ASURANSI PENSIUN HARI TUA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika

Oleh : Maria Kurnia Lestari NIM : 013114028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007

i


ii


iii


Karya Ini Kupersembahkan untuk : Bunda pelindungku, Bunda Maria Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta Almamaterku tercinta

Keindahan Tak Berpenghujung Cinta Yang menjadikan langit sebagai batasnya Itulah keindahan tak berpenghujung yang kalian berikan padaku Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa Dalam nama cinta Penyertaan kalian tiada pernah berakhir Kini, kutelah berhasil melewati lagi anak tangga menuju masa depan Terima Kasih kuucapkan Semoga setiap langkah yang kupijak Tuk mencapai puncak impian Dapat membuat kalian bangga Hingga Keindahan tak berpenghujung Selalu terpancar dari senyummu Yang membuat langkah ini selalu berarti

Teruntuk Kedua Orang Tuaku

iv


v


ABSTRAK

Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.

vi


ABSTRACT

Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for f last year before pension. Generally, the amount of premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for f last year before pension, and premium based on the averages of annual salary during working period.

vii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik. Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama penulisan. 2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran.

viii


4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik. 5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan administrasi. 6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis selama ini. 7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa, nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku. 8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan selama kuliah. 9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih keluguan dan kelucuannya. 10. Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan dukungannya. 11. Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, degdegan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa “sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.

ix


12. Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa, terima kasih puisi dan terjemahannya. 13. Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre, Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik (makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli, Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah memberikan kebersamaan selama kuliah. 14. Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang bermanfaat bagi penulis.

Yogyakarta,…………………2007 Penulis

Maria Kurnia Lestari

x


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL...................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .........................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................

iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................

iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................

v

ABSTRAK ....................................................................................................

vi

ABSTRACT..................................................................................................

vii

KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI.................................................................................................

xi

BAB I PENDAHULUAN .............................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................

1

B. Perumusan Masalah.......................................................................

4

C. Pembatasan Masalah......................................................................

4

D. Tujuan Penulisan ...........................................................................

5

E. Manfaat Penulisan .........................................................................

5

F. Metode Penulisan ..........................................................................

5

G. Sistematika Penulisan ....................................................................

5

BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................

5

A. Tabel Mortalita (Mortality Table) ..................................................

7

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) ....................................

14

xi


C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) .............

18

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) .................

22

E. Tingkat Bunga…………………………………………………....

26

F. Anuitas (Annuity)…………………………………………………. 28 G. Asuransi Jiwa……………………………………………………... 37 1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38 a. Asuransi Berjangka…………………………………….. 38 b. Asuransi Seumur Hidup………………………………… 41 2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44 BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA...............................................

47

A. Dana Pensiun .................................................................................

47

B. Tabel Pelayanan.............................................................................

49

C. Jenis Manfaat Pensiun ...................................................................

51

D. Fungsi Manfaat ..............................................................................

53

BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA....................................................................................................

61

BAB V KESIMPULAN................................................................................

66

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................

67

LAMPIRAN..................................................................................................

66

1. Tabel Mortalita Indonesia ........................................................

68

2. Komutasi ..................................................................................

71

3. Tabel Pelayanan .......................................................................

74

4. Komutasi ..................................................................................

75

xii


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja, karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life –cycle hypothesis of consumption) dari Ando Modigliani (Branson, 1979). Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu: (1) masa produktivitas rendah (2) masa produktivitas tinggi (3) masa produktivitas menurun.

1


2

Nilai Pendapatan/Konsumsi

kurva konsumsi

B C0

A

Y0

kurva pendapatan

0

T1

T2

Waktu T3

Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi

Kurva

konsumsi

menunjukkan

aliran

konsumsi

individu

yang

berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan (C 0 > Y0 ) . Periode antara T1 dan T2 menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga aliran pendapatan lebih dari konsumsi (Y > C ) . Pada masa ini, individu sudah dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan


3

pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik T2 dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari tua. Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu (usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan tentang dunia investasi. Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang


4

kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.

B. Perumusan Masalah Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis dengan beberapa pertanyaan berikut : 1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari kelompok karena pensiun pada saat usia x ? 2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ? 3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?

C. Pembatasan Masalah Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut : 1. Satuan waktu adalah tahunan. 2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent. 3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% . 4. Tabel Pelayanan yang digunakan adalah Service Table by Bowers.


5

D. Tujuan Penulisan Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.

E. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .

F. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.

G. Sistematika Penulisan Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan sebagai berikut : BAB I Pendahuluan Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.


6

BAB II Landasan Teori Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan. BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun. BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua. BAB V Penutup Menjelaskan kesimpulan.


BAB II LANDASAN TEORI

A. Tabel Mortalita (Mortality Table) Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal seseorang berusia x untuk periode n tahun berikutnya dari sekelompok orang yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x , x + 1 , x + 2 , …. Sehingga waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup. Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan sebanyak l 0 orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak d 0 orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia x + 1 adalah l 0 − d 0 = l1 orang. Dua tahun berikutnya terjadi kematian sebanyak d1 orang, sehingga

7


8

banyak orang yang dapat mencapai usia x + 2 adalah l1 − d1 = l 2 orang. Proses pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang meninggal atau l w +1 = 0 dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

l x − d x = l x +1 d x = l x − l x +1

(2.1)

dengan l x menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan d x adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok. Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada usia x yang dinyatakan dengan q x . Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x , dan

n( A) = d x = banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :

qx ≈

dx lx

qx ≈

l x − l x +1 lx

(2.2)

Dengan asumsi bahwa p x + q x = 1 dengan p x menyatakan peluang hidup seseorang pada usia x , maka dapat dinyatakan bahwa :


9

px = 1 − qx

⎛l −l ⎞ p x = 1 − ⎜⎜ x x +1 ⎟⎟ ⎝ lx ⎠ px =

l x − (l x − l x +1 ) lx

px =

l x +1 lx

(2.3)

Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun

(n = 1) , maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun (n > 1) adalah n

dengan

n

qx =

l x − l x+n lx

(2.4)

q x menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka

waktu n tahun. Jika

n

p x menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam

jangka waktu n tahun maka diperoleh : n

p x = 1− n q x

⎛ l x − l x+n ⎜⎜ = − p 1 n x ⎝ lx n px =

n

px =

⎞ ⎟⎟ ⎠

l x − (l x − l x + n ) lx l x+n lx

(2.5)


10

Bila n =1 indeks n disebelah kiri p x dan q x tidak perlu dituliskan, jadi notasi 1

q x = q x dan 1 p x = p x . Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian

meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut : n | qx =

n

| qx =

n

d x+n lx l x + n − l x + n +1 lx

| q x = n p x − n +1 p x

Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke n − 1 . Jika n

n

p x + n q x = 1 maka dapat dinyatakan berikut :

q x = 1− n p x ⎛l = 1 − ⎜⎜ x + n ⎝ lx

=

=

⎞ ⎟⎟ ⎠

l x − l x+n lx

(l x − l x+1 ) + (l x+1 − l x+ 2 ) + .... + (l x+ n−1 − l x+ n ) lx

⎛l −l ⎞ ⎛l −l = ⎜⎜ x x +1 ⎟⎟ + ⎜⎜ x +1 x + 2 lx ⎝ lx ⎠ ⎝

⎛l ⎞ −l ⎟⎟ + .... + ⎜⎜ x + n −1 x + n lx ⎝ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠


11

= q x + 1 | q x + 2 | q x + ....+ n −1 | q x n −1

= ∑ t | qx t =0

Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan. Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan (rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.1. Nilai harapan didefinisikan dengan : ∞

E (T ) = ∑ t f (t ) , untuk t diskrit t =0

Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate

expectation of life) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life). Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia x . Dengan kata lain pecahan tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni 1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan hidup 0,1,2,…, w − x tahun, masing-masing dinyatakan dengan

0

| qx ,

1

| qx ,


12

2

| q x ,… w− x | q x maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut

adalah :

e x = 0 q x + 1 | q x + 2 2 | q x + .... + ( w − x ) w− x | q x ⎛l −l ⎞ ⎛l −l ⎞ ⎛l −l ⎞ = 1⎜⎜ x +1 x + 2 ⎟⎟ + 2⎜⎜ x + 2 x +3 ⎟⎟ + .... + ( w − x)⎜⎜ w w+1 ⎟⎟ lx lx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ lx ⎠

=

1 [1(l x+1 − l x+2 ) + 2(l x+2 − l x+3 ) + .... + (w − x)(lw − lw+1 )] lx

=

1 (l x+1 − l x+2 + 2l x+2 − 2l x+3 + .... + (w − x)lw − (w − x)lw+1 ) lx

=

1 l x +1 + l x + 2 + .... + l w lx

=

l x+1 l x+ 2 l + + .... + w lx lx lx

(

)

= p x + 2 p x + ....+ w− x p x w− x

= ∑ t px t =1

dengan e x menyatakan harapan hidup ringkas. Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4 pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari l x orang untuk menuju tahun-tahun berikutnya tidak selalu bilangan bulat.


