č. 5
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
333
Hvězdy v úlohách Mezinárodní fyzikální olympiády – vznik a rovnováha Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral Ústřední komise Fyzikální olympiády, Univerzita Hradec Králové. Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové Představujeme dvě teoretické úlohy z posledních šesti mezinárodních fyzikálních olympiád, jejichž společným jmenovatelem jsou velmi jednoduché modely hvězd. První úloha popisuje vznik protohvězdy. Ve druhé úloze už soutěžící odhadují různé parametry hvězdy v rovnováze.
A
stronomie (a astrofyzika) tradičně patřila k disciplínám velmi populárním mezi dětmi a přiváděla tak studenty ke studiu fyziky. O tom, že je její popularita stále vysoká, svědčí i fakt, že jsou úlohy s astrofyzikální tematikou často zařazovány do fyzikálních olympiád. Kromě toho v posledních dvou desetiletích soutěže vznikly také čistě astronomické a astrofyzikální. Jmenujme Astronomickou olympiádu a dvě její mezinárodní nástavby, Mezinárodní astronomickou olympiádu (International Astronomy Olympiad) a Mezinárodní olympiádu v astronomii a astrofyzice (International Olympiad on Astronomy and Astrophysics). Více o těchto soutěžích se dočtete ve článku [1]. V tomto příspěvku jsme vybrali dvě teoretické úlohy mezinárodních fyzikálních olympiád (MFO) z posledních šesti let, které se přímo týkají vzniku a následného „života“ hvězd. Jedná se o problematiku těžko dostupnou středoškolskými prostředky. Nicméně velmi jednoduché modely lze vytvořit i s použitím sylabu MFO [2]. První z úloh byla zadána na 43. MFO v roce 2012 v Estonsku. Úloha se zabývá jednotlivými fázemi smršťování řídkého mezihvězdného plynu, které vede ke vzniku protohvězdy. Druhá úloha už nám představuje hvězdu „dospělou“. Studentům byla předložena na 40. MFO v roce 2009 v Mexiku. Úkolem soutěžících je odhadovat různé parametry hvězdy, a to nejprve zcela klasicky, následně s použitím konceptu de Broglieho vln. Zajímavé je, že výsledky jsou porovnávány s parametry našeho Slunce, což je pro studenty jistě velmi cenné. Sami vidí, že i jednoduché modely mají ve fyzice reálný smysl. Uvádíme zde mírně upravené překlady zadání a řešení zmíněných úloh. Původní texty a řešení, připravené organizátory MFO a následně upravené při diskusi mezinárodní jury, jsou v anglickém znění k dispozici na webu MFO [3]. Překlady jsou dílem autorů tohoto příspěvku.
FORMOVÁNÍ PROTOHVĚZDY (43. MFO ESTONSKO) Představme si model formování hvězdy následovně. Sférický oblak (koule) řídkého mezihvězdného plynu, který je na počátku v klidu, začne kolabovat vlivem vlastní gravitace. Počáteční poloměr koule je r0 a její hmotnost m. Teplota okolí (které je mnohem řidší než plyn) je všude T0. Plyn považujte za ideální. Průměrná molární hmotnost plynu je μ a jeho Poissonova konstanta je γ > 4⁄3. Předpokládejme, že GMμ / r0 >> RT0, kde R je molární plynová konstanta a G gravitační konstanta. a) Během značné části probíhajícího kolapsu je plyn tak průhledný, že jakékoliv generované teplo je okamžitě vyzářeno, tzn. že koule zůstává v