Sudaryatno Sudirham
Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s
2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
BAB 3 Fungsi Jaringan Pembahasan fungsi jaringan akan membuat kita • memahami makna fungsi jaringan, fungsi masukan, dan fungsi alih; • mampu mencari fungsi alih dari suatu rangkaian melalui analisis rangkaian; • memahami peran pole dan zero dalam tanggapan rangkaian; • mampu mencari fungsi alih rangkaian jika tanggapan terhadap sinyal impuls ataupun terhadap sinyal anak tangga diketahui. 3.1. Pengertian dan Macam Fungsi Jaringan Sebagaimana kita ketahui, prinsip proporsionalitas berlaku di kawasan s. Faktor proporsionalitas yang menghubungkan keluaran dan masukan berupa fungsi rasional dalam s yang disebut fungsi jaringan (network function). Secara formal, fungsi jaringan di kawasan s didefinisikan sebagai perbandingan antara tanggapan status nol dan sinyal masukan.
Fungsi Jaringan =
Tanggapan Status Nol ( s) Sinyal Masukan ( s)
(3.1)
Definisi ini mengandung dua pembatasan, yaitu a) kondisi awal harus nol dan b) sistem hanya mempunyai satu masukan. Fungsi jaringan yang sering kita hadapi ada dua bentuk, yaitu fungsi masukan (driving-point function) dan fungsi alih (transfer function). Fungsi masukan adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang (port) dengan masukan di gerbang yang sama. Fungsi alih adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang dengan masukan pada gerbang yang berbeda. 3.1.1. Fungsi Masukan Contoh fungsi masukan adalah impedansi masukan dan admitansi masukan, yang merupakan perbandingan antara tegangan dan arus di terminal masukan.
3-1
Z (s) =
V (s) ; I (s)
Y (s) =
I (s) V ( s)
a). CO!TOH-3.1: b). Carilah R 1 + impedansi Is(s) − Vs(s) Cs masukan yang dilihat oleh sumber pada rangkaian-rangkaian berikut ini.
(3.2)
R
1 Cs
Penyelesaian :
1 RCs + 1 ; = Cs Cs 1 1 + RCs R b). Yin = + Cs = ⇒ Z in = 1 + RCs R R
a). Z in = R +
3.1.2. Fungsi Alih Dalam rangkaian pemroses sinyal, pengetahuan mengenai fungsi alih sangat penting karena fungsi ini menentukan bagaimana suatu sinyal masukan akan mengalami modifikasi dalam pemrosesan. Karena sinyal masukan maupun sinyal keluaran dapat berupa tegangan ataupun arus, maka kita mengenal empat macam fungsi alih, yaitu
Fungsi Alih Tegangan : TV ( s) =
Vo ( s) ; Vin ( s)
I (s) Fungsi Alih Arus : TI ( s) = o I in ( s) Admitansi Alih : TY ( s) = Impedansi Alih :
I o ( s) ; Vin ( s)
TZ ( s) =
(3.3)
Vo ( s) I in ( s)
TV (s) dan TI (s) tidak berdimensi. TY (s) mempunyai satuan siemens dan TZ (s) mempunyai satuan ohm. Fungsi alih suatu rangkaian dapat diperoleh melalui penerapan kaidah-kaidah rangkaian serta analisis rangkaian di kawasan s. Fungsi alih memberikan hubungan antara sinyal masukan dan sinyal keluaran di kawasan s. 3-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
CO!TOH-3.2: Carilah fungsi alih rangkaian-rangkaian berikut. + Vin(s) −
R
+ Vo(s) −
1 Cs
Io(s)
Iin(s) 1 R
Cs
a).
b).
Penyelesaian : Kaidah pembagi tegangan untuk rangkaian a) dan kaidah pembagi arus untuk rangkaian b) akan memberikan :
a). TV ( s) =
Vo ( s) 1 / Cs 1 ; = = Vin ( s) R + 1 / Cs RCs + 1
I (s) 1/ R 1 b). TI ( s) = o = = I in ( s) 1 / R + sC 1 + sRC CO!TOH-3.3: Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di samping ini.
