Analízis esti szigorlati tételek (BMF-NIK) Készítette: Hamula Kornél. integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás,

Analízis esti szigorlati tételek (BMF-NIK) Készítette: Hamula Kornél

Matematika szigorlat, analízis tételek Műszaki informatika szak, esti tagozat 1. Komplex számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, exponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között. 2. Sorozatok Sorozat definíciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték definíciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. 3. Függvények 1. A függvény definíciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív függvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzfüggvény, létezésének feltételei, meghatározási módja. 4. Függvények 2. Elemi függvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és folytonossága. Elemi függvényvizsgálat. 5. Differenciálszémítás 1. A differencia- és differenciálhányados definíciója, geometriai jelentése. Differenciálási szabályok. Elemi függvények differenciálhányadosai. A differenciál fogalma. 6. Differenciálszámítás 2. A differenciálszámítás alkalmazásai. Érintő egyenlete. Középértéktételek. L’Hospital szabály. Monotonitás, szélsőérték, alak, inflexió. Teljes függvényvizsgálat. 7. Integrálszámítás 1. Primitív függvény. Integrálási szabályok. Elemi függvények primitív függvények. Integrálási módszerek: f (ax  b), f ' ( x ) f  x , f ' ( x ) , f ' ( x ) g  f ( x ) integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás, f ( x) helyettesítéses integrál. 8. Integrálszámítás 2. Határozott integrál. Téglányközelítés, Newton-Leibniz szabály. Alkalmazások: terület-, térfogat-, ívhossz számítás. Improprius integrál. 9. Differenciálegyenletek 1. A differenciálegyenletek definíciója, kategorizálás. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenletek. 10. Differenciálegyenletek 2. Elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletek. Állandó variálás módszere, próbafüggvény módszer. Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén és inhomogén differenciálegyenletek. 11. Differenciálegyenletek 3. A Laplace-transzformáció definíciója, tulajdonságai. Elemi függvények Laplace-transzformáltja. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. 12. Sorok 1. Végtelen numerikus sorok. A konvergencia szükséges és elégséges feltételei. Nevezetes numerikus sorok. 13. Sorok 2. Függvénysorok. Hatványsorok, konvergencia tartomány, konvergencia sugár.Taylor-sor. Taylor-sor maradéktagjának felső becslése. 14. Sorok 3.. Fourier-sor. Taylor-sor, Fourier-sor konvergenciája. 15.Kétváltozós függvények 1. Értelmezési tartomány. Az első- és másodrendű parciális derivált. Gradiens. Teljes differenciál. Érintősík egyenlete, hibaszámítás. 16. Kétváltozós függvények 2. Integrálszámítás téglalap- és normáltartományon. Geometriai jelentés, terület- és térfogatszámítás.

1


1. Komplex számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, exponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között. Algebrai alak Az a + bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, i pedig olyan szám, amelyre i2 = -1 (ún. képzetes egység), komplex számoknak nevezzük. A komplex számokat általában z-vel jelöljük (z = a + bi). Az x2 - 4x + 13 = 0 egyenlet diszkriminánsa: 16 - 52 = -36 negatív. Helyettesítsük be a 2 + 3i számot ahol i2 = -1. 4 + 12i + 9i2 - 8 - 12i + 13 = 4 - 9 - 8 + 13 = 0. Ha számfogalmunkat kibővítjük ilyen alakú számokkal, akkor a másodfokú egyenletnek mindig van megoldása. Műveletek zl + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b 2i) =(a1 + a 2) + (b1+ b2)i Két komplex szám egyenlő, azaz z1 = z2, ha a1 = a2 és b 1 = b2. Összeadás: tagonként összeadjuk a valós és a képzetes tagokat. zl + z2 = (a1 + b 1i) + (a 2 + b2i)=(a 1 + a2) + (b1+ b2)i Pl.: zl = 3 - 2i, z2 = 4 + 3i, zl + z2 = 7 + i Kivonás: mindenben megegyezik az összeadással, csak a műveleti jel „+” helyett „-”. zl - z2 = (a 1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a 2) + (b1 - b2)i Pl.: zl = 5 + 2i, z2 =1 + 3i, zl - z2 = 4 - i. Szorzás: a tagokat formálisan összeszorozzuk (i2 = -1). zl*z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) =(a 1a 2 - b1b2) + (a 1b 2 + b1a2)i Pl.: zl = 2 + 3i, z2 = 4 + 5i, zl*z2 = (2 • 4 - 3 • 5) + (2 • 5 + 3 • 4)i = -7 + 22i. z1*z2 = (8 + 12i + 10i - 15) = 8 -15 + 22i = -7 + 22i Osztás: a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, így a nevezőben mindig valós számot kapunk. z1 a1  b1i a1a2  b1b2 b1a2  a1b2    2 i z2 a2  b2 i a22  b22 a2  b22 Tulajdonságai Kommutativitás: z1  z 2  z2  z1 , z1 z 2  z2 z1 Asszociativitás: z1  ( z2  z3 )  ( z1  z2 )  z3 Disztributivitás: z1 ( z 2  z3 )  z1 z 2  z1 z3 A hatványozás: zn=z*z..z. Értelmezhető a törtkitevős hatvány, azaz

2

m

z n is komplex szám.


Konjugált: a z = a + bi komplex szám konjugáltján az a - bi komplex számot értjük, és ezt z -vel (ill. a  bi -vel) jelöljük. Láttuk, hogy 2 + 3i kielégíti másodfokú egyenletünket.d < 0 esetén a gyököt úgy kapjuk meg, hogy

a másodfokú egyenlet “megoldó képletében” a “gyökös részt”

d 

d (1) 

di

alakban írjuk fel (feltételezzük.hogy d < 0). Az i képzetes egység az x2 + 1 = 0 másodfokú egyenletnek a gyöke. Megjegyzés. 1. Minden n-edfokú an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  0 (*) egyenletnek pontosan n számú gyöke van. (Az algebra alaptétele.) 2. A komplex gyökök párban fordulnak elő. 3. A (*) megoldására nem tudunk képletet adni. 4. A komplex számok a jelenségek leírásában nagyon fontosak. Abszolút érték: a z = a + bi komplex szám abszolút értékén a a 2  b2 valós számot értjük, és ezt | z |-vel, ill | a + bi |-vel jelöljük. Ez a szám a komplex szám nagysága, hossza. z1 z n Megjegyzés: 1. z 1 z 2  z 1 z 2 2. 1  (| z 2 | 0) 3. z n  z ; zl= z2 esetén is lehetséges, z2 z2 hogy |zl|=|z2|. Az azonos, r nagyságú komplex számok egy r sugarú körön helyezkednek el. A komplex szám geometriai ábrázolása Az a + bi komplex szám valós és képzetes része egy (a, b) pontot jelöl ki a koordinátarendszerben. A pontok halmaza a komplex számsík, az x valós tengely, y képzetes tengely.

Az x tengelyt éppen ezért valós tengelynek, az y tengelyt képzetes tengelynek nevezzük. Az (a,b) pont a síkon egy helyvektort jelent. Ennek az r hossza (az (a,b) pontnak az origótól mért

3


távolsága) r = a 2  b 2 , azaz r = | z |. A komplex számot ábrázoló vektornak az x tengellyel bezárt  szögét a tg  = b / a egyenlőségből kapjuk meg, azaz  = arctg(b / a). Trigonometrikus alak z = a + bi = r(cos  + isin ), ahol r = | z |,  = arctg(b / a). (a = r*cos , b = r*sin ) Műveletek z1 = r1(cos 1 + isin  1) és z2 = r2(cos 2 + isin 2) Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1* z2 = r1* r2(cos (1 + 2) + isin (1 + 2)) z r Osztás: 1  1 cos1   2   i sin 1   2  z2 r2 Hatványozás: zn = rn(cos n + i sin n) Pl.: z = 5(cos  /3 + i sin  /3), z4 = 54(cos 4  /3 + i sin 4  /3).

  2k   2k   z  n r  cos  i sin , ahol k  0,1,2,..., n  1 n n   Egy komplex számnak n db n-dik gyöke van. Gyökvonás:

n

Exponenciális alak z = a + bi = rei, ahol r = | z | és  = arctg(b / a). Pl.: Irjuk fel a 4 - 4i komplex számot exponenciális alakban! Megoldás: tg  = -4/4 = -1,  = - /4

42  42  32  4 2

(arctg(-1) = - /4). 4 - 4i exponenciális alakja: 4 2e i / 4 .

Műveletek z1  r1ei1 és z 2  r2 e i 2 Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1 * z 2  r1 * r2 * e i 1  2  Pl.: z1  2e i / 4 ; z 2  3e i / 3 . z1 z2  6e i ( / 4 / 3)  6e  i /12 .    z r z Osztás: 1  1 * e i 1  2  Pl.: z1  6ei 85 ; z2  2ei 25 . 1  3e i 60  3e i / 3 . z 2 r2 z2

4


Hatványozás: z n  r n e in Pl.: z  2e i / 5 ; n

n

i

z 5  25 ei 5 / 5  32e i .

  2 k n

Gyökvonás: z  r * e , ahol k  0,1,2,..., n  1 Összefüggés a trigonometrikus és az exponenciális alak között: rei = r(cos  + i sin  )

5


2. Sorozatok Sorozat definíciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték definíciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. A számsorozat fogalma Sorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (vagy annak részhalmaza). Számsorozatnak az olyan sorozatokat nevezzük, melyeknek függvényértékei valós számok. Az a(n) függvényértéket an-nel jelöljük és n-edik (általános) tagnak nevezzük. Az a(n) értékkészlete tehát (a 1 , a2 , a3 , ..., an, ...). (a 1, a2, ..., an ...) helyett gyakran a1,a 2,...,an,...-t írunk. Jelölések még: (a n), a n, a n = a(n). Egy sorozat általános tagját an-ként adjuk meg, és megadjuk azt a függvényt, mely a sorozat elemeit előállítja. Mivel a sorozat értelmezési tartománya diszkrét számokat tartalmaz, ezért a sorozat is diszkrét pontok halmazaként ábrázolható. Korlátosság Korlátosnak nevezzük a sorozatot, ha alulról és felülről egyaránt korlátos. Műveletek: a) c(a n) = (ca n) b) (an) + (bn) = (an + bn) c) (an) (bn) = (a nbn) (an )  an  d)    feltéve, hogy b n nem 0. (bn )  bn  Megjegyzés. (a n) - (b n) = (an) + (-1)(bn) = (an - bn). Sorozat határértéke Egy valós számsorozat határértéke az A valós szám, ha A bármely környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb véges sok eleme van. Ezzel ekvivalens: az (an) határértéke A , ha bármely  > 0-hoz létezik olyan n0 N szám, hogy |an - A| <  , ha n > n0 azaz A -  < a n < A +  , ha n > n 0. (n0 küszöbszám, hibakorlát). Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergál vagy tart az A-hoz és az a n A , lim an  A, lim an  A szimbólumok valamelyikével jelöljük. n

Ha van véges határérték, akkor konvergens sorozatról beszélünk, ha nincs, akkor divergens a sorozat.

6


A definícióból következik, hogy minden sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Az is könnyen belátható, hogy minden konvergens sorozat korlátos. Torlódási pont DEFINÍCIÓ. Az A számot a sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha A bármely környezetében a sorozat végtelen sok eleme helyezkedik el. TÉTEL. Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Megjegyzés. Ha a sorozat elemeinek halmaza korlátos, akkor a sorozat korlátos. Ilyenkor van: sup{an|n  N} , ill. inf{an|n  N}. A sorozat torlódási pontjának nevezzük azt a B számot, melynek tetszőlegesen szűk környezetében a sorozat végtelenül sok eleme helyezkedik el. Végtelen sorozat esetén ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy az említett tartományon kívül csak véges számú elem található, ugyanis vannak olyan sorozatok, melyeknek több torlódási pontjuk van. Kimondható, hogy a konvergens sorozatoknak csak egy torlódási pontjuk lehet, és az a határértékkel azonos. Végtelenhez tartó sorozatok A végtelen mint határérték Az (a n) határértéke plusz végtelen, ha bármely k  R+ számhoz létezik olyan n0  N + küszöbszám, hogy n > n0 esetén an > k . Tágabb értelemben konvergens. Jelölés : an   ; (a n  ) vagy lim a n = - (lim an = - ) Vannak olyan számsorozatok, amelyeknél an  , ha n   Ezeket a sorozatokat végtelenbe tartó (divergens) sorozatoknak nevezzük. Végtelenhez tartó sorozatok esetén kimondható, hogy tetszőleges k számhoz mindig létezik olyan n0 küszöbszám, amelynél an > k, ha n > n0. Végtelenhez tartó sorozat esetén azt mondjuk, hogy a sorozat tágabb értelemben konvergens. Műveletek konvergens sorozatokkal Konvergens sorozatok alapműveletei TÉTEL. Legyen an korl. bn0. Akkor an bn0. TÉTEL. Ha lim an = A lim b n = B, akkor lim (an + bn) = A + B; lim (an - b n) = A - B; lim (anbn) = AB; a  A lim n   ; ( B  0)  bn  B Következmények 7