13

Definisi 2.2. 0

Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan e x , didefinisikan dengan : w− x

e = 0 x

l x +t dt lx

∫ 0

w− x

e = 0 x

∫

t

p x dt

(2.6)

0

Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam (uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut : 1 β −α

f ( x) =

0

α ≤x≤β lainnya

dengan : β

E( X ) = ∫ α

=

x dx β −α

β +α 2

Hasil pendekatan tersebut adalah : 0

1

e x = e x + ∫ x dx 0 0

e x = ex +

1 2


14

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)

Pada tabel mortalita, nilai l x hanya menggambarkan keadaan suatu kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa l x adalah fungsi

kontinu. Pada interval usia x sampai x + 1 banyak orang yang meninggal (d x )

adalah

l x − l x +1 dan qx =

d x l x − l x +1 = . Sedangkan untuk interval usia x lx lx

sampai x + Δt banyak orang yang meninggal adalah

l x − l x + Δt , sehingga

peluang meninggalnya adalah :

Δt

qx=

l x − l x + Δt lx

Jika persamaan diatas dibagi dengan Δt , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :

q x l x − l x + Δt = Δtl x Δt

Δt

(2.7)

Dengan Δt → 0 maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita (forces of mortality) yang didefinisikan berikut :

μ x = lim

Δt →0

qx Δt

Δt

l x − l x + Δt Δt → 0 Δtl x

= lim

= lim − Δt → 0

(l x + Δt − l x ) l x Δt


15

μx = −

1 dl x l x dt

(2.8)

atau dapat juga dinyatakan dengan :

μx = −

d ln l x dt

(2.9)

d ln l x = − μ x .dt Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu : x

∫ d ln l

x

t

0

ln l t

= − ∫ μ t dt 0

]

x

0

x

= − ∫ μ t dt 0

x

ln l x − ln l 0 = − ∫ μ t dt 0

x

∫ lx =e 0 l0

− μ t dt

Sehingga diperoleh berikut : x

l x = l 0 .e

∫

− μ t dt 0

Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan :

μ x l x dt = −dl x maka untuk usia x + t dengan t = 1,2,3,... persamaan diatas menjadi :

(2.10)


16

μ x +t l x +t dt = − dl x +t

(2.11)

atau dapat dinyatakan dengan :

μ x +t l x +t = − Jika

dl x +t dt

(2.12)

d x = l x − l x +1 maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann

diperoleh

⎛ dl ⎞ l x − l x +1 = ∫ ⎜ − x +t ⎟ dt dt ⎠ 0⎝ 1

⎛ dl ⎞ d x = ∫ ⎜ − x +t ⎟ dt dt ⎠ 0⎝ 1

(2.13)

Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh : 1

d x = ∫ (l x +t μ x +t )dt

(2.14)

0

Jika q x =

dx maka didapat : lx 1

qx =

∫l

x +t

μ x +t dt

0

lx 1

q x = ∫ t p x μ x +t dt 0

Untuk n > 1 persamaan (2.15) menjadi : n

n

q x = ∫ t p x μ x +t dt 0

Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :

(2.15)


17

μ x +t = −

1 dl x +t l x +t dt

=−

1 d tpx dt t px

=−

d ln t p x dt

⎛l d ln⎜⎜ x +t ⎝ lx =− dt

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ l x +t ⎝ lx

⎞ ⎟⎟ ⎠

μ x +t dt = −d ln⎜⎜

Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :

⎛ l x +t ∫0 μ x+t dt = −∫0 d ln⎜⎜⎝ l x n

n

n

∫μ

x +t

⎞ ⎡ ⎛ l x +t ⎟⎟ = ⎢− ln⎜ ⎜ ⎠ ⎣ ⎝ lx

n

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦ 0

= − ln

l x+n l + ln x lx lx

= − ln

l x+n lx

dt = − ln n p x

(2.16)

0

Sehingga diperoleh : n

n px = e

∫

− μ x + t dt 0

(2.17)


18

dan n

n

qx = 1 − e

∫

− μ x + t dt 0

(2.18)

C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)

Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table). Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas (independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab

independent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada


19

asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.3. (1)

Andaikan d x menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia x dan

d x( 2 ) menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x . Dua kejadian d x(1) dan d x( 2 ) dikatakan independent jika :

(

)

( )( )

P d x(1) ∩ d x( 2 ) = P d x(1) P d x( 2 )

Pada keadaan awal kelompok, l 0 orang akan mengalami penyusutan anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari l x orang (1)

terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan d x , faktor ( 2)

penyebab dua dinyatakan dengan d x dan seterusnya sampai faktor penyebab m (m)

yang dinyatakan dengan d x

, atau : m

d x + d x + ..... + d x = ∑ d x( k ) (1)

(2)

(m )

k =1

(k )

dengan d x

menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan

karena faktor penyebab ke- k (k = 1,2,...., m ) .


20

Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x .

Definisi 2.4.

Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x adalah :

q (T )

dengan l x

d x( k ) = (T ) lx

(k ) x

menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok (T )

pada usia x . Muncul nilai l x

yang sama, dapat terjadi karena asumsi

independensi (definisi 2.3). (k )

Jika p x

= 1 − q x( k ) , maka dapat dinyatakan bahwa : p

p (k )

dengan p x

(k ) x

(k ) x

⎛ d x( k ) = 1 − ⎜⎜ (T ) ⎝ lx

⎞ ⎟⎟ ⎠

l x(T ) − d x( k ) = l x(T )

menyatakan peluang seseorang tetap berada

dalam kelompok

karena faktor penyebab ke- k pada usia x . (T )

Jika d x

menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari

kelompok karena faktor penyebab ke- k (untuk k = 1,2,....., m ) pada usia x , atau : m

d

(T ) x

= ∑ d x(k ) k =1

(2.19)


21

yang kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2) maka diperoleh :

q

(T ) x

d x(T ) = (T ) lx m

q x(T ) =

∑d k =1

(k ) x

l x(T ) d x( k ) (T ) k =1 l x m

q x(T ) = ∑ m

q

(T ) x

= ∑ q x( k ) k =1

(T )

dengan q x menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x . Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x , yaitu : (T ) x

l x(T ) − d x(T ) = l x(T )

(T ) x

l x(T+1) = (T ) lx

p

p

Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun ( n > 1 ) dapat dinyatakan bahwa:


22

n

p

(T ) x

l x(T+ n) = (T ) lx

Sedangkan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun adalah :

n

q

(T ) x

l x(T ) − l x(T+ n) = l x(T )

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Multiple Decrement).

Percepatan total penyusutan jamak pada usia x didefinisikan dengan menggunakan persamaan (2.9) yaitu :

μ

(T ) x

d ln l x(T ) =− dt

Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.10) dan (2.14) maka dapat dinyatakan bahwa : x

l x(T ) = l 0(T ) .e

∫

− μ t( T ) dt 0

dan 1

d

(T ) x

= ∫ l x(T+t) .μ x(T+t) dt 0

Dengan menggunakan persamaan (2.15) maka didapat : 1

q x(T ) = ∫ t p x(T ) μ x(T+t) dt 0

Untuk n > 1 persamaan di atas menjadi :


23

n

n

q

(T ) x

= ∫ t p x(T ) μ x(T+t) dt 0

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) didapat : n

(T ) =e n px

∫

− μ x( T+ t) dt 0

dan n

n

Tingkat

penyusutan

q x(T ) = 1 − e

karena

∫

− μ x( T+ t) dt 0

penyebab

ke- k

dirumuskan

dengan

menggunakan definisi 2.1 yaitu : Δt

q x( k ) l x( k ) − l x( k+)Δt = Δt Δtl x(T )

Jika Δt → 0 maka diperoleh percepatan penyusutan

decrement) yaitu :

μ

(k ) x

q x( k ) = lim Δt →0 Δt Δt

l x( k ) − l x( k+)Δt = lim Δt →0 Δtl x(T ) = lim − Δt → 0

μ

(k ) x

(l x( k+)Δt − l x( k ) ) l x(T ) Δt

1 dlx( k ) = − (T ) l x dt

μ x(k ) (forces of


24

⇔

μ x( k ) l x(T ) dt = − dl x( k )

Persamaan di atas terjadi untuk usia x , sedangkan untuk usia x + t adalah :

μ x( k+)t l x(T+ t) dt = − dl x( k+)t atau

μ l

( k ) (T ) x +t x +t

(k )

Jika diketahui bahwa d x

dl x( k+)t =− dt

= l x( k ) − l x( k+1) maka didapat : ⎛ dl x( k+)t = ∫ ⎜⎜ − dt 0⎝ 1

d

(k ) x

d

(k ) x

⎞ ⎟⎟ dt ⎠

1

= ∫ l x(T+t) .μ x( k+)t dt 0

(T )

Kemudian dibagi dengan l x , didapat : 1

(k ) x (T ) x

d l

=

∫l

(T ) x +t

.μ x( k+)t dt

0

l x(T ) 1

q

(k ) x

q

(k ) x

l x(T+t) ( k ) = ∫ (T ) μ x +t dt l 0 x 1

= ∫ t p x(T ) μ x( k+)t dt 0

Untuk n > 1 persamaan di atas menjadi berikut :


25

n

n

q

(k ) x

= ∫ t p x(T ) μ x( k+)t dt 0

Jika dari persamaan (2.16) diturunkan untuk penyusutan k yaitu : n

∫μ

(k ) x +t

dt = − ln n p x( k )

0

yang kemudian diperoleh : n

(k ) =e n px

∫

− μ x( k+)t dt 0

dan n

n

q x( k ) = 1 − e

∫

− μ x( k+)t dt 0

m

m

k=x

k=x

(T ) (k ) (T ) (k ) Jika d x = ∑ d x maka begitu juga untuk l x = ∑ l x . Sehingga

hubungan antara

μ x(k )

dan

μ x(T ) adalah : μ x(T ) = −

1 dl x(T ) l x(T ) dt

1 dl x(1) + dl x(2 ) + ..... + dl x( m) = − (T ) dt lx =−

dl x(m ) ⎤ 1 ⎡ dl x(1) dl x(2 ) + + + ...... ⎢ ⎥ dt dt ⎦ l x(T ) ⎣ dt

= μ x(1) + μ x(2 ) + .... + μ x(m )


26

μ

m

(T ) x

= ∑ μ x( k ) k =1

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa percepatan penyusutan yang dikarenakan semua penyebab adalah sama dengan jumlahan dari semua percepatan penyusutan untuk semua m penyebab.

