Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

3-2

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 3 Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal Dengan mempelajari lanjutan tentang model sinyal ini, kita akan • memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal; • mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatu bentuk gelombang sinyal; • memahami sinyal periodik yang dapat dipandang sebagai suatu spektrum; • mampu menncari spektrum sinyal; • memahami arti lebar pita frekuensi. 3.1. Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal 3.1.1. Gelombang Periodik dan Aperiodik Suatu gelombang disebut periodik jika gelombang itu selalu berulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik, maka v(t+T0) = v(t) untuk semua nilai t, dengan T0 adalah periodanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kondisi tersebut. Contoh: sinyal gigi gergaji adalah sinyal periodik. Sinyal yang tidak periodik disebut juga sinyal aperiodik. 3.1.2. Sinyal Kausal dan Sinyal $on-Kausal Sinyal kausal bernilai nol sebelum saat Ts tertentu. Jadi jika sinyal v(t) adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < Ts. Jika tidak demikian maka sinyal itu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasa dianggap bernilai nol pada t < 0, dengan menganggap t = 0 sebagai awal munculnya sinyal. Contoh: sinyal sinus adalah sinyal non-kausal; sinyal anak tangga adalah sinyal kausal. Jika kita mengalikan persamaan suatu bentuk gelombang dengan fungsi anak tangga satuan, u(t), maka kita akan mendapatkan sinyal kausal. 3.1.3. $ilai Sesaat Nilai amplitudo gelombang v(t), i(t), ataupun p(t) pada suatu saat t tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu. 3-1

3.1.4. Amplitudo Pada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu diantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, Vmaks, dan amplitudo minimum, Vmin . 3.1.5. $ilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value) Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dari amplitudo dan didefinisikan sebagai:

V pp = Vmaks − Vmin

(3.1)

Dengan definisi ini maka Vpp selalu positif, walaupun mungkin Vmaks dan Vmin keduanya negatif. 3.1.6. $ilai puncak Nilai puncak Vp adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo.

V p = Max{ Vmaks , Vmin

}

(3.2)

3.1.7. $ilai rata-rata Nilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai:

Vrr =

1 T

t0 +T

∫t

v ( x )dx

0

(3.3)

Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T0. Ada tidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyal mengandung komponen konstan (tidak berubah terhadap waktu) atau tidak. Komponen konstan ini disebut juga komponen searah dari sinyal. 3.1.8. $ilai efektif ( nilai rms ; rms value) Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal. Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikan kepada resistor R oleh tegangan v(t), yaitu:

p(t ) = 3-2

1 [v(t )]2 R


(3.4)

Daya rata-rata yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu T adalah:

Prr =

1 T

t0 +T

∫ [ p(t )]dt

(3.5)

t0

Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kita peroleh:

Prr =

 t 0 +T  1 1 [v(t )]2 dt   R T t0  

∫

(3.6)

Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atas merupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelombang. Akar dari besaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms atau nilai efektif.

Vrms =

1 T

t0 +T

∫ [v(t )]

2

dt

(3.7)

t0

Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval satu siklus untuk menghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kita dapat menuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor sebagai: 1 2 Prr = Vrms (3.8) R Perhatikan bahwa persamaan untuk menghitung Prr dengan menggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip dengan persamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu : 1 p(t ) = [v (t )]2 (3.9) R Oleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena ia menentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor, setara dengan sinyal searah v(t) = Vas yang menentukan besar daya sesaat. CO$TOH-3.1: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (Vp), tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini.

3-3

6V

6V t

0 0 1 2

3 4 5

6 7 8 t

−4V 1 2

a) Penyelesaian : a). V p = 6 V

V rr =

3 4 5

6 7 8

9

b)

;

V pp = 6 V

;

T = 3s

3  1 1 2  6dt + 0dt  = (6 × 2 + 0) = 4 V 2 3 0  3

∫

∫

3  1 2 2 1 (36 × 2 + 0) = 4,9 V  6 dt + 0 2 dt  = 2 3 0 3  b). V p = 6 V ; V pp = 10 V ; T = 3 s

Veff =

V rr = Veff =

∫

∫

3 1 2  1  6dt + − 4dt  = (6 × 2 − 4 ×1) = 2,66 V  2 3 0  3

∫

∫

3 1 2 2 1   6 dt + (−4) 2 dt  = (36 × 2 + 16 ×1) 2 3 0 3 

∫

∫

= 5,42 V Pemahaman : Gelombang periodik dalam contoh di atas, mempunyai persamaan gelombang yang terdiri dari banyak suku sebagaimana dijelaskan pada gelombang komposit. Akan tetapi untuk menghitung nilai rata-rata ataupun efektif, kita cukup melihat satu siklus saja dan bilamana diperlukan gelombang kita nyatakan dalam beberapa bagian yang mempunyai persamaan sederhana.