1) lim (c) = c. 2) Ha lim a n = A, akkor ank  A k . 1 lim 1 1 3) lim   ; ( A  0) an lim an A 4) lim c an = c lim an Részsorozat konvergenciája Ha (a n) véges vagy végtelen sok tagját elhagyjuk, akkor a maradék részsorozat. Állítás: konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és azonos a határértékük. Ha valamely sorozat konvergens és határértéke = A, akkor bármely részsorozata is konvergens, és határértéke szintén = A. Rendőrelv Ha lim an = lim bn = A és valamely n1-től kezdve igaz, hogy an  cn  bn, akkor cn is konvergens, és lim cn = A. Konvergens sorozat gyöke Minden nemnegatív sorozatra igaz, hogy lim k an  k A, ha lim an  A . Polinomtörtek a n p  a p 1n p 1  ...  a0 a p lim p q  , ha p  q. bq n  bq 1n q 1  ...  b0 bq Ha a számlálóban a legmagasabb hatvány alacsonyabb, mint a nevezőben, akkor a határérték 0. Ha p>q, akkor a sorozat nem konvergens. Sorozat monotonitása DEFINÍCIÓ. Az (an) számsorozat növekedő (szigorúan növ.), ha a n < a n + 1, nem csökkenő (tágabb értelemben növ.), ha a n  an 1 , csökkenő (szigorúan csökk.), ha a n > a n + 1, nem növekedő (tágabb értelemben csökk.), ha a n  an 1 , fennáll minden n  N  re. TÉTEL. 1.) Ha (an) szigorúan monoton növekedő, és a) ha (an) korlátos, akkor (an) konvergens és határértéke a felső határa, azaz lim(an)= sup {an|n N}. b) ha nem korlátos, akkor lim(an)= . 2.) Ha (an) szigorúan monoton csökkenő, és a) korlátos, akkor lim(an)= inf {an|nN} 8


b) ha nem korlátos, akkor lim(an) = -. Háromféle lehetőség van a monotonitás vizsgálatára: 1. Behelyettesítve n-t illetve (n+1)-t közvetlenül igazoljuk az egyenlőtlenséget. 2. Azt vizsgáljuk, hogy az (n+1)-dik tagból az n-dik tagot kivonva mindig pozitív (negatív) számot kapunk-e. 3. Az n-dik és az (n+1)-dik tag hányadosát vizsgáljuk, hogy minden n értékre nagyobb-e (kisebb-e) 1-nél. Valamely monoton sorozat vagy korlátos, vagy (+/-) végtelenhez konvergál. Nevezetes sorozatok határértéke lim qn q>1 q=1 |q|<1 q  -1

 1 0  divergens, nincs határértéke. n

n

 1  k Az e szám eredete (kb 2,72): lim 1    e; általános alakban : lim 1 +   e k .  n  n n-dik gyök határértéke Minden pozitív a számra igaz: lim n a  1 . a>0 lim n n  1. Bernoulli egyenlőtlenség: a fentiek igazolására az (1 + k)n  (1 + n*k) egyenlőtlenség használható fel, amely tetszőleges n-re és k-ra igaz.

3. Függvények 1. A függvény definíciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív függvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzfüggvény, létezésének feltételei, meghatározási módja. A függvény (vagy más néven parciális leképezés) a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására

9


szolgál. Egy f függvény értékek egy H halmazának – melyet az f értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes x eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik: y = f(x), ahol x ∈ H vagy f: xy, ahol x ∈ H A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes x eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli. Szabatos matematikai fogalmazásban, függvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A függvény fogalma tehát a reláció (más néven: hozzárendelés) fogalmának olyan speciális esete; melyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá. Ha ezen felül megköveteljük azt is, hogy a függvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor függvény helyett totális függvényről (illetve parciális leképezés helyett relációról beszélünk. (∀ )(∀ )(∀ ) ( , ) ∈ é ( , )∈ → = ) Legyen X és Y tetszőleges nem üres halmazok. Ha az X halmaz minden eleméhez az Y halmaz egy és csak egy elemét rendeljük (egyértelmű hozzárendelés), akkor az X halmazon egy függvényt definiálunk. Értelmezési tartomány: a kiindulási halmaz (X halmaz) jele: Df Értékkészlet: az Y halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendeltünk X valamely eleméhez. Jele: Rf Injektív, szürjektív, bijektív függvények Injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egyértelmű leképezésnek, vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.) A ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a leképezés [függvény] értékkészlete megegyezik a leképezés [függvény] érkezési halmazával, azaz egy f: AB leképezés [függvény] pontosan akkor ráképezés, ha minden ∈ elemnek létezik őse a f leképezés [függvény] mellett.

10


Zérushely Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. Monotonitás Az fR→R függvényt az X Df halmazon monoton növekvőnek nevezzük, ha bármely x1, x2X, x1< x2 esetén f(x1) ≤f(x2) is teljesül. Az fR→R függvényt az X Df halmazon monoton csökkenőnek nevezzük, ha bármely x1, x2X, x1< x2 esetén f(x1) (x2) is teljesül. Szigorúan monoton függvény esetén az egyenlőség nem megengedett. Konstans függvény esetén dönthetünk, hogy a függvényünk monoton növekvő vagy csökkenő (NEM szigorúan). Lokális- és az abszolút szélső értékhely Legyen f tetszőleges függvény, és H része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy aH az f-nek H ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden xH (xa) esetén f(x)f(a)). Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maximumhelyről (minimumhelyről) beszélünk. A maximumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely. Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Az a Df az f függvénynek lokális maximumhelye (minimumhelye), ha a-nak van olyan K környezete, hogy f-nek az a a K Df halmazra nézve abszolút maximumhelye (minimumhelye). Függvények alakja A függvények alakja lehet egyenes, amikor a függvény felírható ax+b formában. Ezt jobban nem magyarázzuk. Pl. f(x)=2x+1

A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbsége állandó. (A bal oldali képen látható.) Pl. f(x)=lnx 11


A parabola azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes). (A jobb oldali képen látható.) Pl. f(x)=x2 Korlátosság - Az fR→R függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan kR, hogy bármely xD f esetén k≤f(x). - Az fR→R függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan kR, hogy bármely xD f esetén f(x)≤k. Ha az f függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük. Periodicitás Az y = f(x) függvény periodikus, ha létezik egy olyan a>0 szám, hogy bármely x értékre és bármely egész k számra igaz, hogy f(x) = f(x+k*a). Vagyis a függvényből kiemelhető olyan függvényérték, amely a szakaszonként ismétlődik. Az a szakaszt a függvény periódusának nevezzük. Pl. sin (x), cos (x), tg (x), ctg (x) Paritás Az fR→R függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden xDf esetén -xDf és f(-x) =f(x) is teljesül. Az fR→R függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha minden xDf esetén -x Df és f(-x) = -f(x) is teljesül. Az összetett illetve inverz függvény Az f és g függvény összetételén azt a fog szimbólummal jelölt függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya D g minden olyan x pontja, ahol g(x)  Df és fog(x)=f(g(x)). Az f a külső és g a belső függvény. Az inverz függvény (vagy másnéven inverz leképezés) alatt olyan függvényt (illetve leképezést) értünk, amelyhez létezik egy f: XY függvény úgy, hogy az f-1 inverz függvény egy y-hoz azt az egyetlen x-et rendeli, melyhez f az y-t rendelte, tehát f-1: YX, melyre: f(x) = y. Függvény inverze csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz olyan függvények esetén, amelyek különböző x-ekhez különböző y-okat rendelnek, máskülönben nem 12


teljesülne a fenti egyértelműségi kitétel. Hasonlóképpen leképezés inverze csak kölcsönösen egyértelmű ráképezések esetén lehetséges, azaz olyan leképezések esetén, amelyek különböző xekhez különböző y-okat rendelnek és minden amelyeknél minden y elemhez létezik x úgy, hogy f(x) = y. Az inverz meghatározási módja: Legegyszerűbben úgy lehet, ha megvizsgáljuk a függvényünk értelmezési tartományát. Ahol nincs értelmezve ott az inverz sem lesz, hiszen az inverz függvényünk értelmezési tartománya az eredeti függvényünk értékkészlete. Miután ezt megtettük az eredeti függvényünkben x helyére y-t helyettesítünk, majd kifejezzük y-t.

4. Függvények 2. Elemi függvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és folytonossága. Elemi függvényvizsgálat. Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett x  ax függvényt (a > 0, illetve 0 < a < 1)! Az x a x függvény jellemzése: (a > 0, illetve 0 < a < 1 esetén) Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periodikus: Folytonos: Inverz függvénye:

xR y = ax  R + Nincs Nincs a > 1 esetén monoton nő; 0 < a < 1 esetén monoton csökken. Nem (Alulról igen) Egyik sem Nem Igen A logaritmus függvény

Ha a>0 (pl. 2):

Ha a<0 (pl. -2):

13


Ugrálni fog, néhány pontot kell kiválasztani…

Ábrázolja és jellemezze a logaritmus függvényt! Az x log ax függvény jellemzése: (a > 1, illetve 0 < a < 1 esetén) Értelmezési tartománya: Értékkészlete: Zérus helye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverze:

x  R+ y = logax R x=1 Nincs a > 1 esetén monoton nő; 0 < a < 1 esetén monoton csökken Nem Egyik sem Nem Igen Az exponenciális függvény

Ha a>1 (pl. 2):

Ha 0
14


Ábrázolja és jellemezze a sinus és cosinus függvényeket! Az x  cosx függvény jellemzése: Értelmezési tartománya: Érték készlete: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverze

xR y = cosx  R|y  [-1;1] x =  / 2 + k ; k  Z Maximum: y = 1; x = 0 + k2  ; k Z Minimum: y = -1; x =  + k2 ; k Z Monoton nő, ha  + k2   x  2  + k2  ; k Z Monoton csökken, ha 0 + k2   x   + k2  ; k Z Igen. -1  cosx  +1 Páros, cos(-x) = cos(x) Igen. A periódus hossza: p = 2  Igen Nincs

15


Az x sin(x) függvény jellemzése: Értelmezési tartomány: Érték készlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periódikus: Folytonos: Inverz függvénye:

xR y = sin(x) R|y [-1;1] x = 0 + k ; kZ Maximum: y = 1; x =  / 2 + k2 ; kZ Minimum: y = -1; x=  / 2 + k2 ; kZ Monoton nő, ha -+ k2x  + k2  ; kZ Monoton csökken, ha  + k2  x  / 2 + k2 ; k Z Igen. -1 sin(x) + 1 Páratlan, sin(-x) = -sin(x) Igen. A periódus hossza: p = 2  Igen Nincs

16


A határérték vizsgálata folyamán azt vizsgáljuk, hogyan viselkedik a függvény az értelmezési tartomány egy bizonyos pontján, illetve akkor, ha a független változó a végtelenhez tart. Válasszuk az x értéket a-hoz tetszőleges közel az f(x) értelmezési tartományban. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan viselkedik az f(x) függvény ezen x értékekre. Előfordulhat, hogy az ilyen x-ekre (amelyek tehát az a helyhez tetszőlegesen közel lettek választva) az f(x) értékek egy jól meghatározott A szám közelébe esnek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az a helyen létezik határértéke és az A-val egyenlő. Határérték a végesben Heine-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha: 1. az f(x) függvény a bármilyen környezetében értelmezett, de nem szükséges, hogy a függvény a-ban is értelmezett legyen; 2. a-hoz tartó bármely xn konvergens sorozat esetén a függvényértékek A-hoz konvergálnak. Cauchy-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha bármely pozitív -hoz megadható olyan pozitív  szám, amelynél ha x benne van a-nak  sugarú környezetében (de azzal nem egyenlő), akkor: 1. f(x) értelmezve van x helyen; 2. f(x) benne van A szám  sugarú környezetében. Egyoldali határérték Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A bal oldali határértéke, ha: 17


1. f(x) értelmezve van a bal oldali környezetében (B környezet); 2. bármely B-beli, a-hoz konvergáló sorozat esetén a függvényérték A-hoz konvergál. A jobb oldali határérték hasonlóképpen definiálható. Amennyiben a bal és a jobb oldali határértékek egy adott pontban léteznek és egyenlőek, akkor a függvénynek az adott ponton van határértéke, és az egyenlő a közös bal és jobb oldali határértékekkel. Ha a bal és jobb oldali határértékek nem egyeznek meg, akkor a függvénynek az adott ponton nincs határértéke. Ilyen pl. az Y = SGN(x) függvény is. Határérték a végtelenben lim ( ( )) →

Ha [k, ) intervallumban értelmezett f(x) függvény értéke bármely, k-ból -hez tartó xn sorozat esetén konvergál A-hoz, akkor a függvény végtelenben vett határértéke A. Vagyis nagyon nagy x értékekre az f(x) függvényértékek egy jól meghatározott A számérték közelébe kerülnek. Ez az értelmezés mind pozitív, mind negatív végtelen határértékre igaz.