F. Tingkat Bunga

Perhitungan manfaat pensiun sangat dipengaruhi oleh tingkat bunga, karena saat dana yang telah terkumpul maka akan segera diinvestasikan dalam waktu tertentu. Waktu investasi diasumsikan sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk banyaknya kali melakukan pembayaran, misalnya n kali (tahun). Dana yang diinvestasikan tersebut akan dikembangkan oleh dana pensiun semaksimal mungkin, sehingga diharapkan dapat mencukupi pemenuhan kewajiban yang harus dibayarkan kepada peserta program saat mencapai usia pensiun. Pendapatan bunga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah perhitungan bunga yang hanya didasarkan pada perbandingan pokok dan jangka investasi. Misal besar pokok R , tingkat bunga tunggal i , jangka investasi n tahun, maka besar bunga I = R.n.i dan total pokok berikut bunganya untuk n tahun adalah sebesar :

Rn = R + I Rn = R + R.n.i Rn = R.(1 + n.i )


27

Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dengan besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Misal besar pokok R , tingkat bunga tunggal i , jangka investasi n tahun. Pada akhir tahun pertama jumlah bunga dan pokoknya adalah

R.(1 + i ) dan jumlah tersebut merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun ke dua, atau R1 = R.(1 + i) . Pada akhir tahun kedua besar bunga menjadi

i.R1 = i.R(1 + i), jadi pada akhir tahun kedua besar bunga dengan pokoknya adalah

R1 + i.R1 = R1 (1 + i) = R.(1 + i)(1 + i ) = R.(1 + i ) 2 atau dapat dinyatakan

dengan R2 = R.(1 + i ) 2 . Pada permulaan tahun ketiga diperoleh besar pokok yang baru yaitu R3 = R.(1 + i ) 3 . Sehingga dengan jalan yang sama total pokok beserta bunganya pada akhir tahun ke n atau permulaan tahun ke n + 1 yang dinyatakan dengan Rn , adalah :

R n = R.(1 + i ) n Untuk mencari besar pokok R , diperoleh dengan merubah persamaan di atas menjadi berikut :

R = Rn (1 + i ) − n R = Rn . v dengan

v = (1 + i ) −1

n

(2.20)


28

G. Anuitas (Annuity)

Anuitas adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu. Anuitas terbagi atas dua macam yaitu : Anuitas Tentu (Certain Annuity) dan Anuitas Hidup (Life Annuity). Anuitas tentu adalah anuitas yang setiap pembayarannya dilakukan tanpa syarat (pembayaran pasti). Misal diketahui suatu anuitas tentu dengan n kali pembayaran sebesar Rp.1 yang dilakukan pada tiap akhir tahun. Maka pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, kemudian pembayaran kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya sampai pada akhir tahun ke n . Nilai Rp.1 adalah nilai yang sudah termasuk bunga (Rn ) , sedangkan dalam anuitas yang akan dicari adalah nilai tanpa bunga (nilai tunai( R )). Dengan menggunakan persamaan (2.20) maka nilai tunai dari pembayaran tahun pertama adalah: R = R1 .v

2 maka R = Rp1.v = v ,nilai tunai tahun kedua: R = R2 .v

2 2 maka R = Rp1.v = v dan

seterusnya

sampai

nilai

tunai

tahun

ke- n :

R = Rn .v n maka R = Rp1.v n = v n . Sehingga nilai tunai keseluruhan ( A ) adalah jumlahan dari pembayaran tahun pertama sampai tahun ke n . Proses tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

A = v + v 2 + .... + v n

(2.21)

Pembayaran anuitas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pembayaran

&&n atau pada awal tahun (anuitas tentu awal) yang dinotasikan sebagai a


29

pembayaran pada akhir tahun (anuitas tentu akhir) yang dinotasikan sebagai

an .

&&n = 1 + a n . Pada pemisalan di Selisih antara kedua anuitas adalah satu, atau a atas yaitu A yang dilakukan pada akhir tahun merupakan anuitas tentu akhir ( A = a n ) maka persamaan (2.21) menjadi :

a n = v + v 2 + .... + v n

(2.22)

Anuitas di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama adalah v dan rasio adalah v yang jumlah deretnya adalah:

v(1 − v n ) 1 − v n 1− vn 1− vn an = = = = 1 i 1− v (1 + i ) − 1 −1 v Sehingga persamaan (2.22) menjadi berikut :

an =

1− vn i

(2.23)

Untuk anuitas tentu awal yang dinyatakan dengan :

a&&n = 1 + v + v 2 + .... + v n −1 &&n = Terlihat bahwa a

(2.24)

1 a dengan jumlah deretnya adalah : v n

1 ⎛1− vn a&&n = ⎜⎜ v⎝ i

⎞ 1− vn ⎟⎟ = iv ⎠

Sehingga persamaan (2.24) menjadi berikut :

a&&n =

1− vn iv

(2.25)


30

Contoh 2.1 Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp.20.000.000,00 dan cicilan tiap akhir tahun sebesar Rp. 5.000.000,00 selama 20 tahun ( i = 5% ). Berapa harga rumah bila dibeli secara tunai? Jawab : Dengan mempergunakan persamaan (2.23) maka nilai tunai dari cicilan selama 20 tahun, adalah : ⎛ 1 − (1 + 0,05) −20 Rp. 5.000.000 ,00 a 20 = Rp.5.000.000,00 ⎜⎜ 0,05 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

= Rp.5.000.000,00 (12,4622) = Rp.62.311.051,71 Jadi total harga rumah secara tunai adalah: Rp. 20.000.000,00 + Rp.62.311.051,71 = Rp.82.311.051,71

Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya memperhatikan hidup matinya tertanggung (annuitan) dan pembayaran akan terus berlangsung selama annuitan masih hidup. Anuitas hidup yang sering digunakan tergantung pada lama dan waktu pembayaran (awal atau akhir tahun). Anuitas hidup ada dua macam yaitu: Anuitas Sementara (Berjangka) dan Anuitas Seumur Hidup. Anuitas sementara adalah pembayaran anuitas yang tidak dilakukan sepanjang usia tertanggung x , tetapi hanya selama n tahun asal tertanggung masih hidup. Jika tertanggung yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia

x + n , maka pembayaran dianggap selesai.


31

Al x = vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v n l x + n A=

vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v n l x + n lx

⎛l ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ A = v⎜⎜ x +1 ⎟⎟ + v 2 ⎜⎜ x + 2 ⎟⎟ + .... + v n ⎜⎜ x + n ⎝ lx ⎠ ⎝ lx ⎠ ⎝ lx

⎞ ⎟⎟ ⎠

A = vp x + v 2 2 p x + .... + v n n p x

(2.26)

&&x:n dan nilai tunai Nilai tunai anuitas akhir ( A) sementara dinyatakan dengan a anuitas awal sementara dinyatakan dengan a x:n . Dengan pemikiran yang sama pada anuitas seumur hidup hanya bedanya pembayarannya dibatasi sampai n

&&x:n = 1 + a x:n −1 . Persamaan (2.26) digunakan untuk menentukan nilai tahun dan a tunai anuitas akhir sementara yaitu : n

a x:n =∑ v t t p x

(2.27)

t =1

dan nilai tunai anuitas awal sementara : n −1

a&&x:n = 1 + ∑ v t t p x t =1

n −1

a&&x:n =∑ v t t p x

(2.28)

t =0

Cara yang lebih sederhana dalam penghitungan disebut dengan komutasi. Misal D x = v l x dan N x = D x + D x +1 + D x + 2 + .... + Dw , x

(2.27) dan (2.28) dapat dinyatakan menjadi berikut :

maka

persamaan


32

a x:n

vl x+1 + v 2 l x+ 2 + .... + v n l x+ n = lx

v x +1l x +1 + v x + 2 l x + 2 + .... + v x + n l x + n v xlx Dx +1 + Dx + 2 + .... + Dx + n = Dx N − N x + n +1 a x:n = x +1 Dx =

(2.29)

dan

a&&x:n = 1 + a x:n −1 N x +1 − N x + n +1 Dx D x + N x +1 − N x + n = Dx N − N x+n a&&x:n = x Dx =1 +

(2.30)

Contoh 2.2 Pada usia 55 tahun, Tono mempunyai dua pilihan yaitu: menerima Rp.30.000.000,00 dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya dengan tingkat bunga 4% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap permulaan tahun selama 30 tahun (anuitas tentu selama 30 tahun) atau membiarkan uangnya pada perusahaan tersebut dan menerima sejumlah uang yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 30 tahun bila dia masih hidup (anuitas hidup). Hitunglah besar penerimaan Tono tersebut setiap tahun dalam kedua hal. Bila ternyata dia meninggal tepat sebelum mencapai 80 tahun, berapakah besar uang yang akan diterima Tono ? Jawab :


33

Misalkan perusahaan membayar tahunan kepada Tono sebesar B rupiah, maka dengan menggunakan persamaan (2.25) dan Tabel II Lampiran didapat : (a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 30 tahun :

&&30 =Rp.30.000.000,00 Ba B=

B =

B=

Rp.30.000.000,00 a&&30 Rp.30.000.000,00 ⎛ 1 − (1 + 0,04) −30 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ( 0 , 04 )( 1 , 04 ) ⎝ ⎠ Rp.30.000.000,00 17,9837

B = Rp.1.668.175,937 Bila ternyata dia meninggal sebelum berusia 80 tahun maka pembayaran masih tersisa 5 kali (5 tahun). Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah : −5 &&5 = Rp.1.668.175,937 ⎛⎜⎜ (1 − (1 + 0,04) ⎞⎟⎟ Rp.1.668.175,937 . a ⎝ (0,04)(1,04) ⎠

= Rp.7.723.479,804 (b) Dengan menggunakan persamaan (2.30) didapat besar pembayaran tahunan untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 55 tahun untuk jangka waktu 30 tahun adalah :

&&55:30 = Rp.30 .000 .000 ,00 Ba B=

Rp.30.000.000,00 a&&55:30


34

B =

Rp.30.000.000,00 N 55 − N 85 D55

⎛ D55 ⎞ ⎟⎟ B = Rp .30 .000 .000 ,00 ⎜⎜ − N N 85 ⎠ ⎝ 55 B = Rp. 2.356.081,41

Sedangkan anuitas seumur hidup adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan sepanjang usia annuitan (jangka waktu n pada anuitas sementara diganti dengan w − x ). Misal tiap orang dari sebanyak l x menyerahkan sejumlah