termodynamické rovnováze se svým okolím. Kolikrát se zvětší tlak, pokud se poloměr zmenší na polovinu (r1 = 0,5r 0)? Předpokládejme, že hustota plynu zůstává homogenní. b) Odhadněte (přibližně) čas t2 potřebný k tomu, aby se poloměr zmenšil z r 0 na r 2 = 0,95r 0. Zanedbejte změnu gravitačního pole na povrchu koule vzhledem k malé změně poloměru. c) Budeme-li předpokládat, že tlak je zanedbatelný, najděte čas tr0 potřebný k tomu, aby koule zkolabovala z r 0 na mnohem menší poloměr – použitím Keplerova zákona pro eliptické orbity. d) Při jistém poloměru r 3 << r 0 začne být plyn dostatečně hustý na to, aby se stal neprůhledným pro tepelné záření. Vypočtěte množství tepla Q vyzářeného během kolapsu, kdy se poloměr změnil z r 0 na r 3. e) Pro poloměry menší než r 3 můžeme zanedbat tepelné vyzařování. Určete, jak závisí teplota T koule na poloměru r < r 3 . f) Nakonec již nemůžeme zanedbávat vliv tlaku na dynamiku plynu a kolaps se zastaví na poloměru r = r4
http://ccf.fzu.cz
334
Mládež a fyzika mRT0 . Práce gravid) Platí stavová rovnice plynu, p = μV tační síly tedy je Vkon
mRT0 W = − ∫∫ pdV = − μ Vzac
4 3 π r3 3
dV 3mRT0 r0 = ln . V μ r3 3
4 π r0 3
Teplota zůstává konstantní, nemění se tedy ani vnitřní energie plynu. Podle 1. termodynamického zákona je vyzářené teplo rovno práci gravitační síly W. e) Smršťování pokračuje adiabaticky, TV γ – 1 = konst. Tedy 3γ −3 ⎛r ⎞ T = T0 ⎜ 3 ⎟ . ⎝r⎠ f) Během kolapsu se gravitační energie měnila na teplo. Jelikož je r4 << r3, lze přeměněnou gravitační energii odhadnout jako ΔΠ = −Gm 2 (r4−1 − r3−1 ) ≈ −Gm 2 / r4 (přesné řešení integrací přidává číselný faktor 3/5). Teplo odhadneme podle vztahu Úspěšná reprezentace České republiky na 43. mezinárodní fyzikální olympiádě v Estonsku v roce 2012. Zleva: prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc., vedoucí reprezentace, Mgr. Filip Studnička, člen jedné z hodnotitelských komisí, Lubomír Grund, stříbrná medaile, Stanislav Fořt, stříbrná medaile, Martin Raszyk, bronzová medaile, Jakub Vošmera, stříbrná medaile, Ondřej Bartoš, stříbrná medaile, a RNDr. Jan Kříž, Ph.D., pedagogický vedoucí. Foto B. Vybíral
(kde r4 << r 3). Záření však může být stále zanedbáno a teplota ještě není dostatečně vysoká, aby zažehla jadernou fúzi. Tlak takové protohvězdy již není homogenní, ale stále je možné dělat hrubé odhady se zanedbáním číselných koeficientů. Odhadněte konečný poloměr r4 a příslušnou teplotu T4 .
Řešení a) Podle zadání se nemění teplota plynu, tedy pV = konst. Jelikož je objem úměrný r 3, platí p ~ r-3, tedy p (r1 ) = 2 3 = 8. p (r0 )
b) Během uvažovaného časového intervalu je tlak zanedbatelný. Plyn se tedy smršťuje volným pádem. Jelikož se dosud koule příliš nesmrštila, gravitační pole na jejím povrchu se téměř nezměnilo a zrychlení nejkrajnější vnější vrstvy plynu lze tedy považovat přibližně za konstantní. Tedy t≈
2(r0 − r2 ) = Gm r02
ΔQ = cV
m m R m m (T − T ) ≈ cV T4 = T ≈ RT . μ 4 0 μ γ −1 μ 4 μ 4
Pro teplotu T4 použijeme výsledek předchozí úlohy, ⎛r ⎞ T4 = T0 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ r4 ⎠
3γ −3
.