CO$TOH-3.2: Tentukanlah v nilai tegangan puncak (Vp), 6V tegangan puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan tegangan 0 efektif dari bentuk gelombang tegangan di samping ini. 3-4

1 2

3 4

5


6 7

t

Penyelesaian : Bentuk gelombang ini berperioda 4 detik dan dapat kita nyatakan sebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara 0 – 2 detik, antara 2 – 3 detik, dan antara 3 – 4 detik.

Vp = 6 V Vrr =

V pp = 6 V

;

1 2  3tdt + 4  0

Veff =

∫

1  4 

2

∫0 9t

3

;

T = 4s 4



1  6×3   = 2,25 V 2 

∫2 (6 − 6(t − 2))dt + ∫30dt  = 4  2

dt +

3

∫2 (6 − 6(t − 2))

2

dt +

4

∫3 0

2

 dt  = 3,0 V 

3.2. Spektrum Sinyal 3.2.1. Bentuk Gelombang Periodik dan Komponennya Kita telah melihat bahwa bentuk gelombang adalah persamaan atau grafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Di samping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakan sebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktu dengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, atau di kawasan frekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum. Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponenkomponen sinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari sinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan komponen sinus dengan frekuensi harmonisa nf0 . Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalian frekuensi dasar f0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda sinyal T0 = 1/f0. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa ke-dua (2fo), harmonisa ke-tiga (3f0), dan seterusnya yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf0. Gb.3.1. di bawah ini memperlihatkan bagaimana bentuk gelombang ditentukan oleh perberbedaan komponenkomponen yang menyusunnya.

3-5

v

4 v

4

0 -5

0

t

15

-5

-4

15

t

-4

(a) v = 3 cos 2f0t

(b) v = 1 + 3 cos 2f0t v

v 4

1 0

-5

t

-5

15

15 -4

-4

(c)

v = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t )

(d)

v = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t + π / 4)

Gb.3.1. Bentuk gelombang periodik tergantung komponenkomponen sinusnya. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh sinyal dengan bentuk gelombang yang dinyatakan oleh persamaan

v = 10 + 40 cos(2πf 0t ) + 20 sin (2π(2 f 0 )t ) − 10 cos(2π(4 f 0 )t ) Sinyal ini merupakan jumlah dari satu komponen searah dan tiga komponen sinus yang kita sebut juga komponen bolak-balik. Komponen searah sering kita sebut komponen berfrekuensi nol karena v(t) = VA cos(2πft) = VA jika f = 0. Komponen bolak-balik yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Untuk melihat spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti VA cos(2πft+φ). Dengan menggunakan identitas sin(x) = cos(x-90o) dan −cos(x) = cos(x+180o), maka persamaan sinyal di atas dapat kita tuliskan sebagai: 3-6


v = 10 + 40 cos(2πf 0t ) + 20 cos(2π2 f 0t − 90o ) + 10 cos(2π4 f 0t + 180 o ) Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi Amplitudo (V) Sudut fasa

0 10

f0 40

2 f0 20

4 f0 10

−

0°

−90°

180°

Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahas karena ia menunjukkan baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo pada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10, 30, 15, dan 7,5 Volt. Sudut fasa dari komponen bolak-balik yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan 4f0 berturut turut adalah 0o, −90o, dan 180o. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa, seperti terlihat pada Gb.3.2. berikut ini. Spektrum Amplitudo

Spektrum Sudut Fasa 180

40 o

[ ]

[V] 30

90

20

0 0

1

2

3

4

5

10 -90 0 0

1

2

3

4

Frekwensi [ x fo ]

5

-180

Frekwensi [ x fo ]