+ vin −
L
R1
R2
C
+ vo −
Penyelesaian : Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan + Vin(s) −
R1 1/Cs
Ls R2
+ Vo (s) −
Z in = (R1 + 1 / Cs ) || (Ls + R2 ) = =
( R1 + 1 / Cs )( Ls + R2 ) R1 + 1 / Cs + R2 + Ls ( R1Cs + 1)( Ls + R2 ) LCs 2 + ( R1 + R2 )Cs + 1
TV ( s ) =
Vo (s) R2 = V in ( s ) Ls + R 2
3-3
CO!TOH-3.4: Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di samping ini. Penyelesaian :
R2
R1 + vin −
C1
− +
Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan rangkaian berikut ini : R1
+ vo −
R2
+ Vin(s) 1/C1s −
−
1/C2s
+
Zin = R1 || (1 / C1s ) =
TV ( s ) =
C2
+ Vo(s) −
R1 / C1s R1 = R1 + 1 / C1s R1C1s + 1
V o (s) Z R || (1 / C 2 s ) =− 2 =− 2 Vin ( s ) Z1 R1 || (1 / C1 s )
=−
R2 R C s +1 × 1 1 R2 C 2 s + 1 R1
R R C s +1 =− 2 1 1 R1 R 2 C 2 s + 1
CO!TOH-3.5: Tentukan fungsi alih rangkaian di samping ini.
Penyelesaian :
1µF A + vs −
1MΩ 1MΩ 1µF
+ vo + vx + − µvx −
Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan rangkaian dan persamaan berikut ini
3-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
106/s + 106 A 106 Vs(s) 106/s −
+ + Vo(s) Vx + − µVx −
Persamaan tegangan untuk simpul A :
(
)
V A 10 −6 + 10 −6 + 10 −6 s −6 −6 − Vin 10 − V x 10 = 0 − 10 −6 sµV x sedangkan : Vx =
106 / s
VA 106 + 106 / s 1 = VA → VA = ( s + 1)Vx s +1 ⇒ ( s + 1)(2 + s)Vx − Vin − Vx − sµVx = 0 atau (2s + 2 + s 2 + s − 1 − µs)Vx = Vin ⇒
Vx 1 = Vin s 2 + (3 − µ) s + 1
V ( s ) µV x ( s) µ Fungsi alih : TV ( s ) = o = = 2 V s (s) V s (s) s + (3 − µ) s + 1 3.2. Peran Fungsi Alih Dengan pengertian fungsi alih sebagaimana telah didefinisikan, keluaran dari suatu rangkaian di kawasan s dapat dituliskan sebagai
Y ( s ) = T ( s ) X ( s ) ; dengan T ( s ) adalah fungsi alih X ( s ) : pernyataan sinyal masukan di kawasan s
(3.4)
Y ( s) : keluaran (tanggapan status nol) di kawasan s. Fungsi alih T(s) berupa fungsi rasional yang dapat dituliskan dalam bentuk rasio dari dua polinom a(s) dan b(s) : 3-5
b( s) bm s m + bm −1 s m −1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +b1 s + b0 (3.5) = a ( s) a n s n + a n −1 s n −1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a 0 Nilai koefisien polinom-polinom ini berupa bilangan riil, karena ditentukan oleh parameter rangkaian yang riil yaitu R, L, dan C. Fungsi alih dapat dituliskan dalam bentuk T ( s) =
T ( s) = K
( s − z1 )(s − z2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( s − zm ) ( s − p1 )(s − p2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( s − pn )
(3.6)
Dengan bentuk ini jelas terlihat bahwa fungsi alih akan memberikan zero di z1 …. zm dan pole di p1 …. pn . Pole dan zero dapat mempunyai nilai riil ataupun kompleks konjugat karena koefisien dari b(s) dan a(s) adalah riil. Sementara itu sinyal masukan X(s) juga mungkin mengandung zero dan pole sendiri. Oleh karena itu, sesuai dengan persamaan (3.6), sinyal keluaran Y(s) akan mengandung pole dan zero yang dapat berasal dari T(s) ataupun X(s). Pole dan zero yang berasal dari T(s) disebut pole alami dan zero alami, karena mereka ditentukan semata-mata oleh parameter rangkaian dan bukan oleh sinyal masukan; sedangkan yang berasal dari X(s) disebut pole paksa dan zero paksa karena mereka ditentukan oleh fungsi pemaksa (masukan). CO!TOH-3.6: Jika sinyal masukan pada rangkaian dalam contoh3.5 adalah vin = cos2t u(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran Vo(s) untuk µ = 0,5. Penyelesaian : Pernyataan sinyal masukan di kawasan s adalah : s Vin ( s) = 2 s +4 Fungsi alih rangkaian telah diperoleh pada contoh 3.5; dengan µ = 0,5 maka
TV ( s ) =
µ 2
s + (3 − µ ) s + 1
=
0,5 2
s + 2,5s + 1
Dengan demikian sinyal keluaran menjadi
3-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
V o ( s) = TV ( s )Vin ( s) =
s
0,5 2
2
s + 2,5s + 1 s + 4 0,5 s = ( s + 2)( s + 0,5) ( s + j 2)( s − j 2) Pole dan zero adalah :
s = −2
: pole alami riil
s = −0.5 : pole alami riil
s=0
: satu zero paksa riil
s = − j 2 : pole paksa imaginer s = + j 2 : pole paksa imajiner
3.2.1. Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Impuls Sinyal masukan yang berbentuk gelombang impuls dinyatakan dengan x(t) = δ(t). Pernyataan sinyal ini di kawasan s adalah X(s) = 1. Dengan masukan ini maka bentuk sinyal keluaran Vo(s) akan sama dengan bentuk fungsi alih T(s).