Műveletek határértékekkel Ha f(x) és g(x) függvényeknek az a pontban létezik határértéke, akkor ezen lima (f(x)-g(x)) = lima f(x) - lima g(x) függvények összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának is létezik határértéke, az alábbiak szerint: lima (f(x)+g(x)) = lima f(x) + lima g(x) lima (f(x)*g(x)) = lima f(x) * lima g(x) lima (f(x) / g(x)) = lima f(x) / lima g(x)

Hányadosok esetén van két megszorítás: 1. lima g(x) <> 0 illetve g(x) <> 0; 2. ha a hányados "0 / 0" vagy " / " típusú határértéket adna, akkor a törtet addig kell rendezni, míg véges értéket nem kapunk. Függvények folytonossága Valamely f függvény a pontban akkor folytonos, ha: 1. értelmezve van a pontban, 18


2. létezik véges határértéke a pontban, 3. a pontban vett határértéke megegyezik az a-beli függvényértékkel. Nyilvánvalóan nem sok értelme van a folytonosság végtelenben való vizsgálatának. Ha f függvény a pontban folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a pont az f függvény folytonossági helye. Ha f függvény folytonos a pont valamely környezetében, de magában a-ban nem, akkor a pont a függvény szakadási helye. (pl: Signum v. SinX/X

Fontosabb függvénytípusok Racionális egész függvények Polinomfüggvények. Ha nem tartalmaznak n-nél nagyobb kitevőt, akkor n-edfokú polinomfüggvényeknek nevezzük őket. Az értelmezési tartomány minden pontján folytonosak. Racionális törtfüggvények: két polinomfüggvény hányadosa. Irracionális függvények: olyan függvények, melyekben a gyökvonás művelete is szerepel. Inverz függvények: f függvény inverze az a f-1 függvény, melynél f-1(f(x)) = x

19


Egy függvény akkor és csak akkor invertálható egy adott tartományban, ha abban a tartományban szigorúan monoton. Ekkor inverze is szigorúan monoton, és monotonitásának iránya megegyezik az eredeti függvénnyel. Grafikusan az invertálást úgy végezhetjük el, hogy az eredeti függvényt tükrözzük az y = x egyenesre (derékszögű koordinátarendszerben).

Elemi függvényvizsgálat pontjai Függvényvizsgálat Az elemi függvények tulajdonságait felhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók. Például: páros*páros fv=páros fv. páratlan*páratlan fv=páros fv. A tulajdonságok nagyrészét említettem az előző tételben, arra nem térnék vissza. Differenciálszámítás segítségével vizsgálható függvénytulajdonságok: Monotonitás Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és ezen az intervallumon a deriváltfüggvénye pozitív (negatív), akkor (a; b)-n f(x) szigorúan monoton növekvő (csökkenő). Konvexség, konkávság Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon kétszer differenciálható, és f(x) második deriváltfüggvénye ezen az intervallumon pozitív (negatív), akkor a f(x) (a; b)-n konvex (konkáv). Szélsőérték Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható, és az intervallum egy x0 pontjában szélsőértéke van, akkor igaz, hogy (Ez a feltétel, szükséges, de nem elégséges.) Ha az f(x) függvény (a; b) intervallumon differenciálható és az intervallum egy x 0 pontjában 0 a deriváltja, és ebben a pontban a derivált előjelet vált, akkor x 0 pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van. Tétel: f(x)=x n ( n pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és

20


A bizonyítást teljes indukcióval végezzük: • n=1 esetén igaz az állítás: x'=1 • Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n+1-re is igaz. Az indukciós feltétel: Mivel xn+1=x ∙xn, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt:

n-ről n+1-re bizonyítottuk a formula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz.

5. Differenciálszámítás 1. A differencia- és differenciálhányados definíciója, geometriai jelentése. Differenciálási szabályok. Elemi függvények differenciálhányadosai. A differenciál fogalma.

A differenciahányados a függvénygörbe egy szelőjének meredekségét adja meg. ( )− ( ) (∝) = = − Ha a differenciahányadosnak az a helyen létezik véges határértéke, akkor ezt a határértéket nevezzük az f függvény a helyhez tartozó differenciálhányadosának. A differenciálhányados a görbe érintőjének meredekségét adja. 21


Differencia: Az f(x)-f(a) különbséget hívjuk differenciának. Differenciál: Egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. A független változó differenciáljának az x – a különbséget nevezik.

lim →

( )− ( ) −

= ′( )

Ha egy függvény értelmezési tartomány valamely részhalmazának minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy a függvény differenciálható ezen a halmazon, és az intervallum pontjaihoz rendelt differenciálhányadosokat az f függvény differenciálhányados függvényének, röviden deriváltjának nevezzük. Függvénygörbe adott pontjának érintője egyenletének meghatározása: P ( x0; y0 ) y – y0 = m ( x - x0 ) y = x2 – 4 , P ( 2; 0 ) me = f’(2) f’(x) = 2x m=4 az egyenlet : y – 0 = 4 ( x – 2 ) vagyis y = 4x – 8 Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai

22


Deriválási szabályok A differenciálhányados definíciója alapján adjuk meg a következő függvények deriváltját: a) f: R  R

g(x) =

Konstans deriváltja nulla.

f(x) = c

f ( x )  f ( x0 ) cc  00 x  x0 x  x0

c' = 0

A g(x) függvény tart a 0-hoz  a konstansfüggvény deriváltja, f '(x) = 0. b) f: R  R

f(x) = x Lineáris függvény deriváltja 1.

f ( x )  f ( x0 ) x  x 0 g(x) =   1 1 x  x0 x  x0

x' = 1

A g(x) függvény tart az 1-hez  a függvény deriváltja, f '(x) = 1.

23


c) f: R  R

f(x) = x2

Hatvány deriváltja:

f ( x )  f ( x0 ) x 2  ( x0 ) 2 ( x  x 0 )  ( x  x 0 )    ( x  x0 ) x  x0 x  x0 x  x0

g(x) =

(xn)' = n · xn-1

Tudjuk, hogy x  x0, így x + x0  2 x0 A g(x) függvény tart 2 x0-hoz  f '(x0) = 2 x0; f '(x) = 2 x. d) f: R  R

f(x) = |x|

Ha x0 > 0: x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 g(x) =   1 x  x0 x  x0 x  x0 Ha x0 < 0

g(x) =

|x – x0| <

x0 2

x   x0   x   x 0   x  x0  f ( x )  f ( x0 ) x  x0      1 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0

Az x0 = 0 helyen a g differenciahányados-függvénynek nincs határértéke (mivel a jobb- és baloldali derivált 1 és –1, nem egyenlőek), így ott a függvény nem is deriválható. Összeg, szorzat és hányados deriváltja Az f1(x) és f2(x) x0-ban differenciálható függvények. Adjuk meg az f = f1 + f2 függvény x0-beli deriváltját!

g(x) = 

f ( x )  f ( x 0 )  f 1 ( x )  f 2 ( x )   f 1 ( x 0 )  f 2 ( x 0 ) f 1 ( x )  f 1 ( x 0 )  f 2 ( x )  f 2 ( x 0 )    x  x0 x  x0 x  x0

f 1( x )  f 1( x0 ) f 2 ( x )  f 2 ( x0 )   f 1' ( x 0 )  f 2 ' ( x 0 ) x  x0 x  x0

(f1+f2)' = f1'+f2' (f1–f2)' = f1'–f2'

Különbség deriváltja: f = f1 – f2

g(x) =

Összeg deriváltja:

f 1 ( x )  f 1 ( x 0 )   f 2 ( x )  f 2 ( x0 )  f 1' ( x 0 )  f 2 ' ( x 0 ) x  x0

Adjuk meg az f = f1 · f2 függvény x0-beli deriváltját! =0

24


g(x) =

f ( x )  f ( x0 ) f ( x )  f 2 ( x )  f 1( x 0 )  f 2 ( x 0 )  1  x  x0 x  x0 



f 1 ( x )  f 2 ( x )  f 1( x 0 )  f 2 ( x )  f 1 ( x 0 )  f 2 ( x )  f 1 ( x 0 )  f 2 ( x 0 )  x  x0

f 2 ( x )   f 1 ( x )  f 1( x0 )  f 1( x 0 )   f 2 ( x )  f 2 ( x0 ) f ( x )  f 1( x 0 ) f ( x )  f 2 ( x0 )  f2( x)  1  f 1( x 0 )  2  x  x0 x  x0 x  x0

 f 2 ( x )  f1' ( x0 )  f1( x0 )  f 2' ( x0 )

Sejtés: (xn)' = n · xn-1

Szorzat deriváltja:

(f1·f2)' = f1'·f2 + f1·f2' (c · f)' = c · f '

Teljes indukciós bizonyítás:

n = 1-re igaz: (x)' = 1 feltételezzük, hogy n = k-ra igaz: (xk)' = k · xk-1 és megvizsgáljuk, hogy n = k + 1-re igaz-e: (xk+1)' = (xk · x)' = (xk)' · x + xk · (x)' = k · xk-1 · x + x k · (x)' = k · xk + xk = (k + 1) · xk  Szorzás konstanssal: f = c · f1

f' = c' · f1 + f1' · c = f1' · c f1 függvény x0-beli deriváltját (a szorzat deriváltjának felhasználásával)! f2 Hányados deriváltja:     1  f 1' f 1  f 2 ' f 1'  f 2  f 1  f 2 ' 1  1       f1   f 1'   f1         f1  f 1'  f 2  f 1  f 2 ' f 2  f2 f 2 ( f 2 )2 ( f 2 )2   f2   

Adjuk meg az f =  f1     f2 



 f    2

( f 2 )2

Szinusz- és koszinuszfüggvény Írjuk fel az f(x) = sin x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!

f ( x)  f ( x 0 ) sin x  sin x 0 g(x) =   x  x0 x  x0 Mivel x  x0

2  cos

x  x0 x  x0 x  x0  sin sin 2 2  2  cos x  x 0  2 x  x0 x  x0  2

  

x – x0  0

1-hez (biz.: utolsó o.)

(sin x)' = cos x

25

cos x0-hoz, mivel x  x0

(ld. fgvtábla)

cos x0-hoz


Írjuk fel az f(x) = cos x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!

g(x) =

 2  sin

f ( x)  f ( x 0 ) cos x  cos x 0   x  x0 x  x0

x  x0 x  x0 x  x0   sin  sin 2 2   2  x  x0 x  x0  2 

    sin  x  x 0  2    

   

– sin x 0

Sin, cos deriváltja:

(cos x)' = – sin x

1-hez (biz.: utolsó o.)

(sin x)' = cos x (cos x)' = – sin x

5) Összetett függvény deriváltja f(x) = sin 2x

Összetett függvény deriváltja:

Ez a függvény leírható két, egymásba ágyazott függvényként: f1(x) = 2x f(x) = sin(f1(x))

[f (g(x))]' = f ' (g(x)) · g '(x) [f(g(h(x)))]' = f ' (g(h(x))) · g '(h(x)) · h '(x)

A függvény deriváltja: f ' = [ f ( f 1 ( x ))]'  f ' ( f 1 ( x ))  f 1' ( x ) = (sin 2x)'  (2x)' = 2  cos2x (ezt az összefüggést nem bizonyítjuk).

6) Exponenciális függvény deriváltja 

1 n

n

Az an =  1   sorozat monoton növekvő és korlátos, vagyis konvergens is, határértéke 

e ≈ 2,718 , ami a természetes logaritmus alapja. (biz.: utolsó oldal) 1

en 1 lim 1 n 1 n

g(x) =

(biz.: utolsó oldal)

Írjuk fel az f(x) = ex függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!





f ( x )  f ( x 0 ) e x  e x0 e x0 e x  x0  1 e x  x0  1    e x0   e x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0

(ex)' = ex pl. (2x)' = (exln2)' = exln2  ln 2

1-hez (mivel összetett függvényként deriváljuk)

26

Exponenciális függvény deriváltja:

(ax)' = ex ln a ln a (ex)' = ex


7) Logaritmus deriváltja Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0-hoz tartozó különbségihányados-függvényét!

g(x) =

f ( x)  f ( x 0 ) ln x  ln x 0   x  x0 x  x0

(ln x)' 

1 x

1 1 1 1 1  ln x   ln x  ln x0 ln x  ln x0 0 x  x0 x e e e 1 e 0 e ln x0 ln x  ln x 0 ln x  ln x 0 ln x  ln x 0





Logaritmus deriváltja: 1-hez '

'

1 1 1  ln x  '  1 ' (lg x)'    ln x       ln 10 x x  ln 10  ln 10   ln 10 

(ln x)' = (mivel 1 / ln 10 konstans)

(log a x)' =

1 x 1 x  ln a

6. Differenciálszámítás 2. A differenciálszámítás alkalmazásai. Érintő egyenlete. Középértéktételek. L’Hospital szabály. Monotonitás, szélsőérték, alak, inflexió. Teljes függvényvizsgálat.

A differenciálszámítás segítségével a függvények egyéb tulajdonságait is vizsgálhatjuk. Függvények vizsgálata első- és második deriváltjuk segítségével 1) Az első derivált Ha egy x  f (x) függvény az ] a ; b [ intervallumon monoton nő, tetszőleges x0  ] a; b [ esetén az g ( x) 

f ( x)  f ( x0 ) hányados mindenképpen nemnegatív (mivel x  x0 ), így a x  x0

f ( x )  f ( x0 ) differenciahányados-függvény minden értéke, így határértéke is nemnegatív. x  x0

Ha egy f függvény az ] a; b [ intervallumon monoton nő, az intervallum bármely pontjára f ' ( x )  0 , x ] a; b [ . Ha egy függvény deriváltja egy intervallum bármely pontján nemnegatív, a függvény az intervallumon monoton nő.