A rupiah ke suatu perusahaan. Pada saat seseorang berusia x + 1 maka perusahaan akan membayar sebesar Rp.1, pada saat seseorang berusia x + 2 maka perusahaan akan membayar sebesar Rp.1 dan seterusnya sampai semua orang dari

l x meninggal. Sehingga dana yang terkumpul di perusahaan adalah Al x rupiah. Nilai tunai pada tahun pertama : R = R1 .v maka R = ( Rp1.l x +1 )v = l x +1 .v , nilai 2 2 2 tunai pada tahun kedua : R = R 2 .v maka R = ( Rp1.l x + 2 )v = l x + 2 v sampai nilai

w− x w− x = l w .v w− x tunai pada tahun ke w − x : R = R w − x .v maka R = ( Rp1.l w )v

Jika semua nilai tunai dijumlahkan maka diperoleh A , yaitu :

A.l x = vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w

vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w A= lx


35

⎛l ⎞ ⎛l A = v⎜⎜ x +1 ⎟⎟ + v 2 ⎜⎜ x + 2 ⎝ lx ⎠ ⎝ lx

⎛l ⎞ ⎞ ⎟⎟ + .... + v w− x ⎜⎜ w ⎟⎟ ⎠ ⎝ lx ⎠

A = vp x + v 2 2 p x + .... + v w− x w− x p x

(2.31)

Nilai A tersebut merupakan anuitas akhir seumur hidup karena pembayaran dilakukan tiap akhir tahun ( a x ) yang berselisih satu dengan anuitas awal seumur

&&x ) atau a&&x = 1 + a x −1 . Sehingga persamaan (2.31) disebut nilai tunai hidup ( a akhir seumur hidup yaitu :

a x = vp x + v 2 2 p x + ..... + v w− x w− x p x w− x

t a x = ∑ v t px

(2.32)

t =1

Kemudian untuk nilai tunai awal seumur hidup adalah :

a&&x = 1 +

w− x −1

∑v t =1

t t

px

a&&x = 1 + vp x + v 2 2 p x + ..... + v w− x−1 w− x−1 p x

a&&x =

w− x −1

∑v t =0

t t

px

x Misal D x = v l x dan N x = D x + D x +1 + D x + 2 + .... + Dw ,

(2.32) dan (2.33) menjadi berikut :

a x = vp x + v 2 2 p x + .... + v w− x w− x p x ⎛ vl x +1 + v 2 l x + 2 + .... + v w− x l w ⎞ v x ⎟⎟ x = ⎜⎜ lx ⎝ ⎠v

(2.33)

maka

persamaan


36

v x +1l x +1 + v x + 2 l x + 2 + .... + v w l w = v xlx D x +1 + D x + 2 + .... + Dw = Dx N a x = x +1 Dx dan

N x +1 Dx D x + N x +1 = Dx N a&&x = x Dx

a&&x = 1 +

(2.34)

Tabel komutasi yang digunakan dalam contoh-contoh berikut adalah Tabel Komutasi Indonesia 1993 ( i = 4% ). Contoh 2.3 Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran Rp.600.000,00 setahun untuk seseorang pada saat usia 20 tahun dan 60 tahun ! Jawab : Dengan menggunakan persamaan (2.34) maka : (i) Nilai tunai pada saat x = 20 adalah :

⎛ N 20 ⎝ D20

&&20 = Rp.600.000,00 ⎜⎜ Rp.600.000,00 a

= Rp. 12.972.182,75 (ii) Nilai tunai pada saat x = 60 adalah :

⎞ ⎟⎟ ⎠


37

⎛ N 60 ⎝ D60

&&60 = Rp.600.000,00 ⎜⎜ Rp.600.000,00 a

⎞ ⎟⎟ ⎠

= Rp. 6.722.394,49 Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang berusia 20 tahun, lebih tinggi (mahal) dibandingkan dengan orang yang berusia 60 tahun, karena hidup orang yang berusia muda dianggap lebih lama dari orang yang berusia tua, sehingga orang yang berusia 20 tahun akan menerima anuitas yang lebih besar.

H. ASURANSI JIWA

Pada dasarnya asuransi jiwa merupakan usaha kerjasama (koperasi) dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi suatu musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan melalui suatu perusahaan asuransi. Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak maka akan mudah mengatasi pembayaran santunan asuransi (claim) kepada pewaris anggotanya yang meninggal. Setiap orang yang mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap suatu kontrak tertulis antara tertanggung dengan perusahaan tersebut. Isi kontrak adalah besar premi yang harus dibayar tertanggung ke perusahaan beserta jadwal pembayaran, dan besar claim yang akan diterima tertanggung bila terjadi suatu musibah. Kontrak tersebut sering disebut sebagai polis asuransi. Besar claim tergantung atas tiga hal penting, yaitu : peluang meninggal ( q x ), tingkat bunga ( i ), dan biaya operasional.


38

Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya disebut premi bersih (net premi). Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi tunggal, dapat juga seumur hidup (premi tahunan seumur hidup), dan dapat juga selama jangka tertentu (premi tahunan berjangka). Jika pemegang polis meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah selesai. 1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal a. Asuransi Berjangka

Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Dalam kontrak ini uang santunan asuransi (claim) akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka waktu tertentu (jangka waktu polis). Untuk perhitungan yang lebih sederhana, jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk setiap tahunnya. Andaikan ada sebanyak l x orang pemegang polis, menyerahkan premi tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun


39

akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia x + 1 maka claim tidak akan dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak Zl x rupiah. Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak d x , maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1( d x ) atau

d x rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :

d x = Zl x (1 + i ) Z=

dx l x (1 + i )

Z = v.

Misalkan

dx lx

A1x:n adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih

asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia x selama interval waktu n tahun. Bila seseorang yang berusia x meninggal sebelum usia x + n , maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia x + n , maka orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah v. seseorang yang berusia x

dx . Bila lx

meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya


40

2 adalah v .

d x +1 , dan bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun lx

n ke n , maka nilai tunainya adalah v .

d x + n −1 . Sehingga keseluruhan nilai tunainya lx

adalah :

A1x:n = v

d d dx + v 2 x +1 + ... + v n x + n −1 lx lx lx

n −1

A1x:n = ∑ v t +1 t =0

(2.35)

d x+t lx

(2.36)

Jika menggunakan simbol komutasi yang didapat dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1 x:n

A

vd x + v 2 d x +1 + ... + v n d x + n −1 = lx

A1x:n = Jika v

x +1

v x , maka dari persamaan (2.35) didapat : ⎛ vx ⎜⎜ x ⎝v

⎞ ⎟⎟ ⎠

v x +1 d x + v x + 2 d x +1 + ... + v x + n d x + n −1 v xlx

d x = C x dan C x + C x +1 + C x + 2 + ... + C w = M x maka :

A1x:n =

C x + C x +1 + ... + C x + n −1 Dx

A1x:n =

M x − M x+n Dx

(2.37)

Selain dinyatakan dalam simbol komutasi, persamaan (2.36) dapat juga dinyatakan dalam bentuk anuitas, yaitu : n −1

A1x:n = ∑ v t +1 t =0

d x +t lx


41

n −1

A1x:n =∑ v t +1 t q x t =0

Sehingga persamaan (2.36) dapat ditulis menjadi :

A1x:n = vq x + v 2 q x + ... + v n n−1 q x

&& x:n ) − a x:n Akan dibuktikan bahwa : Ax:n = v(a 1

Bukti :

A1x:n = v (1 − p x ) + v 2 ( p x − 2 p x ) + ... + v n ( n−1 p x − n p x ) = v − vp x + v 2 p x − v 2 2 p x + ... + v n n −1 p x − v n n p x = (v + v 2 p x + ... + v n n −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v n n p x ) = v(1 + vp x + ... + v n −1 n p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v n n p x ) n −1

n

t =0

t =1

= v∑ v t t p x − ∑ v t t p x

A1x:n = v(a&& x:n ) − a x:n

b. Asuransi Seumur Hidup

Asuransi berjangka relatif sederhana dan murah (preminya rendah). Akan tetapi bila jangka waktu sudah habis maka tertanggung tidak memperoleh apapun dari

perusahaan

asuransi.

Bila

tertanggung

mempunyai

keinginan

mengasuransikan dirinya terus menerus maka dia harus membeli polis baru karena kontraknya sudah selesai. Pembelian polis baru akan memakan biaya yang relatif


42

mahal mengingat usianya yang semakin bertambah tua sehingga peluang meninggal makin tinggi. Asuransi seumur hidup merupakan solusi tepat untuk mengatasi situasi tersebut, karena lebih murah dan praktis dibandingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Uang santunan asuransi (claim) dalam asuransi seumur hidup pasti akan dibayar oleh perusahaan tanpa mempedulikan kapan tertanggung meninggal. Misalkan Ax menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar Rp.1 bagi seseorang yang berusia x . Bila seseorang berusia x meninggal, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp.1 pada akhir tahun

orang tersebut meninggal. Dengan cara yang sama pada asuransi berjangka, maka nilai tunai seluruh pembayaran tiap tahunnya adalah :

Ax = v

dx d d + v 2 x +1 + ... + v w− x +1 w lx lx lx

(2.38)

w− x

Ax = ∑ v t +1 t q x t =0

vx Komutasinya didapat dari mengalikan persamaan (2.38) dengan x , yaitu : v vd x + v 2 d x +1 + ... + v w− x +1d w ⎛ v x ⎜⎜ x Ax = lx ⎝v v x +1d x + v x + 2 d x +1 + ... + v w+1d w = v xlx

=

C x + C x +1 + ... + C w Dx

⎞ ⎟⎟ ⎠


43

Ax =

Mx Dx

(2.39)

Contoh 2.4. Tono pada saat berusia 50 tahun, membeli polis asuransi jiwa dengan claim sebesar Rp.50.000.000,00 (i = 4% ) jika : a) Tono membeli polis asuransi berjangka selama 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan (2.37) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :

⎛ M 50 − M 65 ⎞ ⎟⎟ D50 ⎝ ⎠

Rp.50.000.000,00 A50:15 = Rp.50.000.000,00 ⎜⎜ 1

= Rp.8.773.969,98

b) Tono membeli polis asuransi seumur hidup. Dengan menggunakan persamaan (2.39) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah : ⎛M Rp.50.000.000,00 A50 = Rp.50.000.000,00 ⎜⎜ 50 ⎝ D50

⎞ ⎟⎟ ⎠

= Rp.21.946.654,15

Selain dengan komutasi, persamaan (2.38) dapat juga dinyatakan dalam bentuk anuitas.