Gb.3.2. Spektrum amlitudo dan spektrum sudut fasa Penguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisa, dapat diperluas untuk semua bentuk gelombang sinyal periodik. Bentuk gelombang persegi misalnya, yang juga merupakan suatu bentuk gelombang periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian gelombang persegi ini adalah sebagai berikut: 3-7

10 cos(2π3 f 0t − 90 o ) 3 10 10 + cos(2π5 f 0t − 90 o ) + cos(2π7 f 0t − 90 o ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 7

v = 10 cos(2πf 0t − 90 o ) +

Dari persamaan untuk gelombang persegi ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –90o; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen searah dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut: Frekuensi: Amplitudo: Sudut Fasa:

0 0 -

f0 10 -90o

2f0 0 -

3f0 3,3 -90o

4f0 0 -

5f0 6f0 2 0 -90o -

.. .. ..

nf0 10/n -90o

Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa dari gelombang persegi ini terlihat pada Gb.3.3. di bawah ini. Spektrum Amplitudo Gel. Persegi 10

Spektrum Sudut Fasa Gel. Persegi Frekuensi [ xf0] 0

[V]

1 2

3

4 5

6 7

8

9 10 11

0

5

o

-45

[] -90

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Frekuensi [ xf0 ]

9 10 11 -135

Gb.3.3. Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa gelombang persegi. Gb.3.4. berikut ini memperlihatkan bagaimana gelombang persegi terbentuk dari harmonisa-harmonisanya.

3-8


a)

b)

c)

e) d) Gb.3.4. Uraian bentuk gelombang persegi. a) sinus dasar; b) sinus dasar + harmonisa ke-3; c) sinus dasar + harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5; d) sinus dasar + harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5 + harmonisa ke-7; e) sinus dasar + harmonisa-harmonisa sampai harmonisa ke-21. Penjumlahan sampai dengan harmonisa ke-21 memperlihatkan bahwa penjumlahan seterusnya akan makin mendekati bentuk gelombang persegi. Sampai harmonisa ke berapa kita akan melakukan penjumlahan tergantung dari kepuasan kita untuk menerima bentuk yang diperoleh sebagai bentuk pendekatan gelombang persegi.

3.2.2. Lebar Pita Dari contoh gelombang persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk gelombang persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk gelombang yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk gelombang yang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa, akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk gelombang persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu kita dapat menetapkan suatu batas frekuensi tertinggi dengan menganggap amplitudo dari harmonisa-harmonisa yang memiliki frekuensi di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Sebagai contoh, batas frekuensi 3-9

tertinggi tersebut dapat kita ambil frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal (misalnya) 2% dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi dapat kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width).

3.2.3. Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier yang kita pelajari dalam matematika. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier:

f (t ) = a 0 +

∑[an cos(2πnf 0t ) + bn sin(2πnf 0t )]

(3.10)

Persyaratan Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral |f(t)| dalam selang satu perioda adalah berhingga, dan f(t) mempunyai ketidak-kontinyuan dalam jumlah yang terbatas dalam satu perioda. Deret Fourier konvergen untuk fungsi periodik yang memenuhi persyaratan ini. Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidak memenuhi persyaratan ini namun mempunyai deret Fourier yang konvergen. Jadi persyaratan Dirichlet ini cukup untuk terjadinya deret Fourier yang konvergen tetapi tidak harus. Persyaratan ini tidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakan bentukbentuk gelombang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektro memenuhi persyaratan ini. Contoh-contoh bentuk gelombang periodik yang sering kita temui adalah gelombang persegi, deretan pulsa, segitiga, gigi-gergaji, sinus, cosinus, sinus setengah gelombang, sinus gelombang penuh. Dalam persamaan (3.10) a0 adalah komponen searah yang merupakan nilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalah komponen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dan cosinus, masing-masing dengan koefisien Fourier an dan bn. Persamaan (3.10) menunjukkan bahwa komponen sinus dari sinyal periodik ditentukan oleh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu 3-10


