APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Aplikovaná optika a elektronika · Modul 01

© Miloslav Švec a Jiří Vondrák, Brno 2004

- 2 (32) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ………………………………………………………………………...5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................5 1.5 Metodický návod na práci s textem (nepovinné) ..................................5 2 Úvod do aplikované optiky ..........................................................................7 2.1 Světlo jako elektromagnetické záření ...................................................7 3 Základy geometrické optiky ........................................................................9 4 Základy vlnové optiky................................................................................13 4.1 Interference světla ...............................................................................13 4.2 Difrakce světla ....................................................................................15 4.3 Polarizace světla..................................................................................17 5 Optické zobrazení .......................................................................................19 5.1 Ideální optické zobrazení ....................................................................19 5.2 Základní pojmy a znaménková konvence ...........................................20 5.3 Zobrazení sférickou a rovinnou plochou ............................................21 5.3.1 Gaussova zobrazovací rovnice..............................................21 5.3.2 Zobrazování centrovanou soustavou sférických ploch .........23 5.3.3 Zobrazení tlustou čočkou......................................................24 5.3.4 Zobrazení tenkou čočkou......................................................24 5.3.5 Teleskopická soustava ..........................................................25 6 Řešení úloh geometrické optiky maticovým počtem ...............................27 7 Závěr ............................................................................................................31 7.1 Shrnutí.................................................................................................31 7.2 Studijní prameny .................................................................................31 7.2.1 Seznam použité literatury .....................................................31 7.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury ...................................31 7.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................31 7.3 Klíč......................................................................................................32

- 3 (32) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Cílem předkládaného studijního textu je seznámení čtenáře se základy optiky na teoretické úrovni. Rozsah odpovídá znalostem potřebným k pochopení principů a funkce geodetických přístrojů a práce s nimi. Zde získané znalosti budou později aplikovány v tomto předmětu a dále v navazujících odborných předmětech (geodézie, fotogrammetrie aj.).

1.2

Požadované znalosti

Potřebná je znalost středoškolské fyziky a matematiky. Vyzvednout lze především znalost základních vztahů mezi fyzikálními veličinami, úpravy matematických výrazů, vztahů mezi goniometrickými funkcemi a maticový počet.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Doba potřebná k nastudování látky odpovídá výuce 2 hodin cvičení a 2 hodin přednášek týdně po dobu 5 týdnů. Jde tedy orientačně o 20 hodin. Ovšem je třeba mít na paměti, že čas potřebný ke studiu je značně individuální záležitost.

1.4

Klíčová slova

elektromagnetické vlnění, geometrická optika, interference, difrakce, polarizace, optické zobrazení

1.5

Metodický návod na práci s textem

Zde uvedené informace jsou základním materiálem pro pochopení problematiky. V rámci studia a zájmu o danou problematiku je vhodné si doplnit znalosti pročtením další literatury.

Příklady pro procvičení jsou veskrze jednoduché z pohledu použitého matematického i fyzikálního aparátu. Některé jsou ovšem řešitelné pouze pokud je student ochoten se zamyslet a chvíli logicky uvažovat. Při problémech s nalezením postupu řešení autoři doporučují konzultace (a to jak osobní, tak formou vhodných informačních technologií).

- 5 (32) -

Úvod do aplikované optiky

2

Úvod do aplikované optiky Optika je fyzikální disciplina, která studuje vlastnosti a fyzikální podstatu světla, zabývá se vzájemným působením světla a látky, studuje využití a chování světla v různých přístrojích a působení světla na základní optický receptor - lidské oko.

Podle Maxwella je světlo elektromagnetické vlnění s vlnovou délkou v rozmezí -7 asi 3,8 - 7,6.10 m. Až 23 let po zformulování teorie potvrdil Hertz experimentem šíření elektromagnetických vln volným prostorem a přibližně v téže době Boltzmann dokázal Maxwellem předpovězený fakt, že druhá mocnina indexu lomu světla n v hmotném prostředí je číselně rovna součinu dielektrické permitivity εr a magnetické permeability µr.

Na přelomu XIX. a XX. století se Planckovi podařilo vysvětlit záření černého tělesa za předpokladu, že světlo není vyzařováno spojitě, ale v určitých dávkách (kvantech) o energii E E = hν , (2.1) kde h = (6.6256 ± 0.0005).10-34 Js je tzv. Planckova konstanta, ν je frekvence daného záření. Tato kvanta (korpuskule) nazval Einstein fotony a úspěšně pomocí nich vysvětlil fotoefekt (Nobelova cena). Podle dnešních představ je tedy světlo elektromagnetické vlnění (záření) s širokým spektrem vlnových délek, foton je kvantem elektromagnetického pole. Vlnové a korpuskulární jevy jsou různé projevy jediné podstaty světla -duální vlnově-korpuskulární. Světlo jako elektromagnetické záření vzniká kvantovými přechody v atomu.

2.1

Světlo jako elektromagnetické záření

Elektromagnetické záření zahrnuje velmi širokou oblast vlnových délek od γ záření až po radiové vlny. Hranice mezi jednotlivými druhy záření jsou neostré a v podstatě dány tradicí či dohodou.

Z matematického hlediska lze elektromagnetické záření charakterizovat kmitá-

Obr. 2-1 ním vektoru elektrické E a magnetické H intenzity pole. Oba vektory kmitají se stejnou fází ve dvou navzájem kolmých rovinách obr. 2-1. Právě toto záření popsal Maxwell, a to soustavou parciálních diferenciálních rovnic, které po něm nesou jméno.

- 7 (32) -


Předpokládejme, že zdroj elektromagnetického záření vysílá do všech směrů homogenního izotropního prostoru vlnění o jediné frekvenci ν (monochromaω 1 tické, monofrekvenční). Platí ν = = , (2.2) 2π T0 kde ω je úhlová frekvence, To doba kmitu. Všechny body v prostoru kmitající se stejnou fází leží na kouli se středem v bodě zdroje Z – tzv. vlnoploše. Záření se šíří každým bodem prostoru ve směru normály n0 k vlnoploše (n0 je jednotkový vektor) rychlostí v danou vztahem v =

c

ε rµr

.

(2.3)

Je-li vzdálenost zdroje Z od místa pozorování A veliká, lze vlnoplochu považovat v určitých mezích přesnosti za rovinnou, hovoříme potom o rovinné elektromagnetické vlně. Matematicky ji lze popsat rovnicemi E = E 0 sin(ω t − k. r ) ,

H = H 0 sin(ω t − k. r ) ,

(2.4)

pro vektory elektrické a magnetické složky intenzity elektromagnetického pole. V těchto rovnicích značí E0 a H0 amplitudy kmitů v příslušných navzájem ω kolmých rovinách, r je polohový vektor, t je čas a k = n 0 je tzv. vlnový v

vektor mající směr normály k vlnoploše a určující směr šíření záření. Přejdeme-li vhodnou volbou souřadnicové soustavy (obr. 2-1) od vektorového zápisu ke skalárnímu, můžeme rovnice psát ve tvaru  E = E 0 sin ω  t − 

neboť k. r =

ω v

z   , H = H 0 sin ω  t −  v

n0 .r =

ω v

n0 .i3 =

ω v

z  , v

(2.5)

, i3 je jednotkový vektor ve směru osy z.

Experimentálně je prokázáno, že všechny fotochemické a fyziologické účinky světla jako elektromagnetického záření jsou vyvolány vektorem intenzity elektrického pole E.

V oblasti vlnových délek od 10-7 do 10-3 m nazýváme elektromagnetické vlny optickým zářením a vědu zabývající se touto oblastí záření - optikou.