&&x ) − a x Akan dibuktikan bahwa : Ax = v(a Bukti :


44

Jika n qx =

n −1

∑

t

t =1

| q x maka persamaan (2.38) dapat dinyatakan dengan : Ax = vq x + v 2 q x + v 3 2 | q x + ... + v w− x w− x −1 | q x

Selanjutnya diperoleh berikut :

Ax = v (1 − p x ) + v ( p x − 2 p x ) + ... + v 2

w− x

( w− x −1 p x − w− x p x )

= v − vp x + v 2 p x − v 2 2 p x + ... + v w− x w− x −1 p x − v w− x w− x p x = (v + v 2 p x + ... + v w− x w− x −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v w− x w− x p x ) = v (1 + vp x + v 2 2 p x ... + v w− x −1 w− x −1 p x ) − (vp x + v 2 2 p x + ... + v w− x w− x p x )

=v

w− x −1

∑v t =0

w− x

t t

px − ∑ vt t px t =1

Ax = v(a&&x ) − a x

2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan

Jika pembayaran dilakukan secara tahunan, maka perhitungan harus didasarkan pada prinsip equality, yaitu : Nilai tunai premi yang akan datang = nilai tunai claim yang akan datang. Alasan perusahaan asuransi memberlakukan prinsip equality adalah untuk menghindari terjadinya kerugian salah satu pihak. Jika keseluruhan pembayaran premi lebih besar dari besar claim yang diterima maka pemegang polis akan merasa rugi, begitu juga sebaliknya. Misal suatu claim asuransi seumur hidup ( Ax ) sebesar Rp.1 dengan premi

&&x ). Jika premi tahunan sebesar P , tahunan yang dibayarkan tiap awal tahun ( a


45

maka menurut prinsip equality harus dicari nilai P sampai diruas kiri didapatkan Rp.1 yaitu:

P.a&&x = ( Rp.1) Ax

P=

Ax a&&x

(2.40)

Contoh 2.5. Dari contoh 2.4 (b) Tono (50) ternyata merasa keberatan dengan pembayaran premi tunggal sebesar Rp.21.946.654,15 untuk mendapatkan claim sebesar Rp.50.000.000,00. Kemudian ia memutuskan untuk membeli polis asuransi seumur hidup dengan premi tahunan. Dengan menggunakan persamaan (2.40) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :

P=

Rp.21.946.654,15 a&&50

P=

Rp.21.946.654,15 N 50 D50

P = Rp 1.504.458,84

Asuransi berjangka dengan pembayaran premi tahunan adalah suatu kontrak asuransi untuk jangka waktu n tahun, dengan pembayaran preminya sebanyak n kali. Menurut prinsip equality maka didapat :

P.a&&x:n = A1x:n


46

P=

A1x:n

(2.41)

a&&x:n

Contoh 2.6 Dari contoh 2.4 (a) Tono (50) memutuskan membeli polis asuransi jiwa secara tahunan dengan jangka waktu 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan (2.41) maka besar premi yang harus dibayarkan, adalah :

P = Rp.21.946.654,15

1 A50 :15

a&&50:15 ⎛M

−M

⎞

65 ⎟⎟ P = Rp.21.946.654,15 ⎜⎜ 50 ⎝ N 50 − N 65 ⎠

P = Rp.362.802,82


BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA

A. Dana Pensiun

Dana pensiun adalah lembaga perantara keuangan yang menjembatani saat seseorang mengalami peningkatan penghasilan (usia produktif) dan penurunan penghasilan (usia tua), sehingga kehidupan di masa tuanya akan terjamin secara finansial (Wijayanto dkk,2001). Atau dapat dikatakan bahwa dana pensiun merupakan penyelenggara program pensiun di suatu perusahaan. Sebagai lembaga perantara keuangan, dana pensiun secara aktif memobilisasi dana para pegawai melalui pengumpulan iuran pensiun dari anggota, dan melakukan investasi (misal di pasar keuangan) untuk mengembangkan dana yang terkumpul agar kelak dana yang dimiliki mencukupi untuk membayar manfaat pensiun masing-masing anggota. Ada tiga fungsi dana pensiun yaitu : fungsi tabungan, fungsi asuransi dan fungsi pensiun. Fungsi tabungan berarti dana pensiun bertugas mengumpulkan dan mengembangkan dana. Dana yang terkumpul merupakan akumulasi dan iuran pemberi kerja/perusahaan dan pegawai, yang diberlakukan seperti tabungan. Fungsi asuransi berarti dana pensiun bertugas membayarkan manfaat pensiun kepada peserta program baik yang mengalami cacat atau meninggal sebelum atau sesudah memasuki usia pensiun yang besarnya sesuai dengan yang dijanjikan dalam peraturan dana pensiun (UU No. 11 tahun 1992). Fungsi pensiun

47


48

berarti dana pensiun memberi jaminan kelangsungan pendapatan dalam bentuk pembayaran secara berkala seumur hidup setelah mencapai usia pensiun. Faktor yang paling menentukan dalam asuransi pensiun hari tua adalah usia pensiun atau batas usia minimum penerima manfaat pensiun. Usia pensiun di tiap negara berbeda-beda, hal tersebut menunjukkan bahwa konsepsi hari tua tidak semudah

yang

dibayangkan

(K.Soentonoe,1982).

Dalam

survei

yang

diselenggarakan ILO (International Labour Organization) terhadap 84 negara pada tahun 1967 diperoleh distribusi usia pensiun sebagai berikut : Usia Pria 70 68 67 67 65 65 65

Usia

Jumlah Negara

Wanita 70 68 67 62 65 62 60

2 1 2 1 15 1 13

Pria 63 62 60 60 55 55 50

Wanita 60 57 60 55 55 50 50

Jumlah Negara 1 2 15 19 8 3 1

Kriteria yang dipergunakan untuk menentukan usia pensiun adalah : 1) Harapan hidup 2) Keadaan fisik tenaga kerja 3) Keadaan kesempatan kerja 4) Biaya penyelenggaraan 5) Struktur keluarga Usia pensiun normal baik pegawai negeri maupun pegawai swasta adalah 56 tahun, akan tetapi dana pensiun tidak berkeberatan jika pegawai bersangkutan


49

bekerja lebih lama, misal bekerja sampai usia 60 tahun (Peraturan Pensiun No 32 / tahun 1979). Penyusutan jumlah pegawai pada suatu perusahaan yang diakibatkan lebih dari satu faktor penyebab digambarkan melalui sebuah tabel penyusutan jamak atau yang disebut dengan Tabel Pelayanan (Service Table). Tabel tersebut terbagi menjadi dua bagian. Bagian pertama memperlihatkan penyusutan kelompok dari usia masuk kerja (misal 26 tahun) sampai sebelum usia pensiun (misal 55 tahun) dengan tiga faktor penyebab, yaitu: kematian (mortality), cacat/sakit permanen (disability) dan keluar secara sukarela (withdrawal). Sedangkan, bagian kedua memperlihatkan penyusutan kelompok dari usia normal pensiun sampai usia pasti pensiun (misal 56-60 tahun) dengan dua faktor penyebab, yaitu: kematian dan pensiun (retirement).

B. Tabel Pelayanan (Services Table).

Secara keseluruhan tabel pelayanan menggambarkan penyusutan anggota kelompok yang diakibatkan oleh empat faktor penyebab. Jika d x(T ) menyatakan banyak peserta aktif yang berhenti kerja pada usia x karena semua faktor penyebab, dengan menggunakan persamaan (2.19) didapat :

d x(1) + d x(2) + d x(3) + d x(4) = d x(T ) (1)

dengan d x

(3.1)

adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena meninggal ( 2)

pada usia x , d x adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena


50

( 3)

cacat/sakit pada usia x , d x

banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena ( 4)

keluar sukarela pada usia x , d x

banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena

telah mencapai usia pensiun pada usia x . (T )

(T )

(T )

Diketahui bahwa: l x +1 = l x − d x

maka dengan menggunakan persamaan

(3.1) banyak peserta aktif untuk satu tahun berikutnya adalah :

l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3) − d x( 4 ) dengan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x , yaitu:

p

(T ) x

l x(T+1) = (T ) lx

=

l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3) − d x( 4 ) l x(T )

= 1−

d x(1) d x( 2 ) d x( 3) d x( 4 ) − − − l x(T ) l x(T ) l x(T ) l x(T )

Dan peluang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x adalah :

q x(T ) =

d x(T ) l x(T ) ( 4)

Untuk tabel pelayanan bagian pertama, faktor d x peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :

l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 2 ) − d x( 3) dengan

tidak ada maka banyak


51

p

(T ) x

d x(1) d x( 2 ) d x( 3) = 1 − (T ) − ( T ) − ( T ) lx lx lx

Dan

q

(T ) x

d x(T ) − d x( 4) = l x(T ) (2)

( 3)

Untuk tabel pelayanan bagian kedua, d x dan d x

tidak ada maka banyak

peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :

l x(T+1) = l x(T ) − d x(1) − d x( 4 ) dengan

p

(T ) x

d x(1) d x( 4 ) = 1 − ( T ) − (T ) lx lx

Dan

q x(T ) =

d x( 2) + d x(3) l x(T )

