Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru.
Analytická geometrie v rovině Parametrická rovnice přímky K vyjádření rovnice přímky potřebujeme jeden bod, který leží na přímce, a vektor, který určuje její směr … směrový vektor. V praxi se užívají dva body, které leží na přímce. A=[a1, a2], B=[b1, b2] p:
x = a1 + (b1 – a1)∙t y =a2 + (b2 – a2)∙t
, t є R s1=b1 – a1, s2=b2 – a2, směrový vektor přímky … s=(s s= 1, s2) p B A
Představa – z bodu A se dostaneme do libovolného bodu přímky tak, že zkracujeme nebo natahujeme velikost směrového vektoru. K tomu slouží parametr t. Obecná rovnice přímky p : ax + by + c = 0,
(a, b) … normálový vektor … vektor, který je kolmý na přímku p (na směrový vektor-(-b,a)) vektor
Př. Určete parametrickou a obecnou rovnici přímky, která prochází body A=[1, A= -4] a B=[-2, 2, -1]. Určete směrový a normálový vektor přímky. p:
x = 1 + (-2 – 1)t y = -4 + (-1 –(-4))t x = 1 – 3t y = -4 + 3t
s = (-3, 3, 3)
obecnou rovnici získáme vyloučením parametru t … každou rovnici vynásobíme tak, aby po sečtení parametr t vypadl. V našem příkladě to není třeba. x + y = -3 x+y+3=0
n = (1, 1)
Směrnicový tvar přímky Je-li v rovnici p: ax + by + c = 0, b ≠ 0, pak ji lze upravit na tvar :
, jinak vyjádřeno:
p: y = kx + q , k,qєR s kladným směrem osy x
k = tg ϕ,, ϕ … úhel, který přímka svírá
Úsekový tvar přímky p: Známe-lili úseky p, q, které vytíná přímka různoběžná se souřadnicovými osami na osách x a y, pak lze užít úsekový tvar přímky
:
1,
p, q ≠ 0
Příklady k procvičení je dán její bod A a směrový vektor : 1. Napište parametrické rovnice přímky, je-li a) A = [5, -6], = (3, 2) b) A = [-1, -8], = (-3, 1) c) A = [-4, 0], = (1, √2) d) A = [0, 1], = (2, 0)
2. Určete směrový a normálový vektor přímky dané parametricky a) x = -3 + 2t y = 1 – 4t b) x = 5 – t/3 y=2+t c) x = √2 - t y=6+t
3. Určete souřadnice alespoň dvou bodů, které leží na dané přímce, přímku načrtněte a) x = -5 + 2t y = -1 – 4t b) x = 1 - t y = -1 + t c) x = 5t y = -2 – t/2 4. Napište parametrické rovnice přímky, která prochází dvěma body: a) A = [2, 4], B = [4, 9] b) M = [0, -4], N = [-2, 0] c) T = [-2, 3], B = [-4, -9]
5. Přímka p je dána bodem P = [3, -5] - a směrovým vektorem = (-4, 1). a) Určete, zda body A = [-5, -3], 3], B = [2, -1] leží na dané přímce b) Napište parametrické rovnice přímky m, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem M = [-1, 6]. c) Napište parametrické rovnice přímky n, která prochází počátkem soustavy souřadnic a je kolmá k přímce p.
6. Bodem M = [3, -5] veďte přímku a) Rovnoběžnou s přímkou p: x = 1 + 3t, y = 3 + 5t b) Kolmou k přímce r: x = -1 + 2t, y = 2 – 7t Uveďte parametrické rovnice hledaných přímek. 7. Přímka je dána obecnou rovnicí. Určete její normálový a směrový vektor a) 3x + 2y + 5 = 0 b) X + 2y – 3 = 0 c) -3x + y + 2 = 0 d) 5x + y/2 – 1 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky p: a) x = 3 – 4t y = 2 + 3t b) x = 2 + 7t y = -1 - 5t c) x = 5 + 4t y = 6 + 2t d) x = -3t y = 4 + 5t 9. Napište obecnou rovnici přímky, která je dána bodem M = [-4, 1] a směrovým vektorem = (-2, 3). 