Jelikož počáteční celková energie byla přibližně nulová, můžeme psát ΔQ + ΔΠ ≈ 0. Dostáváme ⎛r ⎞ Gm m ≈ RT0 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ μ r4 ⎝ r4 ⎠
3γ −3
1
⎛ RT r ⎞ 3γ −4 ⇒ r4 ≈ r3 ⎜⎜ 0 3 ⎟⎟ ⇒ ⎝ μ mG ⎠ 3γ −3
⎛ RT r ⎞ 4−3γ ⇒ T4 ≈ T0 ⎜⎜ 0 3 ⎟⎟ . ⎝ μ mG ⎠
PROČ JSOU HVĚZDY TAK VELKÉ? (40. MFO MEXIKO) Hvězdy jsou koule horkých plynů. Většina z nich září, protože v jejich vnitřku probíhá fúze vodíku na helium (tj. termojaderná syntéza). V této úloze použijeme přístup klasický i kvantově mechanický společně
0,1r03 . Gm
c) Nejkrajnější vnější vrstva koule je gravitačně ovlivněna zbytkem plynu stejným způsobem, jako by celá hmotnost zbytku byla soustředěna do středu koule. Uvažujeme tedy keplerovský pohyb: doba pádu libovolné částice z vnější vrstvy odpovídá polovině periody velmi výstředné eliptické trajektorie. Se zvětšováním výstřednosti elipsa degeneruje v úsečku spojující obě ohniska. Jedno ohnisko musí být ve středu plynové koule (podle 1. Keplerova zákona), druhé je ve vzdálenosti r 0. Periodu určíme podle 3. Keplerova zákona z velké poloosy elipsy. Velká poloosa je zřejmě r 0/2 a zajímá nás polovina periody, 2
⎛ 2π ⎞ r0 r03 Gm ⎜⎜ ⎟⎟ = ⇒ t r →0 = π . 2 8Gm ⎝ 2t r →0 ⎠ 2 (r0 / 2)
http://ccf.fzu.cz
Obr. 1 Naše Slunce, stejně jako většina hvězd, svítí v důsledku termojaderné fúze vodíku na helium ve vnitřní části.
č. 5
» Při takovémto
s elektrostatikou a termodynamikou, abychom porozuměli tomu, proč musejí být hvězdy dostatečně velké, aby v nich mohl probíhat proces fúze. Odvodíme, jaká musí být hmotnost a poloměr nejmenší hvězdy, ve které může vodík fúzovat. 1. Klasický odhad teploty ve středu hvězd Předpokládejte, že plyn, ze kterého se hvězda skládá, je čistý ionizovaný vodík (tj. elektrony a protony ve stejném množství) a že se chová jako ideální plyn. Aby dva protony fúzovaly, musejí se (z klasického pohledu) k sobě přiblížit na vzdálenost 10−15 m. V této vzdálenosti krátkodosahová silná jaderná síla, která je přitažlivá, překoná odpudivou Coulombovu sílu. Nicméně, aby se takto k sobě přiblížily, musejí nejprve odpudivou sílu překonat. Předpokládejme klasicky, že se dva protony (které považujeme za bodové náboje) při jednorozměrné čelní srážce pohybují proti sobě, každý střední kvadratickou rychlostí vk.