C. Jenis Manfaat Pensiun

Manfaat pensiun adalah pembayaran berkala yang dilakukan oleh dana pensiun kepada peserta program yang telah mencapai usia pensiun dalam jangka panjang untuk menghadapi risiko hari tua, cacat dan kematian pada saat dan dengan cara yang ditetapkan dalam Peraturan Dana Pensiun (UU No.11 Th.1992). Dengan demikian manfaat pensiun tidak hanya menjamin hari tua yaitu kehidupan setelah mencapai batas usia tertentu, tetapi pensiun juga menjamin jika terjadi cacat tetap-total sebelum batas usia pensiun atau disebut hari tua prematur


52

(premature old age), dan jika meninggal sebelum batas usia pensiun atau disebut sebagai kematian prematur (premature death). Sesuai Peraturan Pensiun, manfaat pensiun bagi peserta program terdiri dari : 1. Manfaat Pensiun Normal (MPN) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang mulai dibayarkan pada saat peserta mencapai usia pensiun normal. 2. Manfaat Pensiun Dipercepat (MPD) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang dibayarkan bila peserta pensiun pada usia tertentu sebelum usia pensiun normal . 3. Manfaat Pensiun Cacat (MPC) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang di bayarkan bila peserta mengalami cacat/sakit permanen. 4. Pensiun Ditunda (PD) adalah hak atas manfaat pensiun bagi peserta yang berhenti bekerja sebelum mencapai usia pensiun normal

yang ditunda

pembayarannya sampai pada saat peserta pensiun sesuai dengan peraturan dana pensiun. Hal tersebut mencerminkan salah satu fungsi program pensiun yaitu fungsi asuransi, fungsi yang memberikan jaminan kepada peserta untuk menutupi resiko kehilangan pendapatan (Subardi & Dwiarto, 1996). Program pensiun oleh dana pensiun dapat dibedakan menjadi dua, yaitu : Program Pensiun Manfaat Pasti/PPMP (Defined Benefit Plan) dan Program Pensiun Iuran Pasti/PPIP (Defined Contribution Plan). PPMP adalah program pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun atau program pensiun lain yang bukan merupakan PPIP. Sedangkan PPIP adalah program pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh


53

iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing peserta sebagai manfaat pensiun. Untuk selanjutnya manfaat pensiun dan program pensiun yang dimaksud adalah MPN dan PPMP, dan manfaat pensiun cukup disebut dengan manfaat (benefit).

D. Fungsi Manfaat

Manfaat pasti (defined benefit) berarti besar manfaat yang akan datang (anuitas) sudah ditentukan terlebih dahulu, baru kemudian setiap tahun dilakukan perhitungan iurannya (contribution). Iuran peserta yang dibayarkan setiap awal tahun dalam asuransi disebut premi bersih tahunan. Dana pensiun melakukan perhitungan manfaat pensiun berdasarkan pada prinsip equality, yaitu : nilai tunai iuran (premi) yang akan datang = nilai tunai manfaat (santunan) yang akan datang. Ada tiga hal penting yang digunakan untuk menentukan besar manfaat yang akan datang, yaitu: 1) Masa kerja. Penentuan besar manfaat tidak ada hubungannya dengan besar

gaji

pegawai, namun masa kerja pegawai yang bersangkutan. Misal x adalah usia pegawai masuk menjadi peserta program pensiun (misal 26 tahun) dan r adalah usia pensiun peserta program (misal 56 tahun), maka masa kerja pegawai adalah t = 30 .

Sesuai prinsip equality nilai kumulatif dari nilai tunai premi yang dibayarkan yaitu jumlahan nilai tunai iuran dari usia x sampai r − 1 harus sama dengan


54

jumlahan nilai tunai manfaat ( U ) yang dibagikan kepada peserta program pensiun

selama seumur hidup. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan dengan : r − x −1

P ∑ v t l x(T+t) = U .a&&r v r − x lr(T )

(3.3)

t =0

Menggunakan persamaan (2.28), maka nilai tunai anuitas awal sementara untuk semua faktor penyebab adalah : (T ) x:r − x

a&&

=

r − x −1

∑v t =0

t t

p x(T )

Untuk komutasinya, digunakan persamaan (2.30) yaitu : (T ) x::r − x =

a&&

N x(T ) − N r(T ) Dx(T )

Jika persamaan (3.3) dibagi dengan l x(T ) maka didapat berikut : (T ) ⎞ ⎛ l x(T+t) ⎞ r − x ⎛ lr P ∑ v ⎜⎜ (T ) ⎟⎟ = U .a&&r v ⎜⎜ (T ) ⎟⎟ t =0 ⎝ lx ⎠ ⎝ lx ⎠ r − x −1

t

r − x −1

P ∑ v t t p x(T ) = U .a&&r v r − x r − x p x(T ) t =0

P.a&&x(T:r )− x = U .a&&r .v r − x r − x p x(T ) Sehingga preminya adalah :

U .a&&r v r − x r − x px(T ) P= a&&x(T:r)− x

(T )

Misal D x

= v x l x(T ) dan N x(T ) = Dx(T ) + Dx(T+1) + ... + Dr(T ) maka :

(3.4)


55

⎛ vr ⎞⎛ l r(T ) ⎞ U .a&&r ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟ ⎝ v x ⎠⎝ l x ⎠ P= a&&x(T:r )− x ⎛ D (T ) ⎞ U .a&&r ⎜⎜ r(T ) ⎟⎟ ⎝ Dx ⎠ P= ⎛ N x(T ) − N r(T ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (T ) D x ⎝ ⎠ P=

U .a&&r .Dr(T ) N x(T ) − N r(T )

(3.5)

Dengan menggunakan persamaan (2.34), jika x = r maka didapat :

N r(T ) a&&r = (T ) Dr Kemudian disubstitusikan ke persamaan (3.5) maka diperoleh :

P=

U .N r(T ) N x(T ) − N r(T )

(3.6)

2) Rata-rata gaji per tahun selama masa kerja (r − x ) . Penentuan besar manfaat berkaitan dengan tingkat kenaikan gaji setiap tahunnya. Hubungan antara usia dengan gaji pegawai merupakan suatu fungsi yang monoton naik, karena semakin bertambah usia pegawai besar gaji yang diperoleh semakin meningkat (premi asuransipun ikut meningkat).

Definisi 3.1.


56

Jika s x menyatakan gaji tahunan pada usia x , maka gaji t tahun berikutnya adalah : t

S x +t = ∑ s x +i −1 i =1

dengan t = 1,2,..., r − x

Definisi 3.2.

Rata-rata gaji tahunan didefinisikan dengan :

S x +t (r − x )

Definisi 3.3.

Andaikan β adalah tingkat manfaat tahunan yang telah ditetapkan perusahaan. Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji tahunan dengan β (r − x ) , atau :

V =

S x +t β (r − x ) (r − x)

V = β .S x +t

Definisi 3.4.

Gaji pada saat usia pensiun ( r ) adalah S r . Sehingga manfaat yang diperoleh adalah :


57

V = β Sr

Definisi 3.5.

Nilai tunai anuitas hidup awal sementara yang dipengaruhi oleh rata-rata gaji

⎛ s x +t ⎝ sx

tahunan ⎜⎜

⎞ ⎟⎟ dengan subscript s adalah indeks, didefinisikan dengan : ⎠ s

a&&x(T:r)− x =

r − x −1

∑ t =0

s x + t t (T ) .v t p x sx

Atau s

a&&x(T:r )− x =

r − x −1

∑ t =0

s x+t t l x(T+t) .v (T ) sx lx

vx Kemudian ruas kanan persamaan di atas dikalikan dengan x : v s

a&&

s

(T ) x:r − x

(T ) x:r − x

a&&

=

r − x −1

∑

s x +t t l x(T+t) v x .v (T ) . x sx lx v

r − x −1

s x+t v x+t l x(T+t) . s x v x l x(T )

t =0

=

∑ t =0

Misal D x(T ) = v x l x(T ) dan D x(T+t) = v x +t l x(T+t) maka didapat komutasinya, yaitu : s

(T ) x:r − x

a&&

=

r − x −1

∑ t =0

s x +t Dx(T+t) . s x Dx(T )

Andaikan α adalah tingkat premi tahunan, atau dapat dinyatakan dengan :

P = α .s x Dengan menggunakan persamaan (3.4) maka prinsip equality-nya menjadi :

(3.7)


58

α .s x s a&&x(T:r )− x = V .a&&r v r − x r − x p x(T ) Dengan demikian tingkat preminya adalah :

V .a&&r v r − x r − x p x(T ) α= s x .s a&&x:r − x dan komutasinya yaitu :

⎛ N r(T ) ⎞⎛ Dr(T ) ⎞ V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟ D D α = ⎝ r − xr−1 ⎠⎝ x (T )⎠ s D s x . ∑ x +t x(T+t) t =0 s x Dx ⎛ N r(T ) ⎞ V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟ ⎝ Dx ⎠ α= ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ r − x −1 s x ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ (T ) ⎟⎟. ∑ s x +t .Dx(T+t) ⎝ s x ⎠⎝ Dx ⎠ t =0 ⎛ N r(T ) ⎞ (T ) V .⎜⎜ (T ) ⎟⎟ Dx D α = r −⎝x−1 x ⎠ ∑ s x+t .Dx(T+t) t =0

V .N r(T )

α = r − x−1

∑s t =0

x +t

.D

(T ) x +t

(3.8)

3. Rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir (misal 5 tahun) sebelum pensiun. Gaji terakhir pegawai digunakan sebagai penentu (patokan) besar perolehan manfaat, karena jika menggunakan gaji tahun-tahun sebelumnya yang nilainya


59

lebih kecil, maka akan terjadi ketidakseimbangan iuran dengan manfaat yang akan datang.

Definisi 3.6.