27


Hasonlóképpen, ha egy f függvény az ] a; b [ intervallumon monoton csökken, az intervallum bármely pontjára f ' ( x )  0 , x ] a; b [ . Ha egy függvény deriváltja egy intervallum bármely pontján nempozitív, a függvény az intervallumon monoton csökken. A fentiekből következik, hogy szélső értékeknél az első derivált, f ' ( x )  0 . Megfordítva ez nem mindig igaz; viszont ha egy függvény első deriváltja egy pontban 0 és ugyanott a derivált előjelet is vált, a függvénynek az adott pontban szélső értéke van.

2) A második derivált Konvex egy függvény az ] a; b [ intervallumon, ha bármely x ] a; b [ esetén a függvény x pontbeli érintője a függvénygörbe alatt helyezkedik el. Ezen az intervallumon a függvény első deriváltjának deriváltja, vagyis a függvény második deriváltja nemnegatív, f ( x )  0 (ez azt is jelenti, hogy az első derivált monoton nő).

Konkáv egy függvény az ] a; b [ intervallumon, ha bármely esetén a függvény x pontbeli érintője a függvénygörbe felett helyezkedik el, ilyenkor a függvény második deriváltja nempozitív, f ( x )  0 . x ] a; b [

konkáv konvex

Azt a helyet, ahol egy függvény konvexből konkávvá, vagy konkávból konvexxé válik, inflexiós pontnak nevezzük. Inflexiós pontban a függvény második deriváltja, f ( x )  0 ; ha egy pontban a második derivált nulla, és ugyanott előjelet is vált, a függvénynek az adott pontban inflexiós pontja van.

Az érintő egyenlete Függvénygörbe adott pontjának érintője egyenletének meghatározása : P ( x0; y0 ) y – y0 = m ( x - x0 ) y = x2 – 4 , P ( 2; 0 ) me = f’(2) f’(x) = 2x m = 4 az egyenlet : y – 0 = 4 ( x – 2 ) vagyis y = 4x – 8 Középérték tételek Lagrange-tétele: Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a < c < b szám, amire ( ) ( ) f (c) = teljesül.

28


Rolle-tétele: Ha az f függvény folytonos az [a,b] intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és f(a) = f(b), akkor van olyan a < c < b szám, hogy f '(c) = 0 teljesül.

L'Hospital szabály Gyakran fordul elő, hogy ki kell számítani f(x) és g(x) függvények hányadosának határértékét olyan a helyen, ahol lim f(x) = lim g(x) = 0. Az ilyen határértékékeket határozatlan alaknak nevezzük. A fontosabb határozatlan alakok: 0 / 0 ;  /  ; 0 *  ; 0 0 ;  -  stb. Tétel Amennyiben a pontban lim f(x) = lim g(x) = 0, továbbá lim akkor: lim

f ' (x ) létezik (végtelen is lehet), g ' (x )

f (x ) f ' (x )  lim g (x ) g ' (x )

Kiszámításának menete: 1. Megvizsgáljuk, hogy f és g differenciálhatóak-e a környezetében (nem követelmény, hogy a helyen is differenciálhatóak legyenek). 2. Külön-külön differenciáljuk f és g függvényeket. f ' (x ) f ( x) 3. Meghatározzuk a lim határértéket. Ez adja lim -et. g ' (x ) g ( x) A fenti szabály akkor is érvényes, ha a ± helyen vett határértékeket vizsgáljuk. Amennyiben a deriválás eredményeképpen is határozatlan forma keletkezik, akkor vezessük be a v(x)=f'(x) és u(x)=g'(x) függvényeket, és alkalmazzuk rájuk is a fenti szabályt. Pl.: lim 0

ln x 1 x

29


1  x2  ln x Megoldás: lim  lim x  lim    lim x   0 0 0 0 1 1  x   2 x x FONTOS: Csak határozatlan formákra alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt. Amennyiben a vizsgált határérték nem tört formájú, akkor megfelelő átalakításokkal kell erre a formára hozni. Teljes függvényvizsgálat lépései Teljes függvényvizsgálat: értelmezési tartomány, szakadási helyek, paritás, periodikusság vizsgálata, első és második derivált, első és második derivált zérushelyei és előjelei az egyes intervallumokon, monotonitás, szélsőértékek, konvexitás megállapítása, függvényhatárértékek végtelenben és mínusz végtelenben (ha van értelme) és a szakadási helyeken (ha vannak), függvény grafikonja, értékkészlet.

7. Integrálszámítás 1. Primitív függvény. Integrálási szabályok. Elemi függvények primitív függvények. Integrálási módszerek: f (ax  b), f ' ( x) f  x , f ' ( x) , f ' ( x) g  f ( x) integrálása, parciális integrálás, f ( x)

résztörtekre bontás, helyettesítéses integrál. Az integrálás során lényegében azt az F(x) függvényt keressük, melyre teljesül az F'(x) = f(x) egyenlőség. Primitív függvény, határozatlan integrál f(x) függvénynek H intervallumban F(x) függvény primitív függvényének nevezzük, ha teljesül rá az alábbi három feltétel: 1. H része f(x) és F(x) értelmezési tartományának, 2. F(x) differenciálható H intervallumban, 3. Teljesül az F'(x) = f(x) egyenlőség xH. Mivel a deriválási szabályok alapján F'(x) = F'(x)+C (C tetszőleges valós szám) az f(x) függvény primitív függvénye lehet bármely F(x)+C függvény. f(x) függvény primitív függvényeinek halmazát f(x) határozatlan integráljának nevezzük. 30


Jelölése:  f (x ) dx A C tagot integrációs állandónak nevezzük. Pl.: f x   x 3 Megoldás: F x  

 1 4 1 1  x ; F  x    x 4   x 3  f  x  ; F x   x 4  C ahol C 4 4 4 

tetszőleges állandó. Alapintegrálok Az elemi függvények deriváltjaihoz hasonlóan azok integráljai is felírhatóak. Ezek felírása során szokásosan nem írjuk ki a C integrációs állandót, de mindig beleértjük, és az integrálási műveletek során, szükség esetén számolunk vele. x 1 ax  x ; x dx    R ,    1 a dx  a  0, a  1;  cos xdx  sin x    1 lna 1 1 1 dx  tgx ; dx  arcsin x  sin xdx   cos x ;   2 dx   ctgx ;  2 cos x sin x 1 x2 1 1 1 dx  arctg x; dx  arcctg x dx  arccos x   arcsin x   / 2 ;    2 1 x 1  x2 1  x2 1 1  chxdx  shx ;  shxdx  chx ;  2 dx  thx  2 dx  cthx ch x sh x arthx ha x  1 1 1 1 dx arshx  dx archx  dx    2 2 2 1 x x 1 x 1  arcthx ha x  1 1  dx  ln x +C [ln(-x)]’= 1/-x*(-1) x

Ha a számláló foka nagyobb mint a nevezőé elvégezzük a polinom osztást. Integrálunk, ahol a számláló foka kisebb, mint a nevezőé. Az egyes integrálok nyilván nem értelmezhetőek azon a ponton, ahol a kapott függvény nem értelmezhető, vagy ahol a nevezőbe zérus kerülne. A többi egyszerű integrál részint az alapderiváltakból származtatható, részben az integrálási szabályok megfelelő alkalmazásával állítható elő. Integrálási szabályok

31


Feltételezve, hogy  f (x ) dx és  g ( x )dx integrálok léteznek a vizsgált halmazon, igazak a következő összefüggések:

  f (x )  g (x )dx   f (x )dx   g (x )dx , illetve  k f (x )dx  k  f (x )dx , ahol k tetszőleges valós szám. Összetett függvény integrálja Ha f(x) egy primitív függvénye F(x), akkor felírható az alábbi összefüggés: g x   I  f (g(x ))g' (x )dx  F(g( x))  C Természetesen a fenti szabály alkalmazásához az integrandusnak eléggé speciális alakúnak kell lennie, illetve ilyen alakra kell hozni. A fenti egyenlőség speciális esetének tekinthető az alábbi három összefüggés: f a  1 (x ) a f ( x ) f ' ( x ) dx  C   1  a1 f ' (x )  f (x) dx  ln f (x)  C g x  0 1  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C ha  f x dx  F x   C, a  0 Parciális integrálás A parciális integrálás során a függvények szorzatára vonatkozó deriválási szabályt használjuk fel. Ha u és v valamely intervallumon differenciálható függvények, és itt létezik primitív függvénye az u'v függvénynek, akkor az uv' függvénynek is létezik primitív függvénye. Ekkor felírható az alábbi összefüggés. Parciális deriválás segítségével vezethető le.

 u( x ) * v' ( x )dx  u( x ) * v( x )   u' ( x ) * v( x )dx Pl.:  1lnx dx=x lnx-x 1/xdx= x lnx  dx= x lnx-x+C Résztörtekre bontás: 1. eset – a nevezőnek vannak gyökei ( zérushelyei ) x+1 x+1 dx = dx 1. lépés nevező gyöktényezős alakban felírva 3 x -4x x(x-2)(x+2)

∫

∫

x+1

B C =A + + x(x-2)(x+2) x x-2 x+2

2. lépés felbontás résztörtekre

32


x+1

=

A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)

3. lépés közös nevezőre hozás

x(x-2)(x+2) x(x-2)(x+2) x+1=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2) 4. lépés a nevezőt elhagyjuk, majd x helyére behelyettesítjük a 0, 2, -2 értékeket. Az egyenleteket sorban megoldva A = -1/4, B = 3/8, C = -1/8. 5. lépés Ezeket visszahelyettesítve az 4. lépés egyenletébe integrálhatunk. Integrálás helyettesítéssel Első esetben az összetett függvény integrálásánál bemutatott speciális formát használjuk fel:



f ( g ( x )) g ' ( x ) dx  F ( g ( x ))  C

Ha elvégezzük az u = g(x) helyettesítést, akkor az

 f (u)du

formulához jutunk. Ekkor

megkeressük f(u) primitív függvényét, majd u helyére visszahelyettesítjük g(x)-t. 1. 2. 3. 4.

Kiválasztunk egy alkalmas g(x) függvényt. x helyett g(u)-t, dx helyett g'(u)du -t írunk. Az integrandusban x sehol nem maradhat. u szerint meghatározzuk F(u) primitív függvényt. A primitív függvényen elvégezzük az u = g-1(x) helyettesítést.

Pl.:  1  x 2 dx  x  sin u  1 1 1 I   1  x 2 dx     cos2 udu   1  cos 2u du  u  sin 2u  C Felhasználva,  2 2 4 dx  cos udu  hogy: 1 1 I  arcsin x  x 1  x 2  C 2 2

u  g 1  x   arcsin x és sin 2u  2 sin u cos u  2 sin u 1  sin 2 u ,

33


Integrálok, szabályok:

34


8. Integrálszámítás 2. Határozott integrál. Téglányközelítés, Newton-Leibniz szabály. Alkalmazások: terület-, térfogat-, ívhossz számítás. Improprius integrál. A határozott integrál fogalma Legyen f(x) valamely [a,b] intervallumon folytonos, nem negatív függvény. Az említett intervallumban az x tengely és a görbe közé eső területet az intervallumot n részre felosztó téglalapok területének összegeként közelíthetjük. Az így kapott részterületek összegét nevezzük a függvény adott intervallumhoz tartozó, Riemann-féle közelítő összegének. max  xi  xi 1    i  1,..., n 1i  n

n

 

I n   f xi* xi  xi 1  ahol x0 , x1 , … xn egy felosztás osztópontjai, és xi*  xi 1 , xi  i  1,2,..., n . i 1

Ha lim  n  0 esetén fenti összeg határértéke véges és nem függ a felosztás alakjától, akkor azt b

(Riemann-féle) határozott integrálnak nevezzük. Jelölése:  f x dx a

Nyilvánvaló, hogy minél finomabb a felbontás (n minél nagyobb), a kapott Riemann-féle közelítő összeg annál pontosabban közelíti a terület valódi nagyságát. Ha a felbontás minden határon túl finomodik (n), az említett összeg a görbe alatti területtel lesz egyenlő. A fentiek alapján a következőképpen adhatjuk meg a határozott integrál fogalmát: Határozott integrál Ha az f függvény az [a,b] intervallumon véges számú pont kivételével folytonos, korlátos, akkor az f az [a,b] intervallumon integrálható. Következmény: folytonos függvény integrálható. f(x) [a,b] intervallumon értelmezett korlátos függvény integrálható, és határozott integrálja = I abban az esetben, ha [a,b] intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztásához tartozó Riemann-összegek bármely sorozata I-hez konvergál. A határozott integrált a fentiek miatt Riemann-integrálnak is nevezzük. Egy függvény [a,b] intervallumhoz tartozó határozott integrálját az alábbiak szerint jelöljük: b

 f ( x )dx a

Határozott integrál tulajdonságai

35


1. Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható és c valós szám, akkor cf is integrálható b

b

a

a

itt és  cf x dx  c  f x dx 2. Ha az f és g függvények integrálhatók az [a,b] intervallumon, akkor f+g is integrálható itt és b

b

b

b

b

a

b

a

a

a

a

b

a

  f x   g x dx   f x dx   g x dx ; lim I n   f x dx   g  x dx ;  f x dx    f  x dx a

a

Következmény:  f  x dx  0 a

3. Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható, akkor integrálható bármely b

c

b

a

a

c

részintervallumán is és c[a,b] esetén  f x dx   f x dx   f x dx Geometriailag úgy értelmezhető ez az állítás, hogy [a,b] intervallumban f(x) függvény görbe alatti területe egyenlő a vizsgált intervallumot felosztó részintervallumokhoz tartozó területek összegével. b

4. Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és nem negatív, akkor  f x dx  0 a

Következményei: 1. Ha f és g integrálható az [a,b] intervallumon és f(x)≥g(x) x[a,b], akkor b

b

a

a

 f x dx   g  x dx . b

2. Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és nem pozitív, akkor  f x dx  0 a

Műveletek határozott integrálokkal A határozott integrálokkal ugyanazon műveletek értelmezhetőek, mint a határozatlan integrálok esetében, azzal a megszorítással, hogy csak azonos intervallumhoz tartozó határozott integrálok kapcsolhatóak össze művelettel. Newton-Leibniz formula Abban az esetben, ha f(x) függvénynek [a,b] intervallumban létezik F(x) primitív függvénye, akkor a határozott integrál kiszámítására a következő formula használható: b

 f ( x )dx  F (b)  F (a )

jelölése: F ( x)xa vagy F ( x)a b

b

a

Ezt a képletet nevezzük Newton-Leibniz formulának. A Newton-Leibniz formulánál nem kell figyelembe venni a primitív függvényekben szereplő C konstanst, mivel az a kivonás művelete során kiesik.