Lidské oko není citlivé na celé spektrum optického záření, ale pouze na jeho velmi malou část. Oblast optického záření schopného vyvolat subjektivní zrakový vjem nazýváme viditelným světlem (stručně světlem). Dohodnuté meze vlnových délek viditelného světla jsou 3,8 - 7,8.10-7 m. Na světlo určité vlnové délky reaguje zdravé lidské oko barevným vjemem. Kontrolní otázky Čím se zabývá optika?.

Co je fyzikální podstatou světla? Řešení Odpovědi obsahuje odstavec 2.

- 8 (32) -

Základy geometrické optiky

3


Celý rozsáhlý soubor klasických optických disciplín se obvykle dělí na optiku geometrickou, vlnovou a fyziologickou. Tuto kapitolu věnujeme základům geometrické optiky, která je pro svůj aplikační charakter základem celé aplikované optiky v klasickém pojetí.

Geometrická optika popisuje chod světla na základě geometrických úvah o chování optických paprsků. Z matematického hlediska je limitním případem vlnové optiky pro λ → 0. Geometrická optika se řídí těmito zákony: Zákon o přímočarém šíření světla: Světelný paprsek lze definovat geometricky jako tečnu k dráze světla. Z fyzikálního hlediska je určen směrem vektoru šíření elektromagnetické energie (Poyntingovým vektorem). V nehomogenních prostředích se světlo šíří po obecné prostorové křivce, kterou lze získat z tzv. Fermatova principu či Malusovy věty. Rychlost šíření světla c ve vakuu je základní fyzikální konstantou, -1 určenou dnes s vysokou přesností c=(299 792 456.2 ± 1.1) m.s . V každém opticky homogenním prostředí je rychlost šíření světla konstanta menší než rychlost světla ve vakuu. Zákon o vzájemné nezávislosti paprsků: Také tento zákon je idealizací a z hlediska vlnové optiky obecně neplatí. Za určitých podmínek se světelné paprsky, které se setkají v jednom bodě, mohou ovlivňovat (např. interferencí). Zákon odrazu: Na obr. 3-1 jsou uvedeny geometrické poměry při odrazu a lomu dopadajícího paprsku pi na rozhraní dvou optických prostředí tvořené plochou σ. Normála n0 vztyčená v bodě dopadu určuje kolmici dopadu. Rovina určená dopadajícím paprskem a kolmicí dopadu se nazývá rovina dopadu. Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu, úhel mezi kolmicí dopadu a odraženým paprskem pr je úhel odrazu. Podle zákona odrazu zůstává odražený paprsek v rovině dopadu. Všechny úhly budeme měřit vždy od kolmice dopadu. Zákon odrazu tedy (obr. 3-1) zní: α1 = − α 2 . Zákon lomu: Podle zákona lomu je poměr sinu úhlu dopadu a sinu úhlu lomu pro každá dvě izotropní (optické vlastnosti v různých směrech jsou stejné) prostředí konstantní. Z Huygensova principu plyne, že tato konstanta (absolutní index lomu) je rovna poměru rychlostí v těchto prostředích.

Obr. 3-1.

- 9 (32) -


ni =

c , i = 1; 2; …. vi

(3.1)

Poměr sinu úhlu dopadu a sinu úhlu lomu je roven převrácené hodnotě poměru příslušných absolutních indexů lomu (Snelliův zákon). n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2 = konst. (3.2) Protože rychlost světla v hmotném prostředí je vždy menší než ve vakuu, je absolutní index lomu vždy větší než jedna pro každé hmotné prostředí n ≥ 1 .

Zákon o záměnnosti chodu paprsků: Změnit chod optického paprsku v opačný lze například odrazem na rovinném zrcadle, jestliže úhel dopadu na zrcadlo je roven 0. Frekvence monochromatického světla je dána vlastnostmi zdroje a zůstává v každém nepohybujícím se prostředí, jímž světlo prochází, konstantní. S vlastnostmi prostředí se mění rychlost světla, mění se nutně vlnová délka světla. Substitucí n1 = - n2 přecházejí vztahy pro lom ve vztahy pro odraz! Totální odraz (obr. 3-2): Předpokládejme, že světlo prochází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího, tj. n1 > n2. Pak existuje takový úhel dopaπ du, pro nějž je úhel lomu α 2 = 2

(viz obr. 3-1). Je-li sinus úhlu lomu větší než jedna. neexistuje k této hodnotě žádný reálný úhel, lom nenastává - nastává totální odraz.

Obr. 3-2 Příklad 3.1

a) Jaká je frekvence světla o vlnové délce 5.10-7 m (ve vakuu)?

Příklad 3.2 a) Jaká je rychlost světla vlnové délky 5.10-7 m (ve vakuu) ve skle, jehož index lomu pro tuto vlnovou délku je 1,5? b) Jaká je vlnová délka tohoto světla ve skle? Příklad 3.3 Pohár s rovným dnem je naplněn alkoholem (na = 1,361). Druhý, stejný pohár je naplněn z části vodou (nv = 1.333), z části minerálním olejem (no = 1,473), který na vodě plave. Výška poháru je 100 mm, tloušťka olejové vrstvy je taková, že v obou pohárech je stejný počet vln, prochází-li jimi světlo svisle dolů. Jaká je tloušťka vrstvy minerálního oleje?

- 10 (32) -


Příklad 3.4

α1

n1

Pod jakým zorným úhlem vidí ryba zataženou oblohu? (nv = 1,33) (viz obr.).

nv

α2

Příklad 3.5 Světlo dopadá pod úhlem 45o na horní stěnu skleněné krychle o indexu lomu 1,414. Bude paprsek totálně odražen svislou stěnou krychle?

α2

R

Řešení Řešení příkladu 3.1: λ=c/ν, tj. ν=c/λ=6 10-14 s-1,(pro c=3 108 ms-1). Řešení příkladu 3.2: a) vS=c/nS=2 108 ms-1, b) ν=c/λ0=vS/λS, λS=vS λ0/c= λ0/n=3,3 10-7 m. Řešení příkladu 3.3: optické dráhy světla jsou v obou případech stejné: hna=hono+hvnv, h=ho+hv, odtud ho=h(na-nv)/(no-nv)=0,02 m. Řešení příkladu 3.4: podle obr. je sinα2=1/nv, kde nv=1,33. Odtud α2=48°45´12´´. Zorný úhel je α=2 α2=97°30´25´´. Řešení příkladu 3.5: ze zákona lomu na obou stěnách plyne: β1=30°00´18´´, sin β2=nScos β1/n1=1,22. Neexistuje reálný úhel β2, paprsek bude totálně odražen. Kontrolní otázky Vyjmenujte zákony geometrické optiky. Co je "totální odraz"? Definujte "index lomu". Řešení Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v kapitolách 2 a 3. Informace Pokud jste zvládli kapitoly 2 a 3 máte za sebou úvodní část předmětu. Tato část představuje opakování gymnaziální látky a rozšíření znalostí pro absoluventy ostatních středních škol. Jste tedy již vybaveni pro pokračování ve studiu následujících mírně obtížnějších pasáží.

Na následující straně máte pro informaci přehled dohodového rozdělení světla podle barev, resp. celého oboru elektromagnetických vln, tak jak je obvykle uváděno v odborné literatuře.