Δr
2. Proč je odhad teploty špatný? Abychom zkontrolovali, zda je předchozí odhad teploty rozumný, potřebujeme jiný, nezávislý, způsob, jak zjistit vnitřní teplotu hvězdy. Struktura hvězdy je velice komplikovaná, ale je možné mnohé pochopit za určitých předpokladů. Hvězdy jsou v rovnováze, tedy nerozpínají se ani nesmršťují, protože do středu působící gravitační sílu vyrovnává od středu působící síla tlaková (viz obr. 2). Pro element plynu v dané vzdálenosti r od středu hvězdy můžeme psát rovnici hydrostatické rovnováhy G M r ρr ΔP , (1) =− r2 Δr
kde P je tlak plynu, G gravitační konstanta, Mr hmotnost hvězdy uvnitř koule o poloměru r a ρr je hustota plynu v daném místě. Řádový odhad velikosti středové teploty hvězdy lze získat z hodnot parametrů ve středu a na povrchu hvězdy užitím následujících aproximací ΔP ≈ P0 – Pc, kde Pc a P0 jsou tlaky ve středu a na povrchu hvězdy. Protože je Pc >> P0, lze předpokládat, že ΔP ≈ – Pc. Ve stejné aproximaci můžeme psát Δr ≈ R, kde R je celkový poloměr hvězdy a Mr ≈ MR = M, kde M je celková hmotnost hvězdy. Hustotu můžeme odhadnout její hodnotou ve středu, tedy ρr ≈ ρc. Můžete předpokládat, že tlak je dán vztahem pro ideální plyn.
Užitečné konstanty
Pin
Pout
ΔP = Pout – Pin Obr. 2 Hvězdy jsou v hydrostatické rovnováze, přičemž rozdíl tlaků je vyrovnáván gravitací.
2. a) Nalezněte závislost teploty ve středu hvěz-
dy Tc pouze na poloměru a hmotnosti hvězdy a fyzikálních konstantách. Jako kritérium platnosti tohoto modelu použijeme jeho následující důsledky: 2. b) Užitím rovnice odvozené v části (2a) napiš-
te předpokládaný poměr M/R pro hvězdu v závislosti pouze na fyzikálních konstantách a Tc. 2. c) Pomocí hodnoty Tc odvozené v části (1a)
číselně vypočtěte hodnotu očekávaného poměru M/R pro hvězdu. 2. d) Vypočtěte nyní poměr M(Slunce)/R(Slun-
ce) a ověřte, že tato hodnota je mnohem menší než hodnota vypočtená v části (2c). 3. Kvantově mechanický odhad teploty středu hvězd
Velký rozpor nalezený v části (2d) naznačuje, že klasický odhad Tc získaný v části (1a) není správný. Uvažujeme-li kvantově mechanické efekty, dostaneme lepší výsledek. Předpokládejme, že se protony chovají jako vlny a jediný proton je „rozmazán“ na úsečce velikosti řádu λp de Broglieho vlnové délky. Z toho vyplývá, že délka dc, na kterou se musejí protony k sobě přiblížit, je řádu λp. Při takovémto přiblížení se v kvantově mechanickém smyslu protony překryjí a mohou fúzovat. 3. a) Předpokládejte, že dc = λp/2½ je podmínka
Gravitační konstanta
G = 6,7 ∙ 10
Boltzmannova konstanta
k = 1,4 ∙ 10
Planckova konstanta
h = 6,6 ∙ 10 -34 m2 kg s-1
Hmotnost protonu
mp = 1,7 ∙ 10 -27 kg
Hmotnost elektronu
me = 9,1 ∙ 10 -31 kg
-11
-23
3
-1 2
m kg s -1
JK
Jednotkový elektrický náboj q = 1,6 ∙ 10 -19 C Permitivita vakua
ε0 = 8,9 ∙ 10 -12 C2 N-1 m-2
Poloměr Slunce
RS = 7,0 ∙ 108 m
Hmotnost Slunce
MS = 2,0 ∙ 1030 kg
přiblížení se v kvantově mechanickém smyslu protony překryjí a mohou fúzovat.
«
r
1. a) Jaká musí být teplota plynu Tc , aby se
k sobě protony přiblížily na vzdálenost dc rovnou 10−15 m?