36


Bizonyításhoz a Lagrance középérték tételt lehet felhasználni: f    

2



Pl.:  cos xdx  sin x0 2  sin 0

f b   f a  ba

  sin 0  1 2

Integrál-középérték-tétel b

Ha f folytonos [a,b] intervallumon, akkor létezik olyan   a,b , hogy  f x dx  f  b  a . a

Integrálfüggvény x

Tétel: ha f integrálható [a,b]-n, akkor I ( x)   f (t ) dt differenciálható és I ( x)  f x 

x  a, b.

a

Improprius integrálok A határozott integrál olyan esetekre is értelmezhető, amikor a vizsgált intervallum végtelen, illetve az integrandus az adott intervallumon nem korlátos. Legyen f(x) függvény értelmezve az [a,) intervallumon, és annak bármely véges részintervallumán legyen integrálható. Ha létezik az alábbi határérték, akkor azt f(x) függvény [a,) intervallumon vett improprius integráljának nevezzük: u



lim  f ( x )dx

u 

jelölése:

a

 f ( x )dx a

Értékének kiszámítása a következő formula szerint történik: 

 f ( x)dx  lim F (u)  F (a ) a

u 

u

jelölése: lim F ( x ) a u 

Fentiekkel analóg módon kell eljárni a (-,a], illetve a (-,+) intervallumok esetén is, értelemszerűen a megfelelő tagoknál alkalmazva a határértéket. b

b

Hasonló, definíció erejű képletek:  f ( x)dx  lim  f ( x) dx, u   u



v



 f ( x) dx  ulim  f ( x)dx  



v 

u

Amennyiben a fentiek szerint kiszámolt határérték véges, akkor konvergens, ellenkező esetben divergens improprius integrálról beszélünk.  dx v dx  dx  1  Pl.:  2 megoldás:  2  lim  2  lim    1  1 v   v   1 x 1 x 1 x  v  37

Analízis esti szigorlati tételek (BMF-NIK) Készítette: Hamula Kornél b

b 

a

a

2. fajta értelmezése (az integrandus b környezetében nem korlátos):  f ( x)dx  lim  f  x dx  0 0 Területszámítás határozott integrál segítségével Amennyiben f(x) függvény [a,b] intervallumban folytonos és nemnegatív, akkor a függvénygörbe alatti területet f(x) megadott intervallumon vett határozott integrálja adja.

b

f  x   0; x  a, b esetében:

T   f x dx a

b

b

a

a

T    f  x dx   f x dx

Ez

a

formula

f

előjelváltása esetén is érvényes. Ha f(x) függvény a vizsgált intervallumban negatív, de nem vált előjelet, akkor a függvényérték abszolút értékének határozott vagy impropius integrálja adja a függvénygörbe és az x tengely közötti (ez esetben görbe fölötti) területet. Amennyiben a függvény a vizsgált intervallumban előjelet vált, akkor a zérushelyek mentén részintervallumokra kell bontani, és az előbbiek figyelembevételével az egyes részintervallumokra külön-külön kell meghatározni a területeket, majd azokat összegezni. Pl.: f ( x)  x sin x 0,2  -n 2



2

0

0



Megoldás:  x sin x dx   x sin xdx   x sin xdx   x cos x  sin x 0   x cos x  sin x 2  4 Függvények által közrezárt terület Közrezárt területként közvetlenül megadhatjuk a két függvény görbe alatti területe különbségének abszolút értékét, ha az alábbi feltételek teljesülnek: 1. A függvények legfeljebb az intervallum határpontjain keresztezik egymást. 2. A keresztezési pontok által kijelölt tartományban egyik függvény sem vesz fel negatív értéket. b

b

b

a

a

a

T   f x dx   g x dx    f x   g  x dx Ha az 1. pont nem teljesül, akkor az egymással vagy az intervallumhatárral szomszédos keresztezési pontokat intervallumhatárként tekintve egyenként kell a területeket meghatározni. 38


Amennyiben a 2. pont nem teljesül, akkor mindkét függvényt egyforma mértékben úgy kell eltolni az y tengely mentén, hogy a feltétel teljesüljön.

Forgástestek térfogata Ha egy [a,b] tartományban értelmezett f(x) függvényt az x tengely körül megforgatunk, forgástestet kapunk. Amennyiben ezt a testet az x tengelyre merőlegesen messük, kör felületeket kapunk. Ezeknek a köröknek a területét a T = f2(x) összefüggés adja. A vizsgált intervallumot n részre osztva, a függvény alatti terület téglalapokkal való közelítésével teljesen analóg módon, koncentrikus hengerek térfogatának összegeként közelíthetjük a forgástest térfogatát. A felosztást minden határon túl finomítva, az így kapott Riemann-féle közelítő összegek értékének n esetén vett határértéke, vagyis a függvény határozott integrálja adja a forgástest térfogatát. b

A fentiekből következik: V[a,b] =   f 2 (x )dx a

Közelítő integrálás A Newton–Leibniz tétel egy lehetőség a határozott integrál értékének meghatározására, azonban nem mindíg alkalmazható. Ilyen esetek például, ha 39


– f  Ra, b , de nem létezik primitív függvény – f  Ra, b , létezik primitív függvény, de nem tudjuk, vagy bonyolult meghatározni Az alábbi függvények [a;b] intervallumon folytonosak, tehát létezik a határozott integráljuk [a;b]-n, de nincs, vagy nem zárt alakú a primitív függvényük: b

 a

1 dx , x  sin x

b

 a

sin x dx ,… x

A definíció alapján kiszámíthatnánk a határozott integrál értékét, de, ha a határértéket pontosan nem tudjuk meghatározni, mit mondhatunk a közelítés mértékéről. A továbbiakban olyan közelítő eljárásokat mutatunk meg, melyeknél az integrálandó függvényre tett feltételek mellett a közelítés mértéke megbecsülhető. TRAPÉZ-MÓDSZER Az [a;b] intervallumot n egyenlő részre osztjuk: a  x0 , x1 , x 2 ,..., xn 1 , xn  b Minden osztóponthoz meghatározzuk A függvényértékeket: f a   f x0 , f x1 ,..., f  xn   f b 

a

b

40


Válasszunk ki egy részintervallumot:

f  xi 1  xi 1

xi  xi  xi 1 Az i-dik részintervallumban a görbe alatti területet az ábrán látható trapéz területével közelítjük: f xi   f xi 1  ti   xi 2 Mivel egyenlő részre osztottunk xi  x minden i-re. Így

f  xi  xi

ti 

f xi   f xi 1   x 2

Írjuk fel minden részintervallumra a megfelelő trapéz területét, és adjuk össze ezeket a területeket: f  x 2   f  x3  f  x3   f  x 4  f  x n 1   f b  f a   f  x1  f  x1   f  x 2  x  x  x  x  ...  x = 2 2 2 2 2 x   f a   f x1   f x1   f x2   f x2   f x3   f x3   f x4   ...  f xn 1   f b  2 x   f a   2 f  x1   2 f x2   2 f x3   2 f x4   ...  2 f xn 1   f b 2 ba Mivel egyenlő részre osztottunk x  . n n 1  b  a  f a   f b    f xi  közelítő összeget trapézformulának nevezzük.. n  2  i2 



Tétel: Ha f kétszer differenciálható az [a;b] intervallumon, és itt f ' '  x   M –azaz f második deriváltjának M b

felső korlátja az adott intervallumban –, akkor



fdx 

a

41

n 1  b  a  f a   f b  b  a 3   f  xi   M n  2  12n 2 i2 




A fenti tétel alapján tehát meg tudjuk mondani, legfeljebb mekkora H hibával közelítettük a kérdéses integrált, ha nem primitív függvény segítségével számolunk. Közelítésnél mindig nagyon fontos, hogy meg tudjuk határozni a hibát!! 3

 cos xdx integrált közelítsük trapézformulával. 1

3 1  0,2 osztópontok: 1, 1,2, 1,4, …, 2,8, 3 10  cos 1  cos 3  0,2  cos 1,2  cos 1,4  ...  cos 2,8   0,698 H<0,00235 2   3 1 n=100 x   0,02 osztópontok: 1, 1,02, 1,04, …, 2,98, 3 100  cos 1  cos 3  0,02  cos 1,02  cos 1,04  ...  cos 2,98   0,700327 H<0,000024 2   A kérdéses határozott integrál értékét a Newton–Leibniz tétellel meg tudjuk határozni

n=10 x 

3

 cos xdx =sin3–sin1=–0,700351 1

42


SIMPSON-MÓDSZER Az [a;b] intervallumot 2n egyenlő részre osztjuk: a  x0 , x1 , x2 ,..., x2 n 1 , x2 n  b Mivel egyenlő részre osztottunk xi  x minden i-re. Minden osztóponthoz meghatározzuk A függvényértékeket: f a   f x0 , f  x1 ,..., f x 2n   f b 

a

b

Válasszunk ki két egymás melletti részintervallumot: x 2i ; x2i 1  és x2i 1 ; x2i  2 

f  x2i  f  x2i 1  x2i

x 2i 1

f  x2i  2  x2i  2

A két részintervallumban a görbe alatti területet az ábrán látható parabola alatti területével közelítjük: A parabolát, hogy egyszerűbb legyen a számolás eltoljuk úgy, hogy x2i 1  0 . Így origóra szimmetrikus intervallumban számolunk

pi x   ax 2  bx  c

1) pi  x   a  x 2  b x   c 2) pi 0  a0 2  b0  c  c

1)+3) pi x   pi  x   2ax 2  2c

3) pi x   ax 2  bx   c

43

4)

Analízis esti szigorlati tételek (BMF-NIK) Készítette: Hamula Kornél x

x

x

 x3  x2 pi  x dx  ax  bx  c dx  a b  cx   3 2      x  x  x





a

x 3  b x 2 3

 cx   a

2

 x 3   x 2 a b 3





2

 x 3  b  x 2 3

2

 x 3  x 2  cx   a b

2

3

2

 c x  

 x 3  cx   2a  2cx   3



x 2a x 2  6c 3 A 4)-t helyettesitsük be a kapott alakba: 

x

x x 2 2  pi xdx  3 2ax   6c   3 2ax   2c  4c  pi x   pi  x   4 pi 0 

 x

 f  x2i   4 f x 2i 1   f x 2i  2  Írjuk fel minden részintervallum párra a megfelelő parabolaív alatti területet, és adjuk össze ezeket: x  f a   4 f  x1   f  x2   f  x2   4 f x3   f  x4   f  x4   4 f x5   f x6   ...  f b   3 n 1 n 1  x   f a   f b   2  f  x2i   4 f  x2i 1  3   i 1 i0  ba Mivel egyenlő részre osztottunk x  . 2n n 1 n 1  ba  f a   f b   2 f  x 2i   4 f  x 2i 1  közelítő összeget Simpson-formulának nevezzük.. 6n   i 1 i0 









Tétel: Ha f négyszer differenciálható az [a;b] intervallumon, és itt f ( 4)  x   M –azaz f negyedik deriváltjának M felső korlátja az adott intervallumban –, akkor b

 a 3

f  x dx 

n 1 n 1  ba  b  a 5  f a   f b   2 f x2i   4 f x2i 1   M 6n   2880n 4 i 1 i 0 





 cos xdx integrált közelítsük Simpson-formulával. 1

44


n=10 x 

3 1  0,2 osztópontok: 1, 1,2, 1,4, …, 2,8, 3 10

0,2 cos 1  4 cos 1,2  2 cos 1,4  4 cos 1,6...  4 cos 2,8  cos 3  0,700357 H<0,0000068 3