- 11 (32) -


barva

vlnová délka ve vakuu

frekvence

(10-7 m)

(1014 s-1)

červená

7,80 - 6,22

3,84 - 4,82

oranžová

6,22 - 5,97

4,82 - 5,02

žlutá

5,97 - 5,77

5,02 - 5,20

zelená

5,77 - 4,92

5,20 - 6,09

modrá

4,92 - 4,55

6,09 - 6,59

fialová

4,55 - 3,80

6,59 - 7,89

dohodnuté oblasti barev ve frekvenčním a délkovém vyjádření

ν (s-1)

λ (m)

Druh záření

1022

10-13

γ - záření

10-10

Rentgenovo záření

1020

Ultrafialové záření 10-7 1015

Viditelné světlo

10-6 10-5

Infračervené záření

Mikrovlny 1010 100

Radiové vlny 105 105 přehled druhů elektromagnetického záření různých vlnových délek a frekvencí spolu s jejich dohodnutým názvoslovím

- 12 (32) -

Základy vlnové optiky

4


4.1

Interference světla

Interference je spolu s difrakcí a polarizací základním projevem vlnové povahy světla. Je důsledkem interakce světelných vln. Formálně lze interferenční jevy rozdělit např. takto: • Dvoupaprsková interference

- dělení vlnoplochy primární vlny, - dělení amplitudy primární vlny (interference na planparalelní desce, interference na klínové vrstvě),

• Mnohopaprsková interference

- rozdělení vlnoplochy na řadu samostatných vln (mřížka), - rozdělení amplitudy na polopropustných rozhraních,

• Interference polarizovaných vln, • Interference dopadající a odražené vlny - holografie.

Výsledný interferenční jev – tj. intenzita výsledného vlnění je funkcí fázového rozdílu ϕ 2 − ϕ 1 . Podmínkou vzniku časově stabilního interferenčního jevu je podle (3.1) časově konstantní fázový rozdíl ϕ 2 − ϕ 1 = konst. Předpoklad o interakci rovinných monochromatických vln, pro něž je tato podmínka splněna, je v praxi nerealizovatelný a je idealizací problému. Museli bychom vytvořit dva naprosto stejné atomární zdroje světla, což není možné. Obecně lze však λ ukázat, že u zdroje, jehož lineární rozměr a je a ≤ , lze uvnitř aperturní4 sin α ho úhlu 2α pozorovat interferenci monochromatického světla s vlnovou délkou λ. Tento vztah se nazývá podmínka koherence, světlo vycházející z takového zdroje je koherentní. Stabilní interferenční jev mohou vytvořit pouze koherentní vlny, tj. pouze vlny vycházející z jediného zdroje, a to ještě za určitých předpokladů. Z podmínky koherence vyplývá, že interferenci lze efektivně pozorovat pouze tehdy, je-li lineární rozměr a zdroje světla řádu vlnové délky světla. Počátkem minulého století se Youngovi podařilo sestavit experiment, jehož výsledkem bylo pozorování interferenčního jevu (obr. 4-1). Podle Huygensova principu jsou štěrbiny Z1 a Z2 sekundárními zdroji světla, oba zdroje vysílají vlnění, jehož původ je v jediném primárním zdroji Z, jsou zdroji koherentního světla. Za stínítkem spolu obě vlnění interagují. Intenzita světla v každém bodě za stínítkem závisí na fázovém rozdílu ϕ 2 − ϕ 1 obou sekundárních vlnění. Intenzita bude maximální pro fázový rozdíl ϕ 2 − ϕ 1 = ∆ϕ = 2 mπ a minimálObr. 4-1 - 13 (32) -


ní pro ∆ϕ = (2m + 1)π , kde m je celé číslo. Optická dráha paprsku je definovaná součinem geometrické dráhy a indexu lomu daného prostředí. Dráhový rozdíl dvou interferujících paprsků je rozdíl jejich optických drah. Fázovému rozdílu 2π odpovídá dráhový rozdíl λ, fázovému rozdílu ∆ϕ odpovídá dráhový 2π rozdíl δ. Odtud plyne vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem ∆ϕ = δ. λ Dosadíme-li sem za fázový rozdíl ∆ϕ, dostaneme podmínku maxima a minima interference v dráhovém vyjádření maximum pro

δ = mλ = 2m

minimum pro

δ = (2m + 1)

λ 2

,

(4.1)

λ

(4.2)

2

Maxima a minima se ve studované rovině budou střídat (vznikne interferenční jev). Vzdálenost dvou světlých maxim je ∆x max = 2 ∆x =

L λ . Mají-li být mad

xima a minima spolehlivě rozlišena, je třeba, aby vzdálenost L byla o několik řádů větší než vzdálenost d obou štěrbin Pro fázi odraženého paprsku platí: • odrazí-li se vlnění na rozhraní mezi prostředím opticky řidším a opticky hustším, změní se jeho fáze v opačnou (tj. o π), • odrazí-li se na rozhraní mezi prostředím opticky hustším a opticky řidším, jeho fáze se nemění. Dráhový rozdíl se změní o

λ 2

v prvním a nezmění ve druhém případě.

Na obr. 4-2 je znázorněna klínová vrstva s malým úhlem γ. Monochromatické světlo nechť dopadá na vrstvu svisle shora. Úhel dopadu paprsků na horní rozhraní je v prvním přiblížení nulový. Dráhový rozdíl interferujících paprsků v bodě C1 resp. C2 je podle roven λ λ δ 1 = 2 nd 1 + resp. δ 2 = 2 nd 2 + 2

2

Jsou-li C1 a C2 body sousedních maxim, musí platit δ 1 − δ 2 = λ , tj. λ 2 n (d 2 − d 1 ) = λ . Odtud d 2 − d 1 = . 2n

Interferencí vzniknou světlé a tmavé proužky rovnoběžné s hranou klínu Je-li vzdálenost mezi dvěma sousedd − d1 λ ními světlými proužky ∆x, pak pro úhel klínu plyne γ = 2 = . ∆x 2 n∆x Obr. 4-2

- 14 (32) -


4.2

Difrakce světla

Difrakcí světla rozumíme každou odchylku od přímého směru šíření světelných vln, kterou nelze získat metodami geometrické optiky (tedy kromě odrazu, refrakce optických paprsků v prostředí se spojitou i diskrétní změnou indexu lomu ap.).

Řešení problémů spojených s difrakcí (ohybem) světla představuje obecně využití Maxwellových rovnic. Předpokládejme, že bodový zdroj světla Z umístěný před neprůhledným stínítkem s otvorem AB vysílá sférickou vlnu. Obr. 4-3 Obr. 4-4 Dosáhne-li čelo vlny v čase t stínítka, vymezí z něho otvor úsek ABC (viz obr. 4-3). Podle Huygensova principu se každý bod tohoto úseku stává zdrojem sekundárního vlnění. Čelo vlny v čase t + dt je obálkou sekundárních sférických vln s poloměry c.dt a se středy na úseku ABC primární vlny. Fresnel předpokládal, že sekundární vlny za otvorem (i mimo oblast geometrického stínu) spolu vzájemně interferují - vzniká difrakční (ohybový) jev (Huygens-Fresnelův princip).