10. Určete obecnou rovnici přímky, která je dána bodem a směrovým vektorem: a) A = [7, -2], = (-1, 1) b) B = [-3, 1], = (5, -5) c) C = [0, 4], = (6, 7) d) D = [-10, 0], = (0, -4) e) E = [3, 1], = (2, 3) f) F = [1, 1], = (-6, 2) 11. Je dána rovnice přímky p: 3x – 4y + 6 = 0 a) Ověřte početně, zda body M = [2, 3], N = [-3, 1] leží na dané přímce. b) Napište parametrické rovnice přímky p. 12. Určete parametrické rovnice přímky dané obecnou rovnicí: a) x + y + 5 = 0 b) x – y – 2 = 0 c) 2x – y + 4 = 0 d) x + 4y = 0 e) 4x + 3y + 6 = 0 13. Je dána přímka p: 2x – 3y – 6 = 0. Stanovte rovnici přímky a) m, která prochází bodem M=[1,2] a je rovnoběžná s přímkou p, b) r, která prochází bodem R=[-3,4] a je kolmá k přímce p
[m: 2x – 3y + 4 = 0] [r: 3x + 2y + 1 = 0]
14. Určete rovnici přímky m, která prochází daným bodem a je rovnoběžná s přímkou p: a) p: x + 2y – 4 = 0, A=[2, -1], Aєm b) p: 3x – y – 2 = 0, B=[1, -4], Bєm c) p: -6x + 5y – 7 = 0, C=[0, 0], Cєm 15. Určete rovnici přímky r, která prochází daným bodem a je kolmá k přímce p: a) p: 5x – 2y – 3 = 0, M=[1, 2], Mєr b) p: -x + 4y – 2 = 0, N=[0, 0], Nєr c) p: 2x + 7y = 0, P=[-1,-4], Pєr 16. Rozhodněte, jsou-li dané přímky p a r rovnoběžné nebo kolmé a) p: 4x – y + 11 = 0 r: -x – 4y + 11 = 0
b) p: 2x + 3y – 4 = 0
r: -x - y + 2 = 0
c) p: -2x + 2y + 3 = 0 r: x – y + 6 = 0 17. Určete směrnicový tvar rovnice přímky p, která prochází bodem
a) A=[-4, 2] a má směrnici . b) A=[2, -3], k = -4 c) A=[0,5], k = 1 d) A=[-4,0], k = -1 18. Určete směrnicový tvar přímky, která prochází dvěma body: a) A=[-4, -2] , B=[1, 3] b) C=[0, 4], D=[5, 2] c) E=[-7, 3], F=[-3, 6] d) G=[10, -4], H=[4, 3] 19. Parametrický tvar přímky p převeďte na obecný a směrnicový tvar a) p: x=3 – 2t y=-1 + t b) p: x=2 + 3t y=1 - t c) p: x=-2 – 4t y=3t d) p: x=-2 + 2t y=4 + t 20. Určete směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem L a je rovnoběžná s danou přímkou p: a) L=[3, -4] , p: y=x + 2 b) L=[-4,7], p: y=-x – 5
c) L=[-2, -3], p: y= + 1 21. Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem T a je kolmá k přímce p: a) T=[-4, 3], p: y=-4x + 2
b) T=[-8,10], p: y= 3 c) T=[6,1], d) T=[1,1],
p: y=-0,6x – 4 p: y=-x – 6
22. Určete vzdálenost rovnoběžek p: 3x – 2y – 4 = 0, q: 3x – 2y + 2 = 0 TEORIE: M=[x0, y0] , p: ax + by + c = 0, kde aspoň jeden z koeficientů a, b je různý od nuly, vzdálenost bodu M od přímky p je:
| | √
23. Určete vzdálenosti daných bodů od přímky p: a) A=[2,7] , B=[0,0], p: 3x – 4y – 14 = 0 b) A=[2, -3], B=[-1,8], p: 12x – 5y + 39 = 0 c) M=[5,7], p prochází body P=[-4,5], Q=[11,-3] d) R=[1,-2], p: x=-1 + 2t, y=3 – 5t e) K=[-3,-4], p: y=2x - 1 24. Určete vzdálenost rovnoběžek p, q a) p: x + y + 6 = 0 q: x + y – 4 = 0 b) p: y=-2x + 5 q: y=-2x – 1 Odchylka dvou přímek je velikost ostrého nebo pravého úhlu, který přímky svírají. Určí se ze vztahu: |#∙%|
!" |#|∙|%| u, v jsou směrové nebo normálové vektory.
25. Vypočtěte odchylku přímek p a q. a) p: x=1 + t , y=-2 – t q: y=3x -1 b) p: x + 3y – 6 = 0 q: -2x + y + 6 = 0 c) p: 5x + y + 3 = 0 q: y=-5x + 2 d) p: 3x – 2y + 4 = 0 q: -x + 5y = 0 26. Určete vzájemnou polohu přímek p,q. U rovnoběžek určete vzdálenost, u různoběžek určete souřadnice jejich průsečíku a odchylku. a) p: 3x – 4y + 5 = 0 q: 5x + 3y – 10 = 0 b) p: 5x + 2y – 11 = 0 q: x=3 – 2t, y=-2 + 5t c) p: 2x- 5y + 2 = 0 q: 5x + 2y + 5 = 0 d) p: 2x – 5y + 6 = 0 q: 8x + 15y + 10 = 0
