Příklad 10. Pro y = f ( x ) urči y′ z y 2 + 2 ln y = x 4 y 2 + 2 ln y = x 4 ⇒ 2 yy ′ +
2 y′ 1 2 x3 y = 4 x3 ⇒ y ′ y + = 2 x 3 ⇒ y ′ = 2 y y y +1
TAYLORŮV POLYNOM Příklad 11. Najděte Maclaurinův polynom 4. stupně funkce y = sin x log (1 + x ) : sin x =
x x3 x x 2 x3 x 4 − + o ( x 4 ) , log (1 + x ) = − + − + o ( x 4 ) 1! 3! 1 2 3 4
x x3 x x 2 x3 x 4 x3 x 4 sin x log (1 + x ) = − − + − + o ( x 4 ) = x 2 − + + o ( x 4 ) 3 4 2 6 1! 3! 1 2 Příklad 12. Najděte Maclaurinův polynom 5. stupně funkce y = tan x = sin x ≈ tan x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + c4 x + c5 x + o ( x ) , cos x 2
3
4
5
5
x x 3 x5 − + + o x6 1! 3! 5! x2 x4 1− + + o x 5 2! 4!
( )
( )
sin x : cos x 5
= ∑ ck x k + o ( x 5 ) k =0
x x3 x5 x 2 x 4 x3 2 − + = 1 − + (c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c4 x 4 + c5 x 5 ) ⇒ tan x = x + + x 5 + o ( x 5 ) 1! 3! 5! 2! 4! 3 15
7
c0 = 0
c1 = 1
c0 1 1 1 = 0 ⇒ c2 = 0 ⇒ c3 = c3 − = − 2! 2! 3! 3 c2 c0 c3 c1 1 2 c4 − + = 0 ⇒ c4 = 0 c5 − + = ⇒ c5 = 2! 4! 2! 4! 5! 15
c2 −
Příklad 13. Najděte Maclaurinův polynom 3. stupně funkce f : x → ln cos x, x ∈ − π2 , π2 , f ( x ) = ln 1 + (cos x − 1) : cos x = 1 −
x2 x4 x2 x4 + + o ( x 5 ) ⇒ cos x − 1 = − + + o ( x 5 ) 2! 4! 2! 4! 2
x2 x4 1 x2 x4 y2 y3 y4 log (1 + y ) = y − + − + o ( x 4 ) = − + − − + = 2 3 4 2! 4! 2 2! 4! 2
x2 x4 1 x2 x2 x4 1 x4 x2 x4 = − + − − = − + − = − − + o ( x5 ) 2! 4! 2 2! 2 24 2 4 2 12 Příklad 14. Vypočtěte e0.1 s přesností 10−5 . Z Maclaurinova polynomu plyne xn eξ x n +1 , kde ξ leží mezi 0 a x. Pro x = 0.1: eξ < e0.1 < e0.5 < 2 (protože e < 4). Je tedy e x = 1 + x + ! + + Rn , Rn = n! ( n + 1)! 2 ⋅ (0.1) eξ x n +1 = Rn < ( n + 1)! ( n + 1)!
n +1
2 ⋅ ( 0.1)
n +1
Pro n = 3 je
( n + 1)!
=
1 1 2 1 1 < , tedy e0.1 % 1 + 0.1 + ( 0.01) + (0.001) = 1.10517 24 10 4 105 2 6
Příklad 15. Vypočtěte číslo e s chybou menší než 10−3. 1 1 1 eΦ eΦ e 3 < < e = e1 = 1 + + + ! + + rn , rn = ,0 < Φ <1 ⇒ 0 < 1! 2! n! ( n + 1)! ( n + 1)! ( n + 1)! ( n + 1)! má být
3 < 10 −3 ⇒ ( n + 1)!
( n + 1)! > 3000
⇒ n≥6
8
Derivace funkce ..............................................................................................................................................................1 Některé důsledky vlastností derivace ..........................................................................................................................2 L’hospitalovo pravidlo ................................................................................................................................................3 Diferenciál Funkce ......................................................................................................................................................3 Taylorův vzorec ..........................................................................................................................................................4 vyšetřování průběhu funkce ........................................................................................................................................5 Příklady ...........................................................................................................................................................................6 Derivování implicitně zadaných funkcí...................................................................................................................7 Taylorův polynom...................................................................................................................................................7
Table 1 ................................................................................................................................................................................3 Table 2 - Maclaurinovy polynomy pro elementární funkce ................................................................................................4
9