Z bodu P opíšeme koncentrické koule s poloměry r , r +

λ

 λ , r + 2  , L Tato  2 2

soustava sfér vymezí na kouli F oblasti tvaru sférických vrstev, tzv. Fresnelovy zóny. Vlnění dvou sousedních zón jsou proti sobě fázově posunuta o π. Intenzita ve středu P difrakčního obrazce je maximální, při vzdalování od bodu P v rovině kolmé na osu ZP a procházející bodem P monotónně klesá. Obecně propouští-li otvor lichý počet Fresnelových zón (N = 2m + 1), je střed difrakčního obrazce v bodě P světlý. Propouští-li otvor sudý počet Fresnelových zón (N = 2m), je střed difrakčního obrazce v bodě P tmavý. Označíme-li vzdálenost zdroje Z od otvoru l1 a vzdálenost bodu P od otvoru l2, je poloměr vnějšího okraje m-té Fresnelovy zóny roven R m =

l 1l 2 mλ . l1 + l 2

Intenzitu světla v bodě P lze tedy podstatně zvýšit, zakryjeme-li v difrakčním otvoru všechny sudé či liché Fresnelovy zóny (zónová mřížka). Mnohem významnější než difrakce sférických vln (Fresnelova difrakce) je v aplikované optice (optice přístrojů) difrakce rovinných vln. Teorii difrakce rovnoběžných paprsků rozpracoval Fraunhofer, hovoříme tedy o Fraunhoferově difrakci. Nechť na štěrbinu šířky b dopadá kolmo rovnoběžný svazek monochromatického světla (obr. 4-5). Optický stav za štěrbinou určíme podle HuygensFresnelova principu jako superpozici koherentních sekundárních vln vystupují-

- 15 (32) -


b 2

cích z různých bodů čela vlny na štěrbině. Platí E ≈ ∫ e ikx sin ϑ dx , kde k je abso-

b 2

lutní hodnota vlnového vektoru, kxsinϑ je fázové posunutí paprsku vzdáleného x od středu štěrbiny a svírajícího úhel ϑ s paprskem jdoucím středem štěrbiny. V nekonečnu vzniknou difrakční proužky. Poloha prvního minima intenzity je dána podmínkou π b sin ϑ = mπ , m = 0, ± 1, ± 2, L neboli λ b sin ϑ = mλ .

Prakticky nejdůležitější je případ Fraunhoferovy difrakce na kruhových otvorech (clony, obruby čoček apod.). Difrakční obrazec má tvar koncentrických Obr. 4-5 světlých a tmavých kroužků s výrazným světlým středem (Airyho oblast). Poloha tmavých kroužků je dána přibližnou m - 1 λ  rovnicí ϑ min =  0,61 + (4.4).  , m je celé číslo 

2  r0

Difrakční účinky (zvětšení difrakčních úhlů) lze zvýšit použitím difrakční mřížky. Lineární difrakční mřížka je tvořena soustavou rovnoběžných štěrbin, na těchto štěrbinách dochází k mnohopaprskové interferenci. Označme b šířku štěrbiny, a vzdálenost mezi štěrbinami, d = a + b je tzv. mřížková konstanta. Nechť na mřížku dopadá kolmo rovinná monochromatická vlna. Fázový rozdíl mezi sekundárními vlnami vystupujícími ze sousedních štěrbin je roven 2π ϕ = kd sin ϑ = d sin ϑ . λ Ve směrech, v nichž je splněna podmínka, d sin ϑ = mλ , vznikají tzv. hlavní maxima intenzity. Číslo m určuje řád hlavních maxim (řád spektra). Pokud p  d sin ϑ =  m +  λ , p = 1, 2, L , N - 1 . V těchto směrech je intenzita nulová.  N

Při velkém počtu N štěrbin jsou hlavní interferenční maxima velmi ostrá, vedlejší minima naopak slabá. V monochromatické světle je obraz vytvořený difrakční mřížkou tvořen úzkými světlými proužky oddělenými prakticky úplně černými pásy. Při osvětlení mřížky bílým světlem vzniká pro ϑ = 0 bílý pruh. Pro m = ±1 vzniknou zprava i zleva od středního bílého pruhu spektra prvého řádu. Fialový okraj leží nejblíže středního bílého pruhu, červený okraj nejdále. Pro m = ±2, m = ±3, ... dostaneme spektra druhého, třetího atd. řádu rozložená symetricky vzhledem ke střednímu bílému pruhu. Jejich intenzita však rychle klesá. Difrakční mřížka je základní částí všech přesných spektrálních přístrojů.

- 16 (32) -


4.3

Polarizace světla

Interferenční a difrakční jevy uvedené v předchozích kapitolách lze získat a vysvětlit pro libovolné, příčné i podélné vlnění.

Lineárně polarizovanou vlnou nazýváme takovou vlnu, u níž kmitání vektoru E probíhá v jedné, časově i prostorově stálé rovině (kmitová rovina). Protože polarizovat lze pouze vlnu příčnou, je možno považovat polarizaci za důkaz příčného charakteru světelných vln. Přirozené světlo vysílané přirozenými zdroji je nepolarizované. Každou takovouto nepolarizovanou vlnu lze získat superpozicí dvou lineárně polarizovaných vln, jejichž kmitové roviny jsou na sebe kolmé a jejichž fáze jsou si rovny. Z rozboru Fresnelových koeficientů plyne, že nulový může být pouze koeficient složky odražené kmitající v rovině rovnoběžné s rovinou dopadu a to při podmínce (obr. 4-7) π α 1 + α 2 = , kde α1 je úhel dopadu, α2 úhel 2

Obr. 4-7

n  π − α B  , neboli tan α B = 2 .  2 n1

lomu. Při označení α1=αB je n 1 sin α B = n 2 sin

Tento vztah se nazývá Brewsterův zákon. Dopadá-li na rovinné rozhraní dvou dielektrik nepolarizované světlo pod úhlem αB, je odražené světlo lineárně polarizované v rovině kolmé k rovině dopadu (polarizace odrazem). Příklad 4.1 a) Určete tloušťku mydlinové blány (n = 1,33), na níž by se odráželo žluté světlo vlnové délky λ = 6.10-7 m. Předpokládejte kolmý dopad a odraz prvního řádu.

Příklad 4.2 Proužek papíru vložený mezi dvě skleněné planparalelní destičky na jednom jejich konci vytvoří velmi tenkou klínovou vrstvu vzduchu. Při kolmém osvětlení světlem sodíkové výbojky (vlnová délka λ = 5,896.10-7 m) vzniknou světlé a tmavé interferenční pruhy. Na 10 mm délky měřené ve směru kolmém na hranu klínu se jich vytvořilo 10. Určete úhel klínové vrstvy. Příklad 4.3 Rovinná monochromatická vlna dopadá kolmo na rovinnou difrakční mřížku. Počet čar mřížky na 10 mm je 5000. Najděte úhel deviace této spektrální čáry ve spektru prvního, druhého a třetího řádu, je-li vlnová délka světla 6.10–7 m. Řešení Řešení příkladu 4.1: podmínka maxima interference na mydlinové bláně tloušťky d pro vlnovou délku λ je 2nd+ λ/2=2k λ/2. Odtud d=(2k-1) λ/4n. Pro k=1 je d=1,13 10-7 m.

- 17 (32) -


Řešení příkladu 4.2: pro úhel klínové vrstvy platí α=(d2-d1)/l. Z podmínky maxima pro světlo vlnové délky λ o tlošťky vzduchové vrstvy d1 a d2 je 2nd1+ λ/2=2k λ/2, 2nd2+ λ/2=2(k+10) λ/2. Odečtením obou těchto rovnic a dosazením do výrazu pro α dostaneme α=5 λ/nl=1´00,8´´. Řešení příkladu 4.3: platí dsinα=kλ, kde d=1/N, N je počet čar na metr délky mřížky. Odtud sinα=kNλ, tj. sinα=0,3k. Pro k=1 α1=17°27´27´´, pro k=2 α2=36°52´11´´, pro k=3 α3=64°09´29´´. Kontrolní otázky Co je podstatou jevů interference, difrakce a polarizace a čeho jsou tyto jevy projevem?