9. Differenciálegyenletek 1. A differenciálegyenletek definíciója, kategorizálás. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek. Elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenletek. A differenciálegyenlet fogalma, osztályozása A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelyben szerepel egy ismeretlen függvény valamely deriváltja. A derivált függvény mellett szerepelhet benne maga az ismeretlen függvény, illetve a független változó egy vagy több ismert függvénye is. Rendűség Ha a differenciálegyenletben előforduló legmagasabb rendű derivált n-edrendű, akkor a differenciálegyenletet n-edrendű differenciálegyenletnek nevezzük. Másodrendű 2 2 d h(t ) d h(t ) dh(t ) differenciálegyenletek:   g (szabadesés), A   g (fékezett esés) 2 2 dt dt dt Linearitás A differenciálegyenlet akkor lineáris, ha az ismeretlen függvény, illetve annak deriváltja lineárisan szerepel benne. Nemlineáris egyenletek: y  y 2 ; y  sin y  x ; y  y  1 Implicit egyenletek: F ( x, y, y)  0 és G ( x, y, y, y)  0 Explicit egyenletek: y   f ( x, y ) , illetve y   g ( x, y , y) Parciális differenciálegyenletek Akkor beszélünk parciális differenciálegyenletről, ha az ismeretlen függvény többváltozós. Az egyváltozós ismeretlen függvényt tartalmazó differenciálegyenletek az ún. közönséges differenciálegyenletek. Homogenitás, inhomogenitás Homogén differenciálegyenletről abban az esetben beszélünk, ha r(x) = 0, egyébként a differenciálegyenlet inhomogén. A homogén differenciálegyenlet megoldása visszavezethető a kétváltozósra. y’ csak első deriváltként szerepelhet. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános alakja: 45


a ( x) y  b( x) y  r ( x) ahol a(x)) és b(x) az együttható-függvények, r(x) a zavarótag. Amennyiben a(x) és b(x) konstansfüggvények, akkor a differenciálegyenlet állandó együtthatójú. Homogén a differenciálegyenlet ha r(x)  0, inhomogén ha r(x) ≠ 0 Általános megoldás A differenciálegyenlet olyan megoldását, amely pontosan annyi szabad paramétert tartalmaz, ahányad rendű a differenciálegyenlet, a differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük. Általános megoldás: tetszőleges állandók jelenléte. Partikuláris megoldás A fentiek alapján belátható, hogy a differenciálegyenlet általános megoldása geometriailag egy görbesereget eredményez. Ezek közül kiválasztva egyet, az egyenlet partikuláris megoldásához jutunk. A partikuláris megoldást gyakran határozzuk meg úgy, mint az említett görbesereg (x0,y0) ponton átmenő elemét. Ezt az y(x0) = y0 feltételt kezdeti feltételnek is nevezzük. Partikuláris megoldás: az egyenlet rendjénél kevesebb tetszőleges állandó. Szinguláris (rendhagyó) megoldás. dy Az  f ( x, y ) egyenlet megoldása létezésének feltétele az ( x0 , y0 ) pont környezetében: dx Egyértelmű megoldás létezik, ha x0  a  x  x0  a, y0  b  y  y0  b tartományban f ( x, y ) és f  x, y  folytonosak. y b ( x) r ( x) Normál alak: y   p ( x ) y  q ( x ) p ( x)  és q ( x)  a(x) ≠ 0 a ( x) a ( x) Változókban homogén differenciálegyenlet  y y   f   alakú, vagy ekvivalens átalakításokkal ilyen alakúra hozható differenciálegyenletet x változókban homogénnak nevezzünk. y Új változó bevezetésével szétválaszthatóvá alakítjuk: u  ; y  ux ; y   u x  u ; u x  u  f (u ) x du dx ;  f u   u x Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása dy Szétválasztható (szeparábilis) egyenlet: f1 ( x )1 ( y )  f 2 ( x ) 2 ( y ) f1 ( x)  0 és 2 ( y)  0 dx  ( y) f ( x) Szétválasztott állapotban: 1 dy  2 dx 2 ( y ) f1 ( x )

46


1 ( y ) f ( x) dy   2 dx , G ( y )  F ( x )  C 2 ( y ) f1 ( x ) Az y' = f(x) típusú differenciálegyenletnek végtelen sok megoldása lehet, ugyanis: Integrálás után: 

 y ' dx  y   f (x )dx  F (x )  C ,ahol

C tetszőleges konstans, más néven szabad

paraméter. Könnyen belátható, hogy n-edrendű differenciálegyenlet esetén n számú szabad paramétert tartalmaz a megoldás. A homogén egyenlet integrálása: dy dy   p( x)dx ln y    p( x)dx  ln c  p ( x ) y  0 , ahonnan y  ce P ( x ) dx y Inhomogén egyenletek általános megoldása Az elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását a neki megfelelő homogén egyenlet általános megoldása, és az inhomogén egyenlet egy (tetszőleges) partikuláris megoldása összegeként kapjuk. Ennek megfelelően a megoldási algoritmus: 1. Elhagyjuk az egyenlet jobb oldalát (r(x) := 0), majd az így kapott homogén egyenletnek meghatározzuk az általános megoldását. 2. Az eredeti inhomogén egyenletnek keressük egy tetszőleges partikuláris megoldását. 3. Összeadjuk a fentiek szerint kapott általános és partikuláris megoldásokat. Inhomogén egyenlet integrálása az állandó variálásának módszerével: y  c ( x )e  P ( x ) ; y  c( x)e  P ( x )  c( x) p ( x)e  P ( x ) ; c( x)e  P ( x )  c( x) p( x)e  P ( x )  p( x)c( x)e  P ( x )  q ( x) ; c( x)  e P ( x ) q ( x) ; c( x)   e P ( x) q( x)dx  K ; y  Ke P ( x )  e  P ( x )  e P ( x ) q ( x)dx Szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldása Szétválasztható a differenciálegyenlet, ha y' = f(x)h(x) alakú, vagy átalakításokkal ilyen alakúra hozható. Az ilyen típusú differenciálegyenlet mindig megoldható. A megoldás főbb lépései: dy alakban írjuk fel. dx 2. Formálisan szorozzuk az egyenletet dx taggal. 3. Úgy rendezzük (választjuk szét) az egyes tényezőket, hogy az egyik oldalon csak y, a másikon csak x függvényei legyenek. 4. Integráljuk külön-külön mindkét oldalt. A két oldalon kapott C állandókat összevonjuk egy oldalra, és általában ln C alakban adjuk meg. A megoldást nem szükséges (sokszor nem is lehetséges) y-ra feloldott, explicit alakban felírni.

1. A derivált tagot y ' 

47


48


10. Differenciálegyenletek 2. Elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletek. Állandó variálás módszere, próbafüggvény módszer. Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén és inhomogén differenciálegyenletek. Lineáris inhomogén differenciálegyenletek általános megoldása ( )

+

( )

+

( )

+ ⋯+

( )

+

( ) = ( )

Ebben az esetben f(x)-et zavaró függvénynek nevezzük. ( ) Ezek a differenciálegyenletek mindig felírhatóak Yá + y alakban, ahol Yá az ( ) + + ( ) ( ) ( ) +⋯+ + = 0 lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása, pedig egy partikuláris megoldása. Lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldása kereshető = alakban. Lineáris inhomogén differenciálegyenlet esetén ha ismerjük a partikuláris megoldásait, akkor azok lineáris kombinációi is megoldások lesznek. Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása a rendjének megfelelő, nem állandó, független partikuláris megoldások számszorosának összege. Elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletek ( ) + ( ) = ( ) Az általános megoldás szétválasztással kereshető, a partikuláris megoldást pl. az állandó variálás módszerével számolhatjuk ki. = ( ) á = A homogén és az inhomogén megoldás nem lehet azonos. Az állandó variálásának módszere: = ( ) + ( ) ′ ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldása az állandó variálásának módszerével kapható meg. Az inhomogén egyenlet y0 partikuláris megoldását a homogén egyenlet már ismert általános megoldásához hasonló szerkezetűnek tételezzük fel, csak az abban szereplő C állandót most egy C(x) függvénynek képzeljük. Az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve megkapjuk C(x)-et. Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek Homogén rész alakja:

= 49


Inhomogén speciális zavarófüggvényű egyenlet megoldását próbafüggvény segítségével oldjuk meg. f(x) x +1 ax + bx + c 5x ax + bx + cx + d e ae 1 ae e 18 sin(4-x) asin(4-x)+bcos(4-x) 5cos(4-x) asin(4-x)+bcos(4-x) 2sin(4-x)-8cos(4-x) asin(4-x)+bcos(4-x) 2 +8 + / / +2 + + =( + ) / xsinx (ax+b)(csinx+dcosx) Példaként egy másodrendű differenciálegyenlet megoldása: + 10 + 9 = 2 Homogén rész: Y’’+10Y’+9Y=0 = = ′′ = + 10 +9 =0 Kiemelünk -t és így elkészítjük a karakterisztikus egyenletet: + 10 + 9 = 0 = −9 = −1 + á = Partikuláris megoldás: = + = =0 0 + 10 + 9 + 9 = 2 x: 9 = 2 = 2/9 : 10 + 9 = 0 = −20/81 2 = − 20/81 9 2 20 − + + á = 9 81 Ha a karakterisztikus egyenlet megoldása ± , akkor a lineáris homogén állandó együtthatós differenciálegyenlet általános megoldása: ( + ) á =

50


11. Differenciálegyenletek 3. A Laplace-transzformáció definíciója, tulajdonságai. Elemi függvények Laplace-transzformáltja. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Definíció:

Legyen f függvény a nem negatív számokon értelmezve. Az f Laplace-transzformáltján 

s t  f t   e dt improprius integrált értjük, amennyiben ez az s paraméter függvényében 0

konvergens. Az s paraméter általános esetben komplex szám is lehet. Az f függvény Laplace-transzformáltjának jelölése:L[f(t)] vagy F(s) vagy f (s) Tétel: Ha f függvény a nem negatív számokon értelmezve van, továbbá T

1. bármely [0;T] intervallumon (T >0) az  f ( t ) dt létezik, azaz itt f abszolút integrálható és 0

2. van olyan t0, melyhez létezik olyan A>0 és B valós szám, hogy f ( t )  AeBt minden t> t0 esetén, azaz f exponenciális tulajdonságú, akkor az f függvénynek létezik Laplace-transzformáltja. Ha fennáll f ( t )  Ae B t , azt mondjuk, hogy g(t) majorálja f(t) függvényt. Tétel: A Laplace-transzformáció összeg- és aránytartó. L[f(t)+g(t)]=L[f(t)]+L[g(t)], illetve L[cf(t)]= cL[f(t)] Az állítás következik abból, hogy a Laplace-transzformáció integrálással és határértékszámítással rendeli a tárgyfüggvényhez a képfüggvényt.

51


Nevezetes függvények Laplace-transzformáltja: 1. f(t)=1  1  es t  1   , ha s  0  1 s t e dt  lim  lim     s s     s  s   0   0    se div., ha s  0



L1 

1 s

2. f(t)= t Először határozzuk meg a Laplace-transzformációnál szereplő integrandus primitív függvényét: es t es t e s t es t s t  te dt  t  s    s dt  t  s   s2 v u'

v'  1 u 

es t s 

Lt  

 e s t e s t  Lt    te dt  lim  t  2    s s 0 0  

s t

1 s2

 e s  e s  1  lim   2 0 2  s s s   s0 s<0 

Az első két tagot hozzuk közös nevezőre: lim  e 

s 



 s  1  s

2

1  s2 

Az exponenciális függvény kitevője ekkor plusz végtelenbe tart, az s<0 miatt a –s–1 is plusz végtelenbe tart, így az improprius integrál divergens lesz. s>0 Az exponenciális függvényeket levihetjük a nevezőbe: 1 1 1   lim  s   2 s   0  2  , és ott végtelenbe tartanak. Ezért a második tag   0 . Az   se s  2 s  se   s e első tagban a számláló és a nevező is végtelenhez tart. Ez határozatlan esetet jelent. Mondhatjuk, hogy 0hoz tart, mert az exponenciális függvény erősebben tart -hez, mint egy polinom, de számolhatunk x 1 L’Hospital szabállyal is: s x x  2 sx x  0 . Így lim  s   2 1s   12   lim   0  0  12   12 ,    se se se s     s  s  se azaz az improprius integrál konvergens. 52


3. f(t)= ea t 

at s t

e e



dt   e

0



( sa ) t

0

 e sa  t  dt  lim     s  a    0 sa

 

L e at 

1 sa

 1 , ha s  a  1 1    lim    sa    s  a    sa   s  a e div., ha s  a

4. f(t)=sint

 sin te

s t

dt

A primitív függvényt integrálások után egy egyenletrendszerből határozhatnánk meg, azonban a kapott függvénnyel nem sokat tudnánk kezdeni. Helyette komplex számos ismereteket alkalmazhatunk. e j  cos   j sin  e j  cos   j sin  e j  cos    j sin   

e  j  cos   j sin  

e j  e  j  2 j sin  A kivonás után kapott alakból fejezzük ki a sin  -t: 1 1 sin   e j  e  j 2 2 Legyen  = at 1  1 1  1 1   Lsin at   L  e jat  e jat     2j 2j  2 j  s  ja s   ja  

1 1 1  1 s  ja  s  ja 1 2 ja a       2 2 2 2 j  s  ja s  ja  2 j s  ja s  ja  2 j s  a s  a2 Tehát integrálás nélkül, korábbi ismereteket felhasználva számolhattunk Laplace-transzformáltat. 

