Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy:
Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20
Číslo projektu:
CZ.1.07/1.5.00/34.0211
Název projektu:
Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu
Číslo a název klíčové aktivity:
III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Anotace Název tematické oblasti:
Diferenciální počet
Název učebního materiálu:
Aplikace derivací – výpočet lokálních extrémů
Číslo učebního materiálu:
VY_32_INOVACE_M0216
Vyučovací předmět:
Matematika
Ročník:
4. ročník vyššího gymnázia
Autor:
Jaroslav Hajtmar
Datum vytvoření:
24.11.2013
Datum ověření ve výuce:
4.12.2013
Druh učebního materiálu:
pracovní list
Očekávaný výstup:
Na základě předložených vztahů zvládne určovat stacionární body a počítat lokální extrémy funkcí.
Metodické poznámky:
Materiál je určen k motivaci a procvičení učiva o derivacích. Může být použit k získání klasifikace.
Aplikace derivací – zjišťování lokálních extrémů funkce Pru˚beˇh funkce
48
Ve 2. ročníku jsme se učili definici lokálních extrémů (resp. ostrých l.e.) – minima a maxima.
y
y
y = f (x)
y = f (x)
f (x0 ) f (x0 ) x1
O
x
x0
O
x0
O(x0 )
x
O(x0 )
a)
b)
y = f (x)
y
x1
y
y = f (x)
f (x0 ) O
x0 O(x0 )
x1
x
O
x0
x1
x2
x
O(x0 )
Připomeňme si úvahy zc) minulých hodin, které se týkají derivace funkce, závislostid)monotonnosti funkce na znaménku první derivace, připomeňme si pojem tzv. stacionárních bodů a vzpomeňme na tzv. nutnou a postačující podmínky pro existenci lokálního extrému na danémObr. intervalu. 9.2
Tedy ma´-liVfunkce f tzv. v bode ˇ x0 loka ´ lnıje-li ´ minimum, bodě 𝑥0 je stacionární bod, v tomto boděznamena 𝑓 ′(𝑥0 ) = ´0.to, zˇe v urcˇite´m okolı´ bodu x0 nenı´ mens hodnotapro nez ˇ f (xextrémy ˇ ktere´funkce m vzda leneˇjsˇ´ım intervalu: bodeˇ tomu jizˇ tak 0 ). V ne Nutnᡴıpodmínka lokální spojité na´otevřeném a 9.2jenb)v těch je fbodech (x1 ) otevřeného < f (x0 ),intervalu, avsˇak vbod ˇ dy lezˇ´ı by´t nemusı´. Napr ˇ. naextrém obr. 9.2 Lokální můžea)nastat nichžx1 vz jeˇprvní nulová v nichž první derivacefneexistuje. mimo dostatecˇne male´derivace okolı´ O(x Podobne ˇ ma ´ -li funkce v bodeˇ x0 loka´lnı´ maximum 0 ). nebo podmínka extrému spojité na oteznamena´ to, zˇePostačující v jiste´m okolı ´ boduexistence x0 nenı´ lokálního veˇtsˇ´ı hodnota nez ˇ f (xfunkce 0 ). vřeném intervalu: Lokální extrémy nastávají pouze v bodech v nichž se
Obra´zek 9.2mění d) ukazuje, zˇeprvní funkce mu˚zˇe mı´t vı´ce loka´lnı´ch extre´mu˚ — kromeˇ loka´lnı´ho znaménko derivace. maxima v bodeLok. ˇ x0 maximum ma´ jesˇteˇ nastává loka´lnı´v minimum bodeznaménko ˇ x1 a loka ´ maximum ˇ x2 . bodě, kde sevmění 1.