Který jev prokazuje, že světlo je příčné vlnění? Co je mřížková konstanta? Jaký je základní fyzikální rozdíl mezi Fresnelovou a Fraunhoferovou difrakcí? Řešení Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v kapitole 4. Informace Kapitola Základy vlnové optiky je nejobtížnější částí tohoto učebního textu. Jejím pochopením jste získaly náhled na světlo jako na vlnění. Získané znalosti jsou v dané oblasti sice pouze základní, ale dostačující pro účely vzdělání v oblasti geodézie. Problémy s difrakcí, otázka interference na tenkých vrstvách (antireflexni vrstvy) a další zde pojednané otázky přináší řadu omezení a nároků na technicko-optickou stránku konstrukce a fungování geodetických přístrojů (ale i např. na fotogrammetrické kamery atd.)

- 18 (32) -

Optické zobrazení

5

Optické zobrazení

5.1

Ideální optické zobrazení

V této kapitole pojednáme o široké oblasti optiky - o teorii optického zobrazování, která tvoří podstatnou část celé geometrické optiky.

Při optickém zobrazování vstupují mezi svítící objekty a oko další optické prvky, které mění chod optických paprsků. Proto může být svazek optických paprsků vycházející z předmětového bodu změněn (transformován) tak, že se paprsky sbíhají v dalším bodě nebo že se při pozorování okem jeví, jakoby vycházely z jiného než původního předmětového bodu. Homocentrický svazek paprsků je tedy při optickém zobrazení transformován v jiný homocentrický svazek paprsků, jehož vrcholem je obrazový bod. Homocentrický svazek paprsků je svazek paprsků, který má jediný průsečík - může být i nevlastní, tj. v nekonečnu. Optické zobrazování je prakticky transformace trojrozměrných předmětů na obrazy v rovině stínítka, které je dvojrozměrné. Omezíme-li se rovněž na dvojrozměrné předměty, lze podmínku ideálního optického zobrazení matematicky  x′ y′ ,  , kde I, I′ jsou funkce rozložení intenziβ β

formulovat takto I ′ ( x ′, y ′) = kI 

ty světla v předmětové a obrazové rovině, k je konstanta charakterizující intenzitu obrazu, β =

x′ y′ = = konst. je tzv. příčné zvětšení. Lze ukázat, že optický x′ y

systém, má-li zachovat podmínky ideálního zobrazení, musí pracovat tak, že každému bodu předmětu přiřadí právě jeden bod obrazu, bod se zobrazí v bod, přímka v přímku a rovina v rovinu. Reálným zobrazením bodového zdroje nazýváme takovou transformaci, kdy křivost kulové plochy mění své znaménko (obr. 51). V takovém případě lze obraz zachytit na stínítko. Virtuálním (neskutečným) zobrazením je takové optické zobrazení, které Obr. 5-1 nemění znaménko křivosti vlnoplochy, při transformaci se mění pouze skokem velikost křivosti (obr. 5-2). Světlo se jeví po průchodu optickým systémem, jakoby vycházelo z virtuálního (zdánlivého) obrazu P′. Virtuální obraz nelze zachytit na stínítku, neboť bychom tím znemožnili vstup světla do optického systému. Přesto jej však můžeme Obr. 5-2 okem pozorovat, neboť optická soustava oka vytváří z divergentního svazku svazek konvergentní, který vytváří na sítnici oka reálný obraz. - 19 (32) -


Na závěr je třeba uvést, že ideální optické zobrazení nelze realizovat. Tomuto matematickému požadavku se lze pouze přiblížit. Zavádí se proto také často ještě pojem dokonalé optické zobrazení, při němž receptor (oko, detektor záření, fotografická emulze apod.) neregistrují odchylky od zobrazení ideálního.

5.2

Základní pojmy a znaménková konvence

Svítící bod P zobrazovaného objektu nazýváme předmětovým bodem (P). Vrchol transformovaného homocentrického svazku příslušejícího předmětovému bodu P nazýváme obrazovým bodem a značíme P′, body P a P′ jsou opticky sdružené (konjugované) body optického zobrazení.

Transformace optických svazků se provádějí lomy a odrazy na vhodných rozhraních. Systém těchto rozhraní se nazývá optická soustava, prostor před optickou soustavou je předmětový prostor, za optickou soustavou obrazový prostor. V praxi se nejčastěji využívají k optickému zobrazení kulové event. rovinné plochy. Jsou-li uspořádány tak, že středy křivosti všech sférických ploch leží na jedné přímce a rovinné plochy jsou na tuto přímku kolmé, jedná se o soustavu opticky centrovanou, spojnice středů křivosti se nazývá optická osa. Bod na optické ose sdružený s předmětovým bodem v nekonečnu se nazývá obrazové ohnisko F′. Bod na optické ose sdružený s obrazovým bodem v nekonečnu se nazývá předmětové ohnisko F. Předmětové ohnisko F a obrazové ohnisko F′ nejsou však opticky sdružené body. Poměr dvou délek sdružených úseček v prostoru obrazovém a předmětovém se nazývá zvětšení. Osové (axiální) zvětšení α je poměr dvou délek sdružených úseček z′, z rovnoběžných s optickou osou, příčné zvětšení β je poměr délek dvou sdružených úseček kolmých k optické ose a úhlové zvětšení γ je poměr velikosti dvou úhlů u′, u které svírají sdružené paprsky s optickou osou: α=

z′ z

, β=

x′ y′ = x y

, γ =

u′ . u

Hlavní body H, H′ optické soustavy jsou sdružené body na optické ose, v nichž je příčné zvětšení rovno +1. Uzlové body L, L′ jsou sdružené body na optické ose, v nichž je úhlové zvětšení rovno +1. Ohniska, hlavní a uzlové body jsou základní (kardinální) body optické soustavy. Roviny jdoucí těmito body kolmo k optické ose se nazývají ohniskové, hlavní a uzlové. Optická soustava je jednoznačně určena, jsou-li známy polohy ohnisek a hlavních nebo uzlových bodů. Vzdálenost předmětového ohniska F od předměto-

Obr. 5-3

- 20 (32) -

Optické zobrazení

vého hlavního bodu H se nazývá předmětová ohnisková vzdálenost f, vzdálenost obrazového ohniska F′ od obrazového hlavního bodu H′ je obrazová ohnisková vzdálenost f′. Jenská znaménková konvence zavedená jenskou školou optiků (obr. 5-3). Znaménková konvence 1. Světlo dopadá na optickou soustavu zleva. Počátkem soustavy souřadnic v předmětovém prostoru je hlavní bod H, v obrazovém prostoru hlavní bod H′. Osu souřadnic s resp. s′ ztotožníme s optickou osou soustavy (z). Orientujeme s i s′ ve směru postupu světla před dopadem na optickou soustavu. Kladná osa y resp. y′ směřuje vzhůru, tzn. že délky úseček nad optickou osou kolmé k optické ose budou kladné, pod optickou osou záporné. 2. Poloměr křivosti r lámavé resp. odrazné plochy je kladný, leží-li střed křivosti napravo od vrcholu plochy, a záporný, leží-li nalevo od vrcholu. Je tedy znaménko poloměru křivosti kladné pro konvexní (vypuklou) plochu, záporné pro konkávní (dutou) plochu. 3. Úhly budeme měřit vždy od kolmice dopadu k paprsku nebo od optické osy k paprsku, a to kladně v matematicky kladném smyslu, záporně v matematicky záporném smyslu. Měření vzdáleností podle této konvence se týká tzv. Gaussových zobrazovacích rovnic. Při použití maticového počtu měříme vzdálenosti vždy mezi referenčními rovinami a to kladně ve směru chodu optického paprsku před dopadem na optickou soustavu. Všechny ostatní úmluvy znaménkové konvence zůstávají v platnosti.