Vo ( s) = T ( s) X ( s) = T ( s) × 1 = H ( s)
(3.7)
Vo(s) yang diperoleh dengan X(s) = 1 ini kita sebut H(s) agar tidak rancu dengan T(s). Karena X(s) = 1 tidak memberikan pole paksa, maka H(s) hanya akan mengandung pole alami. Kembali ke kawasan t, keluaran vo(t) = h(t) diperoleh dengan transformasi balik H(s). Bentuk gelombang h(t) terkait dengan pole yang dikandung oleh H(s). Pole riil akan memberikan komponen eksponensial pada h(t); pole kompleks konjugat (dengan bagian riil negatif ) akan memberikan komponen sinus teredam pada h(t) dan pole-pole yang lain akan memberikan bentuk-bentuk h(t) tertentu yang akan kita lihat melalui contoh berikut. CO!TOH-3.7: Jika sinyal masukan pada rangkaian dalam contoh3.5 adalah vin = δ(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran untuk nilai µ = 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, 5. Penyelesaian :
µ Fungsi alih rangkaian ini adalah : TV ( s) = 2 s + (3 − µ) s + 1 Dengan masukan vin = δ(t) yang berarti Vin(s) = 1, maka keluaran rangkaian adalah :
3-7
H (s) =
µ 2
s + (3 − µ) s + 1 0,5 0,5 µ = 0,5 ⇒ H ( s ) = = 2 s + 2,5s + 1 ( s + 2)(s + 0,5) ⇒ dua pole riil di s = −2 dan s = −0,5 µ = 1 ⇒ H (s) =
1
=
0,5
⇒ dua pole riil di s = −1 s + 2s + 1 ( s + 1) 2 2 2 µ = 2 ⇒ H (s) = = 2 s + s + 1 ( s + 0,5 − j 3 / 2)( s + 0,5 + j 3 / 2) 2
⇒ dua pole kompleks konjugat di s = −0,5 ± j 3 / 2 3 3 µ = 3 ⇒ H (s) = = 2 s + 1 ( s + j1)( s − j1) ⇒ dua pole imajiner di s = ± j1 4 4 µ = 4 ⇒ H (s) = = 2 s − s + 1 ( s − 0,5 − j 3 / 2)( s − 0,5 + j 3 / 2) ⇒ dua pole kompleks konjugat di s = 0,5 ± j 3 / 2 5 5 µ = 5 ⇒ H (s) = 2 = ⇒ dua pole riil di s = 1 s − 2 s + 1 ( s − 1) 2 Contoh-3.7 ini memperlihatkan bagaimana fungsi alih menentukan bentuk gelombang sinyal keluaran melalui pole-pole yang dikandungnya. Berbagai macam pole tersebut akan memberikan h(t) dengan perilaku sebagai berikut. µ = 0,5
: dua pole riil negatif tidak sama besar; sinyal keluaran sangat teredam.
µ=1
: dua pole riil negatif sama besar ; sinyal keluaran teredam kritis.
µ =2
: dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil negatif ; sinyal keluaran kurang teredam, berbentuk sinus teredam.
µ=3
: dua pole imaginer; sinyal keluaran berupa sinus tidak teredam.
3-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
µ=4
: dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil positif ; sinyal keluaran tidak teredam, berbentuk sinus dengan amplitudo makin besar.
µ=5
: dua pole riil posistif sama besar; sinyal keluaran eksponensial dengan eksponen positif; sinyal makin besar dengan berjalannya t.