335
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
nutná pro fúzi. Pro proton o rychlosti vk nalezněte závislost Tc pouze na fyzikálních konstantách. 3. b) Číselně vypočtěte teplotu Tc získanou
v části (3a). 3. c) Hodnotu Tc z části (3b) dosaďte do rovnice
odvozené v části (2b) a číselně vypočtěte hodnotu předpokládaného poměru M/R pro hvězdu. Ověřte, že tato hodnota je docela blízká pozorovanému poměru M(Slunce)/R(Slunce).
http://ccf.fzu.cz
336
Mládež a fyzika k jejich srážkám a mohly fúzovat, kdežto de Broglieho vlny elektronů se nesmějí překrývat, aby se chovaly jako ideální plyn. Hustota hvězd roste směrem ke středu hvězd. Nicméně pro tento řádový odhad velikosti uvažujte, že je hustota všude stejná. Dále užijte fakt, že mp >> me. 5. a) Nalezněte vztah pro ne, průměrnou husto-
tu počtu elektronů uvnitř hvězdy. 5. b) Nalezněte vztah pro de, typickou vzdále-
nost mezi elektrony uvnitř hvězdy. 5. c) Užijte podmínku de ≥ λe/2½ a napište rov-
nici pro poloměr nejmenší možné hvězdy. Uvažujte teplotu ve středu hvězdy, typickou pro celý vnitřek hvězdy. Česká reprezentace 40. MFO na vrcholu mayské pyramidy v Izamalu (Yucatan) dne 19. 7. 2009 – a čeští kluci na vrcholu české pyramidy fyzikální vzdělanosti své generace. Zleva: R. Polma, bronzová medaile, M. Koutný, stříbrná medaile, dr. J. Kříž, pedagogický vedoucí, J. Humplík, stříbrná medaile, P. Ryšavý, bronzová medaile, prof. B. Vybíral, vedoucí reprezentace, a J. Sýkora, bronzová medaile. Foto B. Vybíral
5. d) Číselně vypočtěte hodnotu poloměru
Skutečně, hvězdy na tzv. hlavní posloupnosti (tj. fúzující vodík) přibližně splňují toto kritérium dané poměrem M/R pro velký rozsah hmotností.
menší možné normální hvězdy v kg a v jednotkách hmotnosti Slunce.
4. Poměr hmotnost/poloměr hvězd Předchozí shoda naznačuje, že kvantově mechanický přístup pro odhad teploty ve středu Slunce je správný.
6. Fúzující jádra helia ve starších hvězdách Jak hvězdy stárnou, přemění fúzí většinu vodíku ve svých jádrech na helium (He), takže jsou nuceny začít fúzovat helium na těžší prvky, aby mohly dále svítit. Jádro helia má dva protony a dva neutrony, takže má dvojnásobný náboj a přibližně čtyřnásobnou hmotnost protonu. Viděli jsme, že dc = λp/2½ je podmínka, aby protony mohly fúzovat.
4. a) Použijte předchozí výsledek a ukažte, že
pro jakoukoli hvězdu fúzující vodík je poměr hmotnosti M ku poloměru R stejný a závisí jen na fyzikálních konstantách. Odvoďte závislost poměru M/R pro hvězdy fúzující vodík.
nejmenší možné normální hvězdy v metrech a v jednotkách poloměru Slunce. 5. e) Číselně vypočtěte hodnotu hmotnosti nej-
6. a) Stanovte ekvivalentní podmínku pro he-
5. Hmotnost a poloměr nejmenší hvězdy
Výsledek získaný v části (4a) napovídá, že by hvězdy mohly mít libovolnou hmotnost, pokud bude splněna výše uvedená podmínka. To ovšem není pravda. O plynu uvnitř normálních hvězd fúzujících vodík je známo, že se přibližně chová jako ideální plyn. To znamená, že typická vzdálenost mezi elektrony de je v průměru větší než λe, tj. jejich typická de Broglieho vlnová délka. Jsou-li blíže, nacházejí se elektrony v tzv. degenerovaném stavu a hvězdy se pak chovají odlišně. Povšimněte si rozdílu ve způsobu, jak popisujeme protony a elektrony uvnitř hvězdy. De Broglieho vlny protonů se musejí překrývat, aby docházelo
lium a nalezněte vk(He), střední kvadratickou rychlost jader helia a T(He), teplotu nutnou k fúzi helia.