´ lnı derivace z + na v bode −, lok. minimum v bodě, kde znaménko − na +. ´ ma´ dokonce nekonecˇneˇ Dalsˇ´ım prˇ´ıkladem mu ˚ zˇe by´t funkce f : sey mění = sin x, x ∈ zR, ktera mnoho bodu˚ loka´lnı´ho maxima („vrcholku˚“) a nekonecˇneˇ mnoho bodu˚ loka´lnı´ho minima („dolı´ku˚“). Na obra´zcı´ch 9.2 a), 9.2 b), 9.2 d) jsou v bodeˇ x0 ostre´ loka´lnı´ extre´my. Naproti tomu na obr. 9.2 c) je v bodeˇ x0 loka´lnı´ minimum, ktere´ nenı´ ostre´ (v dostatecˇneˇ male´m okolı´ jsou vsˇechny hodnoty stejne´, protozˇe funkce je zde konstantnı´). V tomto bodeˇ je dokonce soucˇasneˇ i loka´lnı´ maximum (ve vyznacˇene´m okolı´ O(x0 ) totizˇ platı´ f (x) = f (x0 )). V bodeˇ x1 te´hozˇ obra´zku je loka´lnı´ minimum, ktere´ nenı´ ostre´ (vlevo od x1 jsou vzˇdy stejne´ funkcˇnı´ hodnoty). Loka´lnı´ maximum to jizˇ pochopitelneˇ nenı´. Samozrˇejmeˇ, zˇe
Postup při hledání lokálních extrémů a maximálních intervalů ryzí monotonie: 1. Určíme 𝐷(𝑓 ). 2. Vypočítáme 𝑓 ′ a 𝐷(𝑓 ′). 3. Určíme na 𝐷(𝑓 ) stacionární body (řešíme rovnici 𝑓 ′ = 0) a body v nichž neexistuje 𝑓 ′. Tyto body jsou „podezřelé“ z toho, že v nich nachází extrém. 4. Tyto body zakreslíme do harmonogramu pro zjišťování znaménka 1. derivace a následně pomocí něj zjistíme znaménko první derivace na jednotlivých podintervalech. 5. Zjistíme, zda a jakým způsobem se v „podezřelých“ bodech mění znaménko 1. derivace a podle toho určíme druh extrému. POZOR! Ve stacionárním bodě extrém nastat může, ale také nemusí (viz funkce 𝑦 = 𝑥 3 , která má v bodě 𝑥0 = 0 sice stacionární bod, ale extrém v něm nenastává). Stejně tak může ale nemusí nastat extrém v bodě, v němž 1. derivace neexistuje. Pokud nelze nalézt stacionární bod klasickým řešením rovnice 𝑓 ′ = 0, používáme Cauchy-Bolzanovu větu (pokud u spojité funkce na uzavřeném ohraničeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ platí 𝑓 (𝑎) ⋅ 𝑓 (𝑏) < 0, pak na tomto intervalu existuje alespoň jeden nulový bod funkce 𝑓 ). Numerickými metodami (např. půlení intervalu) lze případné nulové body najít aspoň přibližně. Příklad 1: Najděte lokální extrémy a intervaly monotonnosti funkce 𝑓 : 𝑦 = 12𝑥 5 − 15𝑥 4 − 40𝑥 3 + 60.
f : y = 12x 5 − 15x 4 − 40x 3 + 60. Řešení 1:
Rˇesˇenı´. 1. D(f ) = R. 2. Vypocˇteme f 0 a D(f 0 ): f 0 (x) = 60x 4 − 60x 3 − 120x 2 ,
D(f 0 ) = R.
3. Urcˇ´ıme intervaly, na nichzˇ je f 0 kladna´, resp. za´porna´: a) Nulove´ body f 0 : f 0 (x) = 0
60x 4 − 60x 3 − 120x 2 = 0.
⇔
Jedna´ se o algebraickou rovnici cˇtvrte´ho stupneˇ, ktera´ ma´ cˇtyrˇi korˇeny (obecneˇ komplexnı´, pocˇ´ıta´no s na´sobnostı´). Ovsˇem prˇi rˇesˇenı´ teˇchto prˇ´ıkladu˚ hleda´me pouze rea´lna´ rˇesˇenı´, nebot’ chceme najı´t staciona´rnı´ body, tedy body z definicˇnı´ho oboru funkce f 0 (a ten je pro kazˇdou funkci podmnozˇinou R). Rovnici upravı´me na tvar: 60x 2 (x 2 − x − 2) = 0
252
60x 2 = 0
⇔
x 2 − x − 2 = 0.
nebo
Vyrˇesˇenı´m rovnice 60x 2 = 0 dostaneme dvojna´sobny´ korˇen x1,2 = 0 a vyrˇesˇenı´m rovnice x 2 − x − 2 = 0 obdrzˇ´ıme dalsˇ´ı dva korˇeny ( √ 2, 1± 1+8 1±3 x3,4 = = = 2 2 −1. Pru˚beˇh funkce Vsˇechny korˇeny jsou rea´lne´. Staciona´rnı´ body tudı´zˇ jsou x1,2 = 0, x3 = 2 a x4 = −1. b) D(f 0 ) rozdeˇlı´me nulovy´mi body f 0 na disjunktnı´ intervaly: (−∞, −1),
(−1, 0),
(0, 2),
(2, ∞).