5.3

Zobrazení sférickou a rovinnou plochou

5.3.1

Gaussova zobrazovací rovnice

K libovolnému paprsku vycházejícímu z předmětového bodu P(s) máme najít paprsek transformovaný kulovou lámavou plochou.

Za počátek soustavy souřadnic zvolme vrchol lámavé plochy. Ukážeme později, že tato volba je v souhlase se znaménkovou konvencí, že vrchol jediné lámavé plochy je totožný s hlavními body této plochy. Index lomu před lámavou plochou je n, za lámavou plochou n′. Podle zákona lomu a s ohledem na znaménkovou konvenci lze napsat soustavu rovnic pro neznámé α, α′, u, s′. Řešení této soustavy je možné pouze přibližně a navíc hodnota s′ závisí na úhlu u. Hodnota s′ je u spojných systémů maximální pro u → 0 a zmenšuje Obr. 5-1. se pro rostoucí úhel u. Kulová lámavá plocha tedy zobrazuje bod P v úsečku P′P′′ a nesplňuje tedy fokuzační podmínku ideálního zobrazení.

- 21 (32) -


Předpokládejme, že zobrazení je realizováno pouze paprsky, které s optickou osou svírají malý úhel u, tj. že sinu ≈ u, sinu′ ≈ u′, sinα ≈ α a sinα′ ≈ α′. Pak lze výše uvedené vztahy napsat ve tvaru nα = n ′ α ′ , r−s u, α= r u′ = u − α + α ′ , s′ − r u′ . α′ = − r

Řešením této soustavy pro osovou obrazovou vzdálenost s′ dostaneme n′ n n′ − n . − = s′ s r

(5.1)

Při použití rovnice (5.1) je třeba mít stále na zřeteli, že platí jen přibližně, pouze pro paprsky, které svírají s optickou osou malé úhly u. Prostor, v němž platí (s požadovanou přesností) sinu = u, se nazývá paraxiální (Gaussův) prostor. Paprsky z tohoto prostoru (paraxiální) zprostředkují dokonalé zobrazení. Pravá strana rovnice (5.1) nezávislá na poloze zobrazovaného bodu závisí pouze na vlastnostech prostředí před (n) a za (n′) lámavou plochou a na konstrukci lámavé plochy (r) a nazývá se optická mohutnost - lámavé plochy Φ=

n′ − n . r

(5.2)

(rozměr m-1, jednotka dioptrie). Gaussova zobrazovací rovnice pro lom na kulové ploše má pak tvar

n′ n − =Φ . s′ s

Pro kulovou lámavou plochu lze odvodit

(5.3) f′ n′ =− . f n

(5.4)

Tyto vztahy platí obecně pro všechny centrované soustavy. Pak vždy f, n jsou ohnisková vzdálenost a index lomu v předmětovém prostoru, f′, n′ v obrazovém prostoru. Ohniskové vzdálenosti jsou v poměru indexů lomu a leží na opačných stranách optické soustavy. Ohniskové vzdálenosti f a f′ jsou důležitými parametry každé optické soustavy. Vyjádříme s jejich pomocí Gaussovu zobrazovací rovnici (5.1). Vydělíme-li tuto rovnici pravou stranou (optickou mohutností Φ)

f′ f + =1 s′ s

(5.5)

To je Gaussova zobrazovací rovnice pro kulovou lámavou plochu vyjádřená pomocí ohniskových vzdáleností f a f′. Kromě Gaussova tvaru zobrazovacích rovnic se také používá tzv. Newtonův tvar. V Newtonově zobrazovacích rovnicích se neměří osové vzdálenosti od hlavních bodů, nýbrž od ohnisek. V souhlase se znaménkovou konvencí je s = f + z , s′ = f ′ + z ′ . Po dosazení do (5.9) a úpravě dostaneme zz ′ = ff ′ .

- 22 (32) -

(5.6)

Optické zobrazení

Odvodíme velikost zvětšení pro kulovou plochu. V souhlase se znaménkovou konvencí je y = s tan α , y ′ = s ′ tan α ′ . Pro paprsky v paraxiálním prostoru platí s′ α ′ y = sα , y ′ = s′ α ′ . Je tedy β = . (5.7) s α Úhlové zvětšení je rovno γ = γ ≈

Odtud α0 =

1

β

n y n 1 = . n′ y′ n′ β

(5.8)

. Označíme-li α0 axiální (úhlové ) zvětšení, lze odvodit, že

β . γ

Substitucí n ′ = − n

(5.9)

přecházejí vztahy odvozené pro lom ve vztahy pro odraz. Toho využijeme pro jednoduché odvození zobrazovacích rovnic pro odraz na kulové ploše. Pro odraz na kulové ploše tak platí: Φ=−

1 1 2 + = (Gaussova zobrazovací rovnice), s′ s r

r 2n s′ , f = f′ = , β = − . r 2 s

Polohu obrazu vytvořeného rovinným lámavým rozhraním určíme pro paraxiální paprsky ze vztahu (5.1), v němž položíme r → ∞ . Pak s′ =

n′ s . Pro opticn

kou mohutnost rovinného lámavého rozhraní dostaneme Φ = 0, z čehož plyne f = f ′ = ∞ . Optickou soustavu, pro niž Φ = 0 , nazýváme afokální soustavou. Např. rovinné zrcadlo je afokální optickou soustavou β = 1 .

5.3.2

Zobrazování centrovanou soustavou sférických ploch

Centrovanou soustavou kulových lámavých ploch jsme definovali takový systém kulových lámavých ploch, jejichž optické osy jsou totožné. V paraxiálním přiblížení transformuje centrovaná soustava homocentrický svazek opět v homocentrický.

Jsou-li body F a F′ ohniska celé soustavy. Přestože jednotlivé plochy 1 až k mají svá vlastní ohniska F1, F1′, ... , Fk, Fk′ charakterizují centrovanou soustavu právě tak pouze dvě ohniska F a F′, jako jedinou lámavou plochu. Opět lze tedy soustavu popisovat jako celek. Analogicky lze odvodit, že centrovanou soustavu charakterizují pouze dva hlavní body H a H′, tj. body na optické ose, v nich je příčné zvětšení transformace přes celou optickou soustavu rovno +1. Jsou-li známy polohy ohnisek F a F′ a polohy hlavních bodů H a H′ celé optické soustavy, lze z polohy předmětu konstruovat polohu obrazu, aniž bychom museli konstruovat postupné meziobrazy vytvořené jednotlivými optickými rozhraními (obr. 5-2). Protože podle znaménkové konvence měříme osové vzdálenosti s a s′ od hlavních bodů H a H′, nemá vzdálenost hlavních rovin (obr. 5-2) vliv na jejich hodnoty.

- 23 (32) -


Základní, obecná rovnice pro řešení centrovaných optických soustav f′ f + = 1 . (5.10) s′ s

Jsou dány dvě centrované soustavy 1 a 2. Vzdálenost ∆ mezi obrazovým ohniskem první soustavy a předmětovým ohniskem druhé soustavy se nazývá optický interval. Obr. 5-2

Je-li obrazová ohnisková vzdálenost (optická mohutnost) kladná, nazývá se optická soustava spojná, je-li záporná, nazývá se soustava rozptylná.