Řešení 1. Ze zákona zachování energie plyne 1 q2 2 m p v k2 = . 2 4 π ε 0 dc
Jelikož také platí 3 1 kTc = m p v k2, 2 2
(2)
dostaneme Tc =
q2 = 5,5 ∙ 109 K. 12π ε 0 dc k
(3)
2. a) Dosadíme do podmínky hydrostatické rovnováhy (1) všechny v zadání naznačené odhady a dostaneme G M ρc . Pc = R Pro ideální plyn však platí Pc =
Ruiny mayské hvězdárny v Chichen Itzá, Mexiko – Yucatan. Foto B. Vybíral
http://ccf.fzu.cz
2 ρ c kTc . mp
Číselný faktor 2 v předchozí rovnosti je nutný, jelikož na každou hmotnost protonu připadají dvě částice (proton a elektron), přičemž obě tyto částice
č. 5
Čs. čas. fyz. 64 (2014)
» Tento
stejně přispívají k tlaku plynu. Porovnáním obou rovnic snad získáme výsledek Tc =
G M mp 2kR
výsledek řádově odpovídá odhadům modelů hvězd.
.
b) Z předchozího výsledku máme M 2kTc = . R Gm p
«
(4)
c) Dosazením dostaneme hodnotu M/R = 1,4 ∙ 1024 kg.m-1. 3. a) Pro de Broglieho vlnovou délku platí
λp =
h . m p vk
(5)
Z této rovnice můžeme dosadit do rovnice (3), jelikož podle zadání dc = λp/2-1/2. Za střední kvadratickou rychlost pak můžeme dosadit z (2). Po úpravě dostaneme q4mp . (6) Tc = 24π 2 ε 02 kh 2 b) Číselně, Tc = 9,7 ∙ 106 K. c) Dosazením nového odhadu teploty do (4) máme M/R = 2,4 ∙ 1021 kg/m. Pro Slunce platí M(Slunce)/R(Slunce) = 2,9 ∙ 1021 kg/m. 4. Do vztahu (4) dosadíme výsledek (6), M q4 . = 2 2 R 12π ε 0 Gh 2
5. a) Platí
ne =
(7)
Exkurze do střediska mayských památek v Chichen Itzá – pyramida výšky 25 m. Foto B. Vybíral
R≥
de = n
⎛ M =⎜ ⎜ 4 / 3π R3 m p ⎝
Odtud dostaneme
T ( He) =
−1 / 3
.
(8)
c) Podle zadání předpokládáme, že de ≥ λe/2-1/2. Pro elektron platí vztahy analogické rovnicím (5) a (2). Úpravou těchto rovnic společně s rovnicemi (6), (7) a (8) dostaneme odhad
ε 01 / 2 h 2 . qme3 / 4 m 5p / 4 G 1 / 2
4q 2 h = . 4πε 0 m He v k2 ( He) 21 / 2 m He v k ( He)
Dále ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ 4
d) Číselně R ≥ 6,9 ∙ 107 m = 0,10 R (Slunce). e) Ze vztahu (7) a předchozích numerických výsledků dostaneme M ≥ 1,7 ∙ 1029 m = 0,08 M (Slunce). 6. Pro helium píšeme
b) Zřejmě −1 / 3 e
4
v k ( He) =
M . 4 / 3πR 3 m p
337
21 / 2 q 2 = 2,0 ∙ 106 m s-1. πε 0 h
v k2 ( He)m He = 6,5 ∙ 108 K. 3k
Tento výsledek řádově odpovídá odhadům modelů hvězd.
Literatura [1] M. Randa, J. Kožuško: Čs. čas. fyz. 62, 391 (2012). [2] http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/syllabus.html [3] http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions.html
Mexiko MFO: Diplomy a medaile českých soutěžících.
http://ccf.fzu.cz