c) V kazˇde´m z „dı´lcˇ´ıch“ intervalu˚ zvolı´me jeden bod a v neˇm urcˇ´ıme zname´nko funkce f 0 . Body zvolı´me naprˇ. takto: −2, − 12 , 1, 3. Pak 1 75 = − < 0, f 0 (1) = −120 < 0, f 0 (3) = 2160 > 0. f 0 (−2) = 960 > 0, f 0 − 2 4 Tedy dle Cauchyovy-Bolzanovy veˇty je f 0 na intervalech (−1, 0) a (0, 2) za´porna´ a na intervalech (−∞, −1) a (2, ∞) kladna´. 4. Intervaly monotonie a loka´lnı´ extre´my. Dle veˇty 9.1 je funkce f na intervalu (−∞, −1) rostoucı´, na intervalech (−1, 0) a (0, 2) klesajı´cı´ a na intervalu (2, ∞) opeˇt rostoucı´. Funkce f ma´ tedy v bodeˇ x4 = −1 ostre´ loka´lnı´ maximum a v bodeˇ x3 = 2 ostre´ loka´lnı´ minimum. V bodeˇ x1,2 = 0 loka´lnı´ extre´m nema´. Vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty v bodech loka´lnı´ch extre´mu˚. Vyjde f (−1) = 73, f (2) = −116. Zname´nka derivace a monotonii na prˇ´ıslusˇny´ch intervalech mu˚zˇeme zakreslit nad cˇ´ıselnou osu f 0:
+
− −1 1
−
+
0
2
max
min
nebo zapsat do tabulky: (−∞, −1)
−1
(−1, 0)
0
(0, 2)
2
(2, ∞)
f0
+
0
−
0
−
0
+
f
%
lok. max.
&
&
lok. min.
%
+
5. Za´veˇr: Funkce f je rostoucı´ intervalech (−∞, −1i, h2, ∞) a klesajı´cı´ na intervalu h−1, 2i (vzhledem ke spojitosti v bodeˇ 0 jsme intervaly mohli sjednotit). Funkce f ma´ tedy v bodeˇ x4 = −1 ostre´ loka´lnı´ maximum a v bodeˇ x3 = 2 ostre´ loka´lnı´ minimum. N Prˇ´ıklad 9.13. Najdeˇte loka´lnı´ extre´my a maxima´lnı´ intervaly ryzı´ monotonie funkce 2
Rˇesˇenı´. 1. D(f ) = R.
f : y = xe−x .
Výsledek předchozí úlohy můžete nyní konfrontovat s grafem funkce:
Podle předchozích návodů hledejte lokální extrémy následujících funkcí: Úloha 1.
𝑦=
𝑥2 𝑥+3
Úloha 2.
𝑦=
𝑥+2 √𝑥
Úloha 3.
𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥
2
Úloha 4.
𝑦=
Úloha 5.
𝑦 = 𝑥 − 2 sin 𝑥 . Hledejte extrémy na intervalu (0, 2𝜋)
Úloha 6.
𝑦=
𝑥2 ln 𝑥
1 𝑥
⋅ ln 1𝑥
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Výsledky úloh
𝑀𝑖 [0, 0], 𝑀𝑎 [−6, −12] 𝑀𝑖 [2, 2√2] 𝑀𝑖 [ −1 ,
−1 ], √2 √2𝑒
𝑀𝑎 [
1 , 1 ] √2 √2𝑒
𝑀𝑖 [√𝑒, 𝑒] 𝑀𝑖 pro 𝑥 = 𝜋3 , 𝑀𝑎 pro 𝑥 = 𝑀𝑖 [𝑒, − 1𝑒 ]
5𝜋 3
Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993. Tomica, R. Cvičení z matematiky – I. Brno: VAAZ, 1974. Kuben J., Šarmanová P., Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: dp.pdf. Dostupný z WWW: . FSI matematika online, Studijní text [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: Monotonnost-extremy.pdf. Dostupný z WWW: . Archiv autora