Lsin at  

a s2  a2

53


Függvények Laplace-transzformáltjai 1 L[1]= s 1 L[t]= 2 s n! L[ t n ]= n 1 s 1 L[ ea t ]= sa a L[sinat]= 2 2 s a s L[cosat]= 2 s  a2 a L[shat]= 2 2 s a s L[chat]= 2 2 s a at L[f(t) e ]= f (s  a ) n

d f L[f(t) t ]=  1 dsn ha 0  t  a 0, Ha g(t)=  , akkor L[f(t-a)]= f (s) e  a t f t  a , ha a  t n

n

Ly'  s y  y(0)

Ly' '  s 2 y  sy(0)  y' (0) Egy differenciálegyenlet megoldása Laplace-transzformációval: 2 y' y  2 x 3 I.



  2Ly'   Ly   2Lx  3! 2s y  y(0)   y  2 s L 2 y'- y



 L 2x 3

3

4

54


12 s4 12 y 2s  1  2  4 s

2s y  2  y  II.

y

2 12  2s  1 2s  1s 4

2s 4  12 2s 4  12 y  2s  1s 4 2 s  1  s 4 2  2s 4  12 A B C D E   4 3 2 1 s s s s  1 2 s  s 4 s2  2  1  1  1  1 As 4  B s    C s  s  D s  s 2  E s  s 3 4 2s  12 2 2 2 2      1 1     2 s  s 4 2 s  s 4 2 2    

1 1 1 1     2 s 4  12  As 4  B s    C  s   s  D s   s 2  E  s   s 3 2 2 2 2     s0 s

1 2

1  B  24 2 1 1  12  A  A  194 8 16

12   B

s4 : s3 :

A  E  2  E  192 E E D   0  D   96 2 2

s2 :

C

D D  0  C   48 2 2

  1 x   194 24 48 96 192 2 III. y p  L1   4  3  2   194 e  4 x 3  24 x 2  96x  192  1 s s s s  s  2  A megoldás lépései: 55


1. A differenciálegyenlet mindkét oldalán el kell végezni a Laplacetranszformációt. 2. Rendezünk y felülvonás szerint 3. Résztörtekre bontás 4. Inverz Laplace-transzformáció

12. Sorok 1. Végtelen numerikus sorok. A konvergencia szükséges és elégséges feltételei. Nevezetes numerikus sorok. A végtelen sor és a konvergencia fogalma Ha az a1,a2,…,an,… számsorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsoljuk, akkor az így 

keletkező a 1 + a2 +..+ a n +…=

a

n

kifejezést végtelen sornak (vagy röviden sornak)

n 1

nevezzük. Az a 1,a2,.. számok a sor tagjai. Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy a sor tagjai számok, akkor numerikus sort mondunk. Részletösszegek sorozatának nevezzük az s1 = a 1, s2 = a 1 + a2, …, sn = a1 + a 2 +…+ an sorozatot, ahol az sn szám a sor n-edik részletösszege. A végtelen sor összegét a részletösszegek sorozatának határértékeként értelmezzük: lim s n = s. Ha az s1 , s2 ,..., sn ,... számsorozat konvergens, akkor a végtelen sort konvergensnek nevezzük, és a részletösszegek sorozatának a határértékét, a lim sn  s számot a végtelen sor összegének n 



nevezzük és a1  a2  a3 ...   an  s alakban jelöljük. n 1

A végtelen sort konvergensnek mondjuk, ha a részletösszegek sorozata konvergens. Ha az (sn) sorozat divergens, akkor a végtelen sor is divergens. Megjegyzés. (1)A harmonikus sor divergens annak ellenére, hogy tagjai zérushoz tartanak.  1 (2) A  1   0  sor konvergens. n 1 n Konvergencia kritériumok

56


A részletösszegek sorozatának konvergenciájáról általában nehéz meggyőződni. A konvergencia kritériumok segítségével a sorozat vizsgálata nélkül lehet eldönteni, hogy a sor konvergens, vagy divergens. A végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy lim an  0 legyen. Cauchy-féle kritérium Arra ad feleletet, hogy konvergens a sorozat. A an sor pontosan akkor és csak akkor konvergens, ha minden  > 0 esetén van olyan N természetes szám, hogy n  N esetén snk  sn  an1  an2 ... ank <  , ahol a k tetszőleges természetes szám. Tehát ez a kritérium azt mondja ki, hogy a sor pontosan akkor és csak akkor konvergens, ha az (n+1)-edik (n  N) tagtól kezdődő akármilyen nagy „szeletének” a számértéke előírtan kicsiny. A végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy lim an = 0 legyen, de nem elégséges. Ha lim an ≠ 0, akkor a sor biztosan divergens. Összehasonlító kritériumok (pozitív tagú sorokra) A pozitív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata (felülről) korlátos. Legyenek a n és bn pozitív tagú sorok, továbbá legyen minden n esetén an  b n. Ekkor, ha bn konvergens, akkor an is konvergens. Ha an divergens, akkor b n is divergens. Másképpen fogalmazva:  Pozitív tagú konvergens sor minoránsa konvergens.  Pozitív tagú divergens sor majoránsa divergens. Pozitív tagú sor konvergenciájának elegendő feltétele, hogy legyen konvergens majoránsa. Pozitív tagú sor divergens, ha van pozitív tagú divergens minoránsa. Hányadoskritérium (pozitív tagú sorokra) (leggyakrabban használt) a a Ha a an pozitív tagú sornál lim n 1  1 , akkor a sor konvergens, lim n 1  1 , akkor a sor an an a divergens, lim n 1  1 , akkor a sor lehet konvergens is, de lehet divergens is. an Gyökkritérium (pozitív tagú sorokra) A pozitív tagú  an végtelen sor konvergens, ha bizonyos N -től kezdve n an  q < 1,

n  N.

Ha a an pozitív tagú sornál lim n a n  1 , akkor a sor konvergens, lim n a n  1 , akkor a sor divergens, lim n a n  1 , akkor a sor lehet konvergens is, de lehet divergens is. Integrálkritérium (pozitív tagú sorokra)

57


Legyen f(x) az [1,) intervallumon pozitív, csökkenő függvény. Legyen továbbá f(n) = an minden n természetes szám esetén. Ekkor a an pozitív tagú végtelen sor konvergens vagy 

divergens, aszerint hogy az

 f ( x )dx improprius integrál konvergens vagy divergens. 1

Ez a kritérium igen hatékony. A konvergenciát (vagy a divergenciát) akkor is képes kimutatni, amikor a hányados- vagy a gyökkritériummal ez nem lehetséges. Leibniz-kritérium (váltakozó előjelű sorokra) A an sort Leibniz-típusúnak mondjuk, ha a) tagjai váltakozó előjelűek (azaz an an 1 < 0 ) b) az an számok csökkenő sorozatot alkotnak, c) lim an  0. Ha a a n váltakozó előjelű sornál az |an| számok csökkenő módon nullához tartanak, akkor a sor konvergens. Abszolút és feltételes konvergencia A an sor abszolút konvergens, ha a |an| sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor a sort feltételesen konvergensnek mondjuk. TÉTEL. Minden abszolút konvergens sor konvergens. DEFINÍCIÓ. Ha egy végtelen sorban végtelen sok tag sorrendjét megváltoztatjuk, akkor a sor átrendezéséhez jutunk. TÉTEL. (Riemann-tétel). Bármely feltételesen konvergens sor átrendezhető úgy, hogy az új sor összege tetszőleges, előre adott C szám legyen. Van olyan átrendezés is, amelynél az összeg +, vagy - . TÉTEL. Bármely abszolút konvergens sort átrendezve az új sor is abszolút konvergens lesz, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. Műveletek konvergens sorokkal 



n 1

n1

Ha a  an sor konvergens, akkor a  can sor is konvergens, és  can  c  an , c  R. Sorok összege Az a1  a2 ... an ... és b1  b2 ... bn ... sorok összegén az (a1  b1 )  ( a2  b2 ) ... ( an bn )  ... sort értjük. Két konvergens sor összege konvergens sor, melynek összege a két sor összegének az összege. Sorok szorzata a1b2 a1b3 …  an a1b1 a2b2 a2b3 …  bn a2b1 58


a3b1 a3b2 a3b3 … a1b1+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a2b3+a3b1)+… Nevezetes sorok Mértani sor: + + +⋯=∑

,ha |q|<1 =

lim

=

+

+. . . =

1− 1−

,ha |q|<1

Harmonikus sor ∑ sor divergens. e-t megadó sor: ∑ 1/ !=e

13. Sorok 2. Függvénysorok. Hatványsorok, konvergencia tartomány, konvergencia sugár. Taylor-sor. Taylor-sor maradéktagjának felső becslése. Függvénysorok Függvénysorozat: a természetes számokhoz függvényeket rendelünk: f1  x , f 2 x ,..., f n x ,... Függvénysor: Végtelen sok tagú összegek, melynek tagjai függvények. Jelölése: ∑ ( ) Konvergencia az x0  I pontban: lim f n  x0   f  x0  ; f n x0   f x0    ;   0 ; n  N Konvergenciapont: Az x0 a ∑ ( ) konvergenciapontja, ha az f1 x   f 2 x   ...  f n x  numerikus sor konvergens. Konvergencia tartomány: az I intervallum, ha az f n x  sorozat annak minden pontjában konvergens. Egy függvénysor konvergenciapontjainak halmazát konvergenciatartománynak nevezzük. Határfüggvény: határfüggvényre öröklődik a folytonosság, lim f n  x   f x  A b

b

a

a

differenciálhatóság és integrálhatóság is: lim f nx   f  x  , lim  f n x dx   f x dx

59


Egyenletes konvergencia: ha az N küszöbindex az I intervallumon nem függ x-től, tehát minden N  N   , hogy f n x   f  x    , ha és   0 -hoz található xI n  N. f  x     f n  x   f x    Hatványsorok Speciális függvénysor. A hatványsor tagjai hatványfüggvények. ∑ felírt hatványsor. Tétel: Egy hatványsor vagy csak a felírás helyén on konvergens vagy van olyan r, hogy | − | < esetén konvergens vagy | − | > esetén divergens.

=

( −

) az

helyen

helyen konvergens vagy a ] − ∞, +∞[-

Tétel: Egy hatványsor derivált (integrált sora) az eredeti konvergenciatartományon konvergens és az új sor összegfüggvénye az eredeti összegfüggvény deriváltja (integráltja). A határokon nem tudjuk. Konvergencia tartománya egy intervallum, az ún. konvergencia intervallum. Ennek fél hossza a konvergencia sugár. A cnxn hatványsor konvergencia sugara az r  lim

cn 1 vagy r  cn 1 lim n | cn |

formulával számítható. 

c0  c1 x  c2 x 2  ...  cn x n  ...   cn x n ; c0  c1  x  a   c2  x  a   ...  cn x  a   ... 2

n

n 0

c0 , c1 , c2 ,..., cn ,... - a sor együtthatói. Ha a c0  c1 x  c2 x 2  ...  cn x n  ... hatványsor az x0  0 helyen konvergens, akkor abszolút konvergens minden olyan x helyen, amelyre x  x0 . Következmény: ha x0 helyen konvergens,

 x

0

, x0 -ban abszolút konvergens.

Tétel: ha x0 helyen divergens, akkor minden x  x0 helyen is divergens. Taylor-sor n-edfokú, x = a körüli Taylor polinom (az a helyen): f ' ' (a ) f ' ' ' (a ) f ( n ) (a ) Tn ( x )  f ( a )  f ' ( a ) * ( x  a )  * ( x  a)2  * ( x  a ) 3  ...  * ( x  a)n 2 3! n! Ha f(x) végtelen sokszor differenciálható, akkor az a helyen felírható Taylor-sor:

60


( )=

( ) ( − ) !

Az f(x) függvény Taylor-sora a helyen előállítja az f(x) függvényt, ha a Lagrange-féle maradéktag 0-hoz tart n → ∞ esetén. A  az ’x’ és ’a’ közötti szám. A Taylor-féle maradéktag Lagrange-féle alakja: f ( n 1) () R n ( x )  f ( x )  Tn ( x )  ( x  a ) n 1 ahol  az x és a közötti hely. (n  1)! n-edfokú Maclaurin (x = 0 körüli) polinom: f ' ' (0) 2 f ' ' ' ( 0) 3 f ( n ) ( 0) n M n ( x )  f (0)  f ' (0) * x  *x  * x  ...  *x 2 3! n! A Taylor-féle maradéktag Lagrange-féle alakja: f ( n 1) ( ) Rn ( x)  f ( x )  Tn ( x )  ( x  a )n 1 ahol  az x és a közötti hely. ( n  1)!

f ( n 1) ( x ) ( x  a ) n 1 ( n  1)! Ha lim R n(x) = 0, akkor a Taylor-sor összegfüggvénye maga az f(x) függvény. A függvény hatványsorba fejtésének egyik módja a Taylor (Maclaurin) sorfejtés. Az egyenletes és abszolút konvergencia miatt azonban a sorfejtés egyszerűbben is végrehajtható. Például ismert sorokból kiindulva, összeadással, szorzással, tagonkénti deriválással, integrálással stb. Ha =x, a Hiba <

14. Sorok 3. Fourier-sor. Taylor-sor, Fourier-sor konvergenciája. Fourier-sorok 

A 2 szerint periodikus f függvény Fourier-sora: a 0   (a n cos nx  b n sin nx ) , ahol n 1

2

a0 

1 f ( x )dx 2 0 2

2

1 1 f ( x ) cos kx dx , b k   f ( x ) sin kx dx , k = 0, 1, 2, 3,…  0 0 Az ak, bk számok a Fourier-együtthatók. Páros függvény esetén minden bk = 0 (sin-es tagok), páratlan függvény esetén pedig minden ak = 0 (cos-s tagok). ak 

61


f(x)=a0+a1cosx+b 1sinx+a2cosx+b2sinx+… Az f(x)-nek létezik Fourier-sora, ha f 2 szerint periódikus és integrálható. Ha egy 2π szerint periodikus f függvény egy x0 helyen balról és jobbról differenciálható (ebből következik, hogy az x0-ban f-nek létezik az f(x 0-0) bal és az f(x0+0) jobb oldali határértéke),akkor az f Fourier-sora x0-ban az ( − 0) + ( + 0) 2 értékhez konvergál. Taylor-sor n-edfokú, x = a körüli Taylor polinom (az a helyen): f ' ' (a ) f ' ' ' (a ) f ( n ) (a ) Tn ( x )  f ( a )  f ' ( a ) * ( x  a )  * ( x  a)2  * ( x  a ) 3  ...  * ( x  a)n 2 3! n! Ha f(x) végtelen sokszor differenciálható, akkor az a helyen felírható Taylor-sor: ( ) ( )= ( − ) !