∞

S=

∑ [an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )] n =1 ∞

   bn sin(nω0t )  = an  cos(nω0t ) + an  n =1  

∑

(3.11)

bn Jika a = tan ϕ n maka persamaan (3.11) menjadi n ∞

S=

a

∑ cosnθn [cos ϕ n cos(nω0t ) + sin ϕ n sin(nω0t )]

n =1 ∞

=

∑ 

n =1

a 2 + b 2 cos(nω0 t − ϕ n ) 

dan (3.10) menjadi ∞

y (t ) = a 0 +

∑ 

n =1

a n2 + bn2 cos(nω0 t − ϕ n ) 

(3.12)

Bentuk persamaan (3.12) ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a0 adalah nilai rata-rata sinyal;

a n2 + bn2 adalah amplitudo-amplitudo

sinyal sinus dan ϕn adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka (3.12) merupakan pernyataan matematis dari sinyal periodik secara umum. Nilai ϕn tergantung dari tanda an dan bn. an

bn

+

+ +

− − +

− −

ϕn di kuadran pertama di kuadran ke-dua di kuadran ke-tiga di kuadran ke-empat

Koefisien Fourier ditentukan melalui hubungan (3.13).

3-11

a0 = an = bn =

1 T0

∫−T

2 T0

∫−T

2 T0

∫−T

T0 / 2 0

/2

T0 / 2 0

/2

T0 / 2 0

/2

f (t )dt f (t ) cos(2πnf 0 t )dt

(3.13)

f (t ) sin(2πnf 0t )dt

Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula (3.13) ini dapat dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yang diketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicari persamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva (grafik), maka perhitungan dapat dilakukan dengan pendekatan numerik yang akan kita pelajari di bab lain.

3.2.4. Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang Periodik Pada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung dari kesimetrisan sinyal y(t). Ada dua kondisi simetri yaitu simetri genap dan simetri ganjil (gasal).

Simetri Genap. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri genap jika y(t) = y(−t). Sinyal dengan simetri genap simetris terhadap sumbu-y. Untuk sinyal semacam ini, dari (3.10) kita dapatkan y(t) A

-T0/2

∞

y (t ) = a0 +

T0/2

t

To

∑[an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]

dan

n =1 ∞

y(−t ) = a0 +

∑[an cos(nω0t ) − bn sin(nω0t )] n =1

3-12


Kalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan uraian sinyal y(t) yang memiliki simetri genap ini menjadi

bn = 0 ∞

y (t ) = a o +

∑ [an cos(nω0t )]

(3.14)

n =1

Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyal cosinus; sinyal cosinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap.

Simetri Ganjil. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri ganjil jika y(t) = −y(−t). Sinyal semacam ini simetris terhadap titik-asal [0,0]. T0 y(t) A t

−A Dari (3.10) kita dapatkan ∞

− y ( −t ) = − a0 +

∑[− an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]

n =1

Kalau sinyal ini harus sama dengan ∞

y (t ) = a0 +

∑ [an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]

n =1

maka haruslah a0 = 0 dan an = 0 ∞

y (t ) =

∑ [bn sin(nω0t )]

(3.15)

n =1

Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyal sinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil. Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier pada beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk gelombang yang tercantum disini adalah bentuk gelombang yang persamaan matematisnya mudah diperoleh, sehingga pencarian koefisien Fourier menggunakan hubungan (3.13) dapat dilakukan.

3-13

Penyearahan Setengah Gelombang: i

a0 = A / π

t T0

2A / π

n genap; a n = 0 n ganjil 1− n2 b1 = A / 2 ; bn = 0 n ≠ 1 an =

Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu a 0 ≠ 0 . Perhitungan a0, an, bn lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi (3.12).

Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus: v

a0 = 2 A / π

A

4A / π n genap; a n = 0 n ganjil 1− n2 bn = 0 untuk semua n an =

t

T0

Sinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandung komponen sinus; bn = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya an untuk n genap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.

Sinyal Persegi: v A

T

a0 = 0

0

t

a n = 0 semua n ; bn =

4A n ganjil; bn = 0 n genap nπ

Sinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidak mengandung komponen cosinus; an = 0 untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu, jadi a0 = 0. 3-14


Deretan Pulsa: v

a 0 = AT / T0

T0

A

an =

t

T

nπT 2A sin nπ T0

bn = 0 untuk semua n

Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; bn = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu a0 ≠ 0 .

Sinyal Segitiga: v

a0 = 0

T0

A

8A n ganjil; an = 0 n genap ( nπ) 2 bn = 0 untuk semua n an =

t

Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; bn = 0 untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a0 = 0.