5.3.3

Zobrazení tlustou čočkou

Čočka je tvořena dvěma kulovými plochami o poloměrech křivosti r1 a r2, vzdálenost vrcholů obou ploch označme d. Index lomu prostředí před čočkou je n1, za čočkou n2′, index lomu optického skla je n.(obr. 5-3)

Z předchozích úvah je zřejmé, že čočku lze popsat jako systém dvou centrovaných soustav 1 a 2 kulových lámavých ploch. Pro optickou mohutnost čočky Φ n ′2 n = − 1 . Pro veličinu ∆ určíme ∆ = d - f1′ + f2 . Pro optickou mof′ f d hutnost čočky lze odvodit Φ = Φ 1 + Φ 2 − Φ 1Φ 2 . n

platí Φ =

(5.11)

Polohu hlavního bodu určíme ze vztahu h = d Podobně pro h′ je h ′ = −

n1 Φ 2 . n Φ

(5.12)

n ′2 Φ 1 . n Φ

(5.13)

Vzdálenosti h a h′ měříme od vrcholů lámavých ploch čočky.

5.3.4

Zobrazení tenkou čočkou

Je-li vrcholová tloušťka d malá ve srovnání s poloměry křivosti r1 a r2 lámavých ploch čočky, lze psát výraz pro optickou mohutnost čočky (5.11) ve tvaru Φ = Φ 1 + Φ 2 .

Tento vztah je základním vztahem pro výpočet tenké čočky. Ostatní vztahy dostaneme, položíme-li ve výrazech pro tlustou čočku d = 0. Především h = h′ = 0.

- 24 (32) -

Obr. 5-3

Optické zobrazení

Pro polohu obrazu a předmětu platí tzv. čočková rovnice měříme f =−

n1

Φ

od ,

středu f′ =

n ′2

Φ

tenké

čočky.

Pro

. Pro příčné zvětšení je β =

f′ f + = 1 , kde s a s′ s′ s

ohniskové

vzdálenosti

je

n 1 s′ . n ′2 s

V praxi je nejdůležitější případ, kdy před čočkou i za čočkou je vzduch, tj. n1 = n2′ = 1. Optickou mohutnost - tenké čočky vyjádříme pomocí poloměrů křivosti r1 a r2 Φ 1 =

n −1 , r1

 1 1 1− n . Potom Φ = ( n − 1)  −  a čočkovou r2  r1 r2 

Φ2 =

rovnici můžeme psát ve tvaru

1 1 1 s′ − = . Příčné zvětšení β = . Jednoduše s′ s f ′ s

lze také odvodit optickou mohutnost soustavy dvou tenkých čoček vzdálených od sebe d a umístěných ve vzduchu Φ = Φ 1 + Φ 2 − d Φ 1Φ 2 .

5.3.5

Teleskopická soustava

Nakonec vyšetříme centrovanou optickou soustavu, která je složena ze dvou soustav 1 a 2 umístěných tak, že obrazové ohnisko F1′ první soustavy splývá s předmětovým ohniskem F2 druhé soustavy, tzn. že optický interval je roven nule ∆ = 0.

U soustavy s nulovým optickým intervalem leží ohniska a hlavní body v nekonečnu, optická mohutnost je rovna nule. Takovou soustavu nazýváme teleskopickou či afokální (obr. 5-4). Rovnoběžný svazek paprsků dopadající na teleskopickou soustavu je zřejmě opět transformován v rovnoběžný svazek. Pro příčné zvětšení teleskopické soustavy platí podle rovnice pro obecnou centrovanou optickou soustavu β =

f2 . f1′

Jsou-li obě soustavy 1 a 2 ve vzduchu, je f2 = - f2′ a tedy β = −

f 2′ . f1′

Příčné zvětšení nezávisí na poloze předmětu a obrazu. Častěji užívanou charakteristikou než zvětšení příčné je u teleskopických soustav zvětšení úhlové γ = −

Obr. 5-4

f1′ . f 2′

Příkladem realizace teleskopické soustavy je dalekohled zaostřený na nekonečno, první optická soustava dalekohledu se nazývá objektiv, druhá soustava okulár. Úhlové zvětšení dalekohledu je tedy tím větší, čím větší je ohnisková vzdálenost objektivu vůči okuláru.

Příklad 5.1 Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo, které je nakloněno dopředu tak, že s horizontální rovinou svírá úhel α, aby osoba výšky h, jejíž oko je v kolmé vzdálenosti a od zrcadla, se v něm právě viděla celá.

- 25 (32) -


Příklad 5.2 Určete polohu obrazu rybky v akváriu, je-li ve vzdálenosti 200 mm od vnitřní skleněné stěny tloušťky 8 mm (nv = 1,33; ns = 1,50). Příklad 5.3 Duté zrcadlo má zobrazit vlákno žárovky na stínítko vzdálené 4 m od zrcadla. Vlákno je 5 m dlouhé a jeho obraz má být dlouhý 400 mm. Jaká musí být ohnisková vzdálenost zrcadla a jak daleko před vrcholem zrcadla je nutno umístit vlákno? Kontrolní otázky Co je afokální soustava?

Co vyjadřuje optický interval? Jaký je rozdíl mezi "tlustou" a "tenkou" čočkou? Jak lze snadno odvodit ze vztahů pro lom vztahy pro odraz? Úkol 5.1 Napište si Gaussovu zobrazovací rovnici v obecném tvaru a odvoďte rovnice pro zobrazení na rovinném lámavém rozhraní, rovinném zrcadle, kulové lámavé ploše a sférickém zrcadle. Řešení Řešení příkladu 5.1: Z gemetrie zobrazení rovinným zrcadlem ihned plyne pro hledanou výšku zrcadla x=(ah sinα)/(2a+h cosα). Je-li zrcadlo svislé (α=90°), plyne odtud x=h/2. Řešení příkladu 5.2: Pro zobrazení lomem na rovinném rozhraní platí Gaussova zobrazovací rovnice. Pro lom na vnitřní stěně akvária je n´=nS, n=nV, pro lom na vnější stěně je n´=1, n=nS. Celkem s2´=s1/nV-d/nS (d=8 mm, s1=-200 mm), s2´=-155,7 mm. Obraz rybky je 155,7 mm od vnější stěny akvária. osové posunutí obrazu je tedy 52,3 mm. Řešení příkladu 5.3: s=-50 mm, f=-49,4 mm. Správné odpovědi na kontrolní otázky najdete pokud je nevíte při opětovném prostudování kapitoly 5. Stejně tak řešení úkolu je obsahem 5. kapitoly. Pokud si nejste jisti, plné znění odvození najdete ve studijní literatuře [1] Informace Řešení složitých optických sostav pomocí klasické Gaussovy zobrazovací rovnice je, jak jste jistě pochopili, poměrně těžkopádné. Elegantnějším způsobem je použití maticového počtu. Ten je obsahem následujícího 6. odstavce.

- 26 (32) -

Řešeni úloh geometrické optiky maticovým výpočtem

6

Řešení úloh geometrické optiky maticovým počtem

Ideální optické zobrazení je homocentrickou transformací, kterou lze popsat  y′ 

A

B  y 

A

B

lineární transformací   =     . Matice M =  C D je maticí trans   U ′   C D  U formace optických paprsků mezi vztažnými rovinami (transformační matice optického zobrazení).