Rata-rata gaji f tahun terakhir didefinisikan dengan : r − x −1

∑s

t =r − x− f

x +t

f

Definisi 3.7.

Andaikan γ

menyatakan tingkat manfaat tahunan yang ditetapkan oleh

perusahaan. Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji f tahun terakhir dengan γ (r − x ) , atau :

W=

1 ⎛ r − x −1 ⎞ ⎜ ∑ sx + t ⎟γ (r − x ) f ⎜⎝ t = r − x − f ⎟⎠

W=

r − x −1 ⎞ 1 ⎛ r − x −1 ⎜ ∑ sx + t − ∑ sx + t ⎟γ (r − x) ⎟ f ⎜⎝ t = x t =r − f ⎠

W = γ (r − x )

Sr − Sr − f f

Dengan menggunakan persamaan (3.8) maka besar premi adalah :

W .a&&r v r − x r − x p x(T ) α= s x .s a&&x:r − x dan komutasinya yaitu :

(3.9)


60

W .N r(T )

α = r − x−1

∑s t =0

x +t

.D

(T ) x +t

(3.10)


BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA

Seorang pegawai suatu perusahaan, masuk menjadi peserta program pensiun pada usia 26 tahun. Gaji permulaan tahunnya sebesar Rp. 500.000,00, dengan asumsi kenaikan gaji 5% setiap tahunannya. Pegawai tersebut diharuskan membayar iuran setiap tahun (premi tahunan) untuk mendapat manfaat pensiun sebesar 75% dari gaji tahunannya. Jika pegawai tersebut pensiun di usia 56 tahun. Akan dicari besar premi tahunan yang harus dibayarkan kepada dana pensiun. Jika x adalah usia masuk menjadi peserta program pensiun, r adalah usia pensiun peserta dan s x adalah gaji tahunan pada usia x , maka tabel gajinya adalah :

sx

x 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

500000 525000 551250 578813 607753 638141 670048 703550 738728 775664 814447 855170 897928 942825 989966 1039464 1091437 1146009 1203310 1263475 1326649 1392981

61


62

48 49 50 51 52 53 54 55

1462630 1535762 1612550 1693177 1777836 1866728 1960065 2058068

Perhitungan besarnya premi menurut : 1. Masa kerja Jika diketahui besar manfaat : U = Rp.800.000,00 Dengan menggunakan persamaan (3.6) besarnya premi adalah :

U .N 56(T ) P = (T ) N 26 − N 56(T ) P = Rp. 6.731,34

2. Rata-rata gaji per tahun dengan masa kerja 30 tahun. Dengan menggunakan definisi 3.4 didapat manfaat :

V = 75 % x S 56 V = 75 % x Rp. 33.219.424,00 V = Rp.24.914.568,00 Dengan menggunakan persamaan (3.8) didapat tingkat premi :

α=

V .N 56(T ) 29

∑s t =0

α = 0,30

26+t

(T ) .D26 +t


63

Sehingga didapat tabel premi berikut : Premi

x

sx

(30% x s x )

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

500000 525000 551250 578813 607753 638141 670048 703550 738728 775664 814447 855170 897928 942825 989966 1039464 1091437 1146009 1203310 1263475 1326649 1392981 1462630 1535762 1612550 1693177 1777836 1866728 1960065 2058068

149736,72 157223,56 165084,73 173338,97 182005,92 191106,22 200661,53 210694,60 221229,33 232290,80 243905,34 256100,61 268905,64 282350,92 296468,47 311291,89 326856,48 343199,31 360359,27 378377,24 397296,10 417160,90 438018,95 459919,90 482915,89 507061,69 532414,77 559035,51 586987,28 616336,65

3. Rata-rata gaji per tahun untuk 5 tahun terakhir sebelum pensiun. Dengan menggunakan persamaan (3.9) didapat manfaat :

W = 0,13 x 30 x Rp.3.722.714,00 W = Rp. 18.613.569,00 Dengan menggunakan persamaan (3.10) didapat tingkat premi :


64

α=

W .N 56(T ) 29

∑s t =0

26+t

(T ) .D26 +t

α = 0,22 Sehingga didapat tabel premi berikut : Premi

x

sx

(22% x s x )

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

500000 525000 551250 578813 607753 638141 670048 703550 738728 775664 814447 855170 897928 942825 989966 1039464 1091437 1146009 1203310 1263475 1326649 1392981 1462630 1535762 1612550 1693177 1777836 1866728 1960065 2058068

111867,67 117461,06 123334,11 129500,81 135975,86 142774,65 149913,38 157409,05 165279,50 173543,48 182220,65 191331,68 200898,27 210943,18 221490,34 232564,86 244193,10 256402,76 269222,89 282684,04 296818,24 311659,15 327242,11 343604,21 360784,43 378823,65 397764,83 417653,07 438535,72 460462,51

Dari ketiga pilihan perhitungan premi tersebut, terlihat bahwa premi yang paling rendah adalah pilihan pertama dan premi yang paling tinggi adalah pilihan kedua. Untuk perusahaan asuransi, pilihan kedua sangat menguntungkan, karena


65

premi yang tinggi, tetapi memberatkan pesertanya. Sehingga diambil jalan tengahnya agar kedua pihak saling menguntungkan, yaitu perhitungan premi menurut pilihan ketiga.


BAB V KESIMPULAN

Pengertian pensiun hari tua adalah berakhirnya masa kerja seorang pegawai di tempatnya bekerja, karena telah mencapai usia pensiun. Konsep perhitungan premi pada asuransi pensiun hari tua tidak terlepas dari konsep asuransi jiwa. Jika pada asuransi jiwa, seseorang akan mendapat santunan jika dia meninggal, maka pada asuransi pensiun hari tua, seseorang akan mendapat santunan (manfaat pensiun) jika dia telah mencapai usia pensiun. Prinsip yang berlaku adalah nilai tunai premi (iuran) yang akan datang harus sama dengan nilai tunai santunan (manfaat pensiun) yang akan datang (prinsip equality). Premi dibayarkan secara berkala selama menjadi peserta aktif program pensiun untuk mendapatkan santunan yang juga diberikan secara berkala seumur hidup peserta, setelah mencapai usia pensiun. Perhitungan manfaat pensiun dapat ditentukan oleh salah satu dari tiga pokok berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji pertahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun. Dalam prakteknya, alternatif ketiga lebih banyak menjadi pilihan.

66


DAFTAR PUSTAKA

Bowers Jr,N.L.,Gerbers,H.U.,Hickman, J.C., Jones, D.A., Nesbitt,C.J. (1997). Aktuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries, Schaumbers, Illinois.

Futami, T., terj. Herlianto, G. (1988). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Pertama, The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan.

Futami, T., terj. Herlianto, G. (1993). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Kedua, The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan.

Kertonegoro,S.(1982). Jaminan Sosial Prinsip dan Pelaksanaannya di Indonesia, Jakarta. Larson, R.E and Gaumnitz, E.A. (1951). Life Insurance Mathematics, New York John Wiley and Sons. Inc., London. Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 1-5. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta. Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 6-9. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta. Catarya, Indra. (1988). Asuransi II. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta. Wijayanto, B, Sopater, S, Sucahyo, U.S., Atmojo, W, Kusjadi, Sunaryo, H, Suwanto, Suyitno, A. (2001). Memahami Dana Pensiun GKJ dan Persoalannya, Dana Pensiun Gereja-gereja Kristen Jawa, Salatiga.

67


LAMPIRAN

TABEL I Tabel Mortalita Indonesia 1993 x

lx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

1000000 967770 964247 961721 959788 958156 956642 955169 953794 952545 951459 950479 949557 948645 947715 946710 945536 944127 942446 940552 938539 936493 934433 932359 930280 928150 926043 924033 922166 920442 918822 917232 915608 913932 912214 910463 908669 906788

dx

px

32230 3523 2526 1933 1632 1514 1473 1375 1249 1086 980 922 912 930 1005 1174 1409 1681 1894 2013 2046 2060 2074 2079 2130 2107 2010 1867 1724 1620 1590 1624 1676 1718 1751 1794 1881 2040

68

0,96777 0,99636 0,99738 0,99799 0,99830 0,99842 0,99846 0,99856 0,99869 0,99886 0,99897 0,99903 0,99904 0,99902 0,99894 0,99876 0,99851 0,99822 0,99799 0,99786 0,99782 0,99780 0,99778 0,99777 0,99771 0,99773 0,99783 0,99798 0,99813 0,99824 0,99827 0,99823 0,99817 0,99812 0,99808 0,99803 0,99793 0,99775

qx 0,03223 0,00364 0,00262 0,00201 0,00170 0,00158 0,00154 0,00144 0,00131 0,00114 0,00103 0,00097 0,00096 0,00098 0,00106 0,00124 0,00149 0,00178 0,00201 0,00214 0,00218 0,00220 0,00222 0,00223 0,00229 0,00227 0,00217 0,00202 0,00187 0,00176 0,00173 0,00177 0,00183 0,00188 0,00192 0,00197 0,00207 0,00225


69

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

904748 902459 899878 896980 893760 890230 886393 882254 877781 872927 867637 861841 855412 848209 840109 831053 821097 810193 798299 785375 771380 756284 740054 722663 704091 684327 663380 641250 617960 593551 568076 541598 514209 486015 457141 427729 397951 367985 338035 308315 279050 250470 222806 196283 171114 147493 125589 105535

2289 2581 2898 3220 3530 3837 4139 4473 4854 5290 5796 6429 7203 8100 9056 9956 10904 11894 12924 13995 15096 16230 17391 18572 19764 20947 22130 23290 24409 25475 26478 27389 28194 28874 29412 29778 29966 29950 29720 29265 28580 27664 26523 25169 23621 21904 20054 18107

