5.2 Analýza časových řad Nechal jsem si udělat prognózu růstu své firmy od třech nezávislých odborníků. Jejich analýzy se shodovaly snad pouze v jediném - nekřesťanské ceně, kterou jsem za ně zaplatil. Pravdu nakonec měla stará kartářka s línou opelichanou kočkou v klíně. Její honorář ve srovnání s těmi třemi vydřiduchy ani nestál za řeč. Řekla: „Do roka budete milionářem.“ A měla pravdu. John Watters: „Jak se stát milionářem.“ Kvantitativní metody B
Co se dozvíte Časové řady a jejich rozklad. Elementární analýza časové řady. Analýza trendu, typy trendů časových řad. Analýza sezónnosti, sezónní odchylky a indexy. Prognózování budoucího vývoje.
Kvantitativní metody B
2
Pojem časové řady co je to časová řada? řada hodnot určitého ukazatele uspořádaných v čase podle charakteru ukazatele
lze sčítat
časová řada intervalová časová řada okamžiková podle periodicity
nelze sčítat
časová řada dlouhodobá (roční) časová řada krátkodobá (kvartální, měsíční) Kvantitativní metody B
3
Pojem časové řady klasifikace časových řad podle způsobu vyjádření ukazatele časová řada naturálních ukazatelů (kg, hl, ks) časová řada peněžních ukazatelů (Kč, €, $) naturální ukazatele – nelze sčítat a vzájemně převádět, nepodléhají změnám kursu nebo inflaci peněžní ukazatele – lze sčítat a vzájemně převádět, podléhají změnám kursu nebo inflaci Kvantitativní metody B
4
Vyjádření časové řady tabulka časové řady vývoj HDP České republiky rok
1993
1994
1995
1996
1997
HDP
1002,3
1148,6
1348,7
1532,6
1649,5
časová řada je dvourozměrný statistický soubor: 1. znak – časová proměnná (X, T) 2. znak – sledovaná proměnná (Y) Kvantitativní metody B
5
Vyjádření časové řady graf časové řady Počet narozených dětí
180
100
160
90
140
80
120
70
100
60 tis.
tis. Kč
Hodnota zásob ve firmě
80
50 40
60
30 40
20
20
10
0 I.93
II.93
III.93
IV.93
V.93
VI.93
měsíc
spojnicový graf vhodný pro okamžikové řady Kvantitativní metody B
VII.93
0 1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
rok
sloupcový graf vhodný pro intervalové řady 6
Vyjádření časové řady funkční vyjádření časové řady
yt = f(t,…)
např.
t = 1, 2, …, n
yt = 54,8 + 2, 26t
nebo
0,1,2, …, n
t = 0, 1, 2, ..., 24
modelování časové řady nalezení funkční závislosti mezi řadou hodnot ukazatele yt a časovou proměnnou t, popř. jinými časově závislými veličinami
Kvantitativní metody B
7
Vyjádření časové řady kalendářní očišťování přepočet řady na stejně dlouhé intervaly průměrná délka intervalu skutečná délka intervalu
používá se zejména u měsíčních řad
Kvantitativní metody B
8
Příklad – vyrovnání řady Tabulka představuje obrat výrobního podniku v měsících roku 2002 (v mil. Kč). Očistěte tuto časovou řadu. měsíc
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
obrat
2,57
2,40
2,69
2,60
2,71
2,68
2,68
2,64
2,71
2,80
2,76
2,82
d =
30, 42 = 2,52 31 30, 42 y2′ = 2, 40 ⋅ = 2,61 28 y1′ = 2,57 ⋅
365 = 30, 42 12
měsíc
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
obrat
2,52
2,61
2,64
2,64
2,66
2,72
2,63
2,59
2,75
2,75
2,79
2,77
Kvantitativní metody B
9
Časové řady indexů bazické indexy
qn q1 q2 q3 , , , ... , q0 q0 q0 q0
jsou vztaženy ke stejnému základnímu období řetězové indexy
qn q1 q2 q3 , , , ... , q0 q1 q2 qn −1
jsou vztaženy vždy k předchozímu období průměrný koeficient růstu k – geometrický průměr z řetězových indexů Kvantitativní metody B
10
Všimněte si Vklady občanů ČR
Vklady občanů ČR
600
350
500
300 250 1990 = 100%
mld. Kč
400 300 200
200 150 100
100
50
0 1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
původní řada
0 1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
řada bazických indexů
Vklady občanů ČR 125
tempo růstu
120
bazické indexy zachovávají průběh původní řady
115
110
řetězové indexy vyjadřují rychlost změn
105
100 1991
1992
1993
1994
1995
1996
řada řetězových Kvantitativní metody B indexů
11
Časové řady indexů transformace časových řad indexů řetězové bazické indexy
qk q1 q2 q3 qk = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ q0 q0 q1 q2 qk −1 bazické řetězové indexy