15.Kétváltozós függvények 1. Értelmezési tartomány. Az első- és másodrendű parciális derivált. Gradiens. Teljes differenciál. Érintősík egyenlete, hibaszámítás. Értelmezési tartomány: szóba jöhető (x,y) számpárok halmaza, x és y független változók. Értékkészlet: a helyettesítési értékek halmaza. Tartomány: összefüggő nyílt halmaz, határpontokat hozzávéve zárt tartomány. Egyszeresen összefüggő tartomány: bármely határponttól határpontig terjedő átvágással két darabra esik. A T értelmezési tartomány R2 részhalmaza: T  R2 geometriai jelentés szerint az [x,y] sík pontjainak részhalmaza. Pl.: f ( x, y)  x 2  y 2 x  0, y  0 ért. tartománya

62


1 pl.

2.pl.

f  x, y   1  x  y Ért. tart. megh.: x 2  y 2  1 ; x 2  y 2  1 körön belüli pontok: Értékkészlet: [0,1] Függvény képe (ábrája): az f x, y   z egyenletet kielégítő koordinátájú térbeli pontok halmaza. 2

2

Kétváltozós függvénynek nevezzük az olyan függvényt, mely egy rendezett számpárhoz valós számot rendel. Jelölése: f(x,y), ahol x és y a függvény független változói. A kétváltozós függvény értelmezési tartománya külön megadható. Megadás hiányában mindazon (x,y) pontot az értelmezési tartomány részének tekintünk, ahol f(x,y) értelmezhető. Ábrázolása A kétváltozós függvényeket a derékszögű koordinátarendszerben szokásosan úgy ábrázoljuk, hogy a függvényértéket a z tengelyen (függőleges), míg a független változókat az x és y tengelyen vesszük fel. A fentieknek megfelelően a kétváltozós függvény felülettel ábrázolható. A geometriában ismert felületek minden esetben leírhatóak kétváltozós függvényként (pl. a sík egyenlete: Ax + By +Cz -D = 0 ). Gömb egyenlete: x 2  y 2  z 2  a 2 z

y

x

63


Az f(x) az x0 helyen differenciálható, ha f(x)-f(x0)=A lim → = és lim → =0 .

−

+ ( −

) alakban írható, ahol

Az f(x,y) az ( ) helyen totálisan differenciálható, ha f(x,y)-f(x0, y0)=A(x0-y0)+B( − ( − )+ ( − ) alakban írható, ahol lim → é → = , lim → é → = lim → = 0 . i=1,2…

)+ és

Parciális derivált Az f függvény határértéke az (x0 , y0) helyen a H szám, ha bármely pozitív -hoz van olyan pozitív

δ,

hogy

f  x, y   H   ,

hacsak

0  x  x0  

és

0  y  y0   .

jelölés:

lim f x, y   H

x  x0 y  y0

H általában nem számítható a következőmódon: lim  lim f x, y  x  x0  y  y0 

A derivált fogalma két (vagy több) változós függvények esetén is értelmezhető, de mindig csak egyetlen változó szerint képezhető: f x0  x, y 0   f  x0 , y0  ; f xx0 , y0   lim x  0 x A fenti határértéket az f függvény (x0,y0) helyhez tartozó x szerinti parciális differenciálhányadosának nevezzük, ha az létezik és véges. f'x függvény neve: x szerinti parciális derivált. A parciális derivált előállítása úgy történik, hogy a függvényt x változó szerint deriváljuk, a többi független változót konstans paraméterként kezeljük. A derivált értékének kiszámításához a derivált függvénybe behelyettesítjük az (x0,y0) értékeket. Az egyváltozós függvények deriváltjaira érvényes deriválási szabályok a parciális deriváltakra is vonatkoznak. A fentiekkel analóg módon állítható elő és értelmezhető az y változó szerinti parciális derivált. f x0 , y0  y   f  x0 , y0  f y x0 , y0   lim y  0 y f f Jelölések: f x, f y, . , x y Másodrendű parciális deriváltak

64


Mivel a kétváltozós függvények parciális deriváltjai is kétváltozósak, ezért ezek a deriváltak is deriválhatóak parciálisan. Így jutunk a másodrendű (második) parciális deriváltakhoz. Ezekből négyféle létezik: 2 f 2 f 2 f  2 f f"xx ; f"yy ; f"xy és f"yx , 2 , , , x yx xy y 2 Utóbbi két esetben az egyik deriválás az x, a másik az y változó szerint történt. Amennyiben ez utóbbi, ún. vegyes parciális deriváltak folytonosak, akkor azok egyenlőek is, tehát: f"xy = f"yx. Gradiens: Olyan vektor, amelynek x szerinti és y szerinti parciális deriváltak adják a koordinátáit: ( ( , ), ( , )) Teljes differenciál: df=f’xdx+f’ydy A parciális deriváltak összege. Felület érintősíkja Az f(x,y) felület megadott (x0,y0) ponthoz tartozó érintősíkja formálisan az alábbi lépéseken keresztül adható meg: 1. Meghatározzuk z0 értékét a megadott helyen. 2. Elvégezzük a függvény x és y szerinti parciális deriválását. 3. Kiszámítjuk az (x0,y0) helyhez tartozó x és y tengely menti érintőket. 4. Az érintők vektoriális szorzata adja az érintősík normálvektorát. Az érintősík normálvektora egyszerűbben is meghatározható a következő összefüggés segítségével: n = (f'x(x0,y0), f'y(x0,y0), -1) Érintősík: r  r0 n  0 x  x0  f x x0 , y0    y  y0  f y x0 , y0    z  z0   0 Hibaszámítás: A legkönnyebben egy példán keresztül mutatható meg. Adott egy henger. m=7,4 dm d=9 dm ∆ = 3 ∆ =3 A ∆ pl. hiba. Mekkora hibával számoljuk a henger térfogatát? V = r πm = ∆ ≤

∆ |

+

∆ |

=

9 ∗ 7,4 ∗ 2

→

∆ + 2| 81 ∗ 0,03 + ∗ 0,03 4 65

4|

∆ = 5,04


16. Kétváltozós függvények 2. Integrálszámítás téglalap- és normáltartományon. Geometriai jelentés, területés térfogatszámítás. Az alábbi tétel szerint, elég általános esetben, a kettős integrál átalakítható kétszeres integrálássá, ami a tanult technikával többnyire megoldható. A tételt először arra az esetre mondjuk ki, amikor A téglalap. Legyen A = {(x, y): a < x < b, c < y < d}, és f(x, y) az A-n integrálható függvény. Tegyük fel továbbá, hogy minden rögzített y  (c, d)-re a b

g ( y)   f ( x, y )dx a

integrál létezik, akkor g(y) is integrálható (c, d)-n, és d



f ( x, y) dxdy   g ( y) dy .

A

c

A tétel állítása a következő formában használatos: db   f ( x, y )dx dy , f ( x , y ) dxdy     A ca  ahol a zárójel természetesen mellőzhető. Az integrálások sorrendje - ha a tétel feltételei teljesülnek - felcserélhető. Legyen most A a 1(x) és a 2(x) által meghatározott, az (a, b) intervallumhoz tartozó normáltartomány. Az f(x, y) legyen az A-n integrálható. Fedjük le A-t a koordináta tengelyekkel párhuzamos oldalú N téglalappal és vezessük be azt a g(x, y) függvényt, amely A-n megegyezik ffel, A-n kívül pedig 0, akkor bd

b  2 ( x)

 fdxdy   gdxdy   gdxdy    g ( x, y )dydx    f ( x, y)dydx . A

A

N

ac

a 1 ( x )

Ez a formula tekinthető a normáltartmányokra vonatkozó kettős integrálok kiszámítási formulájának. A z=f(x,y) függvénynek a T tartomány feletti kettős integrálja létezik, ha T bármely felosztása mellett, tetszőleges reprezentáns ( , ) i=1,..n pontok választása esetén a ∑ ( , )∗∆ integrálközelítő összegek sorozatának létezik véges határértéke maxdi->0 mellett. 66


A kettős integrál tulajdonságai: • hasonlóak az egyváltozós integrál tulajdonságaihoz, • integrálható a függvények összege, • konstansszorosa is integrálható, • az összeg integrálja a tagok integráljának összege, • konstansszorzó kiemelhető az integrál jel elé. A kettős integrál kétszeres integrál.

Definiálja az x tengelyre nézve normáltartomány fogalmát!

f2(x)

axb f1(x) y f2(x)

f1(x) b

a

∫

b

a

f2(x)

∫ f(x,y)dy dx f1(x)

X tengely felől nézve normál terület. Legyen a T tartomány: {(x, y)a x  b;  1 (x)  y   2(x)} normáltartomány! Hogyan számíthatjuk ki az ezen a tartományon integrálható, f(x,y) kétváltozós valós függvényt?

 2 (x)

a x  b  1 (x)  y   2(x)

 (x) a

b

b

2(x)

∫dx ∫ f(x,y)dy a

67

1(x)


Mit nevezünk egy korlátos és a T tartományon értelmezett f(x;y) függvény egy a T tartomány felosztásához tartozó integrálközelítő összegének? Ha T tartományt n részre bontjuk fel és az i-edik rész egy pontja (ci;di), és ennek a területe t, akkor az integrál közelítő összeg: Σni=1f(ci;di)ti. Mikor mondjuk, hogy egy tartomány-felosztás minden határon túl finomodik? Ha mindegyik részének az átmérője a 0-hoz tart. Mikor mondjuk azt, hogy a T tartományon értelmezett korlátos f függvény integrálható ezen a tartományon? Ha az integrálközelítő összegeknek bármely minden határon túl finomodó felosztás sorozat esetén ugyanaz a véges határértéke van. Mit nevezünk egy T tartományon integrálható f függvény kettős integráljának ezen a tartományon? Az integrálközelítő összegek közös határértékét. Mondjon egy elégséges feltételt arra, hogy egy normáltartománynak véges egyesítéséből álló tartományon egy függvény integrálható legyen? Legyen a függvény ezen a tartományon folytonos. Mivel egyenlő a ∫∫TcfdT? ∫∫TcfdT=c∫∫TfdT, ahol c az állandó. Mivel egyenlő a ∫∫T(f+g)dT? ∫∫T(f+g)dT=∫∫TfdT+∫∫TgdT Mivel egyenlő a ∫∫T1(f)dT+∫∫T2(f)dT? ∫∫T1(f)dT+∫∫T2(f)dT=∫∫T1UT2(f)Dt Mondjon egy geometriai jelentését a T-n értelmezett f≥0 kettős integráljának? Annak a térrésznek a térfogata, amelyet alulról a T tartomány, felülről a függvény felülete határol. Mit nevezünk x-re nézve normál tartománynak? Azt a tartományt, amelyet balról az x=a, jobbról az x=b, alulról az y=f1(x), felülről az y=f2(x) folytonos függvények határolnak úgy, hogy f1(x)≤f2, ha a≤x≤b. Mit nevezünk y-ra nézve normál tartománynak? Azt a tartományt, amelyet alulról az y=c, felülről az y=d, balról az x=g1(y), jobbról az x=g2(y) folytonos függvények határolnak úgy, hogy g1(x)≤g2, ha c≤y≤d.

68


Hogyan kell kiszámolni az x-re nézve a kettős integrált normál tartományra? b f2(x) f(x;y) dy dx. a∫ f1(x) ∫ Hogyan kell kiszámolni az y-ra nézve a kettős integrált normál tartományra? d g2(y) f(x;y) dx dy. c∫ g1(y)∫ Hogyan kell kiszámolni a kettős integrált téglalap tartományon? b d d b a∫ c∫ f(x;y) dy dx = c∫ a∫ f(x;y) dx dy. A terület egyetlen integrál két függvény között, a térfogat egy kettős integrál. Az integrálási sorrend változtatható, az eredmény nem változik.

69

Analízis esti szigorlati tételek (BMF-NIK) Készítette: Hamula Kornél. integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás,

Recommend Documents