Gambar berikut menjelaskan posisi pole dan bentuk tanggapan rangkaian di kawasan t yang berkaitan. pole di ± jβ 1 .2
jω 0 0
20
×
-1 . 2
× pole di − α ± jβ
×
× ×
× pole riil negatif
pole di + α ± jβ
×
σ
× ×
pole riil positif
pole di 0+j0 (lihat pembahasan berikut) Gb.3.1. Posisi pole dan bentuk gelombang keluaran. 3.2.2. Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Anak Tangga Transformasi sinyal masukan yang berbentuk gelombang anak tangga x(t) = u(t) adalah X(s) = 1/s. Jika fungsi alih adalah T(s) maka sinyal keluaran adalah T (s) Y (s) = T (s) X (s) = (3.8) s
3-9
Jika kita bandingkan (3.8) ini dengan (3.7) dimana tanggapan terhadap sinyal impuls dinyatakan sebagai H(s), maka tanggapan terhadap sinyal anak tangga ini dapat kita sebut T ( s) H ( s) G ( s) = = (3.9) s s Karena H(s) hanya mengandung pole alami, maka dengan melihat bentuk ini kita segera mengetahui bahwa tanggapan terhadap sinyal anak tangga di kawasan s akan mengandung satu pole paksa disamping pole-pole alami. Pole paksa ini terletak di s = 0 + j0; pole inilah yang ditambahkan pada Gb. 3.3. Mengingat sifat integrasi pada transformasi Laplace, maka g(t) dapat diperoleh jika h(t) diketahui, yaitu
g (t ) =
t
∫0 h( x)dx
(3.10)
Secara timbal balik, maka dg (t ) h (t ) = , berlaku di semua titik kecuali di t dt dimana g (t ) tidak kontinyu.
(3.11)
CO!TOH-3.8: Dalam contoh-3.7, jika µ = 2 dan sinyal masukan berupa sinyal anak tangga, carilah pole dan zero sinyal keluaran. Penyelesaian : Dengan µ = 2 fungsi alihnya adalah TV ( s) =
2 2
s + s +1 Dengan sinyal masukan X(s) = 1/s , tanggapan rangkaian adalah 2 1 2 G (s) = = 2 ( s + s + 1) s ( s + 0,5 − j 3 / 2)( s + 0,5 + j 3 / 2) s
Dari sini kita peroleh :
s = −0,5 ± j 3 / 2 : dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil negatif s=0
: satu pole paksa di 0 + j 0
3-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
3.3. Hubungan Bertingkat dan Kaidah Rantai Hubungan masukan-keluaran melalui suatu fungsi alih dapat kita gambarkan dengan suatu diagam blok seperti Gb.3.2.a. X(s)
T(s)
Y(s)
X(s)
T1(s)
Y1 (s)
a).
T2(s) Y(s)
b). Gb.3.2. Diagram blok
Suatu rangkaian pemroses sinyal seringkali merupakan hubungan bertingkat dari beberapa tahap pemrosesan. Dalam hubungan bertingkat ini, tegangan keluaran dari suatu tahap menjadi tegangan masukan dari tahap berikutnya. Diagram blok dari hubungan bertingkat ini ditunjukkan oleh Gb.3.2.b. Untuk hubungan bertingkat ini berlaku kaidah rantai yaitu apabila suatu rangkaian merupakan hubungan bertingkat dari tahapan-tahapan yang masing-masing mempunyai fungsi alih tegangan TV1(s), TV2(s) ….dst. maka fungsi alih tegangan total rangkaian menjadi
TV ( s ) = TV 1 ( s)TV 1( s) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅TVk ( s)
(3.12)
Kaidah rantai ini mempermudah kita dalam melakukan analisis dari suatu rangkaian yang merupakan hubungan bertingkat dari beberapa tahapan. Namun dalam hubungan bertingkat ini perlu kita perhatikan agar suatu tahap tidak membebani tahap sebelumnya. Jika pembebanan ini terjadi maka fungsi alih total tidak sepenuhnya menuruti kaidah rantai. Untuk menekan efek pembebanan tersebut maka harus diusahakan agar impedansi masukan dari setiap tahap sangat besar, yang secara ideal adalah tak hingga besarnya. Jika impedansi masukan dari suatu tahap terlalu rendah, kita perlu menambahkan rangkaian penyangga antara rangkaian ini dengan tahap sebelumnya agar efek pembebanan tidak terjadi. Kita akan melihat hal ini pada contoh berikut. CO!TOH-3.9: Carilah fungsi alih kedua rangkaian berikut; sesudah itu hubungkan kedua rangkaian secara bertingkat dan carilah fungsi alih total. + R1 Vin 1/Cs −