Transformační matici M soustavy centrovaných sférických lámavých či odrazných ploch lze určit kombinací matic dvou elementárních typů: translačních matic a refrakčních matic. Pro transformační matice T popisující prosté přemístění paprsku od roviny z = c k rovině z = c′ (obr. 6-1) v homogenním prostředí s indexem lomu n lze psát 1 T  t T= , kde T =  n 0 1 

a

nazývá se translační matice. (detT = 1)

Obr. 6-1 

1

0

 1

0

Matice R = − n ′ − n 1 =   popisuje lom na sférické ploše a nazývá    − Φ 1 r se refrakční matice. Opět detR = 1. (obr 6-2) Studujme optickou soustavu složenou z k lámavých ploch. Vztažnou rovinu z = c1 umístíme do vzdálenosti ta vlevo od první lámavé plochy, rovinu z = c2 a z = c3 těsně zleva a zprava kolem první plochy, roviny z = c4 a z = c5 kolem druhé plochy atd., roviny z = c2k a z = c2k+1 kolem poslední, k-té plochy , poslední rovinu z = c2k+2 umístíme ve vzdálenosti tb vpravo od poslední plochy (viz obr. 6-3). Úkolem je najít transformační matici M mezi rovinaObr. 6-2 mi z = c1 a z = c2k+2. Transformační matici mezi zvolenými krajními vztažnými rovinami dostaneme jako součin příslušných translačních a refrakčních matic Mi, i = 1, 2, ... , 2k+1. Tyto matice násobíme v pořadí od obrazu k předmětu, tj. proti směru optického paprsku před dopadem na optickou soustavu.

- 27 (32) -


obr 6-3 Transformační matice M mezi vstupní a výstupní vztažnou rovinou má tedy tvar M = M 2k +1M 2k M 2k -1 ... M 3M 2 M1 . Protože všechny matice Mi jsou unimoParametr soustavy

Měřený od-do Funkce maticových prvků n = n’ = 1

Ohnisko

F

z=c

F

Hlavní bod

H

z=c

H

Uzlový bod

L

z=c

f

H

Ohnisko

F’

z = c’

F’

Hlavní bod

H’

z = c’

H’

Uzlový bod

L’

z = c’

L’

Ohnisková vzdálenost

f’

H’

F’

Ohnisková vzdálenost

D C

D C

D −1 C

D −1 C

L

nD − n ′ C

D −1 C

F

n C

1 C

n n

− n′

A C

−

A C

1− A C

1− A C

n − n ′A C

1− A C

n′

−

n′ C

−

1 C

Tab. 6-1 dulární, je také matice M unimodulární. Je vhodné v průběhu výpočtu stále kontrolovat hodnotu determinantu jednotlivých matic M (musí být v každém kroku det M = 1). A B   je uveden v tabulce 6-1.  C D

Význam prvků matice M při označení M = 

- 28 (32) -

Řešeni úloh geometrické optiky maticovým výpočtem

Pokud ztotožníme první vztažnou rovinu z = c s levým okrajem optické soustavy, rovinu z = c′ jako poslední vztažnou rovinu s pravým okrajem optické soustavy, nazýváme transformační matici M maticí optické soustavy. Přehled základních transformačních matic geometrické optiky:

• translační matice,

1 T 0 1   

• refrakční matice,

 1 − Φ 

0 1

• R-matice odrazu,

 1 − Φ 

0 1

• transformační matice tenké čočky ve vzduchu (vakuu),

 1  1  − f ′

0  1 

• transformační matice mezi hlavními rovinami,

 1 − Φ 

0 1

• transformační matice mezi ohniskovými rovinami,

 1  1  − f ′

f ′  1 

• transformační matice mezi opticky sdruženými rovinami,

 β  − Φ 

0 1  β

• transformační matice teleskopické soustavy.

β  0 

0 1  β

Úkol 6.1 Řešte příklady 5.1, 5.2 a 5.3 pomocí maticového počtu. Úkol 6.2 Zkuste si odvodit na základě základní refrakční, resp. translační matice pro lámavou sférickou plochu tyto matice pro případ rovinných rozhraní (lámavých i odrazných) a pro případ sférického zrcadla. Kontrolní otázky Co je uzlový bod a jaké jsou další „kardinální body optické soustavy? Které jsou dvě základní transformační matice? Jak získáme transformační matici celé optické soustavy? Jak lze snadno kontrolovat průběh výpočtu transformační matice? Řešení Výsledky úkolu 6.1 se musí shodovat s výsledky získanými při řešení příkladů v předchozím odstavci. Lišit se mohou pouze o případné zaokrouhlovací chyby. - 29 (32) -


Řešení úkolu 6.2 je založeno na aplikaci substituce uvedené jako vzorec 5.9 a je obdobné jako při hledání klasické Gaussovy zobrazovací rovnice pro zadané optické prvky. Odpovědi na kontrolní otázky obsahuje text odstavců 5 a 6. pokud jste je nebyli schopni zodpovědět, vraťte se k předchozím odstavcům a zkuste to znovu. Korespondenční úkol Řešte konkrétní optickou soustavu jejíž zadání Vám bude zasláno, resp. předáno při konzultaci tutorem. Řešení bude obsahovat polohu kardinálních bodů soustavy, odpověď zda jde o soustavu spojnou či rozptylnou a nákres optické soustavy ve vhodném měřítku. Řešení lze odevzdat v rámci konzultací či poštou (klasickou i elektronickou).

- 30 (32) -

Závěr

7

Závěr

7.1

Shrnutí

V učebním textu jste se seznámili se základy teorie optických zobrazení. Dozvěděli jste se o fyzikální podstatě elektromagnetického vlnění a specifikovali si, kterou jeho část tvoří viditelné světlo. Zmínili jsme podmínky zjednodušení problému a vysvětlili si základy geometrické optiky. Ukázali jsme si důsledky vlnové povahy světla, interferenci, difrakci a polarizaci (ukázali jsme princip důkazu, že světlo je příčné vlnění). Pro účely výkladu optického zobrazování jste nastudovali Gaussovu zobrazovací rovnici a následně si ukázali řešení pomocí maticového počtu, který je možno aplikovat jednoduše i na složité optické soustavy. Předložený text je stručným výtahem základních znalostí potřebných k dalšímu studiu principů funkce a obsluhy geodetických přístrojů. K prohloubení a upevnění poznatků je vhodné prostudovat literaturu uvedenou v bodě 7.2.1. Pro ty z Vás, kteří mají hlubší zájem o problematiku lze doporučit studium pramenů uvedených v odstavci 7.2.2, případně další literaturu, kterou si sami vyhledáte, nebo jež vám na základě Vašeho zájmu poskytne tutor. Na vzniku studijní opory se kromě autorů podílela ještě kolegyně Jitka Hotovcová, které autoři velice děkují.

7.2

Studijní prameny

7.2.1

Seznam použité literatury

[1]

Švec, M. Aplikovaná optika. CERM Brno, s. r. o. 1995.

[2]

Švec, M. Příklady z aplikované optiky. CERM Brno, s. r. o. 1996.

[3]

Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fyzika. Vutium Brno, Prometheus Praha 2000.

7.2.2

Seznam doplňkové studijní literatury

[4]

Bartsch, H. J. Matematické vzorce. SNTL Praha 1987.

[5]

Fiala, P. Základy fyzikální optiky. ČVUT Praha 1999.

[6]

Vitásek, J., Soukup, F. Geodézie I/3. VUT Brno 1987.

[7]

Zeman, J. Geodézie I/1. SNTL Praha 1983.

7.2.3

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[8]

http://fyzika.fme.vutbr.cz ; stránky Ústavu fyzikálního inženýrství Fakulty strojního inženýrství. Najdete zde přednášky a další materiály k "fyzikálním" předmětům zajišťovaným tímto ústavem.

[9]

Lukin, V. P. Atmosfernaja adaptivnaja optika. Nauka Novosibirsk 1986.

- 31 (32) -


7.3

Klíč

Odpovědi na otázky, výsledky příkladů a postup řešení úkolů je obsažen v tomto učebním textu (v řešení v závěru jednotlivých kapitol, nebo přímo v textu kapitol). V případě nejasností doporučuji použít literaturu z odstavce 7.2.1 a pokud budou potíže přetrvávat obrátˇte se na tutora či jiného pověřeného pracovníka.

- 32 (32) -

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

Recommend Documents