0,99747 0,99714 0,99678 0,99641 0,99605 0,99569 0,99533 0,99493 0,99447 0,99394 0,99332 0,99254 0,99158 0,99045 0,98922 0,98802 0,98672 0,98532 0,98381 0,98218 0,98043 0,97854 0,97650 0,97430 0,97193 0,96939 0,96664 0,96368 0,96050 0,95708 0,95339 0,94943 0,94517 0,94059 0,93566 0,93038 0,92470 0,91861 0,91208 0,90508 0,89758 0,88955 0,88096 0,87177 0,86196 0,85149 0,84032 0,82843

0,00253 0,00286 0,00322 0,00359 0,00395 0,00431 0,00467 0,00507 0,00553 0,00606 0,00668 0,00746 0,00842 0,00955 0,01078 0,01198 0,01328 0,01468 0,01619 0,01782 0,01957 0,02146 0,02350 0,02570 0,02807 0,03061 0,03336 0,03632 0,03950 0,04292 0,04661 0,05057 0,05483 0,05941 0,06434 0,06962 0,07530 0,08139 0,08792 0,09492 0,10242 0,11045 0,11904 0,12823 0,13804 0,14851 0,15968 0,17157


70

86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

87428 71321 57222 45094 34854 26381 19521 14097 9915 6778 4493 2881 1782 1061 606

16107 14099 12128 10240 8473 6860 5424 4182 3137 2285 1612 1099 721 455 606

0,81577 0,80232 0,78805 0,77292 0,75690 0,73996 0,72215 0,70334 0,68361 0,66288 0,64122 0,61854 0,59540 0,57116 0

0,18423 0,19768 0,21195 0,22708 0,24310 0,26004 0,27785 0,29666 0,31639 0,33712 0,35878 0,38146 0,40460 0,42884 1


71

TABEL II Komutasi (i = 4% ) x

Dx

Nx

Cx

Mx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1000000 930548,07692 891500,55473 854966,46706 820430,80490 787534,38890 756048,06852 725849,93772 696927,93339 669245,48204 642771,60851 617413,03425 593090,50061 569731,60394 547281,79812 525674,45736 504829,40081 484689,54249 465217,84813 446425,88122 428336,94810 410964,59655 394289,03781 378282,59841 362922,20515 348164,66001 334013,73934 320469,95575 307521,58578 295141,02944 283289,97514 271922,83506 261001,33039 250503,43584 240415,90582 230725,40972 221414,21382 212457,57015 203826,54286 195491,21588 187434,72893

22790952,67296 21790952,67296 20860404,59604 19968904,04131 19113937,57425 18293506,76935 17505972,38044 16749924,31192 16024074,37420 15327146,44081 14657900,95877 14015129,35026 13397716,31601 12804625,81540 12234894,21146 11687612,41335 11161937,95598 10657108,55518 10172419,01269 9707201,16456 9260775,28333 8832438,33523 8421473,73868 8027184,70087 7648902,10246 7285979,89731 6937815,23730 6603801,49796 6283331,54222 5975809,95644 5680668,92699 5397378,95185 5125456,11679 4864454,78640 4613951,35056 4373535,44473 4142810,03501 3921395,82119 3708938,25105 3505111,70818 3309620,49231

30990,38462 3257,21154 2245,60480 1652,33650 1341,38504 1196,53619 1119,35894 1004,69903 877,53083 733,66269 636,58931 575,87848 547,72357 537,05183 558,04083 626,80820 723,34290 829,78887 898,97275 918,70692 897,85355 869,22810 841,47642 811,06255 798,99879 759,97221 697,10131 622,60244 552,80304 499,47624 471,37181 462,93409 459,38183 452,78249 443,73049 437,14169 440,71237 459,58228 495,84457 537,59402 580,40543

123424,89719 92434,51258 89177,30104 86931,69624 85279,35974 83937,97470 82741,43851 81622,07957 80617,38054 79739,84970 79006,18702 78369,59770 77793,71922 77245,99566 76708,94383 76150,90300 75524,09481 74800,75190 73970,96303 73071,99028 72153,28336 71255,42981 70386,20171 69544,72530 68733,66275 67934,66396 67174,69175 66477,59044 65854,98800 65302,18496 64802,70872 64331,33691 63868,40282 63409,02098 62956,23849 62512,50800 62075,36632 61634,65395 61175,07167 60679,22710 60141,63308


72

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88

179645,29546 172115,76975 164842,28869 157819,03683 151040,48365 144494,91649 138169,11618 132049,80910 126122,77716 120367,25971 114763,17956 109295,42766 103958,91513 98762,97038 93703,28689 88776,61559 83980,16676 79311,23182 74768,36674 70349,83002 66054,45633 61881,63167 57831,34588 53904,95141 50102,60694 46425,86143 42876,99178 39458,39076 36172,34300 33022,19387 30011,14623 27142,49362 24419,39656 21845,52530 19423,59744 17156,46792 15046,22418 13094,27814 11301,13105 9666,28817 8188,08239 6863,59614 5688,58494 4657,48110 3763,24657 2997,66684 2351,34797 1813,96613

3122185,76338 2942540,46791 2770424,69817 2605582,40947 2447763,37264 2296722,88899 2152227,97250 2014058,85632 1882009,04722 1755886,27007 1635519,01036 1520755,83080 1411460,40314 1307501,48801 1208738,51763 1115035,23074 1026258,61515 942278,44839 862967,21657 788198,84983 717849,01982 651794,56349 589912,93181 532081,58594 478176,63453 428074,02759 381648,16616 338771,17438 299312,78362 263140,44062 230118,24675 200107,10052 172964,60690 148545,21034 126699,68504 107276,08760 90119,61968 75073,39549 61979,11736 50677,98631 41011,69814 32823,61575 25960,01961 20271,43467 15613,95357 11850,70700 8853,04016 6501,69219

620,09128 653,64375 683,16384 708,59023 736,31778 768,30352 805,11031 848,19313 904,64140 974,57016 1053,78345 1132,84223 1197,52494 1261,10771 1322,69872 1381,96362 1438,92853 1492,43309 1542,83031 1589,61099 1632,26865 1670,22304 1702,11194 1729,07710 1749,72217 1763,25959 1769,48596 1768,41735 1758,90517 1740,96326 1714,37775 1679,15501 1634,66370 1581,71534 1520,06808 1450,37959 1373,24512 1289,52100 1200,18400 1106,42546 1009,56001 911,02673 812,31211 715,10065 620,83947 531,02399 446,94538 369,67663

59561,22764 58941,13637 58287,49261 57604,32877 56895,73855 56159,42076 55391,11724 54586,00693 53737,81380 52833,17240 51858,60224 50804,81878 49671,97655 48474,45161 47213,34390 45890,64518 44508,68156 43069,75303 41577,31995 40034,48964 38444,87864 36812,61000 35142,38696 33440,27502 31711,19792 29961,47575 28198,21616 26428,73021 24660,31286 22901,40769 21160,44443 19446,06668 17766,91167 16132,24798 14550,53263 13030,46455 11580,08496 10206,83985 8917,31885 7717,13485 6610,70938 5601,14938 4690,12265 3877,81054 3162,70989 2541,87042 2010,84643 1563,90105


73

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1374,52158 1021,53227 743,45961 528,97463 367,30441 248,40414 163,28050 104,07247 64,16665 38,16282 21,84816 11,99882

4687,72605 3313,20447 2291,67221 1548,21260 1019,23797 651,93355 403,52942 240,24891 136,17645 72,00980 33,84698 11,99882

300,12310 238,78296 185,89037 141,32504 104,77318 75,56963 52,92802 35,90303 23,53588 14,84686 9,00902 11,53733

1194,22442 894,10133 655,31837 469,42799 328,10295 223,32977 147,76014 94,83212 58,92909 35,39321 20,54635 11,53733

(Sumber : Futami, 1993)


74

TABEL III Tabel Pelayanan

x

l x(T )

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

100000 79910 65454 55524 49761 45730 42927 40893 39352 38053 36943 36000 35143 34363 33659 32989 32349 31734 31109 30506 29919 29350 28763 28185 27593 27006 26396 25786 25149 24505 23856 19991 18106 15130 13509

d x(1) 100 80 72 61 60 64 64 65 71 72 78 83 91 96 104 112 123 133 143 156 168 182 198 209 226 240 259 276 297 316 313 298 284 271 0

d x( 2) 19990 14376 9858 5702 3971 2693 1927 1431 1181 989 813 720 633 550 505 462 421 413 373 336 299 293 259 251 218 213 182 178 148 120 0 0 0 0 0

d x( 3) 0 0 0 0 0 46 43 45 47 49 52 54 56 58 61 66 71 79 87 95 102 112 121 132 143 157 169 183 199 213 0 0 0 0 0

d x( 4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3552 1587 2692 1350 13509


75

TABEL IV Komutasi ( i = 10% ) x 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

l x(T ) 100000 79910 65454 55524 49761 45730 42927 40893 39352 38053 36943 36000 35143 34363 33659 32989 32349 31734 31109 30506 29919 29350 28763 28185 27593 27006 26396 25786 25149 24505 23856 19991 18106 15130 0

D x(T ) 8368,75712 6078,91370 4526,10810 3490,06374 2843,18812 2375,09826 2026,63156 1754,91917 1535,10766 1349,35062 1190,78116 1054,79043 935,97963 831,92182 740,72421 659,91555 588,22565 524,53177 467,40883 416,63909 371,43746 331,21547 295,05337 262,81389 233,88000 208,07424 184,86728 164,16092 145,53599 128,90456 114,07096 86,89121 71,53651 54,33855 44,10179

N x(T ) 44455,93839 36087,18127 30008,26757 25482,15947 21992,09573 19148,90761 16773,80935 14747,17779 12992,25862 11457,15095 10107,80033 8917,01917 7862,22874 6926,24912 6094,32729 5353,60308 4693,68753 4105,46189 3580,93012 3113,52129 2696,88220 2325,44474 1994,22927 1699,17590 1436,36201 1202,48201 994,40777 809,54050 645,37957 499,84358 370,93902 256,86806 169,97685 98,44034 44,10179

( Sumber : Bowers, 1997)

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

Recommend Documents