+ Vo −
+ Vin −
Ls
R2
+ Vo − 3-11
Penyelesaian : Fungsi alih kedua rangkaian berturut-turut adalah
TV 1( s) =
1 / Cs 1 = R1 + 1 / Cs R1Cs + 1
TV 2 ( s) =
dan
R2 R2 + Ls
Jika kedua rangkaian dihubungkan maka rangkaian menjadi seperti di bawah ini. + R1 Vin 1/Cs −
Ls
+ Vo −
R2
Fungsi alih rangkaian gabungan ini adalah: TV ( s) =
R2 1 / Cs || ( R2 + Ls) R2 + Ls 1 / Cs || ( R2 + Ls ) + R1 1 / Cs( R2 + Ls ) + R1 1 / Cs + R2 + Ls
=
R2 1 / Cs( R2 + Ls ) R2 + Ls 1 / Cs + R2 + Ls
=
R2 R2 + Ls 2 R2 + Ls LCs + ( L + R2C )s + ( R1 + R2 )
Pemahaman : Fungsi alih dari rangkaian yang diperoleh dengan menghubungkan kedua rangkaian secara bertingkat tidak merupakan perkalian fungsi alih masing-masing. Hal ini disebabkan terjadinya pembebanan rangkaian pertama oleh rangkaian kedua pada waktu mereka dihubungkan. Untuk mengatasi hal ini kita dapat menambahkan rangkaian penyangga di antara kedua rangkaian sehingga rangkaian menjadi seperti di bawah ini. + R1 Vin 1/Cs −
+ −
Ls
R2
Diagram blok rangkaian ini menjadi :
3-12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
+ Vo −
Vin(s)
Vo1 TV1
Vo1 1
Vo(s) TV1
Contoh-3.9. di atas menunjukkan bahwa kaidah rantai berlaku jika suatu tahap tidak membebani tahap sebelumnya. Oleh karena itu agar kaidah rantai dapat digunakan, impedansi masukan harus diusahakan sebesar mungkin, yang dalam contoh diatas dicapai dengan menambahkan rangkaian penyangga. Dengan cara demikian maka hubungan masukan-keluaran total dari seluruh rangkaian dapat dengan mudah diperoleh jika hubungan masukan-keluaran masingmasing bagian diketahui. Pengembangan dari konsep ini akan kita lihat dalam analisis sistem. 3.4. Fungsi Alih dan Hubungan Masukan-Keluaran di Kawasan Waktu Dalam pembahasan di atas dapat kita lihat bahwa jika kita bekerja di kawasan s, hubungan masukan-keluaran diberikan oleh persamaan
Y (s) = T (s) X (s) Bagaimanakah bentuk hubungan masukan-keluaran di kawasan waktu? Menurut (3.9) T(s) = H(s), sehingga kita dapat menggunakan konvolusi untuk melakukan transformasi balik dari hubungan di atas dan kita dapatkan hubungan masukan-keluaran di kawasan waktu, yaitu
y (t ) =
t
t
∫0 h(τ) x(t − τ)dτ = ∫0 x(τ)h(t − τ)dτ
(3.13)
dengan h(t) adalah tanggapan impuls dari rangkaian. Persamaan (3.13) ini memberikan hubungan di kawasan waktu, antara besaran keluaran y(t), besaran masukan x(t), dan tanggapan impuls rangkaian h(t). Hubungan ini dapat digunakan langsung tanpa melalui transformasi Laplace. Hubungan ini sangat bermanfaat untuk mencari keluaran y(t) jika h(t) ataupun x(t) diperoleh secara experimental dan sulit dicari transformasi Laplace-nya. Konvolusi berlaku untuk rangkaian linier invarian waktu. Jika batas bawah adalah nol (seperti pada 3.13), maka sinyal masukan adalah sinyal kausal, yaitu x(t) = 0 untuk t < 0.