Sinyal Gigi Gergaji: v a0 = A / 2

A

T0

an = 0 untuk semua n

t

bn = −

A untuk semua n nπ

Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a0 = A / 2. Ia memiliki simetri ganjil; an = 0 untuk semua n.

CO$TOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelombang penyearahan tegangan setengah gelombang v = sin ω0t V sampai dengan harmonisa ke-6 dan gambarkan spektrum amplitudo dan bentuk gelombang pendekatannya. Penyelesaian:

3-15

Sinus setengah gelombang ini beramplitudo 1. Koefisien Fourier menurut formula di atas, serta amplitudo dan sudut fasa komponen gelombang ini adalah: Koefisien Fourier a0 0,318 a1 0 b1 0,5 a2 -0,212 b2 0 a4 -0,042 b4 0 a6 -0,018 b6 0

Amplitudo 0,318 0,5

ϕ [rad]

0,212

0

0,042

0

0,018

0

1,57

Dengan menggunakan koefisien Fourier, persamaan gelombang adalah

v(t ) = 0,318 + 0,5 sin(ω0t ) − 0,212 cos 2ω0t − 0,042 cos 4ω0t − 0,018 cos 6ω0t V yang nilai amplitudonya adalah

A0 = 0,318 V; A1 = 0,5 V; A2 = 0,212 V; A4 = 0,042 V; A6 = 0,018 V Gambar berikut ini memperlihatkan spektrum amplitudo sedangkan bentuk gelombang pendekatan dalam satu perioda (sampai harmonisa ke-6) terlihat pada gambar di bawah ini. 0.6 [V]

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

3-16

1

2

3

4 5 6 harmonisa


1.2 [V] 0.8

v v1

v0

0.4

[o] 360

0 0

90

180

270

-0.4

CO$TOH-3.4: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji memiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus per detik. Uraikanlah bentuk gelombang tegangan ini atas komponenkomponen sampai harmonisa ke-7 dan gambarkan spektrum amplitudonya serta bentuk gelombang pendekatan. Penyelesaian: Setelah diperoleh koefisien Fourier, persamaan gelombang gigi gergaji dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai:

v (t ) = 10 − 6,366 sin ω0 t − 3,183sin 2ω0 t − 2,122 sin 3ω0 t − 1,592 sin 4ω0 t − 1,273sin 5ω0 t − 1,061sin 6ω0 t − 0,909 sin 7ω0 t V Spektrum amplitudo terlihatkan pada gambar berikut. 12

[V] 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

harmonisa

Jika kita gambarkan bentuk gelombang sampai harmonisa ke-7 seperti yang dinyatakan oleh persamaan di atas, kita akan mendapatkan bentuk seperti gambar di bawah ini. Terlihat pada gambar ini bahwa dengan memperhitungkan komponen hanya sampai harmonisa ke-7, bentuk gelombang gigi gergaji yang diperoleh sangat terdistorsi.

3-17

25

[V]20 15 10 5 0 -5

3-18

0

90

180

270

360 [o]


Soal-Soal 1. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal-sinyal berikut. perioda v 5 [V] 0

a).

3 4 5

1 2

6

t (detik)

−5 perioda v 5 [V] 0

b).

−3

3 4 5

1 2

6

t (detik)

perioda v 5 [V] 0 1 2

c).

3 4 5

6

t (detik)

−5 perioda v [V]

d).

5 0

1 2 3 4 5

t (detik)

−5

2.

a). Gambarkan bentuk gelombang deretan pulsa tegangan beramplitudo 10 V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.

3.

a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber amplitudo 10 V dengan perioda 0,5 s. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.

3-19

4. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 50 mA dengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jika pulsa arus itu diambil dari batere berkapasitas 0,5 Ah, berapa lamakah batere akan bertahan ? 5. Gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasa dari gelombang tegangan berikut dan tentukan lebar pita dengan mengambil batas terrendah amplitudo harmonisa 5%. a). v = 4 + 5 sin 2π2000t − 2 cos 2π4000t + 0,2 sin 2π8000t V b). v = 3 cos(2π1000t − 60 o ) - 2sin2π2000t + cos2π8000t V

3-20


21

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Waktu

Recommend Documents