qk qk qk −1 = : qk −1 q0 q0 Kvantitativní metody B
12
Příklad – převod indexů Tabulka ukazuje stav korunových vkladů domácností v ČR v mld. Kč. Převeďte hodnoty v této tabulce na indexy: a) bazické se základním rokem 1990 b) řetězové Určete průměrný koeficient růstu vkladů. rok
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
vklady
184,0
220,7
260,2
316,1
376,2
454,7
527,3
Kvantitativní metody B
13
Příklad bazické indexy: rok
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
index
1,00
1,20
1,41
1,72
2,04
2,47
2,87
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
x
1,20
1,18
1,21
1,19
1,21
1,16
řetězové indexy: rok index
průměrný koeficient růstu:
k = 6 1, 20 ⋅1,18 ⋅ ... ⋅1,16 = 6 2,87 =& 1,19 Vklady obyvatelstva ročně vzrostly v průměru o 19%. Kvantitativní metody B
14
Vyrovnání časové řady dekompozice časové řady trendová složka Tt hlavní směr vývoje hodnot časové řady periodické kolísání cyklické vlivy Ct – dlouhodobé, méně pravidelné sezónní vlivy St – krátkodobé, pravidelné
nahodilé kolísání (reziduum) εt vlivy, které nelze postihnout trendem a periodickým kolísáním Kvantitativní metody B
15
Vyrovnání časové řady typické modely časové řady střednědobé (roční) časové řady neuvažujeme cyklickou ani sezónní složku
krátkodobé časové řady se sezónností neuvažujeme cyklickou složku
Kvantitativní metody B
16
Vyrovnání časové řady volba trendu lineární trend parabolický trend exponenciální trend mocninný trend
volba modelu koeficient determinace
Kvantitativní metody B
17
Příklad – volba trendu Podle údajů Národní referenční laboratoře pro onemocnění AIDS byly v letech 1991 až 1998 registrovány počty nemocných – viz tabulka. rok počet
1991
92
93
94
95
96
97
98
22
31
45
58
71
78
110
113
Zvolte vhodný typ regresní funkce pro vyjádření trendu řady a odhadněte počet nemocných v roce 2000.
Kvantitativní metody B
18
Příklad graf časové řady
počty nemocných AIDS 120
100
80
60
40
20
0 0
1
2
Kvantitativní metody B
3
4
5
6
7
8
9
19
Příklad lineární trend
použijeme metodu nejmenších čtverců
t
1
2
3
4
5
6
7
8
yt
22
31
45
58
71
78
110
113
Yt
18,3
32,0
45,6
59,2
72,8
86,4
100,1
113,7
s y2 = 997,5 sY2 = 973,9
koeficient determinace:
R2 =
973,9 = 0,976 997,5
vysoká hodnota R2 velmi dobrá aproximace lineární funkcí Kvantitativní metody B
20
Příklad extrapolace pro rok 2000 (t = 10)
V roce 2000 lze očekávat cca 140 nemocných AIDS (pokud se nezmění dosavadní tempo růstu).
Kvantitativní metody B
21
Dekompozice časové řady model konstantní sezónnosti
i = 1, 2, …, n – roční index j = 1, 2, …, r – sezónní index rozklad:
1 r Ti = ∑ yij = yi 0 r j =1 1 n 1 n r S j = ∑ yij − yij = yi 0 − y ∑∑ n i =1 r ⋅ n i =1 j =1
Kvantitativní metody B
22
Příklad – dekompozice Tabulka uvádí čtvrtletní odbyt nealko nápojů (v tis. litrů) vyrobených sodovkárnou v období 2000 – 2003.
čtvrtletí rok 2000 2001 2002 2003
I 21,4 23,1 23,5 25,2
II 33,2 33,5 34,2 36
III 40,8 41,1 42,2 43,4
IV 31,2 31,8 30,9 35,5
Proveďte rozklad na trendovou a sezónní složku. Aproximujte trend lineární regresní funkcí a proveďte odhad na jednotlivá čtvrtletí roku 2004. Kvantitativní metody B
23
Příklad doplníme tabulku o průměry: čtvrtletí rok 2000 2001 2002 2003 průměr Sj
I 21,4 23,1 23,5 25,2 23,3 -9,6
II 33,2 33,5 34,2 36 34,2 1,3
III 40,8 41,1 42,2 43,4 41,9 8,9
IV 31,2 31,8 30,9 35,5 32,4 -0,6
průměr Ti 31,7 32,4 32,7 35,0 32,9
spočítáme trendovou funkci (rok 2000 t = 0):
Kvantitativní metody B
24
Příklad spočítáme odhad T4 pro rok 2004:
T4 = 31,37 + 1, 045 ⋅ 4 = 35, 6 konečně spočítáme odhady Yij pro rok 2004:
Y41 = T4 + S1 = 35, 6 − 9, 6 = 26, 0 Y42 = T4 + S2 = 35, 6 + 1,3 = 36,9 Y43 = T4 + S3 = 35, 6 + 8,9 = 44,5 Y44 = T4 + S4 = 35, 6 − 0, 6 = 35, 0
Kvantitativní metody B
25
Příklad graf modelované funkce a odhadu Výroba limonád 2000 - 2004 50 45 40 35 30 y - řada Y - model
25 20 15 10 5
20 04 Q 3
20 04 Q 1
20 03 Q 3
20 03 Q 1
20 02 Q 3
Kvantitativní metody B
20 02 Q 1
20 01 Q 3
20 01 Q 1
20 00 Q 3
20 00 Q 1
0
26
Konec přednášek a hodně úspěchů u zkoušky Kvantitativní metody B