3-13
3.5. Tinjauan Umum Mengenai Hubungan Masukan-Keluaran Dari pembahasan mengenai fungsi alih diatas dan pembahasan mengenai hubungan masukan-keluaran pada bab-bab sebelumnya, kita dapat mengetahui bahwa hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan di suatu rangkaian dapat kita peroleh dalam beberapa bentuk. Di kawasan s, hubungan tersebut diperoleh melalui transformasi Laplace. Hubungan tersebut juga dapat kita peroleh di kawasan t melalui konvolusi. Di samping itu kita ingat pula bahwa hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan dapat pula diperoleh dalam bentuk persamaan diferensial, seperti yang kita temui pada waktu kita membahas analisis transien. Jadi kita telah mempelajari tiga macam bentuk hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan, yaitu • transformasi Laplace, • konvolusi, • persamaan diferensial. Kita masih akan menjumpai satu lagi bentuk hubungan sinyal keluaran dan sinyal masukan yaitu melalui transformasi Fourier. Akan tetapi sebelum membahas transformasi Fourier kita akan melihat lebih dulu tanggapan frekuensi dalam bab berikut ini.
3-14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Soal-Soal 1. Terminal AB rangkaian A berikut adalah terminal 1H masukan, dan terminal 1kΩ keluarannya adalah CD. 1kΩ 0,5µF Tentukanlah admitansi masukannya (arus / tegangan B masukan di kawasan s) jika terminal keluaran terbuka.
C
D
2. Jika tegangan masukan v1(t)=10u(t) V, gambarkan diagram polezero dari arus masukan dan sebutkan jenis pole dan zero yang ada 3. Tegangan keluaran v2(t) rangkaian soal 1 diperoleh di terminal CD. Tentukan fungsi alih tegangannya (tegangan keluaran / tegangan masukan di kawasan s). 4. Jika tegangan masukan v1(t) = 10 u(t) V Gambarkan diagram polezero tegangan keluaran. 5. Ulangi soal 2 dengan tegangan masukan v1(t) = 10[sin100t]u(t) V. 6. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v1(t) = 10[sin100t]u(t) V. 7. Tentukan fungsi alih pada rangkaian berikut dan gambarkan digram pole-zero dari tegangan keluaran Vo(s)dan sebutkan jenis pole dan zeronya.
+ −
R1
C
u(t)
L
a).
R2
+ vo −
R1 + − cos1000t
c).
R L
+ C v o −
C
b).
R1 + − u(t)
R2
+ − u(t) d).
R2
+ vo −
C − +
+ vo −
3-15
+ − + − u(t)
−
C
+ − u(t) R2 g).
+ −
−
+ − u(t)
vo
R1
R2 −
L
+ vo
R2
f).
+
C
C
R1
+ − u(t)
vo
R2
e).
+ −
+
R1
h),
+ −
+ R1
L C
vo −
8. Carilah fungsi alih, g(t), dan h(t) dari rangkaian berikut.
+
10kΩ
0,5H
vin a).
1kΩ
+
vo
vin
−
−
+ vin − 10kΩ c),
+
+ − 10kΩ
b).
+
1H 1kΩ 1kΩ
0,5µF
−
−
1µF
100kΩ 10kΩ 1µF
+ vo
+ vin −
−
vo
− +
+ vo −
d).
9. Carilah fungsi alih hubungan bertingkat yang: (a)tahap pertamanya rangkaian soal 18 dan tahap keduan rangkaian pada soal 15; (b) tahap pertama rangkaian pada soal 19 dan tahap kedua rangkaian pada soal 16; (c) tahap pertama rangkaian soal 15 sedangkan tahap kedua rangkaian pada soal 18; (d) tahap pertama rangkaian soal 16 sedangkan rangkaian pada soal 19 menjadi tahap kedua.
3-16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
13. Carilah fungsi alih dari suatu rangkaian jika diketahui bahwa tanggapannya terhadap sinyal anak tangga adalah : a). g (t ) = −e −5000 t u (t );
( ) )u(t); c). g (t ) = (− 1 + 5e )u(t ); d). g (t ) = ( e −e e). g (t ) = ( e −1000 t − e −2000 t )u (t ); f). g (t ) = ( e −1000 t sin 2000t )u (t ) b). g (t ) = 1 − e − 5000 t u (t ); − 5000 t
−1000 t
− 2000 t
(
)
g). g (t ) = e −1000 t sin 2000t u (t ) ; h). h(t ) = −1000 e
−1000 t
u (t );
i). h(t ) = δ(t ) − 1000 e −1000 t u (t ) ; j). h(t ) = δ(t ) − 2000 e −1000 t u (t )
( l). h(t ) = ( e
) cos 2000t )u (t )
k). h(t ) = e −1000 t sin 2000t u (t ); −1000 t
14. Dengan menggunakan integral konvolusi carilah tegangan kapasitor pada rangkaian seri RC jika tegangan masukannya: (a) v1(t) = tu(t) ; (b) v1(t) = A e−α t u(t).
3-17